4.8 Diferencial total

DIFERENCIAL TOTALTEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 y ∆𝑥 y ∆𝑦 son los incrementos en 𝑥 y en 𝑦, entonces las diferenciales de las variables independientes 𝑥 y 𝑦 son:

𝑑𝑥 = ∆𝑥

𝑑𝑦 = ∆𝑦

Y la diferencial total de la variable independiente 𝑧 es:

𝑑𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

DOS EJEMPLOS APLICADOS AL HALLAZGO DE LA DIFERENCIA TOTAL EN LAS SIGUIENTE FUNCIONES

a) 𝒛 = 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒚 − 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐

Primero se obtienen las derivadas parciales de la función z, que es con respecto a "x" y con respecto a "y":

𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 3𝑥2𝑦2 =

𝜕

𝜕𝑥2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 −

𝜕

𝜕𝑥3𝑥2𝑦2

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦

𝜕

𝜕𝑥𝑥 − 3𝑦2

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦 1 − 3𝑦2 2𝑥

∴𝜕𝑧

𝜕𝑥= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 6𝑥𝑦2 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 3𝑥2𝑦2

𝜕𝑧

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 −

𝜕

𝜕𝑦3𝑥2𝑦2

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2𝑥

𝜕

𝜕𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 3𝑥2

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 = 2𝑥 cos 𝑦 − 3𝑥2 2𝑦

∴𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2𝑥 cos 𝑦 − 6𝑥2𝑦 = 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦

Ahora, sustituyendo en la fórmula de la diferencial total de z:

𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

∴ 𝑑𝑧 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 6𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + 2𝑥 cos 𝑦 − 6𝑥2𝑦 𝑑𝑦

b) 𝒘 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐

Primero se obtienen las derivadas parciales de la función z, que es con respecto a "x", con respecto a “y” y con respecto a "z":

𝜕𝑤

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 =

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 +

𝜕

𝜕𝑥𝑦2 +

𝜕

𝜕𝑥𝑧2

𝜕𝑤

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 + 𝑦2

𝜕

𝜕𝑥1 + 𝑧2

𝜕

𝜕𝑥1 = 2𝑥 + 𝑦2 0 + 𝑧2 0

∴𝜕𝑧

𝜕𝑥= 2𝑥 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 =

𝜕

𝜕𝑦𝑥2 +

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 +

𝜕

𝜕𝑦𝑧2

𝜕𝑤

𝜕𝑦= 𝑥2

𝜕

𝜕𝑦1 +

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 + 𝑧2

𝜕

𝜕𝑦1 = 𝑥2 0 + 2𝑦 + 𝑧2 0

∴𝜕𝑤

𝜕𝑦= 2𝑦 = 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧

Y para la derivada parcial con respecto de “z” es:

𝜕𝑤

𝜕𝑧=

𝜕

𝜕𝑧𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 =

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 +

𝜕

𝜕𝑥𝑦2 +

𝜕

𝜕𝑥𝑧2

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 𝑥2

𝜕

𝜕𝑥1 + 𝑦2

𝜕

𝜕𝑥1 +

𝜕

𝜕𝑥𝑧2 = 𝑥2 0 + 𝑦2 0 + 2𝑧

∴𝜕𝑤

𝜕𝑧= 2𝑧 = 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧

Ahora, sustituyendo en la fórmula de la diferencial total de w:

𝑑𝑤 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧

𝑑𝑧 = 2𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 2𝑧 𝑑𝑧

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.