UNIDAD II. 2 VECTOR EN R 3 p(a 1,a 2,a 3 ) z x y a1a1 a2a2 a3a3 módulo de a : vector a = (a 1,a 2,a...

UNIDAD IIVectores en

VECTOR EN R3

21 aaaa

p(a1,a2,a

módulo de a :

vector a = (a1,a2,a3) de R3

Vector Tridimensional Operaciones básicas

),,( 321 tatataat

),,( 332211 babababa

Producto de un escalar con un vector

Suma de dos vectores

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido

332211 ,, babababa

Vectores en 3 Dimensiones

Ejemplo 1Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).

Solución

Formula de Distancia

21221 )()()(),( zzyyxxPPd

Ejemplo 2

Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)

Solución

29)46())7(3())1(2( 222 d

Formula del Punto Medio

2212121 zzyyxx

Ejemplo 2

Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)

SoluciónDe (2), tenemos

5 ,5 ,21

Vectores en 3 Dimensiones 321 ,, aaaa

)1,0,0()0,1,0()0,0,1( kyj,i

Vectores unitarios:Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por

ua ),,( 3211u

VECTORES UNITARIOS i, j, k

Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.

PRODUCTO ESCALAR

cosvuvu

Donde:

ºº 1800 rad0 o

1. El producto escalar de dos vectores es un

número real.

OBSERVACIONES:

2. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa.

3. a . a = a 2

Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3

(i) a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3>(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>(iii) a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3

(iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>(v) a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3>(vi) 0 = <0, 0 , 0>(vi)

DEFINICIÓN 1

Definiciones en 3 Dimensiones

21|||| aaa a

Ejemplo 4

Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)

Solución

)2(3,68,411221 OPOPPP

Ejemplo 5

• De la Definición 7.2, tenemos

369476

||||222

Los vectores i, j, k

• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>

a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j

1,0,00,1,00,0,1

,0,00,,00,0,

Ejemplo 6a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13j

Ejemplo 7(a) a = 5i + 3k está en el plano xz(b)

Ejemplo 8Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b

Solución5a − 2b = 13i − 20j + 48k

3435||35|| 22 ki

7.3 Producto Escalar

El producto escalar de a y b es el escalar

donde es el ángulo que forman los vectores 0 .

DEFINICIÓN 2 Producto Escalar de Dos Vectores

cos|||||||| baba ．

Ejemplo 1

• De (1) obtenemos

i i = 1, j j = 1, k k = 1 (2)

Producto Escalar en Forma de Componentes

cos||||||||2|||||||||||| 22 baabc

222 ||||||||||(||2/1cos|||||||| cabba

332211 bababa ba．

Ejemplo 2

• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces

21)3)(6()4)(2(21

Propiedades

• (i) a b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0(ii) a b = b a(iii) a (b + c) = a b + a c (iv) a (kb) = (ka) b = k(a b)(v) a a 0(vi) a a = ||a||2

Orthogonal Vectors

• (i) a b > 0 si y sólo si es agudo(ii) a b < 0 si y sólo si es obtuso (iii) a b = 0 si y sólo si cos = 0, = /2

• Observación: Como 0 b = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores.

Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si a b = 0.

TEOREMA 1Criterio de Vectores Ortogonales

Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales.i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0 (5)

Ejemplo 4Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces

a b = –6 – 14 + 20 = 0Son ortogonales.

Ángulo que Forman Dos Vectores

(6)||||||||cos 332211

babababa

Ejemplo 5

Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.

Solución14,27||||,14|||| baba ．

271414

77.0942

Cosenos DirectoresObservando la Fig 7.34, los ángulos , , se llaman ángulos directores. Ahora por (6)

decimos que cos , cos , cos son cosenos directores, y

cos2 + cos2 + cos2 = 1

||k||||a||ka

||j||||a||ja

||i||||a||ia ．．． cos,cos,cos

||a||||a||||a||321 cos,cos,cosaaa

kjik||a||

j||a||

i||a||

a||a||

)(cos)(cos)(cos1 321 aaa

Fig 7.34

Ejemplo 6

Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k.

Solución

5345452|||| 222 a

cos,53

Componentes de a en b• Como a = a1i + a2j + a3k, entonces

(7)Escribimos los componentes de a como

(8)Observe la Fig 7.35. El componente de a en cualquier vector b es

compba = ||a|| cos (9)escribiendo (9) como

kajaia ．．． 321 ,, aaa

,comp iaai ． ,comp jaaj ． kaak ．comp

||||||||cos||||||||

Fig 7.35

Ejemplo 7Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y compab.

SoluciónDe (10), a b = −3

1,6|||| kjibb

1)432(comp kjikjiab ．

)432(291

,29|||| kjiaa

)432(291

)2(comp kjikjibb ．

Interpretación Física

• Observe la Fig 7.36. Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es

W = F d (11)

Fig 7.36

Ejemplo 8

Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a(4, 6), hallar el trabajo realizado por F.

Solución d = 3i + 5j

W = F d = 26 N-m

Proyección de a sobre b

• Observe la Fig 7.37. La proyección de a sobre i es

• Observe la Fig 7.38. La proyección de a sobre b es

1aa bb

)(compproy

iaiiaiaa ii 1)()(compproy

Ejemplo 9

Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j.

Solución

)(2131

)(4comp 3jijiab

jijiab 13

22)3(2

11proy

El producto vectorial de dos vectores a y b es(1)

donde es el ángulo entre ellos, 0 , y nes un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha.

DEFINICIÓN 4

Producto Vectorial de Dos Vectores

nbaba )sin||||||(||

Producto escalar en términos de componentes.

Se define:

• En R2, sean:)b;a(v)b;a(u 2211 ;

2121 bbaavu

Se define:

• En R3, sean:)c;b;a(v;)c;b;a(u 222111

212121 ccbbaavu

Sean y dos vectores cualesquiera que forman un ángulo . El producto vectorial se define como un vector que tiene:

Magnitud:

Dirección: Perpendicular al plano que forman

PRODUCTO VECTORIAL

NOTA: Este producto sólo se da para vectores en R3

Regla de la mano derecha

PRODUCTO VECTORIAL EN TÉRMINOS DE LAS COMPONENTES.

)baba,caca,cbcb(vu 122121121221

)c;b;a(vy)c;b;a(uSean 222111

Se define al Producto Vectorialcomo:

Existe un recurso nemotécnico para recordar la fórmula del producto vectorial, el cual emplea la notación de determinante:

kji Es decir puede desarrollarse como un determinante

Observe que la primera fila contiene vectores y no números reales

Ejemplo 1• Para entender el sentido físico del producto vectorial,

observe las Fig 7.37 y 7.48. El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F.

Fig 7.48

Propiedades• (i) a b = 0, if a = 0 or b = 0

(ii) a b = −b a(iii) a (b + c) = (a b) + (a c)(iv) (a + b) c = (a c) + (b c)(v) a (kb) = (ka) b = k(a b)(vi) a a = 0(vii) a (a b) = 0(viii) b (a b) = 0

Paralelismo de vectoresDos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:

Definición

),,( 321 aaau ),,( 321 bbbv Dado:

vu // kba

Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo sisi a b = 0.

TEOREMA 2Criterio de Vectores Paralelos

• (a) De propiedades (iv)i i = 0, j j = 0, k k = 0 (2)

(b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0

• Si a = i, b = j, entonces

Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j = k

Ejemplo 2

nnjiji

2sin||||||||

Ejemplo 3

• De Fig 7.49, tenemos

(4)(ii) propiedad la dey

Alternative Definition• Como

tenemos(6)

)()()(

332313

322212

312111

32123211

321321

kkjkik

kjjjij

kijiii

kjijkjii

kjikjiba

bababa

bbbabbba

bbbaaa

kjiba )()()( 122113312332 babababababa

También podemos escribir (6) como

Por otro lado, (7) se transforma en

kjiba21

Ejemplo 4

Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a b.

SoluciónDe (8), tenemos

Productos Especiales

• Tenemos

se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se dejan como ejercicio.

cba．

cbabcacba )()()( ．．

Area y Volumen

• Area de un paralelograma A = || a b|| (11)

Area de un triánguloA = ½||a b|| (12)

Volumen del paralelepípedo V = |a (b c)| (13)

Fig 7.50 y Fig 7.51

Fig 7.50

Fig 7.51

Ejemplo 5

Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).

SoluciónUsando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>

3213221

||58||21 kjiA

Vectores Coplanarios

a (b c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.

7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones• Rectas: Ecuación Vectorial

Fig 7.55. Hallamos que r2 – r1 es paralelo a r – r2, entonces r – r2 = t(r2 – r1) (1)

Si escribimosa = r2 – r1 = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> = <a1, a2, a3> (2)

luego (1) implica que una ecuación vectorial para la recta esr = r2 + ta

donde a se llama vector director.

Fig 7.55

Ejemplo 1

Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –1, 8) y (5, 6, –3).

SoluciónDefinimos a = <2 – 5, –1 – 6, 8 – (– 3)> = <–3, –7, 11>.Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta:

11,7,38,1,2,, tzyx

11,7,33,6,5,, tzyx

Ecuación Paramétrica

• También podemos escribir (2) como

las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones paramétricas .

tazztayytaxx 322212 ,,

Ejemplo 2

Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1.

SoluciónDe (3), se tiene

x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = 8 + 11t (7)

De (5),

x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t (8)

Ejemplo 3

Determinar un vector a que sea paralelo a la recta: x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3t

Solucióna = 9i + 5j – 3k

Ecuación continua

• De (6)

siendo ai son no nulos. Entonces

se dice que es una ecuación continua.

Ejemplo 4

Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(4, 10, −6) y (7, 9, 2)

SoluciónDefinimos a1 = 7 – 4 = 3, a2 = 9 – 10 = –1, a3 = 2 – (–6) = 8, luego

Ejemplo 5

Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(5, 3, 1) y (2, 1, 1)

SoluciónDefinimos a1 = 5 – 2 = 3, a2 = 3 – 1 = 2, a3 = 1 – 1 = 0,luego

Ejemplo 6

Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es paralela a a = 5i – 10j + 2k.

SoluciónEc. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, –3> + t(5, –10, 2)

Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 + 2t, Ec. Continua:

Planos: Ecuación Vectorial

• Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector normal a un plano. Cualquier vector del plano debe ser perpendicular al vector normal, esto es

n (r – r1) = 0 (10)

Fig 7.57

Ecuaciones Cartesianas

• Si el vector normal es ai + bj + ck , entonces la ecuación cartesiana del plano que contiene aP1(x1, y1, z1) es

a(x – x1) + a(y – y1) + c(z – z1) = 0 (11)

Ejemplo 7

Determine el palno que contiene (4, −1, 3) y es perpendicular a n = 2i + 8j − 5k

SoluciónDe (11):

2(x – 4) + 8(y + 1) – 5(z – 3) = 0ó

2x + 8y – 5z + 15 = 0

• ecuación (11) también puede escribirse comoax + by + cz + d = 0 (12)

La gráfiaca de cualquier ecuación ax + by + cz + d = 0,a, b, c no todos nulos, es un plano con el vector normal

n = ai + bj + ck

TEOREMA 3Plano con Vector Normal

Ejemplo 8

• Un vector normal al plano 3x – 4y + 10z – 8 = 0 es n = 3i – 4j + 10k.

• Dados tres puntos no alineados, P1, P2, P3, elegimos P1 como le punto origen. Observe la Fig 7.58, Podemos obtener

0)()]()[( 11312 rrrrrr ．

Fig 7.58

Ejemplo 9Determinar la ecuación del palno que contiene (1, 0 −1), (3, 1, 4) y (2, −2, 0).

SoluciónObtenemos dos vectores a partir de los puntos dados, u = <2, 1, 5> y v = <1, 3, 4>.

,)2()2(),,(

)0,2,2(

,43)0,2,2(

)4,1,3(

,52)4,1,3(

)1,0,1(

zyxzyx

Ejemplo 9 (2)

Si escogemos (2, −2, 0) como el punto origen, entonces<x – 2, y + 2, z – 0> <−11, −3, 5> = 0

vu 5311

05)2(3)2(11 zyx

0165311 zyx

Gráficas

• La gráfica de (12) caundo faltan una o ods variables sigue siendo un plano.

Ejemplo 10

Gráfica 2x + 3y + 6z = 18

SoluciónPoniendo: y = z = 0 nos da x = 9

x = z = 0 nos da y = 6x = y = 0 nos da z = 3

Fig 7.59.

Fig 7.59

Ejemplo 11

Gráfica 6x + 4y = 12

SoluciónEsta ecuación carece de la variable z, por lo cual el plano es paralelo al eje z. Puesto que x = 0 nos da y = 3

y = 0 nos da x = 2 Fig 7.60.

Fig 7.60

Ejemplo 12

Gráfica x + y – z = 0

SoluciónPriemro observamos que el plano pasa por (0, 0, 0). Sea y = 0, entonces z = x; x = 0, entonces z = y.

Fig 7.61

• Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Observe la Fig 7.62. Fig 7.63 ilustra la intersección de una recta con un plano.

Fig 7.62

Fig 7.63

Ejemplo 13

Hallar la ecuación paramétrica de la recta de la intersección de2x – 3y + 4z = 1 x – y – z = 5

SoluciónPriemro dejamos que sea z = t,

2x – 3y = 1 – 4t x – y = 5 + tluego x = 14 + 7t, y = 9 + 6t, z = t.

Ejemplo 14

Determinar el punto de intersección del plano3x – 2y + z = −5 y la recta x = 1 + t, y = −2 + 2t, z = 4t.

SoluciónSuponemos que (x0, y0, z0) es el punto de intersección.

3x0 – 2y0 + z0 = −5 y x0 = 1 + t0, y0 = −2 + 2t0, z0 = 4t0

entonces 3(1 + t0) – 2(−2 + 2t0) + 4t0 = −5, t0 = −4Así, (x0, y0, z0) = (−3, −10, −16)

7.6 Espacios Vectoriales

• n DimensionesSimilar al de 3 dimensiones

nn bababa ,,, 2211 ba

nkakakak ,,, 21 a

bababa

bbbaaa

2121 ,,,,,, ．．ba

Sea V un conjunto de elemntos en el que se definen las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si se cumple lo siguiente.

DEFINICIÓN 5

Espacio Vectorial

Axiomas para la suma vectorial(i) Si x y y son de V, entonces x + y es de V.(ii) Para todo x, y de V, x + y = y + x(iii) Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z(iv) Existe un único vector 0 de V, tal que

0 + x = x + 0 = x(v) Para cada x de V, existe un vector −x de V, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0

DEFINICIÓN 5

Espacio Vectorial

Axiomas para el producto por un escalar(vi) Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V.(vii) k(x + y) = kx + ky(viii) (k1+k2)x = k1x+ k2x

(ix) k1(k2x) = (k1k2)x

(x) 1x = xPropiedades (i) y (vi) are called the closure axioms.

DEFINICIÓN 5

Espacio Vectorial

Ejemplo 1

Determinar si cada uno de los conjuntos (a) V = {1} y (b) V = {0} bajo la suma y producto por un escalar son espacios vectoriales.

Solución (a) V = {1}, viola muchos de los axiomas.(b) V = {0}, es fácil de comprobar que es un espacio vectorial.

Además, se denomina el espacio vectorial nulo o trivial.

Ejemplo 2

Considere el conjunto V de todos los números reales positivos. Si x y y denotan números reales positivos, entonces escribimos vectores como x = x, y = y. Ahora la suma de vectores se define como

x + y = xyy producto por un escalar como

kx = xk

Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.

Ejemplo 2 (2)

Solución Repasamos los 10 axiomas.(i) Pra x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0

(ii) Para todo x = x, y = y de V, x + y = x + y = y + x = y + x

(iii) Para x = x , y = y, z = z de Vx + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z

(iv) Como 1 + x = 1x = x = x, x + 1 = x1 = x = xEl vector nulo 0 es 1 = 1

Ejemplo 2 (3)

(v) Si definimos −x = 1/x, entoncesx + (−x) = x(1/x) = 1 = 1 = 0−x + x = (1/x)x = 1 = 1 = 0

(vi) Si k es un escalary x = x > 0 es de V, entonces kx = xk > 0

(vii) Si k es un escalar, k(x + y) = (xy)k = xkyk = kx + ky

(viii) (k1+k2)x = xk1+k2 = xk1xk2 = k1x+ k2x

(ix) k1(k2x) = (xk2 )k1 = xk1k2 = (k1k2)x

(x) 1x = x1 = x = x

Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V, entonces W se denomina un subespacio de V.

DEFINICIÓN 6

Subespacio

Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y sólo si W es cerrado frente las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V:

(i) Si x y y son de W, entonces x + y es de W.(ii) Si x es de W y k un escalar cualquiera, entonces kx es de W.

TEOREMA 4Criterios para un Subespacio

Ejemplo 3

• Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor real definidas en (−, ). Sabemos que f + g y kf, para cualquier número real k, son continuas y de valor real. Por lo cual, llegamos a la conclusión de que C(−, ) es un subespacio del espacio vectorial de funciones de valores reales definidas en (−, ).

Ejemplo 4

• El conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual que n es un subespacio de C(−, ).

Un conjunto de vectores {x1, x2, …, xn} se dice que es linealmente independiente, las únicas constantes que satisfacen

k1x1 + k2x2 + …+ knxn = 0 (3)son k1= k2 = … = kn = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es linealmente dependiente.

DEFINICIÓN 7

Independencia Lineal

• Por ejemplo: i, j, k son linealmente independiente.

<1, 1, 1> , <2, –1, 4> y <5, 2, 7> son linealmente dependiente, porque3<1, 1, 1> + <2, –1, 4> − <5, 2, 7> = <0, 0, 0>

3a + b – c = 0

• Puede demostrarse que cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes es una base de R3. Por ejemplo

<1, 0, 0>, <1, 1, 0>, <1, 1, 1>

Considere un conjunto de vectores B = {x1, x2, …, xn} deun Espacio Vectorial V. Si el conjunto es linealmente independiente y si todo vector de V puede expresarse Como combinación lineal de estos vectores, entonces se dice que B es una base de V.

DEFINICIÓN 8

Base de un Espacio Vectorial

•Base Estándar: {i, j, k} Para Rn : e1 = <1, 0, …, 0>, e2 = <0, 2, …, 0> …..

en = <0, 0, …, 1> (4)Si B es un base, entonces existen cierto escalares tales que

donde estos escalares ci, i = 1, 2, .., n, se llaman coordenadas de v respecto de la base B.

cnccc xxxv 2211

Se dice que el número de vectores de una base B del espacio vectorial V es la dimensión del espacio.

DEFINICIÓN 8

Dimensión de un Espacio Vectorial

Ejemplo 5

(a) Las dimensiones de R, R2, R3, Rn son respectivamente 1, 2, 3, n.

(b) Hay n + 1 vectores en B = {1, x, x2, …, xn}. La dimensión es n + 1

(c) La dimensión del espacio nulo {0} es ceero.

ED Lineales

• La solución general de la siguiente ED

puede escribirse como y = c1y1 + c1y1 + … cnyn y se dice que es espacio solución. Así {y1, y2, …, yn} es una base.

0)()()()( 011

yxadxdy

ydxa n

Ejemplo 6

La solución general de y” + 25y = 0 es

y = c1 cos 5x + c2 sen 5x

entonces {cos 5x , sin 5x} es una base.

7.7 Gram-Schmidt Orthogonalization Process

• Base OrtonormalTodos los vectores de la base son ortogonales entre sí y tienen la longitud unidad.

Ejemplo 1 • El conjunto de vectores

es linealmente independiente en R3. De ahí que B = {w1, w2, w3} es una base. Como ||wi|| = 1, i = 1, 2, 3, wi wj = 0, i j, B es una base ortonormal.

• DemostraciónComo B = {w1, w2, …, wn} es una base ortonormal, entonces cualquier vector puede expresare como

u = k1w1 + k2w2 + … + knwn (2)(u wi) = (k1w1 + k2w2 + … + knwn) wi

= ki(wi wi) = ki

Supongamos que B = {w1, w2, …, wn} es una base

ortonormal de Rn. Si u es un vector cualquiera de Rn, entonces u = (u w1)w1 + (u w2)w2 + … + (u wn)wn

TEOREMA 5

Coordenadas respecto a una Base Ortonormal

Ejemplo 2

Determinar las coordenadas de u = <3, – 2, 9> respecto a la base ortonormal del Ejemplo 1.

Solución

wuwuwu

Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt

• La transformación de la base B = {u1, u2} en una base ortogonal B’= {v1, v2} consta de dos pasos. Fig 7.64.

Fig 7.64(a)

Ejemplo 3 Sea u1 = <3, 1>, u2 = <1, 1>. Transformarlos en una base ortonormal.

Solución De (3)

Normalizando:

Fig 7.65

1 3,104

Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt

• Para R3:

• Observe la Fig 7.66. Suponemos que W2 = Span{v1, v2}, entonces

es de W2 y se llama proyección ortogonal de u3 sobre W2, denotado por x = proyw2u3.

proy vvv

13 vvvvu

Ejemplo 4

Sea u1 = <1, 1, 1>, u2 = <1, 2, 2>, u3 = <1, 1, 0>. Transformarlos en una base ortonormal.

Solución De (4)

1) 1, 1,35

2 2, 1,

1 1, 1,

Ejemplo 4 (2)

3, 2, 1, ,1

1 ,0 ,

2 ,1 1, 1, v, v,v

Sea B = {u1, u2, …, um}, m n, una base del subespacio Wm de

Rn. Entonces {v1, v2, …, vm}, donde

es una base ortogonal de Wm. Una base ortonormal de Wm es

TEOREMA 6Proceso de Ortogonalización

mmmmmm v

, , , 22

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