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Fuerzas eléctricas y campo eléctrico
Física II
Grado en Ingeniería de Organización Industrial
Primer Curso
Joaquín Bernal Méndez Curso 2011-2012
Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla
Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
2/58
Introducción
“Elektron” es un vocablo griego que significa ámbarAl frotar el ámbar éste atrae pequeños objetos (pajitas, plumas,…)La electricidad es un fenómeno muy presente en la vida diaria:
Fenómenos de electricidad estáticaIngeniería: máquinas y motores eléctricos
3/58
Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Carga eléctrica
Evidencia experimental:Dos barras de plástico frotadas con piel se repelen
Dos barras de vidrio frotadas con seda se repelen
La barra de vidrio y la de plástico se atraen
Se dice que las barras están cargadas
Hay dos tipos de carga:Carga positiva
Carga negativa5/58
Propiedades de la cargaCuantización
La carga esta cuantizada:
Donde e es la unidad fundamental de carga, que coincide con el valor absoluto de la carga del electrón
Usualmente N es muy grande
Conservación de la carga
Unidades: culombio (C)Ejemplo: la carga trasvasada al frotar dos objetos es del orden de 50 nC:
6/58
Q Ne
191.60 10 Ce
911
-19
50 50 103 10
1.60 10
nC C
CN
e
Aislantes y conductores
Clasificación de la materia atendiendo a sus propiedades de conducción eléctricaConductores: la carga puede desplazarse por su interior con facilidad
Ejemplo: metales
Aislantes: La carga no puede moverse libremente
Cuando se cargan por frotación la carga queda confinada en la región frotada.Ejemplos: vidrio, caucho, madera.
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Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Ley de Coulomb (I)
Fuerza ejercida por una carga puntualsobre otra
Está dirigida a lo largo de la línea que las uneDisminuye con el cuadrado de la distancia que separa las cargasEs proporcional al producto de las cargasEs repulsiva para cargas del mismo signo y atractiva para cargas de signo contrario
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Balanza de torsión
Ley de Coulomb (II)
Representación matemática:
10/58
1 21 2 122
12
ˆq q
F k rr
2 1 1212
2 1 12
ˆr r r
rr r r
98.99 102
2
Nm
Ck Constante de Coulomb
Medida experimentalmente
1 2F
Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Principio de superposición
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Cuando tenemos un sistema de cargas la fuerza sobre cada carga es la suma vectorial de las fuerzas
individuales ejercidas por cada una de las demás
cargas
Principio experimental
Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Campo eléctrico: introducción
La fuerza entre cargas puede verse como una acción a distancia.
Una visión alternativa es la del campo eléctrico:
Una carga crea un campo eléctrico en todo el espacio: magnitud vectorial
El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre otras cargas
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Campo eléctrico: definición
En un punto colocamos una carga de prueba: q0
No perturba la distribución de cargas original (q0→0)Campo eléctrico: cociente entre la fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula y la carga de la partícula
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0
FE
q
Magnitud vectorial
Dirección de
Independiente de q0
Unidades: N/C
F1q
2q
0q
1 0F
2 0F
F
Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Campo de una carga puntual
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• Tenemos una carga puntual qi
• Situamos una carga de prueba q0
• Ley de Coulomb:
00 2
ˆii ip
ip
q qF k r
r
0
0
ii
FE
q
2ˆi
i ipip
qE k r
r
ipr
pr 0q
ir iq
Oi Punto fuente
p Punto campo
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL
x y
z
iE
Campo eléctrico de unadistribución de cargas puntuales
Principio de superposición para el campo eléctrico
Es una consecuencia del principio de superposición para la fuerzaEl campo eléctrico de la distribución de cargas es la suma vectorial de los campos de cada carga puntual
18/58
3r3q
1r 1q
O
2r 2q
pr
2ˆi
p i ipi i ip
qE E k r
r
x y
z
Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga
Las distribuciones de carga son siempre discretas (cuantización de la carga)Cuando un punto de la distribución de cargas contiene un número muy alto de cargas discretas la distribución puede tratarse como una distribución continua de cargaEjemplo: sustancias líquidas y sólidas que se tratan como distribuciones continuas de masa
20/58
0lim ii
mV
m dm
V dV
V
m m
V
dm dV m dV x y
z
Distribución volumétrica de carga
21/58
x y
zdq dV
r
2ˆ
dqdE k r
r
VP
2ˆ
V
dqE k r
r
Campo debido a un dq:
Campo total debido a la distribución en V :
Distribución volumétrica de carga:
dq dV 2ˆ
V
dVE k r
r
Densidad de carga:
Distribuciones superficial y lineal de carga
Distribución superficial de carga:
Distribución lineal de carga:
22/58
x y
z
x y
z
dq dS
r
P2
ˆS
dSE k r
r
dl
dq dl 2ˆ
L
dlE k r
r
r
P
Ejemplo: Campo sobre el eje de una carga lineal finita
23/58
2 2( ) ( )xP P
kdq k dxdE
x x x x
2( )
L
x LP
dxE k
x x
Pu x x
du dx
2
P
P
x L
x L
duk
u
2 2 2 2
1 1 2x
P P P P
kL kQE k
x L x L x L x L
Px L
x
y
dx
x
Px
P
LL
2
Q
L Distribución uniforme:
xdE
Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Líneas de campo eléctrico
Representación gráfica para visualizar el campo eléctrico
El campo eléctrico es tangente a la línea de campo.
El módulo del campo eléctrico es mayor cuanto más próximas están las líneas de campo entre sí.
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Ejemplo: carga puntual
Sólo dibujamos un número finito de líneas, pero existe el campo en todo el espacioRepresentación bidimensional de un campo tridimensionalLínea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campo
26/58
Ejemplo: carga puntual
Sólo dibujamos un número finito de líneas, pero existe el campo en todo el espacioRepresentación bidimensional de un campo tridimensionalLínea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campo
27/58
Dos cargas positivas iguales
28/58
Cargas iguales con distinto signo: dipolo eléctrico
29/58
Reglas para representar líneas de campo
Salen de las cargas positivas y terminan en las negativasSi hay exceso de carga positiva debe haber líneas que acaban en el infinitoSi hay exceso de carga negativa debe haber líneas que salen del infinitoPara cada carga puntual las líneas se dibujan entrando o saliendo de la carga y:
Uniformemente espaciadasEn número proporcional al valor de la carga
Dos líneas de campo no pueden cruzarse
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Ejemplo:
31/58
Exceso de carga positiva: líneas que terminan en el infinito
Salen 16 líneas equiespaciadas
Entran 8 líneas equiespaciadas
Líneas salen de la carga positiva y entran en la carga negativa
Líneas a distancias grandes
A distancias grandes comparadas con la mayor distancia entre cargas del sistema:
Líneas igualmente espaciadasLíneas radiales
Equivalen a las líneas de una sola carga puntual con carga igual a la carga neta del sistema
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Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Sea una partícula de masa m y carga q en el seno de un campo eléctrico:
Segunda Ley de Newton:
Si el campo es uniforme: movimiento uniformemente acelerado
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q E
F qE
F ma qE
qa E
m
Ejemplo 1: electrón en campo uniforme
35/58
q e
E
F eE F eEi ma
2
2
eE d xa
m dt
0( ) (0)
tv x v adt at
0 eEv t
m
dx
dt
2
0 0 2
t tx x atdt a
20 2
eEx x t
m
Movimiento uniformemente acelerado
x
y
Ejemplo 2: electrón con velocidad perpendicular al campo
Eje y : movimiento rectilíneo uniforme
Eje x : movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
36/58
q e
E
F eE
x
y
La trayectoria del electrón es una parábola, análogamente a la trayectoria de una masa con cierta velocidad inicial en un
campo gravitatorio (tiro parabólico)
0 0y y v t
20 2
eEx x t
m
0v
Dipolo eléctrico
Dipolo eléctrico: dos cargas iguales y de signo contrario separadas por una pequeña distancia L
Momento dipolar eléctrico:
Las moléculas de algunos materialesaislantes son dipolos (moléculaspolares)
Ejemplo: molécula de agua
Las moléculas no polares sometidas a un campo eléctrico se polarizan
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p qL
- + qq L
Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo eléctrico
Campo eléctrico uniforme:No hay fuerza neta sobre el dipolo
Aparece un par de fuerzas:
38/58
Un dipolo eléctrico tiende a alinearse con un campo eléctrico externo
p E
Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo eléctrico
Campo eléctrico no uniforme:De nuevo hay un par de fuerzas que tiende a alinearal dipolo con el campo
Además aparece unafuerza neta sobre el dipolo
Ejemplo: atracción de trocitos de papel por un bolígrafo de plástico cargado
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Un dipolo eléctrico tiende a desplazarse hacia las zonas de campo eléctrico más intenso
Índice
IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico
Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoAcción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Ley de Gauss
Ley general del electromagnetismo
Útil para calcular campos eléctricos
Sólo puede aplicarse para tal fin en situaciones en que la distribución de cargas tenga una alta simetría
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Flujo eléctrico
Magnitud proporcional al número de líneas de campo que atraviesan una superficie
Supongamos E uniforme y superficie perpendicular
42/58
E
EA
A' 'E xE x ' 'A nA n
El flujo aumenta o disminuye proporcionalmente al número de líneas de campo que atraviesan la superficie
Definimos:
Si
Si
FLUJO
Flujo eléctrico
Supongamos una superficie no perpendicular:
43/58
E
2A
1A
n̂
1 2 cosEA EA
E A
En general: ˆ cosE A E nA EA
A1 es perpendicular a las líneas de campo
A1 es atravesada por el mismo número de líneas de campo que A2 :
Flujo eléctrico
Supongamos superficie arbitraria y campo no uniforme
44/58
Flujo total: ; en el límite :
E
ˆin
iA
Tomamos tan pequeña que pueda considerarse:
Superficie plana
Campo eléctrico uniforme
iA
ˆi i i iE n A
ˆi i iiE n A
ˆS SE ndA E dA
0iA
Flujo en una superficie cerrada
45/58
ˆSE ndA
n̂
Ley de Gauss
Suponemos una carga puntual en el centro de una esfera de radio R
El flujo es independiente de R
El flujo es proporcional a la carga dentro de la esfera
46/58
2ˆ n
QE n E k
R
24R R
n nS SE dA E dA E R
Radial
4 kQ
Q
RS
R
Ley de Gauss
Supongamos otras superficies no necesariamente esféricas:
47/58
Q
A todas las superficies las atraviesa el mismo número de líneas
Mismo flujo neto para todas las superficies:
4 kQ
RS1S
2S
Ley de Gauss
Supongamos un sistema de cargas:Principio de superposición:
Para la carga exterior:
48/58
S
3q
1 2 1 2( )S
E E dA
1 24 ( )k q q
3 3 0SE dA
Todas las líneas de campo
que entran por un punto de la superficie salen por otro
1q 2q
Enunciado de la Ley de Gauss
49/58
El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es veces la carga neta dentro de la superficie
4 k
int4nS SE dA E dA kQ
A veces se escribe la constante de Coulomb en función de la permitividad del espacio libre:
0
14 k
12
0 8,85 102
2
C
Nm con int
0
Q
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Es una Ley válida para cualquier superficie ycualquier distribución de cargaA veces es útil para determinar el campoeléctrico debido a una distribución de carga quetiene un alto grado de simetríaLa técnica consiste en emplear la ecuación de laLey de Gauss buscando una superficie deintegración (superficie gaussiana) tal que elcampo eléctrico pueda salir fuera de la integral
Porque En sobre la superficie gaussiana sea constante onulo
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Simetría esférica
Carga puntualSimetría: campo radial
Superficie gaussiana: esfera de radio r
51/58
24 4r r
n n nS SE dA E dA E r kq
2n
qE k
r
rS
rˆnE E n
Simetría esférica
Esfera de radio R con carga Q uniformemente distribuida en su volumen
Superficie gaussiana: esfera de radio r
52/58
r R r R4
rnS
E dA kQ 24nE r
2n
QE k
r
33
int 34 3
rq r Q
R
34 3
Q
R
2int4 4nE r kq
3n
kQE r
R
Esfera con carga uniforme en volumen
53/58
Simetría cilíndrica
Campo debido a una carga lineal uniforme e infinita ( )Simetría: campo radial que depende de la distancia a la línea
Superficie gaussiana: cilindro longitud L y radio r coaxial con la línea de carga
55/58
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆLS S S
E ndA E ndA E ndA E ndA
1S
2SLS
int
0
2n
qE rL
0
L
0
1
2nEr
r
Simetría plana
Plano infinito uniformemente cargadoSimetría: perpendicular al plano e impar en z
Superficie gaussiana: “caja de pastillas”; S1=S2=A
56/58
x y
z n̂
n̂
( )E z
( )E z
n̂
1S
2S
LS
( )E z
1 2
ˆ ( ) ( ) 2 ( )S S
E ndA E z dA E z dA E z A
( ) ( )E z E z int
0
2 ( )q
E z A 0
A
0
22
E k
Simetría plana
57/58
z
zE
Conductor en equilibrio electrostático
En el equilibrio el campo eléctrico en el seno de un conductor debe ser nulo
En caso contrario las cargas libres se desplazarían y no habría equilibrio
Esta situación se alcanza siempre que no exista una fuente de energía externa que mantenga una corriente (como en circuitos con fuentes)
Para buenos conductores (como el cobre) el tiempo que se tarda en alcanzar el equilibrio es del orden de nanosegundos
Consecuencia: la carga netade un conductor en equilibrioelectrostático se encuentraen su superficie
Se puede demostrarusando la Ley de Gauss
58/58
ResumenLa magnitud responsable de la interacción eléctrica de la materia es lacarga eléctrica
Es una magnitud dual (carga positiva y carga negativa).Está cuantizada.La carga se conserva.
La fuerza de interacción entre cargas puntuales viene dada por la Leyde Coulomb.La Ley de Coulomb y el principio de superposición permiten calcularla fuerza que cualquier distribución de carga, sea discreta o continua,ejerce sobre una carga.Se define el campo eléctrico como la fuerza eléctrica ejercida por unadistribución de cargas sobre la unidad de carga en cualquier punto delespacio.El campo eléctrico se calcula, en general, a partir de una expresiónintegral y se representa gráficamente mediante líneas de campo.La Ley de Gauss es una ley fundamental de la física que puedeutilizarse para calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campoeléctrico creado por distribuciones de carga que posean un alto grado desimetría.El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrioelectrostático es nulo 59/58
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