Tema 1: Repaso de conocimientos previos. … › marcos_marva › files ›...

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Tema 1: Repaso de conocimientos previos.Funciones elementales y sus graficas. Lımites.

Continuidad.

1

1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Quımica)

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Outline

1 Relaciones trigonometricas

2 Operaciones con logaritmos

3 Funciones elementales y sus graficas

4 Graficas de funciones elementales

5 Lımites

6 Continuidad

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Outline

1 Relaciones trigonometricas

2 Operaciones con logaritmos

3 Funciones elementales y sus graficas

4 Graficas de funciones elementales

5 Lımites

6 Continuidad

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Relaciones trigonometricas

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Outline

1 Relaciones trigonometricas

2 Operaciones con logaritmos

3 Funciones elementales y sus graficas

4 Graficas de funciones elementales

5 Lımites

6 Continuidad

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Operaciones elementales con logaritmos

loga(x · y) = loga(x) + loga(y)

loga( xy ) = loga(x)− loga(y)

loga(xy ) = y · loga(x)

ax = bx logb(a)

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Outline

1 Relaciones trigonometricas

2 Operaciones con logaritmos

3 Funciones elementales y sus graficas

4 Graficas de funciones elementales

5 Lımites

6 Continuidad

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Definicion de funcion real de variable real

Definicion:

Sea A ⊂ R. Una funcion real de variable real es una aplicacionf : A ⊂ R→ R.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Operaciones con funciones

Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Producto: (fg)(x) = f (x)g(x)

Producto por escalar: (kf )(x) = kf (x)

Composicion: (g ◦ f )(x) = g(f (x))

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Propiedades de las funciones

Dominio. Se llama dominio de f al conjunto

D(f ) = {x ∈ R : ∃f (x) ∈ R}

Imagen. Se llama imagen de f al conjunto

Im(f ) = {y = f (x) : x ∈ D(f )} = f (D(f ))

Grafica. La grafica de f es

Gf = {(x , y) ∈ R2 : y = f (x)}

Funcion recıproca o inversa. Dada f inyectiva, la inversa def , f −1, es la funcion tal que (f −1 ◦ f )(x) = (f ◦ f −1)(x) = x .

Funcion periodica. La funcion f es periodica si existe T > 0tal que f (x) = f (x + T ) para todo x ∈ D(f ). El menor detales T > 0 se llama perıodo de la funcion.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Propiedades de las funciones

Funcion par e impar. Si f (−x) = f (x) para todo x ∈ D(f ),se dice que f es par. Si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ D(f ),se dice que f es impar.

Funcion creciente y decreciente. Una funcion f : A→ R escreciente (decreciente) si para todo x1 < x2 esf (x1) ≤ f (x2)(f (x1) ≥ f (x2)). Si la desigualdad es estricta,decimos que f es estrictamente creciente (estrictamentedecreciente).

Funcion acotada. Una funcion f es acotada inferiormente siexiste k ∈ R tal que f (x) ≥ k para todo x ∈ D(f ). Se diceque f es acotada superiormente si existe k ∈ R tal quef (x) ≤ k para todo x ∈ D(f ). Decimos que f es acotada si loes superior e inferiormente.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Outline

1 Relaciones trigonometricas

2 Operaciones con logaritmos

3 Funciones elementales y sus graficas

4 Graficas de funciones elementales

5 Lımites

6 Continuidad

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = x , y = x2, y = x3

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = 1x

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = |x |

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = sin(x), y = cos(x)

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = tan(x)

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = sin(x), y = arcsin(x)

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = cos(x), y = arc cos(x)

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = tan(x), y = arctan(x)

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = ax

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

y = loga(x)

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Outline

1 Relaciones trigonometricas

2 Operaciones con logaritmos

3 Funciones elementales y sus graficas

4 Graficas de funciones elementales

5 Lımites

6 Continuidad

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Definicion de lımite

Definicion de lımite

Sea I = (c , d) un intervalo abierto con a ∈ I y sea f una funciondefinida en I (salvo quiza en a). Dado l ∈ R, se dice quelımx→a f (x) = l si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si0 < |x − a| < δ, entonces |f (x)− l | < ε. Una definicionequivalente, mediante el empleo de sucesiones, es la siguiente:lımx→a f (x) = l ⇐⇒ (∀xn → a con xn 6= a para todon→ {f (xn)} → l)

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Definicion de lımites laterales

Definicion de lımites laterales

Dado l+ ∈ R, se dice que limx→a+f (x) = l+ si, y solo si, para todoε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x − a < δ, entonces|f (x)− l+| < ε.Si, en vez de aproximar la x a la a por la derecha, lo hacemos por laizquierda, obtenemos el lımite por la izquierda, lımx→a− f (x) = l−.Los lımites laterales tambien se pueden definir empleandosucesiones que se aproximen por cada uno de los lados de a.

Teorema

Existe lımx→a f (x) si y solo si existen los lımites laterales ycoinciden, esto es, lımx→a+ f (x) = lımx→a− f (x) = l ∈ R

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Lımites infinitos y lımites en el infinito

Lımites infinitos. Decimos que lımx→a f (x) = +∞ (−∞) sipara todo M ∈ R existe un δ > 0 tal que f (x) > M(f (x) < M) para todo x tal que 0 < |x − a| < δ.Los lımites laterales infinitos lımx→a+ f (x) = ±∞ ylımx→a− f (x) = ±∞ se definen de modo analogo, peroaproximandose por el lado adecuado de a.

Lımite finito en el infinito. Si (a,+∞) ⊂ D(f ), se dice que ftiende a l cuando x → +∞, esto es, limx→∞f (x) = l si paratodo ε > 0 existe M ∈ R tal que si x > M entonces|f (x)− l | < ε.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Lımites infinitos y lımites en el infinito

Lımite infinito en el infinito. Si (a,+∞) ⊂ D(f ), decimos quelimx→+∞f (x) = −∞ si para todo M ∈ R,∃N ∈ R tal que six > N entonces f (x) > M.De modo analogo se definen los lımites lımx→+∞ f (x) = −∞,lımx→−∞ f (x) = +∞ y lımx→−∞ f (x) = −∞.

Teorema

El lımite, si existe, es unico.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Propiedades de los lımites

Sean f , g tales que lımx→a f (x) = l1 y lımx→a g(x) = l2. Entonces:1 limx→aα = α, α ∈ R2 limx→af (x) = αl1, α ∈ R3 limx→a(f (x)± g(x)) = l1 ± l24 limx→a(f (x)g(x)) = l1l25 limx→a

f (x)g(x) = l1

l2(l2 6= 0)

6 limx→a(f (x))n = ln17 limx→af (x)1/n = l

1/n1 (si n impar o n par y l1 ≥ 0)

8 limx→abf (x) = bl1 , b ∈ R9 limx→af (x)g(x) = l l21 (l1 > 0)

Los casos0

0,∞∞, 0 · ∞,∞−∞, 1∞, 00,∞0

son indeterminaciones.Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Regla del Sandwich

Regla del Sandwich

Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno de a (salvo, quiza, en elpropio a) y lımx→a f (x) = lımx→a h(x) = l , entonceslımx→a g(x) = l . Aquı a y l pueden ser tanto finitos como infinitos.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Outline

1 Relaciones trigonometricas

2 Operaciones con logaritmos

3 Funciones elementales y sus graficas

4 Graficas de funciones elementales

5 Lımites

6 Continuidad

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Definicion de continuidad

Definicion de continuidad

Una funcion f es continua en a si se satisfacen las condicionessiguientes:

1 f (a) esta definida.

2 limx→af (x) = f (a) (el lımite existe y es igual a f (a)).

Otra caracterizacion de continuidad es con sucesiones: f escontinua en a ∈ D(f ) si para toda sucesion xn → a se verifica que{f (xn)} → f (a).Decimos que f es continua en un intervalo abierto (c , d) si lo es encada punto del intervalo.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Definicion de discontinuidad

Si f no es continua en a, se dice que f tiene en a unadiscontinuidad. La discontinuidad es:

Evitable si existe limx→af (x) ∈ R.

Inevitable en caso contrario.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Continuidad lateral

Definicion

La funcion f es continua por la izquierda (derecha) de a ∈ D(f ) silımx→a− f (x) = f (a) (limx→a+f (x) = f (a)).

Definicion

La funcion f es continua en a si y solo si es continua por laderecha y por la izquierda de a.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Propiedades de la continuidad

Definicion

Sean f, g continuas en a ∈ R. Entonces

kf es continua en a para cualquier k ∈ R.

(f ± g) es continua en a.

(fg) es continua en a.

Si g(a) 6= 0, entonces fg es continua en a.

Si h es continua en g(a), entonces (h ◦ g)(x) = h(g(x)) escontinua en a.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Funciones elementales continuas

Las funciones elementales (polinomios, funciones racionales, raıces,funciones trigonometricas, trigonometricas inversas, funcionesexponenciales, logarıtmicas) son todas ellas continuas en susdominios.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Teorema del valor intermedio

Teorema del valor intermedio

Si f es continua en I = [a, b] y k es un numero real entre f (a) yf (b), existe al menos un c ∈ I tal que f (c) = k.

Matematicas (Grado en Quımica)

Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Teorema de Weierstrass

Teorema de Weierstrass

Si f : [a, b]→ R es continua, entonces f alcanza un maximo y unmınimo en el intervalo [a, b], esto es, existen x1, x2 ∈ [a, b] talesque

f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) ∀x ∈ [a, b]

Matematicas (Grado en Quımica)