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Práctica 3 BIS de Vibraciones: "Péndulo de Torsión de Pohl" Juan Manzanero Torrico
Grupo 2
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Introducción
Tras el desarrollo de la parte teórica de una asignatura como vibraciones,
era casi obligado tras observar multitud de sistemas físicos con sus
correspondientes parámetros de Inercia, Amortiguamiento, y Rigidez, el ser
capaces de determinarlas empíricamente para un sistema de un grado de
libertad dado.
Este ha sido el objetivo de la práctica 3 BIS, cuyo sistema objeto de
análisis ha sido el conocido como péndulo de Pohl, constituido por un disco
capaz de rotar sobre su propio eje, y a su vez anclado a un muelle torsional
(suministra un momento proporcional al ángulo de giro medido desde la
posición de equilibrio, que serán 0º). La componente amortiguadora viene
dada por una bobina situada en la base, cuyas corrientes inducidas o de
Foucault imprimen un momento que resulta proporcional a la velocidad angular de giro del disco, de tal forma que la ecuación del movimiento para el disco
resulta:
En esta expresión observamos con claridad los tres parámetros
constituyentes del modelo que afectan en la dinámica del sistema: Por un lado
la rigidez del muelle, Kt, que imprime un momento proporcional al ángulo de
giro, por otro el amortiguamiento del mismo, Ft, que da lugar a un momento
proporcional a la velocidad angular, y por último el momento de inercia en el
centro y respecto de un eje normal al plano del disco, I.
Estos parámetros son tales que la dinámica del sistema resulta
subamortiguada, de tal forma que la respuesta transitoria realiza oscilaciones
amortiguadas con el tiempo alrededor de la respuesta estacionaria. La condición necesaria para que esto sea posible consiste en que el
amortiguamiento sea menor a
Para la obtención de los parámetros estudiaremos unos puntos
singulares: Los diez primeros máximos y mínimos relativos que presenta el sistema, ya que aparte de los puntos que cumplen θ=0º, son los únicos
capaces de ser determinados a simple vista a falta de un registrador.
Así pues, gracias las variables medidas como el periodo y los máximos
(con dos de ellos valdría, pero medimos varios para después hacer una
regresión lineal y minimizar el error), podemos relacionarlas con los
parámetros que rigen la dinámica antes mencionados.
El tiempo que tarda en ir de un máximo a un mínimo coincide con el
semiperiodo del movimiento, de tal forma que con la ayuda de un cronómetro
registraremos el tiempo que tarda en recorrer cinco periodos para minimizar
error. De este modo obtenemos el periodo y los parámetros relacionados con este.
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Desarrollo en el laboratorio
Durante el transcurso de la labor en el laboratorio tienen lugar dos
etapas: El ensayo de deflexión estática, y el ensayo dinámico
Ensayo estático Es de gran importancia para el cálculo de la
rigidez, ya que cuando el sistema se halla en una posición de equilibrio, el
muelle es el único que influye en ella. De esta forma se aplicó un momento
conocido y se esperó a que el disco alcanzara el equilibrio.
En el equilibrio se realizó una medida (mediante la escala graduada) del ángulo respecto a la posición de equilibrio sin carga (θ=0º) que se había
desplazado el disco. De esta forma como es conocido que el muelle actúa
precisamente de forma proporcional a este ángulo conocemos el par con el que
el muelle actúa sobre el disco.
El momento aplicado se consiguió colocando una pequeña masa (20gr)
en la periferia del disco. Se nos proporcionó el radio del disco (92mm) de tal
forma que midiendo el ángulo respecto a la horizontal de la posición final de la
masa obtenemos el brazo efectivo del peso, y consecuentemente el momento
que estamos aplicando.
Figura 1 Péndulo de Pohl
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El ángulo θ representa el valor del giro en la posición de equilibrio final,
representa el ángulo que forma la masa colocada en la posición
de equilibrio medido desde la línea horizontal (90º), y que contribuye al brazo
del peso a la hora de establecer el balance de momentos.
Como se observa, se ha obtenido un valor de 0.0155 Nm/rad para la
rigidez del muelle torsional. Este valor, junto con la inercia, está íntimamente
relacionado con el periodo de las posteriores oscilaciones respecto del
equilibrio del ensayo dinámico.
Ensayo dinámico El análisis dinámico se llevó a cabo sometiendo al
sistema a una de las cargas privilegiadas estudiadas durante el transcurso de
la asignatura. En especial se eligió la carga estática con suelta rápida.
Para imprimir esta solicitación al sistema se desplazó a éste un ángulo de
5º respecto de su posición de equilibrio y posteriormente se soltó,
considerando éste instante como el origen de tiempos.
Además se conectó la bobina haciendo circular por ella una corriente de
0.4 Amperios activando el amortiguamiento que se sumará al propio
rozamiento inherente al sistema.
Con esta carga, la posición alrededor de la cual oscila el sistema vuelve a ser la de equilibrio sin carga (0º), de tal forma que se midieron a simple vista
los valores mínimos y máximos de ángulo que alcanzaba el disco en su
movimiento.
Los resultados obtenidos se resumen en la siguiente tabla
Donde el tiempo está equiespaciado según un semiperiodo. El valor del periodo es aproximadamente de 1.89s.
De esta forma, sabiendo que la representación en escala logarítmica del
valor de amplitud pico a pico respecto del tiempo resulta una recta se llevó a
cabo la representación de la misma y la posterior regresión lineal de la nube de
puntos, obteniendo así el valor de la pendiente que está relacionada con el
parámetro ε=FT/2I según la relación:
Pendiente = -εT/2
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En lugar de utilizar el tiempo como variable independiente a la hora de
realizar la representación se utilizó la variable n definida como el número de
semiperiodos transcurridos (t=(n-1)T/2). Dicha gráfica es la siguiente:
(α representa el valor de pico a pico para un valor de n, es decir el
ángulo recorrido entre la posición en ese instante y la inmediatamente
siguiente)
Mediante la obtención de esta pendiente, se obtienen la inercia y el
amortiguamiento del péndulo de Pohl aplicando las siguientes expresiones:
Con esto puedo concluir que el resultado final del experimento es el
siguiente:
Lnα = -0.141n + 4.3713
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 2 4 6 8 10 12
lnα
n
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