TRATAMIENTO DE DATOS AJUSTES POR MÍNIMOS CUADRADOS

1

TRATAMIENTO DE DATOSAJUSTES POR MÍNIMOS CUADRADOS

Antonio J. Barbero

Departamento Física Aplicada

ETS Agrónomos UCLM

APLICACIÓN AL LABORATORIO DE FÍSICA

2

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

x

y

3

(xi,yi)

y=a+bxyi -a-b xi

N

iii bxayS

1

2)(

CRITERIO: Minimizar SCRITERIO: Minimizar S

0aS

0bS

(Ajuste lineal)

MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal)

4

MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal)

0221 1 1

N

i

N

i

N

iiiii xbaNybxay

a

S

01 1 1

2

1

N

i

N

i

N

ii

N

iiiiiii xbxayxbxayx

b

S

N

ii

N

ii yxbaN

11

N

iii

N

ii

N

ii yxxbxa

11

2

1

5

MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal)

22 xNx

xyNyxb

22

2

xNx

xyxyxa

N

xx

N

yy

222

xy m

22

2

xxN

Nb

22

22

xxN

xa

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

Coeficiente de correlación

2222 11y

Nyx

Nx

Nyx

xyr

6

EJEMPLO 1. LEY DE OHM

I (mA) V (mV)15 940 2657 36

109 68124 78156 99183 116267 169329 208371 235430 271566 358638 404681 431797 505

0 200 400 600 8000

100

200

300

400

500

0 200 400 600 8000

100

200

300

400

500

2.02.0 a0005.06333,0 b

999999.0r

(mA) I

(mV) V

IbaV

RIV )0005.06333.0(R

7

10% 20% 30% 40% 50%0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

Diá

me

tro

D (

mm

)

Porcentaje de alargamiento y (%)

10% 20% 30% 40% 50%0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

Diá

me

tro

D (

mm

)

Porcentaje de alargamiento y (%)

mm )003.0551.0( a

%

mm)0010.00113,0( b

98953.0r

EJEMPLO 2. DISMINUCIÓN DIÁMETRO POR TRACCIÓN

ybaD

Muestra de hilo de cobre sometida a tracción. Deformación permanente

y (%) D (mm)10% 0,54120% 0,53030% 0,51340% 0,50550% 0,497

8

10% 20% 30% 40% 50%0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

Diá

me

tro

D (

mm

)

Porcentaje de alargamiento y (%)

EJEMPLO 2. DISMINUCIÓN DIÁMETRO POR TRACCIÓN

mm )003.0551.0( a

%

mm)0010.00113,0( b

98953.0r

9

0 20 40 60 80 100

0

2

4

6

8

10

V (

volts

)

t (s)

0 20 40 60 80 100

0

2

4

6

8

10

V (

volts

)

t (s)

t (s) V (volts)0 8,555 7,1310 5,9620 4,2225 3,5830 3,0035 2,5140 2,1345 1,8050 1,5155 1,2660 1,0765 0,9170 0,7575 0,6280 0,5485 0,4590 0,38

/0

teVV

volts)015.0503.8(0 V

s )08.078.28(

99993.02 r

EJEMPLO 3. DESCARGA DE UN CONDENSADOR

CR

R

C

10

EJEMPLO 3. DESCARGA DE UN CONDENSADORLinealización

t (s) V (volts)0 8,555 7,1310 5,9620 4,2225 3,5830 3,0035 2,5140 2,1345 1,8050 1,5155 1,2660 1,0765 0,9170 0,7575 0,6280 0,5485 0,4590 0,38

/0

teVV tV

V

1

ln0

ln (V/V0)

0,0000-0,1816-0,3609-0,7061-0,8706-1,0473-1,2256-1,3898-1,5581-1,7338-1,9148-2,0783-2,2402-2,4336-2,6240-2,7621-2,9444-3,1135

0 20 40 60 80 100-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

ln(V

/V0)

t (s)

tBAV

V

0ln

1

B

004.0009.0 A

00008.003454.0 B

99996.0r

03454.0

1 s 9519.28

BB

2B

B s 07.0

11

0 20 40 60 80 100

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Data: Condensador_DModel: ExpDec1 Chi^2 = 6.1428E-6R^2 = 0.99993 y0 0 ±0A1 0.99445 ±0.00181t1 28.79799 ±0.08089

V/V

0

t (s)

0 20 40 60 80 100

0,01832

0,04979

0,13534

0,36788

1Data: Condensador_DModel: ExpDec1 Chi^2 = 6.1428E-6R^2 = 0.99993 y0 0 ±0A1 0.99445 ±0.00181t1 28.79799 ±0.08089

ln(V

/V0)

t (s)

EJEMPLO 3. DESCARGA DE UN CONDENSADOR

12

f ’ f

F

F’

EJEMPLO 4. LENTES. FÓRMULA DE GAUSS

s s’

y y’

FORMACIÓN DE IMAGEN. LENTE CONVERGENTE

'1

'11

fss

ECUACIÓN DE GAUSS

ss

yy

m''

Aumento lateral

'

1

fP

(Si f ’ en metros, P en dioptrías)

Potencia lente

13

EJEMPLO 4. LENTES. FÓRMULA DE GAUSS

s (cm) s' (cm)

37,9 72,742,5 59,948,4 51,662,5 44,170,2 40,0

1/s 1/s'

0,026 0,0140,024 0,0170,021 0,0190,016 0,0230,014 0,025

'1

'11

fss

sfs

1

'

1

'

1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,0300,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,0401

/s'

1/s

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,0300,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,0401

/s'

1/s

0008.00374.0 A

04.089.0 B

99681.0r

sBA

s

1

'

1

'

1

fA

cm 7378,261

' A

f

2'

'A

AA

A

ff

cm 6.0'f

cm )6.07.26(' f

Datos de alumnos

14

Ajustes no lineales

15

Ley de Malus I = I0 cos2

EJEMPLO 5. AJUSTE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

16

EJEMPLO 5. AJUSTE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

0 16110 12520 8730 5440 2845 1750 1055 660 465 770 1475 2280 3390 63

100 94110 130120 158130 190140 207150 214160 205170 179180 147

(º) I (lux)

I = m1 + m2 cos2(+m3)

m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux

m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924

17

0

50

100

150

200

250

0 40 80 120 160

EJEMPLO 5. AJUSTE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux

m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924

1m

2m3m

18

grados R (k) L (lux)0 1,45 145 0,471 53

10 0,267 15615 0,18 30720 0,136 50525 0,112 73630 0,094 109035 0,081 141040 0,073 176045 0,066 211050 0,062 247055 0,058 280060 0,055 312065 0,053 341070 0,051 365075 0,049 385080 0,049 3990

EJEMPLO 6. AJUSTE LOGARÍTMICO DOBLE

CALIBRADO DE UNA LDR

Empleo de la ley de Malus para variar la intensidad incidente

I = I0 cos2

19

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL DE CALIBRADO

Láser polarizado

Polarizador lineal sobre soporte

giratorio

Luxómetro / LDR Óhmetro

1º) Medidas de iluminación de 0º a 90º (luxómetro)

2º) Medidas de resistencia de 90º a 0º (óhmetro)

Ley de Malus I = I0 cos2

20

grados R (k) L (lux)0 1,45 145 0,471 53

10 0,267 15615 0,18 30720 0,136 50525 0,112 73630 0,094 109035 0,081 141040 0,073 176045 0,066 211050 0,062 247055 0,058 280060 0,055 312065 0,053 341070 0,051 365075 0,049 385080 0,049 3990

EJEMPLO 6. AJUSTE LOGARÍTMICO DOBLE

CALIBRADO DE UNA LDR

LR log04.0522.001.056.0log

522.0

log56.0

10

R

L

21

x

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsi

da

d r

ela

tiva

Posición sobre la pantalla (mm)

0 24 36 48-12-24

2b

D

20sincII

D

xbb

2

sen2

sin

sinc

EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN

22

EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN

= = 2 = - = -2 = -3 = 3 = 0

= -1.43 = 1.43 = 2.46 = -2.46x

D

b

2

23

AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS DE LOS PUNTOS EXPERIMENTALES:

2

3

321

)sen(

xm

xmmmI x

D

b

2 D

bm

2

3

xm 3

x

1m

2m

xm

3

Medidas tomadas usando un sistema de

desplazamiento y un sensor luminoso

EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN

24

LDRLight Dependent Resistence

Calibrado previo para obtener la iluminación en función de la resistencia óhmica

588.0log84.0

10R

lux

R en k

EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN

25

0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,05,56,06,57,07,58,08,59,09,5

10,0

mm

10,511,011,512,012,513,013,514,014,515,015,516,016,517,017,518,018,519,019,520,020,5

mm

0123456789

1011121314151617181920

v

212223242526272829303132333435363738394041

v

-10,22-9,72-9,22-8,72-8,22-7,72-7,22-6,72-6,22-5,72-5,22-4,72-4,22-3,72-3,22-2,72-2,22-1,72-1,22-0,72-0,22

0,280,781,281,782,282,783,283,784,284,785,285,786,286,787,287,788,288,789,289,7810,28

mmc mmc

1,612,373,776,1410,0615,8823,9934,8848,2665,2484,31105,91129,65153,18176,78199,89220,22239,56253,45263,44266,91

lux

266,91261,73251,84236,63218,94197,69174,97150,32126,37103,5381,8462,7046,4633,2822,8814,969,515,973,632,341,64

lux

5,2204,1703,1702,3801,7801,3611,0680,8570,7080,5930,5100,4460,3960,3590,3300,3070,2900,2760,2670,2610,259

k0,2590,2620,2680,2780,2910,3090,3320,3630,4020,4520,5190,6070,7240,8811,0981,4101,8402,4203,2404,2005,170

k

0 5 10 15 20

0

50

100

150

200

250

300

lux

mm

Centrado

mmc = mm - corrección de centrado

EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN

26

-10 -5 0 5 10

0

50

100

150

200

250

300

lux

mmc

-10 -5 0 5 10

0

50

100

150

200

250

300

lux

mmc

0 5 10 15 20

0

50

100

150

200

250

300

lux

mm

Ajuste polinómico Representación y ajuste

Obtención de la corrección de centrado

EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN

27

Parámetros del ajuste:

m1 = (3.50.5) lux

m2 = (263.40.7) lux

m3 = (0.3380.001) mm-1

D

bm

2

3

32

mDb

= (632.80.1)·10-6 mm

D = (285010) mm 32

mDb

mm 19403.0 (Exceso

decimales)

33

)2()2()2(1)2( m

m

bD

D

bbb

mm 103.1 3

Valor aceptado: mm )0013.01940.0(2 b

EJEMPLO 6. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN

28

FIN DE LA PRESENTACIÓN