@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B1 Función de proporcionalidad inversa Tema 11.4 * 4º ESO Opc B

@ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 1

Función de proporcionalidad

inversa

Tema 11.4 * 4º ESO Opc B


DEFINICIÓN

• La Función de Proporcionalidad Inversa

• Viene dada por f(x) = k / x• A veces también viene en forma implícita como x.y = k

• Se llama así porque a doble, triple, etc valor de x le corresponde la mitad, tercera parte, etc al valor de y. Es decir: La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable.

• También son funciones de proporcionalidad inversa todas aquella funciones raciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x) que tras efectuar la división de polinomios indicada quede de la forma:

• P(x) k• f(x) = ------ = b + --------- , siendo el punto C(a, b) el centro de la hipérbola. • Q(x) x – a


Ejemplo_1 f (x) = 4 / x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

y

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

• Tabla de valores

• x y

• - 4 -1• - 3 - 4/3• - 2 - 2• -1 - 4• 0 NO EXISTE• 1 4• 2 2• 3 4/3• 4 1


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

y

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

• Tabla de valores

• x y

• - 4 1• - 3 4/3• - 2 2• -1 4• 0 NO EXISTE• 1 - 4• 2 - 2• 3 - 4/3• 4 - 1

Ejemplo_2 f (x) = - 4 / x


CARACTERÍSTICAS• DOMINIO • Será Dom f(x) =R – {0} , pues si x=0 la función no existe.• RECORRIDO • Será Img f(x) =R – {0} , pues y = f(x) nunca puede ser 0.• CRECIMIENTO • Si k > 0 La función es DECRECIENTE en todo su dominio.• Si k < 0 La función es CRECIENTE en todo su dominio.• CONTINUIDAD • Es continua en todo su dominio.• En x = 0 no existe, por lo que no podemos hablar de que sea continua o no.• SIMETRÍA • Tanto si k > 0 como si k < 0, vemos que es simétrica respecto del origen

O(0,0), pues se cumple:• f (x) = - f (- x)• ASÍNTOTAS • Tanto si k > 0 como si k < 0, vemos que los ejes de abscisas y de

ordenadas son siempre dos rectas asíntotas.


• ASÍNTOTA VERTICAL• En x=0 la función no existe. • Sin embargo cuando y toma

valores muy grandes, x tiende a cero, x 0, la gráfica tiende a pegarse con el eje de ordenadas.

• Decimos entonces que x=0 es una asíntota vertical.

• Tabla de valores• x y• 0 NO EXISTE• 100 0,04• 1000 0,004• 10000 0,0004• 100000 0,00004 oo 0• ASÍNTOTA HORIZONTAL• Para valores muy grandes de x el

valor de f (x) tiende a cero.

ASÍNTOTAS

x=0

y=0


TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS

• TRASLACIÓN HORIZONTAL

• Sea una función de la forma y = k / x

• Si deseamos trasladar su gráfica horizontalmente “a” unidades, la función se convertirá en:

• k• y = ----------• x – a

• Si a > 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la DERECHA.• La asíntota vertical será x = a y el centro el punto (a , 0)

• Si a < 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la IZQUIERDA.• La asíntota vertical será x = - a y el centro el punto (- a, 0)• Nota importante: No confundir el que “a” sea un número negativo con el

signo “ – “ de (x – a).


Ejemplo_1

• Sea f(x) = 4 /( x + 2)

• Partimos de la función:

• f(x) = 4 / x

• Al convertirse x en x+4 se ha producido un desplazamiento horizontal de y=4/x de 2 unidades a la izquierda.

• Vemos que la asíntota vertical es ahora x=-2

• Pues a=2• El centro es (- 2, 0)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

(-2, 0)



• TRASLACIÓN VERTICAL


• Si deseamos trasladar su gráfica verticalmente “b” unidades, la función se convertirá en:

• k k + b.x• y = ----- + b = -----------• x x

• Si b > 0 La hipérbola se desplaza b unidades ARRIBA.• La asíntota horizontal será y = b y el centro el punto (0, b)

• Si b < 0 La hipérbola se desplaza b unidades ABAJO.• La asíntota horizontal será y = b y el centro el punto (0, b)


Ejemplo_2

• 4 – 2.x• Sea f(x) = ----------• x• O sea:• 4• f(x) = – 2 + ----- x• Partimos de la función:• f(x) = 4 / x

• A todos los valores de x se les resta 2 unidades (b=-2)

• Hay un desplazamiento vertical de la gráfica original hacia abajo.

• Vemos que la asíntota horizontal es ahora y=-2

• El centro es (- 2, 0)

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

(0, -2)



• TRASLACIÓN OBLICUA


• Si deseamos trasladar su gráfica de forma oblicua, o sea horizontalmente a unidades y verticalmente b unidades, la función se convertirá en:

• k k + b.x – b.a m.x + n• y = --------- + b = ------------------ y = --------------• x – a x – a m´.x + n´

• Que es la expresión general de estas hipérbolas.

• La asíntota horizontal será y = b• La asíntota vertical será x = a• El centro el punto (a, b)


Ejemplo_3

• Partimos de la función:• f(x) = 4 / x

• Si h = 2 y k = - 3

• 4 • f(x) = -------- – 3 = • x + 2 • 4 – 3.x - 6 - 3.x - 2• = ---------------- = ----------- x + 2 x + 2

• Vemos que la asíntota horizontal es ahora y = -3 y la vertical es x = - 2

• • El centro es (- 2, - 3)

-3 -2 -1 0 1

y

x

(-2, -3)


REGLA GENERAL

REGLA GENERAL PARA REPRESENTAR FUNCIONES DEL TIPO:

• m.x + n• y = ------------ • p.x + q • (m/p).x + n/p • Si p<>1 se divide todo entre p: y = -------------------• x + q/p

• Se efectúa la división de polinomios, quedando:• k• y = ---------- + b • x – a

• Se representa gráficamente y = k / x• Y finalmente se traslada la gráfica cuyo centro será el punto P (a , b)


Ejemplo

• Representar la función:• 8.x - 4 • f(x) = ---------- • 2.x + 4

• Se divide todo entre 2 • 4.x – 2• f(x)= -----------• x + 2

• Se efectúa la división, quedando:

• - 10• f(x) = 4 + ---------• x + 2

• Se representa y = - 10 / x• El centro es (- 2, 4)

-3 -2 -1 0 1

y

x

(-2, 4)


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

y• Representar la función:• x • f(x) = ---------- • x + 2

• Se efectúa la división, quedando:

• - 2• f(x) = 1 + ---------• x + 2

• Se representa y = - 2 / x• • El centro debe pasar del

(0,0) al punto (- 2, 4), pues ha habido una traslación oblicua con a=2 y b=1

Otro ejemplo

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