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Centro educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Nivel: NM- 3
Prueba Nivel: Álgebra y Modelos Analíticos 3° Matemático
Nombre:________________________________ Curso: _________ Fecha: _______ Porcentaje de logro Ideal: 100 % Porcentaje Logrado: ________ Nota: _________ Unidad: Álgebra
Contenido: Álgebra, Geometría Analítica
Aprendizaje Esperado: Aplica conceptos de simplificación y factorización de expresiones
algebraicas en la resolución y demostración de problemas y determina el conjunto solución
de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de grado 1 y 2..
- Analiza diferentes figuras geométricas en el plano cartesiano y demuestra sus propiedades.
Instrucciones: -
- Resuelve en forma ordenada y anota los resultados finales con lápiz pasta.
- Todo desarrollo y/o procedimiento que no esté ordenado, no será corregido y se
considerará NULO para efectos de asignación de puntaje.
Parte I. Álgebra.
I) Respuesta breve. ( )2% / 18%c u →
1) Demuestra que 2
3 1 1 11 ; :
11 212
a a aa
aaa
− − ∀ ≠ ± − = +−−
2
2) Demuestra, resolviendo o comprobando, que la solución de la ecuación de primer grado 2 2
2 2 ;x a b x a b a b
a bx a x a x a
+ + + − += − ∀ ≠
+ − − es
2a b
x+
= −
3) Demuestra que: ( )
2
3
2
2 11 ; : 1
1
1
a aa a
a
a
+ +∀ ≠ ± = −
− −
−
4) Resuelve la ecuación literal : ( ) ( )
1x x a a a x
a x
x a
− − − =
−
3
5) Resuelve la ecuación exponencial ( )2
21 1 1
n n nn n a
aa
− + ⋅ =
6) Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si se resta una misma cantidad a los 3 lados, se obtiene un triángulo rectángulo. ¿Qué cantidad(es) es (son) esta(s)?
7) Resuelve la ecuación bicuadrática: 4 22 4 6 0x x+ − =
4
8) Resuelve la ecuación: 3
3
204 11x
x⋅ − =
9) Resuelve y Demuestra que la solución de la ecuación literal de primer grado
( ) ( )
( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
22 2
2 2 2 21 ;
1 1
a b ab a b b x a a x aa a b
a b a ab b a b a a a b a ab
− + ⋅ − − − − = ∀ ≠ ≠ ±
− − + + − + + + + está
dada por: 2 1x a= +
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II) Desarrollo. ( )4% / 36%c u →
10) Resuelve las ecuaciones siguientes : ( ) ( ) ( ){ }5 1 2 3 5 3 4 2 5 7x x x x x − + − − + − − − =
; ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 32 1 2 1 1 5 1 73 4 4 12 4 12
y y y y y− − + − −+ − = + − , para demostrar que 8x y+ = −
11) Realizando cambio de variable, determina el conjunto solución de la ecuación irracional 2 2
2 2
1 198
1 1
x x x x
x x x x
+ − − −+ =
− − + −
6
12) Demuestra que:
( )
( ){ } ( ){ }
+ −⋅−
− ++ ⋅ = − − + − − − − − − −+ − + ⋅ ⋅
+−
22 2 22 22 2 1 11 1
33 42
3
a aa b a aa ba b a ba b ab a ab b
a b aba b
13) La diferencia de dos números es – 5 y la suma de sus cuadrados 97. Determina el valor absoluto de la raíz cuadrada del producto de ellos.
7
14) Dados −
+=
−+
1
abaa bA ba b
, =
−
−
111 11
B
a
y − + + −
= + −+ + + +
222 1 3 1 5 19 23 5 8 15
x x x xCx x x x
;
Demuestra que: A + B + C = 1
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15) Resuelve el siguiente sistema 2 2
1 1
; 00
x y
a b a ba b
x y
b a
+ = +
≠ ≠
− =
y Demuestra que su solución está dada por: 1 1
;x ya b
= =
16) Resuelve el siguiente sistema 3
3 2 2 8
xy x y
xy x y
− − = −
− − = −
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17) Resuelve el siguiente sistema 2 2
2 2
3 5 2 0
7 9 3 7
x xy y
x xy y
+ − =
+ − =
10
18) Demuestra que
1
2 2 1
1 1
1 1, 1; : 1 1
1 11
x y xx y
yxx y
y
−
− − −
− −
− − ∀ ≠ ± + − = −
−− − +
Optativo 1… (6%) En un círculo la distancia entre dos cuerdas paralelas es 12 cm. Si cada cuerda mide 6 cm más que el radio, determina la medida del radio.
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Nombre: __________________________________
Parte II. Geometría Analítica.
III) Respuesta breve. ( )2,5% / 30%c u →
1) Sean a y b números enteros de modo que a > b. Entonces, ¿en qué cuadrante se ubica el punto d cuyas coordenadas son (b – a , a – b)? 2) Dadas las rectas 1 2 5L : y ax= + y 1 3 9 0L : x y+ + = , ¿qué valor debe tener a, para que: a) 1 2L L⊥ b) 1 2L / / L 3) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (4 , -1) y es paralela a la recta 2y – x + 8 = 0? 4) Si el punto (– 3, 1), pertenece a la recta L: (k – 1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 . Determina el valor de k.
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5) Determina si la distancia entre los puntos: ( )3 3
, ; ,2 2
m n n mA m n B
− +
queda
determinada por: 2 2d m n= + 6) ¿Cuánto mide el área de una circunferencia de diámetro AB determinado por los puntos
( ) ( )1, 5 ; 7,3A B− − − ?
7) Dada Una recta : 0L Ax By C+ + = y un punto ( )1 1,P x y , su distancia queda determinada
por la expresión: 1 1
2 2PL
Ax By Cd
A B
+ +=
+.
Usando lo anterior determina si la distancia de la figura es efectivamente la indicada.
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8) Determina la ecuación principal de la recta, cuya pendiente 4 y su coeficiente de posición es 2, su ecuación general es : 9) Determina la distancia del punto P, que corresponde a la intersección de las rectas: y = 5 – x e y = x – 1, al origen. 10) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 u (unidades) es el punto
( )3, 2A − . Si la abscisa del otro extremo es 6, determina los valores que puede tomar la
ordenada. 11) Determina la ecuación general de L2, sabiendo que es perpendicular a L1 y pasa por el punto ( )0, 2−
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12) Uno de los puntos extremos de un segmento es ( )1 7,8P y su punto medio es ( )4,3MP
Determina las coordenadas del otro extremo.
IV) Demostraciones. ( )4% / 24%c u → 13) Las rectas 1 2: 2 8 ; : 4 0L x y L x y+ − − + = forman con eje de las abscisas un triángulo. Determina su área y perímetro.
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14) El triángulo de la figura, determina la ecuación principal, de cada una de sus transversales de gravedad
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15) Los puntos; ( ) ( ) ( )2, 1 ; 2,2 ; 5, 2A B C− − − son los vértices de un triángulo.
a) Demuestra que este es isósceles. b) Determina la ecuación general de la simetral que Intersecta la base del triangulo . 16) Utilizando el triángulo de la figura:
: a) Demuestra que Triángulo ABC es rectángulo en C
b) Demuestra que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.
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17) Demostrar que la recta que une los puntos medios de 2 lados cualesquiera de un triángulo, es paralela al tercer lado e igual a su mitad.
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18) Demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio: a) Es paralelo a las bases b) su longitud es igual a la semisuma de las bases-
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Optativo 2…!!! (6%) Dos de los vértices de un triángulo equilátero son: ( ) ( )1,1 ; 3,1A B− . Hallar las coordenadas
del tercer vértice.
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