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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
TEOREMA DE ROUCHÉ
• Supongamos el sistema siguiente:
=++
=++
=++
333·3231
223·2221
113·1211
bz·ayax·a
bz·ayax·a
bz·ayax·a
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
=
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
*A
Matriz de los coeficientes Matriz Ampliada
El sistema tiene solución rangA = rangA*
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tiene solución = compatible
No tiene solución = incompatibleVocabulario:
3
MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
NOTACIÓN
Para simplificar en lugar de escribir:
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
=
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
*A
Suele escribirse:
=
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
*A/A
4
MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
TEOREMA DE ROUCHÉ
• Ejemplo 1:
=+=+=−+
1zy·3
5y·2x
4zy·3x·2
−=
1
5
4
130
021
132
*AA
130
021
132
Adet
−= 300034 −−−+−= 2−= El rango de la matriz A es 3
Como la matriz A*, sólo tiene 3 filas el rango no puede ser mayor que 3
y , por lo tanto: rangA = rang A*
El sistema es compatible (tiene solución)
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
TEOREMA DE ROUCHÉ
Ejemplo 2:
=+−−=−
=+−
4z·3y·4x
1yx
0zy·2x
−−−−
=4
1
0
341
011
121
*AA
341
011
121
Adet
−−−
= 601043 +−++−−= 0= El rango de la matriz A no es 3
Para determinar el rango de A*, orlamos el menor marcado en rojo con la cuarta columna y la tercera fila (en azul)
Elegimos el menor 2 x 2 marcado en rojo 0121
11
21≠=+−=
−−
El rango de la matriz A es 2
Y calculamos el determinante así obtenido
441
111
021
−−−
−2=
El rango de la matriz A* es 3
Como los rangos son diferentes, el sistema es incompatible (no tiene solución)
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
REGLA DE CRAMER
• La regla de Cramer sirve para obtener la solución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas donde rangA = rangA* = n
Recordemos del tema anterior la resolución de un sistema 2x2 general
21121221 cbcbxbaxba −=−
1221
2112
babacbcb
x−−=
Usando la nomenclatura de los determinantes, podemos ponerlo de la forma siguiente:
22
11
22
11
ba
ba
bc
bc
x =
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
y =análogamente
=+=+
222
111
cybxa
cybxa
−=−−=+
212112
122121
cbybbxba
cbybbxba → 2bpormosmultiplica
→ − 1bpormosmultiplica
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
REGLA DE CRAMER
• En general: la situación es parecida, por ejemplo si el sistema es de 4 x 4 lo expresaríamos así:
=+++=+++=+++=+++
444434241
334333231
224232221
114131211
bt·az·ay·ax·a
bt·az·ay·ax·a
bt·az·ay·ax·a
bt·az·ay·ax·a
Y las soluciones serían:
A
Ax x=
A
Ay
y=A
Az z=
A
At t=
Donde Ax representa la matriz que resulta de sustituir en la matriz A, la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes. Y , análogamente, Ay
, Az, At se obtienen sustituyendo en A la columna de los coeficientes de la incógnita correspondiente por la de los términos independientes
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
REGLA DE CRAMER
Ejemplo :
=+=+=−+
1zy·3
5y·2x
4zy·3x·22
130
021
132
Adet −=−
=
2
131
025
134
x−
−
= 102
20
2
15020158=
−
−=
−
−−++−=
2
110
051
142
y−
−
=2
5
2
5
2
4000110−=
−=
−
−+++−=
2
130
521
432
z−
=2
17
2
17
2
33000124=
−
−=
−
−−−++=
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
GENERALIZACIÓN DE LA REGLA DE CRAMER
¿Se puede utilizar la regla de Cramer si el determinante de los coeficientes es cero?
=−=−+=+−
21yx11
15z3y5x2
2zy2x3 1.- Vamos a comprobar si es compatible, esto es, si rangA=rangA*
0
0111
352
123
A =−
−−
=
El menor marcado en rojo es distinto de cero y por lo tanto rangA = 2
Miramos ahora los menores de orden 3 de A*, son solamente 2 (orlados del menor de A ) diferente de cero
0
0111
352
123
=−
−−
0
21011
1532
213
=−
3Arang)FF·3F( 213 ≠→+=
CONCLUSIÓN: rangA=rangA*; es decir, el sistema tiene solución
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
GENERALIZACIÓN DE LA REGLA DE CRAMER
Como rangA* = 2, quiere decir que solo dos ecuaciones son independientes, en otras palabras: Nos está sobrando una de las ecuaciones ¿cuál?
2.- Vamos a ver cómo podemos utilizar la regla de Cramer para expresar la solución del sistema:
En primer lugar procedemos a eliminar la ecuación que no vamos a utilizar. El sistema entonces queda de la siguiente forma:
=−
=+−
21yx11
2zy2x3Además, nos sobra una incógnita, ¿cuál? (ver diapositiva siguiente)
+=+=+
y21x11
y22zx3
La pasamos al otro miembro de la igualdad y nos queda el sistema siguiente:
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
GENERALIZACIÓN DE LA REGLA DE CRAMER
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
La que no hemos utilizado para calcular el rango
Lo que nos sobra siempre es
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
GENERALIZACIÓN DE LA REGLA DE CRAMER
3.- Vamos a ver la solución. El determinante de A, es ahora el que ya hemos calculado antes, es decir:
11011
13A −==
11
0y21
1y22
x−+
+
=11
y21
11
y21 +=
−
−−=
11
y1941
11
y2222y363 +−=
−
−−+=
11
y2111
y223
z−
++
=
Habitualmente la solución suele expresarse así:
λ+−=
λ=
λ+=
11
1941z
y11
21xPara cada valor que le demos a λ obtenemos una solución,
es decir, el sistema tiene infinitas soluciones, por eso se le llama: COMPATIBLE INDETERMINADO
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS HOMOGÉNEOS
• Se llama homogéneo a un sistema de ecuaciones cuyos términos independientes son todos cero.
Ejemplo:
=−−=+−=++
0zy2x
0zyx2
0zyx
Características:
1.- x=0, y=0, z=0; es una solución para cualquier sistema homogéneo. Esta solución se llama SOLUCIÓN TRIVIAL
2.- Para que tenga otras soluciones además de la trivial debe ocurrir que:rangA < nº incógnitas
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS(1)
Ejemplo 1: Discutir y resolver el siguiente sistema en función de los valores del parámetro “a”
0-211
-2111
2-301
=++=++=++
1azyx
1zayx
1zyax1.- Discusión: realizar un análisis de los rangos y decidir en quécasos hay solución y en qué casos no
a11
1a1
11a
aaa11a3 −−−−−= 2a3a3 −−=
Igualamos a cero y resolvemos mediante la regla de Ruffini para decidir el rango de la matriz A
02a3a3 =−−
-2-2
021
01
211
Las soluciones son :
a = 1; a = -2
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS (1)
En Resumen:
• El determinante no es cero y por lo tanto rangA = 3
• a = -2 ó a = 1 El determinante es cero y hay que analizar más cosas para determinar el valor del rango
1a2 ≠≠−
� a = 1 el determinante es
111
111
111rangA = 1
� a = -2 el determinante es
211
121
112
−−
−
Como el menor siguiente no es cero, concluimos que el rangA=2
31421
12=−=
−−
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS (1)
• Para cada uno de los casos anteriores, tenemos que ver cuánto vale rangA* y así poder saber si el sistema es compatible o no
Caso1: rangA = 3 1a2 ≠≠−
Como la matriz A* tiene 3 filas y 4 columnas, el rango mayor que puede tener es 3 y como tampoco puede tener rango menor que la matriz A, se concluye que: rangA*=3.
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Caso2: rangA = 2 2a −=
−−
−=
1211
1121
1112
*A
121
112
111
−− 09221141 ≠=++−++= rangA*=3
SISTEMA INCOMPATIBLE
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS (1)
Caso3: rangA = 1 1a=
=1111
1111
1111
*A
Todas las filas son iguales, el rango entonces es 1 rangA*=1
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS (1)
Faltará ahora resolver los casos de compatibilidad (caso 1 y caso 3)
Caso 1: rangA = rangA*=3
Coincide con el número de incógnitas, podemos aplicar directamente la regla de Cramer, eso si, para un valor de a genérico porque no nos dicen cuánto vale a
2a3a
a11
1a1
111
x3 +−
=( )
=+−
−−−++=
2a·)1a(
1aa11a2
2
( ) 2a
1
2a)1a(
1a2a2
2
+=
+−
+−
Análogamente se calculan las incógnitas y, z
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS (1)
Faltará ahora resolver los casos de compatibilidad (caso 1 y caso 3)
Caso 3: rangA = rangA*=1
En realidad solo nos queda una ecuación (todas son iguales) 1zyx =++
Sólo nos servirá entonces una de las incógnitas. Su solución se expresa dándole un valor (paramétrico) a dos de las incógnitas y poniendo la otra en función de ellas
µ−λ−=µ=λ= 1z,y,x
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS (2)
Ejemplo 2: Discutir y resolver el siguiente sistema en función de los valores del parámetro “K”
=−=−=+
ky4x
11ykx
7yx
En este caso es más sencillo empezar por A* (ya que es cuadrada)
k41
111k
711
*A
−−= 2k44711k28k −+++−−= 62k29k2 +−−=
Igualamos el resultado a 0 y resolvemos la ecuación de segundo grado
( )2
62·1·42929k062k29k
22
−
−−±=→=+−−
31k
2k
−=
==
Es decir, el determinante de la matriz ampliada vale 0 en estos dos casos, en los demás es diferente de 0
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
21
MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS (2)
En resumen:
• El determinante no es cero y por tanto rangA*=3.
• k=2 ó k = -31, rangA* no es 3 y hay que analizar más
31k2 −≠≠
k=2
−−=
241
1112
711
*A 032112
11≠−=−−=
−
rangA*=2
k=-31
−−−−=
3141
11131
711
*A 030311131
11≠=+−=
−−
rangA*=2
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
22
MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS (2)
• Para cada uno de los casos hay que analizar si coincide el rango de A* con el de la matriz A
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Caso1: rangA* = 3 31k2 −≠≠
La matriz A, solo tiene dos columnas luego no puede tener rango 2:
rangA rangA* SISTEMA INCOMPATIBLE≠
Caso2: rangA* = 2 2a= La matriz tiene rango 2 porque cualquier menor que elijamos no es cero, por ejemplo:
−−=
41
1k
11
A
−−=
41
12
11
A 032112
11≠−=−−=
−SISTEMA COMPATIBLE
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
SISTEMAS CON PARÁMETROS (2)
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Caso3: rangA* = 2 31a −= La matriz tiene rango 2 porque cualquier menor que elijamos no es cero, por ejemplo:
−−−=
41
131
11
A 030311131
11≠=+−=
−− SISTEMA COMPATIBLE
Faltará ahora resolver los casos de compatibilidad (caso 2 y caso 3)
Como el rango es 2, tenemos que despreciar una ecuación, en ambos casos puede ser la tercera porque no influye en el cálculo de los rangos
Nos queda entonces el sistema con 2 ecuaciones y 2 incógnitas que resolveremos por el método que queramos
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
• Un sistema de ecuaciones lleva aparejadas tres matrices:
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
−=−+−=+−=−−
52z3y5x2
18z3x
1zyx
−−−
−−=
352
301
111
A
=z
y
x
X
−=
52
18
1
C
MATRIZ DE LOS COEFICIENTES
INCÓGNITAS TÉRMINOS INDEPENDIENTES
Este sistema puede expresarse en forma matricial así:
−=
−−−
−−
52
18
1
z
y
x
·
352
301
111CX·A =
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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Si la matriz A tiene inversa, podemos despejar X del siguiente modo
Tema 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
C·AX·A·A 11 −− = C·AX 1−=
CX·A =
Es decir, hemos reducido nuestro problema a calcular la matriz inversa de los coeficientes y después una multiplicación de matrices
−=
7
5
3
z
y
xLa solución del sistema es
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