RELACION Y OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS. Para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto se...

RELACION Y OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia ( ).

-5 Z ( se lee: -5 pertenece a Z )

su negación es

5/2 Z ( se lee: 5/2 no pertenece a Z)

Relación de pertenencia

Nota:

Cabe aclarar que la relación entre elementos y conjuntos es de pertenencia, y la relación que se puede dar entre conjuntos es de inclusión.

Conjuntos iguales

El conjunto A es igual al conjunto B, si y sólo si, cada elemento de A pertenece a B y viceversa.

A = B ↔ A B y B A

Ejemplo:• G = {x N / 3 < x < 10} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

H = {x Z / 4 ≤ x ≤ 9} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

entonces G = H

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B

IGUALDAD DE CONJUNTOSRe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

A= { x, y } B= { y, x }

Esto es:A=B,

entonces x є A, implica que x є B y

Que y є B, implica que y є A.

Ejemplo de Igualdad de Conjuntos……………

IGUALDAD DE CONJUNTOSRe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Si

M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y

L= {x/x es impar ^ 1 ≥ x ≤ 9 }

Esto significa que

M=L

Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B,

entonces A se llama Subconjunto de BTambién decimos que A, esta contenido en B

SU SIMBOLO ES:

SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Considere los siguientes conjuntos:A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B={ 1, 2, 3, 5, 7 } C={ 1, 5 }

Podemos decir que:

C A y C B, Ya que 1 y 5 los, elementos de C, también son elementos de A y B

B A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a Ao se que no todos lo elementos de B son elementos de A

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Considere los siguientes conjuntos:

B={ x/x es un ave} H={ y/y es una paloma}

Podemos decir que:

H B H es un subconjunto de B

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Considere el siguiente conjunto:

A={ x/x є N es par} y B={ y/y є N y es múltiplo de 2}

Podemos decir que…………

B A

A B

B = A

A = B

DIAGRAMA DE VENN (Euler)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Si A={ 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8}

UA

B

C

D

A U C UB U D U

B A D C

CONJUNTOS DISJUNTOSDos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA :

A B

1

7

5 3

9

2

4

8

6

Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS

CONJUNTOS INTERSECANTES

U

A BA y B son conjuntos

intersecantes

Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común.

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

OPERACIONES CON CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Operaciones con Conjuntos

Unión

Intersección

Diferencia

Diferencia Simétrica

Complemento

UNION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

La unión de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unión B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos

A U B ={ x/ (xЄ A) V (x Є B)}

U

A B

En el diagrama de Venn, la región sombreada corresponde al conjunto A U B

UNION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Ejemplo

A U B ={ a, b, c, d, e, f}

U

A B

Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }Entonces:

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

B

AUB AUB

INTERSECCION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

A ∩ B ={ X / (XЄ A) Λ (x Є B) }

U

A B

La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B, que se lee A intersección B.

Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos

En este diagrama de Venn la región

sombreada corresponde al conjunto A ∩B

INTERSECCION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y BA ∩ B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos Ay B

Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }

Dos conjuntos que no tienen nada en común se llaman

DISYUNTOS

Observe que los elementos c y d pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B

A ∩ B = { c, d }

INTERSECCION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Si A={ a, b, c, d }

B= { c, d }A ∩ B = { c, d }

UA

B

UA

B

Si A={ a, b, c, d }

B= { m, p, q }A ∩ B = Ø

A ∩ B = Ø, A y B son disyuntos A ∩ B =B porque B A

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

AB AB=B

B

AB=Φ

DIFERENCIA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }

La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B

Simbólicamente:

UA

B

UA B

DIFERENCIA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }

UA

B

U A B

U AB

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

A - B A - B

B

A - B=A

INDICE

DIFERENCIA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Ejemplo 1:

Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }

Ejemplo 2:

Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}

Ejemplo 3:

Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }

COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota

A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A

Simbólicamente: A΄={ X/X Є A U Λ x A }

UA

A΄= U – A Ejemplo:

A = { X/X es un numero natural par}

Sea U = N (el conjunto de los números naturales)

A΄ = { X/X es un numero natural impar}=U -A

IGUAL

SIMBOLOGIARe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

ELEMENTO PERTENECE

ES SUBCONJUNTO

єє

NO ES SUBCONJUNTO

ELEMENTO NO PERTENECE

=

CONJUNTO VACIO { } o Ø

CONJUNTO UNIVERSAL UCONJUNTO DE PARTES P{A }

UNION

INTERSECCION

DIFERENCIA SIMETRICA

∩

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

DIFERENCIA

U

CONJUNTOS NUMERICOS

NNATURALES

___

’

ZENTEROS

QRACIONALES

IRRACIONALES

rREALES

Q΄

CCOMPLEJOS

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Simbólicamente:

La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos

A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Simbólicamente:

La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos

A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}

A diferencia simétrica de B es igual ax Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece

a A intersección B

DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }

UA B

En el siguiente grafico se muestra A B

Observe que las regiones a la izquierda y a la derecha corresponden a los

conjuntos A-B y B-A

Por eso también

A B={ A – B } U { B- A }

A B={ A U B } - { B ∩A }

A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }

PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 PROBLEMA 4

Dados los conjuntos:

A = { 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 15 }

B = { 2 , 4 , 6 , ... , 14 }

C = { -3 , -2 , -1 , 0 , ... , 12 }

a) Expresar B y C por comprensión

b) Calcular: n(B) + n(A)

c) Hallar: A U B , C – A

a) Expresamos B y C por comprensión

A = {x/x N, x es impar, x<16 }

B = {x/x N, x es par y x <15 }

Solución

b) Hallamos : n (A) = 8 n (B) = 7

Por lo tanto : n (A) + n (B) = 15

c) Hallamos la unión de A y B

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

C – A = { - 3, - 2, - 1, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 }

Determinar si es verdadero o falso:

a) Φ Gb) {3} Gc) {{7};10} Gd) {{3};1} Ge) {1;5;11} G

Observa que los elementos de A son:

1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11

Entonces:

FALSO

FALSO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C.

A B

C

A B

C

A B

CA

B

C

AB

C

[(A B) – C]

[(B C)–A]

[(A C) – B]

Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A,B o C se observa que 180 ven el canal A ,240 ven el canal B y 150 no ven el canal C, los que ven por lo menos 2 canales son 230 ¿cuántos ven los tres canales?

El universo es: 420

Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240No ven el canal C: 150Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270

A B

C

a

d

(I) a + e + d + x =180

be

xf

(II) b + e + f + x = 240

c

(III) d + c + f + x = 270

Dato: Ven por lo menos dos canales 230 ,entonces:

(IV) d + e + f + x = 230

(I) a + e + d + x =180(II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270

Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III)

Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420230

entonces : a+b+c =190

a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690 190 230

190 + 460 + x = 690 x = 40

Esto significa que 40 personas ven los tres canales

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos

Num

éric

os

Números Naturales NEs la colección de Objetos matemáticos representados por los símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar.

N= {1, 2, 3, 4, ….}

Números Enteros ZLos números enteros abarca los números negativos incluyendo en cero y los números positivos. Y se representa

Z= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos

Num

éric

os

Números Racionales QEs el conjunto de los números de la forma donde p y q son enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo.

Q= { ,q Є Z Λ q ≠ 0}

Números Irracionales Q’Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros

Q’

Entre los mas conocidos esta el π

pq

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos

Num

éric

os

Números Reales REs el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales

R = Q U Q’

Números Complejos cEs la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad.

i2=-1

Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}

Números Reales ( R )R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}

Números Complejos ( C )C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}

N

ZQ

I

R

C