PRUEBA PEP1 CALCULO 2

U. DE SANTIAGO DE CHILE DEP. DE MATEMATICA Y C.C.PAUTA PRUEBA PEP1

CALCULO 2 PARA INGENIERÍAPrimer Semestre 2016

Pregunta 1

a)Expresar como integral el siguiente límite

limn!+1

ln

�n+ 1

n

� 1n

+ ln

�n+ 2

n

� 1n

+ ln

�n+ 3

n

� 1n

+ � � �+ ln�n+ n

n

� 1n

!

b) Sea R la región acotada por las curvas de�nidas por y(x) = x2+ a2

4e y(x) = a2 � 2x2, con a > 0. Calcular el volumen del sólido que se generaalrotar la región R con respecto al eje x.Solución.-a) Primero de�nimos

J = limn!+1

ln

�n+ 1

n

� 1n

+ ln

�n+ 2

n

� 1n

+ ln

�n+ 3

n

� 1n

+ � � �+ ln�n+ n

n

� 1n

!

En un primer paso consideramos el exponente y tenemos

J = limn!+1

1

n

�Ln

�n+ 1

n

�+ Ln

�n+ 2

n

�+ Ln

�n+ 3

n

�+ � � �+ Ln

�n+ n

n

��

..............................................................................................................0.2utilizando la notación de sumatoria la expresión anterior es

J = limn!+1

1

n

nXi=1

ln

�n+ i

n

�

es decir,

J = limn!+1

nXi=1

ln

�1 +

i

n

�� 1n

..............................................................................................................0.4por lo tanto, observando esta última expresión y asumiendo que el itervalo

se divide en n subintervalos de igual longitud resulta a = 1; y longitud delinervalo b� a = 1, es decir,b = 2;de donde se deduce que la función de acuerdo a la de�nición de integral

de�nida es f(x) = ln(x). La integral es

J =

Z 2

1

ln(x)dx

1

..............................................................................................................0.4

NOTA.- Si toma a = 0 tiene la integral J =

Z 1

0

ln(x+ 1)dx

b) Para hallar los puntos de intersección de las parábolas hacemos.

x2 +a2

4= a2 � 2x2 =) x2 =

a2

4

por lo tanto x = a2 y x = �

a2 .

..............................................................................................................0.2Aplicando el método de los discos, el volumen se obtiene por

V

2= �

Z a2

0

(a2 � 2x2)2dx� �Z a

2

0

�x2 +

a2

4

�2dx

..............................................................................................................0.4al desarrollar los cuadrados

V

2= �

Z a2

0

(a4 � 4a2x2 + 4x4)dx� �Z a

2

0

�x4 +

a2x2

2+a4

16

�dx

= �

Z a2

0

�3x4 � 9a

2x2

2+15a4

16

�dx

..............................................................................................................0.2al integrar

V

2= �

�3

5x5 � 3a

2x3

2+15a4x

16

�� a2

0

al evaluar se obtiene que V = 35�a

5.

..............................................................................................................0.2Pregunta 2Dada la función f de�nida por f(x) = x2(x� 2)

a) Determine en que puntos se intersectan las grá�cas de la función fy su derivada f 0 y bosqueje la región entre ambas grá�cas

b) Calcule el área de la región descrita en (a).Solución.-a) Obtenga la derivada de f y determine en que puntos se interceptan la

función f y su derivada.La derivada de la función es f 0(x) = 3x2 � 4x. Los puntos de intersección

de la función f y su derivada se obtienen de la solución de la ecuaciónf(x) = f 0(x), es decir

x2(x� 2) = 3x2 � 4x) x(x� 1)(x� 4) = 0

2

por lo tanto, se intersectan cuando x = 0, x = 1 y x = 4...............................................................................................................0.2La grá�ca es

­1 1 2 3 4 5

10

20

30

x

y

..............................................................................................................0.4

b)el área se obtiene por

A =

Z 1

0

(x3 � 2x2 � (3x2 � 4x))dx+Z 4

1

(3x2 � 4x� (x3 � 2x2))dx

..............................................................................................................0.8es decir,

A =

Z 1

0

(x3 � 5x2 + 4x)dx+Z 4

1

(�x3 + 5x2 � 4x)dx

al integrar

A =

�x4

4� 5x

3

3+ 2x2

��1

0

+

��x

4

4+5x3

3� 2x2

��4

1

..............................................................................................................0.4por lo tanto, A = 71

6 ...............................................................................................................0.2Pregunta 3Encuentre la longitud de arco de la curva

f(x) =

Z x

1

(t2 � et2

� 1) 12 dt ; 1 � x � 2

Solución.-

3

La derivada de la función f por el teorema fundamental del cálculo esf 0(x) = (x

2ex

2

� 1) 12 ,..............................................................................................................0.4la longitud de arco de la curva se obtiene por

L =

Z 2

1

r1 +

�(x2 � ex2 � 1) 12

�2dx

..............................................................................................................0.8es decir,

L =

Z 2

1

xex2

2 dx

..............................................................................................................0.4

al integrar L = ex2

2

���21, por lo tanto L = e2 �

pe.

..............................................................................................................0.4

4