Un vistazo a lo que son series

UN VISTAZO A LO QUE

SON SERIES Y TODO EN

GENERAL

CALCULO INTEGRAL

Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de

una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los

términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta

con el símbolo de sumatorio:

𝑎𝑛

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una

serie con términos “an” como donde n es el índice final de la serie.

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente

todos los números naturales, es decir: 𝑖 = 1,2,3, …

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖

Una serie numérica es un conjunto de

números ordenados que siguen un

patrón. El patrón es la relación que existe

entre los números que forman la serie.

Una serie de potencias alrededor del punto x=x0 es una expresión

de la forma

𝑛=0

∞

𝐶𝑛 (𝑋 − 𝑋𝑜)𝑛

Donde las Cn son números reales que dependen de n.

Dada una serie de potencias 𝑛=0∞ 𝐶𝑛 (𝑋 − 𝑋𝑜)𝑛, el conjunto de

números reales para los cuales la serie convergente se denomina intervalo de convergencia, se denota como IC y puede ser de tres

formas distintas:

1. Un solo punto; a saber, él único punto donde converge la serie es en xn

2. El conjunto de todos los números reales, Ic = R

3. Un intervalo de la forma (xo – r, xo + r), donde r es un número real.

El radio de convergencia de una serie de potencias, denotado

por rc es la mitad de la longitud del intervalo de convergencia. De

los puntos dados en el caso anterior:

En el 1. el radio de convergencia es cero; es decir, rc = 0.

En el 2. el radio de convergencia es infinito; es decir, rc = ∞;

y en 3. el radio de convergencia es r; es decir, rc = r.

Sea f(x) una función que tiene derivada de todos los órdenes

en x=a. La serie de Taylor en torno a “a” es

𝑛=0

∞𝑓 𝑛 𝑎

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛

Donde 𝑓 0 𝑎 = 𝑓(𝑎) y como se sabe, 0! = 1

1ER. EJEMPLO: ESCRIBA LA SERIE DE

TAYLOR DE F(X) = 𝑒𝑥 EN TORNO A X = 1

SOLUCION:

𝑛=0

∞𝑓 𝑛 1

𝑛!(𝑥 − 1)𝑛

Como f(x) = 𝑒𝑥 , se sabe que 𝑓 𝑛 𝑥 = 𝑒𝑥. Por lo tanto,𝑓 𝑛 1 = 𝑒𝑥, de donde la serie es

𝑛=0

∞𝑒

𝑛!(𝑥 − 1)𝑛

Se puede demostrar que en este caso lim𝑛→∞𝑅𝑛 𝑥 = 0

Lo cual significa que 𝑒𝑥 = 𝑛=0∞ 𝑒𝑥(𝑥 − 1)𝑛 para toda x ∈ R

2DO EJEMPLO: ESCRIBA LA SERIE DE

TAYLOR DE 𝑓 𝑥 = LN 𝑥 EN TORNO A X=1

SOLUCION:

𝑛=0

∞𝑓 𝑛 1

𝑛!(𝑥 − 1)𝑛

Como 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 , se tiene

𝑓 0 𝑥 = ln 𝑥 𝑓 0 1 = 0

𝑓 1 𝑥 =1

𝑥𝑓 1 1 = 0

𝑓 2 𝑥 = −1

𝑥2𝑓 2 1 = −1

𝑓 3 𝑥 =2

𝑥3𝑓 3 1 = 2

𝑓 4 𝑥 =−6

𝑥4= −3!

𝑥4𝑓 4 1 = −3! = −6

𝑓 5 𝑥 =2(−3)(−4)

𝑥5=4!

𝑥5𝑓 5 1 = 4! = 24

𝑓 6 𝑥 =2(−3)(−4)(−5)

𝑥6=− 5!

𝑥6𝑓 6 1 = −5! = −120

De aquí es fácil ver que la n-ésima derivada es

𝑓 𝑛 𝑥 = (−1)𝑛+1𝑛 − 1 !

𝑥𝑛𝑓 𝑛 1 = −1 𝑛+1 𝑛 − 1 !

Por tanto,

𝑛=0

∞𝑓 𝑛 1

𝑛!(𝑥 − 1)𝑛=

𝑛=0

∞(−1)𝑛+1 𝑛 − 1 !

𝑛!(𝑥 − 1)𝑛=

𝑛=0

∞(−1)𝑛+1

𝑛(𝑥 − 1)𝑛

En este caso puede demostrarse que esta serie convergente a ln(x)

en el intervalo (0,2); es decir:

ln(𝑥) = 𝑛=0∞ (−1)𝑛+1

𝑛(𝑥 − 1)𝑛 En el intervalo (0,2).

𝑥3 + 8𝑥 + 4

(𝑥 − 1)100𝑑𝑥

(𝑥 − 1)100= 0

𝑥 − 1 = 0

𝑥 = 1

𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 8𝑥 + 4 , 𝑃 1 = 1 + 8 + 4 = 13

𝑃′ 𝑥 = 3𝑥2 + 8 , 𝑃′ 1 = 3 + 8 = 11

𝑃′′ 𝑥 = 6𝑥 , 𝑃′′ 1 = 6

𝑃´´´ 𝑥 = 6 , 𝑃′′′ 1 = 6

𝑥3 + 8𝑥 + 3 = 13 +11

1!𝑥 − 1 +

6

2!(𝑥 − 1)2+

6

3!(𝑥 − 1)3

= 13 + 11 𝑥 − 1 + 3(𝑥 − 1)2+1(𝑥 − 1)3

𝑥3 + 8𝑥 + 4

(𝑥 − 1)100𝑑𝑥 =

13 + 11 𝑥 − 1 + 3(𝑥 − 1)2+(𝑥 − 1)3

(𝑥 − 1)100

13 𝑑𝑥

(𝑥 − 1)100+ 11

𝑑𝑥

(𝑥 − 1)99+ 3

𝑑𝑥

(𝑥 − 1)98+

𝑑𝑥

(𝑥 − 1)97

Fórmula: 𝑣𝑛𝑑𝑥 =𝑣𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶

13(𝑥 − 1)−99

(−99)+ 11(𝑥 − 1)−98

(−98)+ 3(𝑥 − 1)−97

(−97)+(𝑥 − 1)−96

(−96)+ 𝐶

−13

99 𝑥 − 1 99−

11

98 𝑥 − 1 98−

3

97 𝑥 − 1 97−

1

96 𝑥 − 1 96+ 𝐶

BIBLIOGRAFIA

AGUILAR Sánchez, Gerardo y CASTRO Pérez, Jaime, “Problemas

de Cálculo integral” 1ra Edición, Tec de Monterrey, México, DF.,

Julio 2003, 127 págs.

COQUILLAT, Fernando, “Cálculo integral, Metodología y

Problemas”, 2da Edición, Alfaomega, México, DF., Octubre 1999, 381 págs.

AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, “PROBLEMARIOS DE

CÁLCULO INTEGRAL”, 1ra edición, División Iberoamericana, Julio

2003, págs. 38-47.

INFORMACION POR INTERNET

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica

http://boards5.melodysoft.com/canalingenio/que-es-una-serie-numerica-1267.html

http://calculoint-roblesd.blogspot.mx/2011/06/serie-finita-criterio-dalembert-y.html

http://matematica.50webs.com/sucesiones.html