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Sabores de la Teorı́a de Números
IV. La Teorı́a Cuántica
Tim Gendron
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México
29 junio 2017
Introducción
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales.
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué?
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues...
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales:
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
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El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
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quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros.
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Introducción
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Invariante Modular
Cuántico I
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Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los tienen
los complejos, pero...
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Introducción
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Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales:
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Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
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Hilbert
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El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
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La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) = 1.
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Cuántico II
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Campos de Clase de
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quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) = 1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
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Cuántica de Números?
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Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) = 1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
Pero la razón más convincente
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Invariante Modular
Cuántico I
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) = 1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
Pero la razón más convincente es que los reales parametrizan una
familia de sistemas cuánticos
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Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) = 1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
Pero la razón más convincente es que los reales parametrizan una
familia de sistemas cuánticos – llamados toros cuánticos –
¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
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Cuántica de Números?
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Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) = 1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
Pero la razón más convincente es que los reales parametrizan una
familia de sistemas cuánticos – llamados toros cuánticos – algo que
veremos a continuación.
Toros Cuánticos
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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Kronecker
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Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
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Cuántico I
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Cuántico II
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Hilbert
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Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q.
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Kronecker
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Foliación de Anosov
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Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉
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Foliaciones de
Kronecker
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Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
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Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
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Cuántico II
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Hilbert
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5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
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Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
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Conmutativa
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Multiplicación Real
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Cuántico I
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Hilbert
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Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
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Foliaciones de
Kronecker
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
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Cuántico I
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Hilbert
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Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula.
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Foliaciones de
Kronecker
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Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) :=
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Kronecker
Espacio de Moduli de
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
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Introducción
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Foliaciones de
Kronecker
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Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
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Introducción
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Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
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Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
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Cuántico I
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial
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Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
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Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial (los únicos abiertos son T(θ) y∅)
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Foliaciones de
Kronecker
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Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial (los únicos abiertos son T(θ) y∅) por lo que las únicas funciones contı́nuas son las constantes.
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Foliaciones de
Kronecker
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Foliación de Anosov
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial (los únicos abiertos son T(θ) y∅) por lo que las únicas funciones contı́nuas son las constantes.
� Ası́ que no hay análogo obvio de la función ℘ de Weierstrass
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Kronecker
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Invariante Modular
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Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial (los únicos abiertos son T(θ) y∅) por lo que las únicas funciones contı́nuas son las constantes.
� Ası́ que no hay análogo obvio de la función ℘ de Weierstrass⇒ no hay (hasta este momento) una noción de curva elı́pticacuántica.
Foliaciones de Kronecker
Introducción
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Kronecker
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Foliación de Anosov
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
Foliaciones de Kronecker
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Toros Cuánticos
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Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente θ.
Foliaciones de Kronecker
Introducción
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Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
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Foliación de Anosov
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente θ.El espacio de hojas de F(θ)
Foliaciones de Kronecker
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Toros Cuánticos
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Conmutativa
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ))
Foliaciones de Kronecker
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Foliaciones de
Kronecker
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Toros Cuánticos
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼,
Foliaciones de Kronecker
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′
Foliaciones de Kronecker
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′ ⇔ están en la misma hoja.
Foliaciones de Kronecker
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′ ⇔ están en la misma hoja.
La hoja L por 0 es un subgrupo de un parámetro en T2
Foliaciones de Kronecker
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′ ⇔ están en la misma hoja.
La hoja L por 0 es un subgrupo de un parámetro en T2 y tenemos
Hojas(F(θ)) ∼= T2/L.
Foliaciones de Kronecker
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′ ⇔ están en la misma hoja.
La hoja L por 0 es un subgrupo de un parámetro en T2 y tenemos
Hojas(F(θ)) ∼= T2/L.
Teorema. Hojas(F(θ)) ∼= T(θ).
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Kronecker
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Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q.
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Kronecker
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Toros Cuánticos
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)
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Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
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Toros Cuánticos
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Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
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Toros Cuánticos
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Kronecker
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Toros Cuánticos
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Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos
Espacio de Moduli de Toros Cuánticos
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Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
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Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt
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Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
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Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
Ya que GL2(Z) actua densamente en R−Q,
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Invariante Modular
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Hilbert
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Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
Ya que GL2(Z) actua densamente en R−Q, Modqt también tienela topologı́a cociente trivial.
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Invariante Modular
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
Ya que GL2(Z) actua densamente en R−Q, Modqt también tienela topologı́a cociente trivial. Es decir, no hay posibilidad definir un
invariante modular cuántico
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Hilbert
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Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
Ya que GL2(Z) actua densamente en R−Q, Modqt también tienela topologı́a cociente trivial. Es decir, no hay posibilidad definir un
invariante modular cuántico como función no constante y contı́nuo
en Modqt.
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Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q).
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Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
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Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ)
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8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))
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Hilbert
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8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de isomorfismo de tales foliaciónes.
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8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de isomorfismo de tales foliaciónes. Entonces
el espacio de moduli de foliaciones de Kronecker
Foliación de Anosov
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Hilbert
Campos de Clase de
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8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de isomorfismo de tales foliaciónes. Entonces
el espacio de moduli de foliaciones de Kronecker es
Modfk =
(
(C− R)× (R−Q))/
GL2(Z) :
una foliación del haz tangente unitario T∗1(Mod)
Foliación de Anosov
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de isomorfismo de tales foliaciónes. Entonces
el espacio de moduli de foliaciones de Kronecker es
Modfk =
(
(C− R)× (R−Q))/
GL2(Z) :
una foliación del haz tangente unitario T∗1(Mod) llamada lafoliación de Anosov.
Foliación de Anosov
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Caracterı́stica Positiva
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de isomorfismo de tales foliaciónes. Entonces
el espacio de moduli de foliaciones de Kronecker es
Modfk =
(
(C− R)× (R−Q))/
GL2(Z) :
una foliación del haz tangente unitario T∗1(Mod) llamada lafoliación de Anosov.
Teorema. Hoja(Modfk) ≈ Modqt.
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Un álgebra C∗
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.
Álgebras C∗
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff,
Álgebras C∗
Introducción
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Cuántico I
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Cuántico II
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Hilbert
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X)
Álgebras C∗
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄ (conjugacióncompleja).
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄ (conjugacióncompleja).
Teorema de Gelfand-Naimark. La asociación X 7→ C0(X)
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄ (conjugacióncompleja).
Teorema de Gelfand-Naimark. La asociación X 7→ C0(X) defineun functor
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄ (conjugacióncompleja).
Teorema de Gelfand-Naimark. La asociación X 7→ C0(X) defineun functor que da una equivalencia de categorı́as
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄ (conjugacióncompleja).
Teorema de Gelfand-Naimark. La asociación X 7→ C0(X) defineun functor que da una equivalencia de categorı́as
EspcompHaus −→ AlgC∗con.
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Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
10
La Geometrı́a No Conmutativa
Geometrı́a No Conmutativa
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
10
La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones del
functor de Gelfand-Naimark
Geometrı́a No Conmutativa
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
10
La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos
Geometrı́a No Conmutativa
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
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Multiplicación Real
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Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
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Hilbert
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Rayos
10
La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos –
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
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La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas
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La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
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La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación,
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ)
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se llamael álgebra de rotaciones iracionales:
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ)
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ) := 〈X,Y |XY = e2πiθY X〉C∗ .
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ) := 〈X,Y |XY = e2πiθY X〉C∗ .
Hay un diccionario parcial que asocia a ciertos conceptos
geométricos
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ) := 〈X,Y |XY = e2πiθY X〉C∗ .
Hay un diccionario parcial que asocia a ciertos conceptos
geométricos contrapartes en la categorı́a de álgebras C∗:
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ) := 〈X,Y |XY = e2πiθY X〉C∗ .
Hay un diccionario parcial que asocia a ciertos conceptos
geométricos contrapartes en la categorı́a de álgebras C∗: pero esun diccionario incompleto.
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático,
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real:
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ))
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el 12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
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11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el 12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
en el estilo de Weber-Fueter,
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
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Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR
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11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el 12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
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Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ),
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
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Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con esteacercamiento:
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
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Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con esteacercamiento: NO hay una nocion de π1 para álgebras C
∗
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
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Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con esteacercamiento: NO hay una nocion de π1 para álgebras C
∗ (para
construir series de Eisenstein, funciones ℘, etc.)
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
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Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con esteacercamiento: NO hay una nocion de π1 para álgebras C
∗ (para
construir series de Eisenstein, funciones ℘, etc.)
Nota. La seudo-retı́cula 〈1,θ〉 no sirve par este propósito
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11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK = Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el 12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con esteacercamiento: NO hay una nocion de π1 para álgebras C
∗ (para
construir series de Eisenstein, funciones ℘, etc.)
Nota. La seudo-retı́cula 〈1,θ〉 no sirve par este propósitosiendodenso, sumas sobre sus elementos producen ∞.
Invariante Modular Cuántico I
Introducción
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Definición
Unidades y
Discriminantes
Fundamentales
Experimentos
Gráfica para La Razón
Áurea
Conjetura Principal
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12
Definición
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Definición
Unidades y
Discriminantes
Fundamentales
Experimentos
Gráfica para La Razón
Áurea
Conjetura Principal
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Hilbert
Campos de Clase de
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13
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