UNIDAD 6: Cantidad de Movimiento lineal, colisiones 6-1 Cantidad de movimiento lineal de una...

UNIDAD 6:Cantidad de Movimiento lineal, colisiones

6-1 Cantidad de movimiento lineal de una partícula y su conservación

6-2 Impulso y cantidad de movimiento

6-3 Colisiones en una dimensión.

6-5 Colisiones en dos dimensiones

6-4 Péndulo balístico

6-6 Centro de masa: propiedad del centro de masa

6-7 Movimiento de un sistema de partículas

6-1 Cantidad de movimiento lineal de una partícula y su conservación

amF.

Segunda Ley de Newton

dt

vdmF

.

dt

vmdF

).(

Cantidad de

movimiento

vm.p

s

mKg.

Segunda Ley de Newton

dt

pdF

Forma mas moderna de escribir la Segunda Ley de Newton

vmp.

Todo cuerpo en reposo permanece en reposo, y todo cuerpo que está en movimiento rectilíneo uniforme continua con ese movimiento si no actúan fuerzas no equilibradas sobre él, es decir F=0.

Recordando la Primera Ley de Newton

0 dt

pdF

tetanconsvmp

.

Conservación de la cantidad de movimiento

bnF

nbF

dt

pdF b

bn

dt

pdF n

nb

bnF

nbF

dt

pd b

dt

pd n

dt

ppd nb )(

0

pppbn

bnF

nbF

dt

pd

0

Conservación de la cantidad de movimiento

11vm

22vm

11um

22um

F

F

Conservación de la cantidad de movimiento

2211 .. vmvm

11vm

22vm

11um

22um

2211 .. umum

21 pp

ctepp ,,

21

Cuando la fuerza neta externa sobre un sistema es cero, la cantidad de

movimiento se conserva

Conservación de la cantidad de movimiento

nn vmvmvm...... 2211 nn umumum

...... 2211

nppp

...21 ctepppn ,,, ...

21

Para n partículas interactuando

Recordando que la cantidad de movimiento es una magnitud vectorial

...21 xxx ppp ..... 2211 xx vmvm

...21 yyy ppp ..... 2211 yy vmvm

...21 zzz ppp ..... 2211 zz vmvm

EjemploUn vagón de ferrocarril con masa de 10000Kg que viaja con una velocidad de 24m/s en el sentido indicado en la figura, golpea a otro vagón de idénticas características que se mueve con una velocidad de 10m/s en el mismo sentido que el anterior. Si los vagones quedan enganchados como producto de la colisión, ¿Qué velocidad tendrán después ambos vagones?

m1v

m2v

m m

u

2211 .. vmvm

2211 .. umum

21 .. vmvm um

.2

).( 21 vvm um.2

221 vv

u

2

)1024( sm

sm17

EjemploSe coloca una máquina lanzadora de pelotas de 50Kg sobre una superficie horizontal sin rozamiento. La máquina dispara horizontalmente una pelota de 150g con una velocidad de 25m/s. ¿Qué velocidad de retroceso tendrá la máquina?

1u

2u

2211 .. vmvm

2211 .. umum

0 2211 .. umum

1122 .. umum 2

112

.

m

umu

Kg

Kg sm

50

25.15,0 s

m075,0

6-2 Impulso y cantidad de movimiento

6-2 Impulso y cantidad de movimiento

Recordando la segunda ley dt

pdF

Donde p es la cantidad de movimiento de una partícula sobre la que actúa una fuerza neta

Reescribiendo la ecuación

dtFpd .

Integrando sobre la duración del

choque f

i

t

tif

f

idtFpppd .

fi

t

tdtF.

j

Impulso de la fuerza

s

mKg.

6-2 Impulso y cantidad de movimiento Recordando que:

la cantidad de movimiento es una magnitud vectorial,también lo será el impulso

ixfx

t

t xx ppdtFjf

i

. iyfy

t

t yy ppdtFjf

i

.;

Si graficamos F(t)

F

t

t

F

f

i

t

tdtFtF ..

Es útil definir una fuerza

media

if pptFj

.

EjemploUna pelota de 1/2Kg se deja caer desde una altura de 1,5m, golpea en el suelo y rebota hasta una altura de 1m. Suponiendo que la fuerza del golpe es 10 veces mayor que su peso, determinar cuanto duró el contacto con el suelo

ho1

h2

v1

v2

F

11 ..2 ohgv ms

m 5,1.8,9.2 2 sm42,5

22 ..2 hgv ms

m 1.8,9.2 2 sm42,4

if pptFj

. 1122 .. vmvm

).( 12 vvm

F

vvmt

).( 12

28,9.5

))42,5(42,4.(5,0

sm

sm

sm

Kg

Kg

st 2,0

6-3 Colisiones en una dimensión.

Los objetos son muy duros y no se produce calor en la colisión, entonces la Energía Cinética también se conserva

Cuando la fuerza neta externa sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento se conserva

Ya vimos:

Si además:

11vm

22vm

11um

22um

2211 .. vmvm 2211 .. umum 2222

12112

1 .. vmvm 2222

12112

1 .. umum

Si la energía cinética se conserva, decimos que el choque es elástico

6-3 Colisiones en una dimensión.

2211 .. vmvm 2211 .. umum 2222

12112

1 .. vmvm 2222

12112

1 .. umum

Choque elástico

Conociendo las masas y velocidades iniciales, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas.

Operando tenemos:

221

21

21

211

.2v

mm

mv

mm

mmu

221

121

21

12

.2v

mm

mmv

mm

mu

Si m1=m2 u1=v2 ; v1=u2

Si v2=0u1=0 ; v1=u2y m1=m2

Si v2=0u1=-v1 ; u2=0

y m2>>m1

Si v2=0u1=v1 ; u2=2v1

y m1>>m2

Choque inelástico: Choque completamente inelástico

m1

1v

m2

2v

m1 m2

u

Ya vimos:Quedan pegado

s

2211 .. vmvm umm ).( 21 21

2211 ..

mm

vmvmu

Entre un choque elástico y uno completamente inelástico, existen gran cantidad de choques que están entre estos dos, donde sin quedar pegados la energía cinética no se conserva

Coeficiente de restitución

21

12

vv

uue

Representa el grado de inelasticidad en un choque entre dos cuerpos

10 eChoque completamente

inelástico:21 uu 0e

Choque elástico:

1221 uuvv 1e

221

21

21

211

)1(.v

mm

emv

mm

memu

221

121

21

12

.)1(v

mm

memv

mm

emu

).( 2112 vveuu 2112 .. veveuu

6-4 Péndulo balísticoDispositivo usado para medir la velocidad de un proyectil

m v

hM0Mv

l

Mm

u

l

vm. uMm ).( 2

21 ).( uMm hgMm .).(

hgu ..2u

m

Mmv

)(

hgm

Mmv ..2

)(

Se conserva la cantidad de movimientoSe

conservala energía mecánica

Un instante después

6-5 Colisiones en dos dimensiones

1v

1u

2u

1m2m

xx vmvm 2211 .. xx umum 2211 ..

yy vmvm 2211 .. yy umum 2211 ..

11.vm cosumcosum .... 2211 0 senumsenum .... 2211

Necesitamos medir algún dato después

del choque para resolver el problema2

1121 .vm 2

22212

1121 .. umum

21 pp

,,

21pp

Un automóvil de 1050Kg se mueve con una velocidad de 22m/s en dirección Este. Otro automóvil con una masa de 900Kg, se desliza a 18m/s con dirección Sureste, formando 30º con el este, choca contra el primero quedando adherido a el. Determinar:a) la velocidad de los vehículos después de la colisión.b) el cambio de energía cinética del sistema formado por los dos vehículos como consecuencia de la colisión

6-5 Colisiones en dos dimensiones

30

2m

1m

2v

1v

N

E

2211 .. vmvm

u

umm).( 21

ummjsenvivmivm).()ˆº30.ˆº30cos..(ˆ. 2122211 ummjsenvmivmivm).(ˆº30..ˆº30cos..ˆ. 21222211 ummjsenvmivmvm).(ˆº30..ˆ)º30cos...( 21222211

uKgjseni sKgm

sKgm

.)9001050(ˆº30.18.900ˆ)º30cos.18.90022.1050(

ujKg

seni

Kgs

Kgms

Kgm

ˆ1950

º30.18.900ˆ1950

)º30cos.18.90022.1050(

jiu sm

sm ˆ4ˆ19

sm

sm

smu 44,19)4()19( 22

6-5 Colisiones en dos dimensiones

30

2m

1m

2v

1v

N

E

u

2222

12112

1 .. vmvmKo

2212

2221 )44,19.()9001050().( s

mf KgummK

2212

21 )18.(900)22.(1050 s

ms

mo KgKgK

JKo510.4

JK f510.7,3

0KKK f

JK 510).47,3(

JK 410.3

6-5 Colisiones en dos dimensiones

6-6 Centro de masa: propiedades del centro de masa𝑭

𝑭

𝑭

y

x

6-6 Centro de masa: propiedades del centro de masa

m1 m2

xC

M

x1

x2

21

2211 ..

mm

xmxmxCM

M

xmxm 2211 ..

mm

xmxmxCM

21 ..

m

xxm

2

)( 21 Está a la mitad de la distancia entre ellas

x

m1 m2xC

M

x1

x2

x3

xn

m3mn

n

nnCM mmmm

xmxmxmxmx

...

.......

321

332211

M

xmx

n

iii

CM

1

.

1r 2r

cmr

nr

1m 2m

nm y

x

z

M

zmz

n

iii

CM

1

.

M

ymy

n

iii

CM

1

.

M

xmx

n

iii

CM

1

.

M

rmr

n

iii

CM

1

.

kzjyixr CMCMCMCMˆˆ

Problema:

Tres partículas, cada una de masa igual a 2,5Kg, están ubicadas en las esquinas de un triángulo rectángulo como se ve en la figura. Determinar el centro de masa

y

x

2m

1,5m

cmr

cmx

cmy

1r 2r

cmr

nr

1m 2m

nmy

x

z

M

rmr

n

iii

m

CM

10

.lim

dmr

MrCM .

1 Cuando: n

m 0

dmxM

xCM .1

dmyM

yCM .1

dmzM

zCM .1

Problema:

Calcular la posición del centro de masa de una varilla homogénea de masa m y de longitud l

x

y

l

Propiedades del centro de masa

1.Si tiene un centro geométrico , el centro de masa está en el centro geométrico.

2. Si el cuerpo tiene un eje de simetría, el centro de masa está sobre ese eje

3. Ninguna ley dice que el centro de masa tiene que estar dentro del cuerpo.

6-7 Movimiento de un sistema de partículas

M

rmr

n

iii

CM

1

.

n

iiiCM rmrM

1

..

n

i

ii

CM

dt

rdm

dt

rdM

1

n

iiiCM vmvM

1

..

n

i

ii

CM

dt

vdm

dt

vdM

1

n

iiiCM amaM

1

..

n

iinCM FFFFFaM

1321 ....

extCM FaM

. Segunda Ley de Newton

6-7 Movimiento de un sistema de partículas

n

iiiCM vmvM

1

..

M

pv TCM

Si:

ctepT

ctevCM

Tp

Propiedad del centro de masa

1.La suma de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema (fuerza neta) es igual a la masa total del sistema multiplicada por la aceleración del centro de masa

2.El centro de masa de un sistema de partículas (o cuerpo) con masa total M, se mueve como una sola partícula de masa M sobre la que actúa la misma fuerza externa neta

Conservación del centro de masa