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Universidad Israel-Ecuador. Transformada de Laplace
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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Diana ChávezQuinto semestre
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA ISRAEL
FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
dtetfsFtfL st
0
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Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
IntroducciónLa TLP es una herramienta de gran alcance formulada para
solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.
Características de la TLPEs un método operacional que puede usarse para
resolver ecuaciones diferenciales lineales.Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y
exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.
La transformada de LaplaceSea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja. Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
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Se observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:
0 0
( ) lim ( )h
s t s t
he f t dt e f t dt
( ) ( ),f t F sL
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
L
L
Notación:
Condiciones de existencia de la transformada
Definición 1: Una función f(t) es seccionalmente continua en un intervalo cerrado, si este intervalo consta de un conjunto finito de subintervalos en cada uno de los cuales f(t) es continua. Además, tiene límite finito cuando t tiende a uno de los extremos del subintervalo desde el interior del mismo.
Definición 2: Una función f(t) es de orden exponencial cuando t tiende al infinito, si existen números α, m, λ, tales que:
f(t) < me^α t Cuando t ≥ λ
La Transformada de una función f(t) existe si esta función es seccionalmente continua para todos los intervalos finitos en el dominio t ≥ 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende al infinito.
Todas las funciones a resolverse cumplen los dos requisitos.
Unicidad de la TLP
Si f1(t) y f2(t) poseen la misma TL:
)()()(
:por definida nulafunción lay0
0)(
21
0
tftftN
N(t)a
dttNa
L{f1(t) } = L{f2(t) }= F(s),
entonces el teorema de Lerch garantiza que
Tabla de transformadas de Laplace
2 2
2 2
2 2
2 2
1
sen
cos
sen
cos
!
at
at
n atn
tss
ts
e ts a
s ae t
s a
nt e
s a
( )
ase
sn
t
t
s
t
at
nn
+-
+
1
!
s1
1 1
1
1
2
d
Calculando la transformada
se
sdtesFL tsst 11
1)(1
0
1
0
Calcula la transformada de f(t) = 1:
ssFtf
1)(1)(
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
1
0
1
0
1
0
0 )(
nstn
stn
stnstnn
tLs
ndtet
s
n
dts
ent
s
etdtetsFtL
Calcula la transformada de f(t) = tn:
1
!)()(
nn
s
nsFttf
10
1
!
1
nn
nn
s
ntL
stL
tLs
ntL
1
1
1
1
)(
0
1
0
1
0
se
s
dtedteesFeL
ts
tssttt
Calcula la transformada de f(t) = e-t:
1
1)()(
ssFetf t
asas
Ae
as
A
dtAedteAesFAeL
tas
tasstatat
,)(
)(
0
0
0
Calcula la transformada de f(t) = Aeat:
asas
AsFAetf at
,)()(
)()cos(
11
)(
)()cos(
2222
22
0
0
0
atseniLatLas
ai
as
s
as
ias
ias
ias
iase
ias
dtedteesFeL
atseniate
tias
tiasstiatiat
iat
Calculemos la transformada de f(t) = eiat:
Transformada inversa de Laplace
Las Transformadas Inversas no son únicas, pero solo difieren en los extremos de los subintervalos.
Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:
conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.
i
i
st tdsesFi
tfsFL
0,)(
2
1)()}({1
Re(s)
Im(s)
γ
i
i
st tdsesFi
tfsFL
0,)(
2
1)()}({1
Con condiciones de existencia:
)(lim)2(
0)(lim)1(
ssF
sF
s
s
γ determina un contorno vertical
en el plano complejo, tomado de
tal manera que todas lassingularidades de F(s) queden a su izquierda.
Propiedades
Como las Transformadas son integrales cumplen las mismas reglas en cuanto a su suma y a la multiplicación por una constante, así:
DE LINEALIDAD
DESPLAZAMIENTO TEMPORAL:
( )
)(
)(
)(
)()()(
)()(
0
0
00
0
0
000
0
sFe
tt
dfee
dtttfe
dtttuttfesX
dttfesF
st
sst
t
st
st
st
-
¥--
¥-
¥-
¥-
=
-=
=
-=
--=
=
ò
ò
ò
ò
l
lll
0
000 ,0
),()()()(
tt
ttttfttutftg
)()}()({
)()}({0
0 sFettutfL
sFtfLst
DESPLAZAMIENTO EN FRECUENCIA:
)(
)()()(
)()(
0
)(
0
0
asF
dttfedttfeesX
dttfesF
tasatst
st
)()}({
)()}({
asFtfeL
sFtfLat
CAMBIO DE ESCALA EN TIEMPO:
)/()/1(
)(1
)()(
)()(
0
)/(
0
0
asFa
atdfea
dtatfesX
dttfesF
as
st
st
a
sFa
atfL
sFtfL
1)}({
)()}({
)(
)(
)()(
)()(
0
0
0
ttfL
dtttfe
dttfeds
dsF
ds
d
dttfesF
st
st
st
)()(
)}({)(
ttfLsF
tfLsF
DERIVADA DE LA TRANSFORMADA:
Transformada de Laplace de la integral de una función
s
sFtfL
sduufL
t )()}({
1)(
0
)(1
)(11
)(
)()(
)()(
000
00
0
sFs
dttfes
es
df
dtdfesX
dttfesF
ststt
tst
st
Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p ≥ 0, entonces:
para Re(s) > p.
Transformada de Laplace de f(t)/t
s
sFduufL
t )()(
0
)(2
)(1
1
1
1}{;
2
20
sarctguarctgduut
tsenL
stsenLdte
t
tsen
t
tsenL
ss
st
sduuF
t
tfL )(
)(
)()(con tfLsF Ejemplo:
TEOREMA DEL VALOR FINAL:
Si existe, entonces:
El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:
)(lim tft
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)(lim)(lim)0(0
ssFtff st
TEOREMA DEL VALOR INCIAL:
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