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Funciones Exponenciales
La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:
donde
Ejemplos de funciones exponenciales:
Base 2 Base 3Base 10
Base (1/2)
Def inición
Ejemplos:
Es una función exponencial con base 2.
Veamos con la rapidez que crece:
Si se compara con:
Funciones Exponenciales
Gráfica de la función exponencial
Funciones Exponenciales
Funciones Exponenciales
Gráfica de las funciones
Grafica de las funciones
Función Exponencial Natural
La función exponencial natural es la función exponencial
de base e
El número e es un interesante número que tiene que ver con la naturaleza, la ciencia y la tecnología. Apartir de e se determina la ecuación de la curva de un puente colgante , el tiempo de enfriamiento de un cuerpo , la antigúedad de la materia orgánica por desintegración del carbono 14, el creciemiento de la población y otras
Funciones Exponenciales
Recordar que las características de esta función son las mismas que la función exponencial para a > 1
(0,1)
El numero e es un numero irracional cuyo valor es aproximadamente 2,7182 8182845904523536028747135266…
Gráfica de
Ejemplo estructural
El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola como parecería. Es una función de la forma:
Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir las fuerzas estructurales internas del arco.
Funciones Exponenciales
Ecuación de la curva de un puente colgante
Sea a un número positivo con . La función logarítmica con base a, denotada por se define
Funciones Logarítmicas
Definición
Comparación
Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica
Exponencial: Logarítmica:
Base
Exponente
Base
Exponente
En ambas formas la base es la misma.
Funciones Logaritmicas
© copywriter
Forma Logarítmica
Forma Exponencial
Funciones Logarítmicas
Ejemplo:
Evaluación de logarítmos
Funciones Logaritmicas
Se debe elevar a a la potenciax para obtener .
Propiedad de los logarítmos
Propiedad Razón
Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.
Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.
es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x.
Funciones Logaritmicas
EjemploAplicación de las propiedades logarítmicas
Propiedad 1
Propiedad 2
Propiedad 3
Propiedad 4
Funciones Logaritmicas
Ejemplo : Graficas de funciones logarítmicas
Traza la gráfica de Resolución:
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos.
Funciones Logaritmicas
Familia de Funciones Logarítmicas
Funciones Logaritmicas
Logarítmos ComunesVeamos logarítmos con base 10
© copywriter
Definición:
Logarítmo común
El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base:
Funciones Logaritmicas
Ejemplo :Evaluación de logarítmos comunes
Use una calculadora para hallar los valores apropiados de f(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica.
x Log x
0.01
0.1
0.5
1
4
5
10
-2
-1
-0.30
0
0.602
0.699
1
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
Funciones Logaritmicas
Logarítmo natural
El logarítmo con base e se llama logarítmo natural y se denota por ln:
La función logarítmo natural y = ln x es la función inversa de la
función exponencial, :
4
3
2
1
01 2 3 4 5 5 6
6 5 4 3 2 1
Funciones Logaritmicas
Funciones Logarítmicas
GRÁFICAS PARA
0<a<1
Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.
APLICACIONES
Modelo de crecimiento y decrecimiento de poblaciones
Donde “Ao” es la población inicial.
Si el modelo es de crecimiento la tasa “k” > 0 , si es de decrecimiento la tasa k < 0 .
APLICACIONES
Desintegración radiactiva
Donde “Co” es la cantidad de masa inicial del elemento radiactivo
APLICACIONES
Los elementos radiactivos tienden a disminuir su masa conforme transcurre el tiempo, sea t el tiempo medido en años y C(t) la cantidad medida en gramos del elemento radiactivo, entonces la cantidad de masa C(t) esta dada por :
Ley de enfriamiento de Newton.
k > 0
APLICACIONES
donde “u” es la temperatura del medio, “T” es la temperatura inicial del cuerpo y “K” es la constante de enfriamiento del cuerpo
Modelo logístico de crecimiento
APLICACIONES
Donde a , b y c son constantes, c > 0 y b > 0
MAGNITUD DE UN TERREMOTO
APLICACIONES
Donde I es la intensidad del terremoto e Io es la intensidad de un terremoto estándar de referencia
Para medir la magnitud de un terremoto se realizan lecturas en un sismógrafo que deben ser representadas en una escala por ejemplo : La Escala Richter cuya magnitud se halla :
Interés compuestoEl interés compuesto se calcula mediante la fórmula
donde: A(t) = cantidad después de t años
P =Capital o valor actualr = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años
APLICACIONES
Interés compuesto en forma continua
El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula:
donde A(t) = cantidad después de t añosP = capital o valor actualr = tasa de interés por añot = número de años
APLICACIONES
Modelo exponencial para la diseminación de un virus
Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:
CALCULAR:1. Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día, despues de dos dias y después de cinco días.
c) Haz la gráfica de la función y describe su comportamiento.(puedes utilizar la hoja de cálculo y la calculadora WIRIS)
Practicando lo aprendido
Problema Nº01
Interés compuestoEl interés compuesto se calcula mediante la fórmula
donde: A(t) = cantidad después de t años
P = Principal
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años
Practicando lo aprendido
Problema Nº02 Cálculo del interés compuesto
Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario.:DatosP = 1000r = 12% = 0.12t = 3Luego estos datos se reemplazan en A(t) donde n= 1, 2, 4, 12, 365 para anualmente, semestralmente, trimestral, mensualmente y diariamente respectivamente . Los cálculos y resultados se muestran en la siguiente tabla:
Practicando lo aprendido
RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 02:
Capitalización n Cantidad después de tres años
Anual 1
Semianual 2
Trimestral 4
Mensual 12
Diaria 365
Practicando lo aprendidoUtiliza Wiris para los cálculos y completa unaTabla como ésta en Writer
Practicando lo aprendido
Interés compuesto en forma continua
El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula
donde A(t) = cantidad después de t añosP = principalr = tasa de interés por añot = número de años
Problema Nº03
Practicando lo aprendido
RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 03:
Calcular el interés compuesto de manera continua
• Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua.
Datos: P = 1000 r = 0.12 y t = 3
Por lo tanto la cantidad después de tres años es $ 1433.33 ( compararlo con el ejemplo anterior)
Problema Nº 04
Practicando lo aprendido
RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 04:
Magnitud de un sismo• El terremoto de Lima de 1940 tuvo una magnitud de 8,2 ¿Qué tan intenso fue
el sismo de Ica del 15 de Agosto de 2007de 1,9 ?
Considerando
Luego el sismo de 2007 fue aproximadamente la mitad de intenso que el sismo de 1940
Problema Nº 05
Practicando lo aprendido
RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 05:
Desintegración de una sustancia• Una sustancia radiactiva se desintegra siguiendo una función exponencial . La
cantidad inicial de masa es de 10 gramos pero después de 200 años la masa se reduce a 2 gramos. Calcular la cantidad de masa después de 100 años
i) Como la sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a
Para Co = 10 se tiene
ii) Ademas C(200) =2
Luego reemplazando k en i) se tiene:
iii) Nos piden C(100)
Luego la cantidad de masa después de 100 años es de 4,47 gramos aproximadamente
Practicando lo aprendido
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