ÁLGEBRA LINEAL

Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015

Algebra Lineal

Unidad INúmeros Complejos

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1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos

• Un número Complejo es una expresióndel tipo

• donde a y b son números reales, i esun símbolo que denota la parteimaginaría

biaz

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1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos

• Este tipo de números, por elmomento, aparecen entre lassoluciones de ecuaciones algebraicascon una incógnita. Por ejemplo laecuación

012 xx

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1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos

• Comenzaremos por introducir unnuevo número o símbolo, denotado pori, el cual sería llamado la unidadimaginaria y que cumple con lacondición

• O bien

12 i

1i

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1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos

• Ejemplos

iz 32

8z

iz 12

Númeroimaginario puro

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Suma

• Ejemplo

ibazibaz 222111 y Sean

sería suma La

212121 ibbaazz

iz 431 iz 932

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Resta

• Ejemplo

ibazibaz 222111 y Sean

sería resta La

212121 ibbaazz

iz 431 iz 932

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Estas operaciones de suma y restasatisfacen las siguientes propiedadesgenerales

– Sean: Z, W y U números complejos

1. Propiedad del cierre para la suma

Z + W como Z - W son complejos

2. Propiedad asociativa

Z + ( W + U ) = (Z + W ) + U

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

– Sean: Z, W y U números complejos

3. Propiedad conmutativa

Z + U = U + Z

4. Propiedad del elemento neutro

Z + 0 = Z

5. Propiedad del opuesto

Z + ( - Z ) = ( - Z ) + Z = 0

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Ejemplos

iziz 48con 23Sumar 21

iziz 32 restarle 74A 21

iii-i 2736810125Z

en Zde valor elCalcular

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1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos

• Ejercicios

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1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos

• Ejercicios

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Producto

dicWbiaZ y Sean

es producto El

ibcadbdacZW

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Ejemplo

iWiZ 53y 26Sean

ZWEncontrar

iWZ 23y 8Sean

ZWEncontrar

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Propiedades del producto

– Sean: Z, W y U números complejos

1. Propiedad del cierre para la suma

Z W es un número complejo

2. Propiedad asociativa

Z ( W U ) = (Z W ) U

3. Propiedad conmutativa

Z U = U Z

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

– Sean: Z, W y U números complejos

4. Propiedad del elemento neutro

Z 1 = Z

5. Propiedad del inverso

Z Z-1 = 1

6. Propiedad distributiva

Z ( W + U ) = Z W + Z U

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Conjugado de Z

• Si es un número complejo,entonces el CONJUGADO de Z,denotado por , es un númerocomplejo definido por

• Ejemplos

biaZ

Z

biaZ

iZ 92 iZ 97

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• División• Sean: Z y W dos números complejos, y

W0 podemos hacer la división de Z enteW de la forma siguiente

•

2W

WZ

W

W

W

Z

W

Z

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Ejemplo

iWiZ 53y 26Sean

W

ZEncontrar

iWiZ 32y 43Sean

W

ZEncontrar

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Ejercicios

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1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos

• Ejercicios

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

• Representación geométrica– Plano complejo

Eje real

Eje imaginario

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

• El modulo de Z

• Si es un número complejo,el MODULO de Z, es el número real

• Ejemplos

biaZ

22 baZ

iZ 43 iZ 93

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

• Algunas propiedades del modulo son:

– Sean: Z, W y U números complejos

11 .5

.4

.3

0 si soloy si 0 .2

0 .1

ZZ

WZZW

WZWZ

ZZ

Z

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

• El módulo de un número complejo Z esigual a la distancia desde el punto Zhasta el origen

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo

• Forma polar

a

b1tanNota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo

• Ejemplos– Hallar la forma polar de:

a) En el primer cuadrante

b) En el segundo cuadrante

c) En el tercer cuadrante

d) En el cuarto cuadrante

.Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

iZ 22

iZ 43

iZ 43

iZ 21

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo

• Multiplicación y división en la formapolar

Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

isenWZZW cos

cosy cosSean isenWWisenZZ

isenW

Z

W

Zcos

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo

• Ejemplo

• Calcular la multiplicación y división enforma polar

Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

2626cos3y 9595cos2Sean isenWisenZ

iWiZ 53y 26Sean

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1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo

• Potencias

• Entonces

• Ejemplo– Sea calcule la

potencia de orden cinco de este número,es decir Z5

–Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

positivo enteroun es y cos Sea nisenZZ

nisennZZnn cos Sea

3030cos2 isenZ

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1.5 Teorema de Moivre, potencias yextracción de raíces de un número

complejo.

• Teorema de Moivre y raíces

• Entonces

• Ejemplo– Hallar todas las ráices cúbicas de

.

isenZZ cos Sea

buscada raiz...3,2,1,0 donde

2

2 cos

2

2 cos Sea

1

11

1

k

n

kisen

n

kZW

n

kisen

n

kZZ

n

nn

k

3030cos8 isenZ

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1.5 Teorema de Moivre, potencias yextracción de raíces de un número

complejo.

• Ejercicios

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1.5 Teorema de Moivre, potencias yextracción de raíces de un número

complejo.

• Ejercicios

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1.5 Teorema de Moivre, potencias yextracción de raíces de un número

complejo.

• Ejercicios

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1.6 Ecuaciones polinómicas

• Algunas ecuaciones que no se puedenresolver en el conjunto de losnúmeros reales, tiene solución ene lconjunto complejo.

• En general, se verifica que todaecuación polinómica con coeficientesreales en el conjunto de los númeroscomplejos, pudiendo ser éstas númeroreales o imaginarios.

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1.6 Ecuaciones polinómicas

• Ejemplo

0166

054

09

23

2

2

xxx

xx

x

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Tarea • Algebra y trigonometría con

geometría analítica– Walter Fleming/Dale Varberg

– Editorial Prentice Hall

– Pag. 45

– Sección de problemas 1-6• Del 1 al 22

• Del 23 al 30

• Del 31 al 38

• Del 43 al 51