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TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

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Page 1: 2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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CONTENIDO

VER INTRODUCCIÓNVER PRIMER EJEMPLO

APLICADO AL TEOREMA DE EXIST.

VER SEGUNDO EJEMPLO APLICADO

AL TEOREMA DE EXIST.VER BIBLIOGRAFIAS

Page 3: 2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

INTRODUCCIÓN

Recordando la forma en que se representa una ecuación diferencial de segundo orden es:

𝑦′′ + 𝑦′ ∗ 𝑃 𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥

Si las funciones P(x), q(x) y g(x) son continuas en un intervalo 𝛼, 𝛽 que contiene a 𝑥 = 𝑥0, entoncesla ecuación diferencial tiene solución única en todo el intervalo 𝛼, 𝛽 dadas las condiciones 𝑦 𝑥0 =𝑎, 𝑦′ 𝑥0 = 𝑏.

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Page 4: 2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

EJEMPLO APLICADO AL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

EJEMPLO: Determinar el intervalo de validez de la solución de

𝑦′′ +1

𝑥 + 3𝑦′ + 𝑥𝑦 = ln 𝑥

Donde las condiciones iniciales son:𝑦 1 = 3

𝑦′ 1 = −5

SOLUCIÓN:

𝑃 𝑥 =1

𝑥 − 3Tiene un punto de discontinuidad en 𝑥 = 3.

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Page 5: 2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

𝑞 𝑥 = 𝑥

No tiene punto de discontinuidad, es decir, está definido para todo valor de 𝑥 ∈ ℝ.

𝑔 𝑥 = ln 𝑥

Tiene discontinuidad cuando 𝑥 ≤ 0.

Entonces los intervalos son:

−∞, 0 0,3 3,∞

Para las condiciones iniciales:

𝑦 1 = 3

𝑦′ 1 = −5

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Page 6: 2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

Se toma solo la primera condición inicial, es decir:

𝑦 1 = 3

𝑥 = 1 𝑦 = 3

Y analizando con los tres intervalos:

−∞, 0 0,3 3,∞

Se concluye que para 𝑥 = 1 el único intervalo que entra es 0,3 .

Por lo tanto el intervalo donde la solución es única para 𝑥 = 1 es:

∴ 𝑥 ∈ 0,3REGRESAR AL CONTENIDO

Page 7: 2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

EJEMPLO APLICADO AL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

EJEMPLO: Encontrar el intervalo de validez para

𝑦′′ +𝑒𝑥

𝑥𝑦′ +

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥 + 1𝑦 =

𝑥

𝑥 − 2

Donde las condiciones iniciales son:𝑦 3 = 5

𝑦′ 3 = −7

SOLUCIÓN:

𝑃 𝑥 =𝑒𝑥

𝑥Tiene un punto de discontinuidad en 𝑥 = 0.

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Page 8: 2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

𝑞 𝑥 =𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥 + 1

Tiene un punto de discontinuidad en 𝑥 = −1.

𝑔 𝑥 =𝑥

𝑥 − 2

Tiene un punto de discontinuidad en 𝑥 = 2.

Entonces los intervalos son:

−∞,−1 −1,0 0,2 2,∞

Para las condiciones iniciales:

𝑦 3 = 5

𝑦′ 3 = −7REGRESAR AL CONTENIDO

Page 9: 2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución

Se toma solo la primera condición inicial, es decir:

𝑦 3 = 5

𝑥 = 3 𝑦 = 5

Y analizando con los cuatro intervalos:

−∞,−1 −1,0 0,2 2,∞

Se concluye que para 𝑥 = 3 el único intervalo que entra es 2,∞ .

Por lo tanto el intervalo donde la solución es única para 𝑥 = 3 es:

∴ 𝑥 ∈ 2,∞REGRESAR AL CONTENIDO

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BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.

Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.

Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

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