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ONDAS AMORTIGUADAS
Los sistemas reales tienen siempre fuerzas disipadoras como el rozamiento, por lo que las oscilaciones cesan
con el tiempo.
La disminución de la amplitud se denomina
amortiguación y el movimiento que realiza se
llama oscilación amortiguada .
Cuando colgamos un bloque del resorte, éste se deforma hasta llegar a su posición de equilibrio; x = 0. Alrededor de dicho punto, el bloque realizará un movimiento armónico simple si no hay fricción.
Si el medio en el que está el bloque es viscoso, se debe agregar al modelo del oscilador armónico la componente de la fuerza de amortiguación, la cual es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante.
Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad Fr=-λv, donde λ es una constante que depende del sistema físico particular.
Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.
La ecuación del movimiento se escribema=-kx-λv
Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que
la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera
de x.
Donde x representa la variable característica del movimiento, =k/m es la frecuencia propia o natural del sistema oscilante y =/(2m) es la
constante de amortiguamiento.
La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión
En esta ecuación existen DOS constantes arbitrarias, la primera es A (amplitud, valor máximo de la oscilación alrededor de una
situación de equilibrio), y la segunda es ϕ, que nos indica la fase inicial, es decir, la separación de la posición de equilibrio en el instante inicial
t=0.
Y describe la variación de la magnitud x con respecto al tiempo.
Cuando el amortiguamiento es pequeño, la variación temporal de x se describe:
Debido al termino exponencial, esta ecuación expresa que la amplitud se va reduciendo a medida que transcurre el
tiempo; con
𝒅𝒙𝒅𝒕
=𝑨𝒆−𝜸𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝝋)
𝝎=√𝝎𝟎𝟐−𝜸𝟐
En la parte (b) se representa otro caso, aquí el cuerpo oscila dentro
de un líquido, cuya viscosidad asegura un coeficiente de
amortiguación alto y por ello el movimiento se detiene en unos
pocos ciclos.
En la parte (a) se muestra el comportamiento de las oscilaciones del
cuerpo, que podían ser en un medio como el aire, este es poco viscoso y por tanto impone un coeficiente de amortiguación
bajo. Note que el cuerpo se mantiene oscilando, pero con la amplitud cada vez menor de acuerdo a la curva en rojo. Para que se detenga completamente transcurre
un tiempo relativamente largo.
Si continuamos aumentando el coeficiente de
amortiguación, por ejemplo, haciendo el
cuerpo oscilar dentro de melaza
(muy viscosa), llegará el momento
en que el movimiento se
reduce nada mas a volver a la posición de equilibrio. Por lo
que deja de ser harmónico. Este
coeficiente de amortiguación se
conoce como crítico.
Cuando el coeficiente de amortiguación es menor que el crítico la oscilación se considera sub-amortiguada y si es mayor entonces es un movimiento sobre-amortiguado.
Oscilaciones amortiguadas (g<w0)
La solución de la ecuación diferencial es
Oscilación sobre-amortiguada (g>w0)
La solución de la ecuación diferencial es
Oscilación crítica (g=w0)
La solución de la ecuación diferencial es
La energía del oscilador amortiguado
La energía de la partícula que describe una oscilación amortiguada es la suma de la energía cinética de la partícula y de la energía potencial del muelle elástico deformado.
Introducimos las expresiones de la posición x y de la velocidad v de la partícula en función del tiempo t.
Si la constante de amortiguamiento es pequeña ≈ω
La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una pequeña ondulación debida al segundo término entre paréntesis, tal como apreciamos en la figura
La características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:
La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo.
La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad.
En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.
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