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UNIDAD IIVectores en
2
VECTOR EN R3
23
22
21 aaaa
p(a1,a2,a
3)z
x
y
a
a1
a2
a3
módulo de a :
vector a = (a1,a2,a3) de R3
3
Vector Tridimensional Operaciones básicas
a
b
ba
a
at
),,( 321 tatataat
),,( 332211 babababa
Producto de un escalar con un vector
Suma de dos vectores
Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido
332211 ,, babababa
Vectores en 3 Dimensiones
Ejemplo 1Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).
Solución
Formula de Distancia
(1)
212
212
21221 )()()(),( zzyyxxPPd
Ejemplo 2
Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
29)46())7(3())1(2( 222 d
Formula del Punto Medio
(2)
2,
2,
2212121 zzyyxx
Ejemplo 2
Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
SoluciónDe (2), tenemos
5 ,5 ,21
246
,2
)7(3,
2)1(2
Vectores en 3 Dimensiones 321 ,, aaaa
13
)1,0,0()0,1,0()0,0,1( kyj,i
Vectores unitarios:Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por
aaaa
aa
ua ),,( 3211u
14
VECTORES UNITARIOS i, j, k
x
z
y
i
j
k
Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.
15
PRODUCTO ESCALAR
cosvuvu
u
v
Donde:
ºº 1800 rad0 o
16
1. El producto escalar de dos vectores es un
número real.
OBSERVACIONES:
2. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa.
3. a . a = a 2
Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3
(i) a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3>(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>(iii) a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
(iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>(v) a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3>(vi) 0 = <0, 0 , 0>(vi)
DEFINICIÓN 1
Definiciones en 3 Dimensiones
23
22
21|||| aaa a
Ejemplo 4
Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)
Solución
5,2,3
)2(3,68,411221 OPOPPP
Ejemplo 5
• De la Definición 7.2, tenemos
149
369476
73
72
||||222
a
Los vectores i, j, k
• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>
a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j
1,0,00,1,00,0,1
,0,00,,00,0,
,,
321
321
321
aaa
aaa
aaa
Ejemplo 6a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13j
Ejemplo 7(a) a = 5i + 3k está en el plano xz(b)
Ejemplo 8Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b
Solución5a − 2b = 13i − 20j + 48k
3435||35|| 22 ki
7.3 Producto Escalar
El producto escalar de a y b es el escalar
(1)
donde es el ángulo que forman los vectores 0 .
DEFINICIÓN 2 Producto Escalar de Dos Vectores
cos|||||||| baba .
Ejemplo 1
• De (1) obtenemos
i i = 1, j j = 1, k k = 1 (2)
Producto Escalar en Forma de Componentes
(3)
(4)
cos||||||||2|||||||||||| 22 baabc
222 ||||||||||(||2/1cos|||||||| cabba
332211 bababa ba.
Ejemplo 2
• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces
21)3)(6()4)(2(21
)10(
ba.
Propiedades
• (i) a b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0(ii) a b = b a(iii) a (b + c) = a b + a c (iv) a (kb) = (ka) b = k(a b)(v) a a 0(vi) a a = ||a||2
Orthogonal Vectors
• (i) a b > 0 si y sólo si es agudo(ii) a b < 0 si y sólo si es obtuso (iii) a b = 0 si y sólo si cos = 0, = /2
• Observación: Como 0 b = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores.
Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si a b = 0.
TEOREMA 1Criterio de Vectores Ortogonales
Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales.i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0 (5)
Ejemplo 4Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces
a b = –6 – 14 + 20 = 0Son ortogonales.
Ángulo que Forman Dos Vectores
(6)||||||||cos 332211
babababa
Ejemplo 5
Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.
Solución14,27||||,14|||| baba .
942
271414
cos
44.9
77.0942
cos 1
Cosenos DirectoresObservando la Fig 7.34, los ángulos , , se llaman ángulos directores. Ahora por (6)
decimos que cos , cos , cos son cosenos directores, y
cos2 + cos2 + cos2 = 1
||k||||a||ka
||j||||a||ja
||i||||a||ia ... cos,cos,cos
||a||||a||||a||321 cos,cos,cosaaa
kjik||a||
j||a||
i||a||
a||a||
)(cos)(cos)(cos1 321 aaa
Fig 7.34
Ejemplo 6
Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k.
Solución
5345452|||| 222 a
534
cos,53
5cos,
532
cos
Componentes de a en b• Como a = a1i + a2j + a3k, entonces
(7)Escribimos los componentes de a como
(8)Observe la Fig 7.35. El componente de a en cualquier vector b es
compba = ||a|| cos (9)escribiendo (9) como
(10)
kajaia ... 321 ,, aaa
,comp iaai . ,comp jaaj . kaak .comp
bba
bb
a
bba
bba
ab
||||1
||||||||cos||||||||
comp
.
.
Fig 7.35
Ejemplo 7Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y compab.
SoluciónDe (10), a b = −3
)2(6
1||||
1,6|||| kjibb
b
63
)2(6
1)432(comp kjikjiab .
)432(291
||||1
,29|||| kjiaa
a
293
)432(291
)2(comp kjikjibb .
Interpretación Física
• Observe la Fig 7.36. Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es
W = F d (11)
Fig 7.36
Ejemplo 8
Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a(4, 6), hallar el trabajo realizado por F.
Solución d = 3i + 5j
W = F d = 26 N-m
Proyección de a sobre b
• Observe la Fig 7.37. La proyección de a sobre i es
• Observe la Fig 7.38. La proyección de a sobre b es
(12)
bbb
bab
b
1aa bb
)(compproy
iaiiaiaa ii 1)()(compproy
Ejemplo 9
Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j.
Solución
1311
)(2131
)(4comp 3jijiab
jijiab 13
33
13
22)3(2
13
1
13
11proy
El producto vectorial de dos vectores a y b es(1)
donde es el ángulo entre ellos, 0 , y nes un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha.
DEFINICIÓN 4
Producto Vectorial de Dos Vectores
nbaba )sin||||||(||
50
Producto escalar en términos de componentes.
Se define:
• En R2, sean:)b;a(v)b;a(u 2211 ;
2121 bbaavu
Se define:
• En R3, sean:)c;b;a(v;)c;b;a(u 222111
212121 ccbbaavu
51
Sean y dos vectores cualesquiera que forman un ángulo . El producto vectorial se define como un vector que tiene:
u
v
vu
Magnitud:
Dirección: Perpendicular al plano que forman
senvu
vyu
PRODUCTO VECTORIAL
NOTA: Este producto sólo se da para vectores en R3
52
Regla de la mano derecha
u
vvu
uv
53
PRODUCTO VECTORIAL EN TÉRMINOS DE LAS COMPONENTES.
)baba,caca,cbcb(vu 122121121221
)c;b;a(vy)c;b;a(uSean 222111
Se define al Producto Vectorialcomo:
vu
54
OJO
Existe un recurso nemotécnico para recordar la fórmula del producto vectorial, el cual emplea la notación de determinante:
kji22
11
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
cb
cbvu
222
111
cba
cba
kji Es decir puede desarrollarse como un determinante
Observe que la primera fila contiene vectores y no números reales
Ejemplo 1• Para entender el sentido físico del producto vectorial,
observe las Fig 7.37 y 7.48. El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F.
Fig 7.48
Propiedades• (i) a b = 0, if a = 0 or b = 0
(ii) a b = −b a(iii) a (b + c) = (a b) + (a c)(iv) (a + b) c = (a c) + (b c)(v) a (kb) = (ka) b = k(a b)(vi) a a = 0(vii) a (a b) = 0(viii) b (a b) = 0
58
Paralelismo de vectoresDos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:
Definición
),,( 321 aaau ),,( 321 bbbv Dado:
vu // kba
ba
ba
3
3
2
2
1
1
vku
Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo sisi a b = 0.
TEOREMA 2Criterio de Vectores Paralelos
• (a) De propiedades (iv)i i = 0, j j = 0, k k = 0 (2)
(b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0
• Si a = i, b = j, entonces
(3)
Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j = k
Ejemplo 2
nnjiji
2sin||||||||
Ejemplo 3
• De Fig 7.49, tenemos
(4)(ii) propiedad la dey
jik
ikj
kji
jki
ijk
kii
Alternative Definition• Como
(5)
tenemos(6)
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)()(
)()(
332313
322212
312111
3213
32123211
321321
kkjkik
kjjjij
kijiii
kjik
kjijkjii
kjikjiba
bababa
bababa
bababa
bbba
bbbabbba
bbbaaa
kjiba )()()( 122113312332 babababababa
También podemos escribir (6) como
(7)
Por otro lado, (7) se transforma en
(8)
kjiba21
21
31
31
32
32
bb
aa
bb
aa
bb
aa
321
321
bbb
aaa
kji
ba
Ejemplo 4
Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a b.
SoluciónDe (8), tenemos
kji
kji
ba
13
24
13
54
11
52
113
524
Productos Especiales
• Tenemos
(9)
se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se dejan como ejercicio.
(10)
321
321
321
)(
ccc
bbb
aaa
cba.
cbabcacba )()()( ..
Area y Volumen
• Area de un paralelograma A = || a b|| (11)
Area de un triánguloA = ½||a b|| (12)
Volumen del paralelepípedo V = |a (b c)| (13)
Fig 7.50 y Fig 7.51
Fig 7.50
Fig 7.51
Ejemplo 5
Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).
SoluciónUsando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>
kji
kji
kji
58
31
21
51
31
53
32
531
3213221
PPPP
1023
||58||21 kjiA
Vectores Coplanarios
a (b c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.
7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones• Rectas: Ecuación Vectorial
Fig 7.55. Hallamos que r2 – r1 es paralelo a r – r2, entonces r – r2 = t(r2 – r1) (1)
Si escribimosa = r2 – r1 = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> = <a1, a2, a3> (2)
luego (1) implica que una ecuación vectorial para la recta esr = r2 + ta
donde a se llama vector director.
Fig 7.55
Ejemplo 1
Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –1, 8) y (5, 6, –3).
SoluciónDefinimos a = <2 – 5, –1 – 6, 8 – (– 3)> = <–3, –7, 11>.Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta:
(3)
(4)
(5)
11,7,38,1,2,, tzyx
11,7,33,6,5,, tzyx
11,7,33,6,5,, tzyx
Ecuación Paramétrica
• También podemos escribir (2) como
(6)
las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones paramétricas .
tazztayytaxx 322212 ,,
Ejemplo 2
Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1.
SoluciónDe (3), se tiene
x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = 8 + 11t (7)
De (5),
x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t (8)
Ejemplo 3
Determinar un vector a que sea paralelo a la recta: x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3t
Solucióna = 9i + 5j – 3k
Ecuación continua
• De (6)
siendo ai son no nulos. Entonces
(9)
se dice que es una ecuación continua.
3
2
2
2
1
2
azz
ayy
axx
t
3
2
2
2
1
2
azz
ayy
axx
Ejemplo 4
Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(4, 10, −6) y (7, 9, 2)
SoluciónDefinimos a1 = 7 – 4 = 3, a2 = 9 – 10 = –1, a3 = 2 – (–6) = 8, luego
82
19
37
zyx
Ejemplo 5
Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(5, 3, 1) y (2, 1, 1)
SoluciónDefinimos a1 = 5 – 2 = 3, a2 = 3 – 1 = 2, a3 = 1 – 1 = 0,luego
1,2
33
5 z
yx
Ejemplo 6
Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es paralela a a = 5i – 10j + 2k.
SoluciónEc. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, –3> + t(5, –10, 2)
Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 + 2t, Ec. Continua:
23
106
54
zyx
Planos: Ecuación Vectorial
• Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector normal a un plano. Cualquier vector del plano debe ser perpendicular al vector normal, esto es
n (r – r1) = 0 (10)
Fig 7.57
Ecuaciones Cartesianas
• Si el vector normal es ai + bj + ck , entonces la ecuación cartesiana del plano que contiene aP1(x1, y1, z1) es
a(x – x1) + a(y – y1) + c(z – z1) = 0 (11)
Ejemplo 7
Determine el palno que contiene (4, −1, 3) y es perpendicular a n = 2i + 8j − 5k
SoluciónDe (11):
2(x – 4) + 8(y + 1) – 5(z – 3) = 0ó
2x + 8y – 5z + 15 = 0
• ecuación (11) también puede escribirse comoax + by + cz + d = 0 (12)
La gráfiaca de cualquier ecuación ax + by + cz + d = 0,a, b, c no todos nulos, es un plano con el vector normal
n = ai + bj + ck
TEOREMA 3Plano con Vector Normal
Ejemplo 8
• Un vector normal al plano 3x – 4y + 10z – 8 = 0 es n = 3i – 4j + 10k.
• Dados tres puntos no alineados, P1, P2, P3, elegimos P1 como le punto origen. Observe la Fig 7.58, Podemos obtener
(13)
0)()]()[( 11312 rrrrrr .
Fig 7.58
Ejemplo 9Determinar la ecuación del palno que contiene (1, 0 −1), (3, 1, 4) y (2, −2, 0).
SoluciónObtenemos dos vectores a partir de los puntos dados, u = <2, 1, 5> y v = <1, 3, 4>.
,)2()2(),,(
)0,2,2(
,43)0,2,2(
)4,1,3(
,52)4,1,3(
)1,0,1(
kjiw
kjiv
kjiu
zyxzyx
Ejemplo 9 (2)
Si escogemos (2, −2, 0) como el punto origen, entonces<x – 2, y + 2, z – 0> <−11, −3, 5> = 0
kji
kji
vu 5311
431
512
05)2(3)2(11 zyx
0165311 zyx
Gráficas
• La gráfica de (12) caundo faltan una o ods variables sigue siendo un plano.
Ejemplo 10
Gráfica 2x + 3y + 6z = 18
SoluciónPoniendo: y = z = 0 nos da x = 9
x = z = 0 nos da y = 6x = y = 0 nos da z = 3
Fig 7.59.
Fig 7.59
Ejemplo 11
Gráfica 6x + 4y = 12
SoluciónEsta ecuación carece de la variable z, por lo cual el plano es paralelo al eje z. Puesto que x = 0 nos da y = 3
y = 0 nos da x = 2 Fig 7.60.
Fig 7.60
Ejemplo 12
Gráfica x + y – z = 0
SoluciónPriemro observamos que el plano pasa por (0, 0, 0). Sea y = 0, entonces z = x; x = 0, entonces z = y.
Fig 7.61
• Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Observe la Fig 7.62. Fig 7.63 ilustra la intersección de una recta con un plano.
Fig 7.62
Fig 7.63
Ejemplo 13
Hallar la ecuación paramétrica de la recta de la intersección de2x – 3y + 4z = 1 x – y – z = 5
SoluciónPriemro dejamos que sea z = t,
2x – 3y = 1 – 4t x – y = 5 + tluego x = 14 + 7t, y = 9 + 6t, z = t.
Ejemplo 14
Determinar el punto de intersección del plano3x – 2y + z = −5 y la recta x = 1 + t, y = −2 + 2t, z = 4t.
SoluciónSuponemos que (x0, y0, z0) es el punto de intersección.
3x0 – 2y0 + z0 = −5 y x0 = 1 + t0, y0 = −2 + 2t0, z0 = 4t0
entonces 3(1 + t0) – 2(−2 + 2t0) + 4t0 = −5, t0 = −4Así, (x0, y0, z0) = (−3, −10, −16)
7.6 Espacios Vectoriales
• n DimensionesSimilar al de 3 dimensiones
(1)
(2)
nn bababa ,,, 2211 ba
nkakakak ,,, 21 a
nn
nn
bababa
bbbaaa
2211
2121 ,,,,,, ..ba
Sea V un conjunto de elemntos en el que se definen las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si se cumple lo siguiente.
DEFINICIÓN 5
Espacio Vectorial
Axiomas para la suma vectorial(i) Si x y y son de V, entonces x + y es de V.(ii) Para todo x, y de V, x + y = y + x(iii) Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z(iv) Existe un único vector 0 de V, tal que
0 + x = x + 0 = x(v) Para cada x de V, existe un vector −x de V, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0
DEFINICIÓN 5
Espacio Vectorial
Axiomas para el producto por un escalar(vi) Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V.(vii) k(x + y) = kx + ky(viii) (k1+k2)x = k1x+ k2x
(ix) k1(k2x) = (k1k2)x
(x) 1x = xPropiedades (i) y (vi) are called the closure axioms.
DEFINICIÓN 5
Espacio Vectorial
Ejemplo 1
Determinar si cada uno de los conjuntos (a) V = {1} y (b) V = {0} bajo la suma y producto por un escalar son espacios vectoriales.
Solución (a) V = {1}, viola muchos de los axiomas.(b) V = {0}, es fácil de comprobar que es un espacio vectorial.
Además, se denomina el espacio vectorial nulo o trivial.
Ejemplo 2
Considere el conjunto V de todos los números reales positivos. Si x y y denotan números reales positivos, entonces escribimos vectores como x = x, y = y. Ahora la suma de vectores se define como
x + y = xyy producto por un escalar como
kx = xk
Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.
Ejemplo 2 (2)
Solución Repasamos los 10 axiomas.(i) Pra x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0
(ii) Para todo x = x, y = y de V, x + y = x + y = y + x = y + x
(iii) Para x = x , y = y, z = z de Vx + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z
(iv) Como 1 + x = 1x = x = x, x + 1 = x1 = x = xEl vector nulo 0 es 1 = 1
Ejemplo 2 (3)
(v) Si definimos −x = 1/x, entoncesx + (−x) = x(1/x) = 1 = 1 = 0−x + x = (1/x)x = 1 = 1 = 0
(vi) Si k es un escalary x = x > 0 es de V, entonces kx = xk > 0
(vii) Si k es un escalar, k(x + y) = (xy)k = xkyk = kx + ky
(viii) (k1+k2)x = xk1+k2 = xk1xk2 = k1x+ k2x
(ix) k1(k2x) = (xk2 )k1 = xk1k2 = (k1k2)x
(x) 1x = x1 = x = x
Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V, entonces W se denomina un subespacio de V.
DEFINICIÓN 6
Subespacio
Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y sólo si W es cerrado frente las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V:
(i) Si x y y son de W, entonces x + y es de W.(ii) Si x es de W y k un escalar cualquiera, entonces kx es de W.
TEOREMA 4Criterios para un Subespacio
Ejemplo 3
• Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor real definidas en (−, ). Sabemos que f + g y kf, para cualquier número real k, son continuas y de valor real. Por lo cual, llegamos a la conclusión de que C(−, ) es un subespacio del espacio vectorial de funciones de valores reales definidas en (−, ).
Ejemplo 4
• El conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual que n es un subespacio de C(−, ).
Un conjunto de vectores {x1, x2, …, xn} se dice que es linealmente independiente, las únicas constantes que satisfacen
k1x1 + k2x2 + …+ knxn = 0 (3)son k1= k2 = … = kn = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es linealmente dependiente.
DEFINICIÓN 7
Independencia Lineal
• Por ejemplo: i, j, k son linealmente independiente.
<1, 1, 1> , <2, –1, 4> y <5, 2, 7> son linealmente dependiente, porque3<1, 1, 1> + <2, –1, 4> − <5, 2, 7> = <0, 0, 0>
3a + b – c = 0
• Puede demostrarse que cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes es una base de R3. Por ejemplo
<1, 0, 0>, <1, 1, 0>, <1, 1, 1>
Considere un conjunto de vectores B = {x1, x2, …, xn} deun Espacio Vectorial V. Si el conjunto es linealmente independiente y si todo vector de V puede expresarse Como combinación lineal de estos vectores, entonces se dice que B es una base de V.
DEFINICIÓN 8
Base de un Espacio Vectorial
•Base Estándar: {i, j, k} Para Rn : e1 = <1, 0, …, 0>, e2 = <0, 2, …, 0> …..
en = <0, 0, …, 1> (4)Si B es un base, entonces existen cierto escalares tales que
(5)
donde estos escalares ci, i = 1, 2, .., n, se llaman coordenadas de v respecto de la base B.
cnccc xxxv 2211
Se dice que el número de vectores de una base B del espacio vectorial V es la dimensión del espacio.
DEFINICIÓN 8
Dimensión de un Espacio Vectorial
Ejemplo 5
(a) Las dimensiones de R, R2, R3, Rn son respectivamente 1, 2, 3, n.
(b) Hay n + 1 vectores en B = {1, x, x2, …, xn}. La dimensión es n + 1
(c) La dimensión del espacio nulo {0} es ceero.
ED Lineales
• La solución general de la siguiente ED
(6)
puede escribirse como y = c1y1 + c1y1 + … cnyn y se dice que es espacio solución. Así {y1, y2, …, yn} es una base.
0)()()()( 011
1
1
yxadxdy
xadx
ydxa
dx
ydxa n
n
nn
n
n
Ejemplo 6
La solución general de y” + 25y = 0 es
y = c1 cos 5x + c2 sen 5x
entonces {cos 5x , sin 5x} es una base.
7.7 Gram-Schmidt Orthogonalization Process
• Base OrtonormalTodos los vectores de la base son ortogonales entre sí y tienen la longitud unidad.
Ejemplo 1 • El conjunto de vectores
(1)
es linealmente independiente en R3. De ahí que B = {w1, w2, w3} es una base. Como ||wi|| = 1, i = 1, 2, 3, wi wj = 0, i j, B es una base ortonormal.
21
,2
1 0,
,6
1 ,
61
,6
2
,3
1 ,
31
,3
1
3
2
1
w
w
w
• DemostraciónComo B = {w1, w2, …, wn} es una base ortonormal, entonces cualquier vector puede expresare como
u = k1w1 + k2w2 + … + knwn (2)(u wi) = (k1w1 + k2w2 + … + knwn) wi
= ki(wi wi) = ki
Supongamos que B = {w1, w2, …, wn} es una base
ortonormal de Rn. Si u es un vector cualquiera de Rn, entonces u = (u w1)w1 + (u w2)w2 + … + (u wn)wn
TEOREMA 5
Coordenadas respecto a una Base Ortonormal
Ejemplo 2
Determinar las coordenadas de u = <3, – 2, 9> respecto a la base ortonormal del Ejemplo 1.
Solución
321
321
211
61
310
211
,6
1 ,
310
wwwu
wuwuwu
Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt
• La transformación de la base B = {u1, u2} en una base ortogonal B’= {v1, v2} consta de dos pasos. Fig 7.64.
(3)
111
1222
11
vvvvu
uv
uv
Fig 7.64(a)
Ejemplo 3 Sea u1 = <3, 1>, u2 = <1, 1>. Transformarlos en una base ortonormal.
Solución De (3)
Normalizando:
Fig 7.65
53 ,
51
1 3,104
1 1,
1 3,
2
11
v
uv
103
,1011
101
,1031
22
2
11
1
vv
w
vv
w
Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt
• Para R3:
(4)
222
231
11
1333
111
1222
11
vvvvu
vvvvu
uv
vvvvu
uv
uv
• Observe la Fig 7.66. Suponemos que W2 = Span{v1, v2}, entonces
es de W2 y se llama proyección ortogonal de u3 sobre W2, denotado por x = proyw2u3.
(5)
(6)
222
231
11
1332
proy vvv
vuv
vv
vuux
w
111
1221
proy vvv
vuux
w
222
231
11
13 vvvvu
vvvvu
x
Ejemplo 4
Sea u1 = <1, 1, 1>, u2 = <1, 2, 2>, u3 = <1, 1, 0>. Transformarlos en una base ortonormal.
Solución De (4)
21
,21
0,
31 ,
31 ,
32
1) 1, 1,35
2 2, 1,
1 1, 1,
222
231
11
1333
111
1222
11
vvvvu
vvvvu
uv
vvvvu
uv
uv
Ejemplo 4 (2)
,2
1 ,
2
1 0,
,6
1 ,
6
1 ,
6
2 ,
3
1 ,
3
1 ,
3
1
, ,
3, 2, 1, ,1
y 2
2 ,
3
6 ,3
2
1 ,
2
1 ,0 ,
3
1 ,
3
1 ,
3
2 ,1 1, 1, v, v,v
3
21
321
321
321
w
ww
www
vv
wvvv
B
i
B
ii
i
Sea B = {u1, u2, …, um}, m n, una base del subespacio Wm de
Rn. Entonces {v1, v2, …, vm}, donde
es una base ortogonal de Wm. Una base ortonormal de Wm es
TEOREMA 6Proceso de Ortogonalización
111
12
22
21
11
1
222
231
11
1333
111
1222
11
mmm
mmmmmm v
vvvu
vvvvu
vvvvu
uv
vvvvu
vvvvu
uv
vvvvu
uv
uv
mm
mB vv
vv
vv
www1
, ,1
,1
, , , 22
11
21
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