MÉTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIÓN LÍNEAS DE ESPERA Dr. Salvador García L

MÉTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIÓN

LÍNEAS DE ESPERA

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LÍNEAS DE ESPERA

La formación de líneas de espera es un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda por un servicio excede la capacidad para proveer ese servicio.

Proveer demasiado servicio involucra costos excesivos. No proveer suficiente servicio causa largas líneas de espera.

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LÍNEAS DE ESPERA

El tiempo de espera excesivo es costoso.

El objetivo primordial es lograr un balance económico entre el costo de servicio, y el costo asociado con la espera de ese servicio.

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LÍNEAS DE ESPERA

Los modelos de líneas de espera no resuelven directamente el problema; sin embargo, proporcionan información vital para la toma de decisiones, al predecir varias características de la línea de espera.

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ESTRUCTURA BÁSICA BÁSICA

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ESTRUCTURA BÁSICA BÁSICA

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ESTRUCTURA BÁSICA

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ESTRUCTURA BÁSICA BÁSICA

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MEDIDAS DE DESEMPEÑO DEL SISTEMA

UTILIZACIÓN DEL SERVIDOR (% DE TIEMPO QUE ESTÁ OCUPADO)

LONGITUD DE LINEA DE ESPERA Lq

TIEMPO PROMEDIO DE ESPERA Wq

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PARÁMETROS DE ENTRADA

RAZÓN DE LLEGADA DE CLIENTES

RAZÓN DE SERVICIO

NÚMERO YARREGLO DE LOS SERVIDORES

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EJEMPLOS DE SISTEMAS

SISTEMA CLIENTES SERVIDOR

Taller Camiones Mecánico

Hospital Pacientes Enfermeras

Aeropuerto Aviones Pista

Computadora Programas CPU

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SÍMBOLOS UTILIZADOS

TIEMPOS INTERR-ARRIBOS

M D Ek G

TIEMPO SERVICIO

M D Ek G

NÚMERO SERVIDORES

1,2,... 1,2,.. 1,2,... 1,2,...

CAPACIDAD SISTEMA

1,2,... 1,2,... 1,2,... 1,2,...

COMPORTAMIENTO

ABANDO-NAR (BALKING)

RENEGAR JOCKEY

DISCIPLINA FILA

FIFO LIFO SIRO PRI

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NOTACIÓN KENDALL(arrival process/service process/num. servers/system capacity/population size)

EJEMPLOS (M/M/1// ) = (M/M/1) (M/D/3/5/5) (G/M/1) (G/G/3)

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SISTEMA (M/M/1)

Proceso de arribo aleatorio con una distribución Poisson con razón de llegada clientes/unidad de tiempo.

Un sólo servidor con razón de servicio y tiempo de servicio aleatorio con una distribución Exponencial con media de 1/.

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SISTEMA (M/M/1)

Si un cliente llega y el servidor no está ocupado, entonces es atendido inmediatamente. En caso contrario, el cliente pasa a formar una fila de capacidad infinita.

El flujo de clientes a través del sistema (fila+servidor) es un proceso estocástico: {Nt: t0}, Nt =Num. de clientes al tiempo t

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SISTEMA (M/M/1)

Probabilidad de tener n clientes en el sistema en el estado estable (t ):

N = num. de clientes en sistema en estado estable. N es una variable aleatoria con una función de masa de probabilidad

}{lim nNPP ttn

,...},{ 10 PP

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SISTEMA (M/M/1)

El objetivo es derivar una expresión para

Esta derivación se realiza en dos etapas: Obtener un sistema de ecuaciones

definiendo las probabilidades Resolver el sistema

,...2,1,0 nPn

,...},{ 10 PP

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SISTEMA (M/M/1)

DIAGRAMA DE ESTADO

CONDICIÓN DE BALANCE: RAZÓN DE LLEGADA =RAZÓN DE SALIDA

0 1 2 3

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SISTEMA (M/M/1)

Nodo 0:

Nodo 1:

En general:

0101 PPPP

0

2

121120 Pμ

λP

μ

λ P μPλPμPλP

0PPn

n

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SISTEMA (M/M/1)

Intensidad de Tráfico: Expresión para Po:

nn

n

n

n

n

n

PP

P

PP P

)1( 1

1 ,1

1 ;

1

1 1

0

0

0

0

00

000

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SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO

Un operador de un pequeño elevador de grano tiene una sola plataforma de descarga. Los arribos de camiones durante la temporada forman un proceso de Poisson con tasa media de llegadas de 4/hr. Debido a la diferencia de carga de los camiones, el tiempo que cada camión pasa en la plataforma es aproximado por una variable aleatoria Exponencial con media de 14 min. Asumiendo que los sitios de estacionamiento son ilimitados, el sistema M/M/1 describe la línea de espera que se forma.

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SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO

Parámetros:

933.0

/cam 2857.4min/14

min/60

min/14

1

min/141

/cam 4

hrcam

hr

cam

camhr

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SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO

Probabilidad de que la plataforma esté vacía:

Porcentaje de tiempo que la plataforma está ocupada:

Probabilidad de 3 camiones esperando:

0667010 .ρP

%3.939330 .ρ

05.0)06670()933.0()( 40

44 .PρP

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SISTEMA (M/M/1)MEDIDAS DE EFECTIVIDAD

Número promedio de clientes en sistema:

1)1(

1)1()1(

)1(][

21

1

00

n

nn

nL

nnPNEL

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SISTEMA (M/M/1)MEDIDAS DE EFECTIVIDAD

Número promedio de clientes en fila:

1)1(

1)1()1(

)1(][

2

22

1

12

0

1

01

nq

nnq

nL

nnPNEL

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SISTEMA (M/M/1)MEDIDAS DE EFECTIVIDAD

Varianza del Número de clientes en sistema:

Varianza del Número de clientes en fila:

2)1()(

NVar

2

22

)1(

)1()(

qNVar

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SISTEMA (M/M/1)MEDIDAS DE EFECTIVIDAD

Tiempo Promedio en el sistema:

Tiempo Promedio en Fila:

2)(

1)(

WVar

LW

2

2

)(

2)(

qq

q WVarL

W

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SISTEMA (M/M/1)EJEMPLO

Para el problema del elevador de grano: Número Promedio de camiones en el sistema:

Número Promedio en Fila:

8.19)1(

)( 141 2

NVarL

4.14)1(

)1()( 1.13

1 2

222

qq NVarL

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SISTEMA (M/M/1)EJEMPLO

Tiempo promedio en el sistema:

Tiempo Promedio en Fila:

hrWVarhrL

W 5.3)( 5.3

mhrWVarmhrL

W qq

q 293)( 163

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SISTEMA (M/M/c)LÍNEA DE ESPERA

MULTICANAL

Sistema con c servidores idénticos, cada uno con razón de servicio

qqq

c

c cn

LW

LWLL

cLPL

c

PcLP

cc

cn

Pc

)/(

1

)()/(

)1(!

)/()(

!/

!/

1

0

1

0

0

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SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO

Una máquina copiadora es operada en una oficina. Los trabajos requeridos varían en calidad y extensión y son modelados por un proceso Poisson con razón media de servicio de 10/hr. Los requerimientos de servicio mantienen una razón promedio de llegadas de 5/hr.

Ocasionalmente se forma una línea de espera, lo que ha cuestionado el uso de 2 copiadoras. Los datos son los siguientes:

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SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO

Si el tiempo de una secretaria es valorado en $3.50/hr, convendría tener 2 copiadoras como la actual o una sola copiadora grande?

Tipo de copiadora Razón de servicio Costo/día

Std (actual) 10 5

Más grande 15 10

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SISTEMA (M/M/c)EJEMPLO

Costo/día = Renta + Costo tiempo perdido.

1 copiadora actual:

1 copiadora grande:

díahrWdíahrCosto

hrW

/33$5$sec)/5.3sec)($)(/8(

2.01

0.55/10

díahrWdíahrCosto

hrW

/24$10$sec)/5.3sec)($)(/8(

1.01

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SISTEMA (M/M/c)EJEMPLO

2 copiadoras como la actual:

hrL

W

cLPL

c

PcLP

P

cc

cn

P

c

c cn

107.0

533.01

)()/( 0.1

0.25)-2(1

(1/4)(0.6)

)1(!

)/()(

6.0

)520/(20()2/1)(2/1()2/1(1

1

!/

!/

1

0

0

21

0

0

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SISTEMA (M/M/c)EJEMPLO

Costo/día de 2 copiadoras como la actual:

1 copiadora grande es ligeramente una mejor opción.

díahrWdíahrCosto /98.24$)5)($2(sec)/5.3sec)($)(/8(

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SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA

Sistema con 1 servidor y capacidad finita.

qeq

N

NN

N

n

n

WLN

NN

L

N

P

12

1)1)(1(

))1(1(

11

1

11

)1(

1

1

1

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SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA

La intensidad de tráfico puede ser igual a 1 sin que la fila llegue a infinito, ya que la capacidad es sólo N.

01 )1(

1

PP

WWL

W

eeNe

qe

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SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA

Una sala de belleza es atendida por una sola persona y tiene un total de 10 asientos. Los tiempos entre llegadas están exponencialmente distribuidos y un promedio de 20 clientes potenciales por hora arriban a la sala. Aquellos clientes que encuentran la sala llena, no entran. La persona que atiende la sala tarda en promedio 12 min para cortar el pelo del cliente. Los tiempos están exponencialmente distribuidos.

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SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA

En promedio, cuántos cortes de pelo se completan en una hora?

hrPPP

PhrN

Ne

N

/5)1( 75.04

41

41

1

1 4 ,/5 ,20 ,10

010

10

1110

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SISTEMA (M/M/1/N)CAPACIDAD FINITA

En promedio, cuánto tiempo pasa en la sala de belleza un cliente que entra?

hrλ

LW

L

e

93.1

9.67)41)(41(

)]4(10)4(111[411

1110

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SISTEMA (M/G/1)

Considere un sistema con llegadas de acuerdo a una distribución de Poisson con parámetro . El tiempo de servicio puede tener cualquier distribución de probabilidad con media y varianza conocidas.

1

)1(2 1

222

0

qq

qq

q

WWL

WLL

LP

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SISTEMA (M/G/1)EJEMPLO

Máquinas de un proceso de manufactura se descomponen aleatoriamente requiriendo servicio mecánico. Se asume que las fallas ocurren de acuerdo a una distribución Poisson con razón de 1.5/hr. Observaciones a lo largo de varios meses muestran que los tiempos de reparación por parte de un mecánico, tienen una media de 30 min con una desviación std de 20 min.

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SISTEMA (M/G/1)EJEMPLO

Calcular el número promedio de máquinas en reparación.

maqLL

L

q

q

375.2

625.1)1(2

0.75 2

1.5

222