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Matemática II
Estadística
Probabilidad
Análisis Combinatorio
Probabilidad
ExperimentosAleatorios
Deterministicos
Sucesos
TiposEspacio S
Unión A U BIntersección A ∩ B
DiferenciaContrarios
Espacio Muestral E
Axiomas de la Probabilidad
Propiedades de la Probabilidad
Ley de Laplace
Combinatoria y Probabilidad
Probabilidad Condicionada P(A/B)
Suc. Independiente
Suc. Dependiente
Teorema de la Probabilidad Total
Teorema de BayesTeorema del
producto
• Ejemplo Si dejamos caer una piedra desde una ventana
sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará
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Teorema de BayesTeorema del
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• Ejemplos Si lanzamos una moneda no sabemos de
antemano si saldrá cara o cruz.
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Teorema de la Probabilidad Total
Teorema de BayesTeorema del
producto
ELEMENTAL
ALEATORIO
COMPUESTO
SEGURO
IMPOSIBLE Ø
COMPATIBLES
INCOMPATIBLES
DEPENDIENTES
INDEPENDIENTES
CONTRARIO Ā
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• Una moneda E= {C, X}.• Número de sucesos = 22 =4• Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}.• Número de sucesos = 24 =16• Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.• Número de sucesos = 26 = 64
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• Ejemplo• Consideramos el experimento que consiste en
lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
• A = {2, 4, 6}• B = {3, 6}• A B = {2, 3, 4, 6}
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• Ejemplo• Consideramos el experimento que consiste en
lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
• A = {2, 4, 6}• B = {3, 6}• A B = {6}
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• Ejemplo• Consideramos el experimento que consiste en
lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.
• A = {2, 4, 6}• B = {3, 6}• A − B = {2, 4}
Probabilidad de la diferencia de sucesos
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• Ejemplo• Consideramos el experimento que consiste en
lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .• A = {2, 4, 6}• = {1, 3, 5}
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• Ejemplo• Espacio muestral de una moneda:• E = {C, X}.
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• 0 ≤ p(A) ≤ 1
• p(E) = 1
• p(A B) = p(A) + p(B)
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• 1-
• 2-
• 3-
• 4-
• 5-
• 6-
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• Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:
• 4 ases.
• 4 ases y un rey.
• 3 cincos y 2 sotas.
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• Ejemplo• Calcular la probabilidad de obtener un 6 al
tirar un dado sabiendo que ha salido par.
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• p(A/B) = p(A)
• Al lazar dos dados los resultados son independientes.
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• p(A/B) ≠ p(A)
• Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.
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• Ejemplo• Se dispone de tres cajas con
bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
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• Ejemplos• El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
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Espacio SUnión A U B
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Probabilidad Condicionada P(A/B) Suc. Independiente
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• P (A ∩ B) = P (B) . P(A/B) = P (A) . P (B/A)
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Probab. de la intersección de sucesos independientes• p(A B) = p(A) · p(B)• Ejemplo• Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a
meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
Probab. de la intersección de sucesos dependientes• p(A B) = p(A) · p(B/A)• Ejemplo• Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas.
¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
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Teorema de BayesTeorema del
producto
• Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles• A ∩B = Ø• p(A B) = p(A) + p(B)• Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al
lanzar un dado.• Probabilidad de la unión de sucesos compatibles• A ∩B ≠ Ø• p(A B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A B) − p(A ∩ C) − p(B ∩ C) +
p(A∩ B ∩C)
• Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.
ESTADISTICA
ETAPAS
Formulación del problemaDiseño del experimentoExperimento y recolección de datosDescripción del resultadoConclusiones
CONCEPTOS
PoblaciónMuestraIndividuoMuestreoValorDato
VARIABLES ESTADÍSTICAS
CuantitativaContinua
Discreta
Cualitativa Nominal
Ordinal
TIPOSDescriptiva
InferenciaL
FRECUENCIASAbsoluta F
Relativa Fr
Relativa Absoluta fa
Relativa Acumulada fr
GRAFICOS
PARAMETROS ESTADISTICOS
Tratamiento de las Variables Cuantitativas Discretas• Ejemplo• Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas
máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
• En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.
xi Recuento F fa Fr fr
27 I 1 1 0.032 0.032
28 II 2 3 0.065 0.097
29 6 9 0.194 0.290
30 7 16 0.226 0.516
31 8 24 0.258 0.774
32 III 3 27 0.097 0.871
33 III 3 30 0.097 0.968
34 I 1 31 0.032 1
31
Tratamiento de las Variables Cuantitativas Continuas
• Datos: 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
ci F fa Fr fr
[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025
[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050
[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125
[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200
[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775
[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425
[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600
[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850
[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950
[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1
40 1
PARAMETROS ESTADISTICOS
DE CENTRALIZACION
Media aritméticaMedianaModa
DE POSICION
CuartilesDecilesPercentiles
DE DISPERSION
Rango o recorridoVarianza Desviación Típica
Fórmulas
Fórmulas• MODA (D A)
• MEDIANA (D A)
• MEDIA
• CUARTILES (D A)
• DECILES
• CENTILES
• VARIANZA
• DESV. TIPICA
• Ejercicio de media aritmética• En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones
que muestra la tabla.
xi fi xi · fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
42 1 820
• Ejemplo• Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente
tabla:
• 100/2 = 50• Clase de la mediana: [66, 69)
fi Fi
[60, 63) 5 5
[63, 66) 18 23
[66, 69) 42 65
[69, 72) 27 92
[72, 75) 8 100
100
DIAGRAMA DE SECTORES
DIAGRAMA DE BARRAS
POLIGONOS DE FRECUENCIA
HISTOGRAMAS
HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS
• Ejemplo• En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan
al fútbol y el resto no practica ningún deporte.
Alumnos Ángulo
Baloncesto 12 144°
Natación 3 36°
Fútbol 9 108°
Sin deporte 6 72°
Total 30 360°
DIAGRAMA DE SECTORES
DIAGRAMA DE BARRAS
POLIGONOS DE FRECUENCIA
HISTOGRAMAS
HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS
• Ejemplo• Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su
grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:
Grupo sanguíneo
fi
A 6
B 4
AB 1
0 9
20
DIAGRAMA DE SECTORES
DIAGRAMA DE BARRAS
POLIGONOS DE FRECUENCIA
HISTOGRAMAS
HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS
• Ejemplo• Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes
variaciones:
Hora Temperatura
6 7º
9 12°
12 14°
15 11°
18 12°
21 10°
24 8°
DIAGRAMA DE SECTORES
DIAGRAMA DE BARRAS
POLIGONOS DE FRECUENCIA
HISTOGRAMAS
HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS
• Ejemplo• El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
ci fi Fi
[50, 60) 55 8 8
[60, 70) 65 10 18
[70, 80) 75 16 34
[80, 90) 85 14 48
[90, 100) 95 10 58
[100, 110) 110 5 63
[110, 120) 115 2 65
65
EjemploEn la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.
fi hi
[0, 5) 15 3
[5, 7) 20 10
[7, 9) 12 6
[9, 10) 3 3
50
DIAGRAMA DE SECTORES
DIAGRAMA DE BARRAS
POLIGONOS DE FRECUENCIA
HISTOGRAMAS
HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS
Arreglos
•Sin repetición
•Con repetición
Permutaciones
•Circulares
•Sin repetición
•Con repetición
Combinaciones
•Sin repetición
•Con repetición
AnálisisCombinatorio
Numeros Combinatorios
Factorial Binomio de Newton
Arreglos
•Sin repetición
•Con repetición
Permutaciones
•Circulares
•Sin repetición
•Con repetición
Combinaciones
•Sin repetición
•Con repetición
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