Unidad 5 – Ecuaciones e...

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Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionesPÁGINA 78

SOLUCIONES_________________________________________________________________

Resolver ecuaciones de primer grado.

a) b)

2 3( 5) 2 ( 3)

2 3 15 2 3

15 3

2 12

6

x x x xx x x xx xx

x

� � � � �� � � � �

� � � �� �� �

5 3(2 6) (3 2) 2 6

5 6 18 3 2 2 6

6 22

11

3

x x x xx x x x

x

x

� � � � � �� � � � � �

� � �

c) d)

2 3 2

4 8

4 6 2

5 4

4

5

x x

x xx

x

� �� �

� � � ��

2( 2) 2 31

3 6

4 8 2 3 6 6

4 1

1

4

x x x

x x xx

x

� �� � �

� � � � �� � �

134

Resolver sistemas de ecuaciones.

a) Método de sustitución.

3 1

2 3 4

1 3

2 3( 1 3 ) 4

2 3 9 4

7 7

1

2

x yx y

y xx xx x

x

xy

� � ��� � ��

� � �� � � �� � �

� �

� ��

b) Método de igualación.

2 3 21

3 5 16

21 2

3

16 3

5

21 2 16 3

3 5

105 10 48 9

57 19

3

5

x yx y

xy

xy

x x

x xx

xy

� ��� � � ��

��

�� �

� � ��

�� � ��

�� �

c) Método de Reducción.

2 3 6 10 15 30

5 2 7 10 4 14

11 44

4

3

x y x yx y x y

yyx

� � � � � �� ��� �� � � � � �� �

� �� �� �

135

PÁGINA 80

SOLUCIONES_________________________________________________________________

1. a) +4 y -4 son los dos números que elevados al cuadrado dan 16.

b) 0, porque es el elemento absorbente del producto.

c) 1, porque necesitamos que el paréntesis se anule.

d) Si el producto de dos números es 0, es porque el menos uno de los dos es cero. Entonces, una de las

soluciones es x = 0, y la otra es x = -2, que es el valor de x que anula el paréntesis.

e) Necesitamos elevar 3 a la cuarta potencia para conseguir 81, luego x tiene que tomar el valor 5.

f)x tiene que valer 3.

2. Por definición, a es solución de una ecuación, si al sustituir la incógnita por a, la ecuación se hace cierta.

2 21 ( 2) ( 2) 5

9 4 5

9 9

� � � � �

� ��

136

PÁGINA 81

SOLUCIONES_________________________________________________________________

3. a) b)

2( 2) 3 1 ( 3 ) 5(3 2 )

2 4 3 1 3 15 10

13 23

23

13

x x x x xx x x x x

x

x

� � � � � � � � � �� � � � � � � � �

� � �

2 3 21

4 6

12 6 9 4 2 12

8 17

17

8

x xx

x x xx

x

� �� � �

� � � � �� �

� �

c) d)

2( 3) 3 2 3

6 18 9

6 9 3 2 18 6 2

18 18 18 18

6 9 3 2 18 6 2

20 18

9

10

x x xx

x x x x

x x x xx

x

� � � �� � �

� � � �� � �

� � � � � � �� �

� �

3 2( 5) 3 3 10

4 10 8 2

30 8 40 12 15 5 40 200

40 40 40 40 40

30 8 40 12 15 5 40 20 0

79 75

75

79

x x x x x

x x x x x

x x x x xx

x

� � �� � � � �

� � �� � � � �

� � � � � � � ��

137

PÁGINA 82

SOLUCIONES_________________________________________________________________

4. El valor de la x en una ecuación de segundo grado completa viene dada por:

2

2

0

4

2

ax bx c

b b acxa

� � �

� � ��

Si la ecuación de segundo grado es incompleta vamos transponiendo los términos según las reglas y de

forma ordenada.

a) c)

2

1 2

2 5 3 0

5 25 24 5 1

4 4

3, 1

2

x x

x

x x

� � �

� � �� �

� �

2

2

( 2) (2 1) 5 7

2 5 2 5 7 0

2 5 0

5

2

x x xx x xx

x

� � � � �

� � � � �

� �

� �

b) d)

2

1 2

2 0

1 1 8 1 3

2 2

2, 1

x x

x

x x

� � �

� � �� �

� � �

2

2

1 2

3 ( 1) ( 2)

3 2 0

4 2 0

4 16 8 4 2 22 2

2 2

2 2, 2 2

x x xx x xx x

x

x x

� � � � �

� � � �

� � � �

� � � � �� � � � �

� � � � � �

138

5. a) b)

2

2 2

2

1 2

(2 3) ( 2) 2

2 3 4 4 2 0

6 0

1 1 24 1 5

2 2

2, 3

x x xx x x x

x x

x

x x

� � � � �

� � � � � �

� � �

� � � � �� �

� � �

2

2 2

2

1 2

4 (2 1) 2 ( 5)

4 4 4 1 2 10

6 7 3 0

7 49 72 1 11

12 12

5, 1

6

x x x xx x x x x

x x

x

x x

� � � � � �

� � � � � �

� � � �

� � � � �� �

� �

� � �

139

PÁGINA 83

SOLUCIONES_________________________________________________________________

6. El número de soluciones de una ecuación depende del signo de su discriminante:

2 4 0b ac � � � � �soluciones�

2 4 0 !b ac solución � � � � � (solución doble)

2 4 0 2b ac soluciones � � � � �

a) No tiene ninguna solución real.

2 4

9 20 0

b ac � � � � �

b) Existen dos soluciones diferentes.

2 4

25 24 0

b ac � � � � �

c) Existe una solución doble.

2 4

400 400 0

b ac � � � � �

7. Para que tengan una solución única doble el discriminante debe ser 0:

a) b)

2 4

16 20 0

4

5

b acd

d

� � � � �

2 4

9 4 0

9

4

b acd

d

� � � � �

� �

8. Para resolver una ecuación bicuadrada: 4 2 0ax bx cx� � �

1.Hacemos un cambio de variable: x2 = z

140

2.Resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda: 2 0az bz c� � � , de la que obtenemos dos

soluciones: z1, z2.

3.Deshacemos el cambio de variable: 1 1

2 2

x z

x z

� �

� �

a) c)

4 2

2

2

1 1 2

2 3 4

x 5x 36 0

x

z 5z 36 0

5 25 144 5 169 5 13

2 2 2

9 3, 3

4 4

z

z

z x x

z x x

� � �

� � �

� � � �� � �

� � � � �

� � � � � �

4 2 4 2

2

2

1 1 2

2 3 4

12x 19x 18 12x 19x 18 0

x

12z 19z 18 0

19 361 864 19 35

24 24

9 3 3,

4 2 2

2 2

3 3

z

z

z x x

z x x

� � � � � �

� � �

� � �� �

� � � � �

� � � � � �

b)

4 2

2

2

1 1 2

2 3 4

15x +31x 10 0

x

15z +31z+10 0

31 961 600 31 19

30 30

2 2

5 5

5 5

3 3

z

z

z x x

z x x

� �

� � � � �� �

� � � � � �

� � � � � �

141

PÁGINA 84

SOLUCIONES_________________________________________________________________

9. a) b) c)

5 17

2 3 5

5 17

2 (5 17) 3 5

10 34 3 5

13 39

3

2

x yx y

x yy y

y yy

yx

� � ��� � ��� �� � � �

� � ��

���

3 5

5 1

3 5

5 (3 5) 1

15 25) 1

16 26

13

8

1

8

x yx y

y xx xx x

x

x

y

� � ��� � � ��

� �� � � � �� � � �

� �

� �

4 3 2

5 2 3

2 4

3

2 45 2 3

3

15 4 8 9

3 3 3

7 13

13 33,

7 7

x yx y

xy

xx

x x

x

x y

� ��� � � ��

��

�� �� � � �� �� �� �

� �

� �

� � �

142

PÁGINA 85

SOLUCIONES_________________________________________________________________

10.

a) b) c)

3 2 7

5 3 11

7 3 11 5,

2 3

7 3 11 5

2 3

21 9 22 15

6 1

1 13,

6 4

x yx y

x xy y

x x

x xx

x y

� ��� � ��

� �� �

� ��

� � ��

� �

12 6 1

4 3 8

12 1 4 8,

6 3

12 1 4 8

6 3

12 1 8 16

20 15

3 5,

4 3

x yx y

x xy y

x x

x xx

x y

� ���� � ��

� � �� �

� � ��

� � � �� �

� � � �

2 3 2

5 3

31, 5 3

2

31 5 3

2

3 2 10 6

7 4

4 1,

7 7

x yx y

yx x y

y y

y yy

y x

� � � ��� � ��

� � � �

� � �

� � �� �

� � �

11. a) b) c)

3 5 5 3 5 5

2 8 10 5 40

7 45

45 34,

7 7

x y x yx y x yx

x y

� � � �� ��� �� �� � � �� �

� �

�� �

3 8 5 3 8 5

5 4 17 10 8 34

13 39

13,

2

x y x yx y x yx

x y

� �� � ��� ��� �� �� � ��� �

��

�� �

4 3 2 20 15 10

20 36 3 20 36 3

21 7

143,

3

x y x yx y x y

x

x y

� � � � ��� ��� �� � � �� �

��

�� �

143

PÁGINA 86

SOLUCIONES_________________________________________________________________

12.2

a) 5 3 2 d) 14 3 6

4 7 5 12 2 7 12

7 7( ,

4 4

x x xx x

x x x x

x x

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � �

�� � � �� ��

12 12 , )

7 7

2 3 2 2b) 3 5 5 e) 1

3 6 2

4 10 4 2 3 2 3 6 6

5 5

2 2

x x

x x xx x

x x x x

x x

�� � � ����

� � �� � � � � � �

� � � � � � �

� � � , ) 8 14

7 7 , )

4 4

3 2 2c)

4 8

x

x x

x x x

� �� � � ���

�� � � ����

� �� �

2 3( 1) 2 1 f) 2

5 2

5 6 8 4 6 6 10 5 2

3 6 11 13

x x x x

x x x x x xx x

� � �� � �

� � � � � � � �� � � �

13 132 ( , 2 ( ,

11 11x x x x �� � � � �� � � � � � �� � �

144

PÁGINA 87

SOLUCIONES_________________________________________________________________

13.

a)

7

3 5 7 2 10 7 1 710,

5 3 4 3 2 1 1 2 10

2

b)

2( 3) 5 2 22 2828 1

, 28 ,2 12 1 21

3 2

c)

2( 2) 5 4 (5 6)

2 (4 5) 2(3 2 ) 5

xx x xx

x x x x

x x x xxxx xx x

x x xx x x

� ��� � � � � � �� � � � �� � � � �� � � ��� � � � � � �� � � � ���

� � � � � � �� �� ��� � � �� � � � �� � ! ���� � � ���� � � � ��� ���

� � � � � ��� � � � � ��

12 2

, 156 10

3

d)

2 2,1

3 1 2 1

xxx

x x

x xx

x x

� ��� �� �� � � � �� �� �� �� ��

� �� �� � � ��� �� � � � �� �

145

PÁGINA 90

146

SOLUCIONES_________________________________________________________________

Ecuaciones de primer grado.

14. a) b)

3 (3 5 ) 4 ( 2 5) 3 2 ( 5)

3 3 5 8 20 3 2 10

2 10

5

x x x xx x x xx

x

� � � � � � � � � � �� � � � � � � �� �

� �

( 3) 4 [2 (5 1)] 3 1 5 (2 )

3 12 4 3 1 10 5

19 2

2

19

x x x x xx x x x

x

x

� � � � � � � � � � � �� � � � � � �

� � �

c) d)

2 ( 3) 5

3 2

10 2 15 3

5

x x

x xx

� � � �� �

� � � � ��

2 (3 1) 3 21

3 6

12 4 3 2 36 6

21 8

8

21

x x x

x x xx

x

� � � �� � � �

� � � � � � ��

e)

3 (5 1) 3 2 12 1

4 8 2

16 30 6 3 2 4 8

21 0

0

x xx x

x x x xx

x

� � �� � � �

� � � � � �� ��

15. a) b)

2

2 2

2 2

2 4 ( 2) ( 3) 3 (2 1)

2 4 4 24 3 (4 4 1)

4 6 24 4 7 1

6 24 7 1

25

x x x x xx x x x x x

x x x x

x x

x

� � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � �

2 2

2 2 2

( 3) (2 1) (2 3) ( 2) (2 )

2 7 3 4 12 9 4 2

19 10 0

10

19

x x x x x xx x x x x

x

x

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � �

c)

2 2 2

2 2 2 2

( 3) ( 3) 1 ( 2)

9 1 4 4

4 14 0

7

2

x x x x xx x x x x

x

x

� � � � � � � �

� � � � � � �

� �

147

Ecuaciones de segundo grado.

16. a) No tiene ninguna solución real. c) No tiene ninguna solución real.

2 4

9 40 0

b ac � �

� � � � �soluciones�

2 4

4 8 0

b ac � �

� � � � �soluciones�

b) Existen dos soluciones diferentes. d) Existen dos soluciones diferentes.

2

2

2

1 2

(2 1) 3 2

2 2 0

4

4 8 0 2 .

2 4 8 2 2 3

2 2

1 3, 1 3

x x x xx x

b acsoluciones

x

x x

� � � � � �

� � �

� � � � � �

� � � � �� �

� � � � � �

2 2

2

2

1 2

2 4 3

3 7 0

4

49 0 2 .

70,

3

x x x xx x

b acsoluciones

x x

� � �

� �

� � � � �

� �

17. a) b)

2

2

( 1) ( 1) 2 ( 2) 2 ( 3)

6 5 0

36 20 16 0 2 .

x x x x x xx x

soluciones

� � � � � � � � � �

� � � � � � � �

2 2 2

2

8 ( 3) (2 1) (2 1) (2 3)

6 1 0

36 4 40 0 2 .

x x x x xx x

soluciones

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

c) d)

2 2

2

2 ( 1) ( 2) ( 1)

4 2 0

16 8 8 0 2 .

x x x x xx x

soluciones

� � �� � � � �

� � � � � � � �

2

2

( 2) (2 1) ( 1) ( 1)

2 5 5 0

25 40 15 0

x x x x xx x� � � � � � � �

� � �

� � �� � � �soluciones

18. Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante debe ser nulo:

2 10 1 0

100 4 0

25

ax xa

a

� � � � � �

19. Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante debe ser nulo:

2

2

4 9 0

144 0

12

x axa

a

� � �

� � �

��

148

20. El valor de la x en una ecuación de segundo grado completa viene dada por:

2

2

0

4

2

ax bx c

b b acxa

� � �

� � ��

Si la ecuación de segundo grado es incompleta vamos transponiendo los términos según las reglas y de

forma ordenada.

a) d)

2

1 2

6 3 45 0

9 9 1080 9 33

12 12

72,

2

x x

x

x x

� � �

� � � � �� �

� �

2

1 2

10 23 12 0

23 529 480 23 7

20 20

4 3,

5 2

x x

x

x x

� � � �

� � � � �� �

� �

� �

b) e)

2

1 2

3 10 8 0

10 100 96 10 2

6 6

42,

3

x x

x

x x

� � �

� � �� �

� �

2 2

1 2

3 1 13 5 2 0

10 2 5

5 25 24 5 7

6 6

1, 2

3

x x x x

x

x x

� � � � � � � � �

� � � � �� �

� �

� � �

c) f)

2

1 2

6 2 0

1 1 48 1 7

12 12

2 1,

3 2

x x

x

x x

� � �

� � �� �

� � �

2

1 2

20 7 60 0

7 49 4800 7 4849

40 40

7 4849 7 4849,

40 40

x x

x

x x

� � �

� � � � �� �

� � � �� �

21. a) c)

2

1 2

3 5 0

(3 5) 0 0,3 5 0

50,

3

x xx x x x

x x

� �� � � � � � �

� �

2

1 2

5 20 0

5 ( 4) 0 5 0, 4 0

0, 4

x xx x x x

x x

� � �� � � � � � � � �

� �

b) d)

149

2

2

1 2

3 15 0

5

5, 5

xx

x x

� � �

� � �

2

2

1 2

61 7 0

5

8 5

6

8 5 8 5,

6 6

x

x

x x

� � �

� � �

22. a) c)

2

( 2) (2 5) ( 9)

10 0 10

x x x x

x x

� � � � � �

� � � � � ��soluciones�

2

2

1 2

2 (2 1) ( 4) ( 2)

3 0

(3 1) 0 0,3 1 0

10,

3

x x x xx x

x x x x

x x

� � � � � �

� � �� � � � �� � � �

� ��

b) d)

2

1 2

(2 3) ( 3) ( 3) 6

2 0

( 2) 0 0, 2 0

0, 2

x x xx x

x x x x

x x

� � � � � �

� � �� � � � � � � � �

� �

2

2 2

1 2

6 (3 5) 2 ( 4) 3

2 20 0 10

10, 10

x x x xx x

x x

� � � � � � �

� � � � �

� ��

23. a) c)

2

2

1 2

( 3) ( 3) ( 3) 3 7

0

( 1) 0 0, 1 0

0, 1

x x x xx xx x x x

x x

� � � � � � �

� �� � � � � � �

� ��

2

2

1 2

(3 1) ( 2) ( 2) ( 8) 3 ( 18)

2 16 5 0

16 256 40 16 6 6

4 4

3 6 3 61 , 1

2 2

x x x x xx x

x

x x

� � � � � � � � � �

� � � �

� � �� �

� �

�� � �� �

b) d)

2 2

2

1 2

(2 5) 6 49 (2 3)

8 14 15 0

14 196 480 14 26

16 16

5 3,

2 4

x x xx x

x

x x

� � � � �

� � �

� � �� �

� ��

2 2

2

1 2

7 (2 3) (2 1) 2

8 14 3 0

14 196 96 14 10

16 16

1 3,

4 2

x x xx x

x

x x

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� � � �

� � � � �� �

� �

� �

150

24. Para resolver una ecuación bicuadrada: 4 2 0ax bx cx� � �1.Hacemos un cambio de variable: x

2 = z

2.Resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda: 2 0az bz c� � � , de la que obtenemos dos

soluciones: z1, z2.

3.Deshacemos el cambio de variable: 1 1

2 2

x z

x z

� �

� �

a)

4 2

2

2

1 1 2

2 3 4

3x 2x 8 0

x

3z 2z 8 0

2 4 96 5 10

6 6

5 5 5,

2 2 2

5 5

6 6

z

z

z x x

z x x

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� � �

� � �� �

� � � � �

� � � � � �

b)

4 2

2

2

1 1 2

2 3 4

10x -3x 4 0

x

10z - 3z - 4 0

3 9 160 3 13

20 20

4 2 5 2 5

5 5 5

1 1

2 2

z

z

z x x

z x x

� �

� � �� �

� � � � �

� � � � � �

c)

4 2

2

2

1 1 2

2 3 4

4x 25x 36 0

x

4z 25z + 36 0

25 625 576 25 1201

8 8

25 1201 25 1201 25 1201,

8 8 8

25 1201 25 1201

8 8

z

z

z x x

z x x

� � �

� �

� � �� �

� � �� � � � �

� �� � � �

151

d)

4

4

5x 100 0

20x

� �

e)

4 2

2 2 2 2

1 2 3

2 3 4

3 +7x 0

x ( 3 +7) 0 x 0, 3 +7=0

7 70, ,

3 3

25 1201 25 1201

8 8

xx x

x x x

z x x

� �

� � � � � �

� � � �

� �� � � �

f)

4 2

2

2

1 1 2

2 3 4

4x + 29x 45 0

x

4z + 29z +45 0

29 841 720 29 11

8 8

9 9

4 4

5 5

z

z

z x x

z x x

� �

� � � � �� �

� � � � � �

� � � � � �

25.

4 2 2 2 2

4 2 2 2

4 2 2

4 2

2

2

2

1

a) 15 12 5 4 8 16 4 8 2 2

15 17 4 (16 4) 2 2

15 33 8 2 2

15 31 10 0

15 31 10 0

31 31 4·15·10 31 961 600 31 361

2·15 30 30

31 19 31 19 50 5

30 30 30 3

x x x x x x x

x x x x

x x xx x

z xz z

z

z

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� � � � � � �

� � � � �

� � �

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� � � � � � �� � � �

� �� � � � �

2

2 2

1 1 2 2

31 19 12 2

30 30 5

5 5 2 2

3 3 5 5

5 5 2 2Soluciones : , , ,

3 3 5 5

z

x x x x

�� � �

� � � � � � � �

� � � �

152

4 2 2 2 4 2 2

4 2 4 3 3 2 4 2 2

4 2 2

4 2

2

2

2

1

2

2

1 1

b)(4 4 1) ( 3 3 9) ( 6 ) 22 6

4 4 1 3 3 9 6 22 6

2 7 1 22 6

2 21 0

2 21 0

1 1 4·2·( 21) 1 1 168

2·2 4

1 169 1 13 1 133

4 4 4

14 7

4 2

3

x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x xx x

z xz z

z

z

z

x x

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

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� � � � � �� � � � �

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2

2

3

7

2x

� �

� �

No existen soluciones reales para x2

Soluciones: + 3 ,- 3

26. a) c)

3 5 3

10 5 23

3 3 23 10,

5 5

3 3 23 10

5 5

13 26

32,

5

x yx y

x xy y

x x

x

x y

� ���� � � ��

� � �� �

� � ��

� � �

4 3 2

32 4

2

2 3 3, 2

4 4

2 3 32

4 4

2 3 8 3

6 10

5 3,

3 4

x y

x y

yx x y

y y

y yy

y x

� ����� � ���

�� � � �

�� � �

� � � ��

� � �

153

b) d)

52 3

4

1 2

53 , 1 2

4

53 1 2 ; 5 12 4 8

4

4 1

1 1,

4 2

x y

x y

x y x y

y y y y

y

y y

� � � ����� � ��

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� � �

15 10 15

21 14 2

10 14 21,

15 21

70 105 70 10

105 10

x yx y

y yx x

y y

� � ���� � � ��

�� � �

� � �� �

� .soluciones

154

PÁGINA 91

155

SOLUCIONES_________________________________________________________________

27. a) c)

3 5

202

3

5 3

202 ( 5 3 )

3

2010 6

3

107

3

10 25,

21 7

x y

x y

x y

y y

y y

y

y x

� � ����

� � ���� � �

� � � � � �

� � � � �

� �

� � � �

72

4

3 3 2

72

4

73 3 2 2

4

73 3 4

2

13 45,

2 4

x y

x y

y x

x x

x x

x y

� � � ����� � ��

� �

� �� � � � �� �� �

� � � �

� �

b) d)

7

2 4

3 8 9

7

4 2

73 8 ( ) 9

4 2

3 14 4 9

35,

2

x y

x yxy

xx

x x

x y

� � � ���� � � ��

� � �

� � � � � �

� � � �

� � �

0'5 0'2 2'3

0'3 0'5 2'9

2'3 0'2

0'5

0'3 ( 5 3 ) 0'5 2'9

1'4 1'4

1, 4'2

x yx y

yx

y yy

y x

� ����� � ��

� ��

� � � � � ��

� ��

28. a) c)

3 2 21 3 2 21

2 11 3 6 33

4 12

5, 3

x y x yx y x y

y

x y

� �� � ��� ��� �� � � � � �� �

�� �

8 818 45 242 5 2 5

3 318 12 14

9 7 6 9 6 7

57 38

2 1,

3 6

x yx y x yx yx y x y

x

x y

� � � � �� � � � � � �� �� �� � � � ��� �� � � �� ��

� �

156

b) d)

5 3 7 10 6 14

2 5 7 10 25 35

31 49

49 63,

31 31

x y x yx y x yx

x y

� �� � ��� ��� �� � � � ��� �

��

�� �

0 '5 0 '3 2 '9 0 '05 0 '03 0 '29

0 '3 0 '1 0 '3 0 '09 0 '03 0 '09

0 '14 0 '38

2 '71, 5 '14

x y x yx y x yx

x y

� � � � � �� ��� �� � � � � �� �

� �

� � �

29. a) c)

11

2 6

2 4 5

11

3

112 4 5

3

17 10

10 59,

17 17

x y

x yyx

y y

y

y x

��� ���� � ��

��

�� �� � �� �� ��

� �

2 1

153 2

4

2 1

153 2 ( 2 1)

4

77

4

1 3,

4 2

x y

x y

x y

x x

x

x y

� �����

� ���� � �

� � � � �

� ��

b) d)

3 5 11'6

2 3'1

11'6 3, 3'1 2

5

11'6 33'1 2

5

13 3'9

0 '3, 2 '5

x yx y

xy y x

x x

x

x y

� � ���

� ���

� � �

�� �

� �

0 '8 1'35 2 2'5 3'375

0'3 2'5 1'225 0'3 2'5 1'225

2'3 4'6

2, 0 '73

x y x yx y x y

x

x y

� � � � � �� ��� �� � � � � �� �

� �

� � �

Inecuaciones lineales con una incógnita.

30.)5 3 2 7

1 12 1 2 1 ( , )

2 2

a x x

x x x x

� � � �

� � � � � � � � � � �� �

157

"

)3 (2 5 ) 3 4

3 2 5 3 4

3 35 1 3 4 8 3 ,

8 8

)2 3(2 ) 3 6

2 6 3 6

126 12 2 2 2,

6

b x xx x

x x x x x

c x x xx x x

x x x x

� � � � �� � � � �

� #� � � � � � � � � � ��� $� %� � � � �

� � � � �

� � � � � � � � �

"

) 2 3 2(3 1) 4 0

2 3 6 2 4 0

3 38 3 8 3 ,

8 8

)3 2 (2 3 ) 7 5

3 2 2 3 7 5

5 5 5,

d x xx x

x x x x

e x x xx x xx x x

� � � � � �� � � � � �

� �� � � � � � � � � ��� �� �

� � � � �� � � � �

� � � � � � � �

31.2 1

) 34

2 1 4( 3)

2 1 4 12

11 112 11 2 11 ,

2 2

xa x

x xx x

x x x x

�� �

� � �� � �

� �� � � � � � � � � ��� �� �

3 1 5) 1

2 6

3( 3 1) ( 5)1

6

x xb x

x x x

� � �� � �

� � � �� �

9 3 5 10 21 1

6 6

10 2 6( 1) 10 2 6 6 16 8 16 8

8 1 1,

16 2 2

x x xx x

x x x x x x

x x

� � � � � �� � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � #� � � � � � � �� �� � � � � $� � � � � %

158

1 2(1 )) 2 1 2 1

5 3

2 1 2 22 1

5 5 3 3

6 10 3 102 1

15 15

16 132 1 16 13 15(2 1) 16 13 30 15

15

28 14 14 1446 28 46 28 ,

46 23 23 23

xc x x

xx x

xx

x x x x x x

x x x x x

�� � � � �

� � � � � �

� �� � � �

� �� � � � � � � � � � � � �

� �� � � � � � � � � � � � � �� �� �

3 2( 2) 1 3(2 ) 3 1)

6 4 12

6 4( 2) 3 9(2 ) 3 1

12 12 12

6 4 8 3 18 9 1 3 5 7 1 3 8 8 1

1,

x x xd

x x x

x x x x x x xx

� � � � �� � �

� � � � �� � �

� � � � � � � � � � � � � � �

� �

32.

2

2 2

2 2

( 2)) 3 3 1

2 4

23 9 3 1

4 4

12 36 12 4 2

4 4

32 2 16 ,16

x x xa x

x x xx x

x x x x x

x x x

�� �� � � �� �� �

�� � � � �

� � � � ��

� � � � � ��

2

2 2

2 2

3) 2 2 1 2 3 0

2

94 6 4 6 2 3 0

4

94 6 4 6 2 9 0

4

45 8 45 452 0 0 8 45 0 45 8

4 4 8

45,

8

b x x x

x x x x x

x x x x x

xx x x x

x

� �� � � � �� �� �

� � � � � � �

� � � � � � �

� �� � � � � � � � � � � � �

� #� ��� $� %

159

2

2 2 2 2

1 1 1) 0

2 2 4

1 1 1 1 1 10 0

4 2 16 4 2 16

1 (4 1) 8 50 0 8 5 8 5

2 16 16

5 5,

8 8

c x x x

x x x x x x

xx x x

x x

� �� � � �� � � � �� �� � � �� �� � � �

� �� � � � � � � � � � �� �� �� � �

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� �� � � � � �� �� �

7) 5 3 2 7 4

4

3 2 12 2 14 7

7,4

) 2( 1) 1 3( 2) 2 2 1 3 6 3

1 (2 1) 3 4 2 3 4 4

, 3

4)2 1 3 3 4

3

2 2 5 3

4,

3

d x x x x

x x x x

x

e x x x x xx x x x x

x

f x x x x

x x x

x

� � � � � � � �

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� �� ��� �� �

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33.

"

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

)( 2)( 2) ( 3)

132 2 4 6 9 4 6 9 13 6

6

13,

6

)(2 1)( 2) ( 1) ( 1)

2 4 2 2 1 2 1

2 5 2 2 2 5 2 2 5 0 5 0 0

0,

a x x x

x x x x x x x x

x

b x x x xx x x x x x xx x x x x x x

x

� � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � �

� �� �� �� �� �

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� �

2 2

)( 2)(3 ) ( 2)( 2) 0

3 6 2 2 2 4 0

2 0 2 2,

c x x x xx x x x x x

x x x

� � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

160

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

) 2 1 (2 1) 3

4 4 1 (4 4 1) 3

4 4 1 4 4 1 3

3 38 3 8 3 ,

8 8

) 3 4 5 2 3 0

3 15 4 20 4 12 9 0

23 15 4 4 12 9 0

6 611 6 0 11 6 ,

11 11

d x x

x x x xx x x x

x x x x

e x x x

x x x x x

x x x x

x x x x

� � � � �

� � � � � � �

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� �� � � � � � � � � ��� �

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� �� � � � � � � � � � � �� �� �

2

2 2

) 1 6 3 3 2 0

3 6 18 6 3 0

3 320 3 0 ,

20 20

f x x x x

x x x x x

x x x

� � � � �

� � � � � �

� #� � � � � � � ��� $� %

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

34.

)2 1 3 2 4 2 2,

3 5 20 3 15 5 ,5

2,5

a x x x x

x x x x

x

� � � � � � � � �

� � � � � � � � ��

)2 3 3 2 6 3 ,3

1 14 2 6 3 1 2 ,

2 2

1,3

2

b x x x x

x x x x x

x

� � � � � � � � ��

� �� � � � � � � � � � � � �� �� �

� �� �� �� �

�)2 3 2 4 4 1 ,1

5 53 5 10 2 5 ,

2 2

5,1

2

c x x x x x

x x x x x

x

� � � � � � � � � ��

� �� � � � � � � � � � � � �� �� �

� #� �� $� %

161

7 7) 5 3 2 7 4 ,

4 4

3 2 12 2 14 7 ,7

7,4

d x x x x

x x x x

x

� �� � � � � � � � � ��� �� �

� � � � � � � � ��

� �� ��� �� �

� �

) 2( 1) 1 3( 2) 2 2 1 3 6 3 , 3

1 (2 1) 3 4 2 3 4 4 ,4

, 3

e x x x x x x

x x x x x x

x

� � � � � � � � � � � � � � � � �� �

� � � � � � � � � � � ��

� �� �

4)2 1 3 3 4

3

2 2 5 3 3

4,

3

f x x x x

x x x x

x

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

� �� �� �� �

35.2 2

)2 5 5 3 3 2 ,3 3

12( 3) 1 3( 1) 2 3 1 3 3 2 1

2

1,

2

a x x x x x

x x x x x x x x

x

� #� � � � � � � � � � � �� �� $� %

� � � � � � � � � � � � � � � �

� �� ��� �

Ambos intervalos no tienen puntos en común; por lo tanto, el sistema no tiene solución.

)3 2( 3) 2 5 2 3 2 6 2 5 10 3 11

11 11,

3 3

53 5 3(1 ) 3 5 3 3 3 5

3

5,

3

b x x x x x

x x

x x x x x x x x

x

� � � � � � � � � � � � � � � � �

� #� � � � � �� �� $� %

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

� �� � � �� �� �

36. �) 4 2 3 5 3 3 , 3

7 72 3 4 2 7 ,

2 2

3 34 3 1 2 3 ,

2 2

a x x x x x

x x x x

x x x x x

� � � � � � � � � � � � � �� �

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� �� � � � � � � � � � � � � � �� �� �

El sistema no tiene solución, pues los intervalos no tienen puntos comunes.

162

"

"

)3( 1) 2(1 ) 7 2

3 3 2 2 7 2 6 6,

42 4 6 2 2,

3

3 21 3 2 5 2 2 1 1,

5

1,

b x x xx x x x x

x x x x

x x x x x

x

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�� � � � � � � � � � � � �

�� � � � � � � � � � � � � �

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163

PÁGINA 92

164

SOLUCIONES_________________________________________________________________

37.( 1) 35

2 1 35 17

Solución: El número que buscamos es el 17.

x xx x� � �� � � �

38.3 ( 1) 41

4 1 41 10

Solución: El número que buscamos es el 10.

x xx x� � �� � � �

39.2

562 3

3 4 56 6 48

Solución: El número que buscamos es el 48.

x x

x x x

� �

� � � � �

40.2 (2 2) 50

4 2 50 12

Solución: Los números que buscamos son el 24 y el 26.

x xx x� � �� � � �

41.(2 1) (2 3) 128

4 4 128 31

Solución: Los números que buscamos son el 63 y el 65.

x xx x

� � � �� � � �

42.Precio de los lápices.

3 precio de los cuadernos.

3 2(3 ) 5 1'4

9 3'6 0 '4

Solución: Un lápiz cuesta 0'4 euros y un cuaderno 1'2 euros.

xxx xx x

��� � �� � �

165

43.Número de gladiolos.

3 Número de rosales.

3 20 5

Solución: Se han sembrado 15 rosales.

xx

x x x

��

� � � �

44.

2 2

1

2

Dinero que tengo en el bolsillo.

3 9 403 10 3 10 0

2

5

2 Descartamos esta solución por ser negativa.

Solución: Tengo 5€.

x

x x x x x

xx

� �� � � � � � � �

�� � �

45.

2

1

2

Mi edad actual.

( 3) 4 3 4 0 ( 7) 0

0 Descartamos esta solución porque no puedo tener 0 años.

7

Solución: Tengo 7 años.

xx x x x x x x xxx

� � � � � � � � � � �� ��

46.

202 3 4 6

1520 80

12

Solución: El abuelo tiene 80 años.

x x x x x

x x x

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� � � �

47.

Número de conejos Número de gallinas. 2

4 2 1102

5 110 22

Solución: Hay 22 conejos y 11 gallinas.

xx

xx

x x

� � �

� � �

� � �

166

Número de bocadillos de jamón.

Número de bocadillos de queso.

15015066

2 '6 150 2 '1 3572 '6 2 '1 357

Solución: Se vendieron 66 bocadillos de queso y 84 bocadillos de jamón.

xy

x yx yy

y yx y

��

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49.

kilos de café de 7€ el kilo.

kilos de café de 11€ el kilo.

252520

7 25 11 2357 11 235

Solución: Se necesitan 5 kilos de café de 7€ el kilo, y 20 kilos de café de 11 € el kil

xy

x yx yy

y yx y

��

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o.

50.Mi edad actual.

( 10) 2 ( 4)

10 2 8 18

Solución: Tengo 18 años.

xx x

x x x

�� � � �� � � � �

51.

Ana 3x

Lucía x

Ernesto 3x/2

33 77

2

11 154 14

Solución: Ana tiene 42 años, Lucía 14 años y Ernesto 21 años.

xx x

x x

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� � �

52.ancho.

2 ( 3 ) 65 8'125

Solución: El largo mide 24'375 m.

xx x x

�� � � � �

167

43.Número de gladiolos.

3 Número de rosales.

3 20 5

Solución: Se han sembrado 15 rosales.

xx

x x x

��

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44.

2 2

1

2

Dinero que tengo en el bolsillo.

3 9 403 10 3 10 0

2

5

2 Descartamos esta solución por ser negativa.

Solución: Tengo 5€.

x

x x x x x

xx

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�� � �

45.

2

1

2

Mi edad actual.

( 3) 4 3 4 0 ( 7) 0

0 Descartamos esta solución porque no puedo tener 0 años.

7

Solución: Tengo 7 años.

xx x x x x x x xxx

� � � � � � � � � � �� ��

46.

202 3 4 6

1520 80

12

Solución: El abuelo tiene 80 años.

x x x x x

x x x

� � � � �

� � � �

47.

Número de conejos Número de gallinas. 2

4 2 1102

5 110 22

Solución: Hay 22 conejos y 11 gallinas.

xx

xx

x x

� � �

� � �

� � �

48.

168

precio de la hora extra en día festivo.

5 precio de la hora extra en día laboral.

12 5 9 381 21

Solución: El precio de la hora extra en día festivo es de 21€.

xx

x x

�� �

� � � � � �

59.

número de estudiantes incial.

120 200 2 120 200 400 5

120 5 600

Solución: El alquiler cuesta 600€.

xx x x x x

� � � � � � � � �

� �

60.precio del cuaderno.

precio del lápiz.

5 '4 6

4 6 5'4 416 '2 18 32 20 '4 0 '35

5'4 63 8 5'13 8 5'1

4

Solución: Un cuaderno cuesta 0'825€ y un lápiz 0'35€

xy

yxx y

y y yyx y y

��

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61.

número de monedas auténticas.

200 número de monedas falsas.

15 12 200 2610 70

Solución: Hay 130 monedas falsas.

xx

x x x

�� �

� � � � � �

169

PÁGINA 93

170

SOLUCIONES_________________________________________________________________

62.

altura.

2 1 base.

2 2 1 2 44 7 15

Solución: La altura mide 7 cm y la base 15 cm.

hb h

h h h b

�� � �

� � � � � � � �

63.

número de amigos incial.

25 23 2 25 23 46 23

23 25 575

Solución: El alquiler cuesta 575€.

xx x x x x�

� � � � � � � �

� �

64.

2

1

2

base.

4 altura.

4 16 384 4 204 96 4 96 0

2 2

8 12

12 Descartamos esta opción por ser negativa.

Solución: La altura mide 12 cm.

bh bA b h

b b b b b

b hb

�� � �� �

� � � � �� � � � � � � � � �

� � �� � �

65.2

2 1 1003

9 2 300 3

27

Solución: Roberto ha puesto 54€; Juan, 27€; y Elena 19€.

xx x

x xx

� � � �

� � ��

Roberto 2x 54€

Juan x 27€

Elena 21

3

x�

19€

171

66.7

Si en 30 pasos recorre 7 metros, en cada paso avanza m.30

5Si en 8 zancadas recorre 5 metros, en cada una avanza m.

8

Sabiendo esto podemos plantear el siguiente sistema, donde son los pasos y las zp z ancadas.

7 534=

Resolviendo el sistema obtenemos que 60 y 32.30 8

92

Solución: Da 60 pasos y 32 zancadas.

p zp z

z p

&� � � �'�� � (

67.

Ambos tardarán el mismo tiempo en encontrarse, luego

207 '5 metros 2 '5 segundos

3 5

Solución: El portero tarda 2'5 segundos en alcanzar a Javier después de que este haya

Javier Portero

etv

x x x t

�� � � � ����

recorrido 7'5 metros.

68.

número de cafés vendidos.

75 número de vasos de leche vendidos.

0 '75 0 '85 75 60 '25 0 '1 3'5 35

Solución: Se han vendido 35 cafés y 40 vasos de leche.

xxx x x x

�� �

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69.

Gonzalo: 2 '5 2 '5 4 ( 12) 32

Mónica: 4 ( 12)

32 12 20

Solución: Mónica tardará 20 segundos en alcanzar a Gonzalo.

ev e v tt

e tt t t

e t

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172

1.2 1 5 (1 2 ) 1

a) 2 b) (2 1) 1 08 4 3 4

8 16 2 1 10 20 8 4 3 12 0

26 25 11

x x xx x

x x x x xx

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� � � � � � � � �� 16

25 16

26 11

x

x x

� �

2.2 2

2 2

1 2 1

a)3 5 2 2 ( 1) b)5 ( 3) 0

3 7 0 (3 7) 0 4 3 0 (4 3) 0

7 0 0

3

x x x x x xx x x x x x x x

x x x x

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� � � 2

3

4� �

3. 2

2

a) 2 1 3 1 3 0

4 16 16 4 4 0 2

2

2, solución doble.

x x x

x x x

x

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� �� � � � � �

2

1 2

2

2

b) 2 5 2 3 10 0

2 0 2 0

0, 2

c) 2 1 2 1 3 6

3 10 0

10

3

30

3

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x

x

x

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4.

173

4 2 4 2

2

2

1 1 2

2 3 4

a) 2 2 40 0 20 0

20 0

1 1 80 1 81 1 9

2 2 2

5 5, 5

4 4

x x x xx zz z

z

z x x

z x x

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� � � � � �

2 2

4 2

2

2

1 1 2

2 3 4

b) 3 1 2 2 3 3 0

3 3 20 0

3 3 20 0

3 9 240 3 249

6 6

3 249 3 249 3 249,

6 6 6

3 249 3 249

6 6

x x x x

x xx zz z

z

z x x

z x x

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� � �� � � � �

� �� � � �

5.3 2 21 2 4

a) b)2 5 5 6 7 15

3 21 2 1 2 4

2 5

3 21 2 1

2 5

x y x yx y x y

x xy y y x

x x

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�� � � � � �

�� � � 6 7 2 4 15

11 115 20 13

115 57 13 27 , ,

11 11 20 10

x x

x x

x y x y

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6.

174

4 3 0 8 6 02 4 2 4

a) b)3 96 7 15 6 7 152 6

3 2 2

9 9 6 7 2 4 15 20 13

2

1

x y x y x y y xx x y x yy x y

x x x x

x

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� � � � � � � �

�2 13 14

, , 2 3 20 10

y x y� � � �

7.2 1 3 1

2 5 2 4

9 15

5 5,

3 3

x xx

x

x x

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8.5

2( 1) 3 2( 5) 4

1 5 1 192 1

4 8 5

1 2 5 2

19 ,

5

x x x

x x x x

x x

x

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� �� � � � � ���

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� �� ���� �

9.vasos de 0'2 litros.

vasos de 0'4 litros.

50 0 '2

0 '2 0 '4 50 0 '474

50 0 '21'35 1'8 258'31'35 1'8 258'3

0 '4

Solución: Se han vendido 74 vasos de 0'2 litros.

xy

xyx y

xxx y x

��

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10.

175

2

1

2

ancho.

3 largo.

3 9 280 3 173 70 3 70 0

2 2

7 largo 10

10 Descartamos esta opción por ser negativa.

Solución: El ancho mide 7 cm y el largo 10 cm.

xx

A b h

x x x b x

xx

�� �� �

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� � �� � �

176

PÁGINA 94

SOLUCIONES_________________________________________________________________

No sabemos si el número de cerillas es par o impar, así que no podemos averiguar cuál de los dos jugadores

tiene ventaja, eso sí, para ganar hay que dejar 4 cerillas en la antepenúltima tirada.

177

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