unidad 1 act 1.docx

GUIA DE APRENDIZAJE

1. Investiga y escribe la definición de límite:

Si f es una función, entonces se dice que

A es el limite de f(x) cuando x se aproxima a a

Si el valor de f(x) se acerca arbitrariamente a A cuando x se aproxima a a. En notación matemática esto se expresa así:

Lim f(x)=A

x→a

2. ¿Qué entiendes, cuando se dice que el valor de x tiende a cierto número en una función? Por ejemplo, en la función f(x)=3x+4, a qué valor tiende “y” cuando “x” tiende a 7.

Cuando el valor de y se obtiene a partir de los números que se van acercando al valor a cual tiende el valor de x. En este caso es a cual valor se acerca la función: 3x+4 cuando el valor de x se va acercando a 7.

3. Grafica la función anterior; tabula con valores cercanos al 7 por ambos lados.

x f(x) f (x)=3x+4

6 22 3(6)+4

6.5 23.5 3(6.5)+4

6.9 24.7 3(6.9)+4

6.999 24.997 3(6.999)+4

7.0001 25.0003 3(7.0001)+4

7.1 25.3 3(7.1)+4

7.5 26.5 3(7.5)+4

4. ¿Cuáles son las condiciones que debe cumplir una función para que podamos decir que es continua en cierto punto?

Una función es continua cuando en x0 si se cumplen las 3 condiciones siguientes:

F(x) esta definida

limx→x 0

f (x ) existe❑

limx→x 0

f (x )=f (x 0)❑

5. Busca una función donde se cumplan las condiciones de continuidad y otra donde no se cumplan. En los dos casos necesariamente debes realizar la gráfica.

EJERCICIOS:

1. Completa la tabla, grafica la función y encuentra el límite de las siguientes funciones:

a) f (x)=x2−4 , si x tiendea1

x y y=x2−4

-4 12 Y= (-4)2 -4

-3 5 Y= (-3)2 -4

-2 0 Y= (-2)2 -4

-1 -3 Y= (-1)2 -4

0 -4 Y= (0)2 -4

2 0 Y= (2)2 -4

3 5 Y= (3)2 -4

b) f (x)=2x3−1 , si x tiende a−2

x y y=2x3−1

3 53 Y=2(3)3 -1

2 15 Y=2(2)3 -1

1 1 Y=2(1)3 -1

0 -1 Y=2(0)3 -1

-1 -3 Y=2(-1)3 -1

-3 -55 Y=2(-3)3 -1

-4 -129 Y=2(-4)3 -1

c) f (x)=1

(x−1), si x tiende a1

x yy= 1

( x−1)

4 1/3y= 1

(4−1)

3 1/2y= 1

(3−1)

2 1y= 1

(2−1)

-2 -1/3y= 1

(−2−1)

-3 -1/4y= 1

(−3−1)

-4 -1/5y= 1

(−4−1)

-5 -1/6y= 1

(−5−1)

d) f (x)=ln ( x−2 ) , si x tiende a10

x y y=ln (x−2)

0 3 y=ln (x−2)

0.69 4 y=ln (x−2)

1.09 5 y=ln (x−2)

1.38 6 y=ln (x−2)

1.6 7 y=ln (x−2)

1.79 8 y=ln (x−2)

1.94 9 y=ln (x−2)

e) f (x)=senx , cuando x tiendeaπ2

x y y=senx

2. Para la siguiente función encuentra el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda, y haz lo mismo para cuando tiende por la derecha.

a) f(x)={x+3 si x<12 si x≥1

limn→−1

x+3=2

limn→1

2=2

3. Para la siguiente función encuentra el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, y haz lo mismo para cuando tiende por la derecha.

b) f(x)={x−4 si−2< x<2x2−6 si2<x≤4

4. En cada uno de los siguientes problemas definimos una función y se da su dominio. Determina si la función es discontinua para alguno o algunos valores de su dominio, indicando cuál de las tres condiciones no se cumple.

a) f(x)={x+3 si x<12 si x≥1

limn→1

x+3=¿4 ¿

limn→1

2=2

Los limites no coinciden por lo tanto la función no es continua

b) f ( x )={12 x+1 si x≤23−x si x>2

limn→2

12x+1=2

limn→2

3−x=1

Los limites no coinciden por lo tanto la función no es continua

c) f ( x )={ −2 x si x ≤2x2−4 x+1 si x>2

limn→2

−2x=−4

limn→2

x2−4 x+1=4−8+1=−3

Los limites no coinciden por lo tanto la función no es continua en x=2

d) f(x)={x−4 si−2< x<2x2−6 si2<x ≤5

La función está definida en el intervalo (-2,5). La función no esta definida en x=2 ya que ese valor no se incluye en ninguno de los dos criterios por lo tanto la función no será continua en x=2

e) f(x)={ 3x−2 si−3<x<1x2−2x+1 si1<x≤3

La función esta definida en ( -3,3) y al no estar incluido en ninguno de los dos criterios el valor de 1 la función no será continua en x=1