Modelado de Cadenas Deslizantes

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR

MODELADO DE CADENAS DESLIZANTES

Teniendo un sistema de poleas con masa significativa dispuesto en la siguiente forma:

Observamos que la cadena de longitud L esta inicialmente equilibrada pero al correr un extremo en una cantidad X, el sistema se desequilibra y empieza a moverse. Nuestro objetivo es predecir este movimiento. Para esto usamos lo siguiente:

1. Determinamos la cantidad o longitud de cadena que origina el desequilibrio. Ejm:

( L2 +x )−( L2−x )=2 x Longitud desequilibradora2. Calculamos el peso mediante la suposición de una carga uniformemente distribuida.

(2 x)( m∗gLtotal

) Fuerza neta desequilibradora en Newtons3. Basándonos en la Segunda Ley de Newton podemos establecer el modelo.

md2 xd t2

=(2 x)( m∗gLtotal

)

d2 xd t 2

=2xmgL

Ejemplo #1

Una cadena colocada sobre una clavija pulida pende 8 dm de un lado y 10 dm del otro. Si la fuerza de rozamiento es igual al peso de 1 dm de cadena, hallar el tiempo que tarda la cadena en resbalarse.

Segmento desequilibrador:

(10 + x) – (8 – x) = 2+ 2 x

Entonces

md2 xd t2

= [ (10+ x )−8+x ]

¿ 1+2x mg18

d2 xdt2

−19gx= 1

18g

m2−19g=0

m2−19g=0

m=±√ g9Operadores anuladores

D ¿)=0

A=−12

Entonces,

x (t )=c1 e√ g9 t+c2 e−√ g9 t−12

Cuando t = 0, x = 0

0=c1+c2−12

c2=(12−c2)Cuando t = 0, v = 0

0=√ g9 c1-√ g9 c2

c2=c1

x (t )= 14e√g9t+14e

−√ g9 t−12

Entonces, la cadena cae cuando x = 8 dm

x (t )= 142 [Ch(√ g9 t)]-12

x (t )=12 [Ch(√ g9 t) ]-12

8=12Ch(√ g9 t )-12

17=Ch(√ g9 t )t=Ch−1 17

√ g9

t=3ch−1 (17 )

√ gsegundos

Operadores Anuladores

D( 16 g)=0 A=-1

EJEMPLO #2Una cadena de 6 dm de largo empieza a moverse colgando 1 dm sobre el borde. Despreciando el rozamiento, calcular el tiempo necesario para que se resbale por completo.

Fuerza desequilibradora

(1+x )mg6

Entonces

md2 xd t2

=(1+x )6

mg

d2 xd t 2

−16gx=1

6g

m=±√ g6x (t )=1

2e√g6t+ 12e−√ g6 t−1

Ahora la caída se da cuando x=5

2 x=Ch(√ g6 t)−2( x+1 )=Ch(√ g6 t)√ g6 t=Ch−1(x+1)

t=√ 6g ln ( x+1+√x2+2x )

t=√ 6g ln (6+√35) Segundos

Ejemplo 33. Se ha colocado una cadena sobre una clavija pulida, colgando de un lado, 8 m y del otro 12 m. Hallar la distanciaa) A los 0.5 segundosb) Al segundo

Cuandot=0 .5x ( t )=0 .24mCuandot=1x ( t )=1m

(12+x )−(8−x )=4+2 x

(4+2 x )mg20

=F .Desequilibrio

d2 x

dt 2−4g20

−2 gx20

=0→d2 x

dt 2−110gx=1

5g

Entonces

n=±√g10x( t )=C1e

√g10 t+C2e−√g10 t−2Parat=0 , x=00=C1+C2−2→C2=2−C1Parat=0 , x '(0 )

0=√g10 C1e√g10 t−√ g10 C2e−√g10 t

0=√g10 C1−√g10 C2C1=1 ,C2=1

x( t )=e√g10t

+e−√g10 t−2