Cuadriláteros

Docente: Huamani Pillaca, Víctor

Institución educativa: «Nuestra Señora el Carmen»

Huaral

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES

Concepto: Es la figura geométrica que resulta de unir 4 puntos no colineales median

mediante 4 segmentos no secantes.

AB

C

D

Vértice:

Lados:

Ángulos:

Diagonales:

A, B, C y D

AB, BC, CD y AD

a, b, q, d

a b

qd

AC y DB

Elementos:

PROPIEDADES GENERALES.

Ángulos interiores

360a b d q

Ángulos exteriores:

360a b c d

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS

Paralelogramo:Sus lados opuestos son congruentes y paralelos. Sus ángulos opuestos

también son congruentes y sus diagonales se bisecan.

CUADRADO RECTÁNGULO

ROMBOIDE ROMBO

Trapecios Tiene dos lados opuestos paralelos llamados bases. Además los ángulos

en los extremos de los lados no paralelos son suplementarios.

TRAPECIO RECTÁNGULÑO TRAPECIO ISÓSCELES

TRAPECIO ESCALENO

Trapezoide

TRAPEZOIDE ISÓSCELES

TRAPEZOIDE ESCALENO

TRAPEZOIDE CÓNCAVO

PROPIEDAD DE LOS CUADRILÁTEROS

I. propiedad de los paralelogramos.

cuadrado

. Los cuadrados tienen lados congruentes.

. Cada ángulo mide 90°

. Las diagonales son congruentes , bisectrices

y se bisecan perpendicularmente.

rectángulo

. Cada ángulo mide 90°

. Las diagonales son congruentes y

se bisecan.

Romboide

. Los ángulos adyacentes son

suplementarios.

180a b

. Los ángulos opuestos son congruentes.

. Los lados opuestos son congruentes.

Rombo.

. Los cuatro lados son congruentes.

. Los ángulos adyacentes son suplementarios

. Las diagonales se bisecan

perpendicularmente y sus longitudes son

mayor ( BD) y menor (AC).

180a b

A

B

C

D

Ejemplos diversos sobre paralelogramos.

1.En el paralelogramo ABCD, encuentre « x+ y +z»

Desarrollo:

los ángulos adyacentes son suplementarios.

4 3 40 180x x

x = 20°

Los ángulos opuestos son iguales.

3x + 40° = x +z

2x + 40° = z

Reemplazando el valor de «x»

2(20°) + 40° = z

Z = 80°

Observando la figura tenemos que:

4x = z - y

Remplazando y resolviendo se tiene

que:

Y = 0° x + y + z = 100°

2.El perímetro de un cuadrado mide 24cm.

Encuentra su diagonal.

Desarrollo:

6cm

6cm

45°

Por ángulos notable de 45° la

diagonal mide:

6 2d cm

3.Encuentra el lado menor del siguiente

rectángulo.

Desarrollo:

Por ángulo notable de 30° y 60°

11cm

4.En un rombo, los ángulos agudos

opuesto miden: 7x – 20° y x + 40° ¿Cuanto

mide el ángulo mayor?

Desarrollo:

7x - 20°

X + 40°

Sabemos que los ángulos puestos del

rombo son iguales.

7x – 20° = x + 40°

Resolviendo :

x = 10°

Reemplazando en uno de los ángulos

se tiene:

X + 40° 10° + 40° = 50°

Sabemos que los ángulos adyacentes

son suplementarios:

Rta: 130°

5.Encuentra el perímetro de un rombo,

si su ángulo agudo mide 60°

y diagonal mayor mide: 4 3

60°

4 3

Desarrollo: 30°

2 34

2

Sabemos que los lados de un rombo

son congruentes:

Reta: 16

II. propiedad de los trapecios

Antes de mencionar las propiedades

señalaremos sus elementos:

AB: base mayor

BC: base menor

Recuerda: BC // AD

AB y CD : laterales

Mediana ( m ).- Es paralela a las bases del

trapecio y es igual a la semisuma de ellas.

2

BC ADm

H

CH: altura.

Propiedades:

1.dos ángulos interiores de un trapecio

situados en el mismo lado del lateral son

suplementarios.

180b q

180a

2.La mediana divide a la altura del

trapecio en dos parte congruentes.

3.En un trapecio isósceles, los ángulos

de cada base son congruentes.

4.La longitud que une los puntos medios

de los diagonales de un trapecio es igual

a la semidiferencia de las bases.

M N

a

b

2

b aMN

5.Las bisectrices de los ángulos

adyacentes en los extremos de los

lados no paralelos son perpendiculares.

III.Propiedades de los trapezoides.

1.El trapezoide por ser un cuadrilátero

la suma de los ángulos interiores es 360°

2.Si se unen consecutivamente los

puntos medios de los lados de un

cuadrilátero cualquiera se forma un

paralelogramo.

A

B

C

D

3. El ángulo menor que forman las

bisectrices de dos ángulos opuestos

mide la semidiferencia de los otro dos

ángulos.

a

qb

b

a

a

x

2x

a q

Ejemplos:

1.En un trapecio, la base media (mediana)

mide 16 cm y el segmento que une los

puntos medios de las diagonales mide ,

4 cm. Halla la longitud de sus bases.

Desarrollo:

A BM N

a

b

Sabemos que:

2

a bAB

2

a bMN

Reemplazando con los datos:

162

a b

42

a b

a + b = 32

a – b = 8

Resolviendo el sistema de ecuación:

a = 18

b = 14

2.La mediana de un trapecio mide

90 cm y la relación de las longitudes

de sus bases es de 4 a 5. Halla la longitud

de la base menor.

Desarrollo:

a

b

90 cm

Aplicando proporcionalidad:

5

4

a k

b k

Donde :

a = 5k b = 4k

Aplicando la definición de mediana:

5 490

2

k k

Resolviendo :

K = 20 cm

Luego la base menor es:

b = 4( 20 cm ) = 80 cm

3.En un trapecio rectángulo ABCD

el ángulo D mide 60°.Sobre AD se

toma el punto E de modo que

BCDE resulta un paralelogramo.

Halla la razón entre las longitudes

de la altura y el segmento que une

los puntos medios de las diagonales

del trapecio ABCD.

Desarrollo:

E

60°

60°2K

2K

K

KK

3K

Aplicando la definición de los puntos

medios de las diagonales :

2

2

k km

2

km

Pide:

h

m

3

2

k

k

Rta: 2 3

4.ABCD y CGFE son cuadrados cuyos

lados miden 3m y 5m, respectivamente. Halla

el perímetro de AMNP

Desarrollo:

3

3

3

3

5

5

5

5

DE= 4

El triángulo DCE, ángulo notable 37° y 53°

4

El triángulo EPF, ángulo notable de 37° y 53°

37°

53°

53°

37°

3

4

H

37° 53°

4 3

Rta: 34

5.En un trapezoide ABCD, halla la

medida del menor ángulo formado

por las bisectrices de los ángulos

internos A y C. S i los ángulos B y D

miden 110° y 70°

Desarrollo:

A

B

C

D

110°

70°

x

110 70

2x

X = 20°

aa

b

b