RAZONES Y PROPORCIONES

Medgar Nelson Montero Ticse

RAZÓN O RELACIÓN es el resultado de

comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos

maneras:

Hallando en cuánto excede una a la otra,

es decir, restándolas, o hallando cuántas

veces contiene una a la otra, es decir,

dividiéndolas. De aquí que haya dos clases

de razones: razón aritmética o diferencia y

razón geométrica o por cociente.

En la vida de cada día vemos que muchas cosas

son proporcionales:

Velocidad de un automóvil con el consumo de gasolina (a más velocidad, mayor consumo de combustible).

Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a pagar).

Precio de pasaje en tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más dinero pagaré por el pasaje).

Es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Las razones aritméticas se pueden escribir de dos

modos: separando las dos cantidades con el signo

– o con un punto (.).

Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó

6. 4 y se lee seis es a cuatro.

La edad de Juan es 16 años y la edad

de Pedro es 48 años.

Podemos observar que:

• Pedro es mayor que Juan en 32 años:

48 años – 16 años = 32 años

EJEMPLO

La suma de dos números es 27, si su razón

aritmética es 11. Halle el menor.

Como la razón aritmética o por diferencia de

dos cantidades no es más que la diferencia

indicada de dichas cantidades, las

propiedades de las razones aritméticas serán

las propiedades de toda resta o diferencia:

Si al antecedente de

una razón aritmética

se suma o resta un

número, la razón

queda aumentada o

disminuida en ese

número.

Si al consecuente de una

razón aritmética se suma o

resta un número, la razón

queda disminuida en el

primer caso y aumentada

en el segundo en el mismo

número.

Si al antecedente y

consecuente de una

razón aritmética se suma

o resta un mismo

número, la razón no varia.

Consiste en determinar cuantas veces una

de las cantidades contiene a la otra.

Las razones geométricas se pueden escribir

de dos modos: en forma de quebrados,

separados numerador y denominador por

una raya horizontal o separadas las

cantidades por el signo de división ( ). ..

Razón geométrica: a/b se lee «a es a b»

Como la razón geométrica o por cociente de

dos cantidades no es más que una división

indicada o un quebrado, las propiedades de

las razones geométricas serán las

propiedades de los quebrados:

Si el antecedente de

una razón geométrica

se multiplica o divide

por un número, la

razón queda

multiplicada o dividida

por ese número

Si el consecuente de una

razón geométrica se

multiplica o divide por un

número, la razón queda

dividida en el primer caso y

multiplicada en el segundo

por ese mismo número.

Si el antecedente y el

consecuente de una

razón geométrica se

multiplican o dividen

por un mismo

número, la razón no

varía.

La edad de Juan es 16 años y la edad

de Pedro es 48 años.

Podemos observar que:

• La edad de Pedro es el triple de la de

EJEMPLO

Las edades de dos personas están en la

relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84.

Hallar las edades.

Sean las edades: a y b

Es la comparación de dos razones iguales

ya sean aritméticas o geométricas.

Definición: Una "proporción aritmética" es

una expresión de la relación de igualdad

entre 2 razones aritméticas.

Donde:

a y d son los términos extremos.

b y c son los términos medios.

d es la cuarta diferencial

EJEMPLOS

Se tiene 4 chompas cuyos precios son S/.15, S/.13,

S/.9 y S/. 7 los cuales se comparan mediante la

sustracción del siguiente modo :

S/.15 - S/.13 = S/. 2

S/. 9 - S/.7 = S/. 2

S/. 15 - S/.13 = S/.9 - S/.7.. Es una proporción aritmética (Sustracción)

La razón es 2.

Interpretando:

El precio de S/.15 excede al precio de S/.13 tanto

como el de S/. 9 excede al de siete.

Cuando los cuatro términos son diferentes y

al último termino se le llama cuarta

diferencial.

a - b = c - d

a = b = c = d

EJEMPLO a - b = c – d

En toda proporción

aritmética se debe

cumplir que la suma de

los términos extremos

es igual a la suma de

los términos medios.

Calcular la cuarta diferencial de los precios de tres artículos

que son S/.50, S/.34 y S/.29.

EJEMPLO

a – b = c – d

50 – 34 = 29 – d

16 – 29 = - d

- 13 = - d

d = 13

ES aquella cuyos términos medios son

iguales; llamándose a cada uno de estos

términos medios Media diferencial o Media

aritmética.

En la proporción aritmética continua, se cumple que

la media diferencia es igual a la semisuma de los

extremos.

EJEMPLO

Hallar la media diferencial de 8 y 2

EJEMPLO

Hallar la tercera diferencial de 2 y 8

Rpta: La tercera diferencial de 2 y 8 es: 14 y -4

EJEMPLO

Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de

sus 4 términos es 200 y la diferencia de sus extremos es 28.

Indicar el mayor de los extremos.

EJEMPLO

Hallar la media proporcional de 12 y 3

EJEMPLO

Hallar la tercera proporcional de 2 y 8

La tercera proporcionalidad de 2 y 8 es 32 y 0,5 respectivamente

EJEMPLO

Hallar la cuarta proporcional de 10, 5 y 18

La cuarta proporcional de 10, 5 y 18 es 9

Dos magnitudes son directamente

proporcionales cuando, al multiplicar o dividir

una de ellas por un número cualquiera, la otra

queda multiplicada o dividida por el mismo

número.

Se establece una relación de proporcionalidad

directa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde más.

A menos corresponde menos.

Magnitudes Directamente Proporcionales

Ejemplo

Magnitudes Inversamente proporcionales

Un vehículo recorre cierta distancia en 8 horas a

120 km/h ¿En cuánto tiempo ese mismo

vehículo recorrerá el trayecto anterior a 80 kh/h?

Del análisis de las magnitudes se desprende que ambos

son inversamente proporcionales.

Es una forma de solución de problemas para

cuando tenemos tres valores conocidos y uno

que desconocemos y queremos saber (llamado

incógnita).

La regla de tres directa la aplicaremos cuando

entre las magnitudes se establecen las

relaciones:

Un automóvil recorre 120 km. Con 32 lts. de

gasolina ¿Cuantos litros necesita para

recorrrer 213 kms. ?

Solución:

Un automóvil recorre 213 Km con 18 galones

de gasolina. ¿Cuántos litros necesita para

recorrer 500 Km?

Solución:

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a

magnitudes inversamente proporcionales, calcular la

cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una

cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las

magnitudes se establecen las relaciones:

Un grifo que emana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas

en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera

de 7 l por minuto?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a

menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto

tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más

obreros tardarán menos horas.

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