2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO

VER INTRODUCCIÓNVER PRIMER EJEMPLO

APLICADO AL TEOREMA DE EXIST.

VER SEGUNDO EJEMPLO APLICADO

AL TEOREMA DE EXIST.VER BIBLIOGRAFIAS

INTRODUCCIÓN

Recordando la forma en que se representa una ecuación diferencial de segundo orden es:

𝑦′′ + 𝑦′ ∗ 𝑃 𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥

Si las funciones P(x), q(x) y g(x) son continuas en un intervalo 𝛼, 𝛽 que contiene a 𝑥 = 𝑥0, entoncesla ecuación diferencial tiene solución única en todo el intervalo 𝛼, 𝛽 dadas las condiciones 𝑦 𝑥0 =𝑎, 𝑦′ 𝑥0 = 𝑏.

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EJEMPLO APLICADO AL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

EJEMPLO: Determinar el intervalo de validez de la solución de

𝑦′′ +1

𝑥 + 3𝑦′ + 𝑥𝑦 = ln 𝑥

Donde las condiciones iniciales son:𝑦 1 = 3

𝑦′ 1 = −5

SOLUCIÓN:

𝑃 𝑥 =1

𝑥 − 3Tiene un punto de discontinuidad en 𝑥 = 3.

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𝑞 𝑥 = 𝑥

No tiene punto de discontinuidad, es decir, está definido para todo valor de 𝑥 ∈ ℝ.

𝑔 𝑥 = ln 𝑥

Tiene discontinuidad cuando 𝑥 ≤ 0.

Entonces los intervalos son:

−∞, 0 0,3 3,∞

Para las condiciones iniciales:

𝑦 1 = 3

𝑦′ 1 = −5

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Se toma solo la primera condición inicial, es decir:

𝑦 1 = 3

𝑥 = 1 𝑦 = 3

Y analizando con los tres intervalos:

−∞, 0 0,3 3,∞

Se concluye que para 𝑥 = 1 el único intervalo que entra es 0,3 .

Por lo tanto el intervalo donde la solución es única para 𝑥 = 1 es:

∴ 𝑥 ∈ 0,3REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO APLICADO AL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

EJEMPLO: Encontrar el intervalo de validez para

𝑦′′ +𝑒𝑥

𝑥𝑦′ +

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥 + 1𝑦 =

𝑥

𝑥 − 2

Donde las condiciones iniciales son:𝑦 3 = 5

𝑦′ 3 = −7

SOLUCIÓN:

𝑃 𝑥 =𝑒𝑥

𝑥Tiene un punto de discontinuidad en 𝑥 = 0.

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𝑞 𝑥 =𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥 + 1

Tiene un punto de discontinuidad en 𝑥 = −1.

𝑔 𝑥 =𝑥

𝑥 − 2

Tiene un punto de discontinuidad en 𝑥 = 2.

Entonces los intervalos son:

−∞,−1 −1,0 0,2 2,∞

Para las condiciones iniciales:

𝑦 3 = 5

𝑦′ 3 = −7REGRESAR AL CONTENIDO

Se toma solo la primera condición inicial, es decir:

𝑦 3 = 5

𝑥 = 3 𝑦 = 5

Y analizando con los cuatro intervalos:

−∞,−1 −1,0 0,2 2,∞

Se concluye que para 𝑥 = 3 el único intervalo que entra es 2,∞ .

Por lo tanto el intervalo donde la solución es única para 𝑥 = 3 es:

∴ 𝑥 ∈ 2,∞REGRESAR AL CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.

Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.

Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

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