Examen Resuelto Control Automatico

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL(ESPOL)

FACULTAD DE INGENIERIA EN ELECTRICIDAD Y COMPUTACIÓN

PRIMERA EVALUACION CONTROL AUTOMATICO

III TERMINO 2007-2008

Nombre: ______________________________________________, Abril 04 de 2008

TEMA#1(25pts).

El sistema mostrado es un proceso en el cual queremos controlar el nivel de ambos tanques, fijando estos niveles con el potenciómetro P1 para h1ref y a través del PC para h2ref y T2ref.

En el tanque 1 pretendemos mantener el nivel y la concentración del producto, actuando sobre las electro-válvulas EV1 y EV2 simultáneamente, mientras que en el tanque 2 lo haremos actuando sobre a electro-válvula EV3 como se aprecia.

a) Escribir las ecuaciones en el tiempo que definen la operación de sistema.b) Transformar estas ecuaciones mediante la Transformada de Laplace.c) Dibujar el diagrama de bloques del sistema sin reducir las ecuaciones.d) Encontrar H2(s) como una función de H1(s). Note que debe linealizar alrededor,

de un punto de operación cualesquiera (Q30 Y h1(t)0) la ecuación de Q3(t), pues se trata de un lujo turbulento.

Para “h1”

Vrefh1 = Kpof1 * href. Vrefh1(s) = Kpof1 * href(s).

Veh1 = Vrefh1 – Vsh1 Veh1 (s) = Vrefh1(s) – Vsh1(s).

Vch1 = GPID * Veh1 Vch1(s) = GPID(s) * Veh1(s).

Vch1 = imRm + Lm + eb Vch1(s) = Im (Rm + sLm)+ eb(s).

eb = Kb * Wm eb(s) = Kb * Wm (s)

Tm - T1 - Bm wm - T’L = Jm

Tm – T2 (N1/N2) - Bm wm - T’L = Jm

Tm - (B2 W2 + J2 )(N1/N2) - Bm wm - T’L = Jm

Tm-(B2 (N1/N2)Wm + J2 (N1/N2) )(N1/N2) -Bm wm - (N1/N2)T’L = Jm

Tm-[(N1/N2)² (B2 Wm + J2 )] - Bm wm - (N1/N2)TL = Jm

Tm = [(N1/N2)² (B2 Wm + J2 )] + Bm wm + (N1/N2)TL + Jm

Tm = {(N1/N2)² B2 + Bm }Wm + {(N1/N2)² J2 + Jm } ) + (N1/N2)TL

Beq = (N1/N2)² B2 + Bm.

Jeq = (N1/N2)² J2 + Jm

Tm = Beq Wm + Jeq + (N1/N2)TL

Tm (s) = (Beq + Jeq s)Wm(s) + (N1/N2)TL(s)

Tm = km im Tm(s) = km Im (s)

Q1 = Kv1 m Q1(s) = Kv1 m(s)

Q2 = Kv2 m Q2(s) = Kv2 m(s)

( Q1 + Q2 ) - Q3 = A1

LINEALIZACION

Q3 = f (m, h1)

Q3 = c = c Q3T = Kv3 m

Q3T = Kv3m (mo , h1o) + Kv3 ( m3 - m0) + (h1 – h10)

Q3T = Kv3 m0 + Kv3 m3 - Kv3 m0 + h1 – h10

K1 = Kv3 m0 – h10 - Kv3 m0

K2 = Kv3

K3 =

Q3T = K1 + K2m3 + K3 h1

(Q1 + Q2 ) - (K1 + K2m3 + K3 h1 ) = A1

( Q1 + Q2 - K1 ) - K2m3 - K3 h1 = A1

Q1 + Q2 - K1 - K2m3 = K3 h1 + A1

Q1(s) + Q2 (s) - K1 - K2m3 (s) = H1(s) ( K3 + A1s )

V1 = 1 * h1 V1(s) = 1 * h1(s)

Vsh1 = V1 Vsh1(s) = V1(s)

Para “T2”

Vet2 = Vreft2 - Vst2 Vet2(s) = Vreft2(s) - Vst2(s)

Vct2 = Kt Vet2 Vct2 (s) = Kt Vet2 (s)

Vct2= imRm + Lm + eb Vct2(s) = Im(s) (Rm + sLm)+ eb (s).

eb = Kb Wm eb(s) = Kb Wm(s)

Tm = km im Tm(s) = km Im(s)

Tm - (N1/N2)TL - Beq Wm = Jeq

Tm (s) - (N1/N2)TL(s) = (Beq + Jeq s)Wm(s)

Qvapor = Kv5v5 = Kv m Qvapor(s) = Kv5v5 (s)

T2 = kvapor Qvapor T2(s) = kvapor Qvapor(s)

Vst2 (s) = =

Para “H2”

Veh2 = Vrefh2 - Vsh2 Veh2(s) = Vrefh2(s) - Vsh2(s)

Vch2 = GPID * Veh2 Vch2(s) = GPID(s) * Veh2(s).

Vch2 = imRm + Lm + eb Vch2(s) = Im (Rm + sLm)+ eb (s).

eb = Kb * Wm eb(s) = Kb * Wm (s)

Tm = km im Tm(s) = km Im(s)

Tm - (N1/N2)*TL - Beq Wm = Jeq

Tm (s) - (N1/N2)*TL(s) = (Beq + Jeq s)Wm(s)

Q3T = f (m3, h1) = K1 + K2m3 + K3 h1 (Linealizada )

Q3T - Q4 = A2

( K1 + K2m3 + K3 h1 ) - = A2

K1 + K2m3 + K3 h1 = A2 +

K1 + K2m3(s) + K3 H1(s) = H2(s) ( A2s + ); (Solución del literal d.)

V2(s) = 1 * H2(s)

Vsh2 (s) = * V2(s)

Lo encerrado en recuadro son las respectivas ecuaciones del sistema con su respectiva transformada de Laplace.

MATLAB (DIAGRAMA DE BLOQUES).

TEMA #2(15pts).

Para el sistema mostrado en la figura se pide:

a) Encontrar la función de transferencia y

b) Indicar que tipo de sistema representa ;

c) Calcular los errores del sistema en estado estacionario E(S) ante entradas escalón unitario y rampa unitaria en R(S) y P(S) respectivamente.

DESARROLLO ANALITICO

a) P(S)=O Para hallar

R(S)=0 Para hallar

b) Para es un sistema de tipo 1 porque tiene un polo(o integrador) en el

origen.

*Hay un integrador entonces es de tipo 1

C) * R(S)=1/S (entrada escalón unitario) y P(S)=0

* P(S)= 1/ (entrada rampa unitaria) y R(S)= 0

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2RESPUESTA DEL SISTEMA SIN PERTURBACION (P(S)=0)

TIEMPO

GA

NA

NC

IA

ess=0

se estabiliza en 1

DESARROLLO SIMULADO (MATLAB)

Aquí podemos observar el comportamiento del sistema sin la perturbacion P(s)=0, como la grafica tine una entrada paso igual a uno y se estabiliza en 1 eso quiere decir que el error de estado estacionario es cero.(comprobado los calculos analiticos)

Comportamiento del sistema con la perturbacion P(s), como la grafica tine una entrada paso igual a uno y se estabiliza en 2 eso quiere decir que el error de estado estacionario es del 20%.

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5RESPUESTA DEL SITEMA CON PERTURBACION(P(S)=1/S)

TIEMPO

GA

NA

NC

IA

se estabiliza en 2

ess=20%

Y finalmente el comportamiento de nuestro sistema con la entrada rampa unitaria, que nos da un error de estado estacionario infinito nunca se estabiliza.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

TIEMPO

GA

NA

NC

IA

RESPUESTA DEL SISTEMA CON PERTURBACION RAMPA UNITARIA

ess=00

se dispara al infinitito no se estabiliza

TEMA #3(15pts).

Reducir los siguientes diagramas de bloques a un solo bloque.

DESARROLLO ANALITICO

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2RESPUESTA DEL SISTEMA SIN PERTURBACION (P(S)=0)

TIEMPO

GA

NA

NC

IA

ess=0

se estabiliza en 1

DESARROLLO SIMULADO (MATLAB)

Tenemos la respuesta del sistema con respecto a R(s).

TEMA#4(15pts).

A partir de la siguiente función de transferencia :

a) Hallar el valor de J,D y K para obtener un sobre impulso del 20%, un tiempo de asentamiento de dos segundos y un error de estado estacionario del 10% del valor deseado, para una entrada escalón de amplitud A.

b) Calcule la sensibilidad del sistema a pequeños cambios del parámetro J.

DESARROLLO ANALITICO

a) J,D,K

b) Sensibilidad variando el parámetro J

DESARROLLO SIMULADO (MATLAB)

Primero reemplazamos los valores de J,K,D en la función G(S),para verificar en matlab,

con ayuda de la herramienta llamada SISOTOOL que se encuentra en matlab apreciaremos la grafica del sistema con los parámetros correspondientes.

El grafico nos indica las trayectorias de las raíces.

Aquí se puede observar que si se cumplen los parámetros indicados en el sistema.