Polígonos

LOS POLÍGONOS

Mercedes Espinosa

Índice

1. Introducción

2. Definición y elementos

3. Clasificación

4. Polígonos regulares

5. Áreas y perímetros

1. INTRODUCCIÓN

En el mundo en que vivimos podemos observar muchos objetos con formas geométricas. En la Naturaleza abundan más las líneas curvas, pero en los objetos construidos por los seres humanos predominan las rectas. Muchas de las figuras planas que podemos contemplar a nuestro alrededor están limitadas por segmentos, por ejemplo, ventanas, puertas, baldosas, cuadros, etc. Estas figuras se llaman polígonos.

Polígonos y la Naturaleza

Panal de abejas La Calzada del Gigante (Irlanda)

Copo de nieveEstrellas de mar

Polígonos y seres humanos

2. DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Un polígono es una porción de plano cerrada, limitada por un número cualquiera de segmentos.

Los elementos característicos de los polígonos son:

Vértice

Lado

Diagonal

Ángulo interior

Ángulo exterior

Vértice: es el punto de intersección de dos segmentos contiguos. Se designan con una letra mayúscula A, B, C, D...

Lados: es cada uno de los segmentos de recta que forman el polígono. Se designa con dos letras mayúsculas ubicadas en sus extremos, o con una letra minúscula en correspondencia con el vértice opuesto.

Ángulo interior: es el ángulo formado por dos lados del polígono. El ángulo interior se designa con una letra griega o con la letra mayúscula del vértice correspondiente añadiéndole el acento ^.

Ángulo exterior: es el ángulo formado por un lado y la prolongación de otro contiguo hacia la región exterior.

Diagonal: es el trazo que une dos vértices no consecutivos del polígono.

3. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Los polígonos se pueden clasificar siguiendo diferentes criterios:

Según sus ángulos

Según el número de lados

Según la igualdad de lados y ángulos

CLASIFICACIÓN

Segúnsus

Ángulos

Lados

Lados y ángulos

Cóncavos

Convexos

Triángulos

Cuadriláteros

Pentágonos

Hexágonos...

Equiángulos

Regulares

Equiláteros

Los polígonos, atendiendo a la amplitud de sus ángulos interiores, se pueden clasificar en:

polígonos convexos: si todos sus ángulos interiores son convexos, es decir menores que 180º

polígonos cóncavos: si tiene algún ángulo interior que es cóncavo, es decir mayor que 180º.

La palabra polígono procede del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulo), de modo que para su clasificación según el número de lados, se emplea el prefijo griego que indica el número de ángulos (o lo que es lo mismo, de lados) seguido de la palabra gono, con las dos importantes excepciones para tres y cuatro ángulos.

−−−

−

−−

−

. . .

h e p t á g o n o:á n g u l o s7

h e x á g o n o:á n g u l o s6

p e n t á g o n o:á n g u l o s5

:g e n e r a l

r oc u a d r i l á t e:á n g u l o s4

t r i á n g u l o:á n g u l o s3:se x c e p c i o n e

n o m b r e s

Así, los polígonos reciben los siguientes nombres:

Polígono equilátero que tiene sus lados iguales.

Polígono equiángulo en el que sus ángulos son iguales.

Polígono regular que tiene sus lados y ángulos iguales.

Según la igualdad de lados y ángulos, los polígonos pueden clasificarse en:

4. POLÍGONOS REGULARES

L o s p o l í g o n o s r e g u l a r e s t i e n e n l o s m i s m o s e l e m e n t o s c a r a c t e r í s t i c o s q u e l o s q u e n o l o s o n , p e r o a d e m á s t i e n e n a l g u n o s p r o p i o s :

C e n t r o

A p o t e m a

R a d i o d e l p o l í g o n o

Á n g u l o c e n t r a l

• c e n t r o : e s e l p u n t o q u e e s t á a l a m i s m a d i s t a n c i a d e t o d o s l o s v é r t i c e s .

• a p o t e m a : e s u n s e g m e n t o q u e u n e e l c e n t r o d e l p o l í g o n o c o n e l p u n t o m e d i o d e u n l a d o c u a l q u i e r a .

• r a d i o d e l p o l í g o n o : e s e l s e g m e n t o q u e u n e e l c e n t r o d e l p o l í g o n o c o n u n v é r t i c e c u a l q u i e r a .

• á n g u l o c e n t r a l : e s e l á n g u l o d e t e r m i n a d o p o r d o s r a d i o s c o n s e c u t i v o s .

D a d a s l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l o s p o l í g o n o s r e g u l a r e s , p o d e m o s d i f e r e n c i a r a l g u n a s p r o p i e d a d e s q u e s e d a n s i e m p r e , y q u e s o n d e g r a n u t i l i d a d p a r a d e t e r m i n a r s u s p r o p i e d a d e s , y d i m e n s i o n e s g e o m é t r i c a s .

• L o s p o l í g o n o s r e g u l a r e s s o n e q u i l á t e r o s ; t o d o s s u s l a d o s t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d .

• T o d o s l o s á n g u l o s i n t e r i o r e s d e u n p o l í g o n o r e g u l a r t i e n e n l a m i s m a m e d i d a , e s d e c i r , s o n c o n g r u e n t e s .

• L o s p o l í g o n o s s e p u e d e n d i v i d i r e n t r i á n g u l o s c u y o s l a d o s s o n e l l a d o d e l p o l í g o n o y l o s d o s s e g m e n t o s q u e u n e n e l c e n t r o y l o s v é r t i c e s ( r a d i o s ) .

• T o d o s l o s á n g u l o s c e n t r a l e s d e u n p o l í g o n o r e g u l a r s o n c o n g r u e n t e s y s u m e d i d a α p u e d e o b t e n e r s e a p a r t i r d e l n ú m e r o d e l a d o s n d e l p o l í g o n o :

• E l á n g u l o i n t e r i o r d e u n p o l í g o n o r e g u l a r m i d e :

• E l á n g u l o e x t e r i o r d e u n p o l í g o n o r e g u l a r e s d e :

• L a s u m a d e l o s á n g u l o s e x t e r i o r e s d e u n p o l í g o n o r e g u l a r e s 3 6 0 º .

5. ÁREAS Y PERÍMETROS

E l p e r í m e t r o d e u n p o l í g o n o e s i g u a l a l a s u m a d e l a s l o n g i t u d e s d e s u s l a d o s .

E l á r e a d e u n a f i g u r a e s l a c a n t i d a d d e s u p e r f i c i e q u e e l l a o c u p a .

E n e l c a s o d e u n a f i g u r a q u e s e d i b u j a s o b r e u n p a p e l , p o d r í a m o s d e c i r q u e s u á r e a e s l a c a n t i d a d d e p a p e l q u e a l c a n z a a l l e n a r .

E l á r e a d e u n p o l í g o n o e s l a m e d i d a d e l a r e g i ó n o s u p e r f i c i e e n c e r r a d a p o r u n p o l í g o n o .

V e a m o s l a s f ó r m u l a s p a r a h a l l a r e l á r e a d e l o s p o l í g o n o s .

2

hbA

⋅=

2lA =

hbA ⋅=

T r i á n g u l o

C u a d r a d o

R e c t á n g u l o

2

dDA

⋅=R o m b o

R o m b o i d e hbA ⋅=

T r a p e c i o

( )h

2

bBA ⋅+=

P o l í g o n o r e g u l a r

2

a p o t e m aP e r í m e t r oA

⋅=

P a r a h a l l a r e l á r e a d e c u a l q u i e r o t r o p o l í g o n o , s e d e b e d e s c o m p o n e r e n t r i á n g u l o s y c a l c u l a r e l á r e a d e c a d a u n o d e e l l o s .

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

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