Introducción a Transferencia de Calor y Masa (6731) · Organizacion de la clase´ 1 Inter´es y...

Introduccion a Transferenciade Calor y Masa (6731)

Juan D’Adamo

Departamento de Ingenierıa Mecanica Facultad de IngenierıaUniversidad de Buenos Aires

13 de abril de 2020J. D’Adamo (FI UBA) Introduccion a Transferencia de Calor y Masa (6731) 14 de abril de 2020 1 / 16

Organizacion de la clase

1 Interes y modos de transferencia

2 Relaciones termodinamicas.3 Campos de Temperatura y Flujos

de calor4 Ley de Fourier

5 Mecanismos de conduccion.GasesLıquidos.Solidos

6 Ecuacion general de laConduccion

J. D’Adamo (FI UBA) Introduccion a Transferencia de Calor y Masa (6731) 14 de abril de 2020 2 / 16

1 Interes y modos de transferencia2 Relaciones termodinamicas.

3 Campos de Temperatura y Flujosde calor

4 Ley de Fourier

1 Interes y modos de transferencia2 Relaciones termodinamicas.3 Campos de Temperatura y Flujos

de calor

4 Ley de Fourier

5 Mecanismos de conduccion.

GasesLıquidos.Solidos

5 Mecanismos de conduccion.Gases

Lıquidos.Solidos

5 Mecanismos de conduccion.GasesLıquidos.

Solidos6 Ecuacion general de la

Conduccion

Interes, motivacion.

Un esquema de procesos en la naturaleza.

Radiación térmica

infrarroja a través de

la vegetaciónEvaporación

Radiación

térmica

infrarroja

desde el

animal

Luz del sol

re�ejada.Polvo y

partículas.

del sol

directa.

Luz dispersa.

Convección

del viento.

Radiación tér-

mica infrarroja

desde el suelo.

Interes, motivacion.

Innumerables problemas yaplicaciones de Ingenierıa,de las mas diversas esca-las involucran procesos detransferencia de calor. Inter-cambiadores de calor, calderas,invernaderos, calentamientoglobal, colectores solares, disenode microelectronica, . . ..

Modos de transferencia de calor.

La transferencia de calor porconduccion ocurre cuando laspartıculas individuales del medioconsiderado interactuan por con-tacto directo. La interaccion escausada por la diferente tempera-tura que poseen las partıculas, yes de escala molecular.

La conveccion es caracterıstica de los medios fluidos. Los flujos de calor por con-veccion se asocian al transporte de masas de fluido, a distinta temperatura, de unaregion a otra.

La radiacion termica es la trans-mision a traves de ondas elec-tromagneticas. La emision deenergıa de un cuerpo a otro rela-ciona a sus superficies en el casode solidos o a volumenes cuandohay gases que participan.

Transferencia de masa: Un mo-do particular de transferencia decalor puede ocurrir cuando haymas de una especie o fase presen-te en un problema. Consideremosuna torre de enfriamiento.

Aire Húmedo

Variables, planteo.

Controlar los procesos de transferencia de calor.Modificar las temperaturas asociadas a un problema ası como aumentar odisminuir la velocidad del flujo de calor.

Nos interesaremos por la descripcion espacial de estos fenomenos:

T = T(x, y, z, t) Q = Q(x, y, z, t) (1)

=⇒ diseno sobre la geometrıa, materiales, la mecanica de fluidos, modelospara el control, por ejemplo:

Dimensionamiento de aislaciones edilicias.

Introduccion de aletas disipadoras en radiadores para motores,intercambiadores, componentes electronicos.

Optimizacion de forma de la superficie de intercambio de un calefactor, o de unevaporador de una unidad de aire acondicionado.

Control de la temperatura de una instalacion frigorıfica.

Utilizacion de materiales refractarios en hornos

Variables, planteo.

T = T(x, y, z, t) Q = Q(x, y, z, t) (1)

Variables, planteo.

T = T(x, y, z, t) Q = Q(x, y, z, t) (1)

Variables, planteo.

T = T(x, y, z, t) Q = Q(x, y, z, t) (1)

Variables, planteo.

T = T(x, y, z, t) Q = Q(x, y, z, t) (1)

Variables, planteo.

T = T(x, y, z, t) Q = Q(x, y, z, t) (1)

Relaciones termodinamicas.

Para un sistema monofasico, cerrado y en equilibrio, la ecuacion de la energıase escribe

du = −p dv + T ds (2)

Recordemos tambien la definicion de la entalpıa como funcion de estadoh = u + pv y su forma diferencial:

dh = v dp + T dS (3)

Para un sistema que no cambia su volumen, dv = 0 y dW = 0,podemosdefinir desde (2) el calor especıfico a volumen constante, Cv [J/kg K] :

Cv = T(∂s∂T

du = −p dv + T ds (2)

Cv = T(∂s∂T

du = −p dv + T ds (2)

Para un sistema que no cambia su volumen, dv = 0 y dW = 0,

podemosdefinir desde (2) el calor especıfico a volumen constante, Cv [J/kg K] :

Cv = T(∂s∂T

du = −p dv + T ds (2)

Cv = T(∂s∂T

Para un proceso a presion constante isobarico reversible, el cambio deentalpıa es equivalente al calor que entra/sale del sistema: dh = dQp

Luego, el calor especıfico a presion constante:

Cp = T(∂s∂T

La diferencia entre los calores especıficos nos permite caracterizar al medio.

Cp − Cv = vTβ2p/κT

siendo los coeficientes de expansividad isobarica βp =1v

(∂v∂T

y de compresibilidad isoterma: κT = −1v

(∂v∂p

En un gas, Cp − Cv = R. En solidos/lıquidos, β2p/κT → 0.

Cp = T(∂s∂T

(∂v∂T

(∂v∂p

Cp = T(∂s∂T

(∂v∂T

(∂v∂p

Cp = T(∂s∂T

(∂v∂T

(∂v∂p

Cp = T(∂s∂T

(∂v∂T

(∂v∂p

Cp = T(∂s∂T

(∂v∂T

(∂v∂p

En un gas, Cp − Cv = R.

En solidos/lıquidos, β2p/κT → 0.

Cp = T(∂s∂T

(∂v∂T

(∂v∂p

Campos de Temperatura y Flujos de calor

Isotermas en T = cte

Curva isoterma para problemas 2D.

∇T = n0∂T/∂n varıa en el espacioy su modulo depende de la rapidezdel cambio de T en la direccion ~n.

dS superficie isoterma diferencial apartir de una normal ~n.

Es atravesada por una cantidad decalor dQ.

Por unidad de tiempo dQ/dt.

densidad de flujo de calor segun:

Flujos de calor. Ley de Fourier.

Para evaluar el flujo total de calor a traves de la superficie S:

∫q · ndS (6)

Para q · n > 0 el calor “sale” y en caso contrario entra al sistema.La Ley de Fourier establece que el vector densidad de flujo de calor que pasaa traves de una superficie isoterma dS es proporcional al gradiente detemperatura ∂T/∂n:

q = −λ∂T∂n

n = −λ∇T [J] (7)

El calor va desde regiones de mayor a menor temperatura, por ello el signo (-).El factor de proporcionalidad λ es una propiedad fısica del material, la conductividadtermica. Este valor se puede suponer, en una gran cantidad de casos practicos, decomportamiento lineal respecto de la temperatura.

∫q · ndS (6)

Para q · n > 0 el calor “sale” y en caso contrario entra al sistema.

La Ley de Fourier establece que el vector densidad de flujo de calor que pasaa traves de una superficie isoterma dS es proporcional al gradiente detemperatura ∂T/∂n:

q = −λ∂T∂n

n = −λ∇T [J] (7)

∫q · ndS (6)

q = −λ∂T∂n

n = −λ∇T [J] (7)

∫q · ndS (6)

q = −λ∂T∂n

n = −λ∇T [J] (7)

∫q · ndS (6)

q = −λ∂T∂n

n = −λ∇T [J] (7)

El calor va desde regiones de mayor a menor temperatura, por ello el signo (-).

El factor de proporcionalidad λ es una propiedad fısica del material, la conductividadtermica. Este valor se puede suponer, en una gran cantidad de casos practicos, decomportamiento lineal respecto de la temperatura.

∫q · ndS (6)

q = −λ∂T∂n

n = −λ∇T [J] (7)

Conductividad, Isotropıa.

La expresion (7) es cierta para materiales isotropos. Si el material presenta uncomportamiento distinto segun la direccion, es necesario una magnitudtensorial que relacione q con ∇T:

q = −¯λ · ∇T (8)

material λ [W/m K]

Cobre 400Aluminio 250

Hierro 50Acero inoxidable 15

Vidrio 0.8Lana de vidrio 0.04

Aire 0.026

Cuadro: Valores tıpicos de conductividad de algunos materiales a 25◦C.

Mecanismos de conduccion.Gases.

Para temperaturas moderadamente bajas, la teorıa cinetica de gases predicecon buena exactitud la conductividad termica.De Termodinamica, sabemos que la temperatura es una manifestacion de laagitacion termica en un gas.

K T =m w2

siendo w la velocidad molecular, m la masa de una molecula y K la constante deBoltzmanna

aSe relaciona con la constante universal de los gases R y el numero de Avogadro NA segun:K = R/NA.

K T =m w2

siendo w la velocidad molecular, m la masa de una molecula y K la constante deBoltzmanna La teorıa cinetica demuestra que la conductividad λ valeb:

λ =13|w| `c Cv ρ ∝

√T (10)

aSe relaciona con la constante universal de los gases R y el numero de Avogadro NA segun:K = R/NA.

bdonde w es la velocidad media de las moleculas, `c ≈ 1/(ρπσ) es el libre camino medio,σ es la seccion eficaz de las moleculas, Cv y ρ.

Mecanismos de conduccion.Lıquidos.

El mecanismo de conduccion en lıquidos puede asimilarse a la propagacionde ondas elasticas1.

1Introducido por A.S.Predvoditelev[1948].J. D’Adamo (FI UBA) Introduccion a Transferencia de Calor y Masa (6731) 14 de abril de 2020 12 / 16

El mecanismo de conduccion en lıquidos puede asimilarse a la propagacionde ondas elasticas1.Se confirman con exito los resultados experimentales de varios lıquidos. Sepropuso una expresion del tipo:

λ =cCpρ

m1/3 (11)

El mecanismo de conduccion en lıquidos puede asimilarse a la propagacionde ondas elasticas1.Se confirman con exito los resultados experimentales de varios lıquidos. Sepropuso una expresion del tipo:

λ =cCpρ

m1/3 (11)

donde Cp es el calor especıfico del lıquido a presion constante y c es la velocidad dela propagacion de la onda elastica en el medio.

Mecanismos de conduccion.Solidos.

Puede dividirse en 2 grandes subconjuntos:

Solidos metalicos. La migracion de los electrones libres la responsable lala transferencia de calor. λe

Solidos no metalicos o dielectricos, transmiten el calor principalmente apartir de vibraciones de su red cristalina. La cuantificacion de esemovimiento se da por los fonones (λph) (cuasi-partıculas).

Se cumple que λe � λph y que en general, buenos conductores de laelectricidad son buenos conductores termicos.

Ecuacion general de la ConduccionA partir de la ecuacion del primer principio de la termodinamica para unsolido (W = 0)

la reescribimos ecuacion para sistemas extensos, donde T = T(x, y, z, t)

ρVCp∂T∂t

= Q + QV (12)

Considerando la extension del solido, la temperatura varıa punto a punto asıcomo tambien el calor que se genera y el que fluye por sus fronteras, es decir:∫

∂T∂t

dV︸︷︷︸Almacenamiento

= −∫

Sq · ndS︸︷︷︸

qvdV︸︷︷︸Produccion

Ecuacion general de la ConduccionA partir de la ecuacion del primer principio de la termodinamica para unsolido (W = 0)la reescribimos ecuacion para sistemas extensos, donde T = T(x, y, z, t)

ρVCp∂T∂t

= Q + QV (12)

∂T∂t

= −∫

ρVCp∂T∂t

= Q + QV (12)

∂T∂t

= −∫

ρVCp∂T∂t

= Q + QV (12)

Considerando la extension del solido, la temperatura varıa punto a punto asıcomo tambien el calor que se genera y el que fluye por sus fronteras, es decir:

∫VρCp

∂T∂t

= −∫

ρVCp∂T∂t

= Q + QV (12)

∂T∂t

= −∫

Ecuacion general de la Conduccion

Recordando el teorema de Gauss:∫VρCp

∂T∂t

dV = −∫

V∇ · qdV +

=⇒ ρCp∂T∂t

= −∇q + qv

∂T∂t

=1ρCp

(−∇ · q + qv) (14)

Para un medio isotropo, q = −λ∇T , luego:

∂T∂t

=1ρCp

(λ∇2T + qv) (15)

es la ecuacion general de la conduccion.

∂T∂t

dV = −∫

V∇ · qdV +

=⇒ ρCp∂T∂t

= −∇q + qv

∂T∂t

=1ρCp

(−∇ · q + qv) (14)

∂T∂t

=1ρCp

(λ∇2T + qv) (15)

∂T∂t

dV = −∫

V∇ · qdV +

=⇒ ρCp∂T∂t

= −∇q + qv

∂T∂t

=1ρCp

(−∇ · q + qv) (14)

∂T∂t

=1ρCp

(λ∇2T + qv) (15)

La ecuacion puede simplificarse para el caso estacionario:

∇2T = −qv

λEcuacion de Poisson (16)

para el caso sin fuentes y estacionario:

∇2T = 0 Ecuacion de Laplace (17)

Para el caso sin fuentes:

∂T∂t

=1ρCp

(λ∇2T) Ecuacion de Fourier (18)

∇2T = −qv

∂T∂t

=1ρCp

∇2T = −qv

∂T∂t

=1ρCp

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