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Politecnico GranColombiano
Especializacion En Matematica Aplicada
Correccion Parcial 1
15 de marzo 2013
Estudiante: Didier Villanueva
Problema 1: Encontrar el volumen V del solido dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindro x2 + y2 = 1
Ecuacion de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 en coordenadas cilındricas:
r2(cos(θ)2 + sin(θ)2) = 4− z2 r2 = 4− z2
r2 = 4− z2
r = ±√4− z2
Ecuacion del cilindro x2 + y2 = 1 en coordenadas cilındricas:
r2(cos(θ)2 + sin(θ)2) = 1r2 = 1r = ±1
Restricciones: −√4− z2 ≤ z ≤
√4− z2 para le esfera y 0 ≤ r ≤ 1 para el cilindro
∫∫∫
D
dV =
∫∫∫
D
dz(rdrdθ) =
∫ 2π
0
∫ 2
1
∫
√4−z2
−√4−z2
rdzdrdθ =
∫ 2π
0
∫ 2
1
[
2√
4− r2]
drdθ
=
∫ 2π
0
[
−√3 +
4
3π
]
dθ = −2π√3 +
8
3π2
Problema 2: Encontrar los puntos sobre el circulo x2 + y2 = 4 mas cercanos y lejanos al punto (5, 12)
Sea la ecuacion de la circunferencia g : x2 + y2 = 4 , P (5, 12) un punto en el plano y f la distancia de P a un punto de lacircunferencia.
f2 = (x− 5)2 + (y − 12)2 = x2 − 10x+ 169 + y2 − 24y Funcion objetivog : x2 + y2 = 4 Restriccion
∇f = λ∇g
∇f = 〈2x− 10, 2y − 24〉∇g = λ 〈2x, 2y〉
〈2x− 10, 2y − 24〉 = λ 〈2x, 2y〉〈2x− 10, 2y − 24〉 = 〈λ2x, λ2y〉
2x− 10 = λ2xx− 5 = λx
x = 51−λ
2y − 24 = λ2yy − 12 = λy
y = 121−λ
2
4
6
8
10
12
−2
2 4−2
c
bP
b Q
d
b
Q1
Reemplazando en Ecuacion de la circunferencia
(
51−λ
)2
+(
121−λ
)2
= 425
(1−λ)2+ 144
(1−λ)2= 4
169(1−λ)2
= 4
1− λ = ± 132
λ = 1 + 132 o λ = 1− 13
2λ = 15
2 o λ = − 112
Asi
x = 51−(− 11
2)= 5
1+ 11
2
= 513
2
= 1013
y = 121−(− 11
2)= 12
1+ 11
2
= 1213
2
= 2413
x = 51−( 15
2)= 5
− 5
2
= − 1013
y = 121−( 15
2)= 12
− 13
2
= − 2413
Entonces el punto Q( 1013 ,2413 ) de la circunferencia x2 + y2 = 4 es el punto mas cercano al punto P (5, 12) y el mas lejano a este
es Q1(− 1013 ,− 24
13 )
Problema 3: Determine el campo F(x, y) = (y4 − 3x2y2)i+(4xy3 − 2x3y+1)j es conservativo. En caso afirmativo encontrarsu potencial f tal que ∇f = F.
a) Sea P (x, y) = (y4 − 3x2y2)i y Q(x, y) = (4xy3 − 2x3y + 1)j si es conservativo se debe cumplir∂P
∂y=
∂Q
∂x
∂P
∂y= 4y3 − 6x2y y
∂Q
∂x= 4y3 − 6x2y por tanto es un campo conservativo.
b)∂F
∂x= y4 − 3x2y2
∂F
∂y= 4xy3 − 2x3y + 1
∫
(y4 − 3x2y2)dx = y4x− x3y2 + g(y)
∂(y4x− x3y2 + g(y))
∂y= 4y3x− 2x2y + g′(y) entonces g′(y) = 1
Integrando
∫
(1)dy = y +K Asi la funcion potencial sera: f(x, y) = y4x− x3y2 + y +K
Problema 4: Usar el teorema de Green para calcular la integral
∮
C
3x2y dx−x2y2 dy donde C es la frontera positivamente
orientada del triangulo con vertices en (0, 0),(4, 0) y (4, 1).
P (x, y) = 3x2y Q(x, y) = −x2y2
∂Q
∂x= −2xy2
∂P
∂y= 3x2
∮
C
3x2y dx− x2y2 dy = =
∫∫
D
= (∂Q
∂x− ∂P
∂y)dA =
∫ 4
0
∫ x
4
0
(−2xy2 − 3x2)dydx
=
∫ 4
0
(−2xy3
3− 3x2)dx =
∫ 4
0
(−2xy3
3− 3x2y)
∣
∣
∣
∣
x
4
0
dx =
∫ 4
0
(−x4
96− 3x3
4)dx = −752
15