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Fundamentos matemáticos
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Fundamentosde matemáticas Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Tabla de contenido Página
Presentación 1
Programación General 3
Mapa conceptual general de la asignatura 5
Competencias generales de la asignatura 5
Introducción 6
Conceptos previos 7
Mapa conceptual del fascículo 8
Lógica proposicional 8
Conceptos básicos de la lógica proposicional 9
Negación de una proposición 9
Proposiciones compuestas: Disyunción y conjunción 11
Conceptos básicos 12
Conjuntos 12
Representación gráfica de conjuntos 13
Operaciones entre conjuntos 16
Actividad de trabajo colaborativo 22
Resumen 22
Bibliografía recomendada 23
Nexo 24
Seguimiento al autoaprendizaje 25
Créditos: 3
Tipo de asignatura: Teórica - Práctica.
Fundamentos de matemáticas
Semestre 1
Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples”
Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
HERNÁN ALBERTO DÍAZ GONZÁLEZ Sede Bogotá, D.C.
Orientación a cargo de;
ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo.
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS
Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Mayo de 2008
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Fascículo No. 1 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Presentación Es innegable que toda persona en cualquier momento histórico debe tener
dentro de sus conocimientos un estudio básico de las matemáticas y sus
relaciones, ya que éstas le permiten interpretar muchas de las situaciones
de la cotidianidad. Asistimos a una época en que el conocimiento y el
manejo de la información se privilegian en la práctica de las políticas de la
globalización, por lo tanto, una persona debe prepararse para responder y
asumir los retos cada vez más complejos que le sugieren y plantean los
avances científicos y tecnológicos, y en particular la proyección hacia el
manejo y construcción de los llamados ambientes virtuales de aprendizaje.
El análisis de variables, la lectura e interpretación de gráficas, el registro de
datos y la conjetura probabilística, permiten la modelación de situaciones
problémicas que se presentan en cada una de las ciencias, al igual que el
diseño de nuevas situaciones aún más complejas propias del contexto de la
finanzas y la economía.
Este primer curso de matemáticas o de fundamentos de matemáticas inicia
con un sencillo estudio de lógica y de allí partimos hacia la construcción del
concepto de conjunto, gracias a las proposiciones abiertas, las operaciones
entre conjuntos en relación con las conectivas lógicas. Posteriormente,
abordaremos el conjunto de los reales, que servirá de base al manejo
operatorio en el álgebra, que a su vez va a permitir el trabajo con variables
y por ende asociar el concepto de función y de ecuación.
A continuación, un estudio básico de la función lineal y la función
cuadrática, la solución de sistemas de ecuaciones, las matrices, las
inecuaciones y en el último fascículo, las aplicaciones de cada uno de estos
conceptos en la modelación, el planteamiento y obtención de los resultados
de situaciones problematizables del ambiente de la administración, la
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
economía y las finanzas, como son: los costos, los ingresos, la utilidad, el
equilibrio, la oferta, la demanda, el punto de equilibrio del mercado y para
terminar una aplicación de las desigualdades en algunos de los conceptos
anteriores.
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
Programación general Lógica y conjuntos Conceptos básicos de la Lógica proposicional Proposiciones simples cerradas y abiertas Negación de una proposición Proposiciones compuestas: Disyunción y conjunción Teoría de conjuntos Conceptos básicos Conjunto y notación de conjunto Operaciones entre conjuntos Aplicaciones Fascículo 1 __________________________________________________________
_____
Conjunto de los números reales y operaciones Conjuntos numéricos El conjunto de los números reales Operaciones y propiedades en los reales Potenciación, radicación y logaritmación Fascículo 2 __________________________________________________________
_____
Expresiones algebraicas Operaciones con polinomios: adición, producto y división Cocientes y productos notables. Factorización Fascículo 3 __________________________________________________________
_____
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales Ecuación Sistemas de ecuaciones Métodos de solución
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
Fascículo 4 __________________________________________________________
_____
Función lineal y función cuadrática Función Función lineal Función cuadrática Fascículo 5 __________________________________________________________
____
Matrices Operaciones con matrices Solución de sistemas de ecuaciones usando matrices Aplicaciones de las matrices Fascículo 6
Inecuaciones Desigualdades Inecuaciones de primer grado Inecuaciones de segundo grado Aplicaciones de las desigualdades Fascículo 7 __________________________________________________________
_____
Aplicaciones en economía Oferta y demanda Modelo lineal de mercado en equilibrio parcial Costos e ingresos totales Otras aplicaciones Fascículo 8 ____________________________________________________________
_
8
Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
Hernán Díaz González
Mapa conceptual general de la asignatura
Competencias generales de la asignatura Cognitiva Posee capacidad de aplicación del pensamiento numérico y variacional a
través de la reflexión y la argumentación como fundamento de los
principios de la teoría de costos. Aplica los fundamentos algebraicos en la
modelación de situaciones del ambiente empresarial, de las finanzas y la
administración.
Comunicativa Interpreta, decodificando cada uno de los símbolos de las diferentes
formulas de la teoría de costos. Lee y traduce del lenguaje técnico de las
LÓGICA
CONSTRUIMOS
CONJUNTOS
NUMÉRICOS EXPRESIONESALGEBRAICAS
CONTIENE A CONTIENEN
REALES POLINOMIOS
PUEDE SER DAN LUGAR
RACIONALES IRRACIONALES
ENTEROS NATURALES
FUNCIÓN ECUACIÓN INECUACIÓN
PUEDE SER PUEDE SER PUEDE SER
SE UTILIZAN SE UTILIZAN SE UTILIZAN SE UTILIZASE UTILIZA SE UTILIZA SE UTILIZASE UTILIZASE UTILIZA
APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓNY LA CONTADURÍA
PUEDEN SER
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
matemáticas, la economía, las finanzas y la administración, al lenguaje
cotidiano y viceversa.
Valorativa Reconoce que las decisiones que se tomen a futuro acerca de muchos
cálculos numéricos tendrán unas implicaciones muy serias, ya que dan fe
de unos comportamientos financieros reales tanto contables como
administrativos. Contextual Plantea y resuelve diferentes situaciones problémicas del ambiente
empresarial, en especial de la teoría de costos en la producción, bienes y
servicios orientados preferencialmente al área económico-administrativa. Introducción Lógica y conjuntos
El estudio de algunos elementos de la lógica, nos permiten manejar ciertos principios que habrán de servir para enjuiciar razonamientos que se vayan obteniendo de forma coherente y secuencial en la construcción de estrategias diseñadas para dar solución a situaciones problematizables propias del ambiente empresarial, es decir, del área económico-administrativa. Más adelante podremos establecer relación entre éstos principios y la construcción o idea de conjunto, al igual que entre estos principios y ciertas operaciones que se pueden tener entre dos o más conjuntos. La teoría de conjuntos es una teoría matemática que estudia, básicamente, a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos. La importancia de la teoría de conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir casi toda la matemática (con algunas excepciones como la teoría de categorías). Por ejemplo, con la teoría de conjuntos se pueden definir los siguientes
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función,
partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los
racionales, los reales, los complejos, etc.
Conceptos previos Para tener un manejo más apropiado de los conceptos de la temática
propuesta en este fascículo, se requiere que además de tu auto-
motivación, buena disposición e interés personal, reflexiones y respondas
los siguientes interrogantes y actividades:
1. ¿Cuál es la estructura de una frase?,¿ cómo se debe desarrollar el
proceso de lecto - escritura?.
2. Señala cuáles de las siguientes frases corresponden a proposiciones,
justifica tu respuesta.
a) ¡Viva la Contaduría!
b) Utilidad demasiado al favor se tanto costos por
c) ¿Qué es la demanda?
d) Auditoría hace parte de la profesión contable
3. Se da la frase q:____________ es una cuenta de obligaciones laborales.
Escribe por lo menos cinco palabras que al colocarse en el lugar
subrayado completen de manera lógica la frase.
4.¿Cuándo decimos que hemos escrito un conjunto por comprensión?,
¿cuándo decimos que hemos escrito un conjunto por extensión?
5. Explica brevemente:
a) Unión, diferencia y complemento entre conjuntos
b) Conjunto referencial, diagramas de Venn
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
LAS PROPOSICIONES
SIMPLES CONECTIVAS COMPUESTAS
ABIERTAS CERRADAS
NEGACION
DISYUNCIÓN
CONJUNCIÓN
CONJUNTOS
DIAGRAMAS DE VENN OPERACIONES
COMPLEMENTO DIFERENCIA UNIÓN INTERSECCIOÓN
Mediante Forman
Con la
O
Y
Se relaciona
Se relaciona
Como
Son
Unas veces
Se obtiene su
Unas veces
Forman
Se representan con Se pueden efectuar
Hernán Díaz González
Mapa conceptual fascículo 1
Lógica y conjuntos
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Identifica los conceptos básicos de la lógica y los conjuntos. Expresa conjuntos por compresión y por extensión. Identifica los diferentes tipos de operaciones entre conjuntos. Interpreta y resuelve problemas cuyas soluciones involucran teoría
de conjuntos en situaciones propias del área económico-administrativa.
LogrosLogrosLogros
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Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
cuenta del pasivo
p: 4444 84444 76 sujetoootér
sFinancieraesObligacionmin
4444 34444 21predicado
activodelcuentaunaes (F) q(x) : x es una
Conceptos básicos de la lógica proposicional Sabemos que un párrafo está compuesto por frases, cada una de las
cuales debe tener sentido lógico para encajar en la situación general en la
cual se enmarca. Las frases o afirmaciones con sentido lógico las
llamaremos proposiciones, es decir, una proposición es una oración con
sentido lógico de la cual podemos decir que es verdadera (v =
1) o falsa
(f = 0), lo cual se denomina valor de verdad de la proposición.
Las proposiciones se notan con las letras minúsculas: p, q, r,
etc.
Ejemplo: t: Un activo fijo que no está sujeto a depreciación es terrenos (V) r: la revisoría fiscal hace parte de la contaduría (V) s(x): x es un activo fijo
Las anteriores proposiciones reciben el nombre de proposiciones simples o
atómicas. Cada una de las proposiciones de la izquierda es una
proposición cerrada, es decir, cuando el sujeto está perfectamente
determinado, y las proposiciones de la derecha se dice que son
proposiciones abiertas, es decir, cuando el sujeto no está determinado y
puede tomar distintos valores. Su valor de verdad depende del sujeto que
se asigne a la proposición.
Negación de una proposición La negación de una proposición p simple y cerrada es otra proposición en
la cual se incluyen algunas de las palabras: no, ningún, ni, nada, no es
cierto, no ocurre que. El valor de verdad de la proposición p cambia al
p p
F 0
V 1
En uquier
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
ser negada, la negación de p se nota p¬ y se lee “no p”.
Si tenemos la proposición p: Obligaciones financieras es una cuenta del
activo (F), su negación será:
p¬ : No se tiene que obligaciones financieras es una cuenta del activo (V)
)( p¬¬ : No es cierto que Obligaciones financieras no es una cuenta del
activo (F).
Todos los distintos sujetos que hacen que una proposición abierta se
convierta en una proposición cerrada-verdadera, conforman un conjunto
específico, llamado universo de discurso de la variable x, y, o z, conjunto
que algunas veces es finito y otras es infinito.
Para la proposición r: x es una cuenta de proveedores. El universo de
discurso de la variable es: { xxUr /= ,x es una cuenta de proveedores}.
=rU {Nacionales, Del exterior}
Para la proposición t : x es una cuenta de Obligaciones Laborales. El
universo de discurso de la variable es : { xxxUt ,/= es una cuenta de
Obligaciones Laborales}
1.1.
1. Construya 5 frases u oraciones con sentido lógico que sean
proposiciones simples-verdaderas, propias del contexto económico-administrativo.
2. Construya 5 frases u oraciones con sentido lógico que sean proposiciones simples-falsas, propias del contexto económico-administrativo.
3. Dadas las proposiciones: p: Toda cuenta por pagar es una cuenta del activo. q: Los estados de resultados se presentan una sola vez cada dos meses.
a) Hallar el valor de verdad de cada una. b) Obtenga, p¬ , q¬ , )( p¬¬ y dé el valor de verdad que toman.
4. Muestra tu creatividad construyendo 5 proposiciones abiertas, propias del contexto económico-administrativo y para cada una determine el universo de discurso de la variable.
5. Convierta cada una de las proposiciones anteriores en proposiciones cerradas-verdaderas.
cual-
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
En upuestentre
En upuestentre
6. Convierta cada una de las proposiciones anteriores en proposiciones cerradas-falsas.
7. Haga un listado de cada uno de los sujetos del universo de discurso tU
Proposiciones compuestas y conectivas lógicas Con las proposiciones simples r, s podemos formar otras proposiciones
llamadas proposiciones compuestas, las cuales se obtienen mediante el
enlace de proposiciones simples con conectivas lógicas. El enlace de dos
proposiciones simples mediante la conectiva “o” recibe el nombre de
disyunción y al enlace de dos proposiciones simples mediante la conectiva
“y” recibe el nombre de conjunción.
r o s : sr ∨ : Disyunción de r con s
r y s : sr ∧ : Conjunción de r con s
El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de
cada una de las proposiciones que la conforman y de la conectiva de
enlace. La conectiva lógica “y” es enfática, ya que solamente es verdadera
cuando ambas proposiciones son verdaderas y en los demás casos es
falsa. La conectiva lógica“o” es de carácter optativo, ya que es verdadera
cuando alguna de las dos proposiciones es verdadera y únicamente es
falsa si las dos lo son.
Ejemplo
Sean las proposiciones:
r: Inventarios es una cuenta de ingresos (F)
s : El capital social es una cuenta del patrimonio (V)
La disyunción de sr ∨ , se redacta: “Inventarios es una cuenta de
ingresos o el capital social es una cuenta del patrimonio” (V).
La conjunción de sr ∧ : se redacta: “Inventarios es una cuenta de
ingresos y el capital social es una cuenta del patrimonio” (F).
Una una(sdos pusualesi…ensi (↔
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
1.2.
1. Enumere los sujetos que hacen verdadera la proposición t : x es una
cuenta de Obligaciones financieras 2. Redacte y de el valor de verdad de las proposiciones : i) sr ¬∨ ii)
sr ∧¬ 3. Construya 5 proposiciones compuestas disyuntivas propias del
contexto económico-administrativo. Dé el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas.
4. Construya 5 proposiciones compuestas conjuntivas propias del contexto económico-administrativo. Dé el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas
Anillos concatenados Estos anillos concatenados forman 7 regiones (Figura No.1.1) en las que hay que distribuir los dígitos desde el 1 hasta el 7 de tal manera que la suma de los 4 dígitos ubicados en cada anillo sea la misma.
Figura 1.1 Anillos concatenados
Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos Conjunto Recordemos de lo anterior que todos los sujetos que hacen verdadera una
proposición abierta, es decir que son del universo de discurso de la variable
conforman UN CONJUNTO.
Ejemplo Sea la proposición r: x es una cuenta de obligaciones financieras. Si
hacemos un listado de los sujetos que satisfacen la proposición r, tenemos
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
el conjunto notado por extensión.
F = {Bancos nacionales, bancos del exterior, corporaciones de ahorro y
vivienda} la notación:
F = { xxx , es una cuenta de obligaciones financieras}. Cuando expresamos
el conjunto mediante una proposición abierta, recibe el nombre de notación
por comprensión.
Se puede decir que un conjunto es una agrupación o colección de objetos o
cosas bien definidos, es decir, que tienen una característica común; los
objetos o cosas reciben el nombre de elementos, los cuales se notan con
letras minúsculas y el conjunto con letras mayúsculas.
Sea H el conjunto de todos los números que se dejan dividir por cero. H por
comprensión es:
H = { xxx , es un número que se deja dividir por cero}. H por extensión es:
H = { } Representación gráfica Se acostumbra a representar gráficamente, para una mayor visualización,
los conjuntos, mediante cuadrados, rectángulos, círculos y óvalos, llamados
diagramas de Venn-Euler. Cuando un elemento por ejemplo [acciones ( )a ]
hace parte de un conjunto [Inversiones ( )I ] decimos que éste elemento ( )a
pertenece al conjunto ( )I se escribe: Ia∈ . Se lee “ a pertenece a I ”.
Cuando un conjunto ( )I hace parte de otro conjunto ( )A decimos que ( )I es
un subconjunto de ( )A o que está contenido en ( )A , se escribe AI ⊂ . Se
lee “ I está contenido en A ”. Lo anterior se representa en la figura 1.2
Podemos establecer las siguientes proposiciones a partir de ciertas
relaciones con los anteriores conjuntos:
i) Pa∉ (V) ii) Aa∉ (F) iii) Ic∉ (V) iv) PI ⊄ (V)
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
v ) AI ⊂ (V) vi ) AU ⊃ (V) vii ) UI ⊄ (F) viii ) Pp∉ (F ) U
A
I I c
P
Figura 1.2 Relación de contenencia y pertenencia.
Si tenemos los elementos acciones, bonos, cédulas y certificados, un
conjunto que los recoge o de referencia (universal) sería INVERSIONES, si
además tenemos los elementos caja, honorarios, vehículos, terrenos,
patentes, maquinaria y equipo, el conjunto de referencia ahora sería (U)
ACTIVO.
El conjunto referencial o universal es aquél que recoge todos los
elementos a los cuales se está haciendo referencia, se nota con la letra U.
Para el ejemplo anterior si se agrega el conjunto P (Pasivo) se considera
como conjunto referencial o universal el plan único de cuentas (PUC).
El conjunto que no posee elementos recibe el nombre de conjunto vacío, se
nota φ o { }.
V = { xxx ,/ es la cantidad negativa de artículos en un proceso de
producción} es un conjunto vacío.
Ahora si tomamos un conjuntoQ , el complemento de Q con respecto a U
es un conjunto que está formado por todos los elementos que están en U
pero no están en Q . Se escribe o denota Q′ o Q En la figura No 1.3 se
a b
p
como ismo
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
representa gráficamente como la parte sombreada.
Ejemplo Consideremos el conjunto
Q = xxx ,{ es un número natural impar menor que 8} por extensión Q = {1,
3, 5,7}
el universal sería U = xxx ,{ es un número digito} por extensión U = {
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
El complemento de Q es
Q′= {0, 2, 4, 6, 8,9}
Q′
Figura 1.3 Complemento de Q
El número o cantidad de elementos constitutivos de un conjunto recibe el nombre de CARDINAL del conjunto, se nota con el símbolo (#). El matemático alemán Georg Cantor fue el primero en formalizar el concepto de infinito bajo la forma de números transfinitos, debido al estudio que hizo acerca de los conjuntos infinitos, a su vez es el creador del cardinal de un conjunto. El cardinal del conjunto unitario es uno (1) y el cardinal del conjunto vacío es el cero (0).
1.3
1. Expresar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos:
a) Conjunto de las cuentas de inventarios.
U
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
b) Conjunto de las cuentas de obligaciones financieras. c) Conjunto de los posibles resultados al lanzar un dado una sola vez.
2. Construya por comprensión dos conjuntos vacíos V y W. 3. Tomar dos conjuntos cualesquiera T, S y un tercer conjunto U que
sea referencial con respecto a los otros y crear 5 proposiciones, dando su valor de verdad.
4. Halle el complemento de cada uno de los conjuntos anteriores T y S.
5. Una empresa P elabora en su línea 50 productos diferentes, otra empresa Q elabora 30 productos diferentes, ¿cuántos productos diferentes hay entre P y Q si se sabe que tienen entre sus líneas 20 productos en común?.
Operaciones entre conjuntos También se pueden establecer otros tipos de relaciones entre los
conjuntos, adicionales a las anteriormente analizadas, como son las
operaciones entre conjuntos. La unión de dos conjuntos Q y R es un
conjunto que está conformado por todos los elementos que están en Q o
que están en R ó están en ambos, es decir, por los elementos que están en
alguno de los dos. Se escribe o denota con la letra U .
Q U R = ∈xxx ,{ Q o ∈x R }
Ejemplo Dados los conjuntos:
Q = xxx ,{ es un número natural par menor que 7} y
R = xxx ,{ es un número natural mayor que 3 y menor que 8}, para estos
conjuntos el universal sería U = xxx ,{ es un número digito}. Los anteriores
conjuntos por extensión son:
Q = { 0,2,4,6,} R = { 4,5,6,7,} U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Q U R = {0, 2, 4, 5, 6, 7}, se representa gráficamente en la figura 1.4 como
la región sombreada
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
1 9 9 8 3
Q U R
3
Figura 1.4 Q unión R
La intersección de dos conjuntos Q y R es un conjunto que está
conformado por todos los elementos que están simultáneamente en Q y R,
es decir, por los elementos que están en ambos a la vez. Se escribe o
denota con la letra I .
Q IR = ∈xxx ,{ Q y ∈x R}
Ejemplo Tomemos los conjuntos:
Q = xxx ,{ es un número natural impar menor que 8} y
R = xxx ,{ es un número natural mayor que 2 y menor que 7}, para estos
conjuntos el universal sería U = xxx ,{ es un número digito}. Los anteriores
conjuntos por extensión son:
Q = { 1,3,5,7} R = { 3,4,5,6} U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Q IR = {3, 5}, se representa gráficamente en la figura 1.5 como la región
sombreada
0 4 5 2 6 7
Q R
U
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
QIR
Figura 1.5 Q intersección R
Si la intersección Q IR = φ , es decir si los conjuntos Q y R no tienen
elementos en común, se dice que Q y R son conjuntos disjuntos. El
conjunto de cuentas del activo y el conjunto de cuentas del pasivo son
conjuntos disjuntos.
La diferencia del conjunto Q con respecto al conjunto R , que se escribe Q
– R y se lee “Q menos R” es el conjunto formado por los elementos que
están en Q pero no están en R.
Q – R = ∈xxx ,{ Q y ∉x R }
Ejemplo Si tenemos los conjuntos:
Q = xxx ,{ es un número natural impar menor que 8} y
R = xxx ,{ es un número natural mayor que 2 y menor que 7}, para estos
conjuntos el universal sería U = xxx ,{ es un número digito}. Los anteriores
conjuntos por extensión son:
Q = { 1,3,5,7} R = { 3,4,5,6} U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Q – R = {1,7}
0 8 2 9 1 3 4
7 5 6
Q R
U
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
Figura 1.6 tomada (www.galeon.com/mponce/Archivos/caricaturas)
1.4
1.- Represente en un diagrama de Venn-Euler la diferencia Q – R del ejemplo anterior. 2.- Aprovecha tu creatividad y construye dos conjuntos que sean disjuntos propios del ambiente de la contaduría. Teniendo los siguientes conjuntos: M = xx
x ,{ es un número natural mayor que 12 y menor que 18
N = xxx ,{ es un número natural par mayor que 11 y menor que 17}
O = xxx ,{ es un número natural impar mayor que 10 y menor que 17}
U = xxx ,{ es un número natural entre 10 y el 20}
3. Exprese por comprensión y por extensión: a) N U O b) M U O c) M I O d) N I O e) M – N f ) N – M f ) U – O g) O
Ejemplo de Aplicación Al consultar 57 personas frente a las actividades (lectura, juegos
electrónicos y aeróbicos) que les gusta realizar en sus tiempos libres, se
obtuvo la siguiente información: 5 respondieron que únicamente LEEN, 11
que únicamente practican JUEGOS ELECTRÓNICOS, 9 únicamente
realizan AERÓBICOS, 20 leen o practican juegos electrónicos, 28 practican
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
57
57
Figura 1.7 Aplicación
Figura 1.8 Aplicación
juegos electrónicos o aeróbicos, 7 realizan la tres actividades a la vez. 27
personas entre sus prácticas tienen los aeróbicos. ¿Cuál es el número de
personas que leen y hacen aeróbicos a la vez? ¿cuántas personas no
realizan ninguna de las tres actividades consultadas?.
Valiéndonos de un diagrama de Venn-Euler, de forma lógica y coherente
vamos representando la información que al leer comprensivamente se va
captando.
El conjunto referencial o universal está
conformado por todas las personas con-
sultadas, su cardinal es # U = 57
Ubicamos tres círculos uno para cada
conjunto de actividades: A es el conjunto de
las personas que practican Aeróbicos L es el
conjunto de las personas que practican
Lectura, J es el conjunto de las personas que
practican Juegos Electrónicos.
# A = 27 ya que esta cantidad es el número de personas que entre sus
prácticas tienen los Aeróbicos (Figura 1. 7)
Si 7 practican las tres actividades a la vez
entonces 57#( A I LI J) =7 y lo ubicamos en
la intersección de los tres conjuntos, como 5
exclusivamente leen los ubicamos en el
sector de L que no se conecta con los otros
conjuntos, como 11 exclusivamente practican
juegos electrónicos, los ubicamos en el
sector de J que no se conecta con los otros, igualmente con los 9 que
exclusivamente hacen aeróbicos. Como 20 leen o practican juegos
)27(A L J
)27(A 10 9 3 8
5 7 11 L J
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
electrónicos, entonces entre los sectores que no se tocan con A suman 20,
pero ya hay 16 entre 5 y 11. Figura 1.8
Luego el que falta es 4, igualmente como 28 practican juegos electrónicos o
aeróbicos entre los sectores que no se tocan con L suman 28 pero ya hay
20 entre 9 y 11, luego el que falta es 8. Como # A = 27 y los sectores ya
ubicados suman 24 se deduce que los que leen y hacen aeróbicos a la vez
son 3, que es la respuesta a la primera pregunta, y si sumamos todos los
sectores entre los tres conjuntos nos da 47 luego el complemento de la
unión de los tres conjuntos es 10 que es la respuesta a la segunda
pregunta.
Los elementos del conjunto D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} deben reemplazarse en las interrogaciones (?) que se dan en cada uno de los espacios de los conjuntos P, Q y R del diagrama, de tal forma que: i) Cada número de D se emplee una sola vez ii) La suma de cada uno de los conjuntos P, Q y R sea igual
a 27 iii) ¿Podría efectuarlo dando la suma 22?
Figura 1.9 Reto
P Q R
? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
25
Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
Reúnete con tu equipo de trabajo y resuelvan: 1. Se entrevista a un grupo de 65 estudiantes de un instituto similar al SENA,
de los cuales 28 se encuentran estudiando en el momento y 30 se hallan trabajando; las personas que se encuentran haciendo pasantía no pueden estudiar mientras la hacen, las personas que estudian y trabajan a la vez son 12, los que están haciendo la pasantía en la empresa oficial o trabajan en la empresa oficial a la vez son 7 y los que la hacen en la empresa privada o trabajan en la empresa privada a la vez son 9; 3 de estos últimos vienen trabajando en esa misma empresa privada, 5 de los que hacen la pasantía la realizan en la misma empresa oficial que vienen trabajando.¿Cuántos entrevistados no están ni estudiando, ni trabajando, ni haciendo pasantía en el momento?.
2. Construir o crear una situación problémica propia del ámbito de la economía
y la administración en donde se aplique la teoría de conjuntos.
Una frase con sentido lógico de la cual podemos decir que es únicamente
verdadera o falsa es una proposición simple cerrada. La negación de una
proposición, es otra proposición con valor de verdad opuesto y que se
obtiene agregando las palabras, ni, no, ningún, no es cierto, no sucede que.
Si el sujeto o el predicado en una proposición no están determinados y
pueden tomar diversos o variados valores, se dice que la proposición es
abierta y el sujeto es variable. Todos los sujetos que satisfacen una
proposición abierta conforman un CONJUNTO.
Un conjunto es una agrupación bien determinada de cosas u objetos que
está definida por una proposición, se dice que los objetos pertenecen al
conjunto y reciben el nombre de elementos. Cuando todos los elementos de
un conjunto Q pertenecen a otro P se dice que Q está incluido o que es un
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Fundamentos de matemáticas
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Fascículo No. 1 Semestre 1
subconjunto de P.(Q⊂P) El conjunto al cual pertenecen todos los
elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto
universal( U). El conjunto formado por los elementos que pertenecen al
universal pero no a un conjunto Q recibe el nombre de complemento de Q
(Q′ ). La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por los elementos
que están en uno o en el otro, o en ambos. La intersección de dos
conjuntos es otro conjunto formado por los elementos que están en ambos
simultáneamente. La diferencia entre el conjunto P con respecto al conjunto
Q, es un conjunto formado por los elementos que están en P pero no están
en Q (P – Q).
HAEUSSLER, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía,
Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición,
2001.
SOO TANG, Tan. Matemáticas para administración y economía.
Internacional THOMPSON. 1999
SMITH CHARLES, Dossey Keedy Bittinger. Álgebra. Editorial Addison
Wesley Iberoamericana.1992
LAURENCE D Hoffmann, Gerald L. Bradley. Cálculo para Administración,
Economía y Ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Septima edición.2001
SOLER, Francisco, NUÑEZ, Reinaldo, ARANDA Moisés. Fundamentos de
cálculo. ECOE ediciones. Segunda edición.2002
BITTINGER. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Editorial
addison Wesley. Septima edición
BUDNICK, Frank S. Matemáticas aplicadas para Administración, economía
y ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición.1998
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Fascículo No. 1 Semestre 1
En el siguiente fascículo se presentarán los diferentes sistemas numéricos,
es decir, los conjuntos numéricos con una serie de relaciones y operario-
nes entre sus elementos. Para abordar el próximo fascículo debes repasar
los conceptos de: número, números naturales, números enteros, números
racionales, números irracionales, números reales, la potenciación, la
radicación y las operaciones junto con cada una de sus propiedades.
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Fascículo No. 1 Semestre 1
Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje
Fundamentos de Matemáticas - Fascículo 1 Nombre_____________________________________________________
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Apellidos ________________________________ Fecha:
_________________
Ciudad___________________________________Semestre: _______________
1. Entrar a la página www.gestiopolis.com, tomar un artículo sobre economía y a partir del texto escriba 5 proposiciones simples que sean verdaderas y 5 que sean falsas (cite la dirección completa del recurso utilizado).
2. Niega cada una de las anteriores proposiciones a. b. c. d. Se tienen los conjuntos: P = { 110100, quemenoryquemayorparnaturalnúmerounesxx
x }
Q = { 10898, quemenoryquemayorparnaturalnúmerounesxx
x }
R = { 11199, quemenoryquemayorimparnaturalnúmerounesxx
x }
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Fascículo No. 1 Semestre 1
U = { 11299, quemenoryquemayornaturalnúmerounesxxx }
3. Al efectuar P UQ se tiene: A. P UQ = {102, 104,106} B. P UQ = {100, 102, 104, 106,108} C. P UQ = {100,108} D. P UQ = {108} 4. Al efectuar P IQ se tiene: A. P IQ = {102, 104,106} B. P IQ = {100, 102, 104, 106,108} C. P IQ = {100,108} D. P IQ = {108} 5. Al efectuar P – Q se tiene: A. P – Q = {102, 104,106} B. P – Q = {100, 102, 104, 106,108} C. P – Q = {100,108} D. P – Q = {108} 6. De 200 estudiantes, 50 toman el curso de matemáticas I, 140 el curso de
Contabilidad I y 24 ambos cursos. Como ambos cursos programaron exámenes el día siguiente sólo los estudiantes que no están en ninguno de estos dos cursos podrán ir a la fiesta. El número de estudiantes que podrá ir a la fiesta es de:
A.114 B.34 C. 166 D.164 Preguntas de selección múltiple con múltiple respuesta Este tipo de pregunta consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con los números I, II, III y IV. Sólo dos de estas opciones responden correctamente el enunciado.
Si I y II son correctas, marca la respuesta A Si II y III son correctas, marca la respuesta B Si III y IV son correctas, marca la respuesta C Si II y IV son correctas, marca la respuesta D
7. En una empresa se tienen tres líneas de inversión A (acciones), B
(bienes raíces), C (cdt´s). El 20% se invierte en acciones, el 16% en bienes raíces y el 14% en cdt´s. Sin embargo el 8% en acciones y bienes raíces, el 5% en acciones y cdt´s, el 4% en bienes raíces y cdt´s, el 2% en las tres inversiones.
I. 69 % II. 35 % III. 21% IV. 65 % ¿Qué porcentaje se invierte al menos en alguna de las tres líneas? De ellos ¿Qué porcentaje se invierte en acciones o bienes raíces? A. B. C. D.
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