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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA
SEDE REGIONAL TARTAGAL
F a c u l t a d d e C i e n c i a s E c o n Γ³ m i c a s , J u r Γ d i c a s y S o c i a l e s
2.012 Aux. Doc. de πππ: T.U.P Horacio Miguel Lafuente
CARRERA: Contador PΓΊblico Nacional
CΓTEDRA: MatemΓ‘tica I
LΓGICA
Temario
IntroducciΓ³n
Proposiciones
Tablas de Verdad
Conectivos LΓ³gicos β Operaciones LΓ³gicas
TautologΓa β Contingencia β ContradicciΓ³n
Implicaciones Asociadas
Formas o Funciones Proposicionales
CuantificaciΓ³n
MΓ©todos AxiomΓ‘ticos
BibliografΓa
IntroducciΓ³n
EtimologΓa
La palabra βlΓ³gicaβ proviene del griego βLOGOSβ y se traduce por
βpalabraβ, βrazΓ³nβ, βdiscursoβ.
La lΓ³gica permite deducir de manera precisa la validez de un razonamiento
matemΓ‘tico.
βDeducir es razonar en matemΓ‘ticasβ
RAZONAMIENTO
MATEMΓTICO
Inductivo Deductivo Tener
PrecauciΓ³n Seguro
Proposiciones
Una proposiciΓ³n es una oraciΓ³n de la cual puede decirse que es Verdadera (π½)
o Falsa π . En una proposiciΓ³n debemos distinguir: sujeto, verbo y predicado.
π: ππ ππππ π ππππππ ππ π ππππ π ππ π πππππππππππ
El βsentido de verdadβ de una proposiciΓ³n es que la misma sea
βdemostrableβ.
β’ Si (π) es verdadero: π π = π½
β’ Si (π) es falso: π π = π
π π = π½; πππ ππππ‘πππππ‘ππ π ππ Γπππππ, π΄πΓ©ππππ, π΄π ππ, πΈπ’ππππ π¦ πππππΓπ
π π’πππ‘π
π£ππππ
πππππππππ
Proposiciones
Las oraciones interrogativas, exclamativas o de las cuales no pueda demostrarse
su valor de verdad no son proposiciones:
ΒΏ ππ’Γ© βπππ ππ ππ ππππ‘ππππ?.
Β‘ πΆπππππππ πππ§π§ππ ! .
πΏππ ππππππ π ππ ππ’ππ£ππ .
πΏππ πΓΊπππππ πππ‘π’πππππ .
Eπ ππ πππππππ‘ππππ π π π’π‘ππππ§Γ³ ππ.
πΈπ ππππ, ππ πΓ³ππππ π Γ.
CLASIFICACIΓN:
β’ ProposiciΓ³n Simple: proposiciΓ³n que no puede separarse en otras proposiciones.
π: πΆπππ π‘ππππ πΆππΓ³π πππ ππ’πππΓ³ π΄πΓ©ππππ
β’ ProposiciΓ³n Compuesta: proposiciΓ³n que puede separarse en otras proposiciones
π: ππ ππππΓ³π βππππ‘π ππ πΆπππππππππ ππ πππ π΄ππππ π¦ ππ πππππ βππππ‘π ππ ππππππππ ππππ‘πΓ±ππ ππ ππ πΆβπππ πΆπππ‘πππ
Proposiciones
Tabla de Verdad
Una Tabla de Verdad es un cuadro de fΓ‘cil interpretaciΓ³n que contiene las
proposiciones y sus valores lΓ³gicos.
π: π΄πππππ‘πππ ππ π‘Γ‘ π ππ‘π’πππ ππ ππ’πππΓ©ππππ
π£ π = π
π: 4 ππ π’π πΓΊππππ πππππβ
π£ π = πΉ
π π
V F Valores LΓ³gicos
Proposiciones
* Un nΓΊmero primo es divisible por si mismo y por la unidad
Conectivos LΓ³gicos - Operaciones LΓ³gicas
Conectivos LΓ³gicos (o Conectores LΓ³gicos): sΓmbolos que se emplean en las
Operaciones LΓ³gicas.
Operaciones LΓ³gicas: procesos que permiten obtener proposiciones a partir de
otras.
NegaciΓ³n
La NegaciΓ³n de una proposiciΓ³n π es la proposiciΓ³n ~ π, cuyo valor de verdad es
contrario al de la proposiciΓ³n π.
π ~ π
V F
F V
π π ~ π ~ π
V F F V
ππππππ πππΓ³π π΅πππππΓ³π
π: ππ ππππππ ππππ πππππππππ πππ πππ ~ π: ππ ππππππ ππ ππππ πππππππππ πππ πππ
π: ππ ππππππ πππ ππ π‘πππ ππ’πππ ~ π: ππ ππππππ ππ πππ ππ π‘πππ ππ’πππ
ConjunciΓ³n
La ConjunciΓ³n entre dos proposiciones π y π es la proposiciΓ³n π β§ π, que sΓ³lo es
verdadera si se cumplen las proposiciones componentes π y π.
π·ππππππππππππ
πͺππππππππππ πͺπππππππΓ³π
π: ππ ππππππ ππππ πππππππππ πππ πππ π β§ π: ππ ππππππ ππππ πππππππππ πππ πππ π πππ ππ π‘πππ ππ’πππ
π: ππ ππππππ πππ ππ π‘πππ ππ’πππ
π π π β§ π
V F F
DisyunciΓ³n
La DisyunciΓ³n entre dos proposiciones π y π es la proposiciΓ³n π β¨ π, que sΓ³lo es
falsa si π y π son falsas, ya que requiere que se cumpla por lo menos una de las
proposiciones componentes.
π·ππππππππππππ
πͺππππππππππ π«πππππππΓ³π
π: ππ ππππππ ππππ πππππππππ πππ πππ π β¨ π: ππ ππππππ ππππ πππππππππ πππ πππ Γ³ ππ ππππππ πππ ππ π‘πππ ππ’πππ
π: ππ ππππππ πππ ππ π‘πππ ππ’πππ
π π π β¨ π
V F V
ImplicaciΓ³n o Condicional
La ImplicaciΓ³n o Condicional entre dos proposiciones π y π es la proposiciΓ³n
π β π , que sΓ³lo es falsa si π (πππππππ ππππ π πππΓ³πππππ) es verdadero y
π (πππππππππππ π ππππππππΓ³π) es falso.
π·ππππππππππππ
πͺππππππππππ π°ππππππππΓ³π π πͺπππ πππππππ
π: ππ ππππππ ππππ πππππππππ πππ πππ π β π: SΓ ππ ππππππ ππππ πππππππππ πππ πππ, ππππππππ ππ ππππππ πππ ππ π‘πππ ππ’πππ
π: ππ ππππππ πππ ππ π‘πππ ππ’πππ
π π π β π V F F
CondiciΓ³n Suficiente β CondiciΓ³n Necesaria
Si una implicaciΓ³n es verdadera, es CondiciΓ³n Suficiente (o precisa) que la
hipΓ³tesis sea verdadera para que la conclusiΓ³n se cumpla.
Si una implicaciΓ³n es verdadera, es CondiciΓ³n Necesaria (o indispensable) que la
conclusiΓ³n sea verdadera para que la hipΓ³tesis se cumpla.
"πΊπ ππππ πππππππππ, ππππππππ πππ πππππππππ"
"πΊπ ππππ πππππππππ, ππππππππ πππ πππππππππ"
HipΓ³tesis ConclusiΓ³n
HipΓ³tesis ConclusiΓ³n
La hipΓ³tesis es suficiente
para llegar a dicha
conclusiΓ³n. La conclusiΓ³n
es necesaria para dicha
hipΓ³tesis.
La hipΓ³tesis no es suficiente
para llegar a dicha
conclusiΓ³n. La conclusiΓ³n no
es necesaria para dicha
hipΓ³tesis.
Doble ImplicaciΓ³n o Bicondicional
La Doble ImplicaciΓ³n o Bicondicional entre dos proposiciones π y π es la
proposiciΓ³n π βΊ π, que sΓ³lo es verdadera si π y π son ambas verdaderas o falsas.
π·ππππππππππππ
πͺππππππππππ π«ππππ π°ππππππππΓ³π π π©πππππ πππππππ
π: ππ ππππππ ππππ πππππππππ πππ πππ π βΊ π: ππ ππππππ ππππ πππππππππ πππ πππ πΓ π πΓ³ππ πΓ ππ ππππππ πππ ππ π‘πππ ππ’πππ
π: ππ ππππππ πππ ππ π‘πππ ππ’πππ
π π π βΊ π V F F
Ley LΓ³gica o TautologΓa
Una Ley LΓ³gica o TautologΓa es una proposiciΓ³n compuesta cuya tabla de verdad
da como resultado todos los valores Verdaderos cualesquiera sean los valores de
verdad de las proposiciones que la componen.
Una ley lΓ³gica es por ejemplo la conmutatividad de la disyunciΓ³n:
π π π β¨ π π β¨ π π β¨ π βΊ π β¨ π
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F F V
Leyes LΓ³gicas
LEYES LΓGICAS
InvoluciΓ³n ~ ~π βΊ π
Idempotencia De la ConjunciΓ³n π β§ π βΊ π
De la DisyunciΓ³n π β¨ π βΊ π
Conmutatividad De la ConjunciΓ³n π β§ π βΊ π β§ π
De la DisyunciΓ³n π β¨ π βΊ π β¨ π
Asociatividad De la ConjunciΓ³n ( π β§ π) β§ π βΊ π β§ (π β§ π)
De la DisyunciΓ³n ( π β¨ π) β¨ π βΊ π β¨ (π β¨ π)
Distributividad De la ConjunciΓ³n con respecto a la DisyunciΓ³n (π β¨ π) β§ π βΊ (π β§ π) β¨ (π β§ π)
De la DisyunciΓ³n con respecto a la ConjunciΓ³n (π β§ π) β¨ π βΊ (π β¨ π) β§ (π β¨ π)
Leyes de Morgan NegaciΓ³n de una ConjunciΓ³n ~ π β§ π βΊ ~π β¨ ~π
NegaciΓ³n de una DisyunciΓ³n ~ π β¨ π βΊ ~π β§ ~π
NegaciΓ³n de una ImplicaciΓ³n ~ π β π βΊ π β ~π
Contingencia y ContradicciΓ³n
Una Contingencia es una
proposiciΓ³n cuya tabla de
verdad da como resultado
algunos valores Verdaderos y
otros Falsos.
π π π βΊ π
V V V
V F F
F V F
F F V
Una ContradicciΓ³n es una
proposiciΓ³n cuya tabla de
verdad da como resultado
todos los valores Falsos
cualquiera sea el valor de la
proposiciΓ³n.
π βΌ π π β§ βΌ π
V F F
F V F
Implicaciones Asociadas
π π π β π π β π ~ π ~π ~ π β ~π ~π β ~π
V V V V F F V V
V F F V F V V F
F V V F V F F V
F F V V V V V V
Implicaciones Equivalentes
FD FR FC FCR
π β π βΊ (~ π β ~ π) π β π βΊ (~ π β ~ π)
FD FCR FR FC βΊ βΊ
Implicaciones Asociadas
Ejemplo: π: πππ πππ’ππππ ππ πΆππ πππππππππππππ πππ‘ππΓ‘π‘πππ πΌ
π: πππ πππ’ππππ ππ πΆππ ππ πππππ ππππππ ππ₯Γ‘πππ πππππ ππ πππ‘ππΓ‘π‘πππ πΌ
Forma Directa: π β π: "πΓ πππ πππ’ππππ ππ πΆππ πππ β ππππππππππ πππ‘ππΓ‘π‘πππ πΌ, πππ‘πππππ
ππ πππππ ππππππ ππ₯Γ‘πππ πππππ ππ ππ β π‘ππΓ‘π‘πππ πΌ"
Forma RecΓproca: π β π: "πΓ πππ πππ’ππππ ππ πΆππ ππ πππππ ππππππ ππ₯Γ‘πππ πππππ ππ πππ‘ππΓ‘π‘πππ πΌ, πππ‘πππππ πππππππππππππ πππ‘ππΓ‘π‘πππ πΌ".
Forma Contraria: ~π β ~π: "πΓ πππ πππ’ππππ ππ πΆππ ππ πππππππππππππ πππ‘ππΓ‘π‘πππ πΌ, πππ‘πππππ πππππ ππππππ ππ₯Γ‘πππ πππππ ππ πππ‘π β πππ‘πππ πΌ"
Forma ContrarrecΓproca: ~π β ~π: "πΓ πππ πππ’ππππ ππ πΆππ πππππ ππππππ ππ₯Γ‘πππ πππππ ππ πππ‘ππΓ‘π‘πππ πΌ, πππ‘πππππ ππ πππππππππππππ πππ‘ππΓ‘ β π‘πππ πΌ".
Implicaciones Asociadas
Forma Directa
(FD)
π β π
Forma ContrarrecΓproca
(FCR)
~π β ~ π
Forma Contraria
(FC)
~π β ~π
Forma RecΓproca
(FR)
π β π
Con
traria
Contr
ari
a
RecΓproca
RecΓproca
ContrarrecΓproca
Formas o Funciones Proposicionales
Una Forma o FunciΓ³n Proposicional en una variable π₯, es toda oraciΓ³n en la cuΓ‘l
figura π₯ como sujeto; la cual se convierte en proposiciΓ³n para cada especificaciΓ³n
de π₯.
Ejemplo: π π₯ : π₯ ππ π’π πΓΊππππ πππ π¦ πππππ
El Conjunto de Verdad (πͺπ½) de una funciΓ³n proposicional es el conjunto de todos
los elementos que al emplearlos en lugar de la variable π₯ convierten a dicha
funciΓ³n proposicional en proposiciΓ³n.
Al reemplazar π₯ por 2
π (2): 2 ππ π’π πΓΊππππ πππ π¦ πππππ
πΆπ = 2
CuantificaciΓ³n
La CuantificaciΓ³n es un proceso que mediante el uso de cuantificadores permite
convertir funciones proposicionales en proposiciones.
Los Cuantificadores son sΓmbolos utilizados para indicar cuΓ‘ntos o quΓ© tipo de
elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad :
Cuantificador Universal β
Se utiliza para afirmar que todos los
elementos de un conjunto dado
cumplen con una determinada
propiedad.
π π₯ : π₯ ππ π’π πΓΊππππ πππππ
βπ: π π
βπ₯: π₯ ππ π’π πΓΊππππ πππππ
π: πππππ πππ πΓΊπππππ π ππ ππππππ
Cuantificador Existencial β
Se utiliza para indicar que uno o mΓ‘s
elementos en un conjunto dado cumplen
una determinada propiedad.
π π₯ : π₯ ππ π’π πΓΊππππ πππππ
βπ: π(π)
βπ₯: π₯ ππ π’π πΓΊππππ πππππ
π: π΄πππ’πππ πΓΊπππππ π ππ ππππππ
NegaciΓ³n de los Cuantificadores
βLa negaciΓ³n del Cuantificador Uni-
versal es el Cuantificador Existencialβ
~ βπ: π π βΊ βπ: ~π(π)
Ejemplo:
"πΆπ’ππππ’ππππ ππ’π π ππ ππ πππ‘πππ, ππ₯ππ π‘π π’π πππ‘π’πππ ππ’π ππ πππ π‘ππππ ππ πππππππ ππ πππ π‘πππ‘π ππ β 3β
βπ β β€, β π β β: π β π β βπ
~[ βπ β β€, β π β β: π β π β βπ] βΊ
βΊ βπ β β€, β π β β: π β π = βπ
"πΈπ₯ππ π‘π π’π πππ‘πππ, ππ’ππππ’ππππ π ππ ππ πππ‘π’πππ ππ’π ππ πππ π‘ππππ ππ πππππππ ππ πππ’ππ π β 3β
βLa negaciΓ³n del Cuantificador Exis-
tencial es el Cuantificador Universalβ
~ βπ: π π βΊ βπ: ~π(π)
Ejemplo:
"πΈπ₯ππ π‘π π’π ππππππππ, ππ’ππππ’ππππ π ππ ππ πππ‘π’πππ ππ’π ππ π π’πππππ ππ πππππππ ππ πππ’ππ π 5β
βπ β β, β π β β: π + π = π
~[ βπ β β, β π β β: π + π = π] βΊ
βΊ βπ β β, β π β β: π + π β π
"πΆπ’ππππ’ππππ ππ’π π ππ ππ ππππππππ, ππ₯ππ π‘π π’π πππ‘π’πππ ππ’π ππ π π’πππππ ππ πππππππ ππ πππ π‘πππ‘π ππ 5β
MΓ©todos AxiomΓ‘ticos
Directo
Indirecto o ContrarrecΓproco
ReducciΓ³n por el Absurdo
RefutaciΓ³n
Teoremas
Demostraciones
Axiomas o Postulados
DEMOSTRACIΓN
Argumento que establece la
verdad de un teorema
TEOREMA
ProposiciΓ³n que se desprende de
otra u otras (demostrada/as
dentro de un sistema)
AXIOMA
ProposiciΓ³n que se asume
como verdadera
MΓ©todo Directo
Consiste en partir de la verdad del antecedente (HipΓ³tesis) y tratar de
establecer la verdad del consecuente (Tesis)
Ejemplo:
Demostrar que : βsi un nΓΊmero es impar, entonces su cuadrado es imparβ
DemostraciΓ³n:
π―ππΓ³πππππ βΆ π₯ ππ πππππ βΊ π₯ = 2π + 1, βπ β β€
π»ππππ: π₯2 ππ πππππ βΊ π₯2 = 2π + 1 2, βπ β β€
π₯2 = 2π + 1 2 = 4π2 + 4π + 1 = 2 2π2 + 2π + 1
Si consideramos al tΓ©rmino 2π2 + 2π = π, βπ β β€
π₯2 = 2 2π2 + 2π + 1 = 2π + 1
ConclusiΓ³n: ππ = ππ + π, es decir, ππ ππ ππ πΓΊππππ πππππ
MΓ©todo Indirecto o ContrarrecΓproco
Consiste en partir de la negaciΓ³n del consecuente (Tesis) y determinar la negaciΓ³n
del antecedente (HipΓ³tesis)
Ejemplo:
Demostrar que: βPara cualquier entero si su cuadrado es impar, entonces dicho
nΓΊmero es imparβ
DemostraciΓ³n:
Nueva HipΓ³tesis = NegaciΓ³n de la Tesis Inicial: π₯ ππ πππ βΊ π₯ = 2π, βπ β β€
Nueva Tesis = NegaciΓ³n de la HipΓ³tesis Inicial: π₯2 ππ πππ βΊ π₯2 = 2π 2, βπ β β€
π₯2 = 2π 2 = 4 π2 = 2(2 π2)
Si consideramos al tΓ©rmino 2 π2 = π, βπ β β€
π₯2 = 2 2 π2 = 2π
ConclusiΓ³n: ππ = ππ, es decir, ππ ππ ππ πΓΊππππ πππ
MΓ©todo de ReducciΓ³n por el Absurdo
Consiste en partir de la falsedad del consecuente (Tesis), ocupando el antecedente
(HipΓ³tesis), llegar a una contradicciΓ³n (ya sea contradecir la hipΓ³tesis dada o
cualquier resultado conocido).
Ejemplo:
Demostrar que : βpara cualquier nΓΊmero entero par su cuadrado es parβ
DemostraciΓ³n:
Hipotesis : π₯ ππ πππ βΊ π₯ = 2π, βπ β β€
Tesis = NegaciΓ³n de la Tesis Inicial: π₯2 ππ πππππ βΊ π₯2 = 2π + 1, βπ β β€
π₯ = 2π βΊ π₯2 = 2π 2 βΊ π₯2 = 4 π2 βΊ π₯2 = 2(2 π2)
Si consideramos al tΓ©rmino 2 π2 = π, βπ β β€
π₯2 = 2π
Podemos observar que ππ= ππ β§ ππ = ππ +1, es decir que un nΓΊmero cualquiera es
par e impar a la vez, y sabemos que esto no es posible (es un absurdo).
ConclusiΓ³n: βpara cualquier nΓΊmero entero par su cuadrado es par β
RefutaciΓ³n
Consiste en buscar un ejemplo que ponga en evidencia la falsedad de la
afirmaciΓ³n.
Ejemplo:
Demostrar que: βel cuadrado de todo nΓΊmero impar es parβ
DemostraciΓ³n:
92 = 81
ConclusiΓ³n: βel cuadrado de todo nΓΊmero impar es imparβ
BibliografΓa
ASTORGA y LISI (2012), βMatemΓ‘tica Iβ, Ed. IMPRENTA FCEJS βU.N.Sa
BOSCH (1999), βIntroducciΓ³n al Simbolismo LΓ³gicoβ, Ed. EUDEBA
JOHNSONBAUGH (1999), βMatemΓ‘ticas Discretasβ, Ed. Prentice Hall
RABUFFETTI (1992), βIntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis MatemΓ‘tico: CΓ‘lculo Iβ, Ed. EL ATENEO
ROJO ARMANDO (2005), βΓlgebra Tomo 1β, Ed. EL ATENEO
SUPPES (1994), βIntroducciΓ³n a la LΓ³gica MatemΓ‘ticaβ, Ed. REVERTΓ
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