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Modelizacioacuten de Sistemas Bioloacutegicos (por computadora)
Parte I Modelizacioacuten por Analogiacuteas
FIUNER
Organizacioacuten
bull Parte I
ndash Introduccioacuten concepto de modelo
ndash Etapas de la modelizacioacuten
ndashModelos Compartimentales
ndashModelos Poblacionales
ndashModelos por Analogiacuteas
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construccioacuten de un modelo para un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas similares
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferasa)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3 Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Organizacioacuten
bull Parte I
ndash Introduccioacuten concepto de modelo
ndash Etapas de la modelizacioacuten
ndashModelos Compartimentales
ndashModelos Poblacionales
ndashModelos por Analogiacuteas
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construccioacuten de un modelo para un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas similares
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferasa)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3 Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
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mm
)1(
)1(
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
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dn
mmdt
dm
hh
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mm
)1(
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)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construccioacuten de un modelo para un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas similares
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferasa)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3 Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construccioacuten de un modelo para un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas similares
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferasa)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3 Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
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nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferasa)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3 Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferasa)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3 Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferasa)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3 Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARN como Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3 Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 3 Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
Iin Ra Rpv Rdv
Rf
I f I o
Ro
V vs
I i Cic
V ic
Ca
V v = V ic
V a
V ic
V c
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q I
C J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Fluye un liacutequido Fluye el desplazam (x) Fluyen las cargas Fluye el calor
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes
Variable entre
Eleacutectrico
Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico
Velocidad v
Fuerza F
Hidraacuteulico
Caudal Q
Diferencia de presioacuten P
Teacutermico
Flujo caloriacutefico q
Diferencia de temperatura T
Quiacutemico
Flujo molar q
Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
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hh
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
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)1(
)1(
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LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
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βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
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dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos disipadores
Se oponen al paso de la variable que fluye
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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dt
dh
nndt
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hh
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mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
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hh
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mm
)1(
)1(
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LL
kk
NaNa
gg
ngg
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4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos disipadores
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Resistencia eleacutectrica
V = Ri
Mecaacutenico
Rozamiento mecaacutenico
F = Rmv
Hidraacuteulico
Resistencia al flujo
P = RhQ
Teacutermico
Resistencia teacutermica
T= Rtḉ
Quiacutemico
Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
Fick
Cx
DAJ
fZe
CCC 21
C2 C1
z
efzfeP
22
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
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)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
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dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
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ngg
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4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan energiacutea potencial
C Capacidad generalizada
dt
dhffdth
fdtC
e1
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
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dh
nndt
dn
mmdt
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hh
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
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4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
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βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Capacitor
Mecaacutenico
Resorte
Hidraacuteulico
Compliancia
Teacutermico
Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico Capacitancia dtCCq m
ΔP ΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
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Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
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Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
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LL
kk
NaNa
gg
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4
3
Modelo Matemaacutetico
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dh
nndt
dn
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hh
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
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LL
kk
NaNa
gg
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4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
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donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas
Elemento fiacutesico
Siacutembolo
Ecuacioacuten
Eleacutectrico
Inductancia
Mecaacutenico
Inercia (masa)
Hidraacuteulico
Inertancia
dt
dfLe
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
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dn
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dm
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
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kk
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gg
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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βn(v) = 0125e-((70+v)80)
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LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Kirchov
a
0
b
ea eb E1 E2
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
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βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
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nn
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
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dn
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dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
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hmgg
4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
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LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
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LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
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dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
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LL
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NaNa
gg
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4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
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4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
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Modelo Matemaacutetico
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LL
kk
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gg
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
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ggg
EgEgEgE
gggg
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dvCtI
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gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
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N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
gg
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4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
Evgdt
dvCtI
)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
X K+
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
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4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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βn(v) = 0125e-((70+v)80)
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dt
dh
nndt
dn
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dm
hh
nn
mm
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
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dn
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LL
kk
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4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
El potencial de membrana bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacuten micro movilidad del ioacuten b coeficiente de particioacuten aceiteagua a espesor de la membrana Sustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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βn(v) = 0125e-((70+v)80)
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
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LL
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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LKNa
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ggg
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gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor aprox (1microFcm2)
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
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Na
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La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
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Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
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NaNa
gg
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4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
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LKNa
LLKKNaNam
LKNa
mmap
ggg
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dvCtI
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gL
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Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
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de 4deg orden
)(
)( 4
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dg
ngvg
k
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La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
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βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
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NaNa
gg
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4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
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Modelo Matemaacutetico
hhdt
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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βn(v) = 0125e-((70+v)80)
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LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
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Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En) gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
ngg
hmgg
4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10)) hh
dt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
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LL
kk
NaNa
gg
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4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
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dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
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dg
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k
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La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
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β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
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dg
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La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
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Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
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gg
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4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
hhdt
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
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Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
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)(
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La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
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β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
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apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
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modela como una ecuac dif de 1deg orden
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Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
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Canal abierto
Canal cerrado
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Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Modelo Matemaacutetico
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
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bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
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Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
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La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
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β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
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La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
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Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
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Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
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LL
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
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bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin-Huxley bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
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Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
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(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
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modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
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Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
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Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
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La dinaacutemica de la
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)(
3
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α y β dependen de Vm
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Canal abierto
Canal cerrado
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Canal Inactivado
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Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Modelo Matemaacutetico
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αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
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Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
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bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
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Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
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Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
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Canales abiertos
Canales cerrados
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Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
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Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
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)(
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Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
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αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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donde
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)()( ap
gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin-Huxley (1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
tEtVgtEtVtgtEtVtgdt
dVCI clmclNamNaKmK
mmap
Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
tvfdt
dg
ngvg
k
kk
La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
dnnn )1(
β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
)(
3
tvfdt
dg
hmgg
Na
NaNa
La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
mmdt
dmmm )1(
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
αm
Canal Inactivado
αh
LL
kk
NaNa
gg
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4
3
Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
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dt
dh
nndt
dn
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dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
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Suponiendo la evolucioacuten normal del potencial de accioacuten
Modelo Matemaacutetico
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dh
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LL
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
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bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
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Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
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de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
)(
)( 4
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La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
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β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
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3
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La variacioacuten en el tiempo de la gNa se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
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Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βh
Canal abierto
Canal cerrado
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Canal Inactivado
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Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Modelo Matemaacutetico
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3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
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bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
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Potencial de Accioacuten
Modelo Matemaacutetico
ap
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Por Kirchoff
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
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(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
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La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
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Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
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La dinaacutemica de la
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modela como una ecuac dif de 1deg orden
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Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
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Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
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Modelo Matemaacutetico
ap
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Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
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La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
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Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
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de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
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modela como una ecuac dif de 1deg orden
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α y β dependen de Vm
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Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelo Matemaacutetico Corriente de K+
La gk se mantiene
mientras el Vm se
mantenga
(no se inactiva)
La dinaacutemica de la
apertura de los canales
de K+ es una sigmoidea
de 4deg orden
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La variacioacuten en el tiempo de la gk se
modela como una ecuac dif de 1deg orden
Canales abiertos
Canales cerrados
nndt
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β α
Resultados del
Pinzado de Voltaje
α y β dependen de Vm
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
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La dinaacutemica de la
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de Na+ es de 3deg orden
con inactivacioacuten
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α y β dependen de Vm
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Canal abierto
Canal cerrado
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Canal Inactivado
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Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
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αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
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Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
βm
Modelo Matemaacutetico Corriente de Na+
La gNa es explosiva
e inmediata pero
se inactiva por tiempo
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α y β dependen de Vm
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Modelo Matemaacutetico
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Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
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LL
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Modelo Matemaacutetico
αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
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Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelo Matemaacutetico
hhdt
dh
nndt
dn
mmdt
dm
hh
nn
mm
)1(
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LL
kk
NaNa
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4
3αm(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
βm(v) = 4e-((70+v)18)
αn(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
βn(v) = 0125e-((70+v)80)
αh(v) = 007 e-((70+v)20)
βh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt
dvCtI )(
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
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EgEgEgE
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donde
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gL
EL
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
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bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Conduccioacuten saltatoria
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bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
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bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
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bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
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bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
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