Existencia y Unicidad

Existencia y unicidadCuando un problema de valor inicial modela matemticamente una situacin fsica, la existencia y unicidadde la solucin es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solucin, debido a que fsicamentealgo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solucin sea nica, pues si repetimos el experimento en condiciones idnticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinstico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:1. Existencia:Existir una solucin al problema ?2. Unicidad:En caso de que exista solucin, ser nica ?3. Determinacin:En caso de que exista solucin, como la determinamos ?En sta seccin nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinacin de solucin para el prximo captulo.EjemploDado el problema de valor inicial

no resulta difcil comprobar quees solucin, pues separando variables e integrando obtenemos que

Y usando la condicin inicialobtenemos que, con lo cual la solucin sera. Observe que al resolver la ecuacin diferencial dividimos porlo cual supone que, pero podemos verificar quees solucin, en este caso una solucin singular. En conclusin, el problema de valor inicial dado tiene solucin pero no es nica, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.Teorema

Seatal que. Siyson continuas en, entonces existe un intervalo abierto, centrado eny una funcindefinida en, que satisface el problema de valor inicial

Ejemplo:En el ejemplo anterior tenemos quey, las cuales son continual en el semiplano definido por; por consiguiente, el teorema garantiza que para cada puntoconde ese semiplano, hay un intervalo centrado enen el cual la ecuacin diferencial tiene una solucin nica. As por ejemplo, sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial

tiene solucin nica, mientras que para los problemas en dondeel teorema no garantiza nada, es decir, podra suceder cualquier cosa: que no tenga solucin, que tenga solucin nica o varias soluciones, como sucedi en el ejemplo anterior.Ejemplo:Hallar los valores deypara los cuales el teorema de existencia y unicidad garantiza que el problema de valor inicial

tiene solucin nica.Como la derivada parcialyson continua en todo puntodonde, el teorema garantiza que existe una solucin en el conjunto.El teorema de existencia y unicidadnos da una condicin suficiente. Por lo tanto el hecho de que no se cumplan las hiptesis no nos permite concluir nada. Por otro lado, aunque el teorema nos asegure la existencia no nos garantiza que exista un mtodo para llegar a ella, quizs, lo mejor que podamos hacer sea aproximarla.