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Introducción: señales y sistemas

Ingeniería Electrónica de Comunicaciones

Jesús Chacón Sombría

Departamento de Arquitectura de Computadores y AutomáticaUniversidad Complutense de Madrid

Curso 2020-2021

Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 1 / 57

Esquema

1 Objetivos

2 Señales y Sistemas

3 Señales

4 Sistemas

Objetivos del tema

Establecer la terminología adecuada y repasar conceptos:

Señales y sistemasSeñales• Tipos• Operaciones• Ejemplos

Sistemas• Tipos• Propiedades de los sistemas lineales temporalmente

invariantes

Esquema

1 Objetivos

3 Señales

4 Sistemas

Señales y Sistemas

SistemaSeñal Señal

Señal:• Función que transporta algún tipo de información sobre la

variabilidad/evolución de una magnitud física respecto auna/varias variables independientes.

• Ejemplos: Señales de audio, imagen, video, tensión, presión, ...Sistema• Definición:

F Entidad que se excita mediante una señal de entrada y produceuna señal de salida.

F Representa la transformación que un sistema físico realiza sobreuna señal.

• Ejemplos: filtro paso bajo, conversor A/D, ...

Señales y Sistemas

Tx(t) y(t)=T[x(t)]

NotaciónSeñales: x , y ,u, ... (letras minúsculas)• variable independiente: t , n• y(t) - tiempo continuo• y(n), y [n] - secuencia

Sistemas: T ,P,S, ... (letras mayúsculas)• y(t) = T [x(t)]• y [n] = T [x [n]]

Esquema

1 Objetivos

3 SeñalesTipos de señalesOperaciones con señalesSeñales básicas

4 Sistemas

Esquema

1 Objetivos

4 Sistemas

Tipos de señales I

Número de variables independientes

Unidimensional MultidimensionalE

0 2 4 6 8 10−1

−0.5

f (t) f (x, y)

[fx (t) fy (t) fz (t) fg (t)] [fR (x, y) fG(x, y) fB(x, y)]

Tipos de señales II

Respecto a la variable independiente:• Continua: x(t) con t ∈ R (real)• Discreta: x(n) (o secuencia x[n]) con n ∈ Z (entero)

Respecto a la amplitud x(·) de la señal:

• x(·) ∈ R (a x(·) ∈ C)

F x(t)→ AnalógicaF x(n)→ Muestreada

• x(·) ∈ S discreto:

F x(t)→ CuantificadaCuantizada

F x(n)→ Digital

Ej: S ={a+b ·k |k ∈Z}

0 2 4 6 8 10−4

Tipos de señales III

Evolución de la señal (valor en cada instante de tiempo):• Determinista: está definido por una expresión matemática• Aleatoria/Estocástica: queda definido por una densidad de

probabilidad (no se puede determinar de forma exacta).

0 5 10 15 20−1

−0.5

0 5 10 15 20−6

Determinista Aleatoriax [n] = sin(n) x [n] ∼ N (0, 1)

Tipos de señales IVSeñales periódicas/aperiódicas:• Periódica: su valor se repite en el tiempo, por lo tanto es

suficiente especificar su valor a lo largo de un intervalo básicollamado periodo fundamental (T o N).

F Continua: x(t + l · T ) = x(t)F Discreta: x [n + l · N] = x [n] con l ∈ Z+, N ∈ Z+

• Aperiódica: no cumple la relación anterior.

0 5 10 15−1

−0.5

0 10 20 30 40 50 600

Tipos de señales VSeñales pares/impares:• Par: presenta simetría especular respecto a eje vertical.

F Continua: x(t) = x(−t) F Discreta: x [n] = x [−n]

• Impar: presenta simetría radial respecto al origen.F Continua: x(t) = −x(−t) F Discreta: x [n] = −x [−n]

−5 0 5−1

−0.5

−5 0 5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Par ImparEn general, una función arbitraria se puede descomponer en función de suscomponentes par e impar: x(·) = xp(·) + xi (·)

xp(·) = x(·)+x(−·)2 , xi (·) = x(·)−x(−·)

Tipos de señales VISeñales causales/no causales/anticausales:• Causal: relacionadas con los sistemas realizables (causales).

F Continua: x(t) = 0 ∀t < 0 F Discreta: x [n] = 0 ∀n < 0• No causal:

F Continua: x(t) 6= 0 ∃t < 0 F Discreta: x [n] 6= 0 ∃n < 0• Anticausal:

F Continua: x(t) = 0 ∀t > 0 F Discreta: x [n] = 0 ∀n > 0

Causal No causal Anticausal

Tipos de señales VIISeñales de energía:• Energía de una señal:

F Continua: εx =∫∞−∞ |x(t)|2dt

F Discreta: εx =∑∞

n=−∞ |x [n]|2

• Señal de energía finita: 0 < εx <∞F En general son señales limitadas en el tiempo con amplitud finita

0 2 4 6 8 10−1

−0.5

0 2 4 6 8 10−1

−0.5

Energía finita Energía infinita

Tipos de señales VIIISeñales de potencia media:• Potencia media de una señal:

F Continua: Pf = lımT→∞1T

∫ T−T |x(t)|2dt

F Discreta: Pf = lımN→∞1

∑Nn=−N |x [n]|2

• Señal de potencia media finita: 0 < Pf <∞F En general son señales ilimitadas en el tiempo con amplitud finita

0 2 4 6 8 10−1

−0.5

0 2 4 6 8 100

Potencia finita Potencia infinita

Señales que no son de energía ni de potencia media finita son en general ilimitadas en eltiempo y/o amplitud.

Tipos de señales IX

Señal compleja: x(·) ∈ C

• Se representa mediante dos funciones reales que contengan la partereal e imaginaria, o la fase y la amplitud

x(·) = Re(x(·)) + j · Im(x(·)) = |x(·)|ej·arg(x(·))

Re(x(·)) = |x(·)|cos(arg(x(·))),|x(·)| =

√Re(x(·))2 + Im(x(·))2,

Im(x(·)) = |x(·)|sin(arg(x(·)))

arg(x(·)) = arctan Im(x(·))Re(x(·))

0 5 10 15 20−1

0 5 10 15 200

|0 5 10 15 20

Real & Imaginaria Módulo & ArgumentoSeries y Transformadas de Fourier. En teoría de la comunicación modelan señales quetransmiten información en fase y amplitud

Tipos de señales X

Señal reales: x(·) = x∗(·) a(t) + j · b(t) = a(t)− j · b(t)→ b(t) = 0

Señal imaginarias: x(·) = −x∗(·)a(t) + j · b(t) = −(a(t)− j · b(t))→ a(t) = 0

Señal hermítica: x(·) = x∗(−·)a(t) + j · b(t) = a(−t)− j · b(−t)→ a(t) Par, b(t) Impar

Señal antihermítica: x(·) = −x∗(−·)a(t) + j · b(t) = −(a(−t)− j · b(−t))→ a(t) Impar, b(t) Par

con ∗ conjugado.

Vamos a trabajar con señales: 1D (2D) escalares, continuas y discretas,analógicas y muestreadas, deterministas y aleatorias, periódicas yaperiódicas, reales y complejas.

Esquema

1 Objetivos

4 Sistemas

Operaciones sobre la variable independiente I

Transformación f (t) en la variable independiente:

x(t)⇒ y(t) = x(f (t)), x [n]⇒ y [n] = x [f (n)]

Aunque no alteran los valores de la señal, pueden...

• alterar la forma• provocar la pérdida de muestras (caso discreto).

Suponemos1 f (t) = αt + β

continuo discretoDesplazamiento: y(t) = x(t − t0) y [n] = x [n − n0]

Inversión: y(t) = x(−t) y [n] = x [−n]Compresión/Expansión: y(t) = x(αt) y [n] = x [Kn]

1Veremos otras transformaciones en el Tema 5Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 20 / 57

Operaciones sobre la variable independiente IIDesplazamiento temporal:• Continuo: x(t) → y(t) = x(t − t0)

• Discreto: x [n] → y [n] = x [n − N0]

Inversión:• Continuo: x(t) → y(t) = x(−t)• Discreto: x [n] → y [n] = x [−n]

0 2 4 6 8 10−2

f(t)f(t−2)

−10 −5 0 5 10−150

−100

f(t)f(−t)

Desplazamiento Inversión

Operaciones sobre la variable independiente IIICompresión/expansión temporal:• Continuo (escalado): x(t) → y(t) = x(α · t), α > 0

F Compresión (α > 1), Expansión (α < 1)

• Discreto:F Diezmado: x [n] → y [n] = x [N · n],N ∈ Z+

F Interpolación: x [n] → y [n] = x [ nN ],N ∈ Z+

no existe muestra para nN no entero, necesario generar

0 2 4 6 8 10−1

−0.5

f(t)f(2*t)

0 5 10 15 200

f(n)f(2n)f(0.5n)

Escalado Diezmado & Interpolación

Operaciones básicas sobre la señal

Generales:• Suma/Resta/Multiplicación/División:

x1(·)± x2(·), x1(·) · x2(·), x1(·)÷ x2(·)

Continuas:• Derivación: y(t) = dx(t)

• Integración: y(t) =∫ tτ=−∞ x(τ)dτ

Discretas:• Diferencia: y [n] = x [n]− x [n − 1]

• Acumulación: x [n] =∑n

k=−∞ x [k ]

Convolución

Convolución de dos señales:• Señales continuas: (x ∗ y)(t) =

∫∞−∞ x(τ)y(t − τ)dτ

• Señales discretas: (x ∗ y)[n] =∑∞

k=−∞ x [k ]y [n − k ]

F Invertir: y(−τ), y [−k ].F Desplazar: y(t − τ), y [n − k ].F Multiplicar: x(τ)y(t − τ), x [k ]y(n − k).F Sumar:

∫,∑.

Propiedades:• Conmutativa: (x ∗ y)(·) = (y ∗ x)(·)• Asociativa: (x ∗ y ∗ z)(·) = [(x ∗ y) ∗ z](·) = [x ∗ (y ∗ z)](·)• Distributiva: ((x + y) ∗ z)(·) = (x ∗ z)(·) + (y ∗ z)(·)• Respecto al impulso y al escalón (más adelante)

Desarrollo en serie de Fourier: Señales periódicasSeñales continuas: x(t) = x(t + T ), ω0 = 2π/T• Desarrollo en exponenciales complejas:• Síntesis: x(t) =

∑∞k=−∞ ck ejkω0t

• Análisis: ck = 1T

∫T x(t)e−jkω0tdt

• Desarrollo en senos y cosenos (x(t) es real):• Síntesis: x(t) = a0

2 +∑∞

k=1 (ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t))

• Análisis: ak = 2T

∫T x(t)cos(kω0t)dt , bk = 2

∫T x(t)sin(kω0t)dt

Señales discretas: x [n] = x [n + N], ω0 = 2π/N• Desarrollo en exponenciales complejas:• Síntesis: x [n] =

∑N−1k=0 ck ejω0kn

• Análisis: ck = 1N

∑N−1n=0 x [n]e−jω0kn, ck = ck+N

• Desarrollo en senos y cosenos (x [t ] es real):• L = N

2 o L = N−12

• LIM = L− 1 o K = L• Síntesis: x(n) = a0

2 +∑LIM

k=1 (ak cos(kω0kt) + bk sin(ω0kt))

• Análisis: ak = 2N

∑N−1n=0 x(n)cos(ωkn), bk = 2

∑N−1n=0 x(n)sin(ωkn)

TransformadasSerie vs. Transformada• Si una señal es periódica

F Representación mediante exp. armónicas: φk (t) = e jkω0t .F Combinación lineal: x(t) =

∑∞k=−∞ akφk (t).

• Si una señal es aperiódica:F El sumatorio pasa a ser una integral:

∫∞ω=−∞ X (ω)φ(ω)dω.

Transformada de Fourier, Laplace y Z:• Señales continuas x(t):

F Transformada de Fourier: X (jωc) =∫∞−∞ x(t)e−jωc tdt

F Transformada de Laplace: X (s) =∫∞

0 x(t)e−stdtF s = σ ± jω

• Señales discretas x [n]:F T. de Fourier en tiempo discreto: X (ejωd ) =

∑∞n=−∞ x [n]e−jωd n

F Transformada Z: X (z) =∑∞

n=0 x [n]z−n

F X (ejωd ) es periodica (se repite en frecuencias cada 2π)F z = ejωd

F Si muestreamos periodicamente: t = nT , z = esT

Transformadas

Comparación entre transformadas y sus usos:• Transformada de Laplace y Z permiten:

F Resolver ecuaciones diferenciales (en diferencias)F Obtener la función de transferencia de sistemas LTI y su respuesta

temporal a través de la transformada inversa del producto de la funciónde transferencia y la transformada de la entrada.

F Ver la respuesta a las condiciones iniciales.• Fourier (CTFT y DTFT) permite:

F Estudiar el comportamiento en frecuencia de las señales y de lossistemas.

F Obtener la repuesta permanente de sistemas LTI estables como latransformada inversa del producto de la transformada de Fourier delsistema con la transformada de la entrada.

Esquema

1 Objetivos

4 Sistemas

Señales básicas: Exponencial ComplejaContinua: x(t) = Ae jωt

• x(t) = x(t + T ), con T = 1f = 2π

x(t + T ) = Ae jω(t+ 2πω

)= Ae j(ωt+2π) = Ae jωt e j2π = Ae jωt =x(t)

• ω = 2πf es la frecuencia (ω rad/s, f Hz)• ω1 6= ω2 ⇒ x1(t) 6= x2(t), para 0 < ω <∞

Fórmula de Euler

ej(ωt+φ) = cos(ωt + φ) + jsin(ωt + φ)⇒

cos(ωt + φ) = ej(ωt+φ)+e−j(ωt+φ)

sin(ωt + φ) = ej(ωt+φ)−e−j(ωt+φ)

Señales básicas: Exponencial ComplejaContinua (Forma General): x(t) = Ceat , con C,a ∈ C

• C = |C|ejφ

a = r + jω

}⇒ x(t) = |C|erte j(ωt+φ)

• Sinusoidal multiplicada por exponencial• Decreciente (r < 0), constante (r = 0) o creciente (r > 0)

r < 0 r = 0 r > 0

Fórmula de Euler

ej(ωt+φ) = cos(ωt + φ) + jsin(ωt + φ)⇒

cos(ωt + φ) = ej(ωt+φ)+e−j(ωt+φ)

sin(ωt + φ) = ej(ωt+φ)−e−j(ωt+φ)

Señales básicas: Exponencial Compleja

Discreta: x [n] = Cejωn

• ω = 2πf es la frecuencia en rad/muestra• x [n] = x [n + N], con N = 1

f = 2πω sólo si

x [n + N] = Ce jω(n+N) = Ce j(ωn+ωN) = Ce jωne jωN = x [n]

e jωN = 1⇒ 2πfN = 2πk ⇒ f = kN , para algún N, k ∈ N

Nota: kN es una fracción irreducible, en caso contrario a

b = m·km·N = k

• ω1 6= ω2 ⇒ x1[n] 6= x2[n], sólo para 0 < ω < 2πωk = ω + 2πk ⇒ Ce j(ω+2πk)n = Ce jωn+j2πkn = Ce jωne j2πkn = Ce jωn

Fórmula de Euler

ejωn+φ = cos(ωn + φ) + jsin(ωn + φ)⇒

cos(ωn + φ) = ej(ωn+φ)+e−j(ωn+φ)

sin(ωn + φ) = ej(ωn+φ)−e−j(ωn+φ)

Señales básicas: Exponencial Compleja

Exponencial Discreta (sinusoidal): x [n] = Cαn, con C, α ∈ C

• C = |C|eφα = |α|ejω

}⇒ x(t) = |C||α|ne jωn+φ

• Decreciente (0 < α < 1), constante (α = 1), o creciente (α > 1)

0 < |α| < 1 |α| = 1 |α| > 1

Fórmula de Euler

ejωn+φ = cos(ωn + φ) + jsin(ωn + φ)⇒ cos(ωn + φ) = ejωn+φ+e−jωn−φ

sin(ωn + φ) = ejωn+φ−e−jωn−φ

Señales básicas: ImpulsoContinuo (δ de Dirac): δ(t) =

{∞ t = 00 ∀t 6= 0

• Es un funcional:∫∞−∞ f (t)δ(t)dt = f (0)

∫∞−∞ f (t)δ(t − t0)dt = f (t0)

• Algunas propiedades:∫ t2t1

f (t)δ(t − t0)dt ={

f (t0) t1< t0< t20 c.c.

∀a 6= 0⇒ δ(at) = δ(t)|a|

(x ∗ δ)(t) =∫∞−∞ x(τ)δ(t − τ)dτ = x(t)

Discreto (δ de Kronecker): δ(n) ={

1 n = 00 ∀n 6= 0

x [n] =∑∞

k=−∞ x [k ]δ[k − n]

(x∗δ)[n]=∑∞

k=−∞ x [k ]δ[n − k ] = x [n]

Señales básicas: Escalón unitario

Continuo: u(t) =

{0 t < 01 t ≥ 0

Relación con el impulso:

δ(t) = du(t)dt

u(t) =∫ t−∞ δ(τ)dτ

Convolución: (x ∗ u)(t) =∫ t−∞ x(τ)dτ −10 −5 0 5 10

−0.2

Discreto: u[n] =

{0 n < 01 n ≥ 0

Relación con el impulso:

δ[n] = u[n]− u[n − 1]

u[n] =∑n

k=−∞ δ[k ]

Convolución: (x ∗u)[n]=∑n

k=−∞ x [k ]−10 −5 0 5 100

El producto de cualquier señal x(·) por u(·) produce una señal causal.

Señales básicas: Rampa

Continuo: r(t) =

t < 0t ≥ 0

Relación con el escalón:u(t) = dr(t)

r(t) =∫ t−∞ u(τ)dτ

−10 −5 0 5 100

Discreto: r [n] =

{0n + 1

n < 0n ≥ 0

Relación con el escalón:

u[n] = r [n]− r [n − 1]

r [n] =∑n

k=−∞ u[k ]−10 −5 0 5 100

Señales básicas: Pulsos

Pulso rectangular

Π(t) =

{1 |t | ≤ 1

20 |t | > 1

−1 −0.5 0 0.5 1−0.2

Pulso triangular

Λ(t) =

{t + 1 − 1 ≤ t ≤ 01− t 0 ≤ t ≤ 1

−2 −1 0 1 2−0.2

Señales básicas: muestreo, sinc, signoMuestreo

Sa(t) =

{ sin(t)t t 6= 0

1 t = 0Sinc

sinc(t) =

{ sin(πt)πt t 6= 0

1 t = 0

sgn(t) =

1 t > 0−1 t < 00 t = 0

−10 −5 0 5 10−0.4

−0.2

Sa(t)sinc(t)

−10 −5 0 5 10

−0.5

Señales básicas: ondas

Onda cuadrada

−10 −5 0 5 10

−0.5

Onda triangular

−10 −5 0 5 10

−0.5

Señales básicas: chirp

Chirp de variación lineal

ft=0 = 0,2 y ft=10 = 1

Esquema

1 Objetivos

3 Señales

4 SistemasTipos de SistemasSistemas LTI

Esquema

1 Objetivos

3 Señales

Tipos de Sistemas I

Tx(·) y(·)

Según el número de variables de entrada y de salida:• SISO (Single-Input, Single-Output): 1 variable de entrada, 1

variable de salida• MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output): multiples variables de

entrada, multiples variables de salida• SIMO (Single-Input, Multiple-Output): 1 variable de entrada,

multiples variables de salida• MISO (Multiple-Input, Single-Output): multiples variables de

entrada, 1 variable de salida• Autónomo: sistema sin entradas de control

Según las características de la variable independiente:• Sistemas Continuos: admite/devuelve señales continuas• Sistemas Discretos: admite/devuelve señales discretas• Conversores: Admiten señales continuas/discretas y devuelven

señales discretas/continuas

Tipos de Sistemas II

Tx(·) y(·)

Según la existencia o no de procesos aleatorios:• Sistemas Deterministas: no hay procesos aleatorios

involucrados, por lo que la respuesta del sistema ante lamismas entradas es siempre la misma.

• Sistemas Estocásticos: hay procesos aleatorios involucrados,por lo que la respuesta del sistema ante la mismas entradasdepende del experimento.

Causales/no causales:• Sistemas Causales: La salida del sistema en un instante

únicamente depende de las entradas hasta dicho instante detiempo.

y(t) = T [ x(τ)|τ <= t ] ó y [n] = T [ x [k ]|k <= n ]

• Sistemas No Causales: La salida del sistema en un instantedepende de la entrada en instantes posteriores. No esfísicamente realizable.

Tipos de Sistemas III

Tx(·) y(·)

Respecto a la memoria del sistema:• Sistemas Estáticos: La salida del sistema en un instante

depende únicamente de la entrada en dicho instante.y(t) = T [ x(t) ] ó y(n) = T [ x [n] ]

• Sistemas Dinámicos: La salida del sistema en un instantedepende de la historia pasada del sistema. Los sistemasdinámicos continuos se pueden modelar con una ecuacióndiferencial. Los discretos con una ecuación en diferencias.y(t) = T [ x(τ)|τ ⊆ R ≤ t ] ó y(n) = T [ x [k ]|k ⊆ Z ≤ n ]

Estable/inestable:• Sistemas Estables: cuando responde con una salida acotada

en amplitud ante cualquier entrada acotada (BIBO-estable:bounded-input, bounded-output).

|x(·)| < B1 → |y(·)| < B2

• Sistemas Inestables: cuando no cumplen la propiedad anterior.Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 44 / 57

Tipos de Sistemas IVSistemas lineales/no lineales:

• Sistemas Lineales: Los que cumplen el principio de superposición,i.e. la respuesta del sistema producido por varias fuentesexcitadoras a la vez es la suma de las respuestas producidas porlas fuentes individualmente.T [ αx1(·) + βx2(·) ] = αT [ x1(·) ] + βT [ x2(·) ] = αy1(·) + βy2(·)

• Sistemas No Lineales: Los que no cumplen el principio desuperposición. Los sistemas reales son sistemas no lineales,aunque pueden ser tratados como sistemas lineales en torno a undeterminado punto de operación.

Tx(·) y(·)

0 2 4 6 8 10

t0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

t0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

t0 2 4 6 8 10

Tipos de Sistemas VSistemas temporalmente invariantes/no invariantes:• Sistemas Temporalmente Invariantes: Aquellos en los que su

relación entrada-salida es invariante en el tiempo (a una entradadesplazada temporalmente le corresponde la misma salidadesplazada el mismo valor).T [ x(t) ] = y(t)→ T [ x(t − t0) ] = y(t − t0)

T [ x [n] ] = y(n)→ T [ x(n − N0) ] = y(n − N0)

• Sistemas Temporalmente No Invariantes: Los que no cumplen lapropiedad anterior.

0 2 4 6 8 10

t0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

t0 2 4 6 8 10

Sistemas Lineales Temporalmente Invariantes: Sistemas LTI

Tx(·) y(·)

Esquema

1 Objetivos

3 Señales

Sistemas LTI

LTIx(·) y(·)

Constituyen una clase de sistemas muy importantes enprocesamiento de señales, control de sistemas, teoría de lacomunicación.Características más relevantes:• La respuesta de un sistema LTI a una entrada puede obtenerse

como la convolución de la entrada con la respuesta del sistemaa la entrada impulso unitario.

• Las transformadas de Laplace, Z, Fourier de la convolución esel producto de las transformadas.

• Por lo tanto, podemos calcular la respuesta de los sistemas LTIante una entrada a partir del producto de la transformada de laentrada y de la transformada del sistema.

Respuesta temporal sistema LTISistemas Continuos:• Respuesta al impulso (función ponderatriz): T [δ(t)] = h(t)• Respuesta a una entrada arbitraria:

T [x(t)] = T [(x∗δ)(t)]=T [∫∞−∞x(τ)δ(t−τ)dτ ]=

∫∞−∞ T [x(τ)δ(t−τ)]dτ=

=∫∞−∞ x(τ)T [δ(t−τ)]dτ =

∫∞−∞ x(τ)h(t−τ)dτ = (x ∗ h)(t)

Sistemas Discretos:• Respuesta al impulso (función ponderatriz): T [δ(n)] = h(n)

• Respuesta a una entrada arbitraria:T [x(n)] =T [(x∗δ)(n)]=T [

∑∞k=−∞x(k)δ(n−k)]=

∑∞k=−∞T [x(k)δ(n−k)]=

=∑∞

k=−∞ x(k)T [δ(n−k)]=∑∞

k=−∞ x(k)h(n−k)=(x∗h)(n)

La respuesta de un sistema LTI a cualquier entrada x(·) se puedecalcular como la convolución de la entrada y la respuesta delsistema a la entrada impulso h(·).

h(·) = T [δ(·)]→ T [x(·)] = (x ∗ h)(·)

Sistemas LTI continuos ITransformada de Laplace (TL):• Bilateral: L[x(t)]=X (s)=

∫∞−∞x(t)e−tsdt con s ∈ C

• Unilateral: L[x(t)]=X (s)=∫∞

0 x(t)e−tsdt con s ∈ C, x(t) causal

Propiedades (similares, se diferencian en las condicionesiniciales que aparecen en las derivadas):• Linealidad : L[αx1(t) + βx2(t)] = αL[x1(t)] + βL[x2(t)]

• Desplazamiento temporal: L[x(t − t0)] = e−st0L[x(t)]

• Derivada: L[ dx(t)dt ] = sL[x(t)]− x(0)

• Convolución: L[(x ∗ y)(t)] = L[x(t)]L[y(t)]

TL de la respuesta del sistema:L[y(t)]=L[T [(x)(t)]=L[(x ∗ h)(t)]=L[x(t)]L[h(t)]↔ Y (s)=H(s)X (s)

La respuesta de un sistema LTI continuo a una entrada se puede calcular apartir de la TL inversa del producto de la TL de la señal y de la TL de larespuesta del sistema a la entrada impulso.

Sistemas LTI continuos IITL de la respuesta del sistema:

L[y(t)]=L[x(t)]L[h(t)]↔ Y (s)=H(s)X (s)

Ecuación diferencial de un sistema LTI continuo:∑Nk=0 ak

dk y(t)dt =

∑Mk=0 bk

dk x(t)dt

TL−→∑N

k=0 ak sk Y (s) =∑M

k=0 bk sk X (s)→

Y (s) =∑M

k=0 bk sk∑Nk=0 ak sk X (s) = H(s)X (s)

H(s), la TL de la respuesta del sistema LTI a la funciónimpulso, es la función de transferencia del sistema.

Condiciones adicionales:• Sistema dinámico N ≥ 1• Sistema causal:

F M ≤ NF h(t) = T [δ(t)], h(t) = 0 t < 0

• Estable: Polos (ceros del denominador de H(s)) tienen quetener la parte real negativa.

Sistemas LTI continuos III

LTIx(·) y(·)

Transformada de Fourier respuesta u(t) = δ(t): H(jw) = H(s = jw)

Respuesta permanente LTI estable a u(t) = ejwt

y(t) = T [ejwt ] =∫∞−∞ h(τ)ej(w(t−τ))dτ =

∫∞−∞ h(τ)ejwte−jwτdτ =

= ejwt ∫∞−∞ h(τ)e−jwτdτ = H(jw)ejwt = |H(jw)|ej(wt+arg(H(jw)))

Respuesta permanente LTI estable a u(t) = sen(wt):

y(t) = |H(jw)|sen(wt + arg(H(jw)))

Respuesta permanente LTI estable a u(t) periodica (T , w = 2πT ):

y(t) =∑∞

k=−∞ ck |H(jkw)|ej(wkt+arg(H(jkw)))

Respuesta permanente LTI estable a u(t) genérica: Y (jw) = H(jw)U(jw)

Sistemas LTI discretos ITransformada Z (TZ):• Bilateral: Z[x(n)]=X (z)=

∑∞n=−∞x(n)z−n con z∈C

• Unilateral: Z[x(n)]=X (z)=∑∞

n=0x(n)z−n con z∈C, x(n) causal

Propiedades (similares, se diferencian en las condicionesiniciales que aparecen en los retardos):• Linealidad : Z[αx1(n) + βx2(n)] = αZ[x1(n)] + βZ[x2(n)]

• Desplazamiento temporal: Z[x(n − n0)] = z−n0Z[x(n)]

• Adelanto: Z[x(n + 1)] = zZ[x(n)]− zx(0)

• Convolución: Z[(x ∗ y)(n)] = Z[x(n)]Z[y(n)]

TZ de la respuesta del sistema:Z[y(n)]=Z[T [(x)(n)]=Z[(x ∗ h)(n)]=Z[x(n)]Z[h(n)]↔ Y (z)=H(z)X (z)

La respuesta de un sistema LTI discreto a una entrada se puede calcular apartir de la TZ inversa del producto de la TZ de la señal y de la TZ de larespuesta del sistema a la entrada impulso.

Sistemas LTI discretos IITZ de la respuesta del sistema:

Z[y(n)]=Z[x(n)]Z[h(n)]↔ Y (z)=H(s)X (z)

Ecuación en diferencias de un sistema LTI discreto:∑Nk=0 ak y(n+k)=

∑Mk=0 bk x(n+k)

TZ−→∑N

k=0 ak zk Y (z)=∑M

k=0 bk zk X (z)→

Y (z) =∑M

k=0 bk zk∑Nk=0 ak zk X (z) = H(z)X (z)

H(z), la TZ de la respuesta del sistema LTI a la funciónimpulso, es la función de transferencia del sistema.

Condiciones adicionales:• Sistema dinámico N ≥ 1• Sistema causal:

F M ≤ NF h(n) = T [δ(n)], h(n) = 0 n < 0

• Estable: Polos (ceros del denominador de H(z)) tienen queestar dentro del círculo unidad.

Sistemas LTI discretos III

LTIx(·) y(·)

Transformada de Fourier respuesta u(n) = δ(t): H(ejw ) = H(z = ejw )

Respuesta permanente LTI estable a u(n) = ejwn

y(n) = T [ejwn] =∑∞

k=−∞ h(k)ejw(n−k)) =∑∞

k=−∞ h(k)ejwne−jwk =

= ejwn∑∞k=−∞ h(k)e−jwk = H(ejw )ejwn = |H(ejw )|ej(wn+arg(H(ejw )))

Respuesta permanente LTI estable a u(n) = sen(wt):

y(n) = |H(ejw )|sen(wt + arg(H(ejw )))

Respuesta permanente LTI estable a u(n) periodica (N, w = 2πN ):

y(n) =∑N−1

k=0 ck |H(ejkw )|ej(wkt+arg(H(ejkw )))

Respuesta permanente LTI estable a u(n) genérica: Y (ejw ) = H(ejw )U(ejw )

Sistemas LTI discretos IVy(n) = T [x(n)] = (x ∗ h)(n) = (h ∗ x)(n) =

∑∞k=−∞ h(k)x(n − k)

h(n) = T [δ(n)]

Sistema causal: h(n) = 0, n < 0

Tipos de sistemas LTI discretos:• Sistemas FIR: Finite Impulse Response

Respuesta finita a la entrada impulsoh(n) = 0, n ≥ L

y(n) =∑L−1

k=0 h(k)x(n − k)

M = N, N = L− 1, aN−k =

{0 k < N1 k = N , bN−k = h(k)

• Sistemas IIR: Infinite Impulse ResponseRespuesta infinita a la entrada impulsoy(n) =

∑∞k=0 h(k)x(n − k)

Nos interesan los IIR recursivos∑Nk=0 ak y(n+k)=

∑Mk=0 bk x(n+k)→

∑Nk=0 aN−k y(n−k)=

∑Nk=N−M bN−k x(n−k)

Sistemas LTI continuos IV

¿Equivalente LTI continuo a los sistemas FIR e IIR discretos ?

No existen sistemas FIR en continuo:

• Sistema FIR discreto:y(n)=

∑L−1k=0 h(k)x(n−k)→ Y (z)=[h0 +h1z−1+...+hL−1z−L+1]X (z)

Tiene los polos en z=0.

• Su equivalente continuo (z = eTs) tendría que tenerlos ens = −∞. Y eso no es fisicamente realizable.

Los sistemas LTI continuos estables son IIR

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