Parcial Cálculo

Politecnico GranColombiano

Especializacion En Matematica Aplicada

Correccion Parcial 1

15 de marzo 2013

Estudiante: Didier Villanueva

Problema 1: Encontrar el volumen V del solido dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindro x2 + y2 = 1

Ecuacion de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 en coordenadas cilındricas:

r2(cos(θ)2 + sin(θ)2) = 4− z2 r2 = 4− z2

r2 = 4− z2

r = ±√4− z2

Ecuacion del cilindro x2 + y2 = 1 en coordenadas cilındricas:

r2(cos(θ)2 + sin(θ)2) = 1r2 = 1r = ±1

Restricciones: −√4− z2 ≤ z ≤

√4− z2 para le esfera y 0 ≤ r ≤ 1 para el cilindro

∫∫∫

D

dV =

∫∫∫

D

dz(rdrdθ) =

∫ 2π

0

∫ 2

1

∫

√4−z2

−√4−z2

rdzdrdθ =

∫ 2π

0

∫ 2

1

[

2√

4− r2]

drdθ

=

∫ 2π

0

[

−√3 +

4

3π

]

dθ = −2π√3 +

8

3π2

Problema 2: Encontrar los puntos sobre el circulo x2 + y2 = 4 mas cercanos y lejanos al punto (5, 12)

Sea la ecuacion de la circunferencia g : x2 + y2 = 4 , P (5, 12) un punto en el plano y f la distancia de P a un punto de lacircunferencia.

f2 = (x− 5)2 + (y − 12)2 = x2 − 10x+ 169 + y2 − 24y Funcion objetivog : x2 + y2 = 4 Restriccion

∇f = λ∇g

∇f = 〈2x− 10, 2y − 24〉∇g = λ 〈2x, 2y〉

〈2x− 10, 2y − 24〉 = λ 〈2x, 2y〉〈2x− 10, 2y − 24〉 = 〈λ2x, λ2y〉

2x− 10 = λ2xx− 5 = λx

x = 51−λ

2y − 24 = λ2yy − 12 = λy

y = 121−λ

2

4

6

8

10

12

−2

2 4−2

c

bP

b Q

d

b

Q1

Reemplazando en Ecuacion de la circunferencia

(

51−λ

)2

+(

121−λ

)2

= 425

(1−λ)2+ 144

(1−λ)2= 4

169(1−λ)2

= 4

1− λ = ± 132

λ = 1 + 132 o λ = 1− 13

2λ = 15

2 o λ = − 112

Asi

x = 51−(− 11

2)= 5

1+ 11

2

= 513

2

= 1013

y = 121−(− 11

2)= 12

1+ 11

2

= 1213

2

= 2413

x = 51−( 15

2)= 5

− 5

2

= − 1013

y = 121−( 15

2)= 12

− 13

2

= − 2413

Entonces el punto Q( 1013 ,2413 ) de la circunferencia x2 + y2 = 4 es el punto mas cercano al punto P (5, 12) y el mas lejano a este

es Q1(− 1013 ,− 24

13 )

Problema 3: Determine el campo F(x, y) = (y4 − 3x2y2)i+(4xy3 − 2x3y+1)j es conservativo. En caso afirmativo encontrarsu potencial f tal que ∇f = F.

a) Sea P (x, y) = (y4 − 3x2y2)i y Q(x, y) = (4xy3 − 2x3y + 1)j si es conservativo se debe cumplir∂P

∂y=

∂Q

∂x

∂P

∂y= 4y3 − 6x2y y

∂Q

∂x= 4y3 − 6x2y por tanto es un campo conservativo.

b)∂F

∂x= y4 − 3x2y2

∂F

∂y= 4xy3 − 2x3y + 1

∫

(y4 − 3x2y2)dx = y4x− x3y2 + g(y)

∂(y4x− x3y2 + g(y))

∂y= 4y3x− 2x2y + g′(y) entonces g′(y) = 1

Integrando

∫

(1)dy = y +K Asi la funcion potencial sera: f(x, y) = y4x− x3y2 + y +K

Problema 4: Usar el teorema de Green para calcular la integral

∮

C

3x2y dx−x2y2 dy donde C es la frontera positivamente

orientada del triangulo con vertices en (0, 0),(4, 0) y (4, 1).

P (x, y) = 3x2y Q(x, y) = −x2y2

∂Q

∂x= −2xy2

∂P

∂y= 3x2

∮

C

3x2y dx− x2y2 dy = =

∫∫

D

= (∂Q

∂x− ∂P

∂y)dA =

∫ 4

0

∫ x

4

0

(−2xy2 − 3x2)dydx

=

∫ 4

0

(−2xy3

3− 3x2)dx =

∫ 4

0

(−2xy3

3− 3x2y)

∣

∣

∣

∣

x

4

0

dx =

∫ 4

0

(−x4

96− 3x3

4)dx = −752

15