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I. Ecuaciones diferenciales de primer orden1. Teoría básica y métodos de solución. 2. Breviario de aplicaciones físicas.
II. Ecuaciones diferenciales de segundo orden1. Ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes. 2. Ecuación de Euler-Cauchy. 3. Ecuaciones heterogénea y métodos de solución.
Coeficientes indeterminados y variación de parámetros. 4. Solución en series de potencias. 5. Ecuaciones diferenciales de Bessel, Legendre, Hermite y Laguerre 6. Solución usando transformada de Fourier.7. Funciones especiales: gamma y error.
III. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales1. Ecuaciones lineales y separación de variables. 2. Problemas de condición de frontera, valores propios y funciones
propias. 3. Ecuaciones especiales: de difusión, de onda y de Laplace. 4. Solución en series de Fourier.
Supón que un tunel recto es cavado entre dos puntos
cualesquiera de la tierra. Si se pone en un extremo del
tunel un tren que se desliza sin fricción sobre unos
rieles, llegará hasta el otro extremo del tunel a través
de la tierra por su propio peso, se detendrá en el otro
extremo del tunel y regresará al punto de partida.
Muestra que el tiempo que tarda el viaje redondo es
el mismo para todos los tuneles posibles, y calcula
su valor.
0
R r
x
A
Supón que un tunel recto es cavado entre dos puntos
cualesquiera de la tierra. Si se pone en un extremo del
tunel un tren que se desliza sin fricción sobre unos
rieles, llegará hasta el otro extremo del tunel a través
de la tierra por su propio peso, se detendrá en el otro
extremo del tunel y regresará al punto de partida.
Muestra que el tiempo que tarda el viaje redondo es
el mismo para todos los tuneles posibles, y calcula
su valor.
0 0cos cos cosg
x t R R tR
0
R
d
A 2 0
R
0
2 2 2 20 0
2 2 2 20
0
0
2 2 cos( 2 ) 2 1 cos( 2 )
2 2cos 4 c
2 cos
os
d R R R
R R
d R
Supón que un tunel recto es cavado entre dos puntos
cualesquiera de la tierra. Si se pone en un extremo del
tunel un tren que se desliza sin fricción sobre unos
rieles, llegará hasta el otro extremo del tunel a través
de la tierra por su propio peso, se detendrá en el otro
extremo del tunel y regresará al punto de partida.
Muestra que el tiempo que tarda el viaje redondo es
el mismo para todos los tuneles posibles, y calcula
su valor.
2 RTg
5066 segundos
84 minutos y 26 segundos
T
Supón que un tunel recto es cavado entre dos puntos
cualesquiera de la tierra. Si se pone en un extremo del
tunel un tren que se desliza sin fricción sobre unos
rieles, llegará hasta el otro extremo del tunel a través
de la tierra por su propio peso, se detendrá en el otro
extremo del tunel y regresará al punto de partida.
Muestra que el tiempo que tarda el viaje redondo es
el mismo para todos los tuneles posibles, y calcula
su valor.
0 0cos cos cosg
x t R R tR
2 RTg
0
R
d
A 2 0
R
0
Este salón: Latitud 19.03 N, longitud 98.31 O
El Crazy Horse en París: Latitud 48.87 N, longitud 2.30 E
Radio de la Tierra 6371 km
Coordenadas esfé {6371,1.23r 8ic 7,as d 1.el sal 7158}ón:
Coordenadas es
0
féricas del CH:
Coordenadas cartesianas del salón:
Coordenadas cartesianas del
{6371,0.7178,0.0401}
{ 870.47, 5959.58,2077.35}
{4187.27,168.18,4798.76}
Distancia por el túnel 8,398.59 km
C :
48.8
H
, , sin( ) cos( ), sin( )sin( ), cos( )
ˆ ˆcos( )sin( ) sin( )sin( ) cos( )ˆ ˆcos( )cos( ) cos( )sin( ) sin( )
ˆ ˆsin( ) cos( ) 0
x y z r r r
r i
j
k
0
Este salón: Latitud 19.03 N, longitud 98.31 O
La antípoda oceano índico : Latitud 19.03 S, longitud 81.69 E
Radio de la Tierra
Distancia por el túnel
6371
12,742 km
0.0
km
, , sin( ) cos( ), sin( )sin( ), cos( )
ˆ ˆcos( )sin( ) sin( )sin( ) cos( )ˆ ˆcos( )cos( ) cos( )sin( ) sin( )
ˆ ˆsin( ) cos( ) 0
x y z r r r
r i
j
k
2
20
d y dyb c
dx dxx x y
2 2
1) es solución particular, si 0
2) es solución particular, si 2 2 0
3) es solución particular, si 1 0
4) es solución particular, si 1 0
5) es solución
x
x
x
y x b x xc x
y x xb x x c x
y e b x c x
y e b x c x
y e
2particular, si 1 0
b x c x
2
20
d y dyb c
dx dxx x y
2
2
2
1) es solución particular,
si 1 0
2) es solución particular,
si 1 0
3) ln es solución particular,
si 1 ln 0
n
x
y x
n n nb x x c x x
y e
b x c x
y x
xb x x x c x
1 2 3
Una sucesión es un conjunto de números
reales , , ,..., ,...
con un orden definido (por ejemplo, en
correspondencia con los números enteros)
y formados o calculados de acuerdo a una
regla especí
iu u u u
fica y bien definida.
Una sucesión de números reales
es una función cuyo dominio
son los números naturales
y su contradiminio son los reales.
:
N
s N R
1 2 3Una sucesión es un conjunto de números , , ,..., ,...
con un orden definido (por ejemplo, en correspondencia
con los números enteros) y formados o calculados de acuerdo
a una regla específica y bien
iu u u u
definida.
* Cada uno de los números de la sucesión se
llama término
* El número es llamado el término esimo
* La sucesión puede ser finita o infinita
* Por brevedad, muchas veces se le designa
n
n
u n
u
2
1,2,3,4,..., ,...
1,4,9,16,..., ,...
1, 1/ 2, 1/3, 1/ 4,..., 1/ ,...
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... Serie de Fibonacci
n
n
n
1 2 3Una sucesión es un conjunto de números , , ,..., ,...
con un orden definido (por ejemplo, en correspondencia
con los números enteros) y formados o calculados de acuerdo
a una regla específica y bien
iu u u u
definida.
Un número es llamado el límite de una sucesión
infinita, si para cualquier número positivo
podemos encontrar un entero positivo ,
dependiente de , tal que
para todos los enteros
Se esc i
.
r
n
l
N
l u
n N
be lim nn
u l
entero igual o mayor
1Sea la sucesión
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ....
1Es claro,
1Dado basta hace
que i 0
r
l m
n
N
n
n
Sea la sucesión 1
1, 1,1, 1,1, 1,1,...
Es claro que esta sucesión no tiene
un límite
n
Sea la sucesión : 1
lim 0
n
n
n
x x
x
1/
1/
Sea la sucesión
lim 1
n
n
n
n
n
1Sea la sucesión 3
1lim 3 3n
n
n
* Cuando el límite existe,
se dice que la sucesión converge a
* Si el límite no existe
se dice que diverge o que no converge
l
Un número es llamado el límite de una sucesión infinita,
si para cualquier número positivo podemos encontrar un
entero positivo , dependiente de , tal que
-
para todos los enteros .
n
l
N
l u
n N
lim y lim
1) lim lim lim
2) lim lim lim
3) lim lim lim
n nn n
n n n nn n n
n n n nn n n
n n n nn n n
a A b B
a b a b A B
a b a b A B
a b a b AB
lim y lim
lim4) lim
lim
siempre y cuando 0
Si 0 y 0 el límite no existe
Si 0 y 0 el límite puede ó no existir
n nn n
nn n
nn n
n
a A b B
aa A
b b B
B
B A
B A
lim
lim y lim
5) lim lim
siendo cualquier número real y siempre que exista
6) lim
siendo cualquier número real y siempre que exista
nn n
n nn n
pp pn nn n
p
aa A
n
A
a A b B
a a A
p A
p p p
p p
Se escribe
lim
cuando dado , 0, existe tal que
siempre que
Nota. El infinito no es un número y estas
sucesiones no convergen.
Lo que se indica es cómo divergen
nn
n
a
M R M N M
a M
n N M
Se escribe
lim
cuando dado , 0, existe tal que
siempre que
Nota. El infinito no es un número y estas
sucesiones no convergen.
Lo que se indica es cómo divergen
nn
n
a
M R M N M
a M
n N M
lim
: 1
lim
n
n
n
n
n
n
x x
x
Sea una sucesión
Sea un real constante
Si para toda 1,2,3,...
se dice que
la sucesión está acotada superiormente
es una cota superi r
.
o
n
n
M
u
M
u M n
Un número es la mínima cota superior
de una sucesión si , para
1,2,3,... , y al menos un término es
mayor que para cualquier
n n
M
u u M
n
M
Sea una sucesión
Sea un real constante
Si para toda 1,2,3,...
se dice que
la sucesión está acotada inferiormente.
es una cota inferior.
n
n
u
m
u n
m
m
Un número es la máxima cota inferior
de una sucesión si , para
1,2,3,... , y al menos un término es
menor que para cualquier
n n
m
u u m
n
m
Sea una sucesión
Sean y reales constantes
Si para toda 1,2,3,...
se dice que
la sucesión está acotada.
Muchas veces esto se indica como
n
n
n
u
M m
m u M n
u P
Sea una sucesión. Sean y reales constantes.
Si para toda 1,2,3,... se dice que la
sucesión está acotada.
n
n
u M m
m u M n
* Una sucesión convergente es acotada.
* Lo inverso no es necesariamente cierto.
Es decir, una sucesión acotada, no
necesariamente converge.
1
Sea una sucesión
Si
para toda ,
se dice que la sucesión es
monotonamente creciente.
n
n n
u
u u
n
1
Sea una sucesión
Si
para toda ,
se dice que la sucesión es
estrictamente creciente.
n
n n
u
u u
n
1
Sea una sucesión
Si
para toda ,
se dice que la sucesión es
monotonamente decreciente.
n
n n
u
u u
n
1
Sea una sucesión
Si
para toda ,
se dice que la sucesión es
estrictamente decreciente.
n
n n
u
u u
n
Si una sucesión es monótona
ya sea creciente o decreciente
y acotada,
entonces su límite existe.
nu
Un número es el límite superior de la
sucesión si un número infinito de
términos de la sucesión son mayores que
mientras que solamente un número
finito de términos son mayores que ,
siendo cu
n
l
u
l
l
alquier real positivo
Un número es el límite inferior de la
sucesión si un número infinito de
términos de la sucesión son menores que
mientras que solamente un número
finito de términos son menores que ,
siendo cu
n
l
u
l
l
alquier real positivo
Si un número infinito de términos
de la sucesión excede
cualquier número positivo ,
se define
lim sup
n
n
u
M
u
Si un número infinito de términos de la
sucesión son menores que ,
siendo cualquier número positivo,
se define
lim inf
n
n
u M
M
u
1) Aún cuando no toda sucesión acotada
es necesariamente convergente, siempre
tiene un límite superior y un límite inferior.
2) Una sucesión converge si y sólo si,
lim sup liminf y es finiton
n n
u
u u .
Una sucesión converge si y sólo si para
toda >0 podemos encontrar un número
tal que para
Nota.- Este criterio de convergencia tiene
la ventaja de que no
to
es
dos ,
necesario conocer
el
n
p q
u
N
u u p q N
límite
1 21
La suma
... ...
es una serie infinita
n nn
S u u u u
1
0
Sumas parciales:
Denotamos como a la
sucesión de sumas parciales.
n
n nn
n
S u
S
1 21
La suma
... ...
es una serie infinita
n nn
S u u u u
1
0
Su valor, en caso de existir, es el límite de
la sucesión de sumas parciales , es decir,
lim lim
n
n
n nn nn
S
S S u
1 21
La suma
... ...
es una serie infinita
n nn
S u u u u
Si existe se dice que la serie converge,
en caso contrario que no converge o que
lim
diverge.
nnS S
1 21
La suma
... ...
es una serie infinita
Su valor, en caso de existir, es el límite de la sucesión
de sumas parciales , es decir, lim .
n nn
n nn
S u u u u
S S S
1
0
Si tenemos
1
así que la serie dive
1
rge.
n
nk
S n
x
0
La serie geométrica: k
k
S x
1
0 1
Si tenemos
1
y
1
1
1n n
k k nn n
k k
n
n
S xS x x x
xS
x
x
0
La serie geométrica: k
k
S x
0
11) Si 1 tenemos que
1
2) Si 1 ó 1 , diverge
1La serie converge a si 1
1
y diverge si 1
n
n
k
k
x Sx
x S
S x xx
x
0
1 ; 1 ;
1
nk
nk
xS x x S
x
0
0
* El inverso no es cierto, es decir, si lim 0,
la serie puede o no converger.
* Esto implica que si el esimo término de
1) Si la serie converge, entonces lim
la se
.
rie
0
nn
n
n
n
n nn
u u
u
u
n
no se
acerca a cero, la serie necesariamente es divergente.
* La condición lim 0 es necesaria, pero no suficientennu
2) La multiplicación de cada uno de los términos
de la serie por una constante diferente de cero
no afecta la convergencia o la divergencia.
3) Quitar o poner un número finito de términos
de una serie no efecta la convergencia o la
divergencia
0
0
a) Convergencia.
Sea 0 para todo y supongamos
que converge. Entonces si 0
para todo , también converge
n
n n nn
nn
v n N
v v u
n N u
0
0
b) Divergencia.
Sea 0 para todo y supongamos
que diverge. Entonces si
para todo , también diverge
n
n n nn
nn
v n N
v u v
n N u
0 0
a) Si 0 y 0 y si lim 0 ó ,
entonces ambas series, y ,
convergen ó ambas divergen
nn n
nn
n nn n
uu v A
v
u v
0
0
b) Si 0 y 0 y si
lim 0 y converge,
entonces converge
n n
nn
nnn
nn
u v
uv
v
u
0
0
c) Si 0 y 0 y si
lim y diverge,
entonces diverge
n n
nn
nnn
nn
u v
uv
v
u
0
0
Utilizando los criterios anteriores con 1/
y suponiendo que lim , tenemos
i) Si 1 y es finito entonces converge
ii) Si 1 y 0 (puede ser infinito)
entonces diverge
pn
pnn
nn
nn
v n
n u A
p A u
p A
u
23 3
0
1/ 21/ 2
0
1 converge puesto que lim
4 2 4 2 4
ln ln diverge puesto que lim
1 1
nn
nn
n nn
n n
n nn
n n
0 1 20
1
Sea la serie ...
Sea lim
Entonces la serie
a converge (absolutamente) si 1
b diverge si 1
Si 1 el criterio falla.
nn
n
nn
u u u u
u
u
0
0
absolutamente conve
Una serie es llamada
si converge
rgente
nn
nn
u
u
0 0
, es decir,
Una serie abso
si
lutamente conver
converge entonces converge.
gente
es convergente
n nn n
u u
0
Una serie es absolutamente convergente si convergenn
u
0
0
condicionalmente converge
Una serie es llamada
si converge,
pero diverge
nte
nn
nn
u
u
Los términos de una serie
pueden ser reordenados en
cualquier orden y la serie
co
absolutamente converge
nvergerá a la misma
nte
suma
Si los términos de una serie
son adecuadamente reordenados,
la serie resultante puede
diverger o converg
condicionalmente convergent
er
a cualquier valor d
e
eseado
0
0 0
0
0 0
Si y son series convergentes,
con sumas y respectivamente, entonces
converge a
es decir,
+k
k kk k
k k
k k kk k k
k
a b
a b
a b b
a b
a
b a
0
0 0
0
0 0
Si y son series convergentes,
con sumas y respectivamente, entonces
converge a
es decir,
k k k kk k k
k kk k
k kk
a b
a b
a
a b
b a
a b
b
0
0
0
0
Si es una serie convergente
con suma y es un número real, entonces
converge a
es decir,
k kk
k
k
k
k
k
ca c a
a
a c
ca ca
La de series
absolutamente convergentes
es absolutamente con
La series absolutamente convergentes
puede
suma, difer
n ser trata
encia y pr
das como s
od
er
ve
ie
rgent
s fin
e
i
uct
.
o
tas.
Consideraremos sucesiones del tipo
donde todos y cada uno de los elementos
de la sucesión son funciones, ya sea
: , para toda 1,2,3,...
ó
: para toda 1,2,3,...
n
i
i
f
f a b R R i
f D C C i
Una sucesión de funciones
es una función cuyo dominio
son los números naturales
y su contradiminio el espacio
de funciones
N
Para cada en el dominio de las funciones ,
podemos formar la sucesión de números
Sea el conjunto de puntos en los cuales la
sucesión converge.
n
n
n
x f x
f x
S x
f x
Sucesión de funciones nf
Definimos la función como
lim si nn
f
f x f x x S
Sucesión de funciones
lim existe
n
nn
f
S x R f x
Sucesión de funciones
lim existe
: tal qu i l me nn
n
nn
f
S x R f x
f R R xS f x f
converge punto a
La sucesión de funciones
a
en el con
pu
ju
nt
n
o
to
nf
f
S
Dadas ciertas propiedades de las funciones
en la sucesión nos interesa saber cómo serán
las propiedades de las funciones a las cuales
convergen.
Por ejemplo, si las funciones de la sucesión
son continuas, ¿será continua la función a la
que convergen?
¿Cómo son las derivadas y las integrales?
21 para 0 1n
nf x nx x x
Es claro que
lim 0 para 0 1
La sucesión tiende punto a punto a la
función 0 en todo el intervalo 0,1
nnf x x
21 para 0 1
lim 0 para 0 1
n
n
nn
f x nx x x
f x x
1
0
Entonces claro que
lim 0nnf x dx
21 para 0 1n
nf x nx x x
1121 12
0 00
1
0
Tomemos ahora
1 11
2 1 2 1
1Por tanto lim
2
n
n
n
nn
xn nf x dx n x x dx
n n
f x dx
21 para 0 1n
nf x nx x x
1 1
0 0
Por tanto,
10 lim lim
2n nn n
f x dx f x dx
Una sucesión de funciones
a en un conjunto ,
si para toda 0 existe una (que depende
sólo de y no de ) tal que si
converge uniforme
, entonces
para todo
Se denota
mente n
n
f
f S
N
x n N
f x f x x S
f
uniformemente en n f S
Sea :
La función es continua en
el punto si:
i) existe
ii) lim existe
iii) limx a
x a
f D R R
f
a D
f a
f x
f x f a
0
0
Si una sucesión de funciones
a
en un conjunto , y cada una de las
funciones es continua en un
punto en , entonces la fu
converge uniformemen
nción límite
también es continua en
te
.
n
n
f
f
S
f
x S
x
1
1
1
Si y si punto a punto en ,
entonces
lim
para todo .
La serie converge punto a punto en a
n
n k nk
n kn
k
kk
f x u x f f S
f x f x u x
x S
S f
u x f
1
1
1
Si y si uniformemente en ,
entonces
lim
para todo .
La serie converge uniformemente en a
n
n k nk
n kn
k
kk
f x u x f f S
f x f x u x
x S
S f
u x f
1
0
0
Si una serie de funciones converge
uniformemente en a una función suma ,
y cada uno de los términos es continua en un
punto de , entonces la suma también es
continua en el punto .
Es deci
kk
u x
S f
x S
x
1 1
r,
lim limk kx p x p
k k
u x u x
Supongamos que uniformemente en
un intervalo , y supongamos que cada
función es continua en , .
Definimos una nueva suce
Entonces uni
sión como
si ,
y sea
fo
r
n
n
n
x
n n
a
n
x
a
f f
a b
f a b
g
g x f t dt x a b
g x f t
g
dt
g
memente en .,a b
Supongamos que uniformemente
en un intervalo , y supongamos que
cada función es continua en , .
Entonces
lim lim
uniformemente en ,
n
n
x x
n nn n
a a
f f
a b
f a b
f t dt f t dt
a b
1
1
Supongamos que una serie de funciones
converge uniformemente a una
función suma en el intervalo , , siendo
cada continua en , .
Si , , se define
y
Entonces
n
kk
k
x xn
n kk a a
u x
f a b
u x a b
x a b
g x u t dt g x f t dt
uniformemente en , .ng g a b
1
1 1
Supongamos que una serie de funciones
converge uniformemente a una
función suma en el intervalo , ,
siendo cada continua en , .
Si , ,
lim lim
uniformemen
n
kk
k
x xn n
k kn nk ka a
u x
f a b
u x a b
x a b
u t dt u t dt
te en , .a b
1 1
1
Supongamos que una serie de funciones
converge uniformemente a una
función suma en el intervalo , ,
siendo cada continua en , .
Si , ,x x
k kk ka a
n
kk
k
u x
f a b
u x a b
x a b
u t dt u t dt
1
1
1
Supongamos que una serie de funciones
converge a en el intervalo , .
Si cada una de las derivadas es continua en ,
y si converge uniformemente en , ,
entonces,
n
kk
k
n
kk
kk
u x f a b
u a b
u x a b
f u x
1
1
1
Supongamos que una serie de funciones
converge a en el intervalo , .
Si cada una de las derivadas es continua en ,
y si converge uniformemente en , ,
entonces,
n
kk
k
kk
k
n
kk
u x f a b
u a b
u x a b
dudu x
dx
1k
x
dx
Dadas ciertas propiedades de las funciones
en la sucesión nos interesa saber cómo serán
las propiedades de las funciones a las cuales
convergen.
Por ejemplo, si las funciones de la sucesión son
continuas, ¿será continua la función a la que
convergen?
¿Cómo son las derivadas y las integrales?
La convergencia uniforme es la respuesta
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