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Conceptos Básicos de Conceptos Básicos de GeometríaGeometría
Preparado por: MICHELLE VARGASPreparado por: MICHELLE VARGASMATEMÁTICAS MATEMÁTICAS
Noveno grado Noveno grado
ÍndiceÍndice
• Definición de Geometría• El punto• La recta• El plano• Segmento• Rayo • Espacio• Puntos Colineales• Puntos Coplanarios
Clasificación de ÁngulosClasificación de Ángulos• ÁnguloÁngulo• Vértice• BisectrizBisectriz• Ángulo AgudoÁngulo Agudo• Ángulo ObtusoÁngulo Obtuso• Ángulo RectoÁngulo Recto• Ángulo LlanoÁngulo Llano•Ángulos complementarios y Ángulos complementarios y suplementariossuplementarios•Ángulos opuestos por el vérticeÁngulos opuestos por el vértice•Ángulos formados por rectas Ángulos formados por rectas paralelasparalelas
DefiniciónDefinición de Geometría de Geometría
La geometría La geometría trata de la medicióntrata de la medición y de y de las propiedades de puntos, líneas, las propiedades de puntos, líneas, ángulos y sólidos, así como de las ángulos y sólidos, así como de las relaciones que guardan entre sí.relaciones que guardan entre sí.
El puntoEl punto
Los puntos Los puntos no tienen medidano tienen medida. Son . Son representados por letras mayúsculas representados por letras mayúsculas y no tienen dimensión (largo, alto, y no tienen dimensión (largo, alto, ancho).ancho).
A BA B C C
La rectaLa recta
Una recta Una recta se extiende al infinito en se extiende al infinito en ambas direccionesambas direcciones y carece de ancho. y carece de ancho. Las rectas se nombran con minúscula.Las rectas se nombran con minúscula.
bb
C C
AA
¿Cómo identificar las rectas?
La recta que aparece abajo es la recta b. Si se conocen los nombres de dos puntos de una recta, entonces esta recta puede identificarse por estos dos puntos. En este ejemplo, los puntos A y C estan sobre la recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b de varios modos:
palabra recta AC recta CAsímbolo AC CA
C b A
El planoEl plano
Un plano Un plano se extiende al infinitose extiende al infinito en toda en toda dirección y no tiene grosor alguno. Los dirección y no tiene grosor alguno. Los planos planos se representanse representan regularmente regularmente con con una figura de cuatro ladosuna figura de cuatro lados y se nombran y se nombran con letras mayúsculas o tres puntos con letras mayúsculas o tres puntos colineales.colineales.
¿Cómo identificar el plano?
B
A C R
La figura de arriba puede denominarse plano R o plano ABC.
En geometría los términos punto, recta y plano se consideran términos primitivos o no definidos porque solo tienen explicación a través del uso de ejemplos y descripciones. Sin embargo, ellos sirven para definir otros términos y propiedades geométricas.
Solución de Problemas
a. Recta Los puntos T y U pertenecen a la
recta RS. Escoge dos letras de las cuatro dadas en la figura, para nombrar esta recta.
1)FU 2) RU 3) R 4)TE U
T S R
Correcto!!!
El punto RU está en la recta.El punto RU está en la recta.
Incorrecto!!
Los puntos de la recta son R, S, T, U. El punto FU no pertenece a la recta.
Incorrecto!!Incorrecto!!
Recuerda…Siempre se nombra la recta Recuerda…Siempre se nombra la recta con dos puntos.con dos puntos.
Incorrecto!!Incorrecto!!
El punto TE no pertenece a la recta. El punto TE no pertenece a la recta.
Solución de problemasb. Plano M
Sean los puntos A, B y C del plano M. Utiliza estas letras enorden diferente para nombrar el plano.
A C
B
M 1)YJ 2)CFE 3)N 4)BCA
Correcto!!
Los puntos BCA pertenece al plano M.
Incorrecto!!
Los puntos YJ no pertenece al plano.
Incorrecto!!
La letra N no pertenece al plano M.
Incorrecto!!
Los puntos CFE no pertenece al plano ABC.
Segmento
El segmento es la parte de una recta que consiste de dos puntos, llamados extremos y de todos los puntos que estan dentro de ella.
A B
Ejemplo:En el dibujo anterior El segmento se identificaría como:
o
AB BA
Rayo
– Un rayo tiene un punto de comienzo y– se extiende hacia el infinito en el otro– Extremo.
Ejemplo:
El comienzo de RT es el punto R. T
R
Cada punto en una recta determina dos rayos que comparten un mismo extremo. Por ejemplo, el punto A determina los rayos AB, y AC. AB y AC se llaman rayos opuestos.
A C
B
El espacioEl espacio
El espacio es infinito, es tridimensional, El espacio es infinito, es tridimensional, es eles el conjunto de todos los puntos conjunto de todos los puntos..
Los Los puntos colinealespuntos colineales o alineados o alineados
Son aquellos Son aquellos contenidos en una línea o contenidos en una línea o rectarecta. Los puntos que no se encuentran . Los puntos que no se encuentran contenidos en una recta se dice que son contenidos en una recta se dice que son no colineales.no colineales.
Ejemplo: Observe que los puntos A, B y C estan contenidos en la recta i. Estos puntos se dice que son colineales. El punto D no es un punto colineal ya que no pertenece a la recta i.
C i B
A D P
Los Los puntos (o rectas) coplanariospuntos (o rectas) coplanarios
Son aquellos puntos (o rectas) que se Son aquellos puntos (o rectas) que se encuentranencuentran contenidos en un plano contenidos en un plano..
Ejemplo:Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que cada uno esta en el plano E. Las rectas m y k son coplanarias al estar las dos en el plano E. U
m k T Q R S E
Puntos o rectas que no estan contenidos en el mismo plano son no coplanarios. El punto U es no coplanarios.
Comprueba lo aprendido
1. Encuentra el segmento correcto: M L R
Q N S
1) LQ 2) RQ 3) LS 4) LM
Muy bien!
El segmento LQ pertenece a una misma recta.
Comprueba lo aprendido2. ¿Serán QP y QR rayos opuestos?
Q P R
a) Si, porque el punto Q esta entre medio.b) No, solamente si el punto P esta entre Q y R.c) No, porque no son puntos colineales.d) No, porque son mas de dos rayos.
¡Excelente!
Recuerda… que los puntos deben ser colineales (que pertenecen a una misma recta) en este caso lo son, y el punto entre medio tiene que ser P. Sería, QP y PR.
Puntos colineales
Puntos coplanarios
Rectas coplanares
Vamos a Practicar….
3. Identifíca los puntos colineales y puntos o rectas coplanarios:
J w F p H G T e
Repasemos todas las definiciones: Repasemos todas las definiciones: 4. Utilizando el siguiente plano completa 4. Utilizando el siguiente plano completa
la tablala tabla
Recta Rayo Segmento Punto B
A F C D
E
N
5. Utilizando el siguiente plano 5. Utilizando el siguiente plano completa la tablacompleta la tabla
RECTA RAYO SEGMENTOSEGMENTO PUNTO
B
A C G D
E F
Clasificación de los Clasificación de los ángulosángulos
Clasificación de los Clasificación de los ángulosángulos
Ángulo
Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semi-rectas o rayos que tienen el mismo origen.
Ejemplo de ángulos
Un ángulo es la unión de dos rayos no colineales que comparten el mismo punto extremo.
Ejemplo: B 1 P A
vérticeLos rayos reciben el nombre de lados del ángulo y su
punto extremo común es el vértice.
En el dibujo anterior, los lados del ángulo son PA y PB; el vértice es P. El ángulo se puede nombrar como APB,
BPA, P o 1. Observe que si se utilizan tres letras, la letra del vértice es la letra del medio.
Practiquemos…
Nombre el 1 de otras dos formas
G H D 1 2
E 1) HEF , FEH 2) GED , DEG
3) GEH , HEG
4) DEH , DEG
Muy Bien!
Los ángulos DEG y GED es la contestación correcta.
Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al ángulo 1.
Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al ángulo 1.
Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al ángulo 1.
Vértice
El vértice del ángulo es el punto en común que es el origen de los lados.
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:
Por las letras mayúsculas correspondientes a las semi-rectas, colocando en medio la letra vértice: ABC o CBA.
Por una letra o número colocado en la abertura a.
Por la letra del vértice B.
Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la semi-recta que divide al ángulo en dos partes iguales. Un ángulo tiene exactamente una bisectriz.
bisectrizbisectriz
1 2
Ejemplo:La semi-recta OA es bisectriz del ángulo
O si se cumple que: 1= 2
Comprueba lo que aprendiste
Identifica la mejor definición para el término vértice:
a) Es el conjunto de todos los puntos.b) Semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales.c) Es el punto en común que es el origen de los lados.d) Unión de dos segmentos.
¡Correcto!
Muy bien! Es la contestación correcta. Recuerda que cuando identifiques un ángulo la letra del medio siempre será el vértice.
¡Incorrecto!
Inténtalo nuevamente. Conjunto de todos los puntos se refiere a algo infinito.
Incorrecto
Analiza bien. ¿El vértice divide al ángulo en dos partes iguales? Si divide al ángulo se está refiriendo a la bisectriz.
Incorrecto!
El vértice no es la unión de dos segmentos. El vértice es solamente un punto en común.
Comprueba lo que aprendistes
Nombra un rayo que parezca ser bisectriz de un ángulo
R F D B C
1) JS 2) OP 3) FD 4) AG
Correcto!
Muy bien. El rayo FD biseca al ángulo RFC.
Incorrecto!
El rayo JS no pertenece al dibujo.
Incorrecto!
El rayo OP no pertenece al dibujo.
Incorrecto!
El rayo AG no pertenece al dibujo.
Angulo Agudo
Es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 89º.
Ejemplo ángulo agudo
Angulo Obtuso
Es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.
Ejemplo ángulo obtuso
Angulo Recto
ángulo en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.
Angulo Llano
Es el ángulo formado por dos semi-rectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º.
B K A H G C F
I D E J L N M
UTILIZANDO EL SIGUIENTE DIBUJO COMPLETA LA TABLA
< Recto < Agudo < Obtuso < Llano Vértice Bisectriz
Vamos a practicar…
Nombra dos angulos rectos: A E
B P D
T
1) APB , APD2) BPE3) DPE , TPE4) APE
Correcto!
Es la contestacion correcta. Los angulos rectos son de 90 grados.
Incorrecto!
Hay dos ángulos agudos. Observa bien el dibujo.
Incorrecto!
Los ángulos que escogistes no son de 90 grados.
Incorrecto!
El ángulo que escogistes es un ángulo agudo. ¡Analiza bien otra vez!
Identifica la contestacion correcta
¿Cuál es la medida de un ángulo obtuso?
a) 180 gradosb) 0 grados y menor de 90 gradosc) igual a 90 gradosd) superior a 90 grados e inferior a 180 grados
Perfecto!!
Recuerda… 90 grados a 180 grados.
Incorrecto!
Escogistes el ángulo agudo.
Incorrecto!
Escogistes el ángulo llano.
Incorrecto!
Escogistes el ángulo recto.
Ángulo Complementario
Dos angulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°
Ejemplo →
Ángulo Suplementario
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°.
Ejemplo →
¿Cómo usar el transportador?
1. Comienza ubicando el centro del transportador en el vertice del angulo.
2. Alinea uno de los rayos en 0°
3. Lee la medida del otro rayo.
Dibuja y Mide Angulos:
1) Contruye un ángulo agudo y determina su medida exacta.2)Construye un ángulo obtuso y determina su medida exacta.3)Construye un ángulo recto y determina su medida exacta.
Ángulos opuestos por el vértice
1. Son congruentes (que miden lo mismo)
Símbolo para congruente
2. Cuando una recta se interseca con dos rectas paralelas, los angulos correspondientes son congruentes, si las rectas no son paralelas, los angulos correspondientes no son congruentes
Hallar medidas de ángulos:En el diagrama de la derecha, m<1=50,
halla la medida de los otros 3 ángulos.Solución:Solución:
Como <1 y <3 son ángulos opuestos por el vértice, son congruentes y deben tener la misma medida. Entonces,
m<3=50°Además como <1 y <2 combinados
forman un ángulo llano, sabes que la suma de sus medidas es de 180°. Entonces,
m<2=180°- m<1 =180°- 50°
= 130°
4
50° 3 2
Comprueba lo aprendido:
t 1 2 m 4 3 5 55° n 8 7
1) ¿Qué dos rectas son paralelas?2) Da el nombre de 2 pares de ángulos opuestos por el vertice.3) ¿Cuánto mide <2?4) ¿Cuánto mide <4?5) ¿Cuánto mide <8?
RECTAS PARALELAS Las Rectas m y n son
paralelas La recta t es transversal. La medida del <1 y <2 en de
180º en total. Por lo tanto, para calcular la
m<2= 180º- m<1 = 180º – 32º = 148 º Recuerda que los ángulos
opuestos por el vértice miden lo mismo.
Clasificación de ángulos en dos rectas paralelas:
Alternos Externos: Alternos Internos:Correspondiente:
t 32º 1 2 m
3 4 5 6 n 7 8
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