TEMA II Análisis de Regresión Simple Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

TEMA IIAnálisis de Regresión

Simple Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

Prof. Samaria Muñoz

MODELO SIMPLE LINEAL DE REGRESIÓN (MSLR)

Prof. Samaria Muñoz

*Es un modelo que incluye sólo una variable exógena en el modelo (X).

*La forma funcional que representa la relación con la variable endógena es lineal en los parámetros.

* Los parámetros son estimados a través del análisis de regresión.

Prof. Samaria Muñoz

a)Son fáciles de interpretar.

b) Están apoyados por la estadística y la matemática.

c) En intervalos pequeños siempre es posible representar cualquier regresión en forma lineal.

d) Muchos modelos que no son lineales son linealizables.

VENTAJAS DE UTILIZAR MLR:

21002500 xxYi

x y0 250020 410050 5000100 2500

21002500 xxYi

x y0 2000 o 300020 3600 o 460050 4500 o 5500100 2000 o 3000

500

)(xfYi

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80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 XNIVEL DE EMPLEO

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IVE

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E P

RO

DU

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77

101

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125

137

149

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iioi XY 11

iioi XY ˆˆˆ11

FRP

FRM

?

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80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 XNIVEL DE EMPLEO

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65

77

101

113

125

137

149

161

173

191180

Prof. Samaria Muñoz

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iioi XY ˆˆˆ11

FRM1

iioi XY ˆˆˆ11

FRM2

CRITERIO A UTILIZAR PARA ENCONTRAR LA FRM ADECUADA:

SELECCIONAR LA FRM DE TAL MANERA QUE SE MINIMICEN LAS PERTURBACIONES ALEATORIAS.

Prof. Samaria Muñoz

ioi XY ˆˆˆ11

ESTIMACIÓN DE UN MODELO SIMPLE DE REGRESIÓN

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80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 XNIVEL DE EMPLEO

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E P

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65

77

101

113

125

137

149

161

173

191180

Prof. Samaria Muñoz

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Y

Y11

ˆ)(ˆ XYEY oi

ioi XY 11

1 1ˆ ˆˆ ( )i i oY X

En el criterio de minimizar la sumatoria de los errores, todos los errores reciben el mismo peso, aunque algunos estén más lejos que otros y se anulan entre si..

Prof. Samaria Muñoz

0

ESTIMACIÓN DE UN MODELO SIMPLE DE REGRESIÓN

Prof. Samaria Muñoz

4 1 1.572+1.357(1)= 2.9 4.0 -2.9=1.1 1.1

5 4 1.572+1.357(4)= 7 5 – 7 = -2 4

7 5 1.572+1.357(5)= 8.3 7- 8.3 = -1.3 1.69

12 6 1.572+1.357(6)= 9.7 12- 9.7 = 2.3 5.29

=β0+β1 Xi ∑ = 0 ∑=12.08

2ˆ iiiX iYiY

iY

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

Prof. Samaria Muñoz

Permite ajustar la línea recta optima a la muestra de las observaciones de “Y” y “X”.

Consiste en encontrar el valor de los parámetros que minimizan la suma de los errores al cuadrado.

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80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 XNIVEL DE EMPLEO

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E P

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77

101

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161

173

191180

Prof. Samaria Muñoz

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iioi XY ˆˆˆ11

FRM1

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

Prof. Samaria Muñoz

SIMPLELENGUAJE COMUNESTIMADORES MELI

Prof. Samaria Muñoz

ioi XY ˆˆˆ11

ii YY ˆ

YYiiˆˆ

1 1ˆ ˆˆ ( )i i oY X

)(ˆˆˆ11 io YEXY

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

11ˆˆ XY oii

11ˆˆ XY oii

21 1

ˆ ˆ( )i o iY X 2ˆi

A

2

1 1

ˆ ˆ ˆ2 ( )( 1) 0ˆi

i o io

Y X

0)ˆˆ(2 11 ioi XY

1 1 1ˆ ˆ2 ( )( ) 0i o i iY X X

1 1 1ˆ ˆ2 ( )( ) 0i o i iY X X B

2

1

ˆˆ

i

0)ˆˆ(2 11 ioi XY

1 1 1ˆ ˆ2 ( )( ) 0i o i iY X X

0)ˆˆ( 11 ioi XY

1 1 1ˆ ˆ( )( ) 0i o i iY X X

A

BEliminando el -2

Prof. Samaria MuñozMÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

0)ˆˆ( 11 ioi XY

1 1 1ˆ ˆ( )( ) 0i o i iY X X

iY2

1 1ˆ 0iX

Aplicando la sumatoria

1ˆo iX 1i iY X

ˆo 1 1

ˆ 0iX

Prof. Samaria MuñozMÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

0ˆˆ11 ioi XY

0ˆˆ 21111 iioii XXXY

0ˆˆ11 ioi XnY

0ˆˆ 21111 iioii XXXY

Prof. Samaria MuñozMÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

ioi XnY 11ˆ

21 1 1 1

ˆ ˆi i o i iY X X X

ECUACIONES

NORMALES

0ˆˆ11 ioi XnY

0ˆˆ 21111 iioii XXXY

PASANDO LOS TERMINOS QUE ACOMPAÑAN A LOS PARAMETROS AL LADO DERECHO DE LA ECUACION

Prof. Samaria MuñozMÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

Cálculo de:

1

Prof. Samaria MuñozMÉTODO DE LOS MÍNIMOS

CUADRADOS ORDINARIOS

ioi XnY 11ˆ

21111

ˆˆiioii XXXY

iX1

n

21 11 1

ˆ )ˆ (i i ii oX XY n X 2

1 1 1 1ˆ ˆ

i i o i iY X Xn n n X

1

2

Prof. Samaria MuñozMÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

2-12

1111 )(ˆˆiioii XXnXY

21111

ˆˆiioii XnXnXYn

1

2

211

21111 )(ˆˆ

iiiiii XXnXYXYn

2 21 1 1 1 1

ˆ ( )i i i i i in Y X Y X n X X

0

Prof. Samaria MuñozMÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

121

21

11 ˆ)(

ii

iiii

XXn

XYXYn

2 21 1 1 1 1

ˆ ( )i i i i i in Y X Y X n X X

121

1 ˆ)(

))((

XX

YYXX

i

ii12

1

1 ˆ)(

))((

i

ii

x

yx

Prof. Samaria MuñozMÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

Cálculo de:

0

Prof. Samaria MuñozMÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

ioi XnY 11ˆ

21111

ˆˆiioii XXXY

Prof. Samaria Muñoz

Tomado de nuevo las ecuaciones normales

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

ORDINARIOS

n

X

n

n

n

Y ioi 11ˆ

ioi XY 11ˆ

Prof. Samaria Muñoz

ioi XnY 11ˆ /n

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

ORDINARIOS

ioi XY 11ˆ

iio XY 11ˆ

22

21

)(ˆ

ii

iiiiio XXn

YXXYX

Prof. Samaria Muñoz

Despejando

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

ORDINARIOS

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i

i

i

i

i

i2

1

11 )(

))((ˆXX

YYXX

i

ii

1 1ˆ ˆ ˆi o iY X

iio XY 11ˆ

ESTIMADORES MCO

436,95246,11180 1 ii XY

• Y= Cantidades demandas de TV

• X= Precio de TV.

• El punto de corte nos indica el valor de la demanda de televisores si el precio fuese nulo.

• La pendiente es la disminución que, en terminos medios, experimento la cantidad demandada de televisores ante un incremento unitario en el precio de los mismo.

• La demanda de televisores disminuyó en 95,35 unidades, cuando el precio se incrementó en una unidad.

EJEMPLO