Model Ado

Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA

Modelos de procesos y linealización

Prof. Cesar de Prada

Dpt. Ingeniería de Sistemas y Automática

Univ. De Valladolid

Modelos

• Representación aproximada de la realidad

• Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos y relaciones que son de interés.

• Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,…

• Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, que pasa si…., decisiones,...

• ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos?

¿Qué es un modelo matemático?

• Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de interés del proceso y representan adecuadamente su comportamiento

• Siempre son aproximaciones de la realidad

• Distintos modelos para distintos objetivos y tipos de procesos

• Compromiso entre facilidad de uso y exactitud

Representación adecuadaRepresentación adecuada

Proceso

tiempo

Modelo

tiempo

Procesos continuos y de eventos discretos

Procesos continuos:Las variables evolucionancontinuamente en el tiempoy pueden tomar cualquier valor en un rango dado

Procesos de eventos:Las variables solo cambianen instantes discretosy pueden tomar solo un número finito de valores

Procesos Continuos / Eventos• Procesos Continuos

– Descritos principalmente por DAEs o PDE.– Interés fundamental: la trayectoria de algunas

variables

• Procesos de eventos discretos– Descritos principalmente por secuencias de

actividades. – Interés fundamental: el comportamiento

estadístico de algunas variables.

Modelos estáticos y dinámicos

d tq k h

Modelo estático: Relaciona las variables en unestado de equilibrio

Modelo dinámico:Relaciona las variables alo largo del tiempo

Respuesta dinámicaRespuesta dinámica

tiempo

Modelos estáticos y dinámicos

• Modelos estáticos– Representan situaciones de equilibrio– Descritos mediante ecuaciones algebraicas– Orientados a diseño

• Modelos dinámicos en tiempo continuo– Representan la evolución temporal– Descritos mediante DAE y PDE– Uso mas general: control, entrenamiento,...

Modelos para control por computador

ProcesoOrdenador D/A

A/Dy(kT)

modelos en tiempo discreto deben relacionar las variables de entrada y salida

en los instantes de muestreo kT

¿Como obtener modelos?

Mediante razonamientos,usando leyes físicas,químicas, etc

Mediante experimentacióny análisis de datos

Modelos de conocimiento

• Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación

• Tienen validez general

• Requieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes fisico-químicas

IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso

Proceso

Modelo

Metodología de modelado:

Establecer los límites y objetivos del modeloEstablecer las hipótesis básicasEscribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicaciónEstimar el valor de los parámetrosValidar el modelo

Tipos de modelos

• Parámetros concentrados

• Parámetros distribuidos

• No-lineales

• Lineales

• Tiempo

• Frecuencia

• ….

Conservación de masa

Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo =

Masa que entra al sistema por unidad de tiempo -

Masa que sale del sistema por unidad de tiempo -

Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo -

Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo -

CGFFtdmd

Ejemplo: Depósito

Acumulación=flujo entrada q - flujo salida F

m masa en el depósitoA sección del depósito densidad, k constante

hkF ghpp

ppSkSvF hAm

Ejemplo: Depósito

Acumulación=flujo entrada q - flujo salida F

m masa en el depósitoA sección del depósito densidad, k constante u posición de la válvula

Ecuación diferencial no-lineal

AhV hukqtd

hukF hAm

Ecuación algebraica

Modelos en variables de estado

)t),t(p),t(u,x(g)t(y

)t),t(p),t(u),t(x(fdt

Variables manipuladas

Respuestas observables

x Estados

perturbacionesp

Simulación

Integrando numéricamente el modelo pueden obtenerse los valores del volumen de líquido en función de los valores de q

F AhV hA

Integración numérica mediante el método de Euler

t)t(hA

k)t(u)t(q

1)t(h)tt(h

Causalidad

FCausalidad física: causas y efectos

Causalidad computacional: orden de cálculo de las variables

El uso del modelo (¿Qué pasa si..? Control, etc.) requiere una determinada causalidad computacional.

Hipótesis

Fcqctd

Mezcla perfecta Flujo pistón

Aht(c)

ht(c)t(c iii

Formulación

)cc(qtd

Fcqc)Fq(ctd

Fcqctd

Mezcla perfecta

constante

Volumen V

Concentración ci

Computabilidadq1

0q hh0 hh)hhsgn(kF

hkF ?hh hhkF

dhA Fq

imaxi212111

222212111

Leyes + restricciones

Reactor Químico Isotermo

Reactor

Productos

Materia prima

Reacción:

Modelo Matemático

CA CB T

CAi , Ti

Producto A

Balance másico del producto ABalance másico del producto B

Hipótesis:

•Mezcla perfecta en el reactor

•Temperatura T constante

•Volumen constante V

d tFc Fc Vke cA

d tFc Vke cB

Presión en un recipiente

ppaCFtdpd

isotermo que tanRTM

ppaCFFFtdmd

Conservación de energía

T temperatura, V voltajem masa en el depósitoH entalpia, ce calor específicoA sección del depósito densidad, R resistencia

)TT(qtdTd

Ahm TcH si

HqHqtd

Hipótesis:

T uniforme en el depósito Aislamiento perfecto densidad constante

Conservación del momento

mF Sistema de

referencia

Masa suspendida

Fmgkxtd

Vehiculos acoplados

yd(f)Lxy(K

yd(f)Lxy(KF

K coef. resorte f coef. fricción viscosa

sin fricción de deslizamiento

sin resistencia del aire

Grua unidimensional

Modelar la posición de la masa m y el carro M respecto al sistema de referencia

posición de la masa M: x

posición de la masa m : x + L sen

Dos grados de libertad: x,

Fricción viscosa

Sin fricción de deslizamiento

Grua unidimensional

Conservación de la cantidad de movimiento del carro y la masa m en la dirección x

dmLsen

dcosmL

xd)mM(

)Lsenx(dm

Se necesita otra ecuación para

Grua unidimensional

Conservación del momento angular referido a unos ejes moviles asociados al eje de la grua

Lcosdt

xdmLmgsen

d)mLI(

Respecto a los ejes fijos, aparece una aceleración - d2x/dt2 en dirección horizontal

dmLsen

dcosmL

xd)mM(

ghq)AfL

Avq ALm qCa1

gAhvAfLpApAtd

Flujo en una tuberia

Conservación de cantidad de movimiento

Circuito RCR

dt)II(C

Impedancia infinita I2 =0

CircuitosLR1

221211

R)II(dt)II(C

IdLRIV

Motor CC

Excitación independiente

IdLRIV

TfIktd

T par externo

k2 f.c.e.m

Procesos distribuidos

Proceso distribuido

Ti Ti+1Ti-1

Se divide el proceso en celdas de ancho x en las que T pueda considerarse uniforme

Balance de energia en un elemento

Limite cuando x 0

T(x,t)

Proceso distribuido

Ti Ti+1Ti-1

FT(x,t)

isi1i2

isie1ieie

))t,x(TT(U2

)t,x(T

)TT(U2lim

)TT(lim

)TT(U2

)TT(xUr2TcFTcFtd

Balance energético

Ecuaciones en derivadas parciales

• Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales

• Utiles para muchos fines

• Requieren ciertos conocimientos

• Difíciles de manipular matemáticamente

• Se resuelven mediante simulación

Simulación: EcosimPro

• Lenguaje de Modelado / Simulación• ¿Qué pasa si…?• Basado en tecnología orientada a objetos• Métodos numéricos y funcionalidades avanzadas• ESA: Agencia Europea del Espacio• Generador de código C++ con un entorno de

desarrollo y ejecución• Librería / Componente / Partición / Experimento• Abierto

EcosimPro

Entorno Gráfico

Simulación

Modelos linealizados

• Aproximaciones lineales de las ecuaciones no-lineales

• Mas fáciles de manipular matemáticamente pero su rango de validez es limitado

hkqtdhd

A hqtdhd

Linealización

Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operación u0, y0, z0, ….

...)zz(zf

)yy(yf

)uu(uf

)z,y,u(f)z,y,u(f

0)z,y,u(f 0)z,y,u(f

zzz yyy uuu 0zzf

000000

Ecuación lineal en las nuevas variables u, y, z

Modelo Linealizado del Depósito

Ecuación diferencial lineal

0)qq(qf

)hh(hf

q,h,h 0)q,h,h(f

0hkqtdhd

Variables desviación

h = h - h0

q = q - q0

Simulación

0 10 20 30 40

Respuestas del modelo no –lineal y linealizado para 2 saltos en q

Modelo Linealizado del Depósito

El valor de los coeficientes depende del punto de linealización

Variables desviación

h = h - h0

q = q - q0

Modelos linealizados

las variables u e y soncambios sobre un punto de operación U0 , Y0

El rango de validez está limitado a un entorno del punto de operación

Proceso

)t(Y)t(Y)t(y

)t(U)t(U)t(u

0)aa(af

))p(p(pf

)qq(qf

0)a,p,q,q(f

ghq)AfL

Flujo en una tuberiaEcuación diferencial no-lineal

Modelo linealizado del flujo

aK)p(Kqtdqd

]aqCa2

q2)AfL

]aqCa2

qq2)AfL

]ghq)AfL

Cambios del punto de operación

CfLa1Ca(a

q2)AfL

aK)p(Kqtd

crece en puntos de operación con apertura alta K2 decrece en puntos de operación con apertura alta

Modelo linealizado

0)VV(Vf

)qq(qf

)TT(Tf

0)V,q,T,T(f

cte.h y T si Rc

V)TT(q

q)TT(TqtdTd

VKqKTtdTd

VRqcV2

Semejanza formal

VKqKTtdTd

aK)p(Kqtdqd

Modelo linealizado del reactor

CA CB T

CAi Producto AVd c

d tFc Fc Vke cA

d tFc Vke cB

Dos ecuaciones

0)F,c,c,c(f

0)c,F,c,c(f

Modelo linealizado (1)

Ai00A0AiART

0A cFF)cc(c)VkeF(

Punto de operación:0Ai0B0A0 c,c,c,F

Valor calculado en el punto de operación

d tFc Fc Vke cA

Desarrollando en serie de Taylor.....

Ai00A0Ai

)cc(c)ke

Ai1111A11A cdFbca

Punto de linealización

0cVkeFcFctd

0cVkeFctd

Si el punto de linealización corresponde a una operación en equilibrio:

Si cAi0 = 8 y cA0 = 0.8 cB0 = 7.2

Si F0 = 26.66 y V = 80 ke-E/RT = 2.999

Ai00A0AiART

0A cFF)cc(c)VkeF(

AiAAi00A0Ai

E0A c333.0F09.0c332.3c

)cc(c)ke

Modelo linealizado (2)

F09.0c333.0c999.2FV

cketdcd

Fbcacatdcd

21B22A21B

d tFc Vke cB

Mediante un desarrollo en serie en torno al punto de operación:

Ai1111A11A cdFbca

Modelo en variables de estado

Fbcacatdcd

21B22A21B

Ai1211A11A cbFbca

BuAxtd

Reactor isotermo

333.009.0

CA CB T

Producto A

Reactor isotermo

)p(KKq

aK)p(Kqtd

BuAxtd

x variables de estado: conocido su valor en el instante inicial y los valores de u(t) a lo largo del tiempo, puede determinarse el valor de las salidas a lo largo del tiempo

tAttA dBuetxetx0

0 )()()( )(0

)(Solución analítica:

Equivalencia

BuAxtdxd

PBuz)P(PAtdzd

zP xPxz

uPB zPAPtdzd

Existen muchas representaciones equivalentes entrada-salida

Autovalores

BuAxtdxd

uPB zPAPtdzd

0P)IA(P

0PPPAP

Los autovalores son invariantes en representaciones equivalentes

Modelo de Respuesta Impulsional

)t(gBCed)(BCey(t)

:nulo es inicial estado ely unitario impulsoun esu si

d)(BuCe)0(xCe)t(y

)t(AAt

g(t)(t) t

d)(u)t(g)t(y

respuesta impulsional

d)(u)t(g)t(y

Modelo de Respuesta Impulsional

g(t)(t)

d)(u)t(g)t(y

d)t(u)(g)t(y

d)(u)t(g)t(y

d)t(u)(g)t(y

Transformada de Laplace

Laplace de compleja le variabjs

dte)t(f)s(F)t(f0

f(t) función temporal

f(t) = 0 para t < 0t

)s(G)s(F

)t(g)t(f

)t(gf(t) si

LL Cambio de

variable t s

Transformada de Laplace

)s(G)s(F

)t(g)t(f

)t(gf(t) si

Cambio de variable t s

Resolución del problema en el dominio s X(s)

Interpretación y expresión de la solución en el dominio t

Cambio de variable s t

st1 dse)s(X)s(X)t(x L

Ejemplo

ekdtkedte)t(f)s(F)t(f

f(t) función salto

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = k para t >= 0t

f(t)=k

Tablas de transformadas de las funciones mas comunes

Tabla de Transformadas

Tabla de transformadas

Propiedades de la T. Laplace

)s(G)s(Fd)t(g)(f

)s(sFlim)t(flim

)s(Fe)dt(f

)0(fdt

)0(dfs)s(Fs

)t(fd)0(f)s(sF

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

dte)t(f)s(F)t(f

st1 dse)s(F)s(F)t(f L

Transformada inversa

Propiedades I

)s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

)s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt

dtsedu)t(fveudtdt

)t(dfdvduvuvdvu

)t(df)0(f)s(sF

stdte)t(f)s(F)t(fL

Propiedades

d)(fsd)(fd)(fsdt

)s(F)t(fdt

d)(fd)t(f

Propiedades II

)s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f

t;d0tdtdte)dt(f)dt(f

)s(Fe)dt(f

)(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f

)0(fdttd

)t(fd)0(fdte

)t(fdlim)s(sFlim

)0(fdtetd

)t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim

Propiedades III

)s(G)s(Fde)(gde)(f

de)(gde)(fde)(gde)(f

dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f

dted)t(g)(fd)t(g)(f

)s(G)s(Fd)t(g)(f

Resolución de LODES

tiomindosiomindotiomindo

......2s

5.0sL)s(YL)t(y

5.0s)s(Y

1)s(U)s(U

5.0s)s(Y

)s(U5.0s1s2s)s(Y)s(U5.0)s(sU)s(Y)s(sY2)s(Ys

u5.0td

0 tpara e)t(u;0td

)0(yd;0)0(yu5.0

Ejemplo:

Descomposición en fracciones simples

te5.1e5.2e5.21s

5.2L)t(y

5.2bb25.5c2b2a5.00s

a5.22s

c5.11s

)2s(1s

)2s()1s(

)2s)(1s(b

)2s(1s

5.0sL)s(YL)t(y

Función de Transferencia

d)t(u)(g)t(y

Tomando transformadas de Laplace:

)s(U)s(Gu(t)g(t)

d)t(u)(gy(t))s(Yt

U(s)Y(s)

G(s) )s(U)s(G)s(Y s variable compleja

BuAxtdxd

Tomando transformadas de Laplace, con condiciones iniciales nulas:

)t(gBAsICG(s) )s(U)s(G)s(Y

)s(BUAsIC(s) Y)s(BUAsI)s(X

)s(CX)s(Y

)s(BU)s(XAsI )s(BU)s(AX)s(sX

G(s) es una función racional en la variable s

BAsICG(s) 1

asa...sasabsb...sbsb

BAsICG(s)

Solo contiene operaciones racionales +-*/

)s(D)s(N

G(s)01

Representaciones matemáticas de modelos linealizados

)s(D)s(N

G(s)01

BuAxtdxd

d)t(u)(g)t(yVariables de estado

Respuesta impulsional

Función de transferencia

Matriz de Transferencia

En un proceso con varias entradas y salidas (MIMO) G(s) es una matriz de funciones de transferencia

BAsICG(s) 1

)s(G)s(G

Depósito. Modelo en FT

Tomando Transformadas de Laplace:

G(s) G(s)Q(s)H(s) )s(Q1s

)s(KQ1s)s(H )s(KQ)s(H)s(sH

Q(s) H(s)

Circuito RC. Modelo en FTR

CV EI1

)s(ICs

1R)s(I)s(V

)s(V1RCs

)s(ICs

)1RCs()s(I

1R)s(I)s(V

V(s) E(s)

Tomando Transformadas de Fourier, con C.I. Nulas:

Flujo. Modelo en FT

aK)p(Kqtdqd

)s(A1s

)s(AK)s(PK)1s)(s(Q)s(Q)s(sQ

aK)p(Kqtdqd

Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:

)s(Q 21

Temperatura. Modelo en FT

)s(V1s

)s(VK)s(QK)1s)(s(T)s(T)s(sT

VKqKTtdTd

Reactor Isotermo. Modelo en FT

Fbcacatdcd

21B22A21B

Ai1211A11A cbFbca

)s(Cas

)s(Cb)s(Fbas)s(C

)s(Cb)s(Fb)s(Ca)s(sC

Ai121111A

Ai1211A11A

)s(Fas

)s(Fb)s(Caas)s(C

)s(Fb)s(Ca)s(Ca)s(sC

21A2122B

21B22A21B

Diagrama de bloques

)s(Cas

)s(C Ai11

)s(Fas

)s(C22

CAi(s)

CA(s) CB(s)11

asb 22

Diagrama de bloques

)s(Casas

ba)s(F

asasabbasb

)s(Cas

)s(Fas

Ai1122

1121112121

CAi(s)

F(s) CB(s) 1122

asasba

1121112121

asasabbasb

Reactor Isotermo

CAi(s)

F(s) CB(s)111.0s666.0s

111.0s666.0s

24.0s09.02

333.009.0

Bloques en serie

G1(s) G2(s)U(s) Y(s)X(s)

Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)

G (s) Y(s)U(s)

G(s) = G2(s)G1(s)

Proceso distribuido

))t,x(T)t(T(U2

)t,x(T

Ecuación en derivadas parciales

T(0,t)

T(L,t)

Proceso distribuido

))t,x(T)t(T(U2

)t,x(T

))t,x(TT(U2

)t,x(T

))t,x(T)t(T(U2

)t,x(T

Para F = cte.

En equilibrio:

En terminos de las desviaciones T sobre el equilibrio:

))t,x(T)t(T(x

)t,x(T

)t,x(Ts

s Transformada de Laplace respecto a t

p Transformada de Laplace respecto a x

Proceso distribuido

))s,p(T)p,s(T()s,0(T)s,p(Tp)s,p(Ts

))s,x(T)s(T(dx

)s,x(Td)s,x(Ts

))t,x(T)t(T(x

)t,x(T

Transformada s respecto a t:

p respecto a x:

Perfil de los cambios de temperatura del vapor respecto a x

Proceso distribuido

El perfil puede obtenerse como la diferencia de dos perfiles tipo salto desfasados una distancia L

))s,p(Tp

e1)s(T()s,0(T)s,p(Tp)s,p(Ts

)s(T)s,p(T

))s,p(Tp

e1)s(T()s,0(T)s,p(Tp)s,p(Ts

Proceso distribuido

/)s,0(T

1)s,p(T

e1)s(T)s,0(T)s,p(T)ps(

Doble función de transferencia en p y s respecto a los cambios de temperatura en la entrada y en el vapor de calefacción

Proceso distribuido

)ee1()s,0(Ts

ee)s,L(T

)e1()s,0(Ts

e)s,L(T

)e1()s,0(Ts

e)s,x(T

/)s,0(T

1)s,p(T

Tomando la transformada inversa respecto a p: (0x L)

Para x = L:

Funciónes de transferencia respecto a s: sistemas de primer orden con retardo T(L,s) temperatura a la salida del cambiador

Proceso distribuido

)s(T1s

ee1)s,0(T

1sU2cr

Fce)s,L(T

)ee1()s,0(Ts

ee)s,L(T

)ee1()s,0(Ts

ee)s,L(T

V, volumen de

los tubos

A superficie de los tubos

Retardo V/F en la respuesta a cambios en la temperatura de entrada

Función de transferencia de un PID

)s(E)s(R)s(EsT

1sTsTTK)s(U

)s(E)sTsT

11(K))s(sET)s(E

1)s(E(K)s(U

)t(edTd)(e

1)t(e(K)t(u

R(s)U(s)E(s)

Entradas Normalizadas

impulso

rampat=0

Polos y ceros

)s(D)s(N

G(s)01

Ceros de G(s) = raíces de N(s) = 0

Polos de G(s) = raíces de D(s) = 0

0.382- ,618.2sen polos 01s3s

3sen cero 03-s

)382.0s)(618.2s(

3sG(s)

¿Por qué son importantes los polos (y los ceros)?

• Como se verá mas adelante, el tipo de respuesta temporal a una determinada entrada depende de las posiciones de los polos (y ceros) del sistema.

• Igualmente la estabilidad está ligada a las posiciones de los polos

Ganancia

)0(G)s(sU

)s(sYlimK

equilibrio en

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(K

)s(Gn21

tiempode constante K. gananciay 1

- ceros , 1

- polos formato

Polos y Autovalores

)s(D)s(N

BAsICG(s) 1

BAsIdet

AsIadjCBAsICG(s) 1

0AsIdet

Autovalores de A = polos de G(s) (salvo cancelaciones polo/cero)

Polos: raices de D(s) = 0

Autovalores: raices de

Realizabilidad Física

Sistema físico continuo

Existe

Dada una función de transferencia G(s)

¿Puede existir un sistema físico cuya función de transferencia sea G(s)?

Realizabilidad

Para que G(s) sea fisicamente realizable: m n

)s(D)s(N

G(s)01

En caso contrario:

)s(U2s

)t(du)t(y

)s(U2s

1s)s(U

2s1s2s

Para una entrada en salto en u(t) tendria que dar una y(t) infinita

Un proceso con retardo (de transporte)

(1-u)q

q , Te

L, vol

)t(TT)t(u)TT(dt

L)t(Tcq)t(Tcq

)t(TcVd

T))t(u1(T)t(u)t(TTcq))t(u1(Tcq)t(u)t(Tcq

fcefeceee

Suponiendo ρ, ce ctes.

u: señal en tanto por uno

Mezcla con retardo

(1-u)q

q , Te

L, vol

0f0fc0

u)t(u)t(uT)t(T)t(T

)t(T)t(u)TT(dt

TTu)TT(dt

)t(TT)t(u)TT(dt

T0 , u0 punto de operación estacionario

Mezcla con retardo

(1-u)q

q , Te

L, vol

)t(Cx)t(y

)t(Bu)t(Axdt

)t(T.1)t(T)t(uV

)TT(q)t(T

)s(U1s

)TT(e)s(T)t(u)TT()t(T

Modelo con retardo a la entrada

Retardo a la salida

(1-u)q

q , TeL, volT

)t(Cx)t(y

)t(Bu)t(Axdt

)t(T.1)t(T)t(uV

)TT(q)t(T

)t(T)t(T)t(u)TT()t(Tdt

Modelo con retardo a la salida

Retardoq

t(T)dt(T)t(Td

)s(V1s

Ke)s(Q

)s(Te)s(T1

)s(V1s

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(Ke

)s(Gn21

Aproximación de Pade

G(s) con un retardo d no es racional. Si se necesita, puede aproximarse el retardo por una expansión en serie:

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(Ke

)s(Gn21

Aproximación de Pade de primer orden

Aprox. de 2º orden:

resppade

Control de procesos por computador

Proceso

Transmisor

4-20 mA

Ordenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)w

Regulador digital

Actuador

Las señales que recibe y procesa el ordenador son de naturaleza distinta: digitales y solo cambian en ciertos instantes de tiempo

Señales

Proceso

y(t)Ordenador D/A

A/Dy(kT)

La información en el ordenador se actualiza cada T unidades de tiempo (periodo de muestreo)

Modelo discretizado

y(t)Ordenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)Cxy

BuAxtd

Encontrar un modelo y(kT) = f( u(kT) ) tal que y(kT) = y(t) en los instantes de muestreo

Modelo discretizado

BuAxtd

Tomando como tiempos de inicio y final los instantes kT y (k+1)T de un periodo de muestreo:

)T)1k((AAT d)(Bue)kT(xe)T)1k((x

tAttA dBuetxetx0

0 )()()( )(0

Modelo discretizado

)kT(Bude)kT(xe)T)1k((x

-dd ,-1)T(k : variablede cambio

)kT(Bude)kT(xe

d)(Bue)kT(xe)T)1k((x

)T)1k((AAT

u(t)Durante un periodo de muestreo u(t) es constante e igual a u(kT)

Modelo discretizado

)kT(Cx)kT(y

)kT(u)kT(x)T)1k((x

BuAxtd

u(t) Para este tipo de entradas, el modelo discretizado da los mismos valores en los instantes t = kT que el modelo continuo. (Partiendo del mismo estado inicial y aplicando las mismas entradas)

Ecuación en diferenciasMatlab c2d

Modelo discretizado

)kT(Cx)kT(y

)kT(u)kT(x)T)1k((x

BuAxtd

)k(Cx)k(y

)1k(u)1k(x)1k(x

Notación simplificada:

k se refiere al primer, segundo, tercer, etc. periodo de muestreo

Ejemplo: Depósito

)kT(Cx)kT(y

)kT(u)kT(x)T)1k((x

)kT(u)1e()kT(he)T)1k((h

)1e(dee

Modelo discretizado: Ecuación en diferencias

Si q = 0:

Ejemplo: Depósito

)kT(Cx)kT(y

)kT(u)kT(x)T)1k((x

)kT(u)1e()kT(he)T)1k((h TT

Modelo discretizado: Ecuación en diferencias

Si q = 0:

167.0A

252.1hA2

)5.0k(u062.0)5.0k(h535.0)5.0)1k((h Si

Respuesta temporal

)k(Cx)k(y

)k(u)k(x)1k(x

Condiciones iniciales: x(0)

1ikk1k

)i(uC)0(xC)k(y)i(u)0(x)k(x

.......

)2(u)1(u)0(u)0(x

)2(u)1(u)0(u)0(x)2(u)2(x)3(x

)1(u)0(u)0(x

)1(u)0(u)0(x)1(u)1(x)2(x

)0(u)0(x)1(x

Respuesta impulsional pulsada

1ikk )i(uC)0(xC)k(y

u(k)ZOH+Proceso

Impulso unitario en t = 0

Respuesta partiendo de condiciones iniciales nulas

)i(u)ik(h)k(y

)k(hC)i(uC)0(xC)k(y

Modelo de respuesta impulsional

Modelo respuesta impulso

)jk(u)j(h

)1k(u)1(h)2k(u)2(h...)1(u)1k(h)0(u)k(h

)i(u)ik(h)k(y

Como h(i) = 0 para i ≤ 0 y para condiciones inociales nulas: u(i) = 0 para i < 0 :

)jk(u)j(h)i(u)ik(h)k(y

La salida es una combinación lineal de valores pasados de la entrada

Ejemplo: Mezcla

(1-u)q

q , Te

L, vol

)2k(u75.4)k(T905.0)1k(T

75.4)1060(20

4de905.0ee

)TT(q)t(T

Para q=4 l/min, V=10 l, Tc=60ºC, Tf=10ºC, vol=4 l, periodo = 0.5 min.

Operador desplazamiento q-1

)k(uqIC)k(y

)k(uqI)k(x

)k(u)k(xqI

)k(u)k(x)k(qx)1k(x

)1k(z)k(qz)1k(z)k(zq

aqa...qaq

bqb...qbqbqIC

Función racional de q

Función de transferencia pulsada

)k(uqaqa...qa1

)qbqb...qbb(q

)k(u]aqa...qaq[q

]bqb...qbqb[q

)k(uaqa...qaq

bqb...qbqb)k(uqIC)k(y

)k(uqaqa...qa1

)qbqb...qbb(q)k(u

)q(B)k(y

Función de transferencia pulsada

)mdk(ub...)1dk(ub)dk(ub

)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y

)mdk(ub...)1dk(ub)dk(ub

)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y

)k(u)qb...qbb(q)k(y)qa...qaqa1(

)k(u)q(B)k(y)q(A

)k(uqa...qaqa1

)qb...qbb(q)k(u

)q(B)k(y

La salida es una combinación lineal de valores pasados de la salida y de la entrada al proceso

Ejemplo: Depósito

)5.0k(u062.0)5.0k(h535.0)5.0)1k((h

)k(uq535.01

q062.0)k(u

535.0q

)k(u)062.0(535.0q1

)k(uqIC)k(u)q(A

)q(B)k(y

T = 0.5

Polo = Autovalor = 0.535

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