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𝑦 (𝑦 ′)2− (𝑥 𝑦2+1 ) 𝑦 ′+𝑥𝑦=0…….(1)
Resolver :
Resolución: Haciendo
o
𝑑𝑦𝑑𝑥
=𝑝 Y reemplazando en la ecuación (1)
Resolviendo el polinomio de segundo grado, respecto a la variable p
(𝑝−(𝑥 𝑦 2+1 )2 𝑦
)2
−(𝑥 𝑦 2+1 )2
4 𝑦2+𝑥=0 Despejando la variable p
𝑝=(𝑥 𝑦2+1 )2 𝑦
±√ (𝑥 𝑦2+1 )2
4 𝑦 2− 𝑥=
(𝑥 𝑦2+1 )2 𝑦
±√ 𝑥2 𝑦4+2𝑥 𝑦2+1−4 𝑥 𝑦 24 𝑦2
Simplificando:
p=𝑥 𝑦2+12 𝑦
±√ 𝑥2 𝑦4−2𝑥 𝑦2+1(2 𝑦 )2= 𝑥 𝑦2+1
2 𝑦±√(𝑥 𝑦2−1)2
(2 𝑦 )2
𝑝= 𝑥 𝑦 2+12 𝑦
±𝑥 𝑦2−12 𝑦
El polinomio tiene 2 resultados en la variable p:
{𝑝=𝑥𝑦
𝑝= 1𝑦 {𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑥𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑥
= 1𝑦
{∫ 𝑑𝑦𝑦
=∫𝑥𝑑𝑥+𝑐
∫ 𝑦𝑑𝑦=∫𝑑𝑥+𝑐 {𝑙𝑛𝑦=𝑥2
2+𝑐
𝑦2
2=𝑥+𝑐
Resolver respecto a y: o 𝑝𝑙𝑛𝑝− 𝑦=0Despejando la función incógnita:
……
; 𝑝=𝑝(𝑥 )
Derivar la ecuación (1), respecto a x𝑑𝑦𝑑𝑥
=𝑙𝑛𝑝𝑑𝑝𝑑𝑥
+𝑑𝑝𝑑𝑥
𝑝=𝑑𝑝𝑑𝑥
( 𝑙𝑛𝑝+1) Separando Variables
𝑑𝑥=(𝑙𝑛𝑝+1 )𝑑𝑝 ∫𝑑𝑥=∫ 𝑙𝑛𝑝+1𝑝
𝑑𝑝+𝐶𝑥=
(𝑙𝑛𝑝+1)2
2+𝐶
Por tanto; la solución General de la ecuación diferencial es:
{ 𝑦=𝑝𝑙𝑛𝑝
𝑥=(𝑙𝑛𝑝+1)2
2+𝐶
Resolver respecto a y: (𝑦 ′ )2𝑐𝑜𝑠 𝑦 ′+𝑦 ′=𝑦 𝑦=𝑝2𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑝…… (1)
Despejando la función incógnita: ; Derivar respecto a x
𝑑𝑦𝑑𝑥
=2𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝𝑑𝑝𝑑𝑥−𝑝2𝑠𝑖𝑛𝑝
𝑑𝑝𝑑𝑥
+𝑑𝑝𝑑𝑥
𝑝=𝑑𝑝𝑑𝑥
(2𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝−𝑝2𝑠𝑖𝑛𝑝+1)
Separando Variables
∫𝑑𝑥=∫(2𝑐𝑜𝑠𝑝−𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+ 1𝑝 )𝑑𝑝 +𝐶
𝑥=2𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝−𝑠𝑖𝑛𝑝+ 𝑙𝑛𝑝+𝐶=𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑙𝑛𝑝+𝐶Por tanto; la solución General de la ecuación diferencial es:
{ 𝑦=𝑝2𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑝𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑙𝑛𝑝+𝐶
Resolver respecto a la variable y 3 𝑥4( 𝑑𝑦𝑑𝑥
)2
−𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥−𝑦=0
𝑦=3 𝑥4𝑝2−𝑥𝑝 Despejando la función incógnita: ;
Derivar respecto a x
𝑑𝑦𝑑𝑥
=3(4 𝑥3𝑝2+2𝑥4𝑝 𝑑𝑝𝑑𝑥 )−𝑝− 𝑥 𝑑𝑝𝑑𝑥
𝑝=12 𝑥3𝑝2+6 𝑥4𝑝𝑑𝑝𝑑𝑥−𝑥
𝑑𝑝𝑑𝑥−𝑝
2𝑝−12𝑥3𝑝2=(6𝑥4𝑝−𝑥)𝑑𝑝𝑑𝑥
(𝑦 ′ )3−𝑦 ( 𝑦 ′ )2−𝑥2 𝑦 ′+𝑥2 𝑦=0 𝑝3−𝑦 𝑝2−𝑥2𝑝+𝑥2 𝑦=0
𝑝2 (𝑝− 𝑦 )−𝑥2 (𝑝− 𝑦 )=0
Factor izando, obtenemos:
(𝑝− 𝑦 ) (𝑝2−𝑥2 )=0
{ 𝑝−𝑦=0𝑝2−𝑥2=0
Igualando a cero cada uno de los factores
{ 𝑝=𝑦𝑝=± 𝑥 { 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑥
=±𝑥
Separando variables e Integrando:
{∫ 𝑑𝑦𝑦
=∫𝑑𝑥+𝐶
∫𝑑𝑦=±∫𝑥𝑑𝑥{ 𝑙𝑛𝑦=𝑥+𝐶
𝑦=± 𝑥2
2+𝐶
Resolver la siguiente ecuación diferencial respecto a la variable P
(𝑙𝑛𝑦−𝑥−𝐶 )(𝑦 ± 𝑥2
2−𝐶 )=0
Por tanto la S.G. es:
Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden y grado superior
Resolución respecto a x8 𝑦 (𝑑𝑦
𝑑𝑥)2
=−2𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
+𝑦=0
Haciendo 𝑑𝑦𝑑𝑥
=𝑝 Y reemplazando en nuestra ecuación
8 𝑦 𝑝2=−2 𝑥𝑝+ 𝑦
Despejando la variable x; ya que es resolución respecto a X
𝑥= 𝑦−8 𝑦 𝑝2
2𝑝Por tanto tiene la siguiente forma 𝑥= 𝑓 (𝑦 ,𝑝 )
Si observamos detenidamente, vemos que x es función de Y y P
Además p es función de y, por tanto: 𝑝=𝑔(𝑦 )
En conclusión: la derivada del despeje de X debe ser respecto a la variable y
𝑑𝑥𝑑 𝑦
=12
[1−8 (𝑝2+2 𝑦𝑝 𝑑𝑝𝑑𝑦 )]𝑝−(𝑦−8 𝑦𝑝2) 𝑑𝑝
𝑑𝑦
𝑝2
Ordenando la ultima expresión:
1𝑑𝑦𝑑𝑥
=12
𝑝−8𝑝3−16 𝑦 𝑝2𝑑𝑝𝑑𝑦−(𝑦−8 𝑦𝑝2)
𝑑𝑝𝑑𝑦
𝑝2
Reemplazando 𝑑𝑦𝑑𝑥
=𝑝 En la ultima expresión y factor izando
1𝑝2𝑝2=− (16 𝑦 𝑝2+𝑦−8 𝑦 𝑝2 ) 𝑑𝑝
𝑑𝑦+𝑝−8𝑝3Simplificando y ordenando
𝑝+8𝑝3=−(𝑦+8 𝑦 𝑝2)𝑑𝑝𝑑𝑦 𝑝 (1+8𝑝2 )=− 𝑦 (1+8𝑝2)
𝑑𝑝𝑑𝑦
Simplificando factores obtenemos: 𝑝=− 𝑦𝑑𝑝𝑑𝑦 Separando Variables
𝑑𝑦𝑦
=−𝑑𝑝𝑝
Integrando miembro a miembro ∫ 𝑑𝑦𝑦
=−∫ 𝑑𝑝𝑝
+𝐶
𝑙𝑛𝑦=− 𝑙𝑛𝑝+𝑙𝑛𝐶 Por tanto la solución esta dada por
𝑙𝑛𝑦=𝑙𝑛𝐶𝑝 𝑦𝑝=𝐶 𝑝=
𝐶𝑦
Reemplazando 𝑝=𝐶𝑦
En nuestro problema 8 𝑦 𝑝2=−2 𝑥𝑝+ 𝑦
Luego la solución General del problema es:
8 𝑦 (𝐶𝑦
)2
=−2𝑥 (𝐶𝑦 )+𝑦 8 𝑦 𝐶2
𝑦2=− 2 𝑥𝐶
𝑦+𝑦
Multiplicando por Y y simplificando 𝑦 2=8𝐶2+2𝑥𝐶
𝑦 2=8𝐶2+2𝑥𝐶
Resolver la siguiente ecuación diferencial , Respecto a la variable x
𝑙𝑛(𝑑𝑦𝑑𝑥 )+𝑠𝑖𝑛( 𝑑𝑦𝑑𝑥 )=𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
=𝑝Reemplazando
𝑥=𝑙𝑛𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 Por tanto tiene la siguiente forma 𝑥= 𝑓 (𝑦 ,𝑝 )
En este despeje no existe la variable Y: Pero sabemos que esta de manera implícita
Dentro de la variable P, es decir: 𝑝=𝑔(𝑦 )
Por tanto, debemos seguir la misma regla; es decir, debemos derivar respecto de y
𝑑𝑥𝑑𝑦
=1𝑝𝑑𝑝𝑑𝑦
+𝑐𝑜𝑠𝑝𝑑𝑝𝑑𝑦
1𝑑𝑦𝑑𝑥
=(1𝑝
+𝑐𝑜𝑠𝑝)𝑑𝑝𝑑𝑦
1𝑝
=1+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝
𝑝𝑑𝑝𝑑𝑦
Simplificando y Separando Variables
𝑑𝑦= (1+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝 )𝑑𝑝 Integrando miembro a miembro
∫𝑑𝑦=∫ (1+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝 )𝑑𝑝+𝐶 𝑦=𝑝+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶
La solución de la ecuación Dif. se puede mostrar en sus 2 formas paramétricas
Dadas de la siguiente manera:
𝑥=𝑙𝑛𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝
𝑦=𝑝+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶
Resolver la siguiente ecuación Diferencial Respecto ala variable x
𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑥
+𝑠𝑖𝑛(𝑑𝑦𝑑𝑥 ) Reemplazando 𝑑𝑦𝑑𝑥
=𝑝
𝑥=𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 Por tanto tiene la siguiente forma 𝑥= 𝑓 (𝑦 ,𝑝 )
Derivando respecto a la variable Y𝑑𝑥𝑑 𝑦
=(1+𝑐𝑜𝑠𝑝)𝑑𝑝𝑑𝑦 Modificando el primer miembro de la Ec.
1𝑝
=(1+𝑐𝑜𝑠𝑝)𝑑𝑝𝑑𝑦
Separando Variables
𝑑𝑦=𝑝 (1+𝑐𝑜𝑠𝑝 )𝑑𝑝 Integrando ∫𝑑𝑦=∫𝑝 (1+𝑐𝑜𝑠𝑝 )𝑑𝑝+𝐶𝑦=𝑝 (𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 )− 𝑝
2
2+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶 𝑦=𝑝2
2+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶
Por tanto la S. G. 𝑥=𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝
𝑦=𝑝2
2+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶
En su forma paramétrica Es:
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