View
67
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica y Climatización
Informe de Tarea, Aplicaciones Computacionales II
Profesor: José Merino Acevedo
Integrantes: Alfredo Araya
Iván Castro
Paulina Escobar
Iván Jara
Andrés Manríquez
Introducción
En el presente informe se plantea la solución a los problemas expuestos en la tarea asignada para
el presente semestre. Los ejercicios a desarrollar para este caso contemplan, hablando a grandes
rasgos, la aplicación de los conocimientos adquiridos en los cursos de Mecánica y de Métodos
Numéricos, conocimientos que como estudiantes de ingeniería hemos de dominar.
La base para desarrollar la primera pregunta es el equilibrio de cuerpos y las ecuaciones que
gobiernan dicho equilibrio. Planteando las fuerzas y sus sentidos de forma correcta para este caso
es vital, ya que estas serán las que jugarán el rol más importante al ser parte de las ecuaciones de
equilibrio, las que nos ayudarán a encontrar los módulos y los sentidos de otras fuerzas involucradas
en el problema. Junto a lo anterior también es necesario conocer la base del equilibrio mecánico
que es el supuesto principal para poder desarrollar la primera parte de esta tarea, el cual dicta que
para que un sistema se encuentre en este estado estacionario se debe cumplir que la suma de
fuerzas y momentos para cada elemento debe ser igual a cero. Además, un apoyo visual del sistema
separado por cada componente es siempre bienvenido ya que este permite representar de forma
visual las fuerzas participantes en cada elemento, es por esto que junto al desarrollo mismo se
adjuntan los diagramas de cuerpo libre asociados a cada parte del sistema en estudio.
En cuanto a lo que respecta para el segundo problema, se presenta en este informe un desarrollo
para la ecuación del calor mediante la utilización del método numérico de diferencias finitas, el cual
ayuda a dar una solución aproximada a ecuaciones diferenciales utilizando ecuaciones diferenciales
finitas para así aproximar derivadas. Para este caso en particular se ha resuelto el problema de la
forma implícita discutida en clases, esto para resolver el problema de la distribución de
temperaturas dentro de una placa cuadrada de forma transiente.
Si bien el objetivo de esta tarea es resolver los problemas propuestos, la principal razón por la cual
se lleva a cabo de esta forma y mediante la utilización del software Mathcad es debido a que esta
representa una gran herramienta para nosotros como estudiantes de ingeniería, esto ya que facilita
los cálculos al hacerlos el mismo programa a medida que se ingresen las distintas variables y
ecuaciones que se deseen trabajar. La utilización de la matemática computacional representa
además un ahorro de tiempo significativo, si se quisiese desarrollar la pregunta 2 del presente
trabajo a mano tomaría mucho tiempo y estaría más propenso a errores humanos al trabajar con
tantas variables y ecuaciones para lograr una solución. Es por lo anterior que la herramienta llamada
Mathcad que se trabaja en este curso no solo ha de ser utilizada en esta asignatura, sino que puede
servir para todo cálculo que como ingenieros necesitemos hacer, facilitando así cada tarea gracias
a la posibilidad de ordenar, formalizar, estandarizar, reparar errores y visualizar tanto resultados
como simulaciones gráficas de la tarea que se desee desarrollar o simular, como lo es el caso de
modelar la Ecuación del calor para el ejercicio número 2.
Marco Teórico
Fuerza de roce, Problema de Mecánica
Los materiales poseen asperezas en su superficie, por ende han de facilitar o perjudicar el
desplazamiento entre cuerpos, movimientos relativos de diferentes mecanismos, etc. La evaluación
de si esta naturaleza que poseen las superficies en contacto es perjudicial o no depende de lo que
se quiera obtener al respecto. Entonces, dependiendo de las superficies en contacto, existirán
rangos de coeficientes de roce. Estos son adimensionales y sirven para diferenciar que tanto es la
oposición que existe al desplazamiento entre estos dos materiales respecto de otros.
Existe dos tipos de coeficientes de roce, estos son el estático y el cinemático, donde el estático es
mayor que el cinemático. En general, nosotros tenemos un coeficiente estático que es inversamente
proporcional a la reacción normal que existe al estar dos cuerpos en contacto y en movimiento
inminente. La fuerza de roce que experimenta un cuerpo al intentar desplazarse respecto a otro
cuando sus superficies están en contacto equivale a:
𝑓𝑠 ≤ 𝜇𝑆 ∗ 𝑁
Esta fuerza es reactiva y existirá solo cuando haya tendencia al movimiento de uno respecto del otro
debido a alguna carga externa en los cuerpos, de lo contrario no existe. Esta se comporta
linealmente según el aumento de carga en el equilibrio, por esto la desigualdad anterior. Para los
sistemas mecánicos y distintos ejercicios, se tendrá la situación en donde se llegará a una condición
en que los cuerpos estarán a punto de deslizar entre ellos, esto se llama movimiento inminente y es
aquí donde la fuerza de roce adquiere un valor máximo, por tanto es en dicha situación en donde
existirá una igualdad entre el producto del coeficiente de roce estático y la reacción normal. Si los
cuerpos llegan a deslizar uno respecto del otro, entonces la condición anterior no se cumple más y
es aquí donde se pasa a otra fase en que cae drásticamente el valor de la fuerza de roce llegando a
un valor constante durante el movimiento relativo de los cuerpos, esto mientras aumenta el valor
de la carga externa de tal modo que se quiebre el equilibrio.
También existe la posibilidad de representar el coeficiente de roce, ya sea el estático o cinemático,
con la ayuda de la reacción que existe producto de la generación de la fuerza de roce f y la fuerza
normal N. Donde, en movimiento inminente, tendremos que el coeficiente de roce estático será
igual a la tangente del ángulo de fricción estático, es decir:
tan∅𝑠 = 𝜇𝑠
Ahora bien, al analizar este tipo de problemas, se ha que suponer los dos casos posibles para la
condición de la fuerza de roce, esto porque mientras el sistema en estudio se encuentre en equilibrio
y hasta el punto en que el movimiento sea inminente, la fuerza de roce se rige mediante la
desigualdad antes planteada. Ahora, cuando el sistema pasa del equilibrio al movimiento de los
cuerpos uno respecto de otro, entonces la fuerza de roce se verá basada en el coeficiente de roce
cinético. Esta fuerza de roce cinético se describe como:
𝑓𝑘 = 𝜇𝑘 ∗ 𝑁
Diferencias Finitas
A veces en ingeniería es necesario modelar distintos fenómenos, los cuales comúnmente se
describen mediante ecuaciones diferenciales. Si bien existen ecuaciones que gobiernan algún
suceso, es muy difícil en la práctica que estas ecuaciones entreguen soluciones analíticas y es por
eso que necesitan ser aproximadas mediante métodos numéricos, es aquí donde el método de las
diferencias finitas juega un rol fundamental, esto porque permite aproximar las soluciones a
ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para así aproximar derivadas.
Una ecuación diferencial parcial posee derivadas parciales de una o más funciones desconocidas,
estas pueden tener dos o más variables independientes. El orden de estas ecuaciones es el de la
derivada más alta dentro de esta, y para el caso de nuestro estudio nuestra concentración está en
las ecuaciones lineales de segundo orden para dos variables independientes, estas ecuaciones son
del tipo:
𝐴𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+ 𝐵
𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐶
𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦+ 𝐷 = 0
Donde A,B y C son funciones de x e y, mientras que D es función de x, y, u(x,y), 𝜕𝑢(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥, 𝜕𝑢(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
Los tipos de ecuaciones diferenciales parciales que se pueden obtener de la ecuación anterior se
clasifican como sigue:
B2-4*A*C
< 0 Elíptica 𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+𝜕2𝑇
𝜕𝑦2= 0
Laplace
= 0 Parabólica 𝜕𝑇
𝜕𝑡= 𝑘
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
Conducción de Calor
> 0 Hiperbólica 𝜕2𝑦
𝜕𝑥2=
1
𝐶2
𝜕2𝑇
𝜕𝑡2
Ecuación de Onda
Tanto para las ecuaciones anteriores como para otros problemas en ingeniería, aplicar el método
de las diferencias finitas significa simplificar el trabajo y obtener así una aproximación bastante
certera siempre y cuando se cumplan ciertas condiciones tanto para el uso de este método como
para las ecuaciones mismas.
Las fórmulas de diferencias finitas son deducidas a partir de las series de Taylor, para esto en primer
lugar se tiene el polinomio de Taylor como sigue:
𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡𝑖) + (𝑡 − 𝑡𝑖)𝑦′(𝑡𝑖) +
(𝑡 − 𝑡𝑖)2𝑦′′(𝑡𝑖)
2!+(𝑡 − 𝑡𝑖)
3𝑦′′′(𝑡𝑖)
3!+. ..
Para el caso de la primera derivada de una función, se tienen 3 casos de fórmulas de diferencias
finitas, estas son las diferencias hacia adelante, centradas y hacia atrás, las que se deducen de la
siguiente manera:
Diferencias hacia adelante:
Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:
Diferencias hacia atrás:
Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:
Diferencias centradas:
Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden para (x + h) y (x – h):
Si se resta (1) – (2), se obtiene:
Para el caso de la segunda derivada de una función, desarrollando la función mediante la serie de
Taylor hasta el tercer orden, para (x + h) y (x – h):
Si se suma (1) + (2), se obtiene:
Luego, para las fórmulas de diferencias finitas en dos dimensiones y aplicando el mismo
procedimiento mostrado anteriormente, se tiene:
𝜕2𝑢(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗)
𝜕𝑥2=𝑤𝑖−1,𝑗 − 2𝑤𝑖,𝑗 + 𝑤𝑖+1,𝑗
ℎ2
𝜕2𝑢(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗)
𝜕𝑦2=𝑤𝑖,𝑗−1 − 2𝑤𝑖,𝑗 + 𝑤𝑖,𝑗+1
𝑘2
Teniendo las ecuaciones que aproximan las derivadas de funciones mediante diferencias finitas, y
reemplazando dichas fórmulas en las derivadas de las ecuaciones diferenciales, es posible despejar
una ecuación que aproximará el valor para los distintos nodos en que se discretice el problema que
se desee estudiar. Para aplicar la nueva ecuación obtenida, es necesario contar con valores o
condiciones en la frontera del dominio que se desee trabajar, esto debido a que el método de
diferencias finitas indica que para obtener el valor de algún punto, es necesario conocer los puntos
adyacentes a este.
Las condiciones de frontera trabajadas en este curso corresponden a las de Dirichlet y la de
Newmann, de las cuales, Dirichlet indica que en el punto donde esta esté aplicada será igual a una
constante, mientras que Newmann indica que en el nodo donde esta se aplique será necesario
generar otra ecuación que gracias a las diferencias finitas deberá tomar en consideración los nodos
adyacentes para poder dar solución al punto que se desee evaluar. Dicho de otra forma, para el caso
de la ecuación de calor, la condición de Dirichlet se considera como una temperatura constante en
el dominio que se indique, mientras que Newmann indica el flujo que existe en dicho nodo, este
flujo puede ser cero (aislado) o distinto de cero (existe un flujo de calor).
Desarrollo
Para el ejercicio 1 se solicitaba el apreciar gráficamente la variación de la fuerza P en función del
ángulo, esto de tal manera para que el sistema se mantuviese en equilibrio. Es por esto que para las
dos situaciones planteadas se han desarrollado programas por separado ya que las ecuaciones en
juego varían, por tanto también ha de variar el valor de la fuerza P. Para el caso a) el programa
generado es el siguiente:
Por tanto, para el caso a) podemos decir que cuando el plano inclinado supera los 39.352° respecto
a la horizontal es cuando la fuerza P pasa a ser negativa, es decir, esta cambia de sentido para que
las ecuaciones planteadas al comienzo sigan describiendo el equilibrio del sistema. Por consiguiente,
de lo anterior se concluye que, debido a que P(θ) debe ser positiva, cuando el ángulo de inclinación
del sistema supera los 39.352° ocurre el deslizamiento del bloque de 50 Kg.
Para la parte b) del ejercicio 1, la programación asociada es la siguiente:
Por tanto, podemos decir que cuando el plano inclinado supera los 34.992° respecto a la horizontal
es cuando la fuerza P pasa a ser negativa, es decir, esta cambia de sentido para que las ecuaciones
planteadas al comienzo sigan describiendo el equilibrio del sistema. Por consiguiente, de lo anterior
se concluye que, debido a que P(θ) debe manterse positiva, cuando el ángulo de inclinación del
sistema supera los 34.992° ocurre el deslizamiento de los bloques de 40 y 50 Kg.
Para el problema número dos se ha generado un programa que permite tanto imponer
temperaturas en los bordes (condición de Dirichlet) como también aplicar las condiciones de
aislamiento en los bordes laterales (condición de Newmann). Para aplicar las condiciones de
aislamiento en los bordes laterales solo basta con igualar a 1 las variables aisladoder y aisladoizq,
por tanto, es evidente que cuando estas valen cero, esta condición de Newmann no se aplica. El
programa está diseñado para una placa de 5x5 nodos y de forma transiente, esto de tal manera que
la matriz T almacena la nueva matriz calculada por cada paso del tiempo reemplazando la anterior.
Se optó por no almacenar las matrices resultantes en cada paso del tiempo, esto debido a que al
modelar este fenómeno de la transferencia de calor entre los distintos nodos de una placa mediante
diferencias finitas es muy lento, por tanto, para poder apreciar diferencias notables a lo largo del
tiempo es necesario avanzar mucho en el tiempo, y para visualizar la matriz T resultante no es
necesario almacenar las anteriores, solo interesa ver el resultado final. El programa es el siguiente:
Ahora, para distintos casos hay claramente distintos resultados. Por ejemplo para el caso en que
sólo se encuentran las temperaturas impuestas sin condiciones de aislamiento, con TS=200, TA=120,
TI=30 y TD=55 se tiene:
Para la misma placa, con las mismas temperaturas, pero aislada en el costado derecho se tiene:
Para la misma placa, con las mismas temperaturas indicadas anteriormente, pero aislada en el
costado izquierdo se tiene:
Recommended