00 PRELIMI 00.indd II 11/28/08 2:44:07 AM · 2017. 10. 22. · Las matemáticas fi nancieras tienen aplicación en la vida cotidiana de las personas y las em-presas, por ello resulta

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Matemaacuteticas fi nancieras

00 PRELIMI 00indd I00 PRELIMI 00indd I 112808 24407 AM112808 24407 AM

Alfredo Diacuteaz MataFacultad de Contaduriacutea y Administracioacuten

Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico

Viacutector Manuel Aguilera GoacutemezUniversidad Iberoamericana

Revisor teacutecnicoMario Luis Cruz Vargas

FACPYA Facultad de Contaduriacutea Puacuteblica y AdministracioacutenUniversidad Autoacutenoma de Nuevo Leoacuten

Matemaacuteticas fi nancierasCuarta edicioacuten

MEacuteXICO bull BOGOTAacute bull BUENOS AIRES bull CARACAS bull GUATEMALA LISBOA bull MADRID bull NUEVA YORK bull SAN JUAN bull SANTIAGO

AUCKLAND bull LONDRES bull MILAacuteN bull SAtildeO PAULO bull MONTREAL bull NUEVA DELHISAN FRANCISCO bull SINGAPUR bull SAN LUIS bull SIDNEY bull TORONTO

00 PRELIMI 00indd III00 PRELIMI 00indd III 112808 24408 AM112808 24408 AM

Director Higher Education Miguel Aacutengel Toledo CastellanosDirector editorial Ricardo A del Bosque AlayoacutenEditor sponsor Jesuacutes Mares ChacoacutenEditora de desarrollo Marcela Rocha MartiacutenezSupervisor de produccioacuten Zeferino Garciacutea Garciacutea

Disentildeo de portada Javier CorteacutesPublix

MATEMAacuteTICAS FINANCIERASCuarta edicioacuten

Prohibida la reproduccioacuten total o parcial de esta obrapor cualquier medio sin la autorizacioacuten escrita del editor

DERECHOS RESERVADOS copy 2008 respecto a la cuarta edicioacuten porMcGRAW-HILLINTERAMERICANA EDITORES SA de CVA Subsidiary of Th e McGraw-Hill Companies Inc Prolongacioacuten Paseo de la Reforma 1015 Torre A Pisos 16 y 17 Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacioacuten Aacutelvaro Obregoacuten CP 01376 Meacutexico D F Miembro de la Caacutemara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg Nuacutem 736

ISBN-13 978-970-10-5920-3ISBN-10 970-10-5920-4(ISBN 970-10-2525-3 de la tercera edicioacuten)(ISBN 968-42-786-8 de la segunda edicioacuten)Copyright copy MMVIII by Alfredo Diacuteaz Mata y Viacutector Manuel Aguilera GoacutemezAll rights reserved

0123456789 09765432108

Impreso en Meacutexico Printed in Mexico

Reimpresioacuten revisada

00 PRELIMI 00indd IV00 PRELIMI 00indd IV 12408 81543 AM12408 81543 AM

Prefacio ix

Capiacutetulo 1 Fundamentos 1

11 Exponentes 2 12 Leyes de los exponentes 2 13 Exponente cero negativo y fraccionario 5 14 Logaritmos 9 15 Caacutelculos con logaritmos 14 16 Redondeo 20 17 Progresiones aritmeacuteticas 20 18 Progresiones geomeacutetricas 24 19 Progresiones geomeacutetricas infi nitas 31 110 Uso de Excel 35 111 Resumen 37

Capiacutetulo 2 Intereacutes simple 47

21 Introduccioacuten y conceptos baacutesicos 48 22 Monto 50 23 Valor actual o presente 50 24 Intereacutes 51 25 Tasa y tipo de intereacutes 54 26 Plazo o tiempo 55 27 Tiempo real y tiempo aproximado 56 28 Descuento 59 29 Graacutefi cas de intereacutes simple 63 210 Ecuaciones de valores equivalentes 66 211 Aplicaciones Ventas a plazo Tarjetas de creacutedito Preacutestamos prendarios (empentildeo) Pagos anticipados de facturas 70 212 Uso de Excel 77 213 Resumen 82

Capiacutetulo 3 Intereacutes compuesto 89

31 Introduccioacuten 90 32 Conceptos baacutesicos 90

CONTENIDO

00 PRELIMI 00indd V00 PRELIMI 00indd V 112808 24408 AM112808 24408 AM

ContenidoVI

33 Monto compuesto 94 34 Tasa nominal tasa efectiva y tasas equivalentes 100 35 Valor actual o presente 104 36 Tiempo 114 37 Tasa de intereacutes 117 38 Ecuaciones de valores equivalentes 120 39 Tiempo equivalente 125 310 Aplicaciones 129 311 Uso de Excel 134 312 Resumen 146

Capiacutetulo 4 Anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas 155

41 Introduccioacuten y terminologiacutea 156 42 Tipos de anualidades 156 43 Monto 158 44 Valor actual 161 45 Renta 165 46 Plazo 167 47 Tasa de intereacutes 171 48 Aplicaciones 179 49 Uso de Excel 185 410 Resumen 193

Capiacutetulo 5 Anualidades anticipadas 199

51 Introduccioacuten 200 52 Monto y valor actual 201 53 Renta plazo e intereacutes 205 54 Aplicaciones 212 55 Uso de Excel 215 56 Resumen 222

Capiacutetulo 6 Anualidades diferidas 225

61 Introduccioacuten 226 62 Monto y valor actual 226 63 Renta plazo e intereacutes 230 64 Uso de Excel 238 65 Resumen 241

Capiacutetulo 7 El caso general de anualidades 245

71 Introduccioacuten 246 72 Monto y valor actual 247

00 PRELIMI 00indd VI00 PRELIMI 00indd VI 112808 24409 AM112808 24409 AM

Contenido VII

73 Renta 253 74 Tasa de intereacutes y plazo 255 75 Anualidades generales anticipadas 262 76 Anualidades generales diferidas 264 77 Aplicaciones 267 78 Uso de Excel 279 79 Resumen 298

Capiacutetulo 8 Amortizacioacuten y fondos de amortizacioacuten 303

81 Introduccioacuten 304 82 Tablas de amortizacioacuten 305 83 Importe de los pagos en una amortizacioacuten 306 84 Derechos adquiridos por el deudor y saldo a favor del acreedor 308 85 Nuacutemero de pagos en una amortizacioacuten 310 86 Tasa de intereacutes en una amortizacioacuten 312 87 Otros casos de amortizacioacuten 314 88 Depoacutesitos a un fondo de amortizacioacuten 319 89 Total acumulado en un fondo de amortizacioacuten y saldo insoluto 321 810 Nuacutemero de depoacutesitos en un fondo de amortizacioacuten 322 811 Tasa de intereacutes en un fondo de amortizacioacuten 324 812 Comparacioacuten entre amortizacioacuten y fondo de amortizacioacuten 326 813 Aplicaciones 329 814 Uso de Excel 334 815 Resumen 347

Capiacutetulo 9 Inversioacuten en bolsa de valores 353

91 Introduccioacuten 354 92 Rendimientos de valores bursaacutetiles 354 93 Los valores bursaacutetiles 354 94 Rendimiento de valores que ofrecen ganancias de capital 359 95 Rendimiento de valores que pagan intereses (y que tambieacuten

permiten ganancias de capital) 377 96 Resumen 391

Capiacutetulo 10 Depreciacioacuten 403

101 Introduccioacuten 404 102 Conceptos 404 103 Meacutetodo de liacutenea recta 405 104 Meacutetodo de porcentaje fi jo 408 105 Meacutetodo de suma de diacutegitos 413 106 Meacutetodo por unidad de produccioacuten o servicio 418 107 Meacutetodo del fondo de amortizacioacuten 422 108 Depreciacioacuten en eacutepocas infl acionarias 428

00 PRELIMI 00indd VII00 PRELIMI 00indd VII 112808 24409 AM112808 24409 AM

ContenidoVIII

109 Aplicaciones 431 1010 Uso de Excel 435 1011 Resumen 441

Capiacutetulo 11 Probabilidades y tablas de mortalidad 445

111 Introduccioacuten 446 112 Concepto de probabilidad 446 113 Probabilidad matemaacutetica 446 114 Probabilidad estadiacutestica 450 115 Esperanza matemaacutetica 453 116 Valor actual de un pago contingente 456 117 Tablas de mortalidad 460 118 Aplicaciones 465 119 Uso de Excel 470 1110 Resumen 473

Capiacutetulo 12 Anualidades contingentes 481

121 Introduccioacuten 482 122 Valor actual de un dotal puro 482 123 Anualidades vitalicias vencidas 485 124 Anualidades vitalicias anticipadas 488 125 Anualidades vitalicias diferidas 490 126 Anualidades contingentes temporales 493 127 Aplicaciones 496 128 Resumen 499

Respuestas a los ejercicios de seccioacuten impares 505

Apeacutendice Manejo de tablas 519

1 Mantisas 520 Tabla I Mantisas logaritmos con base 10 529 Tabla II Tabla de mortalidad de hombres Meacutexico 2000 547 Tabla III Tabla de mortalidad de mujeres Meacutexico 2000 550

Iacutendice analiacutetico 553

00 PRELIMI 00indd VIII00 PRELIMI 00indd VIII 112808 24410 AM112808 24410 AM

Las matemaacuteticas fi nancieras tienen aplicacioacuten en la vida cotidiana de las personas y las em-presas por ello resulta imprescindible su cabal comprensioacuten pues los errores que con ellas se cometen tienen repercusioacuten directa en el bolsillo La lectura de esta obra y la solucioacuten de los problemas que en ella se presentan permitiraacuten al lector adquirir los conocimientos nece-sarios para comprender las implicaciones que tienen las variaciones del valor del dinero en el tiempo

Al igual que en las ediciones anteriores la cuarta edicioacuten de Matemaacuteticas fi nancieras tiene como propoacutesito primordial presentar las herramientas matemaacuteticas necesarias para evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y circunstancias de la manera maacutes sencilla posible es decir abordando los temas con la menor complejidad matemaacutetica que el tema permite

Con ejemplos didaacutecticos se lleva al lector paso a paso a la solucioacuten de problemas praacutecticos mdashla cual puede ser en forma manual o con el auxilio de una calculadora electroacutenicamdash que se presentan tanto en la vida personal como en la vida de los negocios Una vez que se logra la comprensioacuten de eacutestos la realizacioacuten de los caacutelculos asociados podraacute efectuarse con rapidez utilizando las funciones y capacidades que ofrecen las hojas de caacutelculo electroacutenicas Sin embargo es necesario recalcar la necesidad de entender el planteamiento de los problemas y de la loacutegica para su solucioacuten pues con la misma velocidad con que se puede obtener la solucioacuten correcta a caacutelculos complejos se pueden cometer errores garrafales provocados por un mal planteamiento o una pobre comprensioacuten de la loacutegica de los problemas fi nancieros

En lo esencial se han conservando los temas de las ediciones anteriores haciendo uacutenicamente las precisiones sugeridas por profesores y estudiantes que lo han utilizado

La estructura baacutesica se mantuvo como sigue

bull Introduccioacuten y conceptos baacutesicos (capiacutetulo 1)bull Intereacutes simple e intereacutes compuesto (capiacutetulos 2 y 3)bull Anualidades (capiacutetulos 4 a 7 y 12)bull Amortizacioacuten y tablas de amortizacioacuten (capiacutetulo 8)bull Depreciacioacuten (capiacutetulo 10)bull Inversioacuten en bolsa de valores (capiacutetulo 9)bull Probabilidad y tablas de mortalidad (capiacutetulo 11) que es la base del capiacutetulo 12 que

trata las anualidades contingentes Aquiacute se revisa la tabla de mortalidad de la poblacioacuten mexicana y se incluye una tabla de mortalidad dividida ahora por sexos en hombres y mujeres basada en una publicacioacuten de la Asociacioacuten Mexicana de Instituciones de Seguros AC y de la Asociacioacuten Mexicana de Actuarios AC actualizada al antildeo 2000

PREFACIO

00 PRELIMI 00indd IX00 PRELIMI 00indd IX 112808 24410 AM112808 24410 AM

Para esta edicioacuten se revisaron todos los problemas y los ejercicios para incorporar diversas sugerencias de mejora que hemos recibido de profesores y de estudiantes y se modifi caron numerosas cantidades y tasas de intereacutes para adecuarlas a las circunstancias que prevalecen en los mercados fi nancieros

Por otra parte se han hecho adiciones importantes al material que conforma esta nueva edicioacuten

En primer lugar se incluyeron secciones de aplicaciones en varios capiacutetulos que no las teniacutean No se incluyeron en todos porque en alguno no era pertinente (el de introduccioacuten es uno de ellos) y en otros hubiera resultado redundante (como en el de anualidades diferidas) o como el capiacutetulo 9 sobre inversiones bursaacutetiles que es praacutecticamente en su totalidad aplicaciones

En segundo teacutermino se incluyeron secciones de ldquoUso de Excelregrdquo en todos los capiacutetulos por cuando menos dos razones importantes el uso de computadoras es ya una labor cotidiana tanto en el aacutembito laboral como en la escuela y en el hogar y el paquete Excelreg de Microsoft es una herramienta muy uacutetil y ampliamente difundida Y por otra parte tal como puede apreciarse en estas secciones el uso de Excelreg permite importantes ahorros de tiempo y esfuerzo Los ejemplos abundan pero uno notable es en el caacutelculo de tasas en aplicaciones de anualidades Se utilizoacute la versioacuten 2003 de Excelreg

Las secciones con Excelreg estaacuten referidas casi en su totalidad a los ejemplos que ya se resolvieron en el texto donde se presentan los conceptos y los procedimientos de caacutelculo por lo que es faacutecil comparar la resolucioacuten de abundantes ejemplos en forma manual (es decir con calculadora electroacutenica) y utilizando este popular paquete de computacioacuten

En tercer lugar se incluyeron al fi nal de cada capiacutetulo secciones de ldquoMatemaacuteticas en internetrdquo en donde se proporcionan direcciones de sitios de internet en los que se puede encontrar material adicional sobre los temas abordados

Por uacuteltimo se incluyoacute una introduccioacuten a las anualidades crecientes tema que cobra especial intereacutes en el marco de la reforma de los sistemas de pensiones en virtud de la necesidad de crear fondos de jubilacioacuten que puedan ayudar a tener un retiro digno

Agradecimientos

Para la realizacioacuten de este libro hemos contado con la colaboracioacuten de un gran nuacutemero de personas a quienes les expresamos nuestro agradecimiento Queremos reconocer de forma especial al ingeniero Jesuacutes Valdez Cook catedraacutetico del ITESM Campus Saltillo del Instituto Tecnoloacutegico de Saltillo y de la Universidad Autoacutenoma de Coahuila por sus valiosas observaciones y sugerencias a los catedraacuteticos del ITESM Campus Saltillo Victoria Valdeacutes Daacutevila directora de la carrera de Licenciado en Administracioacuten de Empresas al contador puacuteblico Daniel Lozano Casas director de la carrera de Contador Puacuteblico asiacute como a la contadora Silvia Daacutevila Valdeacutes directora de la Divisioacuten de Administracioacuten y Ciencias Sociales al ingeniero Mario Luis Cruz Vargas catedraacutetico de la Universidad Autoacutenoma de Nuevo Leoacuten quien realizoacute una revisioacuten muy minuciosa del material previo a la tercera edicioacuten y al profesor Rauacutel Saacutemano Galindo del Departamento de Ciencias Baacutesicas del Instituto Tecnoloacutegico de Zacatepec Morelos por las correcciones que amablemente nos hizo llegar a los estudiantes del ITESM Campus Saltillo Cristina Goacutemez Morales Felipe Morales Cedillo Isabel Atahisiacute Rodriacuteguez de la Cerda Justo Meacutendez Alemaacuten Mariacutea Esperanza Morales Padilla Martha

Prefacio

00 PRELIMI 00indd X00 PRELIMI 00indd X 112808 24410 AM112808 24410 AM

Patricia Recio Valdeacutes y Susana Aguirre Garciacutea quienes colaboraron en la investigacioacuten de viacutenculos de internet

Se desea tambieacuten extender un amplio reconocimiento a los numerosos profesores y estudiantes de la Facultad de Contaduriacutea y Administracioacuten de la Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico a quienes debemos valiosos comentarios y sugerencias que han ayudado a mejorar las diferentes versiones de este texto en especial al licenciado en Contaduriacutea Francisco Alfonso Morquecho Ortiz

Vaya tambieacuten nuestro agradecimiento a las sentildeoritas Ana Luisa Mendoza Luna y Blanca Yessenia Castillo Juaacuterez quienes colaboraron con la mecanografiacutea e integracioacuten del material

Finalmente pero no menos importante agradecemos tambieacuten a todo el personal de McGraw-HillInteramericana de Meacutexico y en especial a Ricardo del Bosque Alayoacuten a Marcela Rocha Martiacutenez y a Jesuacutes Mares Chacoacuten por hacer posible este libro

Agradecimientos especiales

Matemaacuteticas fi nancieras se ha benefi ciado con la preferencia de los profesores que a lo largo de sus cuatro ediciones la han utilizado y recomendado a sus alumnos Va para ellos nuestro maacutes sincero agradecimiento

Aguilera Antonia Instituto de Estudio Superiores de Chiapas Tuxtla Gutieacuterrez Chiapas

Aguilera Muntildeoz Oswaldo Universidad del Caribe Cancuacuten Quintana Roo

Angulo Conde Cristino Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaBecerril Francisco Nemesio Facultad de Contaduriacutea y Administracioacuten

Universidad Nacional Autoacutenoma de MeacutexicoDistrito Federal

MeacutexicoBermudez Correa Jaime Facultad de Economiacutea

MeacutexicoCamacho Bojorquez Joseacute Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaCampos Mariacutea de la Luz Universidad Iberoamericana Distrito Federal

MeacutexicoCampos Gonzaacutelez Iride Instituto Tecnoloacutegico de Cerro Azul VeracruzCaacuterdenas Gonzaacutelez Vilma Facultad de Contaduriacutea y Administracioacuten

MeacutexicoCartujano Francisco Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores

de Monterrey Campus Ciudad de MeacutexicoDistrito Federal

MeacutexicoCoretz Lily Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores

de Monterrey Campus CuliacaacutenCuliacaacuten Sinaloa

Fischer Garciacutea Alberto Universidad Iberoamericana Campus Golfo-Centro

Puebla

Garciacutea Mercado Mario Universidad del Valle de Atemajac Guadalajara JaliscoGoacutemez Saacutenchez Joseacute Luis Universidad de Occidente Mazatlaacuten SinaloaHernaacutendez Contreras Georgina Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaHernaacutendez Flores Joseacute Manuel Facultad de Contaduriacutea y Administracioacuten

MeacutexicoIbarra Aldaco Martha Sylvia Universidad del Noroeste Campus Hermosillo Hermosillo Sonora

Prefacio

00 PRELIMI 00indd XI00 PRELIMI 00indd XI 112808 24411 AM112808 24411 AM

Justiniano Ferraez Leopoldo Universidad Interamericana para el Desarrollo Quintana RooLoacutepez Cadena Zoila Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaLoacutepez Heras Jorge Antonio Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaLoacutepez Sarabia Pablo Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores

de Monterrey Campus Estado de MeacutexicoDistrito Federal

MeacutexicoLoacutepez Velarde Viacutector Manuel Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaLozano Trillas Joseacute Mariacutea Universidad del Tepeyac Distrito Federal

MeacutexicoMartiacutenez Garciacutea Mariacutea Dolores Universidad Autoacutenoma del Estado de Hidalgo Pachuca HidalgoMartiacutenez Meacutendez Rafaela Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaMedina Marco Antonio Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaMerchant Arroyo Marco Antonio Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaMorales Villatoro Omar Instituto Privado del Sur de Meacutexico ChiapasMustafa Jorge Antonio Centro Hidalguense de Estudios Superiores SC HidalgoNolasco Segura Marco Antonio Universidad Latina MorelosPadilla Lorena Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores

de Monterrey Campus GuadalajaraGuadalajara Jalisco

Peacuterez Castro Luis David Universidad de Occidente Mazatlaacuten SinaloaPeacuterez Grovas Alicia Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores

de Monterrey Campus HidalgoHidalgo

Qui Sandra Escuela de Informaacutetica Universidad Autoacutenoma de Sinaloa

Mazatlaacuten Sinaloa

Ramiacuterez Eliacuteas Instituto Tecnoloacutegico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Ciudad de Meacutexico

Distrito Federal Meacutexico

Ramiacuterez Rodriacuteguez Rafael Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaRojas Rivera Luis Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaRojo Gallardo Alfredo Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaRomero Vidal Rauacutel Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaRuiz Cortez Rodolfo Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaRuiz Morales Mariacutea Elena Universidad Iberoamericana Distrito Federal

MeacutexicoSamano Galindo Rauacutel Instituto Tecnoloacutegico de Zacatepec Zacatepec MorelosSan Romaacuten Iliana Instituto de Estudios Superiores de Tamaulipas TamaulipasSmeke Daniel Universidad Iberoamericana Distrito Federal

MeacutexicoSosa Hamua Yolanda Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaSoto Mariacutea Susuky Tecnoloacutegico de Chihuahua II ChihuahuaSoto Loacutepez Rauacutel Universidad de Occidente Culiacaacuten SinaloaVaacutezquez Juaacuterez Patricia Benemeacuterita Universidad Autoacutenoma de Puebla Puebla PueblaVelaacutezquez Celia Tec Milenio Campus Obregoacuten SonoraVelaacutezquez Velaacutezquez Joseacute Luis Universidad Autoacutenoma de Chiapas ChiapasVilla Viacutector Instituto Tecnoloacutegico de Sonora

Campus ObregoacutenSonora

Villagoacutemez M Edith R Universidad Autoacutenoma de Chiapas ChiapasVite Teraacuten Leonardo Universidad Autoacutenoma del Estado de Hidalgo HidalgoZacatenco Pineda Policarpio

RodrigoUniversidad Juaacuterez Autoacutenoma de Tabasco Tabasco

Prefacio

00 PRELIMI 00indd XII00 PRELIMI 00indd XII 112808 24411 AM112808 24411 AM

Al finalizar el estudio del presente capiacutetulo el lector seraacute capaz de

bull Explicar queacute son los exponentes los logaritmos y los antilogaritmos

bull Plantear y resolver problemas que impliquen su uso

bull Explicar queacute es una progresioacuten aritmeacutetica y queacute es una progresioacuten geomeacutetrica

bull Plantear y resolver problemas que involucren progresiones

bull Resolver ejercicios de exponentes logaritmos y progresiones mediante el empleo de la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg

Objetivos 11 Exponentes 12 Leyes de los exponentes 13 Exponente cero negativo

y fraccionario 14 Logaritmos 15 Caacutelculo con logaritmos 16 Redondeo 17 Progresiones aritmeacuteticas 18 Progresiones geomeacutetricas 19 Progresiones geomeacutetricas infinitas 110 Uso de Excel 111 Resumen

Temario

Fundamentos

CAPIacuteTULO1

01 DIAZ MATA 01indd 101 DIAZ MATA 01indd 1 112808 25111 AM112808 25111 AM

CAPIacuteTULO 1 FUNDAMENTOS2

11 Exponentes111 Exponentes enteros positivos

El producto de un nuacutemero real que se multiplica por siacute mismo se denota por a times a o aa Si el mismo nuacutemero vuelve a multiplicarse por siacute mismo se denota como a times a times a o aaa Para sim-plifi car este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notacioacuten abreviada tal que

a times a = a2

a times a times a = a3

a times a times a times a times a = a5

en la que al siacutembolo a se le llama base y al nuacutemero escrito arriba y a la derecha del mismo se le denomina exponente Este uacuteltimo indica el nuacutemero de veces que la base a se toma como factor

Por lo tanto podemos decir que si n es un entero positivo y a es cualquier nuacutemero real

an = a times a times a times hellip a n factores

El teacutermino an se expresa como ldquoa elevado a la n-eacutesima potenciardquo donde a es la base y n es el exponente o potencia

Ejemplo 111

a) a times a times a times a = a4

b) b times b times b = b3

c) a times a times a times b times b = a3b2

d) (minus4)(minus4)(minus4)(minus4) = (minus4)4 = 256 e) (minus2)(minus2)(minus2)(6)(6)(6) = (minus2)3(6)3 = minus1 728 f ) (1 + 005)(1 + 005)(1 + 005)(1 + 005) = (1 + 005)4 = 121550625 g) (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + i)3

h) (1 minus d)(1 minus d) hellip (1 minus d) = (1 minus d)n

12 Leyes de los exponentesSi a y b son nuacutemeros reales distintos de cero y m y n son enteros positivos entonces se pue-den aplicar las siguientes leyes de los exponentes

121 Producto de dos potencias de la misma base

Para encontrar el producto de dos potencias de la misma base se debe elevar la base a una po-tencia igual a la suma de los exponentes

am times an = am + n (11)

Ejemplo 121

a) a3 times a5 = a3 + 5 = a8 b) a4 times a2 = a4 + 2 = a6 c) 23 times 23 = 23 + 3 = 26 = 64 d) (minus2)2 times (minus2)3 = (minus2)2 + 3 = (minus2)5 = minus32 e) (5)(5)2(5)3 = 51 + 2 + 3 = 56 = 15 625 f ) (1 + i)2(1 + i)15 = (1 + i)2 + 15 = (1 + i)17

122 Cociente de dos potencias de la misma base

Para encontrar el cociente de dos potencias de la misma base es necesario elevar la base a una potencia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador

nm n= minus (12)

Ejemplo 122

25 2 3= =minus d)

2 2 24

34 3 1= = =minus

410 4 6= =minus e)

2 2 0 53

43 4 1= = =minus minus

52 5 3= =minus minus

123 Potencia de una potencia

Para elevar la m-eacutesima potencia de a a la n-eacutesima potencia se debe elevar la base a a una po-tencia igual al producto de los dos exponentes

(am)n = amn (13)

Ejemplo 123

a) ( )a a a2 3 2 3 6= =times d) ( )minus = minus = minus =times3 3 3 7292 3 2 3 6

b) ( )x x x3 5 3 5 15= =times e) ( )minus = minus = minus = minustimes1 1 1 13 3 3 3 9

c) (23)4 = 23 times 4 = 212 = 4 096

12 Leyes de los exponentes

124 Potencia del producto de dos factores

Para determinar la n-eacutesima potencia del producto de dos factores se debe encontrar el pro-ducto de cada factor elevado a la n-eacutesima potencia

( )ab a bn n n= (14)

Ejemplo 124

a) (ab)2 = a2b2

b) ( )xy x y3 3 3= c) ( )3 3 814 4 4 4x x x= = d) ( )3 3 272 3 3 2 3 6x x x= =times

e) (2 times 5)2 = 22 times 52 = 4 times 25 = 100

125 Potencia del cociente de dos factores

Para determinar la n-eacutesima potencia del cociente de dos factores es necesario encontrar el co-ciente de cada factor elevado a la n-eacutesima potencia

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= (15)

Ejemplo 125

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 c) 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎝⎜⎞

⎠⎟=

2 2 82 3 3 2 3

⎝⎜

⎠⎟ = =

Ejemplo 126

a) b b b b3 4 3 4 7times = =+

b) x x x x2 6 2 6 8times = =+

35 3 2= =minus

1015 10 5= =minus

e) x yx y

x y xy3 2

23 2= times =minus minus2 1

f ) ( )( )

( ) ( )11

25 2 3+

+= + = +minusi

g) (x4)5 = x4 times 5 = x20

h) (y2)6 = y2 times 6 = y12

i) (2a3)4 = 24a3 times 4 = 16a12

⎝⎜

⎠⎟ = =

2 22 3

2 1 3 1 2x yxy

x y xy= times times =minus minus

l) ( )( )2 2

2 23 3 2 3 2xy

x yx y xy= = times times =minus minus

13 Exponente cero negativo y fraccionario131 Exponente ceroSi a es un nuacutemero real diferente de cero a0 = 1 Esta aseveracioacuten puede demostrarse aplicando la regla del cociente de dos potencias de la misma base Considere el siguiente cociente

puesto que todo nuacutemero dividido entre siacute mismo es igual a la unidad Ahora si se aplica la regla del cociente de dos potencias se tiene

mm m= = =minus 0 1

Ejemplo 131

a) (5)0 = 1 b) (3a)0 = 1 c) minus4x0 = minus4(1) = minus4 si x ne 0 d) 00 = No es aplicable

132 Exponente negativoSi n es un entero positivo y a ne 0

minus = 1 (16)

Para comprobar (16) observe que como antes se expusoyy

y tambieacutenyy

y yy y y y y y

5 31= times

times times times times=

13 Exponente cero negativo y fraccionario

Por lo tanto

31= =minus

Numeacutericamente esta relacioacuten puede demostrarse utilizando el siguiente ejemplo

43 4 1

minus minus

Asiacute

41= =minus

Ejemplo 132

53 5 2

2= = = =minus minus

74 7 3

31= = =minus minus

c) ( )( )

( ) ( )( )

52 5 3

= + = + =+

minus minusii

133 Exponentes fraccionarios

Sea a la base de una potencia y mn el exponente al cual se encuentra elevada dicha base entonces

a a am n nm

mn = ( ) = (17)

Ejemplo 133

a) a a1 3 3 =

b) x x1 2 =

c) y yn n1 =

d) ( ) ( )64 64 64 4 162 3 23 32

2= = ( ) = =

e) ( )( )

1 31 3 3

minus = = =

f ) aa

a a a a2

1 22 3 1 2 1 1 2 1 1 2⎛

⎝⎜

⎠⎟ = = = =minus minus minus

( )( ) ( ) minusminus = =1 2

1 21 1a a

x x x5 2

1 25 2 1 2 4 2 2

= = =minus

h) ( ) y y y y y1 2 2 3 1 2 2 3 2 6 1 3 3= = = =times

El uso de calculadoras electroacutenicas ha simplifi cado la resolucioacuten de problemas aritmeacuteti-cos complejos En la concepcioacuten y manejo de este libro se considera que el estudiante dispone de una calculadora que posee la funcioacuten y x que permite obtener logaritmos y antilogaritmos ya sean naturales o de base 10

Ejemplo 134

Resuelva las siguientes operaciones con el auxilio de una calculadora electroacutenica

a) 15 15 3 872983351 2= =

b) 120 120 2 605171095 1 5= =

c) 125 846 0 35715 6 0 674650

125 8462

( )( ) ( )

times = timestimes⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟0 127449

59 224 0896 0 13976313

( )( )

16 038946858 277 344134

0 124669901 3

⎝⎜⎞

⎠⎟=

d) 5 000(1 + 005)12 = 5 000(179585633) = 8 979281632

e) 1 000 000 1

1 0 60 5( )+ = 1 000 000(160)minus5 = 1 000 000(009536743) = 95 36743164

f ) ( )

1 0 15 1

0 1516 36653739 1

0 15102 4435

20+ minus = minus = 8826

g) 1 1 0 3250 325

1 0 059957180 325

2 89210minus + = minus =

minus( )

443944

Ejemplo 135

Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando las leyes de los exponentes y con auxilio de una calculadora electroacutenica

a) 150 1 45024( )+ =i b) 2 1 14( )+ =minusi

( )1450150

24+ =i ( )112

4+ =minusi

( )1 324+ =i ( )

+ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 3 324 1 24+ = =i i = minusminus( ) 0 5 11 4

i = minus3 11 24 i = 0 18920712 i = 0 04683938

Cuando utilice la calculadora electroacutenica debe revisar el manual En ocasiones le seraacute necesario emplear el inverso del nuacutemero

c) 5 000 1 10004( )minus =minusd d) (1 + i)12 = (1 + 015)4

( )110005 000

4minus =minusd (1 + i) = (115)412

1 0 20 1 4minus = minusd ( ) i = (115)13 minus 1 minus = minusd ( )1 49534878 1 i = 004768955 d = minus0 49534878

Ejercicios de las secciones 11 a 131 Simplifique

a) a2 times a5 b) a3 times a8

c) a2 times a4 times a5

d) b times b3 times b2

e) (3b) times (5b2) times (6b3)

f ) cc

h) a aa

5times

i) (x3)4

j) x2 times (x5)3

k) ( ) ( )

( )2 4

ytimes

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m) (a2b3)4

⎝⎜

⎠⎟

o) x xy y

3timestimes

⎝⎜

⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟

q) (105)4(105)10

r) ( ) ( ) ( )

1 30 1 30 1 301 30

2 10 20

2 Simplifique a) x0

b) a0b3

c) a13 times a12

e) a aa

1 4 3 5

f ) ( )( )a aminus minus2 3

g) ( )bminus2 5

h) ( )9 2 5xminus minus

i) ( )y1 2 3minus

j) ( )aminus minus2 3 3

k) ( )xx

2minus

l) ( )( ) 27 2561 3 1 4minus minus

m) ( ) ( ) 1 05 1 054 1 2minus minus

minus⎛

⎝⎜

⎠⎟

3 Simplifique usando exponentes

b) x x23 3( )( ) c)

d) c c

14 Logaritmos

e) a ab

2minus⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟minus

f ) x33 2( )

4 Resuelva las siguientes operaciones utilizando una calculadora electroacutenica

b) 2553

c) 0 485 0 364 3

d) 27 9738

e) ( )

1 0 18 10 18

4+ minus

f ) 8500 1 0 15 4( )+ minus

g) 1 1 0 600 60

5minus + minus( )

h) ( ) ( )1 25 1 301 23minus

i) 0 25 0 64 0 823 4

j) ( )

( ) 128 3525 12

1 3minus

5 Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando una calculadora electroacutenica

a) 100 1 2002( )+ =i b) 5 000 1 15003( )+ =i c) 1250 1 25 00060( )+ =i d) 50 000 1 300020( )+ =minusi e) 10 000 1 6 0004( )+ =minusi

f ) ( ) 1 1 604+ =i g) ( ) 1 1 181 4+ =i h) ( )1 1 5010+ minus =i i) ( ) ( )1 1 0 054 12+ = +i j) ( ) ( )1 1 0 3012 2+ = +i

14 Logaritmos141 Defi nicioacuten

Sea N un nuacutemero positivo y b un nuacutemero positivo diferente de 1 entonces el logaritmo en base b del nuacutemero N es el exponente L de la base b tal que bL = N El enunciado de que L es el logaritmo en base b del nuacutemero N se escribe como

L = logbN

Ejemplo 141

3 = log2 8 ya que 23 = 8 4 = log3 81 ya que 34 = 81 2 = log5 25 ya que 52 = 25

En la praacutectica comuacuten se utilizan dos tipos de logaritmos naturales cuya base es el nuacutemero e = 2718281829hellip y los logaritmos comunes cuya base es b = 10 Ambos se pueden deter-minar faacutecilmente con ayuda de una calculadora electroacutenica o mediante tablas

Enseguida se mostraraacute la utilizacioacuten de los logaritmos base 10 para simplifi car caacutelcu-los complejos Las leyes y procedimientos generales que aquiacute se trataraacuten tambieacuten se pue-den aplicar a los logaritmos naturales por lo que ambos pueden ser utilizados en forma indistinta

Los logaritmos base 10 se denominan logaritmos comunes y para identifi carlos se utiliza el siacutembolo

L = log10N = log N

Los logaritmos naturales (base e) se simbolizan como sigue

ln = log nat N = logeN = ln

En lo sucesivo la palabra ldquologaritmosrdquo se referiraacute a los logaritmos comunes (base 10) Por defi nicioacuten se tiene

log 1000 = 3 ya que 103 = 1000 log 100 = 2 ya que 102 = 100 log 10 = 1 ya que 101 = 10 log 1 = 0 ya que 100 = 1 log 010 = minus1 ya que 10minus1 = 010 log 0010 = minus2 ya que 10minus2 = 0010 log 00010 = minus3 ya que 10minus3 = 00010

Es necesario destacar que N debe ser un nuacutemero positivo en tanto que el log N puede ser cualquier nuacutemero real positivo negativo o cero

142 Leyes de los logaritmos

Dado que los logaritmos son exponentes de base b las leyes de eacutestos les son aplicables y nos dan como consecuencia tres leyes fundamentales de los logaritmos1

1 Para demostrar estas leyes considere que

A = 10a B = 10b y C = 10c

Por lo tanto log A = a log B = b y log C = c De esto se sigue que A times B times C = 10a times 10b times 10c = 10a + b + c

An = (10a )n = 10an

Con lo que se comprueba que

log (A times B times C) = a + b + c = log A + log B + log C

log AB

= a minus b = log A minus log B

log An = na = n log A

10b = 10a minus b

1 El logaritmo del producto de dos nuacutemeros positivos es igual a la suma de los logaritmos de los nuacutemeros

log (A times B) = log A + log B (18)

2 El logaritmo del cociente de dos nuacutemeros positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

log log logAB

A B⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= minus (19)

3 El logaritmo de un nuacutemero elevado a la potencia n es n veces el logaritmo del nuacutemero

log An = n log A (110)

donde n puede ser cualquier nuacutemero real

Ejemplo 142

Mediante el empleo de una calculadora electroacutenica o tablas se determina que

log 2 = 0301030 log 3 = 0477121 entonces

a) log log ( ) log log 6 2 3 2 3 0 301030 0 477121 0= times = + = + = 778151 b) log log log log 1 5 3 2 3 2 0 477121 0 301030 0= = minus = minus = 176091 c) log log log ( ) 9 3 2 3 2 0 477121 0 9542422= = = = d) log log ( ) log log 30 3 10 3 10 0 477121 1 1 477= times = + = + = 1121 e) log log ( ) log log (0 02 2 10 2 10 0 3010302 2= times = + = +minus minus minusminus = minus2 1 698970) f ) log log log ( ) 3 3 1 2 3 1 2 0 477121 0 238562 1 2= = = = 11

143 Caracteriacutestica y mantisa

Todo nuacutemero positivo puede ser escrito en la forma de un nuacutemero baacutesico B tal que (1 lt Blt 10) multiplicado por una potencia entera de 10

Por ejemplo

4 354 = 4354 times 103

65 = 65 times 101

32 = 32 times 100

025 = 25 times 10minus1

000358 = 358 times 10minus3

Para calcular el logaritmo de un nuacutemero de eacutestos se procede como sigue

Si N = = times4 354 4 354 103 log ( ) log log 4 354 10 4 354 10 0 638888 33 3times = + = +

Si N = = times minus0 00358 3 58 10 3 log ( ) log log 3 58 10 3 58 10 0 553883 33 3times = + = minusminus minus

14 Logaritmos

Ejemplo 143

Determine el nuacutemero baacutesico de los siguientes nuacutemeros a) 20 000 f ) 02 b) 2 000 g) 002 c) 200 h) 0002 d) 20 i) 00002 e) 2 j) 000002

SolucioacutenPuesto que el nuacutemero baacutesico es un nuacutemero B tal que 1 lt B lt 10 multiplicado por una po-tencia entera de 10 se tiene a) 20 000 = 2 times 104 f ) 02 = 2 times 10minus1

b) 2 000 = 2 times 103 g) 002 = 2 times 10minus2

c) 200 = 2 times 102 h) 0002 = 2 times 10minus3

d) 20 = 2 times 101 i) 00002 = 2 times 10minus4

e) 2 = 2 times 100 j) 000002 = 2 times 10minus5

Ejemplo 144

Dado log 2 = 0301030 determine el logaritmo de los nuacutemeros del ejemplo anterior

Solucioacuten Puesto que log 2 = 0301030 se tiene

a) log 20 000 = log ( ) log log 2 10 2 10 0 301030 4 4 3010304 4times = + = + = b) log log ( ) log log 2 2 10 2 10 0 301030 3 33 3000 = times = + = + = 301030 c) d) log log ( ) log log 20 2 10 2 10 0 301030 1 1 31 1= times = + = + = 001030 e) log log ( ) log log 2 2 10 2 10 0 301030 0 0 300 0= times = + = + = 11030 f ) log log ( ) log log 0 2 2 10 2 10 0 301030 11 1= times = + = + =minus minus 11 301030 g) log log ( ) log log 0 02 2 10 2 10 0 301030 22 2= times = + = +minus minus == 2 301030 h) log log ( ) log log 0 002 2 10 2 10 0 3010303 3= times = + = +minus minus 33 3 301030= i) log log ( ) log log 0 0002 2 10 2 10 0 3010304 4= times = + =minus minus ++ =4 4 301030 j) log log ( ) log log 0 00002 2 10 2 10 0 301035 5= times = + =minus minus 00 5 5 301030+ =

Como puede observarse en el ejemplo anterior el logaritmo de un nuacutemero baacutesico es una fraccioacuten decimal no negativa (ya que log 10 = 1 y log 1 = 0) y el logaritmo de una po-tencia entera de 10 es por defi nicioacuten un entero Por lo tanto el logaritmo de un nuacutemero positivo estaraacute constituido por dos partes a) Una parte entera llamada caracteriacutestica La caracteriacutestica es el logaritmo de la poten-

cia entera de 10 y estaacute determinada por la posicioacuten del punto decimal en el nuacutemero La caracteriacutestica puede ser cualquier nuacutemero entero positivo negativo o cero Para N lt 1 la caracteriacutestica es igual al nuacutemero de diacutegitos a la izquierda del punto decimal

log 200 log= times = + = + =( ) log log 2 10 2 10 0 301030 2 22 2 3301030

menos una unidad [Veacuteanse los casos de a) a e) del ejemplo anterior] Para 0 lt N lt 1 la caracteriacutestica se determina por el lugar que ocupa la primera cifra signifi cativa a la derecha del punto decimal [Veacuteanse los casos ƒ) a j) del ejemplo anterior]

b) Una parte decimal llamada mantisa La mantisa es el logaritmo del nuacutemero baacutesico y estaacute determinada por la secuencia de los diacutegitos del nuacutemero sin importar la posicioacuten del punto decimal La mantisa es un decimal positivo (o cero si el nuacutemero es una po-

tencia entera de 10)2

Ejemplo 145

Determine la caracteriacutestica y la mantisa de los logaritmos de los siguientes nuacutemeros

a) 95984 b) 2735 c) 0026 d) 0004321 e) 6478

SolucioacutenCuando se determina la notacioacuten cientiacutefi ca de un nuacutemero se tiene Nuacutemero Notacioacuten cientiacutefi ca Caracteriacutestica Mantisa 95984 95984 times 102 2 0982199 2735 2735 times 101 1 0436957 0026 2600 times 10minus2 minus2 0414973 0004321 4321 times 10minus3 minus3 0635584 6478 6478 times 100 0 0811441

144 Antilogaritmos

Si L = log N N es llamado antilogaritmo de L y se denota como N = antilog L cuando L = log NPor ejemplo

200 = antilog 2301030 ya que log 200 = 2301030

05 = antilog 0698970 minus 1 ya que log 05 = 0698970 minus 1

14 Logaritmos

2 Debe destacarse que el logaritmo de un nuacutemero N tal que 0 lt N lt 1 se mostraraacute en la calculadora como un solo nuacute-mero negativo que es el resultado de la suma algebraica de la mantisa positiva y la caracteriacutestica negativa En estos ca-sos el resultado desplegado representa el logaritmo del inverso del nuacutemero que estaacute calculaacutendose por lo cual la parte decimal del nuacutemero negativo que se muestra no representa la mantisa Por ejemplo si

N = 002 = 2 times (10minus2)log N = (log 2 times log 10minus2) = 0301030 minus 2

la calculadora mostraraacute minus1698970 que es el resultado de la suma algebraica de 0301030 minus 2 El algoritmo desplegado es el correspondiente al inverso del nuacutemero que se estaacute buscando

5 100 021 698970

1 698970 1minus = =

times=

ya que 0698970 = log 5 y log 1 = log 10

El antilogaritmo de un logaritmo dado puede ser determinado mediante el empleo de una calculadora electroacutenica o por medio de tablas

Ejemplo 146

Dado log 837 = 0922725 determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos

a) 2922725 b) 1922725 c) 0922725 minus 3 d) 3922725 e) 0922725 minus 1

Solucioacuten a) antilog 2922725 = 83700 b) antilog 1922725 = 8370 c) antilog 0922725 minus 3 = 0008370 d) antilog 3922725 = 8 37000 e) antilog 0922725 minus 1 = 08370

Ejemplo 147

Utilizando una calculadora electroacutenica determine el antilogaritmo de los siguientes lo-garitmos

L = log N N = antilog L

a) antilog 425 = 17 78279 b) antilog 18 = 630957 c) antilog minus2356547 = 00044 d) antilog minus1277366 = 00528 e) antilog minus0132460 = 0737123 f ) antilog 0132460 = 135662

15 Caacutelculos con logaritmosComo se establecioacute al principio del capiacutetulo los logaritmos han perdido importancia ante el advenimiento de las calculadoras y computadoras electroacutenicas que permiten la realizacioacuten de complejas operaciones aritmeacuteticas con rapidez y precisioacuten Sin embargo auacuten se utilizan para encontrar la solucioacuten de una ecuacioacuten

En esta seccioacuten se presenta una serie de problemas resueltos mediante el uso de loga-ritmos

Ejemplo 151

Resuelva las siguientes operaciones por medio de logaritmos

a) 85 15347 274125 386

b) ( ) ( )0 03768 6 3544282 6

c) ( ) ( )

( )5 36 67 48

356 27

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

Solucioacuten

a) log log85

85347 15 274125 386

347 + logtimes⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 115 274 log 125 386minus

= 4931188 + 41839553 5098249= 4

minus016892

antilog 4016892 = 10 39662

b) log[(003768)2( ) ] log log6 354428 2 0 03768 66 = + 66 354428= minus += minus

2 1 423889 6 0 8030762 847( ) ( )

7778 4 818456+

a= 1 970678

nntilog 1970678 = 93471239

c) ( ) ( )

( )( ) (5 36 67 48

356 275 362 3

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

= 667 48356 27

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

log(536)2( )

356 2734

3 4⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

= llog log log )

5 36 3 67 48 2 356 72

2 0 72916

+ minus

= 55 3 1 829175 2 2 552327

1 45833 5 4

) ( ) ( )]

+ minus

= + 887525 5 104654

1 841201

1 380901

antiloog 1380901 = 24038147

15 Caacutelculos con logaritmos

Ejemplo 152

Determine el valor de la incoacutegnita i (que representa tasa de intereacutes por periodo) si 1000(1 minus i)3 = 3 000

Solucioacutena) Empleando logaritmos log ) log

) lo1000 + 3 log (1 + 3000

3 log (1 +ii

3000 log 1000

log (1 +3000 log 1

= minusi

log ( )

log ( ) (

13 477121 3

31 0 159040

= minus

1 4422491 4422

+ antilog (0159040)1 +

=== 449 1

0 442249 44 22minus

= =i b) Por solucioacuten directa

1000(1 + 3000

(1 +30001000

= 331 442249571 10 442249 44 22

ii= minus= =

Ejemplo 153

Determine d (tasa compuesta anual de depreciacioacuten) si

900(1 minus d)3 = 200Solucioacuten a) Si se emplean logaritmos log ) log

log ( ) log lo900 3 200

3 1 200+ minus =

minus = minuslog (1 d

log ( )

12 301030 2 954243

minus = minus

2177371

0 605708minus = minusminus =dd

antilog ( 0217737)minusminus

=asymp

10 39429239 43

b) Por solucioacuten directa

900 200

1 200 900

1 0 222222

(1minus =

minus =

(11 0 222222

1 0 2222221 0 6

minus =

minus =minus =

( ) ( )( )

0057060 605706 10 39429339 43

minus = minus=asymp

Ejemplo 154

Determine el valor de n (nuacutemero de periodo de conversioacuten) si n son meses y

1000(1 + 005)n = 5 000

Solucioacutena) Por logaritmos log1000 log (1 005) log 5 000

log (105) l+ + =

n oog 5 000 log1000(0021189) 3698970 3000

minus= minusn 0000

0698070002118932987433 meses

=asymp

El tiempo en que un capital quintuplicaraacute su valor dada una tasa de intereacutes de 5 mensual es de aproximadamente 33 meses

Este tipo de problemas soacutelo puede resolverse mediante el uso de logaritmos

Ejemplo 155

Determine el valor de n (nuacutemero de periodos de conversioacuten) si n representa semestres y

3 500(1 + 025)minusn = 500 log 3 500 + [minusn log (125)] = log 500 minusn log 125 = log 500 minus log 3 500 minusn(0096910) = 2698970 minus 3544068

n = minusminus

0 8450980 096910

n = 872044 n asymp 872 semestres

Ejemplo 156

Determine el valor de n (nuacutemero de pagos perioacutedicos) si n son trimestres y

1 0 18 10 18

10+ minus =

Solucioacuten a) Por logaritmos

( ) ( )

1 0 18 1 10 0 18

1 0 18 1 1 8

1 0 18

+ minus =

1 18 2 8

lolog 118 = log 28

gg log

2 81 18

0 4471580 07188

6 2207236

=asymp 222 pagos trimestrales

Ejemplo 157

Determine el valor de n (nuacutemero de pagos perioacutedicos) si n son antildeos y

1 1 0 500 50

25minus + =

minus( )

Solucioacutena) Por logaritmos 1 minus (1 + 050)minusn = 25(050) minus(150)minusn = 125 minus 1 minus(150)minusn = 115 n log 150 = log 115

n = log log

11 51 50

n = 1 0606980 176091

n = 6023569 n = 602 pagos anuales

Ejercicios de las secciones 14 a 15 6 Determine el logaritmo L

a) L = log ( )3 27 b) L = log ( )5 0 008

c) L = log8 64

Ejercicios de las secciones 14 a 15

d) L = =log 10 1 100

e) L = =log244

7 Determine el nuacutemero N

a) log2 N = 3 b) log5 N = 3 c) log4 N = 12

d) log6 N = 5 e) log10 N = 2

8 Determine la caracteriacutestica de

a) 8 b) 5 210 c) 85 900

d) 325 e) 0018 f ) 4560

9 Determine la mantisa de

a) 2 b) 020 c) 0020

d) 0040 e) 0080 f) 8 000

10 Determine el logaritmo comuacuten de

a) 24 b) 82320 c) 00035 d) 7489 e) 158

f ) 00001 g) 10 000 h) 1 i) 003720 j) 1025

11 Dado log 40 = 1602060 determine el antilogaritmo de

a) 2602060 b) 0602060 c) 0602060 minus 3

12 Determine el antilogaritmo de

a) 25 b) 080 c) 33640

d) minus30000 e) minus003785 f) 19777

13 Mediante el empleo de logaritmos resuelva las operaciones del ejercicio 614 Mediante el empleo de logaritmos resuelva las ecuaciones del ejercicio 5

15 Mediante el empleo de logaritmos resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales

a) 100(1 + 050)n = 500 b) (105)n = 3 c) 3 000(1 + 020)n = 10 000 d) 10 000(1 + 020)minusn = 3 000

e) (160)minusn = 0100 f) (1 + 018)n minus 1 = 035 g) 1 minus (1 + 004)minusn = 0285

16 RedondeoEn este libro se utilizaraacuten las siguientes reglas para redondear

1 El diacutegito retenido permanece sin cambio si los diacutegitos despreciados son menores de 5 000 Ejemplo 013783 se redondea como 01378 si se desean 4 cifras signifi cativas

2 El diacutegito retenido se incrementa en 1 si los diacutegitos despreciados son mayores de 5 000 Ejemplo 068917 se redondea como 069 si se desean soacutelo 2 decimales

3 El diacutegito retenido se convierte en par (se incrementa en 1 cuando es necesario) si los diacute-gitos despreciados son exactamente iguales a 5 000 Ejemplo 0235 se redondearaacute como 024 si se desean 2 decimales en tanto que 014325 se redondearaacute como 01432 si se de-sean 4 decimales

Ejemplo 161

Redondee las siguientes cifras a 2 y 4 decimales

Dos decimales Cuatro decimales

a) 3082207 3082 308221 b) 55517627 555 55518 c) 23562178 236 23562 d) 145349976 1453 145350 e) 1238902 124 12390 f ) 11130500 111 11130

17 Progresiones aritmeacuteticasUna progresioacuten aritmeacutetica es una sucesioacuten de nuacutemeros llamados teacuterminos tales que dos nuacute-meros cualesquiera consecutivos de la sucesioacuten estaacuten separados por una misma cantidad lla-mada diferencia comuacuten

1 4 7 10hellip es una progresioacuten aritmeacutetica cuya diferencia comuacuten es 330 25 20 15hellip es una progresioacuten aritmeacutetica cuya diferencia comuacuten es minus5

Si se considera t1 como el primer teacutermino de una progresioacuten d como la diferencia comuacuten y n el nuacutemero de teacuterminos de la misma se genera una progresioacuten de la forma

t1 t1 + d t1 + 2d t1 + 3dhellip t1 + (n minus 2)d t1 + (n minus 1)d

El uacuteltimo teacutermino de una progresioacuten seraacute igual al primer teacutermino de la misma adiciona-do de (n minus 1) diferencias

u1 = t1 + (n minus 1)d (111)

En una serie de 3 teacuterminos puede verse claramente esto

t1 t1 + d t1 + 2d

El uacuteltimo teacutermino (t1 + 2d) es igual al primer teacutermino (t1) adicionado de (n minus 1) veces la diferencia comuacuten ya que n = 3 n ndash 1 = 2

La suma de una progresioacuten aritmeacutetica puede escribirse como sigue

S = t1 + (t1 + d) + (t1 + 2d) + hellip + (u minus 2d) + (u minus d) + u

pero tambieacuten puede escribirse en forma inversa

S = u + (u minus d) + (u minus 2d) + hellip + (t1 + 2d) + (t1 + d) + t1

Si se suman las dos expresiones teacutermino a teacutermino se tiene

2 S = (t1 + u) + (t1 + u) + hellip + (t1 + u) + (t1 + u) 2 S = (t1 + u)

S = n2(t1 + u) (112)

Asiacute la suma de una progresioacuten aritmeacutetica de n teacuterminos es igual a la suma del primero y el uacuteltimo teacutermino multiplicado por n y dividido entre dos

Sustituyendo (111) en (112) se tiene

t n d= + minus⎡⎣ ⎤⎦211 ( ) ] (113)

Simplifi cando S = n2[2t1 + (n minus 1)d]

Ejemplo 171

Determine el 10o teacutermino y la suma de la siguiente progresioacuten aritmeacutetica 3 7 11hellip

Solucioacuten a) Se determina el uacuteltimo teacutermino aplicando (111) y se considera t1 = 3 n = 10 y d = 4

u = t1 + (n minus 1)d u = 3 + (10 minus 1)4 u = 3 + 36 u = 39

17 Progresiones aritmeacuteticas

b) Para determinar la suma se aplica la foacutermula (112)

S = n2(t1 + u) S = 102(3 + 39) S = 5(42) S = 210

Una alternativa de caacutelculo es la foacutermula (113)

S = n2[2t1 + (n minus 1)d] S = 102[2(3) + (10 minus 1)4] S = 5[6 + (9)(4)] S = 5(42) S = 210

Ejemplo 172

Determine el uacuteltimo teacutermino y la suma de la progresioacuten aritmeacutetica 48 45 42hellip si cuen-ta con 15 teacuterminos

Solucioacutena) Se determina el uacuteltimo teacutermino Para ello se debe aplicar (111) considerando que t1 = 48

n = 15 y d = minus3

u t n duuu

= + minus= minus minus= + minus=

1 148 15 1 348 14 34

( ))( )

( )( )+(

88 42 6minus =

b) La suma se determina aplicando (112)

S n t uSSS

= +===

215 27 5 54405

Ejemplo 173

El primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica es t1 = minus2 mientras que el uacuteltimo es u = 48 y la suma S = 253 Determine n y d

SolucioacutenSustituyendo en (112) se tiene

( 2 48S n t u

n== minus

( ) )2

253 21 +

+(( )( ) ( )

253 2 46

506 46 11== =

En (111) se sustituyen los datos conocidos y se determina du t n d

= + minus= minus +== =

50 1050 10 5

48 (11 1minus

Ejemplo 174

Conocidos t5 = 27 t7 = 35 determine t1 y S7

Solucioacutent t d

t t d7 1

= + == + =

Restando la ecuacioacuten t5 de t7 se tiene que

( ) ( )

t d t dd

1 16 4 35 272 8

+ minus + ==

Para determinar t1 se sustituye en cualquier ecuacioacuten y se tiene

t dttt

6 356 4 3535 2411

+ =+ == minus=

La suma se determina sustituyendo los valores conocidos en (112)S

7 2 11 35

3 5 46

Ejemplo 175

Se recibe un preacutestamo bancario de $12 000 el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $1000 maacutes intereses sobre saldos insolutos a razoacuten de 5 mensual iquestQueacute cantidad de intereses se paga en total

SolucioacutenEl primer pago que debe hacerse seraacute de $1000 de capital maacutes $600 de intereses (5 de 12 000) El segundo seraacute de $1000 maacutes $550 (5 de 11000) el tercero de 1000 maacutes 500 (5 de 10 000) y asiacute sucesivamente

t1 = 600 d = minus50 n = 12

Aplicando la foacutermula (113) se tiene

S n t n dS

= + minus= + minus minus

[ ( ) ] [ ( ) ( )( )]2 2 1

12 2 2 600 12 1 501

= + minus==

6 1[ ( )200 550 ](650)6

Deberaacute pagar $3 900 de intereses

Ejercicios de la seccioacuten 1716 Determine el uacuteltimo teacutermino y la suma de las progresiones siguientes

a) 11 23 35hellip 12 teacuterminos b) 5 minus3 minus11hellip 10 teacuterminos c) 12 58 34hellip 7 teacuterminos d) 14 112 minus112hellip 20 teacuterminos e) 100 105 110hellip 12 teacuterminos

17 Determine la suma de

a) Los nuacutemeros pares de 1 a 100 b) Los nuacutemeros nones de 9 a 100 c) Los nuacutemeros enteros muacuteltiplos de 5 de 10 a 500

18 En una progresioacuten aritmeacutetica se tiene

a) t1 = 8 t5 = 36 determine d t10 y S10 b) t5 = 60 t10 = 5 determine d t1 y S10 c) t3 = 8tn = 9n = 8 determine d t1 y S8 d) tn = minus5d = minus14n = 12 determine t1 y Sn

19 Una empresa recibe un preacutestamo bancario de $30 000 que acuerda liquidar en 10 pagos semestrales maacutes intereses sobre saldos insolutos de 10 semestral iquestQueacute cantidad total de intereses debe pagar

18 Progresiones geomeacutetricasUna progresioacuten geomeacutetrica es una sucesioacuten de nuacutemeros llamados teacuterminos tales que dos nuacute-meros consecutivos cualesquiera de ella guardan un cociente o una razoacuten comuacuten En otras palabras esto quiere decir que cualquier teacutermino posterior se puede obtener del anterior mul-tiplicaacutendolo por un nuacutemero constante llamado cociente o razoacuten comuacuten

3 6 12 24 48hellip es una progresioacuten geomeacutetrica cuya razoacuten comuacuten es 2 minus2 8 minus32 128hellip es una progresioacuten geomeacutetrica cuya razoacuten comuacuten es minus4 t tr tr2 tr3 tr4hellip es una progresioacuten geomeacutetrica cuya razoacuten comuacuten es r

Tomando el uacuteltimo ejemplo se puede generar una progresioacuten geomeacutetrica con 6 teacuter-minos

t1 t1r t1r2 t1r3 t1r4 t1r5

De ella se desprende que el uacuteltimo teacutermino es igual a

u = t1rn minus 1 (114)

y que una progresioacuten con n teacuterminos adoptaraacute la forma

t1 t1r t1r2 hellip t1rn minus 3 t1rn minus 2 t1rn minus 1

La suma de esta progresioacuten es igual a

S = t1 + t1r + t1r2 + hellip t1rn minus 3 + t1rn minus 2 + t1rn minus 1

Luego si se multiplican ambos lados de la ecuacioacuten por r se tiene

rS t r t r t r t r t r t rn n n= + + +hellip+ + +minus minus1 1

Se resta la segunda expresioacuten de la primera se tiene

S rS t t r t r t r t r t r t rnminus = + minus + minus +hellip+ minusminus1 1 1 1

21( ) ( ) ( nn n n nt r t r t rminus minus minus+ minus minus2

1) ( )

S rS t t rnminus = minus1 1

Por lo que

S r t t rn( )1 1 1minus = minus

St t r

minusminus

= minusminus

n= minus

minus111

( ) (115)

Es conveniente utilizar la foacutermula anterior cuando r lt 1 y la expresioacuten

n= minus

minus11

(115ʹ)

cuando r gt 1Una progresioacuten geomeacutetrica seraacute creciente si la razoacuten comuacuten r es positiva mayor que 1

Ejemplo 181

Genere una progresioacuten de 5 teacuterminos con t r1 3 4= =y

Solucioacuten3 12 48 192 768

Una progresioacuten geomeacutetrica seraacute decreciente si la razoacuten comuacuten r es positiva menor que 1

18 Progresiones geomeacutetricas

Ejemplo 182

Genere una progresioacuten geomeacutetrica de 5 teacuterminos con t r1 80 1 4= =y

Solucioacuten 80 20 5 125 03125

Ejemplo 183

Encuentre el deacutecimo teacutermino y la suma de los primeros 10 teacuterminos de las siguientes progresiones

a) 1 2 4 8 b) ( ) ( ) ( )1 0 04 1 0 04 1 0 041 2 3+ + + hellipminus minus minus

Solucioacuten a) Para determinar el deacutecimo teacutermino se aplica la foacutermula (114) con t r1 1 2= =

minus1

1 21 512 512

( )( )

La suma de la progresioacuten se obtiene aplicando la foacutermula (115ʹ)

n= minus

= minusminus

= minus

12 12 1

b) En la segunda progresioacuten se tiene que

t r n11 11 04 1 04 10= = =minus minus( ) ( ) y

Para calcular el deacutecimo teacutermino se aplica (114)

minus minus minus

1 1 10 1

1 04 1 04

( ) [( ) ]

( ) (11 04

1 040 675564

minus==

La suma se determina aplicando la foacutermula (115) pues r lt 1

n= minus

= minusminus

minusminus

1 041 1 04

1 1 04( )

[( ) ]( )minusminus

minusminus

minus= minus

minustimes

1 1 041 1 04

1 041 04

S ( )( )( )

= minusminus

= minus

( )( )

1 041 1 04

1 04 1 041 1 04

110 10

1 04 11 1 04

0 041 0 675554

minus= minus

= minus =

S 110896

Ejemplo 184

Una progresioacuten geomeacutetrica tiene como primero y uacuteltimo teacuterminos t1 = 80 tn = 114 r = 12Determine n y S

SolucioacutenSustituyendo los valores conocidos en (114)

u t rn

114 80(12)

320 (12)

112) 1n minus

si se pone 164 en funcioacuten de 12 se tiene

164 = (12)6 (ya que 26 = 64)

Por lo tanto

(12) (12)1 6

minus =minus =

Se aplica (115) para determinar la suma

n= minus

= minusminus

801 1 21 1 2

800 992188

0( )( )

158 75S =

Ejemplo 185

Una progresioacuten geomeacutetrica cuenta entre sus teacuterminos con t t3 68 51= =y 2 Determine t8 y S8

SolucioacutenSe tiene que t t rn

n= minus1 1

t t r3 12 8= = y t t r6 1

5 512= =

De la primera ecuacioacuten se despeja tr1 28= y se sustituye en la segunda ecuacioacuten

(( ) 644

Sustituyendo

4 816 8

( )( )

Para determinar t8 se aplica (114)

minus1

1 2 41 2 168

( ) ( 384)1192

La suma se calcula utilizando (115ʹ)

n= minus

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

minusminus

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 14 1

6553533

92250S = 10

Ejemplo 186

La infl acioacuten de un paiacutes se ha incrementado 40 en promedio durante los uacuteltimos 5 antildeos iquestCuaacutel es el precio actual de un bien que teniacutea un precio de $100 hace 5 antildeos

Solucioacuten

n = 6 t1 100= t6 = r = +( )1 0 40

Aplicando (114) se tiene

minus1

100 1 40

100 1 40100 5 3

( )( 77824

537 82)

Puede esperarse que el precio del bien se haya maacutes que quintuplicado en ese periodo dada una infl acioacuten promedio de 40 puesto que dicha infl acioacuten se va calculando sobre la del antildeo anterior que a su vez lo fue sobre la del antildeo previo y asiacute sucesivamente

Ejemplo 187

La infl acioacuten de un paiacutes latinoamericano se ha incrementado 4 en promedio durante los uacuteltimos 5 antildeos iquestCuaacutel es el precio actual de un bien que teniacutea un precio de $100 hace 5 antildeos

Solucioacuten

n = 6 t1 100= t6 = r = +( )1 0 04

minus1

100 1 04

100 1 04100 1 2

( )( 1166529

121 67)

Como puede observarse al comparar el resultado de este ejemplo con el del ejemplo in-mediato anterior los efectos de tasas elevadas de infl acioacuten son muy importantes puesto que con una tasa de infl acioacuten anual de 4 el precio del bien se incrementaraacute 2167 en 5 antildeos en tanto que con un incremento anual de 40 los precios se incrementan 43782 durante el mismo periodo

Ejercicios de la seccioacuten 1820 Determine el uacuteltimo teacutermino y la suma de las siguientes progresiones

a) 7 35 175hellip 10 teacuterminos b) 5 minus20 80hellip 8 teacuterminos c) 23 215 275hellip 15 teacuterminos d) 34 minus14 112hellip 12 teacuterminos

21 En una progresioacuten geomeacutetrica se tiene

a) t1 = 4 t6 = 972 determine r t8 y S8 b) t3 = 20 t7 = 1620 determine r t1 y S7 c) t5 = 8 tn = 05 n = 9 determine r t1 y S8 d) tn = minus18 r = minus14 n = 8 determine t1 y S8 e) t1 = 104 r = 104 determine t12 y S12

22 Un jugador de ajedrez solicitoacute al rey despueacutes de haberle ensentildeado este juego que en pago le diese 1 grano de trigo por el primer cuadro 2 por el segundo 4 por el ter-cero 8 por el cuarto y asiacute sucesivamente iquestCuaacutentos granos debiacutea darle por el cuadro nuacutemero 32 iquestCuaacutentos granos debiacutea darle por los cuadros 1 al 32 Imagine la canti-dad si el tablero de ajedrez tiene 64 cuadros

23 Un equipo de coacutemputo con valor de $10 000 es depreciado cada mes 10 de su valor al comienzo del mes iquestCuaacutel seraacute la depreciacioacuten en el 12o mes

24 Una persona deposita en un banco $5 000 El banco le paga un intereacutes mensual de 3 sobre el saldo que tenga acumulado al principio del mes Si dicho intereacutes se reinvierte mes a mes en la misma cuenta iquestqueacute cantidad habraacute reunido al cabo de un antildeo

19 Progresiones geomeacutetricas infi nitasConsidere la progresioacuten geomeacutetrica

1 12 14 18hellip

cuyo primer teacutermino es 1 y cuya razoacuten es r 12 La suma de los primeros n teacuterminos es

= minusminus

=minus

minusminus

1 1 21 1 2

11 1 2

1 21 1 2

221 21 2

2 1 2 1

= minus minus

Para cualquier n la diferencia 2 minus Sn = (12)n minus 1 es positiva y se reduce a medida que crece n Si n crece sin liacutemite (tiende al infi nito) se dice que S se aproxima a 2 como liacutemite

liacutem Sn = 2

n rarr infin

En el caso de una progresioacuten geomeacutetrica del tipo

t1 t1r t1r2 t1r3hellip

la suma de los primeros n teacuterminos puede escribirse como

= minusminus

=minus

minusminus1

1 111 1 1

19 Progresiones geomeacutetricas infi nitas

Cuando (minus1 lt r lt 1) si n crece infi nitamente el teacutermino en rn tiende a 0 y Sn tiende a t

1minus

Asiacute se dice que

minusminus lt lt1

11 1cuando (116)

y se le considera la suma de una progresioacuten geomeacutetrica infi nita

Ejemplo 191

Determine la suma de la progresioacuten geomeacutetrica infi nita1 13 19 127hellip

SolucioacutenSe tiene que t1 = 1 r = 13 y ya que (minus1 lt r lt 1 ) se aplica la foacutermula (116)

minus lt lt

=minus

1 1 31

2 31 5

Ejemplo 192

Determine la suma de la progresioacuten geomeacutetrica infi nita

hellip

Solucioacutent1 1= r = 14 ya que ( minus lt lt1 1r )

=minus

11 1 41

3 44 3

Ejemplo 193

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 3 4+ + + +minus minus minus minusi i i i

Solucioacuten

t i r i11 11 1= + = +minus minus( ) ( )y

Aplicando la foacutermula (116) se tiene que

minus +

minus( )

Si se multiplican el numerador y el denominador por (1 + i) se tiene

= +minus +

times ++

minus( )

( )( )( )

Aplicando las leyes de los exponentes se tiene

i i= +

+ minus += +

+ minus +

minus +( )

( ) ( )( )

( ) (1

=+ minus

Ejemplo 194

Transforme 0555555hellip en una fraccioacuten propia3

SolucioacutenEl nuacutemero 0555555hellip puede escribirse como la suma de 050 + 005 + 0005 +hellip Asiacute se tiene una progresioacuten geomeacutetrica infi nita en la cual t1 = 050 y r = 010 Aplicando la foacutermula (116) se tiene

minus=

minus= =1

1 0 10 50 9

3 Fraccioacuten propia es aquella en que el numerador es menor que el denominador Ejemplos

Toda fraccioacuten propia es menor que la unidad

Ejemplo 195

Transforme 2533333 a un nuacutemero mixto4

SolucioacutenEl nuacutemero 2533333hellip puede escribirse como la suma de 2 + 05 + 003 + 0003 + 00003hellip

Tambieacuten puede escribirse como 25

1 0003

10 000+ + + + hellip

Asiacute se tiene la suma de un nuacutemero entero (2) una fraccioacuten 510

y una progresioacuten infi nita

que tiene como primer teacutermino t1 = 003 y como razoacuten r = 010Al aplicar la foacutermula (116) a la progresioacuten infi nita se tiene

2533333hellip = + +minus

= + +minus

0 031 0 1

2533333hellip = + + = + +25

100 030 9

2533333hellip = 245 3

2533333hellip = 24890

4 Fraccioacuten impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador Ejemplos

Toda fraccioacuten impropia es mayor que la unidad y puede escribirse con la suma de un nuacutemero natural maacutes una frac-cioacuten dando origen a los nuacutemeros mixtos

Ejercicios de la seccioacuten 1925 Determine la suma de las progresiones geomeacutetricas infinitas siguientes

a) 02 002 0002 00002hellip b) 04 004 0004 00004hellip c) 1 15 125hellip d) 1 minus14 116 minus164 e) ( ) ( ) ( )1 05 1 05 1 051 2 3minus minus minus hellip

26 Transforme en fraccioacuten propia o nuacutemero mixto los siguientes valores

a) 1111111hellip d) 0353535 g) 2522222 b) 2055555hellip e) 0777777 h) 1848484 c) 30681818hellip f) 0141414 i) 0202020

27 Se deja caer una pelota de hule de una altura de 30 metros Si cada rebote llega a 23 de la altura de la cual cae iquestcuaacutentos metros habraacute recorrido hasta alcanzar el reposo

110 Uso de ExcelEl paquete Excel cuenta con funciones especiacutefi cas para calcular logaritmos y antilogaritmos naturales cuenta tambieacuten con una funcioacuten para calcular logaritmos base 10 y permite asimis-mo determinar el logaritmo de cualquier nuacutemero en la base que se quiera elegir

Estas funciones pueden activarse desde la opcioacuten InsertarFuncioacuten que se encuentra en el menuacute principal de Excel

o bien oprimiendo el botoacuten fx que se localiza en la barra inmediata superior a las celdas de la hoja de caacutelculo a la que se suele denominar ldquobarra de comandosrdquo Una vez que se accesa esta

110 Uso de Excel

opcioacuten se selecciona la categoriacutea de funciones Matemaacuteticas y Trigonomeacutetricas y entre ellas aparecen las relacionadas a exponentes y logaritmos

El uso de estas funciones se ilustra en el siguiente ejemplo

Para encontrar el antilogaritmo de un nuacutemero de base distinta al nuacutemero e se debe emplear una foacutermula con el siguiente formato

b Land

b = baseand = siacutembolo de exponenciacioacutenL = logaritmo

En los ejemplos que se ofrecen en la imagen anterior se muestran las foacutermulas para calcular el antilogaritmo del nuacutemero 2 con base 2 y 10 Asiacute el antilogaritmo se determina como sigue

Antilogaritmo de 1 en base 2

Foacutermula Resultado

= 2and1 2

= 10and0301029995663981 2

Excel puede ser tambieacuten de utilidad para construir progresiones aritmeacuteticas y geomeacutetricas pues permite probar de manera raacutepida y sencilla los valores de ellas una vez que se conocen los valores de t y d en el caso de las progresiones aritmeacuteticas asiacute como los valores de t1 y r en el caso de las progresiones geomeacutetricas

111 ResumenEn este capiacutetulo se han estudiado tres temas que resultan baacutesicos para comprender y manejar las matemaacuteticas financieras

a) Los exponentes y sus leyesb) Logaritmos y antilogaritmosc) Progresiones aritmeacuteticas y geomeacutetricas

Un exponente nos indica el nuacutemero de veces que un valor llamado base debe multiplicarse por siacute mismo y se expresa en su forma general como an donde a es la base y n el exponente

Las operaciones que involucran exponentes estaacuten regidas por las siguientes leyes

1 a a am n m ntimes = +

nm n= minus

3 ( )a am n mn=4 ( )ab a bn n n=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

111 Resumen

6 a0 = 1

minus = 1

8 a a am n nm

mn = ( ) =

Un logaritmo es el exponente al cual debe elevarse una base para obtener un nuacutemero determinado

bL = N

Como exponentes que son los logaritmos se sujetan a las leyes que los rigen y en virtud de ello son de gran utilidad para simplificar caacutelculos aritmeacuteticos

Tres leyes fundamentales de los logaritmos se derivan de la aplicacioacuten de las leyes de los exponentes

1 log (A times B) = log A + log B

2 log log logAB

A B= minus

3 log An = n log A

Asiacute al aplicar logaritmos la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros se convierte en la suma de sus logaritmos un cociente en una resta y una potencia en una multiplicacioacuten

Una progresioacuten aritmeacutetica es una sucesioacuten de nuacutemeros llamados teacuterminos tales que cua-lesquiera dos nuacutemeros consecutivos de la sucesioacuten estaacuten separados por una misma cantidad llamada diferencia comuacuten

Las progresiones aritmeacuteticas son la base teoacuterica del intereacutes y del descuento simplesLas progresiones geomeacutetricas son a su vez la base del intereacutes compuesto y las anualidades

y se definen como una sucesioacuten de nuacutemeros llamados teacuterminos tales que cualesquiera dos nuacutemeros consecutivos de la misma guarden un cociente o razoacuten comuacuten

En una progresioacuten geomeacutetrica cualquier nuacutemero posterior se puede obtener del anterior multiplicaacutendolo por un nuacutemero constante llamado cociente o razoacuten comuacuten

Si se ha leiacutedo el capiacutetulo completo el lector debe

bull Comprender el concepto de exponentebull Conocer y aplicar las leyes de los exponentesbull Comprender el concepto de logaritmosbull Determinar el logaritmo comuacuten de un nuacutemerobull Comprender el concepto de caracteriacutesticabull Comprender el concepto de mantisabull Conocer y aplicar las leyes de los exponentes

Comprobacioacuten del capiacutetulo

bull Determinar el antilogaritmo de un logaritmobull Efectuar caacutelculos utilizando logaritmosbull Comprender el concepto de progresioacuten aritmeacuteticabull Comprender el concepto de progresioacuten geomeacutetricabull Comprender el concepto de progresioacuten geomeacutetrica infinitabull Resolver ejercicios que involucren exponentes logaritmos y progresiones utilizando

hoja de caacutelculo Microsoft Excel

Foacutermulas importantes

Teacuterminos y conceptos importantesbull Antilogaritmobull Basebull Caracteriacutesticabull Cociente o razoacuten comuacutenbull Diferencia comuacutenbull Exponentebull Exponente cero

bull Exponente fraccionariobull Exponente negativobull Logaritmobull Mantisabull Progresioacuten aritmeacuteticabull Progresioacuten geomeacutetricabull Progresioacuten geomeacutetrica infinita

Foacutermulas importantesExponentes

am times an = am + n (11)aa

nm n= minus (12)

(am)n = amn (13)

(ab)n = anbn (14)

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= (15)

minus = 1 (16)

a am n mn = (17)

Logaritmos

log log logAB

A B⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= minus (19)

Progresiones aritmeacuteticas

u = t1 + (n minus 1)d (111)

t u= +2 1( ) (112)

t n d= + minus2

2 11[ ( ) ] (113)

Progresiones geomeacutetricas

= minusminus

para (115)

= minusminus

( )para (115ʹ)

Progresiones geomeacutetricas infinitas

minusminus lt lt1

11 1cuando ( ) (116)

1 Simplifique

a) ax a x4 3 5times

b) a y b y2 5 2 5times

c) a x a y x y3 4 2 3 2 6times times

d) ( )( )( )3 5 25 2 6x x x

f ) yy

g) ( ) ( )x y xy

4 3times

h) ( )d2 5

i) ( ) ( )i i3 3 2 3times

j) ( ) ( )( )( )39 9

2 4 3 5

4 4 2x xx x

Ejercicios complementarios

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

l) ( )x y3 5 2

⎝⎜

⎠⎟

n) x y x y

2 3 2 4

3timestimes

⎝⎜

⎠⎟

o) 2 5

⎝⎜

⎠⎟

p) ( ) ( )1 0 06 1 0 063 12+ times +

q) ( ) ( ) ( )( )

1 80 1 80 1 801 80

5 3 2times times

2 Simplifique

b) (5a)0 times (3a2)0 h) ( ) ( )y yminus minus minus3 5 2 2

i) ( )aminus minus1 4 2

j) ( )aminus2 5

k) ( )( )

minus minus

4 7 4 7 7

l) ( )( ) 125 1251 5 2 5minus minus

m) ( ) ( )1 0 075 1 0 0755+ times +minus

n) ( ) ( )

( )1 60 1 60

minus minustimes +

3 Simplifique hasta la miacutenima expresioacuten

a) minus5(5)minus2 =

b) minus =minus4 2a

c) ( )minus =minus4 2a

d) ( )

minus times

times=

minus2 22

2 2 4a aa a

e) x x

minus minus

( ) times ( )( ) times ( )

=2 4 1 4 2

1 2 4 2 4 4

c) b b1 5 1 4 times

e) b b

3 4 6 8

times⎛

⎝⎜

⎠⎟

f ) ( )( )( )x x xminus minus2 5 3

g) ( )yminus2 3

f ) 4 2

2minus

minus=

minus( )

g) ( ) 64 2 3 =

h) ( ) minus =64 2 3

i) ( ) 64 2 3minus =

j) ( ) minus =minus64 2 3

k) 27 13 1 3

( ) times⎡

⎣⎢

⎦⎥ =

l) 8 3 3 3 1 3 1 2

x y zminus minus( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

m) a ba b

minus minus

minus minus+ =

minus minus minus⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

divide⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

o) minus( ) =minus

8 3 1 3x

p) a x ax x

minus( )⎡⎣

⎤⎦ times minus⎡⎣ ⎤⎦ =

1 3 35 22 3

1 6 1 6 2

q) x y a b a b

3 1 2 6 1 4 3 3 1 4 2

⎡⎣

⎤⎦ times ⎡

⎣⎤⎦ times

⎡⎣

⎤⎦

minus minus

bbxy x y

⎡⎣

⎤⎦

times ⎡⎣

⎤⎦ =minus1

2 3 4 4 1 2

a) x y2 3

b) y xminus33 54

c) a a

d) b a b

3 2 53

3times⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

5 Determine el valor de las incoacutegnitas en las siguientes ecuaciones

a) 5x + 1 = 32x

b) ( ) ( ) 1 0 02 10 765163 1 2+ =n

c) 100 1 0 12 ( )x x= +

d) 5001 0 04 1

1 0 04 13000

1 4( )

( ) + minus+ minus

e) 250 51 0 01 1

0 01= + minus( )

f ) 250 51 1 0 01

0 01= minus + minus( )

6 Determine el logaritmo L

a) L = log2 (512)

b) L = log4 164

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c) L = log5 35 125

d) L = log10 10 000

a) log2 N = 0 d) log9 N = 12 b) log3 N = minus3 e) log10 N = 0 c) log5 N = minus1 f ) log10 N = 32

a) 125 f ) 354 b) 347 250 g) 1 348 c) 00000578 h) 40 d) 475862475 i) 17235 e) 03 j) 10005

a) 3 f ) 050 b) 30 g) 4 c) 300 h) 160 d) 3 000 i) 9 e) 00003 j) 2 700

a) 318 f ) 1000 000 b) 600 g) 45 372 000 c) 8 524 h) 00000045 d) 0375 i) 355 e) 732 j) 40

a)⎯1301030 f )⎯2602060 b) 1301030 g) minus0901090 c) minus1301030 h) 3275 d) 0 i) 22335 e) 425 j) 0901090

12 Exprese las siguientes relaciones con un solo logaritmo

a) (log ) (log ) (log )4 6 10minus + =

b) ( log ) ( log ) log4 2 6 3 23minus + =

c) ( log ) ( log ) ( log )12

27minus + =

d) (log )5 1minus = e) (log )5 1minus = f ) (log ) (log ) (log )10 5 20minus + =

13 Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales mediante el empleo de logaritmos

a) 1(1 + 080)n = 10 e) 1(1 + 075)minusn = 010 b) (1 + 075)n = 5 f ) 100(1 + 100)minusn = 1 c) 1000(1 + 0075)n = 10 000 g) (1 + 020)n = 2 d) 1(1 + 050)minusn = 010 h) 1 minus (1 + 005)minusn = 05

14 Determine la suma de las siguientes progresiones

a) 50 60 70 80 90 100 b) 32 24 16 8

d) minus minus minus minus minus minus16

15 iquestQueacute cantidad de intereses pagaraacute un tarjetahabiente bancario si adeuda $8 800 y los li-quidaraacute en 11 pagos mensuales maacutes intereses sobre saldos insolutos a razoacuten de 5 men-sual iquestCuaacutel seraacute el importe del uacuteltimo pago

16 Determine el uacuteltimo teacutermino y la suma de las siguientes progresiones

a) 5 40 320hellip 5 teacuterminos b) minus3 12 minus48hellip 8 teacuterminos

hellip 7 teacuterminos

minus hellip 10 teacuterminos

17 Un padre de familia decide formar un fondo de ahorro que paga 3 de intereacutes mensual con el fin de costear los estudios profesionales de su hijo de 8 antildeos Inicia el fondo con $500 y determina depositar en eacutel el doble de lo que exista depositado en cada cumpleantildeos de su hijo y hasta que eacuteste cumpla dieciocho antildeos iquestQueacute cantidad deberaacute depositar enel decimoquinto aniversario iquestQueacute cantidad deberaacute depositar en el decimoctavo antildeo iquestCuaacutento dinero habraacute depositado al finalizar el antildeo nuacutemero dieciocho

18 La moneda de un paiacutes se ha devaluado con respecto al doacutelar a razoacuten de 2 mensual du-rante el uacuteltimo antildeo Suponiendo que este factor de devaluacioacuten se mantuviera constante durante el proacuteximo antildeo iquestcuaacutel seraacute la paridad de dicha moneda al cabo de 12 meses si ac-tualmente es de 100 unidades por un doacutelar

19 Bajo el supuesto de una tasa de inflacioacuten de 2 mensual constante iquestcuaacutel seraacute el poder adquisitivo de $1 al cabo de 12 meses

20 Determine la suma de las progresiones geomeacutetricas siguientes a) 5 05 005 0005hellip b) 1 110 1100hellip c) minus1 110 minus1100hellip d) (1 + 050)0 (1 + 050)minus1 (1 + 050)minus2hellip 21 El Sr Peacuterez debe $8 000 Toma la decisioacuten de pagar $800 al final de cada 6 meses para dis-

minuir la deuda pero ademaacutes debe pagar 2 por concepto de intereses iquestCuaacutel seraacute el intereacutes total que debe pagar

22 iquestCuaacutel seraacute el tiempo que emplearaacute una persona en saldar una deuda de $2 000 si paga $250 la primera semana $260 la segunda $270 la tercera y asiacute sucesivamente

23 Una motocicleta con un costo inicial de $40 000 se deprecia a una tasa de 5 anual sobre el valor contable al inicio del ejercicio iquestCuaacutel seraacute su valor contable al final del 5o antildeo

24 Una investigacioacuten arrojoacute que la poblacioacuten de una ciudad se incrementaraacute 8 anual duran-te 5 antildeos Calcule el porcentaje total en que aumentaraacute la poblacioacuten al final de los cinco antildeos

11 Exponentes

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmEliges la materia de Matemaacuteticas Financieras Tema 2

httpwwwgaleoncomstudent_starexpyrad01htmEsta paacutegina contiene informacioacuten y ejemplos sobre exponentes y radicales

Matemaacuteticas en internet Fundamentos

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxprogreshtmprogaritExplicacioacuten sobre las progresiones aritmeacuteticas y ejercicios resueltos

httpwwwsectormatematicacleducsuperiorhtmEn la seccioacuten de Educacioacuten Superior encontraraacutes algunas secciones sobre progresiones arit-meacuteticas

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxprogreshtmprogeomExplicacioacuten sobre las progresiones geomeacutetricas y ejercicios resueltos

httpwwwsectormatematicacleducsuperiorhtmEn la seccioacuten de Educacioacuten Superior encontraraacutes algunas secciones sobre progresiones geo-meacutetricas

Matemaacuteticas en internet

bull Explicar los conceptos de intereacutes simple tiem-po capital monto valor actual tasa de inte-reacutes intereacutes descuento y ecuaciones de valores equivalentes

bull Distinguir y explicar la diferencia entre des-cuento real y descuento comercial asiacute como entre tiempo real y tiempo aproximado

bull Plantear y resolver ejemplos de caacutelculo de tasa de intereacutes tiempo capital monto valor actual y descuento a intereacutes simple

bull Plantear y resolver ejemplos de ecuaciones de valores equivalentes a intereacutes simple

bull Resolver ejercicios y aplicaciones de inte-reacutes simple utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg

Objetivos 21 Introduccioacuten y conceptos baacutesicos 22 Monto 23 Valor actual o presente 24 Intereacutes 25 Tasa y tipo de intereacutes 26 Plazo o tiempo 27 Tiempo real y tiempo aproximado 28 Descuento 29 Graacuteficas de intereacutes simple 210 Ecuaciones de valores equivalentes 211 Aplicaciones 212 Uso de Excel 213 Resumen

Temario

Intereacutes simple

CAPIacuteTULO2

CAPIacuteTULO 2 INTEREacuteS SIMPLE48

21 Introduccioacuten y conceptos baacutesicosSuponga la siguiente situacioacuten El sentildeor Loacutepez obtiene un preacutestamo por $20 000 que solicitoacute a un banco y acuerda pa-garlo despueacutes de dos meses entregaacutendole al banco $20 400 Este caso permite ejemplifi car una operacioacuten en la que interviene el intereacutes simple El supuesto fundamental del cual se parte es que el dinero aumenta su valor con el tiempo el sentildeor Loacutepez obtuvo inicialmente $20 000 y pagoacute dos meses despueacutes $20 400 esto es los $20 000 que le prestaron maacutes $400 de intereacutes que de acuerdo con el supuesto baacutesico es la cantidad en que aumentoacute el valor del preacutestamo original en dos meses Desde el punto de vista del banco esos intereses son su ganancia por el hecho de haber invertido su dinero en el preacutestamo y desde el punto de vista del sentildeor Loacutepez son el costo de haber utilizado los $20 000 durante dos meses Los elementos que intervienen en una operacioacuten de intereacutes son de acuerdo con el mismo ejemplo

C = el capital que se invierte = $20 000 t = el tiempo o plazo = dos meses I = el intereacutes simple = $400 M = el monto = capital maacutes intereses = $20 400 i = la tasa de intereacutes

La tasa de intereacutes refleja la relacioacuten que existe entre los intereses y el capital en el ejemplo

i = =40020 000

Si se le multiplica por 100 este cociente indica que el capital ganoacute 2 de intereacutes en dos me-ses pues $400 es 2 de $20 000 Luego para convertir a la misma base se acostumbra expresar tanto la tasa de intereacutes i como el tiempo t en unidades de antildeo por lo que seguacuten el ejemplo t = 2 meses y si el antildeo tiene 12 meses el tiempo expresado en unidades de antildeo es

t = 212 = 16

Y la tasa de intereacutes si es de 002 por bimestre en 6 bimestres seraacute

i = 002 (6) = 012 o expresado en porcentaje 012 times 100 = 12 anual

Tambieacuten se diferencia entre

a) la tasa de intereacutes 012 (expresada en decimales) yb) el tipo de intereacutes 12 (expresado en porcentaje)

Es importante observar que ambas son soacutelo expresiones distintas de lo mismo soacutelo que la primera es la forma algebraica de plantearlo mientras que su expresioacuten porcentual es la que maacutes se utiliza cuando se le maneja verbalmente Ademaacutes tambieacuten es de uso comuacuten hablar de ta-sas porcentuales de intereacutes (por ejemplo ldquocon una tasa de 9 anualrdquo)

En resumen y abundando sobre el ejemplo

C = $20 000 I = $400 t = 16 i = 012 M = $20 400

y se puede observar que en general

M = C + I (21) 20 400 = 20 000 + 400

El monto es igual al capital maacutes los intereses

I = C i t (22) 400 = 20 000 (012) (16)

El intereacutes es igual al capital multiplicado por la tasa y luego por el tiempo Combinando las dos expresiones anteriores

M = C + Cit (23)

M = C(1 + it) = 20 000[1 + 012(16)] = 20 000(102) = 20 400

Al factor (1 + it) se le conoce como factor de acumulacioacuten con intereacutes simple Otra relacioacuten que se puede observar es la siguiente

M = C (1 + it) (24)

itM it=

+= + = =minus minus

( )( ) ( ) (

11 20 400 1 02 20 400 0 91 1 880392)

C = 20 000

Este caso podriacutea pensarse con las mismas cantidades en los siguientes teacuterminos el sentildeor Chaacutevez tiene una deuda de $20 400 que debe pagar dentro de dos meses Si la operacioacuten estaacute pac-tada a 12 anual de intereacutes simple iquestcuaacutento deberiacutea pagar para saldar su deuda el diacutea de hoy La respuesta es desde luego $20 000 En este caso se comprenderaacute por queacute se acostumbra llamar a esta cantidad valor actual de la deuda o lo que es lo mismo valor actual de la opera-cioacuten Es necesario observar que el capital y el valor actual representan lo mismo soacutelo que en contextos diferentes el capital es una cantidad que se invierte ahora para obtener despueacutes un monto superior y el valor actual es precisamente el que tiene en este momento una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha futura En uacuteltima instancia ambos conceptos se pue-den pensar y plantear uno en funcioacuten del otro Maacutes adelante se presentan otros ejemplos para ilustrar de manera maacutes clara los diversos conceptos que se han explicado hasta aquiacute

21 Introduccioacuten y conceptos baacutesicos

22 Monto Ejemplo 221

Un comerciante adquiere un lote de mercanciacutea con valor de $3 500 que acuerda liquidar mediante un pago de inmediato de $1500 y un pago fi nal 4 meses despueacutes Acepta pagar 10 de intereacutes anual simple sobre el saldo iquestCuaacutento deberaacute pagar dentro de 4 meses

Solucioacuten C = 3 500 minus 1500 = 2 000 i = 010 t = 412 = 13

M = 2 000[1 + (010)(13)] = 2 000(1033333) = $2 06667

Deberaacute pagar $2 06667 de los cuales $2 000 son el capital que adeuda y $6667 los intereses de 4 meses

Ejemplo 222

Una persona deposita $150 000 en un fondo de inversiones bursaacutetiles que garantiza un rendimiento de 08 mensual Si retira su depoacutesito 24 diacuteas despueacutes iquestcuaacutento recibe

Solucioacuten C = 150 000 i = 08 mensual t = 2430 M = 150 000[1 + (0008)(45)] = 150 000(1 + 00064) = 150 960

Observe que en este caso se plantea tanto el tiempo como la tasa en meses

23 Valor actual o presenteEl valor actual que equivale al capital se puede encontrar despejando C en la foacutermula del monto (24) como sigue

Ejemplo 231

Una persona participa en una ldquotandardquo y le toca cobrar en el decimoctavo mes Si dentro de 18 meses recibiraacute $30 000 iquestcuaacutel es el valor actual de su tanda con un intereacutes simple de 20 anual

SolucioacutenM = $30 000 es un monto pues se trata de una cantidad de la que se dispondraacute en

una fecha futura t = 1812 = 15 i = 20 anual M = C(1 + it)

+⎡⎣ ⎤⎦( ) ( ( ))130 000

1 0 2 1 5

C = 30 000130 = $23 07692

En este caso $23 07692 es el valor actual de $30 000 realizables dentro de 18 meses con 20 anual de intereacutes simple

Ejemplo 232

Un individuo comproacute un automoacutevil nuevo por el cual pagoacute $195 000 el primero de ene-ro y lo vende el primero de junio del antildeo siguiente en $256 000 Aparte del uso que ya le dio del seguro que pagoacute otros gastos que hizo considerando soacutelo los valores de compra y venta iquestfue una inversioacuten conveniente la operacioacuten que realizoacute si la tasa de intereacutes de mercado era de 11

SolucioacutenEn este caso para evaluar la conveniencia se calcula el valor actual de $256 000 17 me-ses atraacutes a una tasa similar a las vigentes en ese lapso para comparar esa cantidad con lo que pagoacute

Pagado el primero de enero Valor actual de $256 000 17 meses antes a 11 anual simple

195 000 C =+

=256 0001 1 12 0 11

256 0001 155833( )( ) 7

C = $22148528

Ganoacute $26 48528 resultado de restar a $22148528 (precio de venta) los $195 000 del precio de compra al haber invertido en el automoacutevil en vez de haberlo hecho en una in-versioacuten bancaria o bursaacutetil que habriacutea tenido el mismo rendimiento del mercado

24 Intereacutes Ejemplo 241

Una persona obtiene un preacutestamo de $50 000 y acepta liquidarlo antildeo y medio des-pueacutes Acuerda que mientras exista el adeudo pagaraacute un intereacutes simple mensual de 15 iquestCuaacutento deberaacute pagar de intereacutes cada mes

24 Intereacutes

Solucioacuten a) C = 50 000 t = 1 mes i = 15 = 0015 I = 50 000(0015)(1) = $750

Tendraacute que pagar $750 mensualesPuesto que la tasa de intereacutes y el plazo estaacuten expresados en meses (la misma unidad

para ambos conceptos) el caacutelculo del intereacutes es directo

b) Para resolver este mismo ejemplo pero expresando las cantidades en periodos anua-les (ya no mensuales) se debe proceder de la siguiente manera

Solucioacuten C = 50 000 t = 112 i = (0015)(12) = 018 anual I = 50 000112)(018) = $750

Ejemplo 242

Si alguien deposita $75 000 en una cuenta bancaria que ofrece pagar 135 mensual sim-ple iquestcuaacutento recibiraacute mensualmente de intereses

Solucioacuten C = $75 000 i = 00135 mensual I = $75 000(00135)(1) I = $101250 mensuales

1 Se obtiene un creacutedito por $180 000 a 160 diacuteas con 15 de intereacutes anual simple iquestQueacute cantidad debe pagar al vencerse su deuda

2 iquestQueacute cantidad por concepto de intereacutes simple mensual produce un capital de $40 000 a un intereacutes de 13 anual simple

3 Si una persona deposita hoy $50 000 a plazo fijo con 220 de intereacutes mensual y no retira su depoacutesito y reinvierte sus intereses iquestcuaacutento tendraacute en su cuenta 3 meses des-pueacutes si la tasa de intereacutes no variacutea

4 Una persona adquiere hoy un automoacutevil que cuesta $220 000 Si suponemos que el vehiacuteculo aumenta su valor en forma constante y a razoacuten de 02 mensual iquestcuaacutel seraacute su valor despueacutes de 2 meses

5 Mariacutea Eugenia desea adquirir un inmueble dentro de 2 antildeos Supone que el enganche que tendraacute que pagar en esas fechas seraacute de $60 000 Si desea tener esa cantidad dentro

de 2 antildeos iquestqueacute suma debe invertir en su depoacutesito de renta fija que rinde 08 de inte-reacutes mensual simple

6 iquestQueacute cantidad debe invertir hoy a 18 de intereacutes simple mensual para tener $20 000 dentro de dos meses

7 iquestCuaacutel es el valor de un pagareacute por $5 000 que vence el 15 de septiembre si se considera un intereacutes de 5 anual simple y hoy es 11 de julio

8 Para terminar de saldar una deuda una persona debe pagar $3 500 el 15 de julio iquestCon queacute cantidad pagada hoy 13 de marzo liquidariacutea su deuda si se considera un intereacutes de 6 anual

9 Un mes despueacutes de haber obtenido un preacutestamo Joseacute Luis debe pagar exactamente $850 iquestCuaacutento obtuvo en preacutestamo si el pago que debe hacer incluye intereses de 18 anual

10 iquestCuaacutel es el valor actual de una letra de cambio de $ 9 000 que vence dentro de 60 diacuteas si la tasa de intereacutes es de 17 anual

11 Una persona que cobra $5 000 mensuales de sueldo es despedida por problemas finan-cieros de la empresa En consecuencia se le paga su correspondiente indemnizacioacuten que incluye 3 meses de sueldo diacuteas por antiguumledad y descuentos por impuestos lo que arroja un saldo neto de $45 000 iquestQueacute ingreso fijo mensual le representariacutea al ahora desempleado depositar el monto de su liquidacioacuten en una inversioacuten que paga 18 de intereacutes simple anual

12 iquestQueacute cantidad de dinero colocada en una inversioacuten de renta fija que paga 10 de in-tereacutes simple anual produce intereses mensuales de $450

13 iquestCuaacutento debe pagar por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por $22 000 si la liquida 6 meses despueacutes y le cobran intereses a razoacuten de 16 anual simple

14 iquestCuaacutento tendriacutea que pagar mensualmente por concepto de intereses una persona que adeuda $7 500 si le cobran 8 simple semestral

15 Salomeacute tiene 2 deudas a) Le debe $80 000 a un banco que cobra 15 mensual b) Comproacute a creacutedito un automoacutevil pagoacute determinado enganche y le quedoacute un saldo

de $125 000 que comenzaraacute a pagar dentro de 8 meses mientras tanto debe pagar 12 de intereacutes simple anual durante ese lapso

iquestCuaacutento pagaraacute en los proacuteximos seis meses por concepto de intereses16 Los movimientos de la cuenta de creacutedito de un cliente fueron

Saldo registrado el 14 de febrero $ 450 Cargo el 27 de febrero $ 150 Abono el 31 de marzo $ 400 Cargo el 15 de abril $1000 Cargo el 30 de abril $ 100 Si el almaceacuten cobra 14 anual de intereacutes iquestqueacute cantidad deberaacute pagar el cliente el

15 de mayo para saldar la cuenta

17 iquestCuaacutel es el saldo al 1o de junio de una cuenta de creacutedito a la que se le carga mensual-mente 18 de intereacutes simple anual y que ha tenido los siguientes movimientos

1 de marzo saldo $850 15 de marzo abono $150 31 de marzo cargo $450 15 de mayo abono $200 31 de mayo abono $250

18 Diez por ciento anual es un tipo razonable de intereacutes de rendimiento del dinero Por ello iquestcuaacutel de las tres ofertas de venta siguientes es maacutes conveniente para la compra de un terreno

a) $90 000 al contado b) $45 000 al contado y el saldo en dos pagareacutes uno por $25 000 a 30 diacuteas y otro por

la misma cantidad a 60 diacuteas c) $30 000 al contado y un pagareacute de $64 000 a 30 diacuteas

19 A las tasas vigentes iquestcuaacutento rinde de intereses mensuales un milloacuten de pesos en un depoacutesito a plazo fijo de

a) 28 diacuteas b) 91 diacuteas c) 180 diacuteas

20 A las tasas vigentes iquestqueacute cantidad se recibiriacutea al final de la transaccioacuten por un pagareacute con rendimiento liquidable al vencimiento por $50 000 a un plazo de 3 meses

25 Tasa y tipo de intereacutes Ejemplo 251

Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $1500 Paga un en-ganche de $800 y acuerda pagar otros $750 tres meses despueacutes iquestQueacute tipo de intereacutes sim-ple pagoacute

SolucioacutenC = 1500 minus 800 = 700 la cantidad que queda debiendo

t = 312 = 025 I = $750 minus $700 = $50

y con I = Cit

$50 = $700 i(025) $50 = i(700)(025) = 175i i = (50175) i = 0285714

Pagoacute un intereacutes de 2857 anual

Ejemplo 252

Una persona comproacute un automoacutevil el 1 de enero en $195 000 y lo vendioacute 17 meses des-pueacutes en $256 000 iquestQueacute tasa de intereacutes simple anual le rindioacute su inversioacuten

Solucioacuten C = 195 000 M = 256 000 t = 1712 antildeos i = de M = C(1 + it) 256 000 = 195 000[1 + i(1712)]

256 000195 000

= 1 + 1712 i = 1312821

1 312821 1 0 312821i = minus =

i = =12 0 31282117

0 220814( )

La tasa es de 02208 anual simpleObserve que si se hubiera preguntado el tipo de intereacutes la respuesta hubiera sido

convirtiendo simplemente a porcentaje

2208 de intereacutes anual simple

Ejemplo 253

iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes simple mensual equivalente a una tasa de 54 anual

i = =0 5412

o 45 mensual

Ejemplo 254

iquestCuaacutel es el tipo de intereacutes mensual simple equivalente a una tasa de 0165 semestral

i = = =0 1656

0 0275 2 75

mensual

26 Plazo o tiempo Ejemplo 261

iquestEn cuaacutento tiempo se duplica un capital invertido a una tasa de 19 de intereacutes anual simple

De M = C(1 + it) suponiendo M = 2 y C = 1 2 = 1[1 + (019)t]

26 Plazo o tiempo

1 + 019 t = 2 019 t = 2 minus 1 = 1 t = 1019 t = 526 antildeos

026 antildeos = 365 (026) diacuteas = 949 diacuteas t = 5 antildeos y 95 diacuteas aproximadamente

Observe que para resolver este problema soacutelo se necesitoacute suponer un monto igual al doble de cualquier capital Si se utiliza M = 30 C = 15

30 = 15(1 + 019 t) 3015 = 1 + 019 t 2 = 1 + 019 t que es la misma expresioacuten anterior

Ejemplo 262

iquestEn cuaacutento tiempo se acumulariacutean $5 000 si se depositaran hoy $3 000 en un fondo que paga 12 simple mensual M = 5 000 C = 3 000 i = 0012 mensual

5 000 = 3 000(1 + 0012t)

5 0003000

1 0 012= + t

1666667 = 1 + 0012 t 0012 t = 0666667 t = 06666670012 t = 5556 meses Como la tasa i estaba dada en meses el resultado que se obtiene en t tambieacuten estaacute en me-ses y 056 meses = 056 (30) diacuteas = 168 diacuteas entonces se deben depositar hoy $3 000 a 12 mensual simple durante 55 meses y 17 diacuteas aproximadamente para acumular la cantidad solicitada

27 Tiempo real y tiempo aproximadoExisten situaciones en las que el plazo de una operacioacuten se especifi ca mediante fechas en lugar de mencionar un nuacutemero de meses o antildeos

Ejemplo 271

iquestCuaacutel seraacute el monto el 24 de diciembre de un capital de $10 000 depositado el 15 de mayo del mismo antildeo en una cuenta de ahorros que paga 19 anual simple C = 10 000 i = 019 t =

a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el nuacutemero de diacuteas que transcurren entre las dos fechas (observe que el 15 de mayo no se incluye ya que si se deposita y retira una cantidad el mismo diacutea no se ganan intereses)

16 diacuteas de mayo 30 diacuteas de junio 31 diacuteas de julio 31 diacuteas de agosto 30 diacuteas de septiembre 31 diacuteas de octubre 30 diacuteas de noviembre 24 diacuteas de diciembre 223

y t = 223365

M = 10 000[1 + (019)(223365)] M = 10 000(1116082) M = 1116082

b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada contando meses enteros de 30 diacuteas y antildeos de 360 diacuteas

Por lo tanto del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses maacutes 9 diacuteas del 16 de di-ciembre al 24 de diciembre

7(30) + 9 = 219 diacuteas

t = 219360 M = 10 000 [1 + 019(219360)] = = 10 000(1115583) = 11 15583Aunque ocasiona diferencias en los valores que se obtienen se utiliza el caacutelculo aproximado del tiempo debido a que es maacutes sencillo y es comuacuten su uso en transacciones comerciales

Ejemplo 272

El 11 de julio se fi rmoacute un pagareacute por $1 700 con 18 de intereacutes iquestEn queacute fecha los intereses llegaraacuten a $150 a) Con tiempo exacto I = 150 C = 1 700 i = 018 I = Cit 150 = $1 700(018) t 150 = $306 t

t = =150306

0 490196 antildeos pues la tasa estaacute en antildeos

27 Tiempo real y tiempo aproximado

0490196(365) = 17892 o aproximando 179 diacuteas

Al 31 de julio 20 Al 31 de agosto 20 + 31 = 51 Al 30 de septiembre 51 + 30 = 81 Al 31 de octubre 81 + 31 = 112 Al 30 de noviembre 112 + 30 = 142 Al 31 de diciembre 142 + 31 = 173 Al 6 de enero 173 + 6 = 179

El 6 de enero del antildeo siguiente se acumulan $150 de intereses

b) Con tiempo aproximado

t = 0490196 [igual que en a)]0490196(360) = 17647 o aproximando 177 diacuteas

Como sabemos 177 diacuteas son 5 meses y 27 diacuteas por lo que del 11 de julio maacutes cinco me-ses = 11 de diciembre A partir de esta fecha maacutes 27 diacuteas = 7 de enero

21 Encuentre el intereacutes simple a) real y b) aproximado u ordinario de un preacutestamo de $1500 a 60 diacuteas con 15 de intereacutes

simple22 iquestQueacute forma de calcular el tiempo real u ordinario produce una mayor cantidad de

intereses23 De acuerdo con el tiempo ordinario iquestcuaacutentos diacuteas transcurren desde el 15 de marzo

hasta el 18 de diciembre24 De acuerdo con el criterio real iquestcuaacutento tiempo transcurre desde el 14 de mayo hasta

el 15 de noviembre25 iquestA queacute tasa de intereacutes simple anual $2 500 acumulan intereses por $250 en 6 meses26 iquestA queacute tasa de intereacutes simple se duplica un capital en 20 meses27 iquestEn queacute tiempo $2 000 se convierten en $2 500 a 14 de intereacutes simple anual28 Una persona le prestoacute $400 a un amigo y 4 meses despueacutes le cobroacute $410 iquestQueacute tasa

anual de intereacutes pagoacute el amigo29 El sentildeor Martiacutenez obtiene un preacutestamo por $2 000 y paga despueacutes de 8 meses $2 200

iquestQueacute tasa de intereacutes mensual simple le cobraron30 Una bicicleta cuesta $800 Un comprador paga $500 al contado y el resto a 60 diacuteas

con un recargo de 5 sobre el precio al contado iquestQueacute tasa de intereacutes anual simple le aplicaron

31 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes simple proporcional bimestral equivalente a una tasa de 16 anual

32 iquestCuaacutel es la tasa simple anual equivalente a una tasa trimestral simple de 533 iquestCuaacutel es la fecha de vencimiento de un pagareacute firmado el 15 de junio a un plazo de

180 diacuteas34 Una sentildeora reembolsa $20508 por un pagareacute de $185 firmado el 10 de mayo con

38 de intereacutes simple anual iquestCuaacutendo lo pagoacute35 Una persona adquiere una licuadora que cuesta $320 el 14 de agosto y la paga el 26 de

noviembre con un abono de $350 iquestQueacute tasa de intereacutes simple anual exacto pagoacute36 El 15 de febrero se firmoacute un pagareacute de $1500 con 22 de intereacutes simple anual iquestEn

queacute fecha los intereses sumaraacuten $40037 Investigue queacute tasa de intereacutes simple mensual carga alguna tienda de departamentos

sobre cuentas de creacutedito corriente38 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes simple anual que pagan los Bonos del Ahorro Nacional si

duplican la inversioacuten en cinco antildeos

28 DescuentoEl descuento es una operacioacuten de creacutedito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias que consta en que eacutestas adquieren letras de cambio o pagareacutes de cuyo valor nomi-nal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengariacutea el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento Con esta operacioacuten se anticipa el valor actual del documento Existen baacutesicamente dos formas de calcular el descuento

bull El descuento comercialbull El descuento real o justo

281 Descuento comercial

En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento como se ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 281

Observe el pagareacute que aparece en la siguiente paacuteginaSi el banco realiza operaciones de descuento a 20 anual y si el sentildeor Diacuteaz desea

descontar el documento el 15 de junio los $185 000 (el valor nominal del pagareacute) deven-garaacuten los siguientes intereses (descuento) durante los 2 meses en que se adelanta el valor actual del documento

descuento = D

D = Mit = Mdt (25)

28 Descuento

En consecuencia $6 16667 es el descuento que se aplica

valor nominal 185 00000menos descuento 6 16667 valor anticipado 178 83333

Por lo tanto el sentildeor Diacuteaz recibe $178 83333 que es el valor comercial del documento el 15 de junio ya que se aplicoacute el descuento comercial Tal como se habiacutea sentildealado al principio el descuento se calculoacute con base en el valor nominal del pagareacute

Ejemplo 282

Una empresa descontoacute en un banco un pagareacute Recibioacute $166 66667 Si el tipo de descuen-to es de 30 y el pagareacute venciacutea 4 meses despueacutes de su descuento iquestcuaacutel era el valor nomi-nal del documento en la fecha de su vencimiento

SolucioacutenAquiacute C = 166 66667 d = 030 t = 412 de antildeo = 13 de antildeo

Se sabe que el descuento (D) = Mdt y M = C + D

D = (C + D) dt = Cdt + Ddt D minus Ddt = Cdt

Nuacutem 0000 Meacutexico DF a 10 de mayo de 20 XX $ 185 000

Por este PAGAREacute prometo(emos) pagar incondicionalmente a la orden

de Alfredo Diacuteaz Villanueva el diacutea 15 de agosto de 20XX la cantidad de ciento ochenta y cinco mil pesos 00100 valor recibido en

mercanciacutea a mi (nuestra) entera satisfaccioacuten

En caso de que no pague(mos) puntualmente me(nos) obligo(amos) a cubrir mensual por con-cepto de intereses moratorios sin que por eso se entienda prorrogado el plazo Este documento for-ma parte de una serie de documentos por lo que la falta de pago de uno de ellos faculta aplicar el artiacuteculo 79 en relacioacuten con el No 174 de la Ley General de Tiacutetulos y Operaciones de Creacutedito

Alma Gonzaacutelez Nava

en donde d representa la tasa de descuento

185 000(212)(020) = 185 000(0033333) = 6 16667

D(1 minus dt) = Cdt

minus1

D =minus

=166 666 67 0 30 1 31 0 30 1 3

166 666 ( )( )( )( )

667 0 101 0 10

16 666 670 90

D = $18 51852

Por lo tanto el valor del pagareacute en su fecha de vencimiento es

166 66667 + 18 51852 = $185 18519

Ejemplo 283

Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $94505 Si el tipo de descuento es de 25 y el valor nominal del documento era de $1 000 iquestcuaacutento tiempo faltaba para el vencimiento

Solucioacuten M = 1 000 C = 94505 d = 025 D = 1 000 minus 94505 D = 5495 D = Mdt 5495 = 1 000(025)t

t = 54 95250

= 021980 de antildeo = 021980(12)meses asymp 264 meses

064 meses (30) = 1920 o aproximando 19 diacuteas

El plazo es de 2 meses y 19 diacuteas

282 Descuento real o justo

A diferencia del descuento comercial el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa y no sobre el valor nominal

Ejemplo 284

Con los datos del ejemplo 281

M = $185 000 t = 212 d = 020

28 Descuento

SolucioacutenDe acuerdo con el descuento real sustituyendo en la foacutermula del monto a intereacutes simple (el intereacutes real)

185 000 = C[1 + 020(212)] 185 000 = C(1 + 0033333)

C = =185 0001 033333

179 032 26

Por lo que el descuento asciende a

185 000 minus 179 03226 = $5 96774

que es un tanto inferior al descuento comercial

Ejemplo 285

Datos del ejemplo 282

C = 166 66667 d = 030 t = 13

Solucioacuten M = 166 666 67[1 + 03(13)] M = 166 66667(110) M = $183 33334

Si la operacioacuten se hubiera llevado a cabo bajo descuento real el valor nominal del pagareacute habriacutea sido de $183 33334

Observe la diferencia con los resultados obtenidos en el ejemplo 282 bajo descuen-to comercial

Descuento justo = $183 33334 minus 166 66667 = 16 66667Descuento comercial = 185 18519 minus 166 66667 = 18 51852

El descuento justo equivale a 10 del capital en tanto que el descuento comercial equi-vale a 10 del monto

Ejemplo 286

M = 1 000 C = 94505 d = 025

Solucioacuten M = C(1 + dt) 1 000 = 94505(1 + 025t)

1 000945 05

1 0 25

( )= + t

1058145 = 1 + 025t 1058145 minus 1 = 025t

0 058145

t = 0232580

0232580 antildeos = 279096 meses = 2 meses 2372 diacuteas

Plazo con descuento comercial 2 meses y 19 diacuteasPlazo con descuento real asymp 2 meses y 24 diacuteas

29 Graacutefi cas de intereacutes simpleGrafi car I y M en un sistema de coordenadas rectangulares ayuda a observar lo que le ocurre al dinero con el tiempo

291 Graacutefi ca de I

Ya se vio que I = CitSi se supone que C = 1Entonces I = it

De esta forma la graacutefi ca de los valores de I en funcioacuten del tiempo son liacuteneas rectas que pasan por el origen y que tienen como pendiente i como puede apreciarse en la graacutefi ca A

GRAacuteFICA A

29 Graacutefi cas de intereacutes simple

1 2 3 t (antildeos)

GRAacuteFICA B

Observe que como era de esperarse la recta sube maacutes raacutepidamente (el intereacutes es mayor) cuando la pendiente (la tasa de intereacutes) es mayor

292 Graacutefi ca de M

De M = C(1 + it)Si C = 1 M = 1 + it

y (1 + it) representa el monto de $1 para diferentes valores de i de t (graacutefi ca B) Al igual que en la graacutefi ca del intereacutes la recta sube con mayor rapidez (el monto es mayor) cuando la pendiente (la tasa de intereacutes) es mayor

Ejercicios de las secciones 28 y 29

39 Elabore una graacutefica del intereacutes que se produce en un mes con un capital de $1 000 in-vertidos en depoacutesitos a plazo fijo de

a) 60 diacuteas b) 90 diacuteas c) 180 diacuteas d) 360 diacuteas40 Confeccione otras graacuteficas con las mismas alternativas anteriores pero considerando

el monto41 iquestCuaacutel es el descuento comercial de un documento que vence dentro de 5 meses y

que tiene un valor nominal de $3 850 si se le descuenta a una tasa de 18 tres meses antes de su vencimiento

42 iquestCuaacutel es el descuento real del documento del ejercicio 4143 Si se descuenta el documento de la paacutegina siguiente a una tasa de 23 el 29 de

agosto a) iquestCuaacutel seriacutea el descuento comercial b) iquestCuaacutel seriacutea el descuento justo

1 2 3 t (antildeos)

44 iquestEn queacute fecha se descontoacute un documento con valor nominal de $3 000 si su fecha de vencimiento era el 29 de diciembre el tipo de descuento 15 y el descuento comer-cial fue de $11250

45 iquestEn queacute fecha se descontoacute un documento con valor nominal de $5 750 si su fecha de vencimiento era el 15 de octubre el tipo de descuento comercial 32 y el descuento de $53156

46 iquestEn queacute fecha se descontoacute un documento con valor nominal de $1250 si su fecha de ven-cimiento era el 27 de junio el tipo de descuento 42 y se recibieron $121792 netos

47 iquestQueacute tasa de descuento real se aplicoacute a un documento con valor nominal de $700 si se descontoacute 60 diacuteas antes de su vencimiento y se recibieron $66667 netos Considere a) tiempo aproximado y b) tiempo real

48 iquestQueacute tasa de descuento real se aplicoacute a un documento con valor nominal de $1000 si se descontoacute 45 diacuteas antes de su vencimiento y el descuento fue de $3048

49 iquestQueacute tasa de descuento comercial se aplicoacute a un documento con valor nominal de $1 750 si se descontoacute 90 diacuteas antes de su vencimiento y se recibieron $1 59250 netos

50 iquestQueacute tasa de descuento comercial se aplicoacute a un documento con valor nominal de $38 500 si se descontoacute 15 diacuteas antes de su vencimiento y el descuento fue de $315

51 iquestCuaacutel es el valor nominal de un pagareacute por el cual se recibieron $143979 si se des-contoacute comercialmente a un tipo de 17 85 diacuteas antes de su vencimiento

52 iquestCuaacutel era el valor nominal de un documento que se descontoacute comercialmente 2 meses antes de su vencimiento si el tipo de descuento fue de 18 y el descuento importoacute $150

53 iquestCon cuaacutentos diacuteas de anticipacioacuten se descontoacute un documento cuyo valor era de $4 270 si el tipo de descuento comercial fue de 27 y el descuento aplicado fue de $28822

54 iquestCon queacute anticipacioacuten se descontoacute un documento cuyo valor nominal era de $1300 con tipo de descuento comercial de 35 si la cantidad neta recibida fue de $1 15404

Nuacutem 0000 Zihuatanejo Gro a 10 de marzo de 20 XX $ 580 000

de Alfonso Martiacutenez Saacutenchez el diacutea 18 de octubre de 20XX la cantidad de quinientos ochenta mil pesos 00100 valor recibido en efec-tivo a mi (nuestra) entera satisfaccioacuten

En caso de que no pague(mos) puntualmente me(nos) obligo(amos) a cubrir mensual por con-cepto de intereses moratorios sin que por eso se entienda prorrogado el plazo Este documento forma parte de una serie de documentos por lo que la falta de pago de uno de ellos faculta a aplicar el artiacuteculo 79 en relacioacuten con el No 174 de la Ley General de Tiacutetulos y Operaciones de Creacutedito

55 iquestCuaacutel era la fecha de vencimiento de un pagareacute con valor nominal de $3 500 por el cual se recibieron $3 42086 netos el 14 de julio si el tipo comercial de descuento aplicado fue de 22

56 iquestCuaacutel era la fecha de vencimiento de un pagareacute con valor nominal de $240 000 por el que se recibieron $227 68000 el 14 de diciembre si el tipo de descuento aplicado fue de 22

57 iquestCuaacutel era la fecha de vencimiento de un pagareacute nominal de $17 000 que se descontoacute co-mercialmente a una tasa de 27 el 12 de enero cuyo descuento ascendioacute a $42075

58 iquestCuaacutel era la fecha de vencimiento de un pagareacute con valor nominal de $748 que fue descontado a tasa real el 17 de octubre a 115 y cuyo descuento ascendioacute a $1569

59 El sentildeor Loacutepez le debe al sentildeor Montiel $5 000 Eacuteste acepta como pago un documen-to a 90 diacuteas si el sentildeor Montiel puede descontarlo de inmediato en un banco que aplica un tipo de descuento de 30 anual simple iquestcuaacutel debe ser el valor nominal del documento para que el sentildeor Montiel reciba del banco los $5 000 adeudados

60 Si un banco desea ganar 15 de intereacutes simple en el descuento de documentos iquestqueacute tasa de descuento debe utilizar si el plazo es de a) 3 meses y b) 9 meses

61 El Banco del Norte descuenta a un cliente a una tasa de 20 un pagareacute con valor no-minal de $2 500 000 que vence en 60 diacuteas Ese diacutea dicho banco descuenta en el Banco Agriacutecola ese mismo documento a una tasa de 18 iquestCuaacutel fue la utilidad que obtuvo

62 iquestCuaacutel es el precio de colocacioacuten de un certificado de tesoreriacutea (CETE) con valor nominal de $10 que se coloca a una tasa de descuento de 9 y que tiene un ven-cimiento a 28 diacuteas

210 Ecuaciones de valores equivalentesEs un caso muy frecuente y por eso importante que en las operaciones fi nancieras haya dos o maacutes transacciones diferentes que deben replantearse para transformarlas en una operacioacuten uacutenica Este documento de ecuaciones de valores equivalentes es uno de los maacutes importantes en matemaacuteticas fi nancieras por lo que es necesario asegurarse de que se comprenda cabalmente En todos los demaacutes temas se encontraraacuten abundantes ejemplos de este concepto En su forma maacutes simple podriacutea considerarse por ejemplo que la foacutermula del monto a in-tereacutes simple es una ecuacioacuten de valores equivalentes ya que

M = C(1 + it)El monto M es equivalente a un capital C colocado a un tiempo t y a una tasa i Enseguida se presentan otros ejemplos

Ejemplo 2101

Una empresa fi rma un pagareacute por $120 000 a 90 diacuteas a 25 Treinta diacuteas despueacutes con-trae una deuda por $100 000 para pagarla 2 meses despueacutes sin intereses Dos meses despueacutes de la primera fecha acuerda con un acreedor pagar $150 000 en ese momento y para saldar el resto de su deuda hacer un pago fi nal 3 meses despueacutes de la uacuteltima fecha con intereacutes de 30 Determine el pago fi nal convenido

SolucioacutenEn primer lugar conviene identifi car que las operaciones implicadas son cuatro dos de contratacioacuten de deuda y dos de pago Por otro lado observe que el valor total de las opera-ciones de adeudo debe ser igual al valor total de las operaciones de pago

Operaciones de contratacioacuten de deuda

Operaciones de pago

I $120 000 a 90 diacuteas a 25 A $150 000 dos meses despueacutes

II 30 diacuteas despueacutes $100 000 a dos meses sin intereacutes

B Pago fi nal (desconocido) cinco meses despueacutes de la primera fecha

Con base en el cuadro anterior se puede plantear la equivalencia en este simple ejemplo comoI + II = A + B

De esta idea proviene el nombre de ecuaciones equivalentesSe acostumbra utilizar lo que se conoce como ldquodiagramas de tiempo y valorrdquo para repre-

sentar la situacioacuten graacutefi camente

Sobre la recta se representa el tiempo en este caso en meses

bull Sobre el tiempo 0 estaacute marcada la operacioacuten Ibull Sobre el tiempo 1 estaacute marcada la operacioacuten IIbull Sobre el tiempo 2 estaacute marcada la operacioacuten Abull Sobre el tiempo 5 estaacute marcada la operacioacuten B

En esta uacuteltima operacioacuten la X representa la cantidad que se trata de calcularAhora bien para determinar la equivalencia es necesario encontrar el valor de las dife-

rentes operaciones en una sola fecha para que sea posible compararlas Esto es asiacute porque como se sabe el valor del dinero es diferente en tiempos diferentes y las operaciones estaacuten planteadas en tiempos distintos

La fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones se co-noce como fecha focal y en el ejemplo es faacutecil ver que resulta conveniente escoger como fecha focal el momento en que se debe realizar el pago fi nal para saldar todas las opera-ciones (cinco meses despueacutes de la primera fecha) Asiacute

I El valor de la operacioacuten I dentro de 3 meses es

120 000[1 + (025)(312)] = 120 000(10625) = 127 500 que es su valor a los 90 diacuteas (3 meses)

120 000 100 000 150 000 X I II A B

0 1 2 3 4 5

210 Ecuaciones de valores equivalentes

y luego de su valor a 60 diacuteas hasta el quinto mes (2 meses maacutes) a 30 que fue lo conve-nido para saldar la operacioacuten

127 500[1 + (030)(212)] = 127 500(10500) = 133 875

La operacioacuten I (120 000 en el tiempo 0) equivalente a $133 875 en 5 meses

II Para la operacioacuten II

Esta operacioacuten se contratoacute sin intereses por lo cual vale 100 000 dos meses antes de la fecha focal en la cual su valor seraacute

100 000[1 + (030)(212)] = 100 000(10500) = 105 000

A Para eacutesta los $150 000 que pagoacute a los 2 meses valen al quinto mes

150 000[1 + (030)(312)] = 150 000(1075) = $161250

B Finalmente X se realizaraacute en la fecha focal por lo que estaraacute dado a su valor en ese momento

De regreso al planteamiento de la ecuacioacuten de valores equivalentes

Valor total de las deudas = valor total de los pagos

I + II = A + B 133 875 + 105 000 = 161250 + X X = 133 875 + 105 000 minus 161250 X = 77 625que es la cantidad que habraacute de pagar esa persona en el quinto mes para saldar todas las operaciones

Ahora conviene observar en forma resumida todo lo que se hizo para llegar a la solucioacuten

I + II = A + B 133 875 + 105 000 = 161250 + X

27 500(10500) + 100 000(10500) = 150 000(10750) + X120 000(10625)(10500) + 100 000(10500) = 150 000(10750) + X120 000[1 + (025)(312)][1 + (030(212)] + 100 000[1 + (030)(212)] = 150 000[1 + (030)(312)] + X

Esta expresioacuten representa el planteamiento completo donde a cada cantidad se le aplicaraacuten los valores correspondientes de tiempos y tasas de intereacutes para encontrar su va-lor en la fecha focal

En los casos de intereacutes simple es muy importante identifi car la fecha focal de acuerdo con lo pactado en las operaciones pues el cambio de fecha focal produce variaciones en las cantidades Esto se ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 2102

Resuelva el ejemplo 2101 utilizando como fecha focal el cuarto mes en vez del quinto

SolucioacutenDeudas = Pagos

120 000[1 + (025)(312)][1 + (03)(112)] + 100 000[1 + (03)(112)] =

150 000[1 + (03)(212)] + X

1 0 3 1 12+ ( )( )

120 000(10625)(10250) + 100 000(10250) = 150 000(10500) + X

1 0250

130 68750 + 102 500 = 157 500 + X

1 0250

23318750 minus 157 500 = X

1 0250

X = 75 68750(10250)X = 77 57969

Esta cantidad es diferente a la que se encontroacute utilizando el quinto mes como fecha focal Este ejemplo indica que en el caso de las ecuaciones de valores equivalentes a intereacutes simple las fechas focales diferentes producen resultados diferentes

Ejemplo 2103

Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000 con 40 de intereacutes simple que vence dentro de 4 meses Ademaacutes debe pagar otra deuda de $150 000 contraiacuteda hace 2 meses con 35 de intereacutes simple y que vence dentro de dos meses Considerando un intereacutes de 42 iquestqueacute pago deberaacute hacer hoy para saldar sus deudas si se compromete a pagar $100 000 dentro de 6 meses

SolucioacutenLas deudas son $200 000 de 8 meses antes que vence dentro de 4 meses a 40 y de $150 000 de 2 meses antes que vence dentro de 2 meses a 35 los pagos son X hoy $100 000 den-tro de 6 meses

La fecha focal es el diacutea de hoyEl diagrama de tiempo y valor es

ndash8 ndash7 ndash6 ndash5 ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 0 1 2 3 4 5 6 X 100 000

200 000 150 000

A su vencimiento el valor de la primera deuda es

200 000[1 + 040(1212)]200 000 (14) = 280 000

mientras que su valor en la fecha focal asciende a

280 0001 0 42 4 12

280 0001 14

245 614 04+

= =( )( )

A su vencimiento el valor de la segunda deuda es

150 000[1 + 035(412)] = 167 500

y su valor en la fecha focal

167 5001 0 42 2 12

167 5001 07

156542 06+

= =( )( )

El valor de $100 000 en la fecha focal es

100 0001 0 42 6 12

100 0001 21

82 644 63+

= =( )( )

en donde

X = 245 61404 + 156 54206 minus 82 64463 X = 319 51147

211 Aplicaciones Ventas a plazo Tarjetas de creacutedito Preacutestamos prendarios (empentildeo) Pagos anticipados de facturas

Ejemplo 2111

Suponga que una persona tiene una cuenta de creacutedito en un almaceacuten sobre la que paga 18 de intereacutes y que muestra los siguientes movimientos en los uacuteltimos meses

Saldo al 1 de junio $4 000 Abono el 16 de junio $2 000 Cargo el 11 de julio $2 500 Cargo el 31 de julio $ 150 Abono el 15 de agosto $2 000

Calcule el saldo al 15 de septiembre

SolucioacutenDel 1 al 16 de junio el saldo de $4 000 causa intereacutes y llega a un monto de

4 000[1 + 018(15360)] = 4 000(10075)

4 030 monto al 16 de junio (2 000) menos lo abonado el 16 de junio

2 030 Este saldo causa intereacutes durante 25 diacuteas por lo que se convierte en un monto de

2 030 [1 + 018(25360)] = 2 030(10125) = 2 05538

2 05538 Saldo al 11 de julio antes del cargo maacutes 2 500 el cargo causado el 11 de julio

4 55538 Saldo al 11 de julio Este saldo que incluye el cargo del 11 de julio causa in-tereacutes durante 20 diacuteas y llega el 31 de julio a un monto de

4 55538 [1 + 018(20360)] = 4 60093

4 60093 Saldo al 31 de julio antes del cargo maacutes 150 el cargo causado el 31 de julio

4 75093 Saldo al 31 de julio que el 15 de agosto se convierte en un monto de

4 75093 [1 + 018(15360)] = 4 75093(10075)

4 78656 2 000 menos el abono del 15 de agosto

2 78656 saldo que crece al 15 de septiembre a un monto de

2 78656 [1 + 018(112)] = 2 78656(10150)

2 82835 que es el saldo al 15 de septiembre

Ejemplo 2112

A continuacioacuten se analiza la forma en que se calculan los intereses que se cargan a los cuen-tahabientes de tarjetas de creacutedito En este caso particular observe los estados de cuenta de un tarjetahabiente bancario que se muestran a continuacioacuten

Se puede observar que el cuerpo de ese estado de cuenta estaacute dividido en tres seccio-nes dos yuxtapuestas en la parte superior y una tercera seccioacuten en la parte inferior que tie-ne como encabezado ldquoDetalle de operacionesrdquo

211 Aplicaciones

La seccioacuten de la parte superior izquierda a la que para simplifi car se denominaraacute ldquola izquierdardquo sentildeala en su parte superior que la ldquotasa personal anualizadardquo es de 3368 en tanto que en la parte inferior de la seccioacuten derecha se anota que la ldquotasa mensual de int por creacuteditordquo es de 290

Lo primero que es necesario observar es la incongruencia entre estas dos tasas ya que la ldquotasa anualizadardquo correspondiente a 290 mensual es de 290 times 12=3480 que no corresponde con 3368 que se anota en la otra seccioacuten Esta tasa la de 3368 corres-ponderiacutea a una tasa mensual de 336812=2806667 que se redondeariacutea a 281 Ademaacutes como se ilustra maacutes adelante ninguna de estas dos tasas es la que se utilizoacute para calcular los intereses

En la seccioacuten izquierda se puede ver que el saldo anterior de la cuenta fue de $9 43518 y que soacutelo se hicieron pagos y depoacutesitos por $1 00000 por lo que correspondiacutea cobrar inte-reses en este estado de cuenta lo cual se hizo por un total de $34087 maacutes $4523 de ldquoIVA por intereses y comisionesrdquo como se puede apreciar en la seccioacuten izquierda

Se ilustra enseguida la forma en la que se calculan estos intereses con intereacutes simple Se resumen las operaciones en el cuadro siguiente

Fecha PesosDiacuteas

transcurridos Intereses Saldo Tasa

16-ago 9 43518 9 882057237 003116225-ago 2223025-ago 4211525-ago 1441325-ago 1 18000 11 490965705-sep minus1 00000 11 13130 10 6222616-sep 11753 11 12137067716-sep 1499116-sep 1 1110016-sep 3015316-sep 393416-sep 4523 340872941 12 16730

El cuadro reproduce baacutesicamente la parte inferior del estado de cuenta sin incluir los conceptos En la columna de diacuteas transcurridos se muestran los diacuteas que pasaron en-tre el 16 de agosto y las fechas de las operaciones correspondientes (16 de agosto es la fe-cha de corte seguacuten se puede apreciar en la fecha del saldo anterior en la seccioacuten izquierda y tambieacuten en la seccioacuten derecha donde se marca que el periodo es del 17 de agosto al 16 de septiembre)

Como los intereses se van calculando de manera acumulada hasta la siguiente ope-racioacuten los $882057237 que aparecen en la cuarta columna se calcularon con la tasa del 0031162 que es la que hace que se obtengan los intereses cargados en este estado de

73211 Aplicaciones

cuenta y que se anota en el primer rengloacuten de la uacuteltima columna y durante los 9 diacuteas que transcurrieron hasta el 25 de agosto la siguiente fecha en la que hubo movimientos Esos $882057237 son entonces los intereses simples de $9 43518 durante nueve diacuteas a esa tasa de 0031162 o 9 43518 times 0031162 times 930 = $882057237

Por su parte los $11 4909657 que aparecen como primer saldo en el sexto rengloacuten son la suma del saldo anterior (9 43518) maacutes los intereses generados por esta cantidad entre el 16 y el 25 de agosto ($882057237) maacutes los cuatro cargos del 25 de agosto

9 43518 + 882057237 + 22230 + 42115 + 14413 + 1 180 = $11 49097

Y este saldo generoacute intereses del 25 de agosto hasta el 5 de septiembre (11 diacuteas) por 11 490965700311621130 = 13130 que es la cantidad que aparece en el cuarto rengloacuten y seacuteptima columna Como en esta fecha del 5 de septiembre se abonaron $1 000 a la cuenta el nuevo saldo es el saldo anterior maacutes los intereses generados menos este pago que arro-ja los $10 62226 que aparecen como saldo abajo del anterior 11 4909657 + 13130 minus 1 000 = 10 62226

Finalmente este uacuteltimo saldo generoacute otros 11 diacuteas de intereses del 5 al 16 de septiem-bre la fecha de corte 10 62226 times 0031162 times 1130 = 121370716 que es la cantidad que aparece como intereses el 16 de septiembre La cantidad que aparece en el uacuteltimo rengloacuten de la columna de intereses es de $34087 que aparecen como intereses en la seccioacuten izquierda del estado de cuenta que se estaacute analizando

D E T A L L E D E O P E R A C I O N E S

FECHA CONCEPTO POBLACION MONEDA PESOS RFC EXTRANJERA

AGO25 LIVERPOOL PERISU 11 13 MEXICO DF 22230AGO25 LIVERPOOL PERISU 11 13 MEXICO DF 42115AGO25 SEARS PERISUR 11 12 CIUDAD DE ME 14413AGO25 LOS CAMPOS D LA BELLEZ CBE 021011IM7 118000SEP05 SU ABONO GRACIAS 100000ndashSEP16 PALACIO HIERRO 02 12 11753SEP16 PALACIO HIERRO 02 12 14991SEP16 MARTI 06 09 111100SEP16 INTERES GRAVABLE 30153SEP16 INTERES EXENTO 3934SEP16 IVA POR INTERESES Y CO MISIONES 4523

Tasa personalanualizada 3368

SALDO ANTERIOR 943518SUS PAGOS Y DEPOSITOS 100000-SUS COMPRAS Y DISPOSICIONES 334602COMISIONES 000INTERESES POR CREDITO 34087IVA POR INT Y COMIS 4523SALDO ACTUAL 1216730

PERIODO DEL 17-AGO-2007 AL 16-SEP-2007FECHA DE CORTE 16-SEP-2007

LIMITE DE CREDITO 8150000 CREDITO DISPONIBLE 6189400 TASA MENSUAL DE INT POR CREDITO 290

CONTADOR PERSONALPago Puntual Consecutivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Tasa de Intereacutes NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2 N 3

NIVEL CUMPLIDO

Como puede verse de lo anterior y como ya se habiacutea apuntado antes los intereses que cobra este banco (Banamex) no soacutelo no corresponden con los anunciados (que no son congruentes entre siacute) sino que ademaacutes son superiores a cualquiera de los dos anunciados 312 mensual contra 281 y 290 que se anuncian Si se realizan estas mismas ope-raciones con las tasas anunciadas se obtienen $30707 y $31600 de intereses respectiva-mente (Veacutease fi gura de la paacutegina anterior)

Ejemplo 2113Una persona acude al Nacional Monte de Piedad a empentildear un televisor para lo cual pre-senta el aparato y la correspondiente factura El valuador que examina la prenda le ofrece un preacutestamo de $1500 que es aceptado por el solicitante Si esta institucioacuten carga 25 mensual sobre el preacutestamo iquestcuaacutento deberaacute pagar el duentildeo del televisor para recuperar el aparato despueacutes de 50 diacuteas de otorgado el preacutestamo

SolucioacutenEacuteste es un caso de monto en donde

C = 1500 i = 0025 mensual t = 5030 meses

M = 1500[1 + 0025(5030)] = 1500(10417) M = $156250

Ejemplo 2114

Para tratar de lograr el pronto pago de sus facturas los proveedores ofrecen descuento por el pago anticipado Asiacute 510 n30 podriacutean ser los teacuterminos impresos en una factura los cuales indican que se otorga un descuento de 5 si se paga a maacutes tardar en 10 diacuteas y n30 sentildeala que si se paga en un plazo de 10 a 30 diacuteas se debe cubrir el importe neto

Si un comerciante recibe una factura por $12 000 en esos teacuterminos

a) iquestLe conviene obtener un preacutestamo con intereses a 30 para pagar la factura al deacutecimo diacutea

b) iquestCuaacutel es la mayor tasa de intereacutes simple seguacuten la que le convendriacutea obtener creacutedito para aprovechar el descuento

Solucioacuten a) Si paga en 10 diacuteas obtiene un descuento de

12 000(005) = $600

y pagariacutea 12 000 minus 600 = $11400

75Ejercicios de las secciones 210 y 211

Si utiliza el dinero prestado tendriacutea que utilizarlo 20 diacuteas de cuando paga a cuando vence el importe neto de la factura Hacer esto le costariacutea

I = 11400(030)(20360) = $190

y como lo que le cuesta el preacutestamo es inferior a lo que se ahorra siacute le convendriacutea pagar con el preacutestamo a los 10 diacuteas ya que ahorrariacutea

600 minus 190 = $410

b) Si lo que ahorra por el pronto pago son $600 la mayor tasa que podriacutea aceptar seriacutea la que produjera intereses por esa cantidad de un capital de $11 400 en 20 diacuteas

600 = 11400(i)20360 600 = 11400(005555556)i 600 = 63333i i = 09474 anual simple

63 Una persona debe pagar $2 500 en 3 meses y $8 500 en 6 meses iquestQueacute cantidad deberaacute pagar hoy para saldar sus deudas si se considera una tasa de 12 simple

64 La sentildeora Moreno adeuda $5 000 que ya incluyen intereses y debe pagarlos den-tro de 8 meses Si hace un pago de $3 000 dentro de 2 meses iquestcuaacutento deberaacute pagar al cabo de los 8 meses si se considera la operacioacuten a una tasa de 30 anual y se usa como fecha focal dentro de 8 meses

65 El sentildeor Goacutemez presta el 14 de julio $3 500 a 5 meses y medio a 10 de intereacutes sim-ple Tambieacuten presta 4 meses despueacutes otros $2 000 con 14 de intereacutes y vencimiento a 3 meses Si considerara para la equivalencia una tasa de 15 iquestqueacute cantidad recibi-da por el sentildeor Goacutemez el 14 de diciembre liquidariacutea esos preacutestamos

66 Bajo el supuesto de que el Nacional Monte de Piedad cobra 55 mensual por los preacutestamos que hace sobre prendas pignoradas iquestcuaacutento tendriacutea que pagar dentro de 3 meses una persona que empentildeoacute hace un mes un televisor por el que le prestaron $800 y que el diacutea de hoy empentildea un reloj por el que le prestan $750

67 El sentildeor Garciacutea firma tres pagareacutes

bull Uno por $400 para pagarlo en 4 meses con 25 de intereacutes anual bull Otro por $195 para pagarlo en 9 meses con una tasa de 20 anual bull Un tercero por $350 para pagarlo en 5 meses sin intereses

Si al cabo de 3 meses decide liquidar los 3 documentos mediante la entrega de $450 en ese momento y un pago final 6 meses despueacutes iquestcuaacutel seraacute el importe de este pago si la operacioacuten de equivalencia se calcula con intereses de 21 anual

68 Una persona debe liquidar dentro de 8 meses una deuda $500 que ya incluye los inte-reses $450 contratados hoy a una tasa de 24 para pagar dentro de 6 meses Si decide saldar sus deudas con 2 pagos iguales uno dentro de 10 meses y el otro dentro de un antildeo y la operacioacuten se calcula con una tasa de 25 iquestcuaacutel seraacute el importe de esos 2 pa-gos iguales si se usa como fecha focal

a) dentro de 10 meses b) dentro de un antildeo

Comente la diferencia entre los resultados de a) y b)

69 Si una persona invierte hoy cierta cantidad en un proyecto que le redituacutea $50 000 al cabo de 4 meses y $30 000 despueacutes de 6 meses iquestqueacute cantidad tendriacutea que haber in-vertido para lograr un rendimiento de 16 sobre su inversioacuten

70 Una pareja de recieacuten casados adquiere un refrigerador que cuesta $2 200 y paga $800 al contado El saldo debe ser cubierto mediante 3 pagos iguales a los 30 60 y 90 diacuteas Si el intereacutes que se le cobra es de 30 anual simple iquesta cuaacutento asciende cada uno de esos pagos

71 Una persona tiene dos opciones para pagar un preacutestamo

bull pagar $2 000 a los 5 meses y $3 000 a los 10 meses o bull pagar $X a los 3 meses y $3X a los 8

Si las operaciones son equivalentes y el dinero vale 18 anual simple encuentre X usando como fecha focal dentro de 8 meses

72 Un usuario del Nacional Monte de Piedad empentildeoacute una alhaja el 15 de diciembre y la rescatoacute el 15 de febrero del antildeo siguiente con un pago de $207 Si esa institucioacuten co-bra 45 mensual iquestcuaacutento le prestaron al cliente por su alhaja

73 iquestCuaacutel seriacutea el precio al contado de un automoacutevil que se pagoacute con un

bull enganche de $48 500 bull abono de $38 500 realizado 6 meses despueacutes de la compra bull pago final de $35 500 ocho meses despueacutes de la compra

si el costo del preacutestamo fue de 2 mensual simple

74 El 16 de junio una persona contrajo una deuda por $3 000 para pagarla el 16 de octu-bre con intereses de 29 simple anual La deuda se documenta mediante un pagareacute en el que se especifica ademaacutes de las condiciones de la operacioacuten una claacuteusula que sentildeala que en caso de mora el deudor deberaacute pagar 5 de intereacutes mensual iquestCuaacutento deberaacute cobrar el acreedor si el deudor le paga el 5 de noviembre

75 El sentildeor Rodriacuteguez firma un pagareacute por $675 a 8 meses de plazo e intereacutes de 10 Si efectuacutea dos pagos antes del vencimiento uno por $150 a los 2 meses y otro por $200 a los 4 meses iquestcuaacutel es el saldo que debe pagar al vencerse el pagareacute

76 En un almaceacuten se vende un comedor en $4 850 al contado A un plazo de 3 meses se vende mediante 3 pagos mensuales de $174440 iquestQueacute tasa de intereacutes simple men-sual se cobra en el plan a creacutedito Utilice como fecha focal el diacutea de la compra

77212 Uso de Excel

77 Observe el siguiente estado de cuenta de un usuario de tarjetas de creacutedito iquestCuaacutel fue la tasa de intereacutes que se cobroacute

212 Uso de ExcelAunque el paquete Excel no tiene funciones especiacutefi cas para intereacutes simple (la mayoriacutea de ellas son para anualidades y depreciacioacuten como se ve en los capiacutetulos correspondientes a estos te-mas) dada la sencillez del tema tambieacuten es faacutecil elaborar mecanismos para resolver este tipo de situaciones

2121 Caacutelculo de M C i o t a partir de la foacutermula del monto a intereacutes simple M = C(1 + it)

Para resolver problemas que impliquen a cualquiera de las variables que intervienen en el in-tereacutes simple monto capital intereacutes tasa de intereacutes o tiempo se pueden usar cuatro columnas y tres renglones de Excel de la siguiente manera

A B C D

1 M C i t2

3 =B2(1+C2D2) =A2(1+C2D2) =(A2B2minus1)D2 =(A2B2minus1)C2

DIC03 SU ABONO GRACIAS 470000ndashDIC16 INTERES GRAVABLE 35651DIC16 INTERES EXENTO 9375DIC16 IVA POR INTERESES Y CO MISIONES 5348DIC16 PALACIO HIERRO 05 12 11753DIC16 PALACIO HIERRO 05 12 14991DIC16 LIVERPOOL 02 13 13461DIC16 MARTI 09 09 111100

PERIODO DEL 17-NOV-2007 AL 16-DIC-2007FECHA DE CORTE 16-DIC-2007

Tasa PersonalAnualizada 3980

NIVEL CUMPLIDO

El primer rengloacuten contiene la identifi cacioacuten de los posibles valores que se buscan en el segun-do se deben introducir los valores conocidos y soacutelo debe quedar vaciacutea la celda del valor que se busca (lo cual se ilustra enseguida con ejemplos) mientras que en las cuatro celdas del tercer rengloacuten se introducen las foacutermulas del caacutelculo de cada incoacutegnita En la celda A3 aparece la foacutermula del monto M C it= +( )1 en teacuterminos de los valores de las celdas del rengloacuten 2 mientras que en las celdas B3 C3 y D3 estaacuten las foacutermulas para calcular el capital o valor presente la tasa de intereacutes y el tiempo seguacuten su procedimiento de caacutelculo el cual se determina despejando en la foacutermula del monto

Para el capital

Para la tasa de intereacutes y el tiempo

= minus

=minus

La foacutermula del monto de la celda A3 indica que se multiplica el valor que se introduzca en B2 (el capital) por la suma de 1 maacutes el producto del valor de la celda C2 (la tasa de intereacutes) por el valor de la celda D2 (el tiempo o plazo de la operacioacuten) Para ilustrar lo anterior si se construye un cuadro en Excel como el que se muestra y se introducen en las celdas B2 C2 y D2 los valores del ejemplo 221 que habla de un comerciante que debe $2 000 que tiene que pagar cuatro meses despueacutes con intereses a una tasa de 10 anual simple es necesario introducir estos datos en el cuadro como sigue

A B C D

1 M C i t2 2 000 01 4123 2 06667 000 minus300 minus1000

Esta operacioacuten da un resultado de $2 06667 en la celda A3 que es precisamente el monto que el comerciante debe pagar Los valores de minus3 y de minus10 que aparecen en las celdas no son de tomar en cuenta y se producen simplemente como resultado de los caacutelculos de las foacutermu-las correspondientes Por ejemplo en la foacutermula de la tasa de intereacutes primero se calcula MC que arroja un resultado de cero Despueacutes se le resta el uno a este cero y se produce minus1 para fi -nalmente dividir este valor entre 033 (con maacutes decimales en la hoja de Excel) operacioacuten que es igual a minus3 valor que no tiene sentido en el ejemplo ya que como se acaba de ilustrar se calcula para un monto de cero Algo similar ocurre con el minus10 de la celda D3 Hay dos detalles que es importante tener presente En primer lugar cuando se introduce ldquo412rdquo en la celda D2 Excel automaacuteticamente hace la operacioacuten y muestra ldquo033333rdquo en la cel-da En segundo teacutermino cuando el cuadro de solucioacuten soacutelo tiene las foacutermulas y el rengloacuten 2 estaacute completamente vaciacuteo Excel lee soacutelo ceros en el rengloacuten y pone el aviso de ldquoiexclDIV0rdquo en las celdas C3 y D3 porque se produce la operacioacuten invaacutelida de divisioacuten entre cero pero por supuesto no es importante porque el hecho es que no hay valores reales en las celdas de ese rengloacuten 2 Sin embargo por otra parte se puede ver que el valor que se busca es faacutecilmente identi-fi cable por su valor mismo y porque estaacute en la celda de la columna que tiene el rengloacuten 2 en blanco (con lo que Excel lee ldquocerordquo) En el ejemplo 222 los datos eran C = 150 000 i = 08 mensual y t = 24 diacuteas Sustituyendo estos valores en el cuadro de Excel se obtiene el resultado del monto que se buscaba y que era de $150 960 en la celda A3

A B C D

1 M C i t2 150 000 0008 24303 150 960 000 minus125 minus125

El ejemplo 231 de valor presente con M = $30 000 t = 1812 e i = 20 anual se resuelve de la siguiente manera

A B C D

1 M C i t2 30 000 02 1503 000 23 07692 iexclDIV0 iexclDIV0

El valor presente de $23 07692 aparece ahora en la correspondiente celda B3 de valor presente

212 Uso de Excel

Ejercicio propuestoComplementar el cuadro de Excel que se sugiere con dos columnas que permitan encontrar el intereacutes ganado en dinero I con las dos posibles formas de calcularlo

I = Cit e I = M minus C

2122 Determinacioacuten del tiempo exacto entre dos fechasExcel es muy uacutetil cuando se desea saber el nuacutemero exacto de diacuteas que transcurren entre dos fe-chas ya que basta con plantear su simple diferencia (resta) En el ejemplo 271 se determinoacute el nuacutemero de diacuteas transcurridos entre el 15 de mayo y el 24 de diciembre de cierto antildeo (observe que puede ser cualquier antildeo sin que importe si es bisiesto o no ya que no entra el mes de febre-ro en los caacutelculos) Si se anotan estas dos fechas en dos celdas contiguas y en la tercera se anota la diferencia se obtiene el valor de 223 diacuteas que transcurren y que en el ejemplo se calculoacute en forma un tanto laboriosa manualmente Las celdas podriacutean tener la siguiente apariencia

1 24122005 15052005 223

En la celda C1 se anota la foacutermula ldquo=A1minusB1rdquo Ahora es importante tener presente que para que esta operacioacuten funcione adecuadamente las celdas A1 y B1 deben tener formato de fecha y la celda C1 debe tener formato de nuacutemero Para ensayar el mecanismo calcule el nuacutemero de diacuteas que usted ha vivido hasta ahora

2123 Descuento comercialYa se explicoacute que la foacutermula para calcular el descuento comercial es D

=minus1

y al igual que

se hizo con las variables del intereacutes simple se pueden insertar en celdas de un libro de Excel las foacutermulas para calcular cualquiera de las variables de este tipo de descuento En el ejem-plo 282 se buscaba determinar el descuento comercial de un pagareacute por el cual se recibieron $166 66667 con tipo de descuento de 30 anual y vencimiento a cuatro meses Si se insertan estos valores en las celdas B2 C2 y D2 y se inserta la foacutermula del descuento en la celda A3 se obtiene el resultado de $18 51852 que ya se calculoacute en el texto En el cuadro siguiente se ano-tan estos datos y las foacutermulas correspondientes para calcular cada uno de los valores del des-cuento comercial

A B C D

1 D C d t2 166 66667 030 412

3=(B2C2D2)

(1minusC2D2)=(A3(1minusC2D2))(C2D2)

=A3(B2D2 A3C2)

=A3(B2C2+A3C2)

Los despejes correspondientes son

Para C = 166 66667 en la celda B3

D Cdtdt

Cdt D dt

C D dtdt

=minus

= minus

( )( )

La foacutermula = (A3(1minusC2D2))(C2D2) = 166 66667

Para d

dtD dt CdtD Ddt Cdt

Cdt Ddt Dd Ct

=minus

minus =minus =+ =+

( DDt D

En la celda C3 la foacutermula = A3(C2D2A3D2) = 03

Finalmente para t

dtD dt CdtD Ddt Cdt

Cdt Ddt Dt Cd

=minus

minus =minus =+ =+

( DDd D

En la celda D3 la foacutermula = A3(B2C2+A3C2) = 033

Eacutestas son las foacutermulas en formato de Excel que estaacuten en las celdas B3 C3 y D3 del cuadro an-terior Con ellas se puede encontrar el valor del tiempo que faltaba para el vencimiento del documento que se analiza en el ejemplo 283 con D = 5495 d = 025 y C = 94505 y que es el 02198 de la celda D3 como se muestra enseguida

212 Uso de Excel

A B C D

1 D C d t2 5495 94505 0253 000 iexclDIV0 iexclDIV0 02198

No se ilustra adicionalmente el descuento justo porque se resuelve como se anota en el texto con la foacutermula del intereacutes simple que se analizoacute al principio de la seccioacuten

213 ResumenEn este capiacutetulo se revisoacute el importante concepto del intereacutes simple y que se refi ere baacutesica-mente al aumento del valor del dinero con el transcurso del tiempo Se revisaron e ilustraron los conceptos de capital o valor actual monto tasa y tipo de in-tereacutes y tiempo o plazo y se expresoacute su interrelacioacuten en lo que podriacuteamos llamar la foacutermula elemental del intereacutes simple

M = C (1 + it)

que como tambieacuten se vio si se conocen tres de sus incoacutegnitas y se despeja la restante se puede determinar su valor Se mencionoacute por otro lado la diferencia que se presenta entre los resultados cuando se hacen los caacutelculos con tiempo real y con tiempo aproximado o comercial Se habloacute del descuento que es una operacioacuten que consiste en anticipar el cobro de un documento Por su enorme importancia en las matemaacuteticas fi nancieras se ilustroacute cuidadosamente el concepto de las ecuaciones de valores equivalentes a traveacutes de las cuales se plantea con base en una fecha focal determinada la equivalencia de un conjunto de operaciones de contrata-cioacuten de deudas por un lado y por el otro un conjunto de operaciones de pago Finalmente se vieron algunas aplicaciones del intereacutes simple a operaciones como compras a creacutedito manejo de tarjetas de creacutedito empentildeo de artiacuteculos varios etceacutetera

bull Comprender el concepto de intereacutes simplebull Identificar situaciones en las que se trate de encontrar el valor de

monto valor actual tasa de intereacutes tiempo o plazo

bull Explicar la diferencia entre tiempo real y tiempo aproximadobull Comprender el concepto de descuentobull Plantear y resolver ejemplos en los que se aplique la operacioacuten de descuentobull Explicar la diferencia entre descuento real o justo y descuento comercialbull Plantear y resolver ecuaciones de valores equivalentesbull Explicar queacute es una fecha focal bull Resolver ejercicios y aplicaciones de intereacutes simple utilizando la hoja de caacutelculo de

Microsoft Excel

bull Capitalbull Descuentobull Descuento real o justo y descuento comercialbull Ecuaciones de valores equivalentesbull Fecha focal

bull Montobull Tasa de intereacutesbull Tiempo o plazobull Tiempo real y tiempo aproximadobull Tipo de intereacutesbull Valor actual

M = C + I (21) I = Cit (22) M = C + Cit (23)

M = C(1 + it) (24) D = Mdt (25)

1 iquestQueacute es el intereacutes simple 2 Explique los siguientes conceptos monto capital intereacutes valor actual tasa de intereacutes tipo de intereacutes ecuaciones de valores

equivalentes 3 iquestCuaacutel es el monto a los 10 meses de un capital de $185 000 colocado a 18 simple anual 4 iquestA queacute tasa de intereacutes se invirtioacute un capital de $475 000 que se convirtioacute en un monto de

$700 625 al cabo de 9 meses y medio 5 iquestDurante cuaacutento tiempo estuvo invertido un capital de $850 que se convirtioacute en un monto

de $983 a 27 anual simple 6 iquestCuaacutel es el valor actual de $1350 cobrables dentro de 4 meses con 35 anual simple de intereacutes 7 iquestCuaacutel es el monto real de $1000 invertidos a una tasa de 025 simple anual del 14 de agosto

al 29 de noviembre 8 iquestCuaacutel es el valor actual aproximado o comercial de $1800 cobrables el 29 de agosto si la

tasa es de 038 anual simple y hoy es 2 de febrero 9 iquestCuaacutento produce de intereacutes simple al mes un capital de $2 500 invertido en valores de renta

fija que rinde 358 anual

Teacuterminos y conceptos importantes

10 iquestQueacute tasa de descuento real se aplicoacute a un pagareacute que venciacutea el 7 de junio con valor nominal de $175 000 y que al descontarlo el 7 de marzo produjo un valor neto de $149 57265

11 iquestCuaacutento recibiriacutea una persona si descuenta comercialmente un pagareacute que vence dentro de 4 meses que fue contratado hace 2 meses en $1500 con intereacutes a 315 anual si la tasa de descuento que se aplica es de 30 anual

12 iquestCuaacutendo vence un pagareacute que se descuenta hoy a una tasa de 165 anual simple que tiene valor de $74 900 a su vencimiento y produce un descuento comercial de $188810

13 Una persona compra en un almaceacuten bull una lavadora de $4 750 paga un enganche de $800 y conviene en pagar el saldo 2 meses

despueacutes bull una estufa de $1920 sin enganche para pagarla con un solo abono a los 3 meses y bull una licuadora de $363 sin enganche para pagarla en dos abonos iguales a los 4 y 5 meses Si el almaceacuten cobra 27 simple anual sobre esta clase de operaciones iquestcuaacutel seriacutea el pago

uacutenico realizado un mes despueacutes que saldariacutea todas las deudas

JUL25 LIVERPOOL PERISU 10 13 MEXICO DF 22230JUL25 LIVERPOOL PERISU 10 13 MEXICO DF 42115JUL25 SEARS PERISUR 10 12 CIUDAD DE ME 14413JUL26 SEARS PERISUR SRM 4711069N3 15920JUL27 REST LA MANSION ORD 900905T42 67500JUL29 FIESTA INN ACAPULCO PPO 9412076U4 413136AGO04 CAMPANITA PERISUR 1 ACA 800211FU1 132660AGO04 EL PALACIO HIERRO PERI PHI 830429MG6 62352AGO04 EL PALACIO HIERRO PERI PHI 830429MG6 141036AGO04 EL PALACIO HIERRO PERI PHI 830429MG6 179900AGO05 SU ABONO GRACIAS 170000ndashAGO05 SU ABONO GRACIAS 100000ndashAGO06 ABONO POR CARGOS PARCI 141036ndashAGO06 ABONO POR CARGOS PARCI 179900ndashAGO16 PALACIO HIERRO 01 12 11753AGO16 PALACIO HIERRO 01 12 14991AGO16 SUPERCENTER 12 12 35999AGO16 MARTI 05 09 111100

PERIODO DEL 17-JUL-2007 AL 16-AGO-2007FECHA DE CORTE 16-AGO-2007

NIVEL CUMPLIDO

85Matemaacuteticas en internet

httpwwwenplenitudcomnotaasparticuloid=562Valor del dinero en el tiempo

wwwescolarcommatem18intereshtmEjemplo del caacutelculo del intereacutes simple como aplicacioacuten de una regla de tres simple

httpmsiplceorgjahumadamrsg1010unidad5uni5sec1sld004htmDiapositivas acerca de la defi nicioacuten de intereacutes simple y ejercicio praacutectico

httpwwwgestiopoliscomcanalesfi nancieraarticulosno205interesalintereshtmConceptos baacutesicos y ejercicio ilustrativo de intereacutes simple

httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza2htmConceptos baacutesicos de intereacutes simple y ejercicios ilustrativos

httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtmEn la seccioacuten de Contenido encontraraacute ligas que tratan sobre los tipos de intereacutes (simple y compuesto) y algunos ejemplos

httpwwwbanamexcomEncontraraacute las uacuteltimas subastas de Cetes las tasas de intereacutes mexicanas y las tasas de intereacutes internacionales Con esta informacioacuten le seraacute posible plantear problemas con las tasas actua-lizadas diacutea con diacutea

22 Monto

httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza3htmEjercicios nuacutemeros 2 3 y 4

httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn Tema 3 ejemplo 1

Matemaacuteticas en internet Intereacutes simple

14 Cuando una prenda que ha sido pignorada no se desempentildea antes de 5 meses la institucioacuten la saca a remate puacuteblico para su venta con el fin de recuperar el preacutestamo otorgado y los in-tereses Del dinero que obtiene con la venta descuenta estos dos conceptos y el resto se lo en-trega al cliente que empentildeoacute la prenda Si una persona empentildea un anillo de brillantes y recibe $1950 por concepto de preacutestamo y no desempentildea su joya y si la institucioacuten la vende en re-mate 5 meses despueacutes en $3 000 iquestcuaacutento le devuelve al cliente si el intereacutes que cobra es de 4 mensual

15 En la paacutegina anterior aparece el estado de cuenta correspondiente a un ejercicio mensual de un usuario de tarjeta de creacutedito Si el cliente no ha realizado otras compras aparte de las que aparecen en dicho estado y no realiza ninguacuten pago iquestcuaacutento le cobraraacute el banco de intereses en el proacuteximo ejercicio si carga 25 sobre el saldo promedio

httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 1 2 4 9 12 16 22 23 y 24

23 Valor actual o presente

httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplo 2

httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 3 5 y 7

24 Intereacutes

httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza3htmEjercicio nuacutem 1

25 Tasas y tipo de intereacutes

httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza3htmEjercicio nuacutem 5 Caacutelculo de tasas anuales equivalentes

26 Plazo o tiempo

httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problema 6

28 Descuento

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElige en la materia de Matemaacuteticas fi nancieras tema 5

httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza7htmConcepto de descuento comercial deduccioacuten de foacutermula y ejercicios ilustrativos

httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza8htmEjercicios de descuento comercial

httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza9htmTeoriacutea y ejercicios ilustrativos sobre descuento real o racional

httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplos 9 10 11 y 12

httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 14 17 18 19 20 21 y 25

httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes simple casos y problemas 9 y 14

bull Explicar los conceptos del valor del dinero en el tiempo

bull Distinguir y explicar la diferencia entre monto simple y monto compuesto entre tasa de inte-reacutes nominal y tasa de intereacutes efectiva

bull Comprender y explicar los conceptos de perio-do de capitalizacioacuten frecuencia de conversioacuten y tiempo equivalente

bull Plantear y resolver ejemplos de caacutelculos de monto compuesto valor actual tasas de inte-reacutes nominal efectiva y equivalentes y plazo

bull Plantear y resolver ejemplos de caacutelculo de mon-to compuesto valor actual tasa de intereacutes no-minal efectiva y equivalentes

bull Plantear y resolver ejemplos de ecuaciones de valores equivalentes a intereacutes compuesto

bull Resolver ejercicios y aplicaciones de intereacutes compuesto utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg

Objetivos 31 Introduccioacuten 32 Conceptos baacutesicos 33 Monto compuesto 34 Tasa nominal tasa efectiva y tasas

equivalentes 35 Valor actual o presente 36 Tiempo 37 Tasa de intereacutes 38 Ecuaciones de valores equivalentes 39 Tiempo equivalente 310 Aplicaciones 311 Uso de Excel 312 Resumen

Temario

Intereacutes compuesto

CAPIacuteTULO3

CAPIacuteTULO 3 INTEREacuteS COMPUESTO90

31 IntroduccioacutenEl dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vida de las personas y de los negocios Cuando se generan excedentes de efectivo se ahorran durante un pe-riodo determinado a fi n de ganar un intereacutes que aumente el capital original disponible en otras ocasiones en cambio se tiene necesidad de recursos fi nancieros durante un tiempo y se debe pagar un intereacutes por su uso

En periodos cortos por lo general se utiliza como ya se vio el intereacutes simple En periodos largos sin embargo se utilizaraacute casi exclusivamente el intereacutes compuesto

32 Conceptos baacutesicosEn el intereacutes simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin variacioacuten alguna durante todo el tiempo que dura la operacioacuten En el intereacutes compuesto en cambio los intereses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo intereacutes adicional en el siguiente lapso

En este caso se dice que el intereacutes se capitaliza y que se estaacute en presencia de una opera-cioacuten de intereacutes compuesto

En estas operaciones el capital no es constante a traveacutes del tiempo pues aumenta al fi nal de cada periodo por la adicioacuten de los intereacutes ganados de acuerdo con la tasa convenida

Esta diferencia puede captarse con claridad por medio del ejemplo siguiente

Ejemplo 321

Suponga que se depositan $100 000 en una cuenta de ahorros que paga 10 de intereacutes se-mestral (20 de intereacutes anual) iquestCuaacutel seraacute el intereacutes ganado al cabo de 6 meses

I = Cit I = 100 000(010)(1) I = 10 000

Suponga que se depositan otros $100 000 en una cuenta de valores que paga 20 de intereacutes convertible trimestralmente iquestCuaacutel seraacute el intereacutes ganado al cabo de 6 me-ses (Nota La tasa de intereacutes nominal es la misma en ambos casos 5 trimestral = 20 anual)

i trimestral20 anual

4 trimestres5= =

1er trimestre I = Cit I = 100 000(005)(1) I = 5 000 2o trimestre I = (C + I)it I = (100 000 + 5 000)(005)(1) I = 105 000 (005)(1)

I = 5 250 I total = I 1er trimestre + I 2o trimestre I total = 5 000 + 5 250 I = 10 250

En este caso el intereacutes es superior al que se ganoacute en el anterior pues al fi nal del 1er trimestre al capital original se le suma el intereacutes ganado con lo cual el total del segun-do trimestre seraacute superior al del primero

Por lo tanto el capital se incrementa por la adicioacuten de los intereses al fi nal de cada periodo y eacutestos a su vez se incrementan pues son calculados sobre una base cada vez mayor La cantidad acumulada al fi nal de la operacioacuten se conoce como monto compuesto La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el intereacutes compuesto

321 Periodo de capitalizacioacuten

El intereacutes puede ser convertido en capital anual semestral trimestral y mensual etc A dicho periodo se le da el nombre de ldquoperiodo de capitalizacioacutenrdquo Al nuacutemero de veces que el intereacutes se capitaliza durante un antildeo se le denomina frecuencia de conversioacuten

Ejemplo 322

iquestCuaacutel es la frecuencia de conversioacuten de un depoacutesito bancario que paga 5 de intereacutes capi-talizable trimestralmente

un antildeoun trimestre

meses3 meses

La frecuencia de conversioacuten es igual a 4 El periodo de capitalizacioacuten es trimestral

322 Tasa de intereacutes compuesto

Por lo general la tasa de intereacutes se expresa en forma anual Ademaacutes junto con ella se indica si es necesario su periodo de capitalizacioacuten

28 anual capitalizable mensualmente 10 anual capitalizable semestralmente 6 anual capitalizable trimestralmente

Si el intereacutes se expresa sin mencioacuten alguna respecto de su capitalizacioacuten se entiende que eacutesta es anual

Es muy importante que para la solucioacuten de cualquier problema de intereacutes compuesto el intereacutes anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalizacioacuten que se establezca si el intereacutes se capitaliza mensualmente el intereacutes anual debe transformarse en intereacutes mensual si es trimestralmente a intereacutes trimestral etceacutetera

El periodo de capitalizacioacuten y la tasa de intereacutes compuesto siempre deben ser equivalen-tes Asiacute en el ejemplo inicial el intereacutes de 20 anual fue transformado en intereacutes trimestral de 5 para hacerlo equivalente al periodo de capitalizacioacuten que alliacute se mencionaba

32 Conceptos baacutesicos

En este momento pueden establecerse dos conclusiones

a) El intereacutes compuesto es mayor que el intereacutes simple Esto se debe a que el primero gana intereses por siacute mismo en tanto que el segundo no

b) A mayor frecuencia de conversioacuten mayor seraacute el intereacutes que se obtenga si la tasa anual nominal es igual asiacute un depoacutesito bancario que obtenga intereses en forma mensual ten-draacute mayor rendimiento que uno que los capitalice trimestralmente y eacuteste a su vez seraacute mayor que otro que los logre cada semestre

En forma maacutes clara se observa el comportamiento del intereacutes simple y el intereacutes com-puesto en una graacutefi ca Considere el siguiente ejemplo

Ejemplo 323

Un depoacutesito de $100 000 a 5 antildeos La tasa de intereacutes es la misma en ambos casos 20 anual En el intereacutes simple eacuteste no se capitaliza en tanto que el intereacutes compuesto lo hace cada antildeo (Vea la graacutefi ca 31)

GRAacuteFICA 31

250 000

200 000

100 000

0 1 2 3 4 5 Tiempo

⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎩

⎧⎪⎨⎪ ⎩

⎧⎨⎩

IC = Intereacutes compuesto IS = Intereacutes simple

⎧⎨⎩

⎧⎪⎨⎪ ⎩

AntildeoMonto a intereacutes simple

M = C(1 + it)Monto a intereacutes compuesto

M = C(1 + i)n

0 100 000 100 0001 120 000 120 0002 140 000 144 0003 160 000 172 8004 180 000 207 3605 200 000 248 832

El monto a intereacutes simple crece en forma aritmeacutetica y su graacutefi ca es una liacutenea rec-ta Sus incrementos son constantes y el intereacutes del quinto antildeo es igual al del primero Su ecuacioacuten es la de una liacutenea recta cuya pendiente o razoacuten de incremento estaacute dada por la tasa de intereacutes

y = b + mx M = C + It It = (Ci)t M = 100 000 + 20 000(t)

En cambio una cantidad que se coloca a intereacutes compuesto crece en forma geomeacute-trica y su graacutefi ca corresponde a la de una funcioacuten exponencial

M = C(1 + i)n

M = 100 000(1 + 020)n

Sus incrementos son variables Como se puede apreciar en la graacutefi ca cada periodo presenta un incremento mayor al del periodo anterior Su ecuacioacuten es la de una liacutenea curva que asciende a velocidad cada vez mayor

1 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes por periodo de a) 30 anual capitalizable mensualmente b) 16 anual capitalizable trimestralmente c) 2 trimestral d) 15 anual e) 18 anual capitalizable semestralmente f ) 18 anual capitalizable mensualmente g) 05 mensual

2 iquestCuaacutel es la frecuencia de conversioacuten de los ejemplos del problema anterior 3 Elabore la graacutefica que muestre el crecimiento de una inversioacuten de $1000 en un antildeo

si se deposita en una cuenta de valores que paga a) 10 anual convertible semestralmente b) 20 anual convertible semestralmente

c) 30 anual convertible trimestralmente d) 40 anual convertible trimestralmente e) 50 anual convertible trimestralmente f ) 50 anual convertible mensualmente g) 60 anual convertible mensualmente h) 70 anual convertible mensualmente i) 80 anual convertible mensualmente

33 Monto compuestoEl monto compuesto como ya se ha explicado es el resultado que se obtiene al sumar al ca-pital original el intereacutes compuesto Si se dispone de un capital C y se invierte en un banco y se desea conocer el monto M del cual se dispondraacute al fi nal del periodo soacutelo debe agregaacutersele el intereacutes I ganado

M = C + I (31) pero I = Cit cuando t = 1 I = Ci por lo que M = C + Ci que factorizando da

M = C(1 + i) (32)

Como puede verse el monto de un capital al fi nal de un periodo se obtiene multiplicaacuten-dolo por el factor (1 + i) De esta manera al fi nal del segundo periodo se tiene que

M = C(1 + i)(1 + i)

capital al iniciar el 2o periodo

M = C(1 + i)2

Al fi nal del tercer periodo se tiene que

M = C(1 + i)2(1 + i)

y asiacute sucesivamente Esta sucesioacuten de montos forma una progresioacuten geomeacutetrica cuyo n-eacutesimo teacutermino es igual a

M = C(1 + i)n (33)

Esta ecuacioacuten se conoce como foacutermula del monto a intereacutes compuesto

Ejemplo 331

Se depositan $50 000 en un banco a una tasa de intereacutes de 18 anual capitalizable men-sualmente iquestCuaacutel seraacute el monto acumulado en 2 antildeos

⎧ ⎨ ⎩

SolucioacutenComo se establecioacute previamente con la foacutermula (33) el monto a intereacutes compuesto se calcula mediante la ecuacioacuten

M = C(1 + i)n

Se destaca nuevamente que la defi nicioacuten de periodo debe ser la misma para i y para nAsiacute para calcular la tasa de intereacutes mensual se divide la tasa anual entre la frecuencia

de conversioacuten

i = Tasa de intereacutes anualFrecuencia de converssioacuten

i = = =01812

0 015 1 5

Para determinar n se multiplica el lapso en antildeos por la frecuencia de conversioacuten

n = 2(12) n = 24

asiacute M = 50 000 (1 + 0015)24

En este momento surge una interesante pregunta iquestcoacutemo evaluar (1 + 0015)24Existen cuatro alternativas

a) Utilizar papel y laacutepiz y realizar la operacioacuten 24 veces Resulta lenta y poco praacutectica b) Resolver la ecuacioacuten utilizando logaritmos c) Utilizar las tablas que se encuentran al fi nal del libro en ellas se encuentra el factor del

monto a intereacutes compuesto (1 + i)n para una i y una n determinadas Esta opcioacuten es sencilla pero en una eacutepoca de tasas variables como la que se vive puede darse el caso de que dichas tablas no incluyan la que interesa

d) Emplear una calculadora electroacutenica Eacuteste es el medio maacutes praacutectico y preciso y como se mencionoacute anteriormente seraacute el que se utilice en los caacutelculos de este libro

Factor de monto a intereacutes compuesto = (1 + 0015)24 = 1429503

M = 50 000 (1429503) M = 7147514

En dos antildeos la inversioacuten de $50 000 se transformaraacute en un monto de $7147514 por la generacioacuten de un intereacutes compuesto de $2147514

Ejemplo 332

Se depositan en una caja de ahorros $100 000 a una tasa de intereacutes de 48 capitalizable mensualmente

a) iquestCuaacutel seraacute el monto acumulado a intereacutes compuesto en un periodo de nueve meses b) Suponiendo que la caja de ahorros preste ese mismo dinero con una tasa de intereacutes de

30 anual capitalizable mensualmente iquestcuaacutel seriacutea el pago que se debe efectuar al cabo de los mismos 9 meses

33 Monto compuesto

Solucioacuten a) Depoacutesito

Se aplica la foacutermula del monto a intereacutes compuesto (33)

M = C(1 + i)n

Como se vio en el ejemplo 331 debe determinarse la tasa de intereacutes mensual dividiendo la tasa anual entre la frecuencia de conversioacuten

i = Tasa de intereacutes anualFrecuencia de conversioacuten

i = =0 04812

Puesto que el tiempo de inversioacuten estaacute ya expresado en meses se tienen todos los elemen-tos necesarios para plantear y resolver el ejemplo

C = 100 000 i = 0004 t = 9

Asiacute se sustituyen los valores en la foacutermula (33) y se tiene

M = C(1 + i)n

M = 100 000(1 + 0004)9

M = 100 000 (1036581) M = 103 65810

Por lo tanto un depoacutesito de $100 000 rendiraacute $3 65810 de intereacutes y acumularaacute un monto de $103 65810 al cabo de nueve meses

b) Preacutestamo

Para aplicar la foacutermula

M = C(1 + i)n

es necesario determinar la tasa de intereacutes para lo cual se divide la tasa anual entre la fre-cuencia de conversioacuten

i = =0 3012

Con ello se tienen ya todos los datos necesarios para aplicar dicha foacutermula

C = 100 000 i = 0025 t = 9

M = C(1 + i)n

M = 100 000(1 + 0025)9

M = 100 000 (1248863) M = 124 88630

La diferencia que existe entre el monto derivado del preacutestamo ($124 88630) y el montoque debe pagar al ahorrador ($103 65810) esto es la cantidad de $2122820 constituye la utilidad del intermediario fi nanciero en este caso de la caja de ahorros

Ejemplo 333

Se obtiene un preacutestamo bancario de $1500 000 a un plazo de un antildeo y con intereacutes de 12 convertible trimestralmente iquestCuaacutel es el monto que deberaacute liquidarse

SolucioacutenSe determina primero la tasa de intereacutes por periodo de conversioacuten

i = =012

El nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten n es igual a 1 antildeo times 4 = 4

M = C(1 + i)n

M = 1500 000 (1 + 003)4

M = 1500 000 (1125509) M = 1688 26322

Deberaacute liquidarse al banco la cantidad de $1688 26322

331 Monto compuesto con periodo de intereacutes fraccionario

La foacutermula (33) se deriva del supuesto de que n es entero En teoriacutea puede aplicarse tambieacuten en el caso de que n sea fraccionario pero para resolverlo soacutelo puede recurrirse al uso de loga-ritmos o de la calculadora

Ejemplo 334

Se decide liquidar el preacutestamo del ejemplo anterior en forma anticipada luego del trans-curso de 7 meses y medio iquestCuaacutel es la cantidad que debe pagarse

Solucioacuten 753 meses = 25 trimestres M = 1 500 000 (1 + 003)25

M = 1 500 000 (1076696) M = 1 615 04386

33 Monto compuesto

Una forma praacutectica de resolverlo es determinar el monto compuesto correspondiente a los periodos completos de conversioacuten y aumentar el intereacutes simple por el periodo frac-cionario de conversioacuten a la tasa estipulada

I compuesto I simple

M = C(1 + i)n(1 + it) M = 1 500 000 (1 + 003)2[1 + (003)(05)] M = 1 500 000 (1060900)(1015) M = 1 615 22025

La diferencia resultante seguacuten la tasa de intereacutes y del tiempo puede llegar a ser signifi -cativa por lo que siempre que sea posible se recomienda el empleo de la foacutermula (33)

Ejemplo 335

Se contrata un preacutestamo bancario de habilitacioacuten y aviacuteo por 150 000 pesos El plazo de pago es de 3 antildeos La tasa de intereacutes es de 20 anual convertible semestralmente

iquestCuaacutel es la cantidad que deberaacute liquidarse si se decide cancelarlo en forma anticipada a los 15 meses

SolucioacutenPor el meacutetodo exacto

periodo de pagoperiodo de capitalizacioacuten

mese= 15 ssmeses

semestres6

M = C(1 + i)n

M = 150(1 + 010)25

M = 150(1269059) M = 190358810

Deben liquidarse $190 35881

Nota La magnitud de las cifras a veces provoca confusiones y errores por el manejo de los ceros Por esta razoacuten se recomienda siempre que sea posible eliminar ceros y mane-jar cifras en miles o millones de pesos en los procesos de solucioacuten de los problemas Esta praacutectica se ha adoptado en la redaccioacuten del presente texto y se encontraraacute a lo largo del mismo en varios ejemplos

Cabe sentildealar que si bien se utilizan cifras simplifi cadas en los procesos de solucioacuten el resultado fi nal se expresa en su magnitud original

Por el meacutetodo aproximado

M = C(1 + i)n(1 + it) M = 150 000(1 + 010)2[1 + 010(36)] M = 150 000(110)2[1 + 010(050)] M = 150 000(110)2(105) M = 190 57500

En este caso la diferencia entre un meacutetodo y otro importa $21619

Ejercicios de la seccioacuten 33 4 Determine el intereacutes que gana en un antildeo un depoacutesito de $1000 en

a) Una cuenta de ahorros que paga 20 de intereacutes anual simple b) Una cuenta de ahorros que paga 10 de intereacutes semestral simple c) Una cuenta de ahorros que paga 20 de intereacutes anual compuesto se mestralmente d) Una cuenta de valores que paga 20 de intereacutes anual convertible trimestralmente e) Una cuenta de valores que paga 20 de intereacutes anual pagadero mensualmente f ) Una cuenta de valores que paga 20 de intereacutes anual convertible diariamente

5 Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valo-res que paga 15 anual convertible mensualmente a) Al cabo de un antildeo b) Al cabo de dos antildeos c) Al cabo de tres antildeos d) Al cabo de cinco antildeos

6 Determine el intereacutes simple y el intereacutes compuesto que ganariacutea un depoacutesito de $100 000 si el tipo de intereacutes fuese de 5 y el plazo del depoacutesito 5 antildeos iquestQueacute conclu-siones puede presentar

7 Tabule el crecimiento de $1 a 1 5 10 15 y 20 antildeos si los tipos de intereacutes compuesto anual son 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

8 Considere que las tasas de intereacutes del ejemplo anterior son tasas anuales de inflacioacuten iquestQueacute sucederiacutea con los precios iquestQueacute conclusiones puede emitir

9 iquestCuaacutento dinero debe pagarse a un banco que hizo un preacutestamo de $300 000 si se reembolsa al antildeo capital e intereacutes y la tasa aplicada es de 024 anual convertible trimestralmente

10 iquestQueacute cantidad deberiacutea liquidarse en caso de que el preacutestamo del ejemplo anterior se pagara al cabo de 10 meses

11 Una persona deposita su dinero en el banco a plazo de 2 antildeos y a una tasa de 015 convertible semestralmente Debido a una emergencia debe retirar su dinero al cabo de 15 meses iquestCuaacutel seraacute el monto acumulado que se le entregue si depositoacute $12 000 Utilice el meacutetodo exacto y el meacutetodo aproximado

12 iquestCuaacutel seraacute el monto acumulado en una cuenta de valores que paga 12 de intereacutes mensual si se hicieran los siguientes movimientos durante el antildeo y se desea conocer su saldo al 31 de diciembre

Fecha Importe Tipo de movimiento

15-02 15 000 Apertura15-05 3 000 Depoacutesito15-07 1500 Retiro15-09 2 000 Retiro15-12 2 500 Depoacutesito

Ejercicios de la seccioacuten 33

13 La poblacioacuten de un estado ha crecido a una tasa anual de 28 durante los uacuteltimos 5 antildeos Si el nuacutemero actual de habitantes es de 3 825 000 iquestcuaacutel seraacute su poblacioacuten en 5 10 y 20 antildeos considerando a) que la tasa de crecimiento poblacional no cambia b) que la poblacioacuten crece a 28 los primeros 5 antildeos 25 los siguientes 5 antildeos y

20 los uacuteltimos antildeos14 El ingreso anual por habitante en el estado anterior es de 5 000 doacutelares iquestCuaacutel seraacute

su ingreso anual en 5 10 15 y 20 antildeos si se considera que el PIB crece a un ritmo de 35 anual promedio y la poblacioacuten crece a 28

34 Tasa nominal tasa efectivay tasas equivalentes

Cuando se realiza una operacioacuten fi nanciera se pacta una tasa de intereacutes anual que rige durante el lapso que dure la operacioacuten que se denomina tasa nominal de intereacutes

Sin embargo si el intereacutes se capitaliza en forma semestral trimestral o mensual la canti-dad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual Cuando esto sucede se puede determinar una tasa efectiva anual

Dos tasas de intereacutes anuales con diferentes periodos de capitalizacioacuten seraacuten equivalentes si al cabo de un antildeo producen el mismo intereacutes compuesto

Ejemplo 341

iquestCuaacutel es la tasa efectiva de intereacutes que se recibe de un depoacutesito bancario de $1000 pactado a 18 de intereacutes anual convertible mensualmente

Solucioacuten

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1000 10 1812

1000 1 0 015

( )11000 1 1956181195 62

1195 62 1000

MI M CI

== minus= minus

195 62

195 621000

0 1956

La tasa efectiva de intereacutes es de 1956

La tasa equivalente a una tasa anual de 18 convertible mensualmente es de 1956 convertible anualmente

La relacioacuten entre ambas tasas puede verse como sigue sea i la tasa anual efectiva de in-tereacutes j la tasa de intereacutes anual nominal y m el nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten al antildeo

Se ha establecido que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo intereacutes al cabo de un antildeo

Por lo tanto C(1 + i) = C(1 + jm)mDividiendo ambos miembros de la ecuacioacuten entre C tenemos

(1 + i) = (1 + jm)m

i = (1 + jm)m minus 1 (35)

Retomando el ejemplo anterior

i = (1 + 01812)12 minus 1i = (1 + 0015)12 minus 1

i = (1195618) minus 1 i = 0195618 i = 1956

Ejemplo 342

iquestCuaacutel es la tasa efectiva que se paga por un preacutestamo bancario de $250 000 que se pactoacute a 16 de intereacutes anual convertible trimestralmente

SolucioacutenAplicando directamente la foacutermula (35) se tiene

i = (1 + jm)m minus 1 i = (1 + 0164)4 minus 1 i = (1 + 004)4 minus 1 i = (1169859) minus 1 i = 0169859 i = 1698

Ejemplo 343

Determinar la tasa nominal j convertible trimestralmente que produce un rendimiento de 40 anual

SolucioacutenEn este caso la tasa de intereacutes efectiva es ya conocida (puede ser la tasa de infl acioacuten es-perada en el antildeo) y se desea conocer la tasa nominal j convertible trimestralmente que

34 Tasa nominal tasa efectiva y tasas equivalentes

produciraacute dicho rendimiento Aplicando nuevamente la ecuacioacuten (35) se despeja en ella j

i = (1 + jm)m minus 1

(1 + i) = (1 + jm)m

( )1+ im = (1 + jm)

(1 + i)1m = (1 + jm)

(1 + i)1m minus 1 = jm

m[(1 + i)1m minus 1] = j

j = 4[(1 + 040)14 minus 1] j = 4[(1087757) minus 1] j = 4(0087757) j = 03510 j = 3510

La tasa nominal j convertible trimestralmente que produce 40 efectivo es de 3510

Ejemplo 344

iquestCuaacutel es la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a una tasa de 14 con-vertible trimestralmente

SolucioacutenPuesto que ambas tasas son convertibles en periodos distintos deben igualarse a su plazo anual

a) Una tasa nominal j convertible mensualmente es igual a una tasa efectiva

i = (1 + j12)12

b) Una tasa nominal de 14 convertible trimestralmente es igual a una tasa anual efectiva

i = (1 + 0144)4

Igualando ambas tasas efectivas se tiene

(1 + j12)12 = (1 + 0144)4

(1 + j12)1212 = (1 + 0144)412

(1 + j12) = (1 + 0035)13

j = 12[(1 + 0035)13 minus 1] j = 12(1011533 minus 1) j = 0138398

Por lo tanto una tasa nominal de 1384 convertible mensualmente es equivalente a una tasa nominal de 14 convertible trimestralmente

Otra vez puede verse que a mayor frecuencia de conversioacuten se obtiene un rendimiento mayor

Ejemplo 345

iquestA queacute tasa nominal convertible trimestralmente un capital de $30 000 creceraacute hasta $100 000 en 5 antildeos

SolucioacutenSe aplica la foacutermula (33) y se tiene

M = C(1 + i)n

100 000 = 30 000 (1 + i)n

30 000= +( )i n

Pero (1 + i)n = (1 + jm)mn

donde n = 5 antildeos y m = 4

Asiacute (1 + j4)20 = 100 00030 000

(1 + j4) = (3333333)120

j = 4[(3333333)120 minus 1] j = 4(1062048 minus 1) j = 024819

Se requiere una tasa nominal de 2482 convertible trimestralmente para que un capi-tal de $30 000 se convierta en un monto de $100 000 en un plazo de 5 antildeos

15 Determine la tasa de intereacutes efectiva que se recibe de un depoacutesito bancario si la tasa nominal es de 6 y se convierte

a) Anualmente b) Semestralmente c) Trimestralmente d) Mensualmente e) Diariamente

16 Determine la tasa nominal que produce un rendimiento de 10 anual efectivo si el intereacutes se convierte a) Anualmente b) Semestralmente c) Trimestralmente d) Mensualmente e) Diariamente

17 Determine la tasa nominal j convertible trimestralmente que resulte equivalente a una tasa de 15 convertible semestralmente

18 iquestQueacute tasa nominal j convertible mensualmente resulta equivalente a una tasa de 4 convertible trimestralmente

19 iquestQueacute tasa de intereacutes mensual resulta equivalente a una tasa de 12 semestral20 iquestQueacute tasa de intereacutes trimestral resulta equivalente a una tasa mensual de 221 iquestQueacute tasa de intereacutes anual resulta equivalente a una tasa de 4 trimestral22 iquestQueacute tasa de intereacutes simple mensual es equivalente a una tasa de intereacutes nominal j = 18

convertible anualmente si se invierte el dinero durante a) un antildeo b) dos antildeos c) tres antildeos

23 iquestQueacute tasa de intereacutes simple anual corresponderiacutea a los incisos del problema anterior24 Un banco ofrece los siguientes depoacutesitos y tasas de intereacutes

a) j12 = 930 b) j4 = 950 c) j2 = 980

iquestCuaacutel es la mejor alternativa25 iquestA queacute tasa de inflacioacuten anual compuesta mensualmente se triplicariacutean los precios en

a) 3 antildeos b) 5 antildeos c) 10 antildeos

35 Valor actual o presenteEn ocasiones se conoce cuaacutel es el monto que debe pagarse o que se desea reunir y se quiere deter-minar el capital que es necesario invertir en el momento presente a una tasa de intereacutes determi-nada para llegar a tener dicho monto se estaacute entonces en presencia de un problema denominado de valor actual o valor presente

El valor actual muestra como su nombre lo indica cuaacutel es el valor en un momento deter-minado de una cantidad que se recibiraacute o pagaraacute en un tiempo posterior

Para calcularlo se retorna a la foacutermula (33)

M = C(1 + i)n

en la cual se despeja el capital C

+= + minus

( )( )

11 (36)

Generalizando puede decirse que si se conocen tres de las cuatro variables involucradas monto (M) capital (C) tiempo (n) y tasa de intereacutes (i) puede calcularse la cuarta

Ejemplo 351

iquestCuaacutento debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50 000 dentro de 3 antildeos y la tasa de intereacutes es de 20 anual convertible semestralmente

SolucioacutenAplicando la foacutermula (36)

+( )1 M = 50 000 i = 10 semestral (20 anual entre 2) n = 6 semestres (3 antildeos times 2)

501 0 1050

0001771561

Deben depositarse $28 22370 a fi n de contar con $50 000 en un plazo de 3 antildeos si la tasa de intereacutes es de 20 anual convertible semestralmente

Ejemplo 352

Juan Peacuterez desea adquirir una casa con valor de $850 000 Le pidieron que entregue 50 de anticipo y 50 en un plazo de un antildeo y medio al teacutermino de la construccioacuten y entrega del inmueble iquestCuaacutento dinero debe depositar en el banco en este momento para poder garan-tizar la liquidacioacuten de su adeudo si la tasa de intereacutes vigente es de 6 anual capitalizable mensualmente

SolucioacutenJuan Peacuterez paga en este momento $425 000 (50 de la operacioacuten) y debe pagar otro tanto en un plazo de antildeo y medio como se aprecia en la siguiente graacutefi ca

Para calcular la cantidad que debe depositar se utiliza la foacutermula (36) considerando que

= times =

0 0612

0 005 0 5

12 1 5

antildeos 18 mesesMM

( )( )

425 000 1 005425 000

(( )0 914136

388507 87C =

A fi n de garantizar el pago de su adeudo Juan debe depositar $388 50787 los cuales con la reinversioacuten de los intereses se incrementaraacuten hasta formar el monto de $425 000 en un plazo de antildeo y medio

Como se ve en estos ejemplos C es el valor presente o valor actual de M Esto es puede considerarse que el capital C y el monto M son dos valores equivalentes dada una determi-nada tasa de intereacutes y un periodo tambieacuten determinado En el ejemplo anterior para Juan Peacuterez resultariacutea equivalente pagar $388 50787 en este momento o $425 000 dentro de un antildeo y medio dada una tasa de intereacutes de 6 anual capitalizable mensualmente Es decir cualquiera de las dos operaciones de pago le resultariacutea igual

Este hecho nos remite el valor del dinero en el tiempo no es lo mismo tener $100 hoy que tener $100 dentro de un antildeo pues su valor adquisitivo no es equivalente Este fe-noacutemeno es particularmente claro en paiacuteses en los que la infl acioacuten se ha acelerado de ma-nera sustancial y en los cuales la desvalorizacioacuten del dinero ocurre casi diacutea a diacutea

Como consumidor prefi ero tener mi dinero hoy y no mantildeana mucho menos dentro de un antildeo

En el campo de los negocios es indispensable considerar esos efectos pues muchas veces se realizan inversiones en el momento presente que generan fl ujos de efectivo que se recibiraacuten dentro de uno o maacutes antildeos El valor presente de dichos fl ujos deberaacute compararse con la inversioacuten que se estaacute realizando (tambieacuten a valor presente) y para lograrlo se deben des-contar ambos inversioacuten e ingresos a fi n de poderlos comparar en forma equivalente en el momento presente

425 000 425 000

0 1 1frac12

GRAacuteFICA 32

Ejemplo 353

La Compantildeiacutea de Novedades Actuales planea realizar una inversioacuten de $50 000 para pro-ducir un artiacuteculo de moda que espera le genere ingresos de $80 000 dentro de 2 antildeos Si se considera una infl acioacuten promedio de 25 anual iquestconviene la inversioacuten

SolucioacutenSe comparan los $50 000 que se deben invertir en el momento presente con los $80 000 que se espera recibir en 2 antildeos Para hacerlo es necesario que ambas cantidades sean equivalentes Se traen a valor presente los $80 000 y asiacute se tiene una misma base de com-paracioacuten La tasa de infl acioacuten se acumula de la misma forma que el intereacutes Aplicando la foacutermula (36)

C = M(1 + i)minusn

C = 80 000(1 + 025)minus2

C = 80 000(064) C = 51200

Los $80 000 que la empresa recibiraacute en dos antildeos equivalen a $51200 descontados de la infl acioacuten Este valor presente de los ingresos se compara con el valor presente de la in-versioacuten que es de $50 000 y muestra que efectivamente se lograraacute una utilidad de $1200y que por lo tanto conviene invertir

Ejemplo 354

Una compantildeiacutea minera ha descubierto una veta de manganeso en un paiacutes latinoameri-cano y debe decidir la conveniencia o inconveniencia de su explotacioacuten A fi n de poder benefi ciar el mineral es necesario realizar una inversioacuten de $350 000 Sus analistas fi nan-cieros estiman que la veta produciraacute soacutelo durante 3 antildeos y de acuerdo con el precio vi-gente del metal los ingresos seriacutean los siguientes

1er antildeo 100 000 2o antildeo 200 000 3er antildeo 300 000

Si la tasa de infl acioacuten promedio de los proacuteximos tres antildeos es de 40 iquestresulta renta-ble la inversioacuten

SolucioacutenPara tener una idea maacutes clara de la operacioacuten se puede elaborar una graacutefi ca de tiempo y valor (Vea la graacutefi ca 33 en la paacutegina siguiente)

Se traen a valor presente los ingresos que se espera recibir en el futuro utilizando la tasa de infl acioacuten y se comparan con la inversioacuten inicial

GRAacuteFICA 33

1er antildeo = $100 000 C = M(1 + i)minus1

C = 100 000(1 + 040)minus1

C = 100 000(071428571) C = 7142857

2o antildeo = $200 000 C = M(1 + i)minus2

C = 200 000(1 + 040)minus2

C = 200 000(051020408) C = 102 04082

C = 300 000(1 + 040)minus3

C = 300 000(036443149) C = 109 32945

La suma del valor presente de los ingresos esperados en los proacuteximos antildeos es

7142857 + 102 04082 + 109 32945 = $282 79884

El valor presente de los ingresos ($282 79884) es menor al de la inversioacuten necesaria para su explotacioacuten ($350 000) Por lo tanto a la compantildeiacutea no le conviene explotar la veta a menos que el precio del metal se incremente y con eacutel sus ingresos esperados

351 Valor actual de deudas que devengan intereacutes

En determinadas ocasiones se pueden encontrar deudas que devengan intereacutes y de las cuales se quiere conocer su valor en un momento anterior a su liquidacioacuten

Inversioacuten 350 000

0 1 2 3 antildeos Ingresos 100 000 200 000 300 000

Para solucionar estos problemas en primer lugar se debe determinar el monto original de la deuda y a partir de eacutel calcular el valor actual

Ejemplo 355

Se otorga un preacutestamo de $2 000 000 para liquidar una maquinaria y se fi rma un docu-mento a plazo de un antildeo con intereacutes de 15 A fi n de recuperar el efectivo en forma inme-diata se descuenta dicho documento en un banco a una tasa de 2 mensual

a) iquestQueacute cantidad es la que se recibe b) iquestQueacute tasa de intereacutes efectiva debe pagar la compantildeiacutea para fi nanciarse

Solucioacuten M = C(1 + i)n

M = 2 000 000(1 + 015)1

M = 2 000 000(115) M = 2 300 000

El monto nominal de la deuda es de $2 300 000

a) Se calcula el valor actual

C = M(1 + i)minusn

C = 2 300 000(102)minus12

C = 2 300 000(0788493) C = $1813 53430

b) Tasa de intereacutes efectiva

Valor de la maquinaria = $2 000 00000Preacutestamo otorgado por el banco = 1813 53430Intereacutes pagado por la empresa que vendioacute la maquinaria = 186 46570

Costo para la empresa que vendioacute la maquinaria

= = 186 465 702 000 000

i = 0093233 = 932

La tasa de intereacutes efectiva que debe pagar la compantildeiacutea para fi nanciarse a traveacutes de los documentos es de 932 anual

Ejemplo 356

Se descuenta en un banco un documento de $500 000 con vencimiento a 3 meses que de-venga 2 de intereacutes mensual El banco lo descuenta a una tasa de 22 anual iquestCuaacutel es la cantidad que se recibe

Solucioacutena) Se calcula el monto original

M = C(1 + i)n

M = 500(1 + 002)3

M = 500(1061208) M = 530 604

b) Se calcula el valor actual

C = M(1 + i)minusn

C = 530 604(1 + 022)minus312

C = 530 604(122)minus025

C = 530 604(0951503) C = 504 87116

En este caso a diferencia del anterior la tasa de intereacutes cobrada por el banco es menor que la que se cargoacute en el valor del documento El acreedor tuvo un benefi cio adicional

Ejemplo 357

Un documento por $1000 000 debe pagarse en 36 meses lapso durante el cual generaraacute in-tereses a 12 convertible mensualmente Se descuenta en el banco y eacuteste carga un intereacutes de 16 convertible trimestralmente iquestCuaacutel es la cantidad que se recibe iquestCuaacutel fue la utilidad o peacuterdida que generoacute la operacioacuten

SolucioacutenEsta situacioacuten involucra dos problemas que deben resolverse en forma separada para vi-sualizarlo maacutes claramente se recurre a una graacutefi ca de tiempo y valor (Vea la graacutefi ca 34)

En primer lugar debe calcularse el monto total de la deuda dados

C = $1000 000 J12 = 12 i = 1 mensual n = 36 M = (1 + i)n

M = 1000 000 (1 + 001)36

M = 1000 000 (1430769) M = 1430 769

GRAacuteFICA 34

M = C (1 + 01212 )

1 000 000 Meses

34 35 36

C = M (1 + 016

4 )ndash12

Acto seguido se procede a calcular el valor actual del monto obtenido en funcioacuten de la tasa de descuento dados M = 1430 769 J4 = 16 i = 4 n = 12 C = M(1 + i)minusn

C = 1430 769(1 + 004)minus12

C = 1430 769(0624597) C = 893 65410

La cantidad neta que se recibe del banco asciende a $893 65410 Hay una peacuterdida de $106 34590 en la operacioacuten (1000 000 minus 893 65410)

Ejemplo 358

En la compra de una maquinaria se fi rma un documento por $75 000 a pagar en 3 antildeos con una tasa de intereacutes de 125 semestral Luego del transcurso de 10 meses de la fi rma se decide descontarlo en el banco y eacuteste carga un intereacutes de 28 convertible trimestral-mente iquestCuaacutel es la cantidad neta que se recibe

SolucioacutenEn este caso al igual que en el anterior se involucran dos problemas a) uno de monto y b) uno de descuento

Utilizando una graacutefi ca de tiempo y valor se tiene

GRAacuteFICA 35

a) Se determina en primer lugar el monto a pagar C = 75 000 i = 125 n = 6 M = C(1 + i)n

M = 75 000(1 + 0125)6

M = 75 000(2027286) M = 152 04649 b) A partir del monto obtenido se procede a descontar de acuerdo con la tasa fi jada por

el banco M = 152 04649 J4 = 28 i = 7 n = 26 meses = 866666667 trimestres (263)

75 000 Meses

0 2 4 6 8 10

34 35 36

C(1 + 0125)6

C = M (1 + 028

4 )ndash263

En este caso se presenta ademaacutes el problema de periodos de intereacutes fraccionario y puede resolverse en forma exacta o en forma aproximada

b1) Exacta

C = M(1 + i)minusn

C = 152 04649(1 + 007)minus8666667

C = 152 04649(0556340) C = 84 58961

b2) Aproximada

Cuando se tienen periodos de intereacutes fraccionario en problemas de intereacutes compuesto se descuenta hasta el periodo completo que incluya aquel que se estaacute buscando y posterior-mente se adiciona el tiempo faltante utilizando el intereacutes simple Con base en una graacutefi -ca de tiempo y valor

GRAacuteFICA 36

C = M(1 + i)minusn

C = 152 04649(1 + 007)minus9

C = 152 04649(0543934) C = 82 70322

El valor actual a 9 meses seraacute de $82 70322A dicho valor se le acumula el intereacutes simple por un mes para ubicarlo en el tiempo

fi jado

M = C(1 + it) M = 82 70322[1 + (007)(13)] M = 82 70322(1023333) M = 84 63293

que es la cantidad que se obtiene con descuento aproximado y la cual como puede verse arroja una diferencia de

84 63293 minus 84 58961 = 4332

con respecto a la que se obtiene mediante el meacutetodo exacto

M = C[1 + (007)(13)]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Trimestres

C = M(1 + 007)ndash9

Ejercicios de la seccioacuten 3526 iquestCuaacutento dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de

$250 000 en un plazo de 2 antildeos y la tasa de intereacutes es de 9 convertible mensual-mente

27 iquestQueacute cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de preacutestamo si ha firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18 convertible trimes-tralmente y tiene vencimiento en 18 meses

28 iquestCuaacutel es el valor presente de $1000 que se cobraraacuten al cabo de un antildeo si la tasa de in-tereacutes compuesto trimestralmente es a) 10 b) 20 c) 30 d) 50 e) 100

29 iquestCuaacutel es el valor presente de $1000 que se cobraraacuten en un antildeo si la tasa de intereacutes es de 15 convertible a) mensualmente b) trimestralmente c) semestralmente d) anualmente

30 Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagareacute que incluye intereses a ra-zoacuten de 3 trimestral y que seraacute pagadero al cabo de un antildeo iquestQueacute cantidad puede obtenerse por eacutel si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de intereacutes de 12 con-vertible mensualmente

31 Una distribuidora de automoacuteviles ofrece a sus clientes 10 de descuento en la com-pra al contado de un automoacutevil nuevo o bien 50 del precio al contado y 50 a 6 meses sin descuento y sin intereses iquestQueacute alternativa debe escogerse si el dinero pue-de ser invertido a una tasa de intereacutes mensual de a) 2 b) 3 c) 4

32 Una empresa dedicada al comercio internacional desea incrementar sus operacio-nes para lo cual estudia dos proyectos alternativos Los flujos netos de efectivo pre-supuestados son

ProyectoInversioacuten requerida

Flujo neto de efectivo al fi n de

Antildeo 1 Antildeo 2 Antildeo 3

A 80 000 20 000 35 000 60 000

B 75 000 45 000 30 000 25 000

iquestQueacute alternativa se debe escoger si la compantildeiacutea puede obtener en otro tipo de inver-sioacuten rendimientos de a) 15 b) 20

33 En una operacioacuten de exportacioacuten una empresa recibe un pagareacute por 285 000 doacutelares a 180 diacuteas de plazo que devenga un intereacutes mensual de 1 A fin de contar con recur-sos liacutequidos la empresa descuenta el documento en su banco y eacuteste lo acepta cargando un intereacutes de 10 anual convertible trimestralmente iquestCuaacutel es el importe neto que re-cibe la empresa

34 Por la venta de una casa una compantildeiacutea inmobiliaria recibe un pagareacute por $140 000 con vencimiento a 5 antildeos que devenga intereses a razoacuten de 10 anual convertible semestralmente iquestQueacute cantidad recibiraacute la empresa si al cabo de un antildeo descuenta el documento en su banco y eacuteste le cobra 16 de intereacutes anual

35 Una empresa obtiene un preacutestamo de habilitacioacuten por $150 000 el cual documenta con un pagareacute con vencimiento a 3 antildeos y que estipula intereses trimestrales de 6 liqui-dables al teacutermino de la operacioacuten Al cabo de 3 meses el banco aceptante negocia el documento y es descontado con un intereacutes de 28 anual convertible semestralmente iquestQueacute importe recibe el banco Determiacutenelo utilizando el meacutetodo exacto y el meacutetodo aproximado

36 TiempoComo ya se mencionoacute la foacutermula 33 puede utilizarse para resolver cualquier problema de in-tereacutes compuesto pues en ella estaacuten involucradas todas las variables que lo determinan monto capital tiempo y tasa de intereacutes conociendo tres de ellas se despeja y determina la cuarta

Se veraacuten enseguida dos ejemplos de coacutemo solucionar problemas en los que se desconoce el tiempo

Ejemplo 361

iquestEn cuaacutento tiempo se duplicaraacute una inversioacuten de $1000 si se considera una tasa de intereacutes

a) de 36 anual convertible mensualmente y b) de 24 anual tambieacuten convertible mensualmente

SolucioacutenPara resolver este tipo de problemas es necesario recurrir al uso de los logaritmos Con base en la foacutermula (33) se tiene

M = C(1 + i)n

se despeja (1 + i)n y se obtiene

MC = (1 + i)n = factor de acumulacioacuten del monto a intereacutes compuesto Aplicando loga-ritmos

log factor = n log (1 + i)

log factorlog (1 + )i

n= (37)

a) Ahora dado que j12 = 036

el intereacutes mensual es i = 003

Tambieacuten como se quiere encontrar el tiempo en el que se duplica un capital dado

1 2( )

De donde

n = loglog ( )

El logaritmo base 10 del factor 2 es 0301030 y el logaritmo base 10 de 103 es 0012837

0 3010300 01283723 45

Se necesitan 2345 meses para que el capital invertido se duplique dada una tasa de 3 mensual

b) Si la tasa de intereacutes es de 24 anual se tiene

M = C(1 + i)n

MC = (1 + i)n

2 0001000

1 0 02

2 1 022 1 02

( )log log

1 020 3010300 00860035 00

Si la tasa de intereacutes es de 24 anual convertible mensualmente se necesitaraacuten 35 meses para duplicar el capital

Debe destacarse que la conclusioacuten anterior es vaacutelida sin que importe a cuaacutento as-ciende el capital invertido pues lo que se considera es el factor de acumulacioacuten del monto a intereacutes compuesto y no la cantidad invertida en siacute

36 Tiempo

Ejemplo 362

iquestEn cuaacutento tiempo reduce $100 su valor adquisitivo a 50 dada una infl acioacuten anual de a) 50 b) 10 c) 30 d) 100

Solucioacuten a) En forma aprioriacutestica hay quienes sentildealaraacuten que la respuesta al problema anterior (in-

fl acioacuten de 50) es de un antildeo perohellip iexclestaacuten equivocados

M = C(1 + i)n

Se conoce que M = 1 pues es la cantidad absoluta de la que se dispondraacute en el fu-turo Se conoce tambieacuten que C = 050 pues es el poder adquisitivo actual del peso que se recibiraacute en el futuro La tasa de infl acioacuten i = 050

MC = (1 + i)n

1 000 50

1 0 50

2 1 502 1 50

( )log log

0 3010300 1760911 71

Este resultado indica que el valor adquisitivo de $1 se veraacute reducido a $050 en 171 antildeos dada una infl acioacuten de 50

b) Para determinar en el caso de 10 de infl acioacuten se sigue el mismo procedimiento

MC = (1 + i)n

2 = (1 + 010)n

loglog

0 3010300 0413927 27

Si la infl acioacuten disminuye a 10 tomaraacute 727 antildeos que la moneda reduzca su valor real a la mitad

c) Si sube a 30 se tiene

2 = (1 + 030)n

loglog

0 3010300 1139432 64

Con la infl acioacuten de 30 el lapso se reduce a 264 antildeos

d) Si sube a 100 se tiene

2 = (1 + 1)n

loglog

0 3010300 301030

Si la infl acioacuten es de 100 en soacutelo un antildeo la moneda reduciraacute su poder adquisiti-vo a la mitad

37 Tasa de intereacutesPara determinar la tasa de intereacutes conociendo las otras variables se despeja en la foacutermula (33) y se resuelve

Ejemplo 371

iquestA queacute tasa de intereacutes se deben depositar $15 000 para disponer de $50 000 en un plazo de 5 antildeos Considere que los intereses se capitalizan

a) semestralmente b) trimestralmente c) mensualmente

Solucioacutena) Se despeja la foacutermula (33)

M = C(1 + i)n

MC = (1 + i)n

minus =

1 (38)

37 Tasa de intereacutes

n = 5 antildeos times 2 = 10 semestres

50 00015 000

110 minus = i

3 33333333 110 minus = i

(333333333)110 minus 1 = i 112794487 minus 1 = i 012794487 = i i = 1279

Dada una tasa de 1279 semestral (2558 anual nominal) $15 000 se conver-tiraacuten en $50 000 en 5 antildeos

b) Si el intereacutes se capitaliza en forma trimestral se tiene

M C in minus =1n = 5 antildeos times 4 = 20 trimestres

50 00015 000

120 minus = i

3 33333333 120 minus = i (333333333)120 minus 1 = i 106204749 minus 1 = i i = 006204749 i = 620

Si la frecuencia de conversioacuten se incrementa la tasa anual nominal requerida dis-minuye a 248 (006204749 times 4 = 024818996)

c) Si el intereacutes se capitaliza cada mes

n= minus

= minus

= minus=

50 00015 000

3 33333333 11

02026889 10 020268892 03

minus==

Si la frecuencia de conversioacuten es mensual la tasa requerida es de 203 y la tasa anual disminuye a 2432

Con este ejemplo se demuestra una de las conclusiones que previamente se ha-biacutean apuntado a mayor frecuencia de conversioacuten corresponde un mayor intereacutes

compuesto Por lo tanto para generar una misma cantidad de intereses ($35 000 en el caso anterior) se requiere una tasa de intereacutes menor cuando la frecuencia de conversioacuten es mayor

Tiempo36 iquestEn cuaacutento tiempo se duplica un capital si la tasa de intereacutes efectiva anual es de

a) 10 e) 50 b) 20 f ) 70 c) 30 g) 100 d) 40

37 iquestEn cuaacutento tiempo se duplica un capital si la tasa de intereacutes es de 6 y se compone a) mensualmente b) trimestralmente c) semestralmente d) anualmente

38 iquestEn queacute tiempo se reduce a la mitad el valor adquisitivo de la moneda si la inflacioacuten es de a) 5 d) 25 b) 10 e) 35 c) 20 f ) 50

39 Una inversioacuten duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de intereacutes iquestEn cuaacutento tiempo lo triplicaraacute

40 Se realiza una inversioacuten de $50 000 en un banco el diacutea 1o de febrero iquestEn queacute fecha valdraacute $55 000 si la tasa de intereacutes es de 15 compuesta mensualmente

41 Si la tasa de intereacutes es de 12 convertible mensualmente durante el primer semestre del antildeo y asciende a 15 durante el segundo semestre iquesten queacute fecha valdraacute $55 000 la inversioacuten del caso anterior

Tasa de intereacutes42 iquestA queacute tasa de intereacutes un capital quintuplica su valor en 10 antildeos43 iquestQueacute tasa de intereacutes nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha incrementa-

do a $50 000 en 3 antildeos si dicho intereacutes se capitaliza a) mensualmente b) trimestralmente c) semestralmente d) anualmente

44 Pablo Peacuterez depositoacute $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 antildeos y 9 meses Actualmente tiene $208 862 y desea saber cuaacutel es la tasa de intereacutes que ha ganado si la capitalizacioacuten es trimestral

45 La poblacioacuten de una ciudad se ha duplicado en 10 antildeos iquestCuaacutel ha sido su tasa de cre-cimiento poblacional

46 iquestCuaacutel debe ser la tasa de natalidad de un paiacutes para que duplique su poblacioacuten a) cada 30 antildeos b) cada 40 antildeos c) cada 50 antildeos

38 Ecuaciones de valores equivalentesComo se ha visto a lo largo del capiacutetulo el dinero tiene un valor distinto en el tiempo no es lo mismo tener $1 en este momento que tenerlo dentro de un antildeo pues dependiendo de la tasa de infl acioacuten vigente eacuteste veraacute reducido su valor en mayor o menor grado

Para compensar esa peacuterdida de valor al capital original se le agregan intereses a fi n de que el monto futuro sea equivalente en cuanto a poder adquisitivo al capital actual

Esta relacioacuten de equivalencia se expresa como se muestra en la graacutefi ca 37Asiacute un capital C es equivalente a un monto M a un plazo t considerando una tasa de

intereacutes iSi se tiene un capital de $100 y una tasa de intereacutes de 50 anual el monto equivalente

a dicho capital seraacute de $150 Esto es el poder adquisitivo de $100 seraacute equivalente al de $150 dentro de un antildeo

M = C(1 + i)n

M = 100(1 + 050)1

M = 100(150) M = 150

Asiacute puede decirse que un monto de $150 dentro de un antildeo es equivalente a un capital C de $100 el diacutea de hoy pues

1 0 501501 50100

GRAacuteFICA 37

De la misma forma en que se establece una relacioacuten de dos valores en el tiempo pue-de establecerse una relacioacuten de equivalencia entre dos fl ujos de efectivo que deben pagarse o recibirse en distintos momentos La operacioacuten que se conforma se llama ecuacioacuten de valores equivalentes

Una ecuacioacuten de valores equivalentes es la que se obtiene al igualar en una fecha de com-paracioacuten o fecha focal dos fl ujos distintos de efectivo Observe que se habla de dos fl ujos de efectivo y no de dos cantidades pues un fl ujo de efectivo puede estar constituido por una o maacutes cantidades que se pagan o se reciben en distintos momentos del tiempo

Tome el siguiente ejemplo iquestQueacute cantidad debe pagarse trimestralmente para saldar una deuda de 3 pagos mensuales de $100 dada una tasa de intereacutes de 2 mensual

En este caso se tienen dos conjuntos de obligaciones

a) la cantidad original constituida por los 3 pagos mensuales y b) el pago trimestral X con el que se desea sustituir aqueacutella

Esto puede observarse en la graacutefi ca 38 de tiempo y valor

GRAacuteFICA 38

El valor del pago X debe ser equivalente al valor de los 3 pagos de $100 dada una tasa de intereacutes de 2 y una fecha determinada (fecha focal)

X = (100 + I1) + (100 + I2) + (100 + I3)

fl ujo 1 fl ujo 2

Ecuacioacuten de valores equivalentes

1 2 3 +100 +100 +100

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎧ ⎨ ⎩

C asymp MC + I = M

Para resolver este problema lo primero que debe hacerse es determinar la fecha focal en la cual se van a comparar los fl ujos de efectivo En el capiacutetulo anterior se sentildealoacute que cuando se trata de intereacutes simple dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una fecha pue-den no serlo en otra En el caso de intereacutes compuesto por el contrario dos fl ujos de efectivo que son equivalentes en una fecha lo seraacuten en cualquier otra y por ello puede seleccionarse cualquier fecha para efectuar la comparacioacuten A fi n de simplifi car conviene tomar el tercer mes (Vea la graacutefi ca 39)

GRAacuteFICA 39

En esa fecha focal se igualan todos los valores

X = 100(102)2 + 100(102)1 + 100 X = 10404 + 102 + 100 X = 30604

Por lo tanto un pago de $30604 al cabo de 3 meses es equivalente a 3 pagos mensuales de $100 cada uno

Se mencionoacute que puede tomarse cualquier otra fecha y el resultado seraacute el mismo Para comprobarlo considere como fecha focal el mes 0 y efectuacutee la operacioacuten (Vea la graacutefi ca 310)

GRAacuteFICA 310

En este caso todos los valores deben igualarse en la fecha focal 0 y para ello se calcula su valor actual o presente el pago X deberaacute descontarse por 3 meses en tanto que los pagos de $100 deberaacuten descontarse por 1 2 y 3 meses

X 0 1 2 FF 100 100 100

0 1 2 3 FF +100 +100 +100

X( ) ( ) ( )1 0 02 100 1 0 02 100 1 0 02 1003 1 2+ = + + + +minus minus minus (( )( ) ( ) (

1 0 020 942322 100 0 980392 100 0

X 9961169 100 0 94232298 039220 96 116880

94 2322300 942322

288 3883300 942322

El resultado como puede observarse es exactamente el mismo

Ejemplo 381

Una empresa tiene una deuda bancaria de $500 000 pagadera en dos abonos de $250 000 cada uno a 3 y 6 meses Desea liquidarla en 3 pagos bimestrales si el primero es de $100 000 y el segundo es de $200 000 iquestcuaacutento importaraacute el tercero considerando una tasa de 36 anual convertible mensualmente

SolucioacutenEl primer paso para resolver una ecuacioacuten de valores equivalente es realizar la graacutefi ca de tiempo y valor a fi n de poder plantear el problema

GRAacuteFICA 311

Una vez elaborada la graacutefi ca se procede a determinar la fecha focal (en este caso se selec-cionoacute el mes 6) y a plantear la ecuacioacuten en funcioacuten de tal fecha

250 1 0 03 250 100 1 0 03 200 1 0 033 4 2( ) ( ) ( )+ + = + + + + XX

250 1 092727 250 100 1 125509 200 1 060( ) ( ) ( + = + 99273182 250 000 112551 212180

523182 32

)++ = + +

44 731523182 324 731198 451

+= minus=

El tercer pago deberaacute ser de $198 451

250 000 250 000 FF 0 1 2 3 4 5 6 100 000 200 000 X

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

fl ujo A fl ujo B

Ejemplo 382

Para comprar un automoacutevil se suscriben tres documentos de $15 000 a pagar a 30 60 y 90 diacuteas Se decide liquidar la deuda con dos pagos iguales a 30 y 60 diacuteas considerando una tasa de intereacutes de 15 mensual iquestCuaacutel es el importe de cada pago

Solucioacutena) Se elabora la graacutefi ca de tiempo y valor (Vea la graacutefi ca 312)

GRAacuteFICA 312

b) Se determina la fecha focal (en este caso se seleccionoacute el mes 1) c) Se plantea la ecuacioacuten de valor

X + X(1 + 0015)minus1 = 15 000 + 15 000(1 + 0015)minus1 + 15 000(1 + 0015)minus2

X + X(0985221) = 15 000 + 15 000(0985221) + 15 000(0970661) 1985221X = 15 000 + 14 77832 + 14 55993

X = 44 338 261 985221

X = 22 33416

Se deben pagar dos abonos de $22 33416 para saldar la deuda

Ejemplo 383

Se decide pagar la compra de una maquinaria con valor de $100 000 en dos pagos de $50 000 a 6 meses y un antildeo maacutes intereses calculados a 40 de intereacutes anual convertible semestral-mente Luego del transcurso de un trimestre se renegocia la compra y se determina pagarla mediante tres pagos trimestrales el primero por $30 000 el segundo por $50 000 y el tercero por la diferencia considerando en este segundo fl ujo un intereacutes de 44 convertible trimes-tralmente iquestCuaacutel es el importe del uacuteltimo pago

Solucioacutena) En primer lugar debe determinarse el importe de los dos primeros pagos incluidos

sus intereses

15 000 15 000 15 000

0 1 2 3 X X

GRAacuteFICA 313

Pago 1 = 50 000 (1 + 020)1

Pago 1 = 50 000(120) Pago 1 = 60 000

Pago 2 = 50 000(1 + 020)2

Pago 2 = 50 000(144) Pago 2 = 72 000

b) Se elabora la graacutefi ca de tiempo y valor

GRAacuteFICA 314

c) Se determina la fecha focal d) Se plantea la ecuacioacuten de valores equivalentes

X + 30 000(1 + 011)2 + 50 000(1 + 011)1 = 60 000(1 + 011)1 + 72 000(1 + 011)minus1

X + 30 000(12321) + 50 000(111) = 60 000(111) + 72 000(0900901)X + 36 963 + 55 500 = 66 600 + 64 86486X + 92 463 = 13146486X = 13146486 minus 92 46300X = 39 00186

La operacioacuten se liquida con el pago de $39 00186

39 Tiempo equivalenteEn ocasiones se desea liquidar un conjunto de obligaciones con un pago uacutenico igual a la suma de las distintas deudas La fecha en la cual pueden ser liquidadas con dicho pago uacutenico se conoce

39 Tiempo equivalente

50 000 + I1 50 000 + I2

0 6 12

60 000 72 000 0 3 6 9 FF 12 30 000 50 000 X

como fecha de vencimiento promedio de las deudas Al tiempo que falta transcurrir hasta la fecha de vencimiento promedio se le conoce como tiempo equivalente

Ejemplo 391

Una compantildeiacutea adeuda al banco $150 000 con vencimiento a 2 trimestres y $250 000 con vencimiento a 6 trimestres Desea liquidar la deuda con un pago uacutenico iquestCuaacutel es el tiempo equivalente suponiendo un intereacutes de 45 trimestral

Solucioacutena) Se elabora la graacutefi ca de tiempo y valor

GRAacuteFICA 315

b) Se plantea la ecuacioacuten de valor

(150 000 + 250 000)(1 + 0045)x = 150 000(1 + 0045)minus2 + 250 000(1 + 0045)minus6

(400 000)(1 + 0045)x = 150 000(0915730) + 250 000(0767896)(400 000)(1045)x = 137 35949 + 19197393400 000(1045)x = 329 33343

1 045329 333 43

400 000x =

(1045)x = 082333357 X log 1045 = log 082333357 X(001911629) = minus008442418

X =minus

= minus0 08442418

0 019116294 41634752

X = 44163

Este resultado indica que para liquidar la deuda con un pago uacutenico se deberaacuten entre-gar $400 000 transcurridos 441 trimestres (aproximadamente un antildeo y 37 diacuteas)

El signo negativo no se toma ya que se utilizoacute el cologaritmo de 082333357 El logaritmo de 082333357 es propia-mente ndash19155758234 y 09155758234 minus 1 = minus0084422418

0 2 4 6 8 10 12 Trimestres 150 000 250 000 X

400 000(1 + 0045)x

Ejemplo 392

El perfi l de adeudos de un paiacutes latinoamericano con la Banca Internacional es el siguiente en millones de doacutelares (MDD) 1er antildeo 5 000 MDD 2o antildeo 7 000 MDD 3er antildeo 8 000 MDD 20 000 MDD

Estos montos incluyen capital e intereses de 10 anual Si se desea liquidar la deuda con un pago uacutenico iquestcuaacutel seraacute el tiempo equivalente

GRAacuteFICA 316

(5 000 + 7 000 + 8 000)(1 + 010)x = 5 000(1 + 010)minus1 + 7 000(1 + 010)minus2 + 8 000 (1 + 010)minus3

(20 000)(1 + 010)x = 5 000(090909091) + 7 000(082644630) + 8 000(075131480)(20 000)(110)x = 4 54545 + 5 78512 + 6 0105220 000(110)x = 16 34109

1 1016 341 09

20 000

1 10 0 8170548

=c) Se resuelve por logaritmos naturales

X ln 110 = ln 08170545 X(009531018) = minus020204948

=minus

= minus

0 2020490 09531018

2 11990996

Este resultado indica que para liquidar la deuda con un pago uacutenico se deberaacuten en-

tregar 20 000 MDD transcurridos 212 antildeos (2 antildeos y 43 diacuteas aproximadamente)

20 000(1 + 010)x

0 1 2 3 antildeos 5 000 7 000 8 000

Ejercicios de las secciones 38 y 39Ecuaciones de valores equivalentes

47 En la compra de un televisor con valor de $3 00000 se pagan $1500 al contado y se firma un documento por la diferencia a pagar en 6 meses con un intereacutes de 2 men-sual iquestCuaacutel es el importe del documento

48 El comprador del caso anterior decide pagar el saldo con dos abonos iguales a 3 y 6 me-ses iquestCuaacutel es el importe de dichos pagos si se considera un intereacutes de 6 trimestral

49 Un documento con valor de $180 000 debe liquidarse en un plazo de 3 antildeos y medio Determine los valores equivalentes si la deuda se liquida a) en un antildeo b) en 4 antildeosConsidere una tasa de intereacutes de 22 capitalizable trimestralmente

50 Se compra un terreno campestre Se pagan $50 000 de enganche y se firman dos do-cumentos por igual cantidad a pagar en 1 y 2 antildeos iquestQueacute suma debe entregarse para liquidar la compra al cabo de un antildeo si la tasa de intereacutes es a) 15 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

51 Una persona contrae una deuda que debe liquidar mediante un pago de $30 000 a 6 meses y otro de $50 000 en un antildeo y medio iquestQueacute cantidad debe pagar para liquidar la deuda en un solo pago a) en este momento b) en un antildeo c) en un antildeo y medioLa tasa de intereacutes vigente es de 20 convertible mensualmente

52 Una empresa vende una maquinaria en $35 000 Le pagan $15 000 al contado y lefirman dos documentos por $10 000 cada uno con vencimiento a 6 y 12 meses iquestQueacute cantidad liquidaraacute la deuda al cabo de 6 meses si se aplica un intereacutes de 30 conver-tible mensualmente

53 Mariacutea debe $15 000 a pagar en un antildeo Abona $2 000 al cabo de 3 meses y $3 000 a los 6 meses iquestQueacute cantidad debe entregar a los 9 meses para liquidar la deuda si se consi-dera un intereacutes de 15 mensual

54 Andreacutes solicita un preacutestamo de 158 000 doacutelares para la compra de una casa Ofrece pagar 20 000 en un antildeo 30 000 en 2 antildeos y el saldo a 3 antildeosiquestQueacute cantidad debe pagar para liquidar la deuda si la tasa de intereacutes es de a) J4 = 8 b) J4 = 12 c) J4 = 15

310 AplicacionesEn la praacutectica comercial y fi nanciera cotidiana encontramos una gran cantidad de operaciones a las que se aplica el monto a intereacutes compuesto asiacute como el valor actual a intereacutes compuesto

3101 Monto a intereacutes compuesto

La aplicacioacuten maacutes comuacuten del monto a intereacutes compuesto es la determinacioacuten del monto que se obtendraacute cuando se realiza un depoacutesito de dinero en una institucioacuten fi nanciera por el cual se recibe un intereacutes que se capitaliza en forma perioacutedica (diaria mensual trimestral etc) Los instrumentos fi nancieros de este tipo son los pagareacutes con rendimiento liquidable al vencimien-to que se ilustran a continuacioacuten comparaacutendolos con los Certifi cados de Depoacutesito (Cedes)

Cedes y pagareacutes con rendimiento liquidable al vencimiento

Los Certifi cados de Depoacutesito (Cedes) son instrumentos fi nancieros a traveacutes de los cuales se pueden realizar inversiones desde 63 hasta 378 diacuteas y en los cuales los intereses devengados se pagan al inversionista en forma mensual Su mecaacutenica de operacioacuten es la siguiente

Ejemplo 3101

Se depositan $100 000 en un certifi cado de depoacutesito a 3 meses que paga un intereacutes de 6 anual convertible mensualmente Determine el intereacutes mensual y el monto que recibiraacute el inversionista al cabo de los tres meses si los intereses ganados no son reinvertidos

Certifi cado de depoacutesito

Inversioacuten C

Tiempo 0 1 2 3

Intereses I I I

Reembolso de capital C

Pagareacute con rendimiento liquidable al vencimiento

Inversioacuten C

Tiempo 0 1 2 3

Intereses I

310 Aplicaciones

SolucioacutenDado que los intereses se pagan mensualmente y no se reinvierten se estaacute en presencia de un problema de intereacutes simple ya que el capital permanece sin cambio a lo largo de toda la vida de la inversioacuten El intereacutes mensual se calcula aplicando la foacutermula

I = Cit

Por lo tanto se tiene

I = Cit I = 100 000(00612)(1) I = 100 000(0005)(1) I = 500

Asiacute el intereacutes mensual que se recibe es de $500 y el monto del principal que se resti-tuye al cabo de los tres meses es de $100 000 cantidad que se invirtioacute

Ejemplo 3102

Se depositan $100 000 en un pagareacute con rendimiento liquidable al vencimiento a 3 meses que paga un intereacutes de 6 anual convertible mensualmente Determine el intereacutes men-sual y el monto que recibiraacute el inversionista al cabo de los tres meses

SolucioacutenEn este caso como el nombre del instrumento lo indica los intereses se pagan al vencimien-to generando un monto compuesto El pago mensual de intereses es 0 y el monto al cabo de los tres meses se determina recurriendo a la foacutermula de intereacutes compuesto

M = C(1 + i)n

M = 100 000(1 + (00612))3

M = 100 000(1 + 0005)3

M = 100 000(1015075125) M = 10150751

El inversionista recibiraacute $10150751 al cabo de tres meses Existe un diferencial de in-tereacutes de 751 entre el pagado en forma mensual en el Cede del ejemplo 3101 y el recibido en el ejemplo 3102 producto de la reinversioacuten mensual de los intereses ganados

Las principales diferencias que existen entre los Cedes y los pagareacutes con rendimiento liquidable al vencimiento son

bull Estos uacuteltimos se invierten a partir de 1 diacutea de plazo en Cedes a partir de 2 meses bull En los pagareacutes los rendimientos se reciben al vencimiento de la inversioacuten en Cedes

los intereses son liquidados cada mes al inversionista

3102 Valor actual a intereacutes compuesto

Las operaciones fi nancieras donde se utiliza con mayor frecuencia este tipo de aplicacioacuten se relacionan con descuentos por pronto pago donde debe compararse un fl ujo de pagos futuro con un pago presente

Ejemplo 3103

Una tienda de departamentos ofrece 10 de descuento o 3 meses sin intereses en la com-pra de sus artiacuteculos en el departamento de computacioacuten Se desea adquirir una compu-tadora que tiene un valor de $12 000 Si se tiene el dinero para adquirirla al contado iquestcuaacutel alternativa es la maacutes adecuada suponiendo que la tasa de intereacutes del mercado es de 12 anual convertible mensualmente

SolucioacutenEn este caso es necesario comparar el valor actual de tres pagos futuros de $4 000 cada uno a uno dos y tres meses con un pago en el momento presente equivalente a 90 del precio de lista de $12 000 El problema se ilustra a continuacioacuten

Determinacioacuten del pago de contado

C M dt= minus( )1 C = minus12 000 1 0 10 1( ( )) C = minus12 000 1 0 10( ) C = 12 000 0 90( ) C = 10 800

Determinacioacuten del valor presente de los pagos mensuales

Para determinar el valor presente de los pagos mensuales es necesario sumar el valor pre-sente del pago al fi n del mes 1 maacutes el valor presente del pago al fi n del mes 2 maacutes el valor presente del pago al fi n del mes 3 Para determinar cada uno de estos valores se aplica la foacutermula (36) que se vio en el texto

C M i n= + minus( )1

El primer pago se realiza al fi nal del primer mes por lo que habraacute que determinar su va-lor actual descontando los intereses generados en un periodo

C = + minus4 000 1 0 01 1( ) C = minus4 000 1 01 1( ) C = 4 000 0 990099( ) C = 3960 3960

310 Aplicaciones

Precio de contado 12 000 ndash 10

Tiempo 0 1 2 3

Pago a plazos 4 000 4 000 4 000

El segundo pago se realiza al fi nal del segundo mes por lo que habraacute que determinar su valor actual descontando los intereses generados en dos periodos

C = + minus4 000 1 0 01 2( ) C = minus4 000 1 01 2( ) C = 4 000 0 980296( ) C = 3921 1842

El tercer pago se realiza al fi nal del tercer mes por lo que habraacute que determinar su valor actual descontando los intereses generados en tres periodos

C = + minus4 000 1 0 01 3( ) C = minus4 000 1 01 3( ) C = 4 000 0 970590( ) C = 3882 3606

La suma de los valores actuales es por lo tanto

C = + + =3960 40 3921 18 3882 36 11763 94

Por lo tanto es maacutes conveniente adquirir el bien al contado que aprovechar los pagos ldquosin interesesrdquo puesto que su valor actual es superior por 96394 pesos con respecto al que se obtiene pagando al contado

3103 Valor actual neto

Para realizar la evaluacioacuten de un proyecto de inversioacuten las herramientas que se utilizan con maacutes frecuencia son

bull Tiempo simple de recuperacioacutenbull Tiempo ajustado de recuperacioacutenbull Valor actual neto (VAN) o valor presente neto (VPN) y bull Tasa interna de rendimiento

En este capiacutetulo se explicaraacute coacutemo puede determinarse el valor actual neto de un proyecto mientras que en el siguiente se abundaraacute sobre este tema y se ilustraraacute la tasa interna de ren-dimiento (TIR)

El valor actual neto de un proyecto de inversioacuten es el valor actual de todos los fl ujos de efectivo relacionados con el proyecto En otras palabras es el valor presente de todos sus costos (egresos) y sus ingresos desde su principio y hasta su terminacioacuten Esta cuestioacuten se ilustra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 3104

Determine el valor actual neto de un proyecto de inversioacuten que requiere un desembolso inmediato de $10 800 y genera fl ujos de $4 000 mensuales durante tres meses suponiendo que la tasa de intereacutes del mercado fuese a) 12 b) 36 c) 72

a) Como puede apreciarse el ejemplo anterior puede analizarse desde el punto de vista de la tienda departamental como un proyecto de inversioacuten pues invierte $10 800 (el dinero

que podriacutea recibir si vendiera el producto al contado) a cambio de un fl ujo esperado de tres pagos mensuales iguales de $4 000 cada uno El proyecto se ilustra a continuacioacuten

La inversioacuten se representa con un fl ujo negativo (minus10 800) en tanto que los in-gresos se representan con signo positivo (+4 000)

A una tasa de 12 anual convertible mensualmente el proyecto de inversioacuten re-sulta altamente rentable para la tienda puesto que los $10 800 que invierte le generan un fl ujo de ingresos cuyo valor actual neto importa $1176394 El valor actual neto del proyecto es de $96394 ($1176394 minus $10 800)

Este resultado indica que la empresa estaacute incrementando su valor en $96394

b) Sin embargo este valor actual neto depende de la tasa de intereacutes que se encuentre vi-gente en el mercado Asiacute suponiendo que dicha tasa fuese de 36 iquestcuaacutel seriacutea el valor actual neto del proyecto

SolucioacutenSiguiendo el mismo procedimiento que se utilizoacute en el ejemplo anterior se tiene

La tasa de intereacutes de mercado es de 36 anual lo que equivale a 3 mensual

VAN = VAF0 + VAF1 + VAF2 + VAF3VAN = minus10 800(1 + 003)0 + 4 000(1 + 003)minus1 + 4 000(1 + 003)minus2 + 4 000(1 + 003)minus3 VAN = minus10 800(10000) + 4 000(0970873) + 4 000(0942596) + 4 000(0915142) VAN = minus10 800 + 3 88349 + 3 77038 + 3 66057 VAN = 51444

310 Aplicaciones

Inversioacuten ndash10 800

Tiempo 0 1 2 3

Ingresos 4 000 4 000 4 000

Tiempo 0 1 2 3

Ingresos 4 000 4 000 4 000

El valor actual neto del proyecto es de $51444 a una tasa de intereacutes de 36 anual con-vertible mensualmente Ello quiere decir que si la empresa puede conseguir fondos para fi nanciar su proyecto a una tasa de 36 tendriacutea una utilidad de $51444

c) Si la tasa del mercado fuese de 72 iquestcuaacutel seriacutea el valor actual neto del proyecto

SolucioacutenSiguiendo el mismo procedimiento utilizado en los incisos anteriores se tiene

VAN = VAF0 + VAF1 + VAF2 + VAF3VAN = minus10 800(1 + 006)0 + 4 000(1 + 006)minus1 + 4 000(1 + 006)minus2 + 4 000(1 + 006)minus3 VAN = minus10 800(10000) + 4 000(0943396) + 4 000(0889996) + 4 000(0839619) VAN = minus10 800 + 3 77358 + 3 55998 + 3 35848 VAN = minus10796

El valor actual neto del proyecto si la tasa de intereacutes fuese de 72 es negativo (minus10796) Si la tasa de intereacutes del mercado fuese de 72 no le convendriacutea a la tienda invertir en ese proyecto pues recibiriacutea un valor menor al que invertiriacutea Como puede ob-servarse de los nuacutemeros anteriores la tienda departamental carga una tasa de intereacutes cer-cana a 70 a todos aquellos clientes que deciden aprovechar sus pagos ldquosin interesesrdquo

311 Uso de ExcelEn esta seccioacuten se resuelven los ejercicios del capiacutetulo utilizando funciones de Excel disentildea-das para simplifi car el caacutelculo de una serie de pagos perioacutedicos conocidos como anualidades pero que pueden aplicarse para resolver problemas de intereacutes compuesto en combinacioacuten con las capacidades normales de caacutelculo de esta hoja de trabajo Las funciones que se aplican a ejercicios de intereacutes compuesto son

bull Monto a intereacutes compuesto o valor futuro (VF)bull Capital o valor actual (VA)bull Valor actual neto (VNA)bull Tasa interna de rendimiento (TIR)

En las subsecciones siguientes se revisan aplicaciones de cada una de ellas

Tiempo 0 1 2 3

Pago a plazos 4 000 4 000 4 000

3111 Conceptos baacutesicos (seccioacuten 32)

En el ejemplo 323 se muestra la determinacioacuten del monto a intereacutes simple y el monto a inte-reacutes compuesto de un depoacutesito de $100 000 a 5 antildeos considerando en ambos casos una tasa de intereacutes de 20 anual Este ejemplo puede resolverse mediante la utilizacioacuten de las capacidades normales de la hoja de caacutelculo Excelreg como se muestra a continuacioacuten

La foacutermula aplicable al intereacutes simple se muestra en la celda B5 mientras que la foacutermula aplicable al intereacutes compuesto se presenta en la celda C5 En el primer caso se utiliza la siguiente foacutermula

=($B$4(1+$B$3A5))

donde $B$4 indica la celda que contiene el capital que se invierte (100 000) Se utilizan los signos de ldquo$rdquo antes de la letra B y del nuacutemero 4 para indicar que se desea mantener constante tanto la columna como la fi la a que se hace referencia sin que importe si la foacutermula es copia-da a celdas de columnas o fi las diferentes

La celda $B$3 contiene la tasa de intereacutes aplicable escrita como tanto por uno Puede igualmente escribirse como tanto por ciento tal como se muestra en la columna C3 Ambos valores son equivalentes

La celda A5 contiene el periodo transcurrido En este caso es igual a 1 Esta celda es la uacutenica a la que no se le incluyeron signos de ldquo$rdquo puesto que se requiere que cambie al ser copiada en distintas fi las para indicar el nuacutemero de periodos transcurridos (1 2 3hellip etceacutetera)

Para calcular el monto a intereacutes compuesto se utiliza la siguiente foacutermula

=($C$4(1+$C$3)^A5)

En este caso $C$4 indica la celda que contiene el capital que se invierte (100 000) La cel-da $C$3 contiene la tasa de intereacutes aplicable escrita como tanto por ciento y la celda A5 con-tiene el periodo transcurrido que es igual a 1 como en el caso del monto a intereacutes simple En la foacutermula del intereacutes simple se utiliza el signo de multiplicacioacuten sentildealado por el asterisco () para indicar la operacioacuten defi nida por las literales it en tanto que en el caso del intereacutes compuesto se utiliza el signo de exponenciacioacuten indicado por el acento circunfl ejo (^) para indicar que el va-lor (1 + i) se elevaraacute a la potencia que corresponda al nuacutemero de periodos que se mantiene un dinero invertido

311 Uso de Excel

3112 Monto compuesto (VF) (seccioacuten 33)

La foacutermula de Excel para calcular el monto compuesto de una anualidad o valor futuro (VF) que se utilizaraacute en esta seccioacuten para calcular el monto a intereacutes compuesto de un pago uacutenico es

VF(tasanperpagovatipo)

en donde

Tasa es la tasa de intereacutes por periodo expresada como tanto por unoNper es el nuacutemero total de periodos de pagoPago es el pago que se efectuacutea cada periodoVa es el capital o valor actual total de una serie de pagos futuros

Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el monto a intereacutes compuesto sin embargo dado que en el caso que nos ocupa se trata de un solo pago o depoacute-sito y no de un conjunto de pagos perioacutedicos el valor ldquoPagordquo debe omitirse y seraacute necesario capturar el importe del pago o depoacutesito en el lugar del capital o valor actual (Va) pues Excel permite la posibilidad de calcular el monto de la anualidad si se conoce tal valor actual (Va) Cabe remarcar que el valor del ldquoPagordquo deberaacute omitirse o indicar 0 pues de lo contrario Excel calcularaacute el monto de tantos pagos como periodos de acumulacioacuten existan lo cual arrojaraacute evidentemente un resultado falso Esta situacioacuten se ilustra maacutes adelante

Tipo se puede anotar (es un valor optativo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 e indica cuaacuten-do vencen los pagos Si se anota 0 se calcula el monto de un pago vencido como es un paraacute-metro optativo si se omite el monto se calcula para un pago vencido Si se anota 1 se calcula como un pago anticipado Para efectos de la determinacioacuten del monto a intereacutes compuesto puede omitirse ya que el caacutelculo se realiza a partir del capital o valor actual y no a partir de un pago anticipado o vencido por lo que se obtendraacute ideacutentico resultado asiacute se anote un 1 o un 0

El ejemplo 331 se refi ere a un depoacutesito de $50 000 por un periodo de dos antildeos a una tasa de intereacutes de 18 capitalizable mensualmente Entonces si se introduce

=VF(01812212minus50000)

en alguna celda de una hoja de trabajo de Excel se obtiene como resultado $7147514 que es igual a los $7147514 que se obtuvieron en el texto

Las opciones para la solucioacuten de este ejemplo en la hoja de Excel se ilustran a continuacioacuten

Es importante hacer las siguientes observaciones

bull La tasa se expresa como tanto por uno (018) por lo cual en razoacuten de que el ejemplo se-ntildeala que se trata de una tasa anual capitalizable mensualmente deberaacute dividirse entre 12 para determinar la tasa mensual aplicable (01812)

bull En el nuacutemero de periodos (nper) se indica el nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten que se tienen Para ello se multiplica el nuacutemero de antildeos (2) por la frecuencia de conversioacuten anual (12) con lo cual se tiene la cifra que aparece en la foacutermula (212)

bull El pago como ya se indicoacute es 0 Este dato puede omitirse sin que el resultado se altere como se observa en la foacutermula de la columna D (Note que en la foacutermula Excel que se ilustra en la celda D3 hay una doble coma despueacutes del nuacutemero 212 lo cual indica que se omitioacute el valor de la renta mensual)

bull En el capital o valor actual (Va) se anotoacute ldquominus50 000rdquo una cantidad negativa porque Excel considera salidas de capital (cantidades negativas) a los pagos o depoacutesitos Aunque esto no parece tener mucho sentido en estos ejemplos es un procedimiento estaacutendar en Excel y se aprecia mejor su utilidad en las funciones como la de la Tasa Interna de Rendimiento (TIR) en la cual se consideran fl ujos de efectivo tanto de entrada (+) como de salida (minus) Se ven ejemplos de esta funcioacuten de Excel en la seccioacuten 49 de ldquoAplicacionesrdquo

La funcioacuten de Excel puede insertarse tambieacuten desde el menuacute Insertarfuncioacuten En ella se selecciona la categoriacutea ldquoFinancierasrdquo y en la lista que aparece se selecciona la funcioacuten que se re-quiera En este caso por ejemplo la funcioacuten ldquoVFrdquo

Una vez que se selecciona la funcioacuten VF aparece una ventana en la cual se pueden cap-turar los datos relativos a la Tasa Nuacutemero de periodos (Nper) Pago y Valor actual (Va) En la parte inferior derecha de los recuadros aparece el resultado de acuerdo con los datos inser-tados = 714751406 Al oprimir el botoacuten de Aceptar la foacutermula asiacute integrada apareceraacute en la celda de la hoja de Excel

311 Uso de Excel

Es importante observar que esta forma de utilizar la foacutermula del valor futuro o monto de Excel equivale a aplicar la foacutermula del monto a intereacutes compuesto de una cantidad [foacutermula (33)] o

M = C(1 + i)n = 50 000(1015)24 = $7147514

la cual puede de igual manera utilizarse en Excel ya sea haciendo referencia a datos captura-dos en celdas previamente defi nidas o bien capturando dichos datos directamente en la foacutermu-la como se ilustra a continuacioacuten

En el ejemplo 332 se determina el monto de un depoacutesito de $100 000 y el monto de un preacutestamo por la misma cantidad en una caja de ahorros considerando las distintas tasas que se aplican a operaciones pasivas (depoacutesitos de ahorradores) y a operaciones activas (preacutesta-mos de la caja de ahorros) La solucioacuten que proporciona Excel se ilustra a continuacioacuten

que son praacutecticamente los mismos resultados que se presentaron en el texto (las pequentildeas di-ferencias de centavos se deben a redondeos)

En el ejemplo 333 se solicita el monto de un preacutestamo bancario de $1500 000 que debe liquidarse en el plazo de un antildeo con intereacutes de 12 convertible trimestralmente Sustituyendo directamente en una celda de la hoja de caacutelculo los datos de la foacutermula (33) se tiene

que es exactamente el resultado que se tiene en el textoEn el ejemplo 334 se determina el pago que se debe efectuar para liquidar el preacutestamo

anterior bajo el supuesto de que se paga en forma anticipada al transcurrir siete meses y me-dio despueacutes de que se otorgoacute Las opciones de solucioacuten se ilustran a continuacioacuten

los resultados son ideacutenticos a los que se presentaron en el textoEl ejemplo 335 es similar al anterior pues se pide determinar el monto que se debe ero-

gar para liquidar un preacutestamo de habilitacioacuten y aviacuteo de $150 000 que se contratoacute a una tasa de 20 anual convertible semestralmente y que se liquida al cabo de 15 meses (25 semestres)

3113 Tasa nominal tasa efectiva y tasas equivalentes (seccioacuten 34)

En el ejemplo 341 se busca la tasa efectiva de intereacutes que se recibe de un depoacutesito bancario pactado a 18 de intereacutes anual convertible mensualmente Para determinarla se debe calcular

311 Uso de Excel

el monto que se acumula al cabo del tiempo pactado y se compara el intereacutes ganado con el ca-pital original aportado En Excel se determina como se ilustra a continuacioacuten

El intereacutes ganado asciende a $19562 y al compararlo con el capital original aportado permite determinar la tasa efectiva de 1956 que aparece en el texto

La relacioacuten que se establece entre la tasa efectiva y la tasa nominal que se presenta en la segunda parte del ejemplo y que se muestra con la ecuacioacuten (35)

i j m m= + minus( )1 1

puede resolverse en Excel como se ilustra a continuacioacuten

En el ejemplo 342 se tiene que j = 016 y m = 4 Para efectos de determinar la tasa efectiva resulta irrelevante el dato del capital del preacutestamo La solucioacuten en Excel es la siguiente

En el ejemplo 343 se pide determinar la tasa nominal (j) convertible trimestralmen-te dada una tasa de intereacutes efectiva (i) de 40 anual Para ello se despeja la foacutermula (35) la cual queda como sigue

j m i m= + minus[( ) ]1 11

El planteamiento en Excel es el siguiente

3114 Valor actual o presente (seccioacuten 35)

La foacutermula para calcular el valor actual con Excel es

VA(tasanperpagovftipo)

Tasa es la tasa de intereacutes por periodoNper es el nuacutemero total de periodos de pagoPago es el pago que se efectuacutea cada periodo Vf es el monto o valor futuro total de una serie de pagos futuros

Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el valor actual de una anualidad sin embargo Excel permite la posibilidad de calcular el valor actual de la anua-lidad si se conoce el monto (Vf) por ello si se anota el valor Vf de un pago uacutenico se puede obtener su Valor actual (Va) Ya se ilustroacute esta situacioacuten en el caso del caacutelculo del monto y se ilustra para el caso del valor actual maacutes adelante

Tipo Al igual que para calcular el monto o valor futuro se puede anotar (es un valor opta-tivo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacutendo vencen los pagos Dado que en este caso se estaacute capturando el Valor futuro (Vf) y no el importe de los pagos perioacutedicos resulta irrelevante este dato Su aplicacioacuten se estudiaraacute en el capiacutetulo 4 (anualidades vencidas) asiacute como en el capiacute-tulo 5 (anualidades anticipadas)

En el ejemplo 351 se pregunta cuaacutel es el capital que debe depositarse en un banco si se desea tener $50 000 en tres antildeos y la tasa de intereacutes es de 20 anual convertible semestralmen-te La foacutermula aplicable es la (36)

+= + minus

( )( )

Entonces en Excel el resultado se puede obtener mediante tres viacuteas como se muestra a continuacioacuten

311 Uso de Excel

que produce el resultado de $28 22370 que aparece en el textoEn el ejemplo 352 se busca el valor actual de un pago de $425 000 que debe realizarse en

el plazo de antildeo y medio considerando que se puede obtener un intereacutes de 6 anual conver-tible mensualmente Se tiene entonces que

El ejemplo 353 ilustra el caso de la determinacioacuten del valor presente de un fl ujo de $80 000 que se espera recibir en el plazo de dos antildeos con una tasa infl acionaria de 25 En Excel puede resolverse mediante la funcioacuten de Valor actual (Va) o bien a traveacutes de la inte-gracioacuten directa de los valores mediante foacutermulas como se ilustra a continuacioacuten

Cualquiera de las alternativas produce el resultado ya reportado en el texto

En el caso de deudas que devengan intereacutes se debe determinar primero un monto a intereacutes compuesto y posteriormente determinar un valor actual a partir de eacutel

En el ejemplo 355 se presenta el caso de un preacutestamo de 2 000 000 por el que se fi rma un documento a plazo de un antildeo con intereacutes de 15 global A fi n de recuperar el efectivo la empresa vendedora descuenta el documento en un banco a una tasa de 2 mensual Se pide determinar el importe neto que recibe la vendedora y la tasa de intereacutes efectiva que debe pagar por el fi nanciamiento

Estos datos son los mismos que se tienen en el texto y que sirven de base para determinar la tasa de intereacutes efectiva de 932

El ejemplo 356 se refi ere a un documento con un valor nominal de $500 000 con vencimien-to a 3 meses que devenga 2 de intereacutes mensual y que es descontado a una tasa de 22 anual

Los valores que se obtienen son ideacutenticos a los que se muestran en el cuerpo del capiacutetulo

El ejemplo 357 presenta el caso de un documento de $1000 000 que debe pagarse en 36 meses y que genera intereses a 12 anual convertible mensualmente Se pide calcular la canti-dad que se recibiriacutea si se descuenta a una tasa de 16 anual convertible trimestralmente

311 Uso de Excel

La solucioacuten en Excel es la siguiente

Las diferencias de centavos se deben a los redondeos

3116 Tiempo (seccioacuten 36)Para calcular el tiempo se utiliza la foacutermula (33) del monto a intereacutes compuesto pues a par-tir de ella se puede despejar cualquier incoacutegnita Para solucionar estos problemas es necesario utilizar logaritmos

En el ejemplo 361 se pide calcular el tiempo en el que se duplicaraacute una inversioacuten de $1000 000 con tasas de intereacutes de 36 y de 24 anual convertibles mensualmente

A partir de la foacutermula (33)M C i n= +( )1

se despeja la incoacutegnita n con lo cual se obtiene la foacutermula (37)

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log ( )1El planteamiento del problema en Excel se presenta como sigue

El ejemplo 362 pide se determine el tiempo en el cual $1 reduce su valor adquisitivo a 50 dada una infl acioacuten de a) 50 b) 10 c) 30 d) 100

3117 Tasa de intereacutes (seccioacuten 37)Para calcular la tasa de intereacutes se parte tambieacuten de la foacutermula (33) del monto a intereacutes com-puesto en la cual se despeja la incoacutegnita (i) con lo cual se obtiene la foacutermula (38)

M = C(1 + i)n (33)

i M C M Cn n= minus = minus 1 11( ) (38)

En el ejemplo 371 se pregunta cuaacutel es la tasa de intereacutes a la que se deben depositar $15 000 para acumular $50 000 en un plazo de 5 antildeos con intereses que se capitalizan

a) semestralmente b) trimestralmente yc) mensualmente

311 Uso de Excel

312 ResumenEn este capiacutetulo se introdujo el concepto de intereacutes compuesto fundamental para el manejo de operaciones fi nancieras a mediano y largo plazos

En el intereacutes compuesto los intereses generados por un capital se suman perioacutedicamente a eacutel en lapsos previamente establecidos a los que se denomina periodos de capitalizacioacuten A su vez el intereacutes capitalizado genera un nuevo intereacutes y asiacute el crecimiento que se produce es expo-nencial a diferencia del intereacutes simple que guarda un comportamiento lineal

El monto compuesto seraacute el que se obtenga al antildeadir al capital original el intereacutes compues-to generado y se determinaraacute utilizando la foacutermula

M = C(1 + i)n

donde i = tasa de intereacutes por periodo y n = nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten

Cuando se trabaja con intereacutes compuesto es de importancia fundamental que la tasa de intereacutes que se maneje sea exactamente la del periodo de capitalizacioacuten establecido

Las tasas de intereacutes se expresan comuacutenmente en forma anual que indica cuando es nece-sario sus periodos de capitalizacioacuten La tasa asiacute expresada recibe el nombre de tasa nominal = Jm donde J es la tasa nominal anual y m es el nuacutemero de veces que se capitaliza durante el antildeo (frecuencia de conversioacuten) y debe distinguirse de la tasa efectiva por periodo i que expresa el intereacutes efectivo generado (puede ser mensual semestral anual etc) Se dice que dos tasas son equivalentes cuando producen el mismo intereacutes efectivo en un periodo determinado

Las ecuaciones de valores equivalentes que se presentaron en el capiacutetulo 2 se aplicaron en eacuteste a la resolucioacuten de problemas en los que es necesario igualar dos fl ujos de efectivo (in-gresos y egresos) utilizando intereacutes compuesto A diferencia del intereacutes simple se demostroacute que el resultado seraacute el mismo sin importar la fecha focal que se seleccione para igualar los fl ujos

Al fi nal se estudioacute el concepto de tiempo equivalente y se indicoacute que especifi ca la fecha en la cual pueden ser liquidadas con un pago uacutenico dos o maacutes deudas

bull Comprender el concepto de intereacutes compuestobull Diferenciar al intereacutes compuesto del intereacutes simplebull Comprender los conceptos de periodo de capitalizacioacuten frecuencia de conversioacuten tasa

de intereacutes compuesto y monto compuestobull Calcular el monto compuesto de un capitalbull Comprender los conceptos de tasa nominal tasa efectiva y tasas equivalentesbull Calcular las tasas anterioresbull Determinar el valor actual o presente de un monto compuestobull Determinar la tasa de intereacutes en problemas que involucren intereacutes compuesto

bull Calcular el tiempo en problemas de intereacutes compuestobull Comprender el concepto de ecuacioacuten de valor y resolver ejercicios que impliquen su

usobull Resolver ejemplos de tiempo equivalentebull Resolver ejercicios y aplicaciones de intereacutes compuesto utilizando la hoja de caacutelculo de

Microsoft Excel

bull Ecuaciones de valores equivalentes bull Tasa de intereacutes por periodo = ibull Frecuencia de conversioacuten bull Tasa efectiva anual = ebull Graacutefi cas de tiempo y valor bull Tasa nominal = Jmbull Intereacutes compuesto = I bull Tasas equivalentesbull Monto compuesto = M bull Tiempo equivalentebull Periodo de capitalizacioacuten bull Valor actual o capital = C

M = C + I (31) n = log (factor monto a intereacutes compuesto)log (1 + )i

(37)M = C(1 + i)n (33) i = (1 + jm)m minus 1 (35) i M Cn= minus 1 (38)

+= + minus

( )( )

11 (36)

1 Se invierte $20 000 en una cuenta bancaria Determine el monto compuesto al cabo de 5 antildeos si la tasa promedio de intereacutes convertible mensualmente es de a) 15 b) 25 c) 38 d) 54

2 iquestCuaacutel es el monto de una inversioacuten de $100 000 al cabo de un antildeo si se deposita en una cuenta bancaria que paga 30 de intereacutes convertible

a) anualmente b) semestralmente c) trimestralmente d) mensualmente

3 Los precios de la canasta baacutesica de alimentacioacuten se han incrementado a una tasa anual de 25 durante 3 antildeos Si el precio actual es de $765 iquestcuaacutel era su valor hace 3 antildeos

4 Se desea formar un fondo de $250 000 al cabo de 2 antildeos iquestQueacute cantidad debe depositarse hoy si el banco paga un intereacutes de

a) 10 convertible mensualmente b) 20 convertible semestralmente c) 23 anual 5 Los salarios miacutenimos se han incrementado a una tasa de 13 anual promedio duran-

te los uacuteltimos 4 antildeos Si continuara dicha tendencia iquesten queacute tiempo se triplicaraacute su valor nominal

6 El precio de las casas y terrenos se ha duplicado en 3 antildeos iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes anual que ha ganado

7 Un paiacutes posee cinco refineriacuteas para proveerse de combustible Su produccioacuten actual es de 1000 000 barriles diarios y trabajan a 80 de su capacidad Si el crecimiento promedio del consumo ha sido de 4 anual iquesten queacute tiempo requeriraacute dicho paiacutes poner en opera-cioacuten una nueva refineriacutea

8 iquestCuaacutel es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a a) una tasa de 11 anual b) una tasa de 18 anual convertible semestralmente c) una tasa de 32 anual convertible trimestralmente 9 Una deuda de $400 000 debe liquidarse con dos pagos iguales a 60 y 120 diacuteas iquestCuaacutel

es el importe de dichos pagos si la tasa de intereacutes anual es de 26 con capitalizacioacuten bimestral

10 iquestEn queacute tiempo puede ser liquidada con un pago uacutenico una deuda de $27 500 pagaderos en un antildeo y $38 450 pagaderos en dos antildeos si la tasa de intereacutes es de

a) 10 anual b) 20 anual c) 30 anual d) 50 anual11 Determine el periodo de capitalizacioacuten y la frecuencia de conversioacuten de a) una inversioacuten en certificados de la Tesoreriacutea de la Federacioacuten con vencimientos cada

91 diacuteas b) una inversioacuten en cuenta de ahorros que paga intereses de 20 anual semestralmente c) una inversioacuten en pagareacutes liquidables cada 28 diacuteas12 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes por periodo de capitalizacioacuten de las siguientes inversiones a) 6 capitalizable mensualmente b) 18 capitalizable trimestralmente c) 22 capitalizable anualmente d) 22 capitalizable semestralmente13 Un banco ofrece las siguientes alternativas de inversioacuten a) Depoacutesitos a plazo fijo de un antildeo 120 b) Depoacutesitos a plazo fijo capitalizable mensualmente 115

c) Depoacutesitos a plazo fijo con intereses capitalizables trimestralmente 116 d) Depoacutesitos a plazo fijo con intereacutes capitalizable semestralmente 118

Si se desea invertir $50 000 iquestcuaacutel es la mejor alternativa

14 iquestCuaacutel seraacute el monto de los $50 000 del ejercicio anterior si se depositan durante 10 antildeos en

a) una cuenta de valores al 22 capitalizable mensualmente b) una cuenta de valores al 275 capitalizable mensualmente c) una cuenta de valores al 30 capitalizable mensualmente d) una cuenta de valores al 35 capitalizable mensualmente e) una cuenta de valores al 40 capitalizable mensualmente

15 a) iquestCuaacutel seraacute el monto de una cuenta de ahorros en la que se depositan $50 000 durante 10 antildeos si la tasa de intereacutes es de 8 capitalizable semestralmente

b) iquestCuaacutel seraacute el monto en 15 antildeos c) iquestEn 20 antildeos

16 Una persona desea formar un fondo de ahorros para su vejez Deposita $10 000 en una cuenta que paga 12 anual convertible mensualmente iquestCuaacutel seraacute el monto de que dis-ponga al cabo de 25 antildeos

17 Las ventas al menudeo se han incrementado a razoacuten de 3 anual Si en el antildeo se vendie-ron 100 000 unidades iquestcuaacuteles son las ventas estimadas para dentro de 5 antildeos si se man-tiene el ritmo de crecimiento

18 En una ciudad el crecimiento del nuacutemero de automoacuteviles ha sido de 6 anual promedio durante los uacuteltimos 5 antildeos De continuar la tendencia iquestcuaacutel seraacute el nuacutemero de automoacutevi-les que circularaacuten dentro de 10 antildeos si actualmente existen dos millones de vehiacuteculos

19 Una persona deposita $5 000 en una cuenta de ahorros que paga 10 de intereacutes anual convertible semestralmente iquestCuaacutel seraacute el importe reunido despueacutes de 28 meses Calcule por el meacutetodo exacto y por el aproximado

20 Determine la tasa efectiva de intereacutes anual equivalente a

a) 20 capitalizable semestralmente b) 20 capitalizable mensualmente c) 30 capitalizable mensualmente d) 40 capitalizable mensualmente e) 50 capitalizable trimestralmente f ) 50 capitalizable mensualmente g) 60 capitalizable trimestralmente h) 60 capitalizable mensualmente i ) 60 capitalizable semanalmente

21 Determine la tasa nominal de intereacutes Jm equivalente a una tasa efectiva de

a) i = 15 m = 1 b) i = 15 m = 2 c) i = 15 m = 4 d) i = 15 m = 12 e) i = 26 m = 12

f ) i = 12 m = 4 g) i = 35 m = 12 h) i = 9 m = 422 Determine a) la tasa nominal de intereacutes J4 equivalente a J12 = 14 b) la tasa nominal de intereacutes J4 equivalente a J12 = 18 c) la tasa nominal de intereacutes J4 equivalente a J2 = 10 d) la tasa nominal de intereacutes J6 equivalente a J4 = 8 e) la tasa nominal de intereacutes J12 equivalente a J4 = 12 f ) la tasa nominal de intereacutes J12 equivalente a J4 = 15 g) la tasa nominal de intereacutes J12 equivalente a J12 = 20 h) la tasa nominal de intereacutes J12 equivalente a J4 = 2423 Determine la tasa efectiva de intereacutes equivalente a una tasa nominal de 18 compuesta a) anualmente b) semestralmente c) cuatrimestralmente d) trimestralmente e) bimestralmente f ) anualmente g) mensualmente h) semanalmente iquestCuaacutel es la diferencia entre la tasa efectiva con capitalizacioacuten anual y la tasa efectiva

semanal24 Una firma de venta de automoacuteviles ofrece dos planes de pago al contado $135 000 a pla-

zos $40 000 de enganche y dos pagos de $52 500 a 3 y 6 meses iquestQueacute alternativa es maacutes conveniente si la tasa de intereacutes es de

a) J4 = 10 b) J4 = 20 c) J4 = 30 d) J4 = 40 e) Indique el valor actual de los pagos a plazos25 Alejandra obtuvo un preacutestamo de $4 300 y acuerda liquidarlo mediante tres pagos a 1 2

y 3 meses con un intereacutes de 2 mensual El segundo pago seraacute el doble del primero y el tercero el doble del segundo iquestCuaacutel es el importe de los pagos

26 Determine las tasas efectivas de intereacutes equivalente a tasas nominales J de 16 y 20 compuestas

a) anualmente b) semestralmente c) cuatrimestralmente d) trimestralmente e) bimestralmente f ) anualmente

g) mensualmente h) semanalmente iquestCuaacutel es la diferencia entre las tasas efectivas con capitalizacioacuten anual y las que se capita-

lizan mensualmente27 iquestA queacute tasa de intereacutes nominal convertible mensualmente debe invertirse un capital para

que eacuteste se duplique en a) 5 antildeos b) 4 antildeos c) 3 antildeos d) 2 antildeos e) 1 antildeo28 iquestQueacute alternativa de inversioacuten es maacutes rentable a) un depoacutesito a 6 meses con tasa de intereacutes de 75 convertible semestralmente o uno

con tasa de 725 convertible mensualmente b) un depoacutesito a 12 meses con tasa de intereacutes de 10 convertible anualmente o uno con

tasa de 95 convertible mensualmente29 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes simple equivalente a una tasa de 14 convertible a) mensualmente b) trimestralmente c) semestralmente d) anualmente si invierte un capital durante 3 antildeos30 Encuentre el valor actual de $10 000 que se recibiraacuten dentro de a) 1 antildeo b) 2 antildeos c) 3 antildeos d) 5 antildeos e) 10 antildeos si la tasa de intereacutes es de 30 anual31 Encuentre el valor actual de $10 000 que se recibiraacuten dentro de cinco antildeos si la tasa de

intereacutes anual es a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 f ) 75 g) 10032 Encuentre el valor actual de $10 000 que se recibiraacuten dentro de tres antildeos si la tasa de in-

tereacutes es de 15 compuesta a) anualmente b) semestralmente c) cuatrimestralmente

d) trimestralmente e) bimestralmente f ) mensualmente g) diariamente si invierte un capital durante 3 antildeos33 Determine el valor actual de a) $10 000 pagaderos en 6 meses a 18 convertible mensualmente b) $50 000 pagaderos en 3 antildeos a 20 convertible trimestralmente c) $120 000 pagaderos en 18 meses a 22 convertible trimestralmente d) $400 000 pagaderos en 2 antildeos a 40 convertible trimestralmente34 iquestCuaacutento dinero debe depositar una persona en un banco para reunir $100 000 dentro de

2 antildeos si la tasa de intereacutes vigente es de a) 6 convertible mensualmente b) 10 convertible trimestralmente c) 12 convertible semestralmente d) 14 convertible anualmente e) iquestQueacute alternativa es la maacutes conveniente35 iquestQueacute cantidad se debe pagar hoy por una deuda a 36 meses si la tasa de intereacutes es de 17

anual capitalizable trimestralmente y el monto es de $44 85036 Un documento de $180 000 a plazo de 24 meses es descontado en el banco a una tasa de

22 convertible trimestralmente iquestCuaacutel es la cantidad que se recibe37 Un banco descuenta un documento de $48 000 con vencimiento a 20 meses aplicando

una tasa de intereacutes de 14 convertible mensualmente A su vez el banco redescuenta el documento en una institucioacuten financiera que le carga 12 de intereacutes convertible trimes-tralmente iquestCuaacutel es su utilidad en la operacioacuten Aplique el meacutetodo exacto para el periodo fraccionario de intereacutes

38 Determine el valor actual de una deuda de $200 000 a pagar en 3 antildeos y 4 meses si la tasa de intereacutes vigente es de 19 convertible trimestralmente Utilice ambos meacutetodos para de-terminar el resultado

39 Se desea descontar un pagareacute con valor de $175 000 en 105 diacuteas El banco carga una tasa de 165 convertible mensualmente Determine el capital utilizando ambos meacutetodos

httpmsiplceorgjahumadamrsg1010unidad5uni5sec1sld004htmDiapositivas acerca de la defi nicioacuten de intereacutes compuesto y ejercicio praacutectico

httpwwwgestiopoliscomcanalesfi nancieraarticulosno205interesalintereshtmConceptos baacutesicos y problemas ilustrativos de intereacutes compuesto

Matemaacuteticas en internet Intereacutes compuesto

httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza4htmConceptos baacutesicos de intereacutes compuesto deduccioacuten de las foacutermulas de intereacutes compuesto y monto

httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtmEn la seccioacuten de Contenido encontraraacute una liga que trata sobre los tipos de intereacutes (simple y compuesto) y algunos ejemplos

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElija la materia de Matemaacuteticas Financieras tema 6

33 Monto

httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes compuesto casos y problemas 1 2 4 5 y 17

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElija la materia de Matemaacuteticas Financieras tema 6 ejercicios I II III IV VI VII y VIII

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxinterescomphtmEjercicios sobre intereacutes compuesto tasa nominal de intereacutes tasa efectiva y tasa equivalente

httpwwwenplenitudcomnotaasparticuloid=565Caacutelculo de la tasa de intereacutes efectiva

httpwwwgestiopoliscomcanalesfi nancieraarticulosno205interesalintereshtmConceptos tasa efectiva y tasa nominal ejercicios ilustrativos de su caacutelculo

httpwwwaulafacilorgCursoMatematicasFinancierasFinanza6htmEjercicio nuacutem 2 Conversioacuten de una tasa anual a tasas equivalentes en diferentes periodos

httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes compuesto casos y problemas 16 y 17

httpwwwenplenitudcomnotaasparticuloid=563Problemas baacutesicos para calcular un valor futuro un valor presente requerido VF que se pue-de acumular y caacutelculo de pagos perioacutedicos

httpwwwfi nanzas2000eucomcofi nanzas2000eucalculoshtmlCalculadora fi nanciera que permite introducir la combinacioacuten de datos como valor presente valor futuro tasa de intereacutes (compuesta) pagos y periodos y obtener como resultado una de estas variables que sea desconocida

httpwwwgeocitiescomEureka3999acad1htmlEn tema 3 ejemplos 6 14 y 15

httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes compuesto casos y problemas 6 9 11 12 13 14 y 18

36 Tiempo

httpusuarioslycosesmatematicsegundahtmejeEjercicios de intereacutes compuesto

httpagorapucpedupeeco3450821Intereacutes compuesto casos y problemas 7 8 y 15

Anualidades simples ciertasvencidas e inmediatas

bull Identificar definir y explicar los diferentes ti-pos de anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas (ASCVI)

bull Plantear e identificar situaciones en las que se apliquen las ASCVI

bull Interpretar planteamientos de anualidades de este tipo

bull Plantear y resolver problemas con este tipo de anualidades y encontrar el monto el valor actual el intereacutes el plazo o la tasa de intereacutes seguacuten sea el caso

bull Resolver ejercicios y aplicaciones de anuali-dades simples ciertas vencidas e inmediatas mediante el empleo de la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg

Objetivos 41 Introduccioacuten y terminologiacutea 42 Tipos de anualidades 43 Monto 44 Valor actual 45 Renta 46 Plazo 47 Tasa de intereacutes 48 Aplicaciones 49 Uso de Excel 410 Resumen

Temario

CAPIacuteTULO4

CAPIacuteTULO 4 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS VENCIDAS E INMEDIATAS156

41 Introduccioacuten y terminologiacuteaEn general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos igua-les Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema aunque no siempre se refi eran a periodos anuales de pago Algunos ejemplos de anualidades son bull Los pagos mensuales por rentabull El cobro quincenal o semanal de sueldosbull Los abonos mensuales a una cuenta de creacuteditobull Los pagos anuales de primas de poacutelizas de seguro de vida

Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer pe-riodo de pago y el fi nal del uacuteltimo Renta es el nombre que se da al pago perioacutedico que se hace Tambieacuten hay ocasiones en las que se habla de anualidades que o no tienen pagos iguales o no se realizan todos los pagos en intervalos iguales Estas aplicaciones se manejan en forma especial como se veraacute maacutes adelante

42 Tipos de anualidadesLa variacioacuten de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas Por ello conviene clasifi carlas de acuerdo con diversos criterios

Criterio Tipos de anualidades

a) Tiempo ciertascontingentes

b) Intereses simplesgenerales

c) Pagos vencidas anticipadas

d) Iniciacioacuten inmediatasdiferidas

a) Tiempo Este criterio de clasifi cacioacuten se refi ere a las fechas de iniciacioacuten y de terminacioacuten de las anualidades

bull Anualidad cierta Sus fechas son fi jas y se estipulan de antemano Por ejemplo al rea-lizar una compra a creacutedito se fi ja tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago como la fecha para efectuar el uacuteltimo

bull Anualidad contingente La fecha del primer pago la fecha del uacuteltimo pago o ambas no se fi jan de antemano depende de alguacuten hecho que se sabe que ocurriraacute pero no se sabe cuaacutendo Un caso comuacuten de este tipo de anualidades son las rentas vitalicias que se otor-gan a un coacutenyuge tras la muerte del otro El inicio de la renta se produce al morir el coacuten-yuge pues se sabe que eacuteste moriraacute pero no se sabe cuaacutendo

b) Intereses En este caso bull Anualidad simple Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalizacioacuten de los

intereses Es el tipo que seraacute analizado en este capiacutetulo Un ejemplo muy simple seriacutea el pago de una renta mensual X con intereses de 18 mensuales

bull Anualidad general A diferencia de la anterior el periodo de pago no coincide con el pe-riodo de capitalizacioacuten el pago de una renta semestral con intereses de 30 anuales

c) Pagos De acuerdo con los pagos

bull Anualidad vencida Tambieacuten se le conoce como anualidad ordinaria y como su primer nombre lo indica se trata de casos en los que los pagos se efectuacutean a su vencimiento es decir al fi nal de cada periodo de pago

bull Anualidad anticipada Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo

d) Iniciacioacuten De acuerdo con el momento en que se inicia

bull Anualidad inmediata Es el caso maacutes comuacuten La realizacioacuten de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalizacioacuten del trato hoy se com-pra a creacutedito un artiacuteculo que se va a pagar en mensualidades la primera de las cuales debe realizarse en ese momento o un mes despueacutes de adquirida la mercanciacutea (antici-pada o vencida)

bull Anualidad diferida Se pospone la realizacioacuten de los cobros o pagos se adquiere hoy un artiacuteculo a creacutedito para pagar con abonos mensuales el primero de los cuales debe efectuarse 6 meses despueacutes de adquirida la mercanciacutea

De acuerdo con las anteriores clasifi caciones se pueden distinguir diversos tipos de anualidades vencidas inmediatas diferidas ciertas anticipadas inmediatas diferidas simples vencidas inmediatas diferidas contingentes anticipadas inmediatas diferidas Anualidades vencidas inmediatas diferidas ciertas anticipadas inmediatas diferidas generales vencidas inmediatas diferidas contingentes anticipadas inmediatas diferidas

De estos 16 tipos de anualidades el maacutes comuacuten es el de las simples ciertas vencidas e in-mediatas que por esta razoacuten se analizaraacute en primer lugar en la seccioacuten siguiente En capiacutetulos posteriores se revisan los otros tipos

42 Tipos de anualidades

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎧⎨⎩

⎧⎪⎨⎪⎩

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

43 MontoDada su importancia vale la pena destacar las caracteriacutesticas de este tipo de anualidades

bull Simples el periodo de pago coincide con el de capitalizacioacutenbull Ciertas las fechas de los pagos son conocidas y fi jadas con anticipacioacutenbull Vencidas los pagos se realizan al fi nal de los correspondientes periodosbull Inmediatas los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en el que se realiza la

operacioacuten

Los elementos que intervienen en este tipo de anualidades son

R La renta o pago por periodoC El valor actual o capital de la anualidad Es el valor total de los pagos en el momento

presenteM El valor en el momento de su vencimiento o monto Es el valor de todos los pagos al fi nal

de la operacioacuten

Para ilustrar la deduccioacuten de la foacutermula del monto de una anualidad se utilizaraacute un ejem-plo (a partir de aquiacute y en el resto del capiacutetulo el teacutermino anualidad se referiraacute a las simples ciertas vencidas e inmediatas)

Ejemplo 431

iquestQueacute cantidad se acumulariacutea en un semestre si se depositaran $100 000 al fi nalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 6 anual convertible mensualmente

SolucioacutenPrimero se representa la situacioacuten en un diagrama de tiempo y valor

GRAacuteFICA 41

El intereacutes por periodo i es 00612 = 0005 y el monto de la anualidad debe ser igual a la suma de los montos de cada uno de los depoacutesitos al fi nal del semestre Asiacute se muestra mediante curvas en el diagrama donde el uacuteltimo depoacutesito no aumenta por intereacutes puesto que se deposita en el sexto mes

En teacuterminos del monto a intereacutes compuesto ya conocido el planteamiento seriacutea

M = 100 000(1005)5 + 100 000(1005)4 + 100 000(1005)3 + 100 000 (1005)2 + 100 000(1005) + 100 000

100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 100 000

o invirtiendo el orden

M = 100 000 + 100 000(1005) + 100 000(1005)2 + 100 000(1005)3 + 100 000(1005)4 + 100 000(1005)5

M = 100 000 + 100 000 (1005) + 100 000(1010025) + 100 000(1015075125) + 100 000(1020150501) + 100 000(1025251253)

M = 100 000 + 100 500 + 10100250 + 10150751 + 102 01505 + 102 52513M = $607 55019

En este planteamiento con el orden invertido se puede ver que el monto es una pro-gresioacuten geomeacutetrica Y de lo que se vio en el capiacutetulo 1 tenemos que

t1 = 100 000 el primer teacutermino r = 1005 la razoacuten n = 6 el nuacutemero de teacuterminos

De la foacutermula (115) que se vio en el capiacutetulo 1 sobre la suma de los teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica

t t rr

= minusminus

=minusminus1

1 111 1

Sustituimos los teacuterminos de anualidades

MR R i

= minus +minus +

= minus +minus minus

= minus +

( )( )

[ ( ) ] [ (

11 11 11 1

1 1 iii

n n) ] ( )minus

= minus +minus

Multiplicando tanto el numerador como el denominador de la fraccioacuten por minus1 se obtiene

n= + minus( )1 1

que es la versioacuten de esta foacutermula que comuacutenmente se utilizaAl aplicarla para resolver el ejemplo anterior

M = minus =1000001 005 1

0 005100000 6 075501879

( ) == 607550 19

resultado que es igual al que se obtuvo antes

Ejemplo 432

iquestCuaacutel es el monto de $20 000 semestrales depositados durante 4 antildeos y medio en una cuenta bancaria que rinde 12 capitalizable semestralmente

43 Monto

Solucioacuten R = 20 000 i = 0122 = 006 n = 45(2) = 9

M = minus = =20 0001 06 1

0 0620 000

0 689478960 06

209( )

0000 11 49131598( )

M = 229 82632

Ejemplo 433

El doctor Gonzaacutelez deposita $100 al mes de haber nacido su hijo Continuacutea haciendo de-poacutesitos mensuales por esa cantidad hasta que el hijo cumple 18 antildeos para en ese diacutea en-tregarle lo acumulado como herencia Si durante los primeros 6 antildeos de vida del hijo la cuenta pagoacute 9 anual convertible mensualmente y durante los 12 antildeos restantes pagoacute 1 mensual iquestcuaacutento recibioacute el hijo a los 18 antildeos

Solucioacuten R = 100 n = 18(12) = 216 i = 00912 = 00075 en los primeros 6 antildeos i = 001 en los uacuteltimos 12

Primero se calcula lo que se acumuloacute durante los primeros 6 antildeos con un intereacutes men-sual de 075

M = minus = =1001 0075 1

0 0075100 95 0070 9500 7

( ) 00

Esta suma es la que se acumuloacute hasta el fi nal del sexto antildeo Para determinar el resto es necesario construir un diagrama de tiempo

GRAacuteFICA 42

El total acumulado al fi nal seriacutea igual al valor de $9 50070 en el mes 216 maacutes el monto de las anualidades 72 a 216

9500 70 1 01 1001 01 1

0 01144

144 ( )

+ minus

9 50070(4190616) + 100(319061559) = 39 81379 + 3190616 = 7171995

9 50070 100

100 100

72 73 74 75

214 215 216

44 Valor actual

Ejemplo 441

iquestCuaacutel es el valor actual de una renta trimestral de $4 500 depositada al fi nal de cada uno de siete trimestres si la tasa de intereacutes es de 9 trimestral

Solucioacuten C = R = 4 500 i = 009 n = 7

GRAacuteFICA 43

Eacuteste es el caso inverso del monto El valor actual de la anualidad seriacutea la suma de los valores actuales de las siete rentas o

C = 4 500(109)minus1 + 4 500(109)minus2 + 4 500(109)minus3 + 4 500(109)minus4 + 4 500(109)minus5

+ 4 500(109)minus6 + 4 500(109)minus7

C = 4 500(091743119) + 4 500(084167999) + 4 500(077218348) + 4 500(070842521) + 4 500(064993139) + 4 500(059626733) + 4 500(054703424)

C = 412844 + 3 78756 + 3 47483 + 318791 + 2 92469 + 2 68320 + 2 46165 C = 22 64828

Y al igual que antes puede verse que esa suma de teacuterminos es una progresioacuten geomeacute-trica con

t1 = 4 500(109)minus1 = R(1 + i)minus1

n = 7 r = (109)minus1 = (1 + i)minus1

St t r

=minusminus

= minusminus minus1 1

14 500 1 09 4 500 1 09 1 09( ) ( ) ( ))

minusminus

11 1 09 S = 22 64828

Y la correspondiente foacutermula

CR i R i i

n= + minus + +

minus +=

minus minus minus

minus( ) ( ) [( ) ]

( )1 1 1

44 Valor actual

0 1 2 3 4 5 6 7

C 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500

R i R i i

n= + minus + +

minus+

minus minus minus( ) ( ) ( )

n= + minus +

minus minus( ) [ ( ) ]1 1 11

Ci R i i

n= + + minus +minus minus( ) ( ) [ ( ) ]1 1 1 11

n= minus + =

minus1 1( ) (42)

que es la foacutermula maacutes comuacuten del valor actual de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas

Utilizando esta foacutermula para resolver el mismo ejemplo 441

= minus =

minus4 500

1 1 090 09

4 500 5 03295284

Ejemplo 442

iquestCuaacutel es el valor en efectivo de una anualidad de $1000 que se pagan al fi nal de cada 3 meses durante 5 antildeos suponiendo un intereacutes anual de 16 convertible trimestralmente

Solucioacuten R = 1000 n = 5(4) = 20(5 por 4 trimestres cada antildeo) i = 0164 = 004

C = minus minus1000

1 1 040 04

C = 1000(13590326) C = $13 59033

Ejemplo 443

iquestQueacute es maacutes conveniente para comprar un automoacutevil

a) pagar $260 000 al contado o b) $130 000 de enganche y $12 000 al fi nal de cada uno de los 12 meses siguientes si el

intereacutes se calcula a razoacuten de 18 convertible mensualmente

SolucioacutenPara resolver este problema debe compararse el precio al contado con la suma del enganche y el valor actual de los abonos mensuales en el plan de creacutedito

Cb = + minus minus130 000 12 000

1 0 18 120 18 12

Cb = + minus minus130 000 12 0001 1 015

Cb = 130 000 + 12 000(10907505) Cb = 130 000 + 130 89006 Cb = 260 89006

que es el valor actual total de la operacioacuten a creacutedito Como el valor a creacutedito es mayor conviene maacutes comprar al contado

Ejemplo 444

Encuentre el importe pagado en valor actual por un aparato electroacutenico por el cual se entregoacute un enganche de $1400 se hicieron 7 pagos mensuales vencidos por $160 y un uacuteltimo pago al fi nal del octavo mes por $230 si se considera un intereacutes de 27 anual con capitalizacioacuten mensual

SolucioacutenEl importe es igual a

a) enganche + b) el valor actual de la anualidad con renta de 160 + c) el valor actual del pago fi nal

Si i = 02712 = 00225 entonces

C = + minus⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

+minus

1400 1601 1 0225

0 0225230 1

( 00225 8)minus

C = 1400 + 160(6410246) + 230(0836938) C = 1400 + 102564 + 19250 C = $2 61814

Ejemplo 445

iquestCuaacutel es el valor actual de un refrigerador adquirido mediante 52 abonos semanales ldquochiqui-titosrdquo vencidos de $240 Considere un intereacutes anual de 15 convertible semanalmente

SolucioacutenIntereacutes semanal

i = 01552 = 0002885 n = 52

44 Valor actual

= minus +

minus240

1 1 0 0028850 002885

2400 139123

00 002885

C = 240(48222987) C = 1157352

Ejemplo 446

iquestCuaacutel es el valor actual del refrigerador del ejemplo anterior si se realiza un pago inme-diato y 51 abonos semanales El pago semanal y la tasa de intereacutes son los mismos que se enuncian en ese problema

a) El pago inmediato (enganche) + b) El valor actual de una anualidad de 51 pagos semanales

Si i = 01552 = 0002885 n = 51y R = $240entonces

C = + minus + minus240 240

1 1 0 0028850 002885

C = + minus240 240

1 0 8633600 002885

C = +240 2400 1366400 002885

C = 240 + 240(47362111) C = 240 + 1136691 C = 1160691

Este valor es ligeramente superior al del ejemplo anterior en razoacuten del primer pago que se realiza en forma inmediata

De los planteamientos 1 a 5 diga a queacute tipo de anualidad pertenecen y por queacute 1 Una mina en explotacioacuten tiene una produccioacuten anual de 600 000 doacutelares y se calcula

que se agotaraacute en 5 antildeos iquestCuaacutel es el valor actual de la produccioacuten si el rendimiento del dinero es de 11 anual

2 El pago de la renta de una casa habitacioacuten

3 Una persona adquiere en septiembre un televisor a creacutedito y acepta liquidar su pre-cio mediante pagos entregados al principio de cada uno de 12 bimestres comenzan-do en enero del antildeo siguiente y con intereses de 20 anual efectivo

4 Una pensioacuten por jubilacioacuten que asigna cierta cantidad trimestral 5 Se vende un camioacuten en mensualidades que deben liquidarse cada primer diacutea de mes

a partir del proacuteximo mes con intereses de 12 anual con capitalizacioacuten quincenal 6 Calcule el monto y el valor actual de las siguientes anualidades simples ciertas ven-

cidas e inmediatasa) $20 000 semestrales durante 4 antildeos y medio a 10 capitalizable semestralmenteb) $40 000 anuales durante 6 antildeos a una tasa anual de 14c) $500 mensuales durante 7 antildeos y 5 meses a una tasa anual de 8 capitalizable

mensualmente 7 El sentildeor Loacutepez deposita $150 000 cada fin de antildeo en una cuenta de ahorros que abona

4 de intereacutes iquestCuaacutento habraacute ahorrado al hacer el cuarto depoacutesito 8 Calcule el valor actual de un terreno con un intereacutes de 15 con capitalizacioacuten men-

sual si se vendioacute con las siguientes condicionesbull $40 000 de enganchebull mensualidades vencidas por $ 2 250 durante 425 antildeosbull un pago final de $25 000 un mes despueacutes de la uacuteltima mensualidad

9 Si se calculan los intereses a una tasa de 22 convertible trimestralmente iquestqueacute pago uacutenico de inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $800 si el primero de ellos se hace dentro de 3 meses

10 En la compra de un automoacutevil nuevo que cuesta $145 000 al licenciado Ugalde le re-ciben su automoacutevil usado en $55 000 iquestLe convendriacutea pagar el resto en 36 mensuali-dades vencidas de $3 500 si lo maacutes que se desea pagar de intereacutes es 2 mensual

11 iquestQueacute cantidad se deberiacutea depositar el 31 de enero del antildeo 1 para poder hacer 15 reti-ros mensuales de $5 000 a partir del uacuteltimo diacutea de febrero de ese antildeo si la cuenta en que se deposita paga 9 de intereacutes convertible cada mes

12 Si un taxi rinde $3 850 mensuales vencidos y se considera que esa cantidad es cons-tante por tiempo indefinido pues incluye gastos depreciacioacuten mantenimiento etc iquestQueacute cantidad maacutexima deberaacute invertirse en el vehiacuteculo si se desea obtener un rendi-miento de 30 anual efectivo sobre la inversioacuten por un periodo de 3 antildeos

45 RentaSe conoce como renta al pago perioacutedico que se realiza a intervalos iguales

Ejemplo 451

Una persona adquiere hoy a creacutedito una computadora cuyo precio es de $19 750 y con-viene en pagarla con 4 mensualidades vencidas iquestCuaacutento tendraacute que pagar cada mes si se le cobran 18 mensual de intereacutes

45 Renta

SolucioacutenSe puede ver que los datos con que se cuenta son

C = 19 750 R = i = 18 n = 4

y despejando en la foacutermula (42) que se vio en la seccioacuten anterior

n= minus + minus1 1( )

minus +=

minus=

minus minus1 119 750 0 0181 1 018

355 54( )

( )( )

000 068873

R = $516167

Ejemplo 452

iquestCuaacutento debe invertir el sentildeor Juaacuterez al fi nal de cada mes durante los proacuteximos 7 antildeos en un fondo que paga 135 convertible mensualmente con el objeto de acumular $100 000 al realizar el uacuteltimo depoacutesito

Solucioacuten R = M = 100 000 i = 013512 = 001125 n = 12(7) = 84

100 0001 01125 1

0 01125138 602198

84= minus =R R

R = =100 000138 602198

721 49

Ejemplo 453

Una persona debe pagar $3 000 al fi nal de cada antildeo durante varios antildeos iquestCuaacutento tendriacutea que pagar a fi nes de cada mes para sustituir el pago anual si se considera un intereacutes de 25 anual convertible mensualmente

SolucioacutenSe puede considerar que la renta de cada antildeo es un monto y que el pago mensual es la renta de cada anualidad

R = i = 02512 = 0020833 M = 3 000 n = 12

1 020833 10 020833

13 47511412

= minus =

3300013 475137

222 63

46 PlazoEl plazo o tiempo de una anualidad se calcula por medio del nuacutemero de periodos de pago n

Ejemplo 461

iquestCuaacutentos pagos de $60796 al fi nal de mes tendriacutea que hacer el comprador de una lavadora que cuesta $8 500 si da $2 550 de enganche y acuerda pagar 24 de intereacutes capitalizable men-sualmente sobre el saldo

Solucioacuten

=== minus == =

607 968500 2550 5 9500 24 12 0 02

5 950 607 961 1 02

0 025 950 0

minus +

= minus

02607 96

1 1 02

0 195736 1 1 02

= minus

minus = minus

11 02 0 804263431

1 020 80426343

minus =

log log

10 80426343

1 24337370

1 02 1 2433373691 24337369

1 020 094601670 00

n = =log

log 8860017

Muchas veces a diferencia del ejemplo anterior el nuacutemero de periodos no es entero

46 Plazo

Ejemplo 462

iquestCuaacutentos pagos bimestrales vencidos de $1550 se tendriacutean que hacer para saldar una deuda pagadera hoy de $8 000 cuyo intereacutes es de 275 bimestral

Solucioacuten R = 1550 C = 8 000 i = 275 n =

8 000 1550

1 1 02750 0275

8 000 0 02751550

= minus minus( )

== minus =minus1 1 0275 0 14193548( ) n

minus(10275)minusn = 014193548 minus1 = minus085806451 (10275)minusn = 085806451 minusn log 10275 = log 085806451

minus =

= minus

log log

log lo

0 858064511 0275

0 85806451gg

1 02750 06648006

0 01178183= minus minus

n = minus(minus5642592) n = 5642592

Antes de continuar con la solucioacuten conviene observar las distintas formas en que se re-solvieron este ejemplo y el anterior para evitar confusiones En el ejemplo 461 se convir-

tioacute la expresioacuten (102)minusn en nn

= 11 02

que es equivalente

En este ejemplo 462 se despeja la n directamente de (10275)minusn para obtener minusn log (10275)

Estos dos procedimientos son vaacutelidos y arrojan los mismos resultados Se invita al lector a resolver estos dos ejemplos con el otro meacutetodo para verifi car esta afi rmacioacuten

Volviendo al resultado que se obtuvo aquiacute

n = 5642592

al igual que en casos anteriores en los que se ha encontrado que el nuacutemero de pagos o pe-riodos es fraccionario se pueden hacer dos cosas

a) hacer cinco pagos de $1550 y un sexto pago menor b) realizar cuatro pagos de $1550 y un pago fi nal mayor

A saber

a) Al cabo del quinto pago el valor de todos los abonos (a su valor futuro) seriacutea

15501 0275 1

0 02758188 13

minus =

mientras que el valor del adeudo despueacutes de 5 bimestres seriacutea

8 000(10275)5 = 916219

Por lo tanto el valor del adeudo fi nal del quinto bimestre inmediatamente despueacutes de efectuar el pago correspondiente seriacutea

916219 minus 818813 = 97406

El valor de esta cantidad un mes despueacutes seriacutea

97406(10275) = 100084

cantidad que deberiacutea pagarse al cabo del sexto bimestre b) Si se hicieran cuatro pagos de $1550 su monto en el momento de hacer el cuarto pago

seriacutea

15501 0275 1

0 02756 460 47

minus =

y el valor del adeudo

8 000(10275)4 = 8 91697

El saldo al cuarto bimestre seriacutea

8 91697 minus 6 46047 = $2 45650

Y al teacutermino del quinto bimestre seriacutea necesario pagar

2 45650(10275) = 2 52405

para saldar completamente la deuda

Ejemplo 463

Con referencia al ejemplo anterior observe que en a) y b) se encontroacute el pago fi nal que es necesario hacer mediante la determinacioacuten del valor futuro (monto) tanto de los pa-gos como del adeudo

En este ejemplo se mostraraacute que se obtienen los mismos resultados si se calculan sus correspondientes valores actuales Para ilustrar esto se utilizaraacute el caso a) en el que se de-cide hacer 5 pagos completos y un pago fi nal menor

El valor actual de los 5 pagos completos es

15501 1 0 0275

0 02751550 4 612582 714

5minus + = =minus( )

( ) 99 50

Y dado que el valor actual de la deuda es de $8 000 el saldo de la operacioacuten a su valor actual es

8 000 minus 714950 = 85050

46 Plazo

Saldo que llevado a su valor despueacutes de 6 bimestres (que es cuando hay que hacer el uacutel-timo pago) es

85050(10275)6 = 85050(1176768) = 100084

que es la misma respuesta que se obtuvo en el ejemplo anterior

Ejemplo 464

iquestCuaacutentos pagos mensuales de $45 000 seriacutean necesarios para liquidar una deuda de $2 000 000 contraiacuteda hoy con intereses de 30 anual convertible mensualmente

Solucioacuten C = 2 000 000 R = 45 000 i = 03012 = 00250 n =

Los intereses que genera la deuda cada mes son

I = Ci I = 2 000 000(00250) = 50 000

La deuda no puede pagarse con mensualidades de $45 000 porque lo que genera por concepto de intereses es superior Por esto para reducir el adeudo seriacutea necesario pagar mensualidades por cantidades superiores a $50 000

Ejemplo 465

Una persona desea acumular $300 000 Para reunir esa cantidad decide hacer depoacutesitos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde 12 anual convertible tri-mestralmente Si deposita $5 000 cada fi n de trimestre iquestdentro de cuaacutento tiempo habraacute acumulado la cantidad que desea

SolucioacutenObserve que como se trata de una cantidad ($300 000) realizable a futuro se estaacute hablando de monto

M = 300 000 R = 5 000 i = 0124 = 003 n =

300 000 5 0001 03 1

0 03300 000 0 03

5 0001

= minus

(( )1 03 n

28 = (103)n

n log 103 = log 28

n = =log log

1 030 4471580 012837

n = 3483 trimestres o sea 3483(3) = 1045 asymp 105 meses

Esa persona podriacutea contar con los $300 000 aproximadamente dentro de ocho antildeos y nueve meses

47 Tasa de intereacutesPara terminar este tema se veraacuten algunos ejemplos en los cuales lo que se busca es determi-nar la tasa de intereacutes que se paga

Ejemplo 471

Lucero de la Mantildeana debe pagar hoy $350 000 Como no tiene esa cantidad disponible platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de $62 000 el primero de ellos dentro de un mes iquestQueacute tasa de intereacutes va a pagar

Solucioacuten R = $62 000 C = $350 000 n = 6 i =

350 000 62 0001 1

1 1 350 00062 00

= minus +

minus + =

5 645161=

Como no es posible despejar i se tiene que seguir un procedimiento de aproxima-cioacuten de dos pasos para encontrar su valor

1 Ensayar valores en la expresioacuten donde se encuentra

i= minus +⎛

⎝⎜

⎠⎟

minus1 1 6( )

para encontrar dos valores de ella que esteacuten cercanos a 5645161 uno mayor y otro menor

2 Interpolar entre los dos valores encontrados en el paso anterior para determinar el valor

de i Entonces en primer lugar se ensayan los valores para 1 1 6minus + minus( )i

Si i = 002 entonces 1 1 1 1 02

0 025 601431

6 6minus + = minus =minus minus( ) ( )

que es bastante cercano al valor de 5645161 que se busca Se continuacutea ensayando va-lores para aproximar maacutes Cabe destacar que como se expuso en el capiacutetulo anterior al disminuir la tasa de intereacutes se incrementa el valor presente y viceversa al incre-mentarse la tasa de intereacutes disminuye el valor presente

Si i = 0017 entonces 1 1 017

0 0175 658585

6minus =minus( )

Este valor es mayor que el que se busca ahora uno un poco menor para lo cual se in-crementa la tasa de intereacutes

Si i = 0018 entonces 1 1 018

0 0185 639435

6minus + =minus( )

Si i = 00175 entonces 1 1 0 0175

0 01755 648998

6minus + =minus( )

Ahora ya se tienen dos valores muy cercanos al valor deseado uno mayor y otro me-nor El segundo paso es interpolar entre estos dos valores para determinar en forma maacutes exacta la tasa de intereacutes que se necesita

El razonamiento es el siguiente

bull Se necesita encontrar el valor de i que haga que 1 1 6minus + minus( )i

i sea igual a 5645161

porque esta i es la que hace que se cumplan las condiciones planteadas en el ejem-plo y es por lo tanto la i que se busca

bull Ya se determinoacute en el paso anterior que

si i = 00175 entonces 1 1 0175

0 01755 648998

6minus =minus( )

si i = 0018 entonces 1 1 018

0 0185 639435

6minus =minus( )

De donde se concluye que la tasa i que se busca estaacute entre 0018 y 00175

Para ilustrar el procedimiento se muestran las condiciones descritas en los paacuterrafos anteriores mediante un diagrama

GRAacuteFICA 44

5639435 5645161 5648998

0018 i 00175

Lo que se haraacute a partir de este diagrama para encontrar un valor maacutes preciso de i es plantear una proporcioacuten y para comprender mejor este procedimiento se repasaraacuten las relaciones existentes entre las cantidades que aparecen en el esquema anterior

Puede calcularse

5648998 minus 5639435 = 0009563 es la ldquodistancia totalrdquo entre estas dos cantida-des 5645161 minus 5639435 = 0005726 es tambieacuten la ldquodistanciardquo que hay entre estas dos cantidades

5 645161 5 6394355 648998 5 639435

0 005726

minusminus

=00 009563

0 59876608

lo que signifi ca que 0005726 (el numerador) representa aproximadamente 599 de la distancia total y como esta proporcioacuten debe ser cierta tambieacuten para la ldquodistancia totalrdquo entre las tasas entonces la tasa que se busca (vea la graacutefi ca 44) debe ser igual a 0018 menos 597 de la ldquodistancia totalrdquo entre las tasas

0018 minus 0598766(0018 minus 00175) = 0017700

Se puede verifi car que esta tasa da una mejor aproximacioacuten del factor

1 1 01770 0177

5 6451696minus =

minus( )

que es praacutecticamente igual al valor que se buscaPor ello entonces la respuesta del ejemplo es que la persona pagaraacute 177 mensualEl procedimiento de interpolacioacuten se puede resumir de la siguiente manera

5 645161 5 6394355 648998 5 639435

0 0180

minus= minusi

0175 0 0180 0057260 009563

0 0180 0005

= minusminusi

Este proceso de interpolacioacuten se puede visualizar graacutefi camente de la siguiente manera

5648998 i1 = 00175

0005726 00002

5645161 i 00005

0009563

5639435 i2 = 00180

G Aacute C 4 504 DIAZ MATA 04indd 17304 DIAZ MATA 04indd 173 112808 25914 AM112808 25914 AM

En esta expresioacuten 00005 es la ldquodistancia totalrdquo entre las tasas y lo que se hizo entonces fue igualar la proporcioacuten de distancias

0 598766080 018

0 0005

= minusminusi

i minus 0018 = minus00005(059876608) i = 0018 minus (0000299) i = 0017701

Ejemplo 472

Dos almacenes A y B venden el mismo modelo de lavadora al mismo precio de $6 000A la vende a $600 mensuales durante 12 meses y B mediante un pago de $8 640 den-

tro de un antildeo Determine cuaacutel es el plan maacutes conveniente comparando las tasas anuales efectivas de las dos alternativas

Solucioacutena) Almaceacuten A

C = 6 000 n = 12 i = R = 600

6 000 6001 1

1 1 6 000600

= minus +

minus + = =

Ensayando valores

Si i = minus =minus

0 051 1 05

0 058 863251

= minus =

= minus

minus0 06

1 1 060 06

8 383844

0 041 1

( 0040 04

9 385074

0 031 1 03

= minus =i 99 954004

0 0251 1 025

0 02510 25776

i = minus =

minus55

0 0291 1 029

0 02910 013686

12i = minus =

GRAacuteFICA 45

10 013686 1010 013686 9 954004

0 0290 029

minusminus

= minus iminusminus

= minusminus

0 2293150 029

minus0000229 = 0029 minus i i = 0029 + 0000229 i = 0029229

Eacutesta es la tasa efectiva mensual La tasa efectiva anual es

(1029229)12 minus 1 = 0413006 = 4130

b) Almaceacuten B

M = 8 640 C = 6 000 n = 1 antildeo M = C(1 + i) 8 640 = 6 000(1 + i)

18 6406 000

1 44+ = =i

i = 144 minus 1 = 044 = 44

Por ello es maacutes conveniente el plan del almaceacuten A

Ejemplo 473

iquestA queacute tasa nominal convertible semestralmente se acumulan $500 000 en el momento de realizar el uacuteltimo de 15 depoacutesitos semestrales de $10 000

Solucioacuten M = 500 000 R = 10 000 n = 15 i =

500 000 10 0001 115

= + minus( )ii

10013686 10 9954004

0029 i 003

( )1 1 500 000

10 00050

15+ minus = =ii

Al ensayar valores de i (altos ya que es semestral)

i = 015 ( )

1 15 1

0 1547 580411

15 minus =

i = 016 ( )

1 16 1

0 1651 659505

15 minus =

Afi nando la aproximacioacuten

i = 0157 ( )

1 157 1

0 15750 398200

15 minus =

i = 01560 ( )

1 156 1

0 15649 985044

15 minus =

i = 01561 ( )

1 1561 1

0 156150 026197

15 minus =

Para interpolar

GRAacuteFICA 46

50 49 98504450 026197 49 985044

0 15600 1

minusminus

= minus

i5561 0 1560

0 0149560 041153

0 15600 0001

= minus

0363424(00001) = i minus 01560 i = 01560 + 0000036 i = 0156036

Comprobando el resultado anterior

1 156036 1

0 15603649 99985

15 minus = o aproximando 50

Por lo tanto se requiere una tasa de 0156036(2) = 0312072 3121 aproximada-mente (nominal anual) para hacer que el monto de 15 pagos semestrales de $10 000 sea $500 000

49985044 50 50026197

01560 i 01561

Ejercicios de las secciones 45 a 4713 Una empresa contrata una deuda de $100 000 con un banco Si eacuteste carga a este tipo

de preacutestamos 22 anual convertible mensualmente iquestcuaacutento tendriacutea que pagar men-sualmente la empresa para saldar su deuda dentro de 15 meses

14 El sentildeor Luna adquirioacute una casa en condominio y acordoacute pagar aparte de cierta can-tidad mensual anualidades de $95 000 Si acaba de realizar el trato hoy mismo de manera que debe liquidar la primera anualidad exactamente dentro de un antildeo y de-cide hacer depoacutesitos trimestrales en un fondo de inversioacuten que paga 1 trimestral iquestde cuaacutento tendriacutean que ser sus depoacutesitos para poder acumular a fin de antildeo la cantidad que necesita

15 Una persona contratoacute una deuda que le obliga a pagar $150 000 el 1o de enero de cada uno de varios antildeos Como ahora se da cuenta de que le seriacutea maacutes faacutecil pagar mediante abonos trimestrales vencidos iquestde cuaacutento tendriacutean que ser los pagos en el nuevo plan si se considera un intereacutes de 8 convertible trimestralmente

16 Hoy es 15 de marzo Dentro de 3 antildeos el 15 de noviembre el primogeacutenito del sentildeor Mendoza cumpliraacute la mayoriacutea de edad y desea regalarle una motocicleta que calcula costaraacute en ese tiempo (dentro de 3 antildeos) unos $80 000 Para adquirirla decide aho-rrar una cantidad mensual en un instrumento bancario que rinde 035 mensual Si la tasa de rendimiento no cambiara en ese tiempo iquestcuaacutento tendriacutea que ahorrar el padre cada mes para poder adquirir la motocicleta

17 Para saldar un preacutestamo de $785 000 contratado hoy el deudor acuerda hacer 5 pa-gos semestrales iguales y vencidos y finalmente un pago uacutenico de $300 000 2 antildeos despueacutes de realizado el uacuteltimo pago semestral iquestDe cuaacutento deberaacute ser cada uno de los pagos iguales si el intereacutes es de 25 capitalizable semestralmente

18 El 12 de abril de este antildeo la sentildeorita Soto deposita $20 000 en una cuenta bancaria que paga 05 bimestral de intereacutes Si comienza a hacer depoacutesitos bimestrales igua-les a partir del 12 de junio y acumula $130 238 inmediatamente despueacutes de realizar el depoacutesito del 12 de diciembre del antildeo siguiente iquestde cuaacutento fueron sus depoacutesitos

19 La sentildeora Jimeacutenez desea vender un comedor que posee y que considera vale $35 000 Hay dos compradores interesados que le hacen ciertas propuestasa) El comprador A ofrece pagarle 12 mensualidades vencidas de $3100b) B ofrece pagarle 18 mensualidades vencidas de $2 250

con intereses a razoacuten de 144 anuales convertibles mensualmente iquestCuaacutel oferta le con-viene maacutes

20 iquestEn cuaacutento tiempo se acumularaacuten $200 000 mediante depoacutesitos bimestrales venci-dos de $5 000 si se invierten a una tasa de 7 anual convertible bimestralmente

21 Una deuda de $850 contraiacuteda hoy se va a liquidar mediante pagos trimestrales igua-les y vencidos de $185 Si el intereacutes es de 39 trimestral calcule el nuacutemero de pa-gos completos y el valor del pago final menor que se deben efectuar para saldar el compromiso

22 Para pagar una deuda de $525 000 contraiacuteda hoy se deben abonar mensualidades de $15 000 comenzando dentro de un mes Si el intereacutes que se cobra es de 27 capitali-zable cada mes determine el nuacutemero de pagos iguales y el valor del pago final mayor que saldan la deuda

23 El 12 de septiembre la doctora Gudintildeo adquiere un automoacutevil usado en $118 000 Acuerda pagarle al vendedor mensualidades vencidas de $414853 Si se considera un intereacutes de 16 anual convertible con la misma periodicidad que los pagos iquestcuaacuten-do terminaraacute de pagar

24 Como beneficiario de un plan de jubilacioacuten el sentildeor Domiacutenguez puede recibir $160 000 de inmediato o $40 000 ahora y el resto en pagos de $6 000 cada 3 meses Si la compantildeiacutea paga un intereacutes de 6 anual convertible cada 3 mesesa) iquestCuaacutentos pagos completos recibiraacute el sentildeor Domiacutenguezb) iquestCon queacute cantidad adicional al uacuteltimo pago completo le liquidaraacuten el total de su

jubilacioacutenc) iquestCon queacute pago final realizado 3 meses despueacutes del uacuteltimo pago de $6 000 le liqui-

daraacuten el total25 Si un trabajador ahorra $100 mensuales en una cuenta de ahorros que paga 8 anual

convertible mensualmentea) iquestEn queacute tiempo reuniraacute $1000b) Si desea reunir esa cantidad en un periodo exacto de meses iquestcuaacutentos depoacutesitos

completos de $100 debe hacer y de queacute cantidad (mayor de $100) debe ser el uacutel-timo depoacutesito para que al realizarlo haya reunido la cantidad precisa de $1000

26 El 8 de enero se pagoacute el uacuteltimo abono mensual vencido de $82914 Con este abo-no se liquidoacute totalmente una deuda que ascendiacutea a $7 500 Si la operacioacuten se pactoacute a 224 anual de intereacutes convertible mensualmentea) iquestCuaacutendo se hizo el primer pago mensualb) iquestA queacute plazo se pactoacute la operacioacuten

27 iquestA queacute intereacutes se deben hacer depoacutesitos semestrales de $1000 para acumular $8 000 en 3 antildeos

28 Una deuda de $5 000 contraiacuteda hoy se pagaraacute mediante 5 abonos mensuales venci-dos de $107623 iquestA queacute tasa nominal anual se debe pactar la operacioacuten

29 Una persona adquirioacute mediante 24 abonos quincenales de $280 un televisor que al contado costaba $5 250a) iquestQueacute tasa nominal anual pagoacuteb) iquestQueacute tasa efectiva quincenal pagoacutec) iquestQueacute tasa efectiva anual pagoacute

30 Un automoacutevil cuesta $238150 Se vende con 50 de enganche y 6 mensualidades de $20 97190 iquestQueacute intereacutes efectivo mensual se cobra

31 En dos almacenes se vende el mismo modelo de cocina integral con igual precio al contado $ 9 995 Las condiciones del creacutedito son

bull El almaceacuten ldquoLa Gangardquo la vende mediante 8 mensualidades de $1395bull El almaceacuten ldquoLa Bagatelardquo la vende a 12 mensualidades de $995 a) iquestEn queacute almaceacuten es maacutes conveniente comprar la cocina b) iquestQueacute diferencia existe entre las tasas mensuales efectivas que se aplican en los

dos casos32 Ana Isabel desea adquirir una computadora y para tomar la mejor decisioacuten compara

las alternativas que existen en el mercadoa) La empresa ldquoRompepreciosrdquo ofrece la computadora ldquoCompactardquo a soacutelo $22 995 u

8 pagos de $3 245b) La casa ldquoClub de Preciosrdquo ofrece la misma computadora ldquoCompactardquo a $23 700 al

contado o mediante 6 pagos de $3 950 sin interesesSi la tasa de intereacutes del mercado es de 15 iquestcuaacutel alternativa es la mejor para Ana Isabel

33 Juan Carlos estaacute planeando sus proacuteximas vacaciones Encuentra la promocioacuten de un banco que ofrece viajes todo incluido a destinos de playa mediante un enganche de $99855 y 48 pagos semanales de $182a) iquestCuaacutel es el valor presente del viaje si el banco le carga un intereacutes de 12 semanalb) iquestCuaacutento deberiacutea ahorrar durante 48 semanas en una cuenta que paga 10 de in-

tereacutes anual convertible semanalmente si deseara pagar el viaje al contado y eacuteste le costara $5 900

c) iquestQueacute le sugeririacutea usted a Juan Carlos

48 AplicacionesSon muy abundantes las aplicaciones de las anualidades simples ciertas vencidas e inmedia-tas Tal como se vio en algunos de los ejemplos de este capiacutetulo una aplicacioacuten harto comuacuten son los planes de compra de toda clase de bienes a creacutedito (automoacuteviles bienes raiacuteces apara-tos electrodomeacutesticos etceacutetera)

Ademaacutes existen aplicaciones que son muy uacutetiles en el tema de fi nanzas corporativas en especial las que se utilizan en el tema de evaluacioacuten de proyectos de inversioacuten Cuando se ana-liza un proyecto de inversioacuten se realizan investigaciones de mercado estudios teacutecnicos y de riesgo ademaacutes de estudios econoacutemicos en los que se incluyen anaacutelisis fi nancieros que tienen relacioacuten con el rendimiento o utilidad que se espera obtener con el proyecto Los dos meacuteto-dos de evaluacioacuten fi nanciera de proyectos de inversioacuten que maacutes comuacutenmente aparecen en los textos que tratan este tema1 son el del valor actual neto (VAN) tambieacuten conocido como valor presente neto (VPN) la tasa interna de retorno o tasa interna de rendimiento (TIR) y el pe-riodo de recuperacioacuten

1 Vea por ejemplo Emery Douglas R Administracioacuten fi nanciera corporativa Prentice Hall Meacutexico 2000 Gallagher Timothy J Administracioacuten fi nanciera Colombia 2001 o Ross Stephen A Westerfi eld Randolph W y Jaffe Jeffrey F Finanzas corporativas Irwin Espantildea 1995 Brealey Scott y Brigham Eugene F Fundamentos de administracioacuten fi nanciera 12a ed McGraw-HillInteramericana de Meacutexico 2001

48 Aplicaciones

Por lo general esta evaluacioacuten fi nanciera de proyectos de inversioacuten se hace con base en los fl ujos de efectivo asociados al proyecto que se pueden agrupar en cuatro categoriacuteas baacutesicas

bull Inversioacuten inicial netabull Flujos de efectivo futuros producto de la operacioacuten del proyectobull Flujos de efectivo no operativos como por ejemplo los que se requieren para una repa-

racioacuten importantebull Valor neto de recuperacioacuten que es el valor al que se pueden vender al teacutermino del pro-

yecto los activos de valor considerable que pudiera haber sido necesario adquirir como parte del proyecto

A continuacioacuten se explican varios ejemplos de los tres meacutetodos de evaluacioacuten de proyec-tos de inversioacuten

El valor actual neto de un proyecto de inversioacuten es el valor actual de todos los fl ujos de efectivo relacionados con el proyecto En otras palabras es el valor presente de todos sus costos (egre-sos) y sus ingresos desde su principio y hasta su terminacioacuten Esta situacioacuten se ilustra en el ejemplo siguiente

Ejemplo 481

Suponga que se planea comprar un edifi cio para remodelarlo y venderlo para obtener una utilidad Su precio es de $4 200 000 y se requeririacutea invertir $3 000 000 maacutes para reno-varlo durante los seis meses siguientes a razoacuten de $500 000 cada mes Al cabo de los seis meses se calcula que se le podriacutea vender en $9100 000 iquestEs eacutesta una inversioacuten atractiva desde el punto de vista fi nanciero Se ilustra enseguida coacutemo se contesta esta pregunta utilizando el criterio del valor actual neto

Para calcular el VAN se utiliza una tasa que se conoce como el ldquocosto de capitalrdquo2 cuya determinacioacuten puede ser complicada pero si se utiliza como costo del capital simplemente la tasa de intereacutes que se tendriacutea que pagar si se obtiene dinero en preacutestamo de alguacuten banco se podriacutea fi jar ese costo de capital en por ejemplo 18 anual capitalizable mensualmen-te Con esos elementos el valor actual neto de este proyecto de inversioacuten se calcula como sigue

2 El costo del capital corresponde a la retribucioacuten que reciben los inversionistas por proveer recursos fi nancie-ros a la empresa es decir el pago que obtienen tanto acreedores (proveedores bancos acreedores bursaacutetiles acreedores diversos) como accionistas Los acreedores reciben intereses a cambio de proveer fondos a la em-presa en forma de deuda los accionistas reciben dividendos a cambio del capital que aportan en su empresaAhora bien para evaluar el costo del capital es necesario determinar el precio de los recursos financieros

aportados el cual se mide en trminos de tasa El costo del capital ser entonces la tasa que se paga por losrecursos financieros aportados a la empresa Sin embargo hay dos tipos de recursos (deuda y capital propio)cada uno con su tasa El costo del capital ser por lo tanto similar al promedio de los costos de la deuda (inte-reses) y del capital propio (dividendos) es decir similar al promedio de ambas tasas

VAN = minus minus minus +minus

4 200 000 500 0001 1 015

0 0159100 000

(( )1 015 6minus

En la expresioacuten anterior el primer teacutermino del lado derecho es el costo de compra del edifi cio el segundo es el valor actual de los seis desembolsos mensuales para remode-larlo (bajo el supuesto de que se realizan al fi nal de cada mes) y fi nalmente el tercer teacuter-mino es el valor actual del efectivo que se obtiene con la venta del inmueble Observe los signos negativos de los desembolsos y el signo positivo de los ingresos y que todas las cantidades estaacuten dadas a valor presente

Este valor actual neto es

VAN = minus minus minus +4 200 000 500 0001 0 914542

0 0159100 000

(00 9145422

4 200 000 2 848593 5 8 322 333 95

= minus minus + = $$ 1273740 37

Por lo tanto como el valor presente neto es positivo el proyecto es atractivo en teacutermi-nos fi nancieros En otras palabras si en las condiciones de mercado prevalecientes se puede considerar razonable un costo de capital de 18 anual convertible mensualmente conviene realizar este proyecto de inversioacuten y si no hay alteraciones a lo estimado se podriacutea esperar obtener una utilidad neta de $1273 74037 a valor actual Esto es si el inversionista pidiera prestado todo el dinero que requiere para adquirir y remodelar el inmueble al venderlo po-driacutea liquidar el capital que obtuvo en preacutestamo y los intereses correspondientes pero ade-maacutes le quedariacutea dicha ganancia a valor actual

Es necesario resaltar que el criterio para decidir si se emprende o no el proyecto debe basarse en el caraacutecter del VAN es decir si es positivo o negativo

El criterio para decidir si se lleva a cabo o no un proyecto de acuerdo con el valor actual neto es el siguiente

Valor actual neto Decisioacuten

Positivo Llevar a cabo el proyecto

Negativo No llevar a cabo el proyecto

482 Tasa interna de rendimiento (TIR)

La TIR es la tasa a la cual el valor actual de los ingresos del proyecto es igual al valor actual de los egresos El criterio para tomar decisiones con base en este meacutetodo es emprender el pro-yecto cuando la TIR sea superior al costo de capital que es expresado en forma sencilla un promedio ponderado de los costos de todos los fondos con los que opera una organizacioacuten principalmente capital y deuda

48 Aplicaciones

Costo de

compra

Valor actual de desembolsos

mensuales

Valor actual de venta del

inmueble

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

Ejemplo 482

Con el mismo ejemplo anterior el planteamiento seriacutea como sigue

4 200 000 500 0001 1

9100 000 16

+ minus + = +minus( )

( )TIR

TIRTIR minusminus6

Del lado izquierdo se encuentran los egresos y del lado derecho los ingresos Por su parte la TIR se encuentra cuando se resuelve esta ecuacioacuten empezando por simplifi carla hasta donde sea posible

91 1 51 1

( )( )+ minus minus + =minus

minusTIR

TIRTIR

Se puede resolver esta ecuacioacuten mediante ensayo y error con una calculadora para encontrar su valor de 005172837 que es la tasa interna de rendimiento mensual ya que los fl ujos de efectivo estaacuten planteados en meses La TIR anual seriacutea

TIR = 105172812 minus1 = 0831 u 8316

Como esta tasa es (considerablemente) superior al costo de capital entonces de acuerdo con el criterio de la TIR el proyecto se debe llevar a cabo

Sin embargo debido a que el meacutetodo manual de ensayo y error (con calculadora) es muy laborioso se reserva la resolucioacuten para la seccioacuten siguiente en donde se ilustra el procedimiento para resolverlo mediante la funcioacuten de Excel que se denomina precisa-mente TIR que lo simplifi ca de manera considerable

En este punto vale la pena hacer notar que estos dos primeros meacutetodos que se ejem-plifi caron pueden ser equivalentes en algunos casos como cuando se trata de proyec-tos independientes en los que la seleccioacuten de un proyecto no depende de la seleccioacuten de otros proyectos y son tambieacuten equivalentes en casos de proyectos convencionales en los que existen desembolsos iniciales en efectivo y una serie de fl ujos futuros (de ingresos y egresos) tambieacuten en efectivo como en el ejemplo que se presentoacute antes

Sin embargo cuando los proyectos que se evaluacutean no son independientes sino que uno depende del otro estos dos criterios de evaluacioacuten no son equivalentes Tampoco se los puede aplicar indistintamente a casos en los que se evaluacutean proyectos de distinto ta-mantildeo o proyectos cuyos fl ujos de efectivo son considerablemente diferentes por ejemplo cuando uno de ellos ofrece fl ujos de ingresos soacutelo hacia el fi nal del proyecto y el otro lospromete durante toda la vida del plan porque en estos casos intervienen tambieacuten cues-tiones relacionadas con las necesidades de fl ujo de caja de la empresa entre otras

Costo de

compra

mensuales

inmueble

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

Egresos Ingresos

Los detalles de estas consideraciones escapan del alcance de este texto por lo que para ahondar en ellos se sugiere consultar algunas de las obras mencionadas en la nota de pie de paacutegina anterior o en alguacuten otro relacionado con el tema

483 Periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten

El periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten puede ser simple o ajustado El primero se calcula simplemente sumando todos los fl ujos de efectivo esperados (sin tomar en cuenta el tiempo en el que se realizan o en otras palabras sin considerar las diferencias de valor en diferentes tiempos) progresivamente hasta que la suma iguale al desembolso inicial La diferencia entre este momento y el momento en el que se inicia el proyecto es lo que se conoce como periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten

Este meacutetodo puede ser de utilidad como informacioacuten adicional para evaluar algunos pro-yectos especiacutefi cos pero como no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo carece de in-tereacutes en este texto de matemaacuteticas fi nancieras por lo que se deja su anaacutelisis hasta aquiacute

Por su parte el periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten ajustado siacute toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo Para determinarlo se calcula el valor actual de cada uno de los fl u-jos de ingresos esperados en el futuro y se suman progresivamente hasta que la suma iguale el desembolso inicial Dado que toma en cuenta la peacuterdida del valor que sufre el dinero por el transcurso del tiempo proporciona una medida maacutes acertada del riesgo involucrado en un pro-yecto de inversioacuten Se ilustra su aplicacioacuten en el siguiente ejemplo

Ejemplo 483

De regreso al proyecto de inversioacuten en un edifi cio por el cual se pagan $4 200 000 se invier-ten $500 000 al fi nal de cada uno de seis meses para fi nalmente venderlo en $9100 000 tambieacuten seis meses despueacutes el periodo de recuperacioacuten es claramente seis meses que es cuando se supone que se realiza la venta y con ella se recibe el pago

Por otro lado vale la pena hacer hincapieacute en que en ocasiones los fl ujos de efectivo pueden no estar conformados por cantidades que constituyan anualidades como en los $500 000 mensuales durante 6 meses que se manejaron en los dos ejemplos anteriores Por ello se ilustra otro caso comuacuten en el siguiente ejemplo

Ejemplo 484

Este ejemplo estaacute adaptado de un texto sobre proyectos de inversioacuten3 Se evaluacutea un pro-yecto que implica una inversioacuten inicial total de $360 millones de pesos suma que incluye entre otros conceptos terreno construccioacuten equipo maquinaria y mobiliario Se han estimado fl ujos anuales de ingresos de $160 $143 $170 $162 $154 y $147 millones de pesos los cuales se determinaron restaacutendole a los ingresos por ventas los costos de produccioacuten los gastos fi jos y los impuestos y a los que por otro lado se les sumaron

48 Aplicaciones

3 Baca Urbina Gabriel Evaluacioacuten de proyectos 3a ed McGraw-Hill Meacutexico 1995 p 198

las depreciaciones Es necesario determinar la decisioacuten que se debe tomar mediante los tres meacutetodos de evaluacioacuten de proyectos de inversioacuten que se han expuesto y utilizando 20 anual de costo de capital

SolucioacutenI De acuerdo con el meacutetodo del periodo de recuperacioacutenComo se invirtieron inicialmente $360 millones en el proyecto es necesario determinar cuaacutendo se recupera esta cantidad a su valor actual es decir a la misma fecha (periodo) en la que se hizo el desembolso Para hacer esta operacioacuten paso por paso al fi nal del pri-mer antildeo se tendriacutea un ingreso de $160 (millones en lo sucesivo se ahorra la mencioacuten de los millones para abreviar la exposicioacuten) los cuales a valor actual seriacutean

VA1 = 160(12)minus1 = $13333

Con esa cantidad evidentemente no se cubre el desembolso inicial Ahora al fi nal del segundo antildeo se obtiene un ingreso de $143 que a valor actual son

VA2 = 143(12)minus2 = $9931

con lo que se tiene un acumulado de valor actual de ingresos de $13333 + 9931 = $23264 monto auacuten inferior a la cantidad que inicialmente se invirtioacute en el proyecto A continua-cioacuten con los ingresos del tercer antildeo se tiene un nuevo valor actual de

VA3 = 170(12)minus3 = $9838

Ahora se tiene un total de ingresos del proyecto a valor actual de 13333 + 9931 + 9838 = $33102 el cual tampoco es sufi ciente para recuperar la inversioacuten inicial Sin em-bargo se observa que ya es una cantidad cercana a la inversioacuten realizada para arrancar el proyecto (360) y se sabe que si se suma el valor actual de los ingresos del cuarto antildeo VA4 = 162(12)minus4 = $7813 se lograraacute un total de $33102 + $7813 = $40915 que ahora siacute superaraacute la inversioacuten inicial lo que indica que el periodo de recuperacioacuten estaacute entre 3 y 4 antildeos

Para aproximar en forma sencilla el periodo de recuperacioacuten de esta inversioacuten se puede hacer una interpolacioacuten simple de la siguiente manera

360 331 02409 15 331 02

328 98

minusminus

= minusminus

= minus

x778 13

3 0 37 3 37

Este resultado signifi ca que la inversioacuten inicial de $360 millones se recuperariacutea en aproximadamente 337 antildeos o sea tambieacuten aproximadamente en 3 antildeos 4 meses y 13 diacuteas informacioacuten que tambieacuten seriacutea uacutetil para evaluar la conveniencia o inconveniencia de emprender el proyecto Por otro lado tambieacuten es necesario mencionar que existen si-tuaciones reales maacutes complicadas que la planteada en este ejercicio y que requieren de aproximaciones maacutes detalladas del periodo de recuperacioacuten de la inversioacuten pero el pro-cedimiento baacutesico se ilustra claramente en los caacutelculos anteriores

II De acuerdo con el meacutetodo del valor actual netoEl valor actual neto se encuentra mediante la siguiente ecuacioacuten

VAN = minus360 + 160(12)minus1 + 143(12)minus2 + 170(12)minus3 + 162(12)minus4 + 154(12)minus5 + 147(12)minus6 VAN = minus360 + 133333 + 99305 + 9838 + 78125 + 61889 + 4923 = $160259

Por lo tanto como el valor actual neto es positivo este criterio de evaluacioacuten indica que se debe emprender el proyecto

III De acuerdo con el meacutetodo de la tasa interna de rendimientoAhora si se utiliza la TIR para encontrarla es necesario resolver la siguiente ecuacioacuten

360 = 160(1 + TIR)minus1 + 143(1 + TIR)minus2 + 170(1 + TIR)minus3 + 162(1 + TIR)minus4 + 154(1 + TIR)minus5 + 147(1 + TIR)minus6

Resolver esta ecuacioacuten manualmente implicariacutea hacer ensayos con distintas tasas hasta encontrar la que la resuelve y que es TIR = 3689 Sin embargo tal como se ilustra en la seccioacuten siguiente es mucho maacutes faacutecil hacerlo con la funcioacuten TIR de Excel

Ademaacutes como esta TIR de 3689 es superior al costo de capital que es de 20 se debe concluir que es conveniente emprender el proyecto

49 Uso de ExcelEn esta seccioacuten se resuelven algunos ejercicios utilizando funciones de Excel especialmente dise-ntildeadas para aplicarse a anualidades en combinacioacuten con las capacidades normales de caacutelculo de esta hoja de trabajo Las funciones que se aplican a las anualidades son

bull Monto o valor futuro (VF)bull Capital o valor actual (VA)bull Renta (PAGO)bull Plazo (NPER)bull Tasa de intereacutes (TASA)bull Valor actual neto (VNA)bull Tasa interna de rendimiento (TIR)

En las subsecciones siguientes se explican aplicaciones de cada una de ellas

491 Monto o valor futuro (VF) (seccioacuten 43)

La foacutermula de Excel para calcular el monto o valor futuro (VF) es

en donde

Tasa es la tasa de intereacutes por periodoNper es el nuacutemero total de periodos de pagoPago es el pago que se efectuacutea cada periodo Va es el capital o valor actual total de una serie de pagos futuros

49 Uso de Excel

Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el monto de la anua-lidad sin embargo Excel permite la posibilidad determinarla conociendo el valor actual (Va) por ello si se anota el valor del pago no se requiere Va y a la inversa si se incluye el valor ac-tual se debe omitir el pago Esta cuestioacuten se ilustra maacutes adelante

Tipo se puede anotar (es un valor optativo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacutendo vencen los pagos Si se anota 0 se calcula el monto de una anualidad vencida (que es el caso que se estudia en esta seccioacuten) como es un paraacutemetro optativo si se omite el monto se calcula para una anualidad vencida Si se anota un 1 entonces se calcula como una anuali-dad anticipada (este caso se estudia en el capiacutetulo 5)

En el ejemplo 431 se considera una anualidad de $100 000 durante seis meses y con una tasa de 005 mensual Entonces si se introduce

=VF(00056minus100 000)

en alguna celda de una hoja de trabajo de Excel se obtiene como resultado $607 55019 que es igual a los $607 55019 que se obtuvo en el texto

Es importante observar que en la foacutermula anterior se anotaron ldquominus100 000rdquo una cantidad negativa porque Excel considera salidas de capital (cantidades negativas) a los pagos Aunque esta cuestioacuten no parece tener mucho sentido en estos ejemplos es un procedimiento estaacutendar en Excel y se aprecia mejor su utilidad en las funciones como la de la Tasa interna de rendi-miento (TIR) en la cual se consideran fl ujos de efectivo tanto de entrada (+) como de salida (minus) Se ven ejemplos de esta funcioacuten de Excel en la seccioacuten 48 de ldquoAplicacionesrdquo

Ahora sabemos que el valor actual o capital de un monto de $607 55019 seis meses an-tes con un intereacutes de 05 mensual es de

C = 607 55019(1005)minus6 = 607 55019(0970 518) = $589 63844

Y entonces si se introduce la foacutermula siguiente de Excel

=VF(00056minus589 63844)

Se obtiene $607 55015 que es el monto correspondiente (Observe que en la foacutermula ante-rior de Excel hay una doble coma despueacutes del nuacutemero 6 lo cual indica que se omitioacute el valor de la renta mensual y que el valor actual se considera como una salida de capital y por ello se le anota con signo negativo)

Es importante observar que esta forma de utilizar la foacutermula del valor futuro o monto de Excel equivale a aplicar la foacutermula del monto a intereacutes compuesto de una cantidad [foacutermula (33) del capiacutetulo 3] o

M = C(1 + i)n = 589 63844(1005)6 = $607 55019

En el ejemplo 432 se busca el monto de $20 000 semestrales depositados durante 4 antildeos y medio a 12 capitalizable semestralmente En Excel

=VF(0069minus20 000) produce el valor de $229 82632 que es el mismo que se obtuvo en el texto

En el ejemplo 433 se tiene R = 100 n = 216 i = 00075 en los primeros 6 antildeos (72 meses) e i = 002 en los uacuteltimos 12 antildeos (144 meses) El planteamiento completo en Excel es el siguiente

=(VF(0007572minus100)(101^144))+VF(001144minus100)

que arroja $71 71995 que es igual al resultado que se obtuvo en el textoEn la foacutermula anterior la primera parte VF(0007572minus100) es el monto de los primeros

72 depoacutesitos (erogaciones) de $100 a una tasa de 075 que multiplicado por (101^144) da el monto de estos primeros depoacutesitos al fi nal del periodo Si a esto se le suma el monto de los uacutel-timos 144 meses de depoacutesitos VF(001144minus100) se tiene el resultado deseado

492 Capital o valor actual (VA) (seccioacuten 44)

en donde

Tasa tasa de intereacutes por periodoNper nuacutemero total de periodos de pagoPago pago que se efectuacutea cada periodo Vf es el monto o valor futuro total de una serie de pagos futuros

Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el valor actual de la anualidad sin embargo Excel permite la posibilidad de calcular el valor actual de la anuali-dad conociendo el monto (Vf) por ello si se anota el valor del pago no se requiere Vf y a la inversa si se incluye el monto se debe omitir el pago Ya se ilustroacute esta cuestioacuten para el caacutelculo del monto y se ilustra para el caso del valor actual maacutes adelante

Tipo Al igual que para el caacutelculo del monto o valor futuro se puede anotar (es un valor op-tativo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacutendo vencen los pagos Si se anota 0 se cal-cula el monto de una anualidad vencida (que es el caso que se estudia en esta seccioacuten) como es un paraacutemetro optativo si se omite el monto se calcula para una anualidad vencida Si se anota un 1 entonces se calcula como una anualidad anticipada (este caso se estudia en el capiacutetulo 5)

En el ejemplo 441 se tienen siete rentas trimestrales de $4 500 con una tasa de 9 tri-mestral y se busca el valor actual o capital Entonces en Excel

=VA(0097minus 4 500)

que produce el resultado de $22 64829 praacutecticamente igual al que se obtuvo antesAhora de lo que ya se estudioacute sobre intereacutes compuesto se sabe que el valor futuro de es-

tos $22 64829 siete trimestres despueacutes a una tasa de 9 trimestral es

M = 22 64829(109)7 = 22 64829(1828039) = 41 40196

Ademaacutes conociendo este valor se puede obtener el valor actual con Excel mediante la siguiente foacutermula

=VA(0097minus 41 40196)

49 Uso de Excel

Y al igual que sucedioacute con la foacutermula del monto o valor futuro esta forma de utilizar la foacutermula del valor actual (capital) de Excel equivale a aplicar la foacutermula del valor actual de una cantidad que se vio en el capiacutetulo 3 [foacutermula (36)] o

C = M(1 + i)minusn = 41 40196(109)minus7 = 22 64829

En el ejemplo 442 se busca el valor actual de una renta de $1000 al fi nal de cada 3 meses durante 5 antildeos a una tasa de 16 anual convertible trimestralmente En Excel

=VA(004201000)

que produce el resultado que ya se encontroacute de $13 59033En el ejemplo 443 se encuentra con Excel el valor del inciso b) ($130 000 de enganche y

12 mensualidades de $12 000 a 15 mensual) con la siguiente funcioacuten

=130 000+VA(00151212 000)

que produce $260 89006 cantidad que comparada con los $260 000 del precio al contado conduce a la conclusioacuten de que es mejor comprar al contado

En el ejemplo 444 se busca el precio que se pagoacute por un aparato por el que se abonaron $1400 de enganche 7 pagos mensuales vencidos de $160 y un pago fi nal al octavo mes de $230 con tasa de 27 anual capitalizable mensualmente Con Excel

=1400+VA(027127minus160)+(230((1+02712)^(minus8)))

que produce el mismo resultado que aparece en el texto $2 61814 Se ilustra en este caso que es posible plantear las funciones de Excel con alguna opera-

cioacuten lo cual ahorra la necesidad de hacerla antes de plantear la funcioacuten Ademaacutes la tasa es de 27 anual capitalizable mensualmente y se pudo haber realizado la divisioacuten de 02712 = 00225 para obtener la tasa mensual y anotar este valor en la funcioacuten de Excel Sin embargo tambieacuten se puede anotar la tasa como se hizo aquiacute simplemente planteando la operacioacuten ldquo02712rdquo con lo que Excel trabaja con el resultado

En el ejemplo 445 se busca el valor actual de un refrigerador por el que se pagaron 52 abonos semanales ldquochiquititosrdquo vencidos de $240 con intereacutes de 15 anual convertible sema-nalmente Con Excel

=VA(0155252minus240)

que produce el resultado de $1157363 que es praacutecticamente igual a los $1157352 que se en-contraron en el texto

El ejemplo 446 trata sobre el mismo refrigerador del ejemplo anterior pero se paga un primer abono inmediatamente (que corresponderiacutea a un enganche) y 51 pagos semanales de $240 con tasa de 15 convertible semanalmente El valor actual de este aparato es con Excel

=240+VA(0155251minus240)

Esta foacutermula que produce el valor de $1160702 que es praacutecticamente igual al que se deter-minoacute en el texto

493 Renta (seccioacuten 45)

Para calcular la renta o pago perioacutedico de una anualidad se utiliza la siguiente funcioacuten de Excel

PAGO(tasanpervavftipo)

En esta funcioacuten al igual que con las anteriores ldquovf rdquo el valor futuro y ldquotipordquo son paraacuteme-tros optativos Ademaacutes tambieacuten igual que antes si se anota el valor futuro en la funcioacuten se debe omitir el valor actual y si se omite el tipo Excel hace los caacutelculos para determinar una anualidad vencida

En el ejemplo 451 se desea calcular la renta que se debe pagar para comprar una compu-tadora que cuesta $19 750 a pagar en 4 mensualidades con una tasa de 18 mensual

=PAGO(00184minus19 750)

que arroja el resultado que se busca $516167En el ejemplo 452 se quiere saber cuaacutento debe invertir una persona al fi nal de cada mes

durante 7 antildeos para acumular $100 000 a una tasa de 135 anual convertible mensualmen-te La siguiente funcioacuten de Excel arroja el resultado que se busca $72149

=PAGO(013512712minus100 000)

Observe de nuevo en esta funcioacuten que el valor de $100 000 aparece con signo negativo con lo que el resultado de $72149 aparece como positivo si se cambia el signo a los $100 000 el pago resultante aparece con signo negativo Por otra parte las operaciones tanto de la tasa como del nuacutemero de periodos estaacuten planteados en teacuterminos de las operaciones ldquo013512rdquo y ldquo712rdquo lo cual evita la necesidad de hacer operaciones antes de introducir los datos a la foacutermu-la Ademaacutes hay una doble coma despueacutes del 12 lo cual indica a la vez que se omite el valor actual y que la cantidad que sigue los $100 000 son un monto o valor futuro

En el ejemplo 453 se trata de determinar la renta mensual con intereses de 25 anual convertible mensualmente que sustituya una renta anual de $3 000 Con Excel

=PAGO(02512123 000) se obtiene el pago de $22263 con signo negativo

494 Plazo (seccioacuten 46)

La funcioacuten de Excel que calcula el nuacutemero de pagos de una anualidad es

NPER(tasa pago va vf tipo)

Y al igual que con la funcioacuten anterior el monto o valor futuro ldquovf rdquo y el tipo de anualidad son paraacutemetros optativos

En el ejemplo 461 se quiere determinar el nuacutemero de pagos de $60796 que se deben ha-cer para pagar una lavadora que cuesta $8 500 dando un enganche de $2 550 con intereacutes de 24 anual capitalizable mensualmente La foacutermula de Excel

=NPER(02412minus607968 500minus2 550)

49 Uso de Excel

produce el resultado de n = 11 que se busca Dos detalles importantes con respecto a esta funcioacuten en primer lugar evita hacer las laboriosas manipulaciones con logaritmos como se ilustroacute en el texto y por otro lado algo que se debe tener presente es que precisamente por la loacutegica de las operaciones aquiacute es necesario poner los pagos con signo negativo porque si no se hace asiacute se obtienen resultados erroacuteneos

En el ejemplo 462 se busca determinar cuaacutentos pagos bimestrales vencidos de $1550 se deben hacer para saldar una deuda de $8 000 pagadera hoy (valor actual) con intereacutes de 275 bimestral La foacutermula

=NPER(00275minus15508 000)

produce el resultado de 5642592 igual al que se encontroacute en el texto 5642592En el ejemplo 465 en el que se pregunta dentro de cuaacutento tiempo habraacute acumulado

$300 000 una persona que hace depoacutesitos trimestrales vencidos de $5 000 a una tasa de 12 convertible trimestralmente En este caso

=NPER(0124minus5 000300 000)

produce el resultado de 3483 trimestres que se busca

495 Tasa de intereacutes (seccioacuten 47)

La funcioacuten de Excel que calcula la tasa de intereacutes de una anualidad es

TASA(nperpagovavftipoestimar)

En ella vuelven a aparecer los paraacutemetros que ya se han utilizado ldquonperrdquo nuacutemero de pe-riodos ldquopagordquo la renta perioacutedica ldquovardquo el valor actual todos ellos valores necesarios para los caacutelculos Y como valores optativos ldquovf rdquo el valor futuro o monto ldquotipordquo el tipo de anualidad que como se vio antes si se omiten se hacen los caacutelculos para anualidades vencidas y si se anota un ldquo1rdquo se hacen los caacutelculos para anualidades anticipadas

Finalmente aparece un nuevo paraacutemetro optativo mdashldquoestimarrdquomdash que es el valor que Excel utiliza para arrancar como estimacioacuten inicial de la tasa Como es un paraacutemetro optativo se puede omitir y si no se le incluye Excel empieza con 10 como estimacioacuten inicial En gene-ral lo maacutes faacutecil es por supuesto no utilizar este paraacutemetro

En el ejemplo 471 se intenta determinar la tasa de intereacutes involucrada en el pago de un valor actual de $350 000 mediante 6 abonos mensuales de $62 000 Con Excel

=TASA(6minus62 000350 000)

produce el resultado que se busca 0017700 igual al 0017701 que se encontroacute en el textoLo primero que resalta aquiacute es la enorme utilidad de esta funcioacuten dados los laboriosos

caacutelculos que es necesario realizar si se hacen las operaciones en forma manual con una calcu-ladora (la resolucioacuten de este ejercicio requirioacute dos paacuteginas y media en el texto)

En el ejemplo 472 el almaceacuten A vende la lavadora que tiene precio de $6 000 mediante 12 pagos mensuales de $600 La tasa que se busca que es de 002922931 de acuerdo a lo que se encontroacute mediante el proceso de ensayo y error maacutes interpolacioacuten del texto se encuentra faacutecilmente con Excel usando la foacutermula

=TASA(12minus6006 000)

la cual produce el resultado de 0029229 que es de nuevo praacutecticamente igual a la que se en-controacute en el texto Para encontrar la tasa efectiva anual correspondiente a esta tasa mensual se utiliza la siguiente operacioacuten en Excel

= 1029229^12minus1 que da como resultado 0413007 o 413 anual

Por otra parte para encontrar la tasa efectiva anual que se carga en el almaceacuten B con un pago fi nal de $8 840 en Excel

=(8 6406 000minus1)100 produce la tasa de 44 con lo que se llega a la conclusioacuten de que conviene comprar en el almaceacuten A

Para encontrar la tasa nominal convertible semestralmente a la cual se acumulan $500 000 en el momento de realizar el 15o depoacutesito de $10 000 que plantea el ejemplo 473

=2TASA(15minus10 000500 000)

operacioacuten que da como resultado 0312072 que es el mismo valor que se encontroacute en el texto

496 Aplicaciones (seccioacuten 48)

En el ejemplo de los meacutetodos de evaluacioacuten de proyectos de inversioacuten se analizaba la compra de un edifi cio en $4 200 000 seis erogaciones mensuales de $500 000 para remozamiento del edifi cio y un ingreso de $9100 000 por la venta del inmueble al cabo de seis meses

Excel tiene dos funciones especiacutefi cas para calcular los dos criterios fi nancieros de evalua-cioacuten de proyectos mdashel valor actual neto y la tasa interna de rendimientomdash que se explican enseguida

Valor actual neto

La funcioacuten que calcula este valor en Excel tiene la siguiente sintaxis

VNA(tasavalor1valor2 )

Es faacutecil observar que los paraacutemetros que requiere son en primer lugar la tasa a la que en fi nanzas se denomina formalmente ldquocosto de capitalrdquo y las cantidades de ingresos y egresos con signo positivo y negativo respectivamente en el orden exacto en el que se presentan Para el ejemplo 481 del proyecto del edifi cio la funcioacuten seriacutea

=minus42+VNA(01812minus5minus5minus5minus5minus586)

Observe que se le quitaron cinco ceros (se les dividioacute entre 100 000) a todas las cantida-des para simplifi car los datos

49 Uso de Excel

Ahora con respecto a la foacutermula anterior en primer lugar es necesario tener presente que como los caacutelculos que hace Excel comienzan al fi nal del primer periodo cuando haya un movimiento de capital al principio de eacutel (como los $4 200 000 que se pagan por el edifi cio) esa cantidad se debe plantear fuera del VNA porque ya estaacute dada a su valor actual Ademaacutes en este caso se deben restar 42 porque fue una erogacioacuten La tasa por periodo mensual es 01815 = 0015 se plantean soacutelo cinco erogaciones de 5(00000) porque al fi nal del sexto mes se gas-taron otros 5(00000) pero a la vez se recibieron 91(00000) por la venta del edifi cio con lo que se tuvo un ingreso neto de 86(00000)

La foacutermula anterior produce el resultado de $1273740369 que multiplicado por 100 000 para volverlo a las unidades originales da el valor de $1273 74037 que es exactamente el mismo valor que se obtuvo con el procedimiento de calculadora de la seccioacuten anterior aunque por otro lado se puede observar que esta funcioacuten de Excel facilita considerablemente las operaciones

Ahora para resolver el ejemplo 484 sobre un proyecto de inversioacuten con fl ujos de efectivo desiguales se utiliza la siguiente forma de la funcioacuten VNA

=VNA(02160143170162154147)minus360

la cual produce el valor de $16026 que difi ere ligeramente del valor que se encontroacute en la sec-cioacuten anterior por diferencias en el redondeo Y al igual que antes como el valor actual neto es positivo este criterio de evaluacioacuten indica que se debe emprender el proyecto

Tasa interna de rendimiento

Como se vio en la seccioacuten anterior la tasa interna de rendimiento (TIR) es la que iguala en un punto del tiempo el total de los egresos al total de los ingresos Con los datos del ejemplo anterior que se ilustroacute como ejemplo 482 la siguiente ecuacioacuten plantea las circunstancias

4 200 000 500 0001 1

9100 000 16

( )TIR

TIRTIR minusminus6

Si se simplifi ca se tiene

91 1 51 1

minusTIR

TIRTIR

La funcioacuten de Excel que permite resolver planteamientos de este tipo es precisamente la que se llama TIR y que tiene la siguiente sintaxis

TIR(valoresestimar)

El paraacutemetro ldquovaloresrdquo se debe especifi car como un rango de celdas de una hoja de Excel en donde se listen de arriba hacia abajo en el orden en el que se presentan los egresos y los ingresos del proyecto mientras que el paraacutemetro ldquoestimarrdquo se usa para dar un valor inicial a Excel para que realice los ensayos aproximativos para encontrar la tasa que se busca Por lo general no es necesario utilizar este paraacutemetro con lo que Excel arranca con una estima-cioacuten inicial de la tasa de 10 Sin embargo si Excel no encuentra la tasa partiendo de esta estimacioacuten inicial y despueacutes de 20 ensayos aparece en la celda correspondiente el mensaje ldquoiexclNUMrdquo el cual indica que no se encontroacute la tasa En estos casos es necesario dar un valor

al paraacutemetro ldquoestimarrdquo maacutes cercano al verdadero valor de la TIR para que Excel lo pueda de-terminar en menos de esos 20 ensayos

Para encontrar la TIR en el ejemplo del edifi cio se podriacutean introducir los fl ujos de egresose ingresos de la siguiente manera

minus42minus5minus5minus5minus5minus586

Y se anotariacutea la siguiente funcioacuten en cualquier otra celda

=TIR(A1A7)

Esta forma especiacutefi ca de la funcioacuten muestra que esos fl ujos estariacutean colocados en las cel-das A1 hasta A7 Esta funcioacuten arroja como resultado 0051728 que seriacutea como se vio en el texto la TIR mensual Por su parte la TIR anual seriacutea

TIR = 105172812 minus1 = 08317 u 8317

que como es considerablemente superior al costo de capital indica que siacute se debe emprender el proyecto

Ahora para encontrar la TIR del proyecto de inversioacuten planteado en la seccioacuten anterior como ejemplo 483 se colocan las correspondientes cantidades en 7 celdas como de la A1 a la A7 como sigue

minus360160143170162154147

Y con la funcioacuten

=TIR(A1A7)

se obtiene el resultado de 3689 que como es superior al costo de capital de 20 sentildeala que es conveniente emprender el proyecto

410 ResumenEn este capiacutetulo se introdujo el concepto de anualidades un conjunto de pagos iguales reali-zados a intervalos iguales

410 Resumen

Se mencionoacute que resulta conveniente identifi car los diferentes tipos de ellas clasifi caacutendo-las de acuerdo con cuatro criterios

bull Tiempo anualidades ciertas y anualidades contingentesbull Intereses simples y generalesbull Pagos anualidades vencidas y anticipadasbull Iniciacioacuten inmediatas y diferidas

La combinacioacuten de estas caracteriacutesticas da lugar a los diversos tipos de anualidades Se explicaron las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas Se derivaron las foacutermulas para calcular su monto y su valor actual o capital y se ilustraron diversos casos en los que fue necesario calcular esos dos conceptos asiacute como tambieacuten el plazo la renta y la tasa de intereacutes

Si ha leiacutedo el capiacutetulo completo el lector debe

bull Identificar y explicar las diversas caracteriacutesticas que definen a los distintos tipos de anualidades

bull Identificar y plantear situaciones que pueden representarse mediante una anualidad simple cierta vencida e inmediata

bull Plantear y resolver ejemplos de este tipo de anualidadesbull Resolver ejercicios y aplicaciones de anualidades simples ciertas vencidas e inmedia-

tas utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoft Excel

n= + minus( )1 1

(41) C Ri

bull Anualidadbull Anualidades anticipadas ciertas contingentes diferidas generales inmediatas simples vencidas

bull Montobull Valor actualbull Rentabull Plazobull Tasa de intereacutes de una anualidad simple cierta vencida inmediata

1 iquestQueacute es una anualidad simple contingente vencida y diferida 2 iquestQueacute es una anualidad general cierta anticipada e inmediata 3 iquestCuaacutel es el tipo maacutes comuacuten de anualidad Explique queacute clase de anualidad representan los planteamientos 4 a 8 4 Una pensioacuten vitalicia otorgada por un seguro de invalidez total y que asigna cierta can-

tidad mensual 5 Un depoacutesito quincenal en una cuenta de ahorros que paga 5 capitalizable mensualmente 6 Una persona subarrienda un negocio El subarrendatario acuerda pagarle cierta cantidad dia-

ria con 3 mensual capitalizable diariamente iquestQueacute renta equivale a $30 00000 mensuales 7 La adquisicioacuten de un departamento en condominio cuyo enganche se paga mediante 6

pagos bimestrales de $102 500 La entrega del inmueble tiene lugar al realizarse el sexto pago bimestral

8 La compra a creacutedito de un automoacutevil El intereacutes que se carga es 2 mensual global y los pagos se hacen cada mes

Las preguntas restantes se refieren a anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas 9 iquestCuaacutel es el monto de 18 depoacutesitos mensuales de $5 000 en una cuenta de inversioacuten que

paga 03 mensual10 iquestCuaacutel es el valor actual de 18 pagos mensuales de $5 000 si se consideran intereses de

03 mensual11 iquestQueacute relacioacuten existe entre las preguntas 9 y 10 Expreacutesela en forma de ecuacioacuten12 La profesora Veacutelez ha retirado de su cuenta de inversiones 40 mensualidades de $3 275 Si la

cuenta de inversiones rinde 4 convertible mensualmente iquestcuaacutento teniacutea en su cuenta de in-versiones un mes antes de realizar el primer retiro

(Desde que empezoacute a hacer los retiros no hizo ninguacuten depoacutesito)13 El diacutea 1o se depositaron $7 000 en una inversioacuten que paga 7 convertible mensualmente

Ademaacutes a) se depositaron comenzando un mes despueacutes $1000 mensuales durante 1 antildeo b) Al final del mes 19 se depositaron $12 000 iquestCuaacutel es el monto de todas estas inversiones al final del mes 2414 Si se calculan intereses a razoacuten de 12 anual convertible cada 2 meses iquestqueacute pago uacutenico

realizado dentro de 30 meses es equivalente a 15 pagos bimestrales de $8 50015 Si se desea obtener un rendimiento de 40 capitalizable mensualmente sobre una inver-

sioacuten riesgosa iquestcuaacutel es la cantidad maacutexima que deberiacutea invertirse en una operacioacuten que se espera pague $10 000 mensuales al final de cada uno de los 8 meses siguientes

16 En una cuenta que rinde 025 mensual se hicieron los siguientes depoacutesitos a) 5 de $1750 cada fin de mes el primero al cabo de un mes b) 8 de $1450 cada fin de mes el primero de eacutestos al cabo de 4 meses iquestCuaacutel es la cantidad que se ha acumulado en la cuenta al final del decimosegundo mes17 iquestQueacute renta pagada durante cada uno de 12 bimestres es equivalente a un valor actual de

$100 000 si se consideran intereses a una tasa de 04 bimestral

18 iquestQueacute renta pagada al final de cada uno de 9 meses permite acumular $10 000 al cabo del deacutecimo mes si se consideran intereses a razoacuten de 7 convertible cada mes

19 Si se vende un terreno en $228 000 al contado o mediante 12 pagos semestrales iguales con 20 anual convertible semestralmente iquestde cuaacutento seriacutean los pagos en el plan a creacutedito

20 Si se calcula que el enganche de un inmueble del tipo del que le gustariacutea adquirir al sentildeor Loacutepez seraacute de $170 000 dentro de un antildeo iquestqueacute cantidad deberiacutea depositar cada mes en una inversioacuten que rinde 3 convertible mensualmente

21 El 12 de abril la sentildeorita Peacuterez obtiene un preacutestamo de $30 000 que acuerda reembolsar mediante pagos iguales cada mes Comienza los pagos el 12 del mayo y hace el uacuteltimo el 12 de diciembre del antildeo siguiente Si se le cobran intereses de 18 mensual iquestcuaacutento debe pagar cada mes

22 Se deben pagar $78 500 el 23 de agosto del antildeo proacuteximo Si hoy es 23 de febrero iquestcuaacutel debe ser el importe de los depoacutesitos bimestrales a una cuenta de inversioacuten que rinde 1 bimestral para tener el 23 de agosto del antildeo siguiente en el momento de realizar el uacutelti-mo depoacutesito la cantidad que se debe pagar y si el primer depoacutesito se hace el 23 de abril de este antildeo

23 El 2 de enero se obtiene un preacutestamo de $324 000 Se va a pagar con 6 abonos mensuales iguales el primero el 2 de febrero maacutes $112 000 adicionales al uacuteltimo abono mensual Si el intereacutes acordado es de 18 convertible mensualmente iquestcuaacutel debe ser el importe de los pagos mensuales

24 Un televisor se vende con las siguientes condiciones en dos tiendas a) En la tienda A cuesta $7 500 al contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades

vencidas e iguales con intereses de 3 mensual b) En la tienda B cuesta $ 8 000 al contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades

vencidas e iguales con intereses de 24 mensual Si se desea comprar el aparato mediante creacutedito iquesten queacute tienda conviene adquirirlo25 iquestEn cuaacutento tiempo se acumulan $180 000 mediante depoacutesitos semestrales de $9 81650 en

una inversioacuten que rinde 07 mensual26 iquestEn cuaacutento tiempo se acumulan $5 000 si se ahorran $200 mensuales y los ahorros ganan

08 mensual de intereacutes27 iquestCuaacutentos pagos de $136 21125 seriacutea necesario hacer cada fin de antildeo para liquidar una

deuda de $450 000 si el intereacutes es de 30 anual28 Rodolfo le vende a su hermana Silvia un departamento El trato se formaliza hoy y se fija

el valor del inmueble en $290 000 para dentro de un antildeo que es cuando se va a hacer el traslado de dominio Para pagar Silvia le va a dar a Rodolfo abonos iguales mensuales de $25 000 y un pago final mayor que liquide totalmente la operacioacuten iquestCuaacutentas mensuali-dades iguales deberaacute pagar y cuaacutel debe ser el importe del pago final mayor si acordaron un intereacutes de 15 mensual Silvia va a comenzar a hacer los pagos dentro de un mes

29 Existen dos planes para la compra de un automoacutevil a) Precio al contado $135 000 y mensualidades de $713560 con una tasa de intereacutes de

2 mensual hasta terminar de pagar b) Precio al contado $139 000 30 de enganche y 18 mensualidades de $5 55156 iquestCuaacutel de los dos planes de creacutedito conviene maacutes

30 iquestA queacute intereacutes efectivo anual se tendriacutea que colocar una serie de 15 depoacutesitos bimestrales vencidos de $13 84044 para que en el momento de hacer el uacuteltimo depoacutesito se acumula-ran $250 000

31 Para pagar una deuda de $950 000 se abonan 7 mensualidades vencidas de $149 62066 iquestQueacute tasa nominal convertible mensualmente se cargoacute en la operacioacuten

32 iquestA queacute tasa efectiva bimestral se cobroacute un creacutedito de $42 000 si se cubrioacute mediante 18 pa-gos bimestrales vencidos de $3 37188

33 Un mueble fino se vende en $18 600 al contado o a creacutedito con un pago inicial de $1860 y 6 abonos mensuales vencidos de $2 999 iquestCuaacutel es el intereacutes nominal anual convertible mensualmente que se carga en la venta a creacutedito

34 iquestCuaacutel seraacute el monto que acumule Tatiana si realiza 14 depoacutesitos catorcenales de $14 000 cada uno en una cuenta de inversioacuten que rinde 14 de intereacutes anual nominal capitaliza-ble cada 14 diacuteas

35 Yuri desea ayudar a su mamaacute con los gastos del hogar y considera la posibilidad de ad-quirir una maacutequina de coser la cual le ofrecen con un enganche de $50623 y 24 abonos ldquofacilitosrdquo de $156 iquestCuaacutel es el precio al contado de la maacutequina si el banco le cobra un in-tereacutes de 45 mensual convertible quincenalmente

41 Introduccioacuten y terminologiacutea

httpwwwsectormatematicaclcontenidoshtmEn la seccioacuten de Contenido encontraraacute en la seccioacuten de Educacioacuten baacutesica una liga que trata sobre anualidades

httpwwwbanamexcomEncontraraacute simuladores personales (creacutedito automotriz creacutedito hipotecario creacutedito adela plan personal de pagos) en donde hay una clara aplicacioacuten del tema de anualidades

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElige la materia de Matemaacuteticas Financieras tema 7

httpconsecocomcspspanish_sitecalculatorsdefaultcalculatorshtmEncontraraacute informacioacuten importante con aplicacioacuten a casos reales sobre anualidades fi jas y va-riables Inclusive en algunas situaciones podraacute tener acceso a calculadoras por ejemplo para planear su retiro para saber cuaacutento ahorrar para gastos futuros etceacutetera

43 Monto

Matemaacuteticas en internet Anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas

httpagorapucpedupeeco3450821Teoriacutea de la renta casos y problemas 2 y 13

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxtemasmathtmElige la materia de Matemaacuteticas Financieras tema 7 ejercicios 1 2 y 3

httpwwwhomesteadcomcesdethProblemashtmlProblemas 2 y 6

44 Valor actual

httpwwwgestiopoliscomcanalesfi nancieraarticulosno2010anualidadeshtmConceptos y aplicaciones anualidades ordinarias y anticipadas

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxanualidades1htmAnualidades clasifi cacioacuten ejercicios para calcular el valor actual de las anualidades ejerci-cios 4 5 y 6

httpwwwhomesteadcomcesdethProblemashtmlProblema 4

45 Renta

httpagorapucpedupeeco3450821Teoriacutea de la renta casos y problemas 1 3 7 8 9 12 14 15 16 y 18

httpwwwhomesteadcomcesdethProblemashtmlProblemas 7 8 9 y 11

46 Plazo

httpagorapucpedupeeco3450821Teoriacutea de la renta casos y problemas 4 5 10 y 17

bull Definir y explicar queacute son las anualidades sim-ples ciertas anticipadas e inmediatas (ASCAI)

bull Plantear anualidades de este tipobull Identificar situaciones que pueden represen-

tarse mediante ASCAIbull Resolver problemas de anualidades anticipa-

das que impliquen el caacutelculo de

Monto Valor actual Renta Plazo Intereacutes Tasa de intereacutes

bull Resolver ejercicios y aplicaciones de anuali-dades anticipadas mediante el empleo de la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg

Objetivos 51 Introduccioacuten 52 Monto y valor actual 53 Renta plazo intereacutes y tasa de

intereacutes 54 Aplicaciones 55 Uso de Excel 56 Resumen

Temario

Anualidades anticipadas

CAPIacuteTULO5

CAPIacuteTULO 5 ANUALIDADES ANTICIPADAS200

51 IntroduccioacutenComo se expuso en el capiacutetulo anterior las anualidades se clasifi can de acuerdo con cuatro criterios

Criterio Tipo de anualidad

a) intereses simples y generales

b) tiempo ciertas y contingentes

c) pagos vencidas y anticipadas

d) iniciacioacuten inmediatas y diferidas

A partir de estas cuatro caracteriacutesticas se pueden presentar 16 tipos distintos de anualida-des de las cuales las maacutes comunes son las simples ciertas vencidas e inmediatas (ASCVI) que se estudiaron en el capiacutetulo anterior Aunque hay varias maneras de resolver los otros 15 tipos de anualidades para simplifi car el anaacutelisis se acostumbra abordarlas a partir de las foacutermulas ya vistas de las ASCVI

Para analizar los tipos de anualidades que restan por revisarse se les dividiraacute en cuatro grupos principales que son el objeto de este capiacutetulo y los siguientes

bull Anualidades anticipadasbull Anualidades diferidasbull Caso general de las anualidadesbull Anualidades contingentes

Por lo tanto en este capiacutetulo se hablaraacute de las anualidades anticipadas que seraacuten vistas en su caso simple (cuando el periodo de pago coincida con el de la capitalizacioacuten) ya que el caso general se analiza en otro capiacutetulo

Ademaacutes dado que las anualidades contingentes se analizan tambieacuten en otro capiacutetulo las anualidades anticipadas que se estudian en eacuteste son el caso cierto es decir son aquellas en las que se conocen con certeza las fechas de los periodos

Por ello en este capiacutetulo se veraacuten

bull Anualidades simples ciertas anticipadas e inmediatas (ASCAI)

Y como se observaraacute enseguida se haraacute mediante las foacutermulas ya conocidas de las anua-lidades simples ciertas vencidas e inmediatas (ASCVI)

n= + minus( )1 1

52 Monto y valor actualRevisando las caracteriacutesticas de estas anualidades puede decirse que son

bull Simples porque el periodo de pago corresponde al de capitalizacioacutenbull Ciertas porque las fechas y los plazos son fi jos y se conocen con anterioridadbull Anticipadas porque el inicio de los pagos o depoacutesitos se hacen al principio de los perio-

dos de pago y capitalizacioacuten (por anticipado)bull Inmediatas porque los pagos o depoacutesitos se inician en el mismo periodo en el que se forma-

liza la operacioacuten

Resulta uacutetil comparar mediante diagramas las anualidades vencidas y las anticipadas para comprender mejor la diferencia

Ejemplo 521

Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $250 al principio de cada mes Si la cuenta paga 03 mensual de intereacutes iquestcuaacutento habraacute ahorrado durante el primer antildeo

Solucioacuten

GRAacuteFICA 51

Si se observa el diagrama puede apreciarse que al considerar los 12 depoacutesitos de $250 como si fuera una anualidad vencida (como si el inicio de plazo hubiera sido en el perio-do minus1) la aplicacioacuten de la foacutermula del monto hace que se obtenga el valor de la anualidad en el periodo 11

+ minus= minus = minus( ) ( )

2501 003 1

0 003250

1 036612 110 003

M = 250(12199993) M = $3 050

52 Monto y valor actual

250 250 250 250 250 250 ndash1 0 1 2 3 10 11 12

R R R R R 0 1 2 n ndash 2 n ndash 1 n periodos Anualidad vencida

R R R R R 0 1 2 n ndash 2 n ndash 1 n periodos Anualidad anticipada

que seriacutea el monto el 1 de diciembre del antildeo en el momento de hacer el uacuteltimo depoacutesito Pero como se busca el monto al fi nal del plazo es decir un mes despueacutes hay que calcular el valor de este monto al cabo de un mes o

M = 3 050(1003) = $3 05915

que es el monto que se buscaY la foacutermula seriacutea entonces

= + minus +( )( )

1 11 (51)

Ejemplo 522

Otra manera de resolver el ejemplo anterior

n = 12 R = 250 i = 0003

De nueva cuenta si se considera que el plazo comienza en el periodo minus1 y se calcula el monto de 13 (trece) depoacutesitos se tendriacutea el siguiente caso

GRAacuteFICA 52

n= + minus( )1 1

y( ) ( )

1 1 1 003 1

0 0031 03971 1

13 13+ minus = minus = minus =ii

113 236593

que nos da el factor de acumulacioacuten de 13 depoacutesitos pero como el uacuteltimo que se realiza al fi nal del plazo (fi nales de diciembre) no estaacute incluido en una anualidad anticipada y ademaacutes estaacute a su valor real en esa fecha simplemente se resta al factor de acumulacioacuten para encontrar el valor que se busca

+ minusminus

⎣⎢

⎦⎥

+( )1 11

1 (52)

= minus minus⎡

⎣⎢

⎦⎥ = minus250

1 003 10 003

1 250 13 23659313( )

M = 250(12236593) = $3 05915

que es el mismo valor que se encontroacute antesEste meacutetodo es pues equivalente al anterior

250 250 250 250 250 250 0 1 2 10 11 12

Ejemplo 523

Encuentre el monto de 6 pagos semestrales anticipados de $14 500 si el intereacutes es de 19 convertible semestralmente

Solucioacuten n = 6 i = 0192 = 0095 R = 14 500

Meacutetodo 1

= + minus + = minus( )( )

1 14 5001 095 1

0 0951 09

M = 14 500(7618857)(1095) = 14 500(8342648) M = 120 96840

Meacutetodo 2

n= + minus minus

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

= minus+( ) ( )

1 11 14 500

1 095 10 0

9951minus

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

M = 14 500(9342648 minus1) = 14 500(8342648) M = 120 96840

Observe entonces que

( )( )1 1

11+ minus

+ =+ minus

minus+i

Ejemplo 524

Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $2 750 de renta por anticipado Como desea librarse del compromiso mensual de la renta decide proponer una renta anual equivalente y tambieacuten anticipada Si se calculan los intereses a razoacuten de 1560 convertible mensualmente iquestde cuaacutento deberaacute ser la renta anual

SolucioacutenEacuteste es el caso del valor actual de una anualidad anticipada

n = 12 R = 2 750 i = 0156012 = 00130 C =

En un diagrama

GRAacuteFICA 53

Observe que este caso se puede resolver calculando el valor actual de 11 rentas vencidas de $2 750 (las uacuteltimas rentas del antildeo) y sumaacutendole la primera renta que ya estaacute a su valor presente

C R Ri

minus + minus +1 1 1( )

C = + minus minus +2 750 2 750

1 1 0130 013

12 1( )

C = + minus minus2 750 2 750

1 1 0130 013

C = 2 750 + (2 750)(10188218) C = 2 750 + 28 01760 C = 30 76760

Observe que

C R Ri

n= + minus + minus +1 1 1( )

factorizando R

n= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( ) (53)

entonces

C = + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +R

1 1 1( )

= + minus⎡

⎣⎢

⎦⎥

minus +2 750 1

1 1 0130 013

12 1( )

C = 2 750(1 + 10188218) C = 2 750(11188218) C = 30 76760 que es la misma respuesta que se obtuvo antes

A 2 750 2 750 2 750

2 750 2 750

0 1 2 10 11 12

Ejemplo 525

Calcule el valor actual de 9 pagos semestrales de $50 000 con intereacutes de 528 semestral

a) Si se hacen por anticipadob) Si se hacen vencidosc) Determine y explique la diferencia entre a) y b)

Solucioacuten C = n = 9 R = 50 000 i = 00528

a) C = + minus⎡

⎣⎢

⎦⎥

minus +50 000 1

1 1 05280 0528

9 1( )

C = 50 000(1 + 6390684) C = $369 53420

b) C = minus minus=50 000

1 1 05280 0528

50 000 7 0200279( )

C = $35100135

c) 369 53420 minus 35100135 = $18 53285

Es mayor el valor actual de los pagos anticipados por $18 53285 dado que los pagos se hacen antes y comienzan a generar intereses maacutes pronto Se puede ver que $18 53287 son los intereses generados por $35100135 en un semestre (la diferencia de centavos se debe al redondeo)

35100135(00528) = 18 53287

53 Renta plazo intereacutes y tasa de intereacutesCuando se desea conocer cualquiera de estos tres conceptos se utilizan las foacutermulas de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas con las modifi caciones que se introdujeron en la seccioacuten anterior

Ejemplo 531

En una tienda se vende una bicicleta por $1800 al contado o mediante 5 abonos mensua-les anticipados Si el intereacutes que aplica la tienda es de 324 convertible mensualmente calcule el valor del pago

53 Renta plazo e intereacutes

Solucioacuten n = 5 i = 032412 = 0027 C = 1800

minus +⎡

⎣⎢

⎦⎥

minus +1

1 1 1( ) (53)

+minus +⎡

⎣⎢

⎦⎥

=+ minusminus + minus +

11 1 0271 5 1( ) ( )

00 027

R =1 800

4 743920 R = $37943

Ejemplo 532

La sentildeora Gavaldoacuten debe pagar $90 000 dentro de 2 antildeos y para reunir esta cantidad de-cide hacer 12 depoacutesitos bimestrales en una cuenta de inversioacuten que rinde 12 bimestral de intereacutes iquestDe cuaacutento deben ser sus depoacutesitos si hoy realiza el primero

Solucioacuten n = 12 i = 0012 R = M = 90 000

n= + minus minus

⎣⎢

⎦⎥

+( )1 11

n=+ minus minus

=minus minus

+( ) ( )

90 0001 012 1

0 0121

=90 000

12 978447 R = $6 93457

Ejemplo 533

En un almaceacuten se vende un mueble de comedor por $4 600 al contado o mediante pagos mensuales anticipados de $51169 Si el intereacutes es de 2940 convertible mensualmente iquestcuaacutentos pagos es necesario hacer

Solucioacuten C = 4 600 n = i = 0294012 = 00245 R = 51169

minus +⎡

⎣⎢

⎦⎥

minus +1

1 1 1( ) (53)

( )= + minus + minus +1

(C R i i n ) ( )minus = minus + minus +1 1 1 1

( ) ( )Ci R i i nminus = minus + minus +1 1 1

( ) ( )1 11+ = + minusminus +i i Ci Rn

(minusn + 1) log (1 + i) = log [1 + i minus (CiR)]

minus + =+ minus⎡⎣ ⎤⎦

i Ci R

log ( )

ni Ci R

iminus = minus

+ minus⎡⎣ ⎤⎦+

log ( )

log( )

ni Ci R

i= minus

+ minus⎡⎣ ⎤⎦+

log ( )

log( ) (54)

n = minus+ minus

⎣⎢

⎦⎥

11 0 0245

4 600 0 0245511 69

log ( )

log(( )1 0245

n = minus minus1

1 0245 0 2202511 0245

log ( )log

n = minus10 804249

1 0245log( )

log( )

= minusminus

10 094609

0 010512

n = 1 + 9 n = 10 habriacutea que hacer 10 pagos

Ejemplo 534

La sentildeora Ramiacuterez piensa jubilarse luego de reunir $2 000 000 mediante depoacutesitos men-suales de $5 000 de las ganancias que obtiene de su negocio Si invierte sus depoacutesitos a una tasa de intereacutes de 025 mensual e inicia a partir del diacutea de hoy iquesten cuaacutento tiempo reuniraacute la cantidad que desea

Solucioacuten R = 5 000

M = 2 000 000 i = 00025

+ minusminus

⎣⎢

⎦⎥

+( )1 11

1 (52)

2 000 000 5 0001 0025 1

0 00251

1= minus minus

⎣⎢

⎦⎥

2 000 0005 000

1 0 0025 1 1 0025+⎛

⎝⎜

⎠⎟

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

+ = ( ))n + 1

(10025)n + 1 = 20025 (n + 1) ln (10025) = ln 20025

n = minus = minus =lnln

2 00251 0025

10 6943960 002497

09 1minus

n = 27709

Entonces en 277 meses y aproximadamente 3 diacuteas reuniriacutea lo que desea La sentildeora Ramiacuterez deberaacute ahorrar poco maacutes de 23 antildeos para poder reunir su fondo de jubilacioacuten

Ejemplo 535

iquestA queacute tasa de intereacutes anual 6 depoacutesitos anuales anticipados de $25 000 equivalen a un valor actual de $75 000

Solucioacuten C = 75 000

R = 25 000 n = 6 i =

minus +⎡

⎣⎢

⎦⎥

minus +1

1 1 1( )

75 000 25 000 11 1 6 1

= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +( )ii

75 00025 000

11 1 5

minus = minus + minus( )ii

21 1 5

=minus + minus( )i

Al igual que se ha hecho antes i se determina mediante un proceso de interpolacioacuten cuyo primer paso consiste en aproximarla mediante ensayos

Si i = 0501 1

1 736625515minus +

=minus( )

i = 040 = 203516392i = 041 = 200138079i = 0411 = 199805612i = 04105 = 199971725

y al interpolar

GRAacuteFICA 54

i minus

minus= minus0 4100

0 4105 0 41002 2 00138079

1 9997172

55 2 00138079minus

i minus = minus

minus=0 4100

0 00050 001380790 00166354

003114

i minus 04100 = 083003114(00005) = 000041502 i = 041041502

o aproximadamente 4104 anual

Ejemplo 536

iquestA queacute tasa de intereacutes anual 15 depoacutesitos anuales anticipados de $800 acumulan un monto de $200 000

SolucioacutenM = 200 000

n = 15 R = 800 i =

+ minusminus

⎣⎢

⎦⎥

+( )1 11

1 (52)

200 000 8001 1

= + minus minus⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

200 000800

11 116

+ = + minus( )ii

2511 116

=+ minus( )i

04100 i 04105

200138079 2 199971725

Al ensayar valores

Si i = 030( )

218 472203116+ minus

si i = 030 ( )1 116+ minusi

i = 2184722031

i = 035 = 3448969512i = 032 = 2623556798i = 031 = 2394234901i = 0315 = 250631167i = 03155 = 2517799928i = 03152 = 251090076i = 031515 = 2509752711i = 031516 = 250998228i = 0315161 = 2510005238i = 03151605 = 2509993759i = 03151608 = 2510000646i = 031516075 = 2509999498

E interpolando

GRAacuteFICA 55

i minusminus

= minus0 315160750 31516080 0 31516075

251 250 9

9999498251 0000646 250 9999498 minus

i minus = =0 315160750 00000005

0 00005020 0001148

43728223

i minus 031516075 = 043728223(000000005) = 000000002 i minus 031516075 = 000000002 i = 031516075 + 000000002 i = 031516077

o 3152 aproximadamente

Verifi cando

8001 31516077 1

0 315160771 2

( ) minus

minus⎡

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

= 000 000

031516075 i 031516080

2509999498 251 2510000646

En este ejemplo la aproximacioacuten fue tan prolongada mediante los ensayos porque las cifras del monto y el plazo eran grandes si no se hubiera hecho la aproximacioacuten tan deta-llada el error debido a la interpolacioacuten seriacutea considerable

Debe destacarse el monto tan grande que se obtiene a partir de un depoacutesito relativa-mente pequentildeo Ello ejemplifi ca los efectos de las altas tasas de infl acioacuten y de intereacutes

Ejercicios del capiacutetulo 5

1 En las mismas condiciones iquestqueacute tipo de anualidades produce un monto mayor una vencida o una anticipada iquestPor queacute

2 En las mismas condiciones iquestqueacute tipo de anualidades genera un valor actual mayor una vencida o una anticipada iquestPor queacute

3 iquestCuaacutel es la renta semestral adelantada equivalente a una renta mensual adelantada de $660 si el intereacutes es de 2252 anual convertible mensualmente

4 Cada 2 meses el diacutea 25 se depositan $1000 en un fondo de inversioacuten que paga 4 convertible bimestralmente iquestCuaacutento se habraacute acumulado en el fondo un instante antes de realizar el vigesimocuarto depoacutesito

5 Un arquitecto desea ahorrar $4 000 mensuales durante 5 antildeos Si sus ahorros ganan 54 convertible mensualmente iquestcuaacutento habraacute acumulado al mes siguiente del uacutelti-mo depoacutesito

6 Una empresa debe cubrir el 23 de octubre un pagareacute que emitioacute Para cumplir con su obligacioacuten se depositaron $8 71652 los diacuteas 23 de los meses de enero a septiembre en una cuenta que paga 06 mensual de intereacutes Si con lo acumulado en la cuenta se liquidoacute el pagareacute iquestcuaacutel era el valor de eacuteste en su fecha de vencimiento

7 Para adquirir un automoacutevil a creacutedito se deben pagar 48 abonos mensuales de $4 900 comenzando en el momento de la entrega del vehiacuteculo Si los intereses que se cobran son a razoacuten de 15 convertible cada mes iquestcuaacutel es el valor al contado de los pagos

8 iquestQueacute conviene maacutes para quien cobra a) recibir 14 pagos mensuales vencidos de $102644 o b) recibir 14 pagos mensuales anticipados de $1000 si el intereacutes es de 15 mensual

9 Un profesional joven desea reunir $300 000 en 5 antildeos para dedicarse a viajar un tiem-po Si puede depositar cierta cantidad a 132 capitalizable al mes y bajo el supuesto de que en todo ese tiempo no cambia la tasa de intereacutes iquestcuaacutento deberaacute depositar cada mes con el objeto de reunir la cantidad que desea exactamente antes de realizar el uacutel-timo depoacutesito

10 iquestQueacute renta anual anticipada es equivalente a una renta mensual anticipada de $680 a una tasa de 25 convertible mensualmente

11 iquestEl monto de una anualidad anticipada es igual al monto a intereacutes compuesto de su valor actual Ilustre la respuesta con un ejemplo

12 iquestA queacute tasa de intereacutes efectivo anual 10 pagos mensuales anticipados de $600 se con-vierten en un monto de $7 000

13 Una empresa de seguros hace preacutestamos a sus empleados con maacutes de 10 antildeos de an-tiguumledad y cierto nivel de sueldo en las siguientes condiciones

Importe del preacutestamo $10 000 Plazo 18 meses Pago 18 abonos mensuales de $62863 comenzando en el momento de entregar el

preacutestamo iquestQue intereacutes anual convertible mensualmente les cobra14 Considere las dos operaciones siguientes

a) 5 pagos semestrales anticipados de $2 250 para liquidar un monto de $16 000 que teniacutea este valor un semestre despueacutes del uacuteltimo pago

b) 30 pagos mensuales anticipados de $89572 para liquidar un valor actual de $20 000 iquestEn queacute operacioacuten se pagoacute maacutes intereacutes15 iquestCon cuaacutentos pagos anticipados de $62384 realizados cada principio de mes se al-

canza un monto de $15 000 si el dinero rinde 297 mensual16 Para pagar la adquisicioacuten de una computadora con precio de $18 000 una empresa

hizo pagos iguales de $315046 al comienzo de cada uno de 6 meses a partir del mo-mento en que se recibioacute el equipo iquestqueacute tasa mensual de intereacutes pagoacute

17 El administrador del club de futbol ldquoLos Invenciblesrdquo estaacute evaluando la compra de un nuevo autobuacutes para transportar a los jugadores Una arrendadora financiera le ofrece un plan de compra mediante el pago de 36 mensualidades anticipadas de $19 68235 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes nominal anual que carga la arrendadora si el precio del auto-buacutes es de $485 750

18 Si ademaacutes de las 36 mensualidades anticipadas el equipo debe pagar 5 del valor del autobuacutes como opcioacuten de compra un mes despueacutes de concluido el pago de los abonos mensuales iquestcuaacutel seriacutea el valor actual de los pagos que deben realizarse para adquirir el autobuacutes

19 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes que se paga en la compra de una computadora que se ofrece mediante 96 pagos fijos semanales de $285 si tiene un valor al contado de $17 71075

20 iquestCuaacutel es el valor actual de los pagos que se erogariacutean para adquirir la computadora del ejemplo anterior si a) la tasa de intereacutes del mercado fuera de 36 anual b) la tasa de intereacutes fuera de 24 anual c) la tasa de intereacutes fuera de 12 anual d) Comente los resultados

54 AplicacionesLas aplicaciones de las anualidades simples ciertas anticipadas e inmediatas (ASCAI) son di-versas pero se destacan las compras a plazo con enganche las compras de seguros y los pagos de renta Una aplicacioacuten comuacuten se ilustra a continuacioacuten

541 Compras a plazo con enganche

Como herramienta promocional muchas tiendas que venden en abonos ofrecen a sus clien-tes pagos a plazo ldquosin interesesrdquo o bien descuentos sobre los precios de lista si se realiza el pago al contado El sobreprecio que existe entre el precio con descuento y el precio ldquoal contadordquo que en la praacutectica comercial suele ser muy elevado constituye el intereacutes que carga la tienda por la venta a plazos como se ilustra en el ejemplo siguiente cuya informacioacuten fue tomada de internet

Ejemplo 541

Una tienda de departamentos ofrece en venta un televisor El precio al contado es de $5 999 o bien puede adquirirse mediante 24 pagos quincenales de 310

bull iquestCuaacutel es el sobreprecio que aplica la tienda en sus ventas a creacutedito si se considera que la tasa de intereacutes del mercado es de 6 anual y los pagos se realizan en forma anticipada

bull iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes quincenal que carga la tienda por la compra a plazos bull iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes efectiva anual que cobra la tienda

En este caso se estaacute en presencia de una anualidad simple cierta anticipada e in-mediata (ASCAI) Por su parte el valor actual de los pagos quincenales que realizariacutea el comprador se determina utilizando la foacutermula (53)

n= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( )

En la misma se sustituyen los valores conocidos

Pago perioacutedico = $310Nuacutemero de periodos = 24Tasa de intereacutes = 6 anual convertible quincenalmente = 624

n= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( )

C = + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +310 1

1 1 0 06 240 06 24

24 1( )

C = + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus310 1

1 1 0 00250 0025

C = + minus⎡

⎣⎢

⎦⎥310 1

1 0 9441900 0025( )

C = +⎡

⎣⎢

⎦⎥310 1

0 0558100 0025

54 Aplicaciones

C = 310[1 + 223241] C = 310[233241] C = 7 23048

Asiacute el valor actual de los 24 pagos quincenales anticipados que realiza el compra-dor seriacutea de $7 23048 dada una tasa de intereacutes de mercado de 6 anual capitalizable quincenalmente El sobreprecio que debe asumir el comprador es de $123148 esto es 7 23048 minus 5 99900

Para determinar la tasa de intereacutes que aplica la tienda es necesario observar el pro-cedimiento descrito en el ejemplo 535 donde se ensayan valores para distintos valores de i considerando que

n= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( )

nminus = minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( )

5 999310

11 1 23

minus = minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus( )ii

18 35161 1 23

( )= minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minusii

Ensayando valores de i se tiene

Si i = 002 1 1

18 292223minus +⎡

⎣⎢

⎦⎥ =

minus( )

Si i = 0019 1 1

18 493423minus +⎡

⎣⎢

⎦⎥ =

minus( )

Si i = 00195 1 1

18 392423minus +⎡

⎣⎢

⎦⎥ =

minus( )

Por lo tanto la tasa de intereacutes se encuentra entre 00195 y 002 Interpolando se puede comprobar que la tasa que iguala ambos valores es 00197 Por lo tanto la tasa de intereacutes quincenal que cobra la tienda es de 197 y la tasa de intereacutes efectiva seriacutea

ie = (1 + i)n minus 1ie = (1 + 00197)24 minus 1

ie = 15971 minus 1 ie = 15971 minus 1

ie = 05971 = 5971

En consecuencia la tasa de intereacutes efectiva anual que cobra la tienda es de 5971 que resulta sumamente elevada cuando las condiciones de infl acioacuten no superan 5-10 anual

55 Uso de ExcelAl igual que en el capiacutetulo 4 en esta seccioacuten se resuelven los ejercicios del capiacutetulo mediante el empleo de funciones de Excel disentildeadas para simplifi car el caacutelculo de una serie de pagos perioacute-dicos conocidos como anualidades En el caso de las anualidades anticipadas estas foacutermulas se aplicaraacuten en combinacioacuten con las capacidades normales de caacutelculo de esta hoja de trabajo

Las funciones que se aplican a ejercicios de anualidades anticipadas son

bull Monto de una anualidad (VF)bull Capital o valor actual de una anualidad (VA)

551 Monto y valor actual (seccioacuten 52)

En el ejemplo 521 se muestra la determinacioacuten del monto de un depoacutesito mensual anticipado de $250 durante un antildeo Para resolverlo se aplica la foacutermula del monto de una anualidad sim-ple cierta vencida e inmediata adicionaacutendole el intereacutes devengado por un periodo adicional puesto que el pago se realiza de manera anticipada con lo que se tiene la foacutermula (51)

= + minus⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

+( )( )

1 11 (51)

En la hoja de caacutelculo de Excel este problema se soluciona como se ha visto en secciones anteriores mediante las operaciones aritmeacuteticas de Excel (suma resta multiplicacioacuten divi-sioacuten y exponenciacioacuten) o bien utilizando sus funciones predefi nidas

La foacutermula de Excel para calcular el monto compuesto de una anualidad o valor futuro (VF) que se estudioacute en secciones anteriores es

en donde

tasa es la tasa de intereacutes por periodo expresada como tanto por unonper es el nuacutemero total de periodos de pagopago es el pago que se efectuacutea cada periodo va es el capital o valor actual total de una serie de pagos futurostipo se puede anotar (es un valor optativo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacuten-do vencen los pagos Si se anota 0 se calcula el monto de un pago vencido como es un pa-raacutemetro optativo si se omite el monto se calcula para un pago vencido Si se anota un 1entonces se calcula como un pago anticipado Para los efectos de las anualidades anticipadas que se estudian en esta seccioacuten deberaacute capturarse siempre un 1

55 Uso de Excel

Sustituyendo los valores del ejemplo 521 se tiene

=VF(000312minus2501)

En alguna celda de una hoja de trabajo de Excel se obtiene como resultado $3 05915 que es igual a resultado que se obtuvo en el texto Las opciones para la solucioacuten de este ejemplo en la hoja de Excel se ilustran a continuacioacuten

Los resultados que arrojan son praacutecticamente iguales y la pequentildea diferencia se debe al redondeo

Es importante hacer aquiacute las siguientes observaciones

bull La tasa se expresa como tanto por uno (0003) que equivale al 03 mensual estipulado en el ejemplo

bull En el nuacutemero de periodos (nper) se indica el nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten que se consideran En este caso 12 meses

bull El pago como ya se indicoacute es 250 y se anota precedido de un signo negativo puesto que se trata de una erogacioacuten del obrero ahorrador

bull El capital o valor actual (Va) se dejoacute en blanco por lo que aparecen dos comas juntasbull El tipo de la anualidad es anticipada por lo que se anotoacute el nuacutemero 1

En el caso de la foacutermula que aparece en la columna D es recomendable iniciar su cons-truccioacuten a partir de la foacutermula (1 + i)n la cual se expresa en Excel como (1 + i)^n y a partir de la misma eslabonar las operaciones de suma resta multiplicacioacuten o divisioacuten que se requieran encerrando cada una con su pareacutentesis correspondiente

En el ejemplo 522 se determina el monto del depoacutesito utilizando la foacutermula de una anualidad simple cierta vencida e inmediata de 13 pagos a la cual se le descuenta el valor del uacuteltimo pago que no se realiza puesto que soacutelo se efectuaron doce pagos (uno anticipado y once vencidos)

La foacutermula aplicable es la (52)

n= + minus minus

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

( )1 11

La solucioacuten en Excel se ilustra a continuacioacuten

que son praacutecticamente los mismos resultados que se presentaron en el texto (las pequentildeas dife-rencias se deben a redondeos)

En el ejemplo 523 se solicita el monto de seis pagos semestrales anticipados de $14 500 si el intereacutes es de 19 convertible semestralmente La solucioacuten en Excel se presenta a continuacioacuten

que es exactamente el resultado que se tiene en el textoEn el ejemplo 524 se pide determinar una renta anual anticipada que sustituya a una

renta mensual de $2 750 considerando una tasa de 1560 convertible mensualmente A con-tinuacioacuten se muestra la solucioacuten cuando se utilizan las opciones que ofrece Excel tomando en consideracioacuten que en este caso se solicita el Valor actual o Valor presente por lo que se utili-zaraacute la funcioacuten VA de la hoja de caacutelculo

tasa es la tasa de intereacutes por periodonper es el nuacutemero total de periodos de pagopago es el pago que se efectuacutea cada periodo vf es el monto o valor futuro total de una serie de pagos futuros tipo es el tipo de anualidad vencida (0) anticipada (1)

asiacute como la foacutermula (53) para determinar el valor presente de una anualidad anticipada

n= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( ) (53)

55 Uso de Excel

Los resultados como se puede apreciar son ideacutenticos a los que se presentaron en el textoEn el ejemplo 525 se pide calcular el valor actual de 9 pagos semestrales de $50 000 con in-

tereacutes de 528 semestral con pagos anticipados y vencidos La solucioacuten en Excel se ilustra a continuacioacuten

Pagos anticipados

Pagos vencidos

Los resultados son ideacutenticos a los que se muestran en el desarrollo de la seccioacuten

552 Renta plazo intereacutes y tasa de intereacutes (seccioacuten 53)

Como se menciona en la seccioacuten 53 para conocer cualquiera de estos tres conceptos se uti-lizan las foacutermulas de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas con las modifi ca-ciones vistas en la seccioacuten 52

n= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( )

n= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( )

n= minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus1 1( )

En el ejemplo 531 se pide determinar el importe del pago de cada uno de cinco abonos mensuales para adquirir una bicicleta cuyo valor al contado es de $1800 si la tasa de intereacutes que aplica la tienda es de 324 anual convertible mensualmente La solucioacuten en Excel es la siguiente

El ejemplo 532 plantea el problema de la determinacioacuten del pago anticipado bimestral que debe realizarse para reunir un monto de $90 000 en un plazo de dos antildeos si la tasa de in-tereacutes que paga es de 12 bimestral La solucioacuten se ilustra en el siguiente cuadro utilizando los operadores matemaacuteticos de Excel (+ minus ^)

El resultado que se obtiene es la misma cantidad que aparece en el textoEl ejemplo 533 ilustra la determinacioacuten del nuacutemero de pagos mensuales anticipados de

$51169 que se requiere efectuar para adquirir un comedor que vale $4 600 al contado si la tasa de intereacutes que aplica la tienda es de 2940 anual convertible mensualmente Para resol-verlo se parte de la foacutermula (53)

n= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( )

de la cual se despeja n con lo cual se obtiene la foacutermula (54)

ni Ci R

i= minus + minus

log [ ( )]log ( )

55 Uso de Excel

+ minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( )

+ minus minus+( )1 1

que seraacute resuelta con la funcioacuten de logaritmo y con los operadores propios de la hoja de Excel como se ilustra a continuacioacuten

El resultado muestra que deben hacerse 10 pagosLa foacutermula de la funcioacuten de logaritmo es la siguiente

LOG(nuacutemerobase)

nuacutemero es el nuacutemero real positivo para el que se desea obtener el logaritmo ybase es la base del logaritmo Si se omite se supone que es 10

Asiacute en el ejemplo el logaritmo base 10 de (1 + i) se expresa como sigue

LOG((1+029412)10)

El ejemplo 534 ilustra el caso de un fondo de jubilacioacuten que paga 025 mensual de in-tereacutes en el cual se desea acumular $2 000 000 mediante depoacutesitos mensuales anticipados de $5 000 Y se desea conocer el tiempo que se requiere

Para solucionar este problema se recurrioacute a los logaritmos naturales a fi n de demostrar que es equivalente el empleo de logaritmos naturales logaritmos base 10 o cualquiera otra base que se considere uacutetil en un caso particular La foacutermula de la funcioacuten de Excel de los loga-ritmos naturales es

LN(nuacutemero)

Nuacutemero es el nuacutemero real positivo para el que se desea obtener el logaritmo

Dado que la base seraacute siempre la misma uacutenicamente se requiere dar el nuacutemero del cual se desea obtener el logaritmo

BaseNuacutemero

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩

La solucioacuten en Excel se muestra a continuacioacuten

El resultado que se muestra 27710 meses es praacutecticamente el mismo del textoPara determinar la tasa de intereacutes que se plantea en los ejemplos 535 y 536 existe la fun-

cioacuten de Excel denominada TASA que contiene los siguientes argumentos

nper es el nuacutemero total de periodos de pago en una anualidadpago es el pago efectuado en cada periodo que no puede variar durante la vida de la anuali-dad Por lo general el argumento pago incluye el capital y el intereacutes pero no incluye ninguacuten otro arancel o impuesto Si se omite el argumento pago deberaacute incluirse el argumento vfva es el valor actual es decir el valor que tiene actualmente una serie de pagos futurosvf es el valor futuro o el saldo en efectivo que se desea lograr despueacutes de efectuar el uacuteltimo pago Si el argumento vf se omite se supone que el valor es 0 (por ejemplo el valor futuro de un preacutestamo es 0)tipo es el nuacutemero 0 o 1 e indica el vencimiento de los pagos

Defi na tipo como Si los pagos vencen

0 u omitido Al final del periodo

1 Al inicio del periodo

estimar es la estimacioacuten de la tasa de intereacutes

bull Si el argumento estimar se omite se supone que es 10 bull Si TASA no converge trate de usar diferentes valores para el argumento estimar TASA

generalmente converge si el argumento estimar se encuentra entre 0 y 1

El sistema realiza una serie de aproximaciones sucesivas para determinar el valor de i y en caso de que no converja con su valor despueacutes de realizar diez iteraciones devolveraacute la le-yenda iexclNUM

55 Uso de Excel

56 ResumenEn este capiacutetulo se revisaron las anualidades

bull Simples el periodo de pago corresponde al de capitalizacioacutenbull Ciertas las fechas y los plazos son fi jos y se conocen con anticipacioacutenbull Anticipadas el inicio de los pagos o depoacutesitos se hacen al principio de los periodosbull Inmediatas los pagos o depoacutesitos se inician en el mismo periodo en el que se formaliza la

operacioacuten

Se vio que este tipo de anualidades se pueden manejar con las ya conocidas foacutermulas de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas y que soacutelo se requieren pequentildeas modifi -caciones para tomar en cuenta que los pagos o depoacutesitos se hacen por anticipado

bull Explicar queacute es una anualidad simple cierta anticipada e inmediata (ASCAI)bull Identificar situaciones que puedan representarse mediante este tipo de anualidadesbull Plantear problemas de este tipobull Resolver ejemplos que impliquen su uso y determinar el monto el valor actual o capital

la tasa de intereacutes y el plazo seguacuten sea necesariobull Resolver ejercicios y aplicaciones de anualidades anticipadas utilizando la hoja de caacutelcu-

lo de Microsoftreg Excelreg

bull Anualidad anticipada

= + minus +( )( )

1 11 (51) C R

n= + minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus +1

1 1 1( ) (53)

+ minusminus

⎣⎢

⎦⎥

+( )1 11

(52) ni Ci R

i= minus

+ minus⎡⎣ ⎤⎦+

log ( )

log( ) (54)

1 Explique queacute es una anualidad simple cierta anticipada e inmediata 2 Deacute un ejemplo de este tipo de anualidad 3 En el caso de una anualidad mensual anticipada de $1000 durante 15 meses a 1 men-

sual calcule monto y valor actual iquestQueacute relacioacuten existe entre ambos 4 iquestA queacute renta anual anticipada equivale una renta trimestral anticipada de $995 si el inte-

reacutes es de 10 convertible cada 3 meses 5 Con su nuevo negocio Julio obtiene utilidades mensuales superiores a los $3 000 Para

crear una reserva con el objeto de ampliar sus actividades decide hacer depoacutesitos men-suales de $500 en un fondo de inversioacuten que paga 143 mensual iquestCuaacutento habraacute acumu-lado exactamente antes de realizar el trigeacutesimo abono

6 Si se puede adquirir un artiacuteculo pagando $500 de inmediato y 4 abonos bimestrales por la misma cantidad iquestcuaacutel es su valor al contado si se consideran intereses a razoacuten de 32 convertible con la misma periodicidad que los pagos

7 El costo de una poacuteliza grupal de seguro para automoacuteviles es de $220 mensuales que se de-ben pagar por adelantado Si se aplican intereses a 13 anual convertible cada mes iquestcuaacutel es el valor anual de la poacuteliza que tambieacuten se debe pagar por adelantado

8 Para saldar una deuda el doctor Domiacutenguez acuerda pagar $675 al principio de cada uno de 36 meses Si el intereacutes es de 18 convertible mensualmente iquestcuaacutel es el valor de los pa-gos que faltan

a) exactamente antes de realizar el quinto pago b) exactamente antes de hacer el decimoquinto pago c) Si despueacutes de hacer 5 pagos deja de hacer otros 4 iquestcuaacutento tendriacutea que pagar al ven-

cimiento del siguiente pago para ponerse al corriente 9 Se renta un terreno comercial por $15 650 anuales anticipados a 162 convertible men-

sualmente iquestCuaacutel es la renta mensual anticipada equivalente10 El 3 de marzo se adquirioacute un equipo de sonido que teniacutea un precio al contado de $12 350

y se acordoacute pagarlo mediante abonos bimestrales comenzando en el momento de la ad-quisicioacuten y para terminar el 3 de enero del antildeo siguiente Si los intereses ascienden a 236 convertible bimestralmente iquestde cuaacutento fueron los pagos

11 iquestCon queacute depoacutesito semestral anticipado se acumula un monto de $35 000 justamente an-tes de realizar el deacutecimo si se consideran intereses de 75 semestral

12 El 14 de enero Montserrat contrajo un preacutestamo por $5 000 que convino en liquidar me-diante abonos mensuales anticipados de $54108 comenzando en el momento de realizar la operacioacuten Si el intereacutes convenido fue de 18 mensual iquesten queacute fecha terminaraacute de pagar

13 Con un pago de $58179 realizado el 27 de octubre se termina de pagar una deuda que teniacutea un valor de $5 550 en su fecha de vencimiento el 27 de noviembre siguiente Si la operacioacuten se realizoacute a 19 mensual y se hicieron pagos iguales mensuales anticipados iquesten queacute fecha se realizoacute el primero de ellos

14 Para comprar un abrigo que cuesta $7 995 al contado se ofrece el siguiente plan de creacutedito 7 pagos mensuales de $1270 a partir del momento de la compra iquestQueacute intereacutes se carga en la operacioacuten

15 Se ofrecen en venta casas a creacutedito que se entregan un antildeo despueacutes de hecha la solicitud En el momento de la entrega se debe pagar un enganche de $22 500 Si la compantildeiacutea acep-ta recibir a cambio del enganche 12 mensualidades anticipadas de $2 00050 iquestqueacute tipo de intereacutes anual convertible mensualmente es el que paga la compantildeiacutea

httpusuarioslycosesmatematicsegundahtmeje1Ejercicios de anualidades anticipadas

httpwwwfordcreditcommxfi nanciamientoindexhtmlAplicacioacuten praacutectica de las anualidades anticipadas para el fi nanciamiento de un automoacutevil

Matemaacuteticas en internet Anualidades anticipadas

bull Definir y explicar queacute es una anualidad diferidabull Identificar y planear operaciones que pue-

dan resolverse mediante los meacutetodos de las anualidades diferidas

bull Planear y resolver problemas de anualidades diferidas que impliquen el caacutelculo de

bull Planear y resolver problemas de anualidades diferidas que impliquen operaciones equiva-lentes

bull Resolver ejercicios y aplicaciones de anuali-dades diferidas utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg

intereacutes 64 Uso de Excel 65 Resumen

Temario

Anualidades diferidas

CAPIacuteTULO6

CAPIacuteTULO 6 ANUALIDADES DIFERIDAS226

61 IntroduccioacutenYa se han explicado los casos de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas y las anticipadas en los capiacutetulos 4 y 5 En eacuteste se analizan las anualidades diferidas

Al igual que en el capiacutetulo anterior se reduce el anaacutelisis a las anualidades simples y ciertas ya que sus contrapartes los casos generales y contingentes son materia de otros capiacutetulos

Tal como se vio al presentar la clasifi cacioacuten de las anualidades las diferidas surgen del criterio de clasifi cacioacuten referente al momento en que se inician los pagos o abonos

Las anualidades diferidas son aquellas en las que el inicio de los cobros o depoacutesitos se pospone para un periodo posterior al de la formalizacioacuten de la operacioacuten Al igual que con las anualidades anticipadas tampoco se requieren nuevas foacutermulas ya que se manejan las mis-mas expresiones que se utilizan para las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas Soacutelo es necesario hacer las modifi caciones pertinentes para considerar la postergacioacuten del inicio de los pagos o depoacutesitos

62 Monto y valor actualSe ilustran estos conceptos a traveacutes de los siguientes ejemplos

Ejemplo 621

En octubre un almaceacuten ofrece al puacuteblico un plan de venta de ldquoCompre ahora y pague despueacutesrdquo Con este plan el arquitecto Serviacuten adquiere un escritorio que recibe el 1o de noviembre y que debe pagar mediante 12 mensualidades de $180 a partir del 1o de enero del antildeo siguiente Si se considera un intereacutes de 36 anual convertible mensualmente iquestcuaacutel es el valor al contado del mueble

Solucioacuten

El pago se pospone durante un periodo Si consideramos soacutelo los 12 pagos (de enero a diciembre del antildeo siguiente)

n= minus + = minus + =

minus minus1 1180

1 1 0 36 120 36 12

1812( ) ( )

1 1 030 03

180 9 954004 1 791 72

12minus

minus( )

( ) $ C

Es decir $1 79172 seriacutea el valor al 1o de diciembre ya que se calculoacute el valor ac-tual de una anualidad vencida (la foacutermula de siempre) durante 12 periodos y el inicio del primero de ellos es precisamente el 1o de diciembre Lo uacutenico que resta hacer es

Nov 1 Dic 1 Ene 1 Feb 1 Nov 1 Dic 1

C 180 180

180 180

calcular el valor actual de 1 79172 en un mes atraacutes que es cuando el comprador reci-bioacute el escritorio

C = 1 79172(103)minus1 = 1 79172(0970874) C = 1 73954

y en resumen

C = minus minusminus180

1 1 030 03

1 0312

C = 180(9954004)(0970874) C = $1 73954

Como puede verse en este ejemplo y los restantes del capiacutetulo en el caso de las anua-lidades diferidas lo que se hace es encontrar el valor actual (o monto) de la anualidad vencida e inmediata correspondiente (1 79172 en este caso) y luego trasladarla tantos pe-riodos hacia atraacutes como sea necesario Esto es en otras palabras el planteamiento de la ecuacioacuten de equivalencia apropiada

Ejemplo 622

Calcular el valor actual de una renta semestral de $6 000 durante 7 antildeos si el primer pago semestral se realiza dentro de 3 antildeos y el intereacutes es de 17 semestral

Solucioacuten

Aunque ya hemos sentildealado y apreciado su importancia conviene aquiacute destacar la uti-lidad de los diagramas de tiempo y valor para representar las caracteriacutesticas de las situa-ciones que se analizan ya que en este ejemplo hubiera sido faacutecil caer en la conclusioacuten de que el uacuteltimo pago seraacute en la fecha 20 y no la 19 Como se ve en la graacutefi ca ldquodurante 7 antildeosrdquo equivale a ldquodurante 14 semestresrdquo y 14 pagos semestrales que se inician al fi nal del sexto periodo (ldquodentro de 3 antildeosrdquo) terminaraacuten con el pago realizado al fi nal del periodo 19 (para verifi car esta afi rmacioacuten se sugiere contar los pagos uno por uno) Entonces

= minus

minusminus6 000

1 1 170 17

6 000 5 22929

145( )

( 99 0 45611114 310 85

)( )C =

Semestres

Hoy 1 2 3 4 5 6 7

17 18 19

6 000 6 000 6 000 6 000 6 000

Observe tambieacuten que aun cuando se hacen 14 pagos de $6 000 su valor actual es soacutelo ligeramente superior al de dos de ellos (14 31085) por la elevada tasa de intereacutes y el pro-longado plazo

Ejemplo 623

iquestCuaacutel es el monto de la anualidad planteada en el ejemplo 622 En forma graacutefi ca de nuevo

El monto se puede calcular como el de una anualidad vencida y en este caso la pos-posicioacuten en realidad ya no tiene efecto sobre el comportamiento de la anualidad Por ello la consideracioacuten de si la anualidad es diferida o inmediata carece de intereacutes cuando lo que se requiere determinar es el monto

n= + minus

= minus =

6 0001 17 1

0 176 000 47 10

1422672

282 616 03

y ya que conocemos el valor actual de la operacioacuten se puede tambieacuten calcular el monto como el valor a futuro del valor actual o

M = $14 31085(117)19 = 14 31085(19748375) M = $282 61603

Ejemplo 624

El 12 de enero una persona acuerda pagar su deuda mediante 8 pagos mensuales de $3 500 el primero de los cuales debe efectuar el 12 de julio del mismo antildeo Si despueacutes de realizar el quinto pago deja de hacer dos pagos iquestqueacute monto uacutenico deberaacute entregar al vencer el uacuteltimo pago pactado originalmente para saldar completamente su deuda si el intereacutes es de 2160 con capitalizacioacuten mensual

1 2 3 4 5 6

6 000 6 000 6 000

Solucioacuten

i = =0 216012

0 0180

El monto de su deuda al 12 de febrero seriacutea

M = minus =35001 0180 1

0 018029 828 95

= $29 82895

El valor de lo que en realidad pagoacute tambieacuten al 12 de febrero seriacutea

M = minus

3500 1 0180 10 0180

1 0180

3500 5 183

( 2269 1 05497819138 82

)( )$ =

Por lo tanto lo que debe pagar el 12 de febrero para saldar su deuda es

29 82895 minus 1913882 = $10 69013

Resumiendo en la ecuacioacuten de valores equivalentes correspondiente si denotamos por x el pago que se debe hacer

x = minus minus minus3500 1 0180 10 0180

35001 0180 1

8 5( )

( ) 880

1 0180 10 690 133( ) $ =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1 2 3 4 5 6 7 8

12 ene 12 jul 12 ago 12 sep 12 oct 12 nov 12 dic 12 ene 12 feb

Lo pactado

3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500

Lo sucedido

3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 mdash mdash

El valor de la deuda el valor de lo pagado al 12 de a su vencimiento febrero inmediatamente (12 de febrero del antes de hacer el segundo antildeo) pago final

63 Renta plazo intereacutes y tasa de intereacutes

Ejemplo 631

El 14 de mayo del antildeo 1 se depositaron $100 000 en un fondo de inversiones con el objeto de retirar 10 mensualidades a partir del 14 de febrero del antildeo 3 Si los intereses que gana la inversioacuten son de 1752 capitalizable cada mes hallar el valor de las mensualidades que se podraacuten retirar

Solucioacuten

i = 0175212 = 001460

La ecuacioacuten de equivalencia seriacutea

100 0001 1 01460

0 014601 01460

1020= minus minus

minusX( )

En donde (1) nos dariacutea el valor actual de una renta vencida al 14 de enero del antildeo 3 cantidad que multiplicada por (2) nos dariacutea el valor actual al 14 de mayo del antildeo 1 que es cuando se hizo el depoacutesito Observe que esta expresioacuten es equivalente a

100 000 1 014601 1 01460

0 0146020

= minus minusX

en donde el primer teacutermino nos da el valor de la inversioacuten al 14 de enero del antildeo 3 y algebraicamente esta uacuteltima expresioacuten se obtiene multiplicando ambos teacuterminos de la primera expresioacuten por (101460)20 [Para el segundo teacutermino (101460)minus20 (101460)20 = (101460)0 = 1] y

100 000 1 014601 1 01460

0 01460100

( )( )

= minus minus

0000 1 336279 9 241758100 000 1 3362

( ) ( )(

9 24175814 459 19

1 2 8 9 10

14-V-1 14-VI-1 14-XII-2 14-I-3 14-II-3 14-III-3 14-IX-3 14-X-3 14-XI-3

20 meses 10 mensualidades vencidas

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 2

Ejemplo 632

El valor al contado de una mesa de billar es de $22 000 Se puede adquirir a creacutedito me-diante 6 pagos bimestrales el primero de los cuales debe realizarse 6 meses despueacutes de la adquisicioacuten Si el intereacutes que se carga es de 4 bimestral iquestde cuaacutento deben ser los pagos

Solucioacuten

22 000 (104)2 = X1 1 04

6minus⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus( )

22 000(104)2 es el monto al teacutermino del segundo bimestre Esta cantidad equivale al va-lor actual de los pagos bimestrales planteados eacutestos como una anualidad vencida

22 000 1 0816 5 24213722 000 1 0816

( ) ( )( )

X22137

4 539 22=

Planteado de la otra manera

22 000 = (104)minus2 X1 1 04

6minus⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus( )

22 000 = (0924556)[X(5242137)]

X = = =22 0000 924556 5 242137

22 0004 846650( )( )

$44 539 22

0 1 2 3 4 5 6 8 9 bimestres

22 000 X1 X2 X3 X4 X5 X6

0 1 2 3 4 5 6 8 9

22 000 X1 X2 X3 X4 X5 X6

Ejemplo 633

Si se depositan hoy $8 000 en una cuenta de inversiones que paga 6 capitalizable men-sualmente iquestcuaacutentos retiros mensuales de $500 se podraacuten hacer comenzando dentro de 6 meses

Solucioacuten

i = 00612 = 0005

Primero se calcula el valor del depoacutesito inicial al fi nal del quinto mes

8 000(1005)5 = 8 20201

Ahora podemos plantear una anualidad vencida

8 202 01 5001 1 0050 005

= minus minusn

1 8 202 01 0 005500

1 005minus = minus ( ) n

minus091798 = 1005minusn

minusn log 1005 = log 091798

n = minus = =log

0 917981 005

0 0371670 002166

17 1592280

La respuesta matemaacutetica seriacutea entonces 1716 retiros y en la praacutectica lo que se puede hacer es como se ha visto antes

a) Retirar 17 mensualidades de $500 y una decimoctava de

x = minus minus⎡

⎣⎢⎢

⎤8 202 01 1 005 500

1 0050 005

( )( )

⎦⎦⎥⎥( )1 005

x = (8 92778 minus 8 84865)(1005) x = 7913(1005) = $7953

0 1 2 3 4 5 6 7 n

8 000 500 500

b) Retirar 16 mensualidades de $500 y una decimoseacuteptima de

8 202 01 1 005 5001 005 1

0 0058 883 316

16 ( )

minus minus = 66 8 307 12 576 24minus = $

Ejemplo 634

Pedro Paacuteramo contrae hoy una deuda de $10 075 que debe pagar mediante un abono de $3 000 dentro de 3 meses y despueacutes tantos pagos mensuales de $725 como sean necesa-rios hasta saldar el total comenzando dentro de 6 meses Si el intereacutes al que se contratoacute el preacutestamo es de 3768 capitalizable mensualmente iquestcuaacutentos pagos mensuales debe hacer

Solucioacuten

i = 0376812 = 00314

Valor de la deuda en el momento de hacer el pago de $3 000

10 075(10314)3 minus 3 000 = 11 05418 minus 3 000 = 8 05418

El valor de este saldo de la deuda al quinto mes es equivalente al valor actual de las n mensualidades de $725 Para determinarlo se calcula dicho valor a partir del que se de-terminoacute al tercer mes

$8 05418(10314)2 = $8 56792

Ahora para calcular el nuacutemero de pagos

8567 92 7251 1 0314

0 0314

= minus minusn

8567 92 0 0314

7251 1 0314

( )( )minus = minus minusn

(10314)minusn = 0628920 minusn log (10314) = log 0628920

n = minus = minus minuslog log

0 6289201 0314

0 2014050 013427

n = 15

Hoy 1 2 3 4 5 6 7 n

10 075 3 000 725 725

Ejemplo 635

Si para pagar una deuda de $25 000 se hacen 5 pagos mensuales de $7 000 comenzando 8 meses despueacutes de formalizar la operacioacuten iquestcuaacutel fue la tasa de intereacutes que se cobroacute

Solucioacuten

25 000 1 7 0001 1

( )( )

+ = minus +

minus ++

i i225 0007 000

3 571429=

y al igual que hicimos antes con las anualidades vencidas e inmediatas debemos ensayar

valores de i en 1 1

7minus +

minus( )( )

para encontrar dos entre los cuales se encuentra 3571429 y

despueacutes aproximar i mediante una interpolacioacuten lineal

7minus +

minus( )( )

es igual a

Si i = 005 = 3076878 i = 004 = 3383019 i = 003 = 3723721 i = 0035 = 3548790 i = 0034 = 3583026

y para interpolar entre estos dos valores

i minusminus

= minus0 0340 035 0 034

3 571429 3 5830263 54879

00 3 5830260 034

0 0010 338737

0 034 0 3

minusminus =

i 338737 0 0010 034339

( )i =

0034 i 0035

3583026 3571429 3548790

0 1 7 8 9 10 11 12 meses

25 000 7 000 7 000 7 000 7 000 7 000

Comprobando

25 000 1 034339 7 0001 1 034339

0 0343397

= minus minus

31665 31664 64asymp

Por lo tanto el intereacutes fue de 343 mensual aproximadamente

Ejemplo 636

El 3 de marzo el sentildeor Copoya adquirioacute un departamento en condominio por el cual de-biacutea pagar aparte de cierta cantidad semestral un enganche de $450 000 Para pagar eacuteste el vendedor le ofrecioacute recibir $150 000 en aquella fecha en el momento de la entrega del in-mueble y despueacutes otros 3 pagos mensuales de $110 000 a partir del 3 de junio del mismo antildeo iquestCuaacutel fue el intereacutes anual capitalizable mensualmente que pagoacute el sentildeor Copoya

Solucioacuten

300 000 1 110 0001 12

( )+ = minus + minusi

300 000110 000

2 7272723

2= minus +

minus( )( )

Ensayando valores

si i = 003 1 11

minus ++

minus( )( )

= 2666237

i = 0025 = 2718404 i = 0020 = 2771898 i = 0024 = 2728996 i = 00245 = 2723693

Interpolando

0024 i 00245

2728996 2727272 2723693

3 mar 3 abr 3 may 3 jun 3 jul 3 ago

450 000 110 000 110 000 110 000 ndash150 000 300 000

i =minus

= minus0 0240 0245 0 024

2 727272 2 7289962 7236

993 2 728996minus

i minus =0 0240 0005

0 325099

i = 0024 + 0325099(00005) i = 0024163

Comprobando

300 000 1 024163 110001 1 024163

0 02412

= minus minus

663 314 672 96 314 672 14 asymp

Por lo tanto el intereacutes que se pagoacute fue de

0024163(12) = 0289956

Es decir 29 anual capitalizable cada mes aproximadamente

1 Explique queacute es una mensualidad simple cierta vencida y diferida 2 Deacute un ejemplo de una anualidad simple cierta vencida y diferida 3 Una persona que cumple hoy 33 antildeos desea depositar en una inversioacuten que rinde 6

anual capitalizable mensualmente una cantidad que le permita recibir $10 000 mensua-les durante 20 antildeos a partir del diacutea en que cumpla 40 antildeos iquestCuaacutento debe depositar

4 iquestA queacute cantidad anual pagada por anticipado equivalen 3 pagos bimestrales de $2 000 realizados al principio de cada uno de los uacuteltimos 3 bimestres del antildeo si el in-tereacutes es de 144 anual capitalizable bimestralmente

5 El 2 de mayo del antildeo 1 se depositan $15 000 y a partir del 2 de noviembre del antildeo 3 y hasta el 2 de mayo del antildeo 5 se depositan cada 6 meses $8 000 en una cuenta que abona 8 semestral iquestCuaacutento se habraacute acumulado al 2 de noviembre del antildeo 10

6 iquestQueacute cantidad pagada durante cada uno de 5 trimestres es equivalente a $5 000 paga-dos 21 meses antes de realizar el primer pago trimestral si el intereacutes es de 169 capi-talizable trimestralmente

7 iquestQueacute cantidad pagada durante cada uno de 5 trimestres es equivalente a $5 000 pa-gados 21 meses despueacutes de realizar el primer pago trimestral si el intereacutes es de 169 capitalizable trimestralmente

8 iquestQueacute relacioacuten existe entre las respuestas a los dos problemas anteriores 9 Un comerciante va a invertir $100 000 en un lote de sueacuteteres La compra la va a ha-

cer el 21 de abril y tiene un contrato para vender la mercanciacutea el 21 de diciembre del mismo antildeo y cobrar mediante 3 pagos bimestrales iguales el primero el diacutea de la venta Si desea ganar 25 bimestral sobre su inversioacuten iquestde queacute cantidad deben ser los pagos

10 En el caso del problema anterior encuentre el valor de la utilidad del comerciante en el momento de hacer la venta

11 Un automoacutevil que vale $139 500 se vende mediante un enganche de 50 y el saldo en abonos mensuales de $3 751 comenzando 6 meses despueacutes de la compra Si el intereacutes es de 18 capitalizable mensualmente iquestcuaacutentos abonos mensuales deben hacerse Sentildeale la solucioacuten matemaacutetica y la solucioacuten praacutectica

12 iquestCuaacutentos depoacutesitos de $2 500 realizados al principio de cada semestre son equivalen-tes a un monto de $34 72542 que se retira 3 semestres despueacutes de realizado el uacuteltimo depoacutesito si el intereacutes es de 10 semestral

13 Una persona debe pagar $11000 dentro de 6 meses iquestCon cuaacutentos pagos bimestrales de $218763 podriacutea liquidar su adeudo si el intereacutes es de 1976 convertible cada 2 meses y realiza el primer pago dentro de 12 meses

14 Para pagar $6 000 que venciacutean el 14 de julio el sentildeor Martiacutenez abona 5 mensuali-dades de $134943 la uacuteltima el 14 de enero del siguiente antildeo iquestCuaacutel fue la tasa de in-tereacutes mensual que pagoacute

15 Determine cuaacutel de las dos siguientes operaciones fue contratada con una tasa efecti-va anual maacutes alta si se trata de una deuda de $3 500 contraiacuteda hoy

a) pagar 15 mensualidades de $295 comenzando dentro de 6 meses b) pagar 8 abonos bimestrales de $540 comenzado dentro de 6 meses 16 Se obtiene un preacutestamo refaccionario por $5 millones para la adquisicioacuten de maqui-

naria iquestCuaacutel es el importe de cada uno de los pagos mensuales si el plazo de pago es de 3 antildeos y el banco concede 6 meses de gracia en el pago de intereacutes y capital La tasa de intereacutes es de 2329 convertible mensualmente

17 Una empresa inmobiliaria solicita un preacutestamo para llevar a cabo la construccioacuten de un conjunto habitacional El banco le concede $3 millones los cuales deberaacute liquidar en un plazo de 2 antildeos con 6 meses de gracia Si la tasa de intereacutes aplicable a este tipo de preacutestamo es de 264 anual convertible mensualmente iquestcuaacutel es el monto de cada uno de los 18 pagos mensuales que deberaacute realizar la constructora

18 iquestCuaacutel es el pago mensual del problema anterior si la tasa de intereacutes aplicable es la de la TIE (tasa interbancaria de equilibrio) maacutes 8 puntos

19 A fin de prepararse para el primer pago que debe efectuar la empresa inmobiliaria del ejercicio 17 decide efectuar tres depoacutesitos mensuales a partir del cuarto mes posterior a aquel en que le otorgaron el preacutestamo en una cuenta de inversioacuten que paga 126 de intereacutes anual convertible mensualmente iquestDe queacute importe deben ser los depoacutesitos para que la empresa pueda cubrir con el monto que se acumule el pri-mer pago del preacutestamo

20 Juan Gabriel decide adquirir 4 llantas nuevas para su camioneta La llantera le ofrece una promocioacuten exclusiva para clientes distinguidos por la cual paga el importe de las mismas mediante 6 abonos mensuales iniciando los pagos 3 meses despueacutes de la compra iquestCuaacutel es el importe de los pagos si el precio al contado de las llantas es de $11600 y la llantera cobra 14 de intereacutes mensual

64 Uso de Excel641 Monto y valor actual (seccioacuten 62)

En el ejemplo 621 un arquitecto comproacute un escritorio que recibioacute un primero de no-viembre y que debe pagar con 12 mensualidades de $180 a partir del primero de enero del antildeo siguiente La pregunta es iquestcuaacutel es el valor del mueble con una tasa de 36 convertible mensualmente

La respuesta se encuentra mediante el siguiente planteamiento en Excel

=(103^(minus1))(VA(00312minus180))

en donde ldquoVA(00312minus180)rdquo es el valor actual de los 12 pagos que arroja su valor actual al primero de diciembre valor que se multiplica por ldquo(103^(minus1))rdquo para encontrar el valor al pri-mero de noviembre $173953 que es el valor que se buscaba y que difi ere en un centavo del valor asentado en el texto por cuestiones de redondeo

En el ejemplo 622 se busca el valor actual de una renta de $6 000 semestrales durante 7 antildeos realizando el primer pago dentro de 7 antildeos a una tasa del 17 semestral Con Excel

=(117^(minus5))(VA(01714minus6 000))

lo que produce el valor de $14 31085 que se busca y la estructura del planteamiento es igual a la del ejemplo anterior

En el ejemplo 623 se pide encontrar el monto correspondiente al ejemplo anterior Con Excel simplemente es el caacutelculo del monto correspondiente ya que para esto la posposicioacuten de los pagos no tiene efecto alguno sobre ese monto $282 61603

=VF(01714minus6 000)

El ejemplo 624 plantea que una deuda pactada el 12 de enero se debe pagar mediante 8 pagos mensuales de $3 500 a partir del 12 de julio del mismo antildeo Despueacutes de realizar el quinto pago se dejan de hacer dos de ellos Es necesario determinar queacute pago uacutenico se deberaacute hacer al vencimiento del uacuteltimo pago pactado para saldar la deuda con tasa de 216 capita-lizable mensualmente

El ejemplo se resuelve encontrando la diferencia entre lo pagado y lo que se debe al 12 de febrero la fecha de vencimiento de la deuda Con Excel

=VF(00188minus3 500) minus (VF(00185minus3 500))(1018^3)

cuyo resultado es $10 69013 que es el saldo que se busca

En el ejemplo 631 se trata de determinar el valor de 10 mensualidades que se desea retirar a partir del 14 de febrero del antildeo 3 si se depositaron $100 000 el 14 de mayo del antildeo 1 en un fondo de inversiones que rinde 1752 capitalizable mensualmente

Se plantea aquiacute otra manera de resolver el mismo ejercicio y ademaacutes utilizando ExcelDe acuerdo al planteamiento el uacuteltimo de los 10 retiros se hariacutea el 14 de noviembre del

antildeo 3 Si se encuentra el monto del depoacutesito inicial a esta fecha se tendriacutea a la vez el monto de las 10 mensualidades que se desea retirar y entonces el planteamiento seriacutea

100 000 1 01461 0146 1

0 0146100 000 130

(=minus

=X ) 544705666 154 470 57=

que con Excel se resuelve de la siguiente manera

=PAGO(0014610154 47057)

que produce el valor de la renta que se busca que es de $14 45914 En la funcioacuten anterior es necesario observar que entre el ldquo10rdquo que es el nuacutemero de mensualidades que se van a retirar y el ldquo154 47057rdquo que es el monto acumulado con el depoacutesito inicial al 14 de noviembre del antildeo 3 hay dos comas la primera para sentildealar que no se anota el valor actual y la segunda para co-locar despueacutes de ella el monto de la anualidad tal como lo requiere la sintaxis de la funcioacuten

En el ejemplo 632 se trata de encontrar el valor de cada uno de 6 pagos bimestrales que es necesario hacer el primero de ellos 6 meses despueacutes de adquirir una mesa de billar que tie-ne un precio de $22 000 con intereses de 4 bimestral

Para determinar el valor de estos pagos se requiere determinar el valor acumulado de la mesa de billar 2 bimestres despueacutes de su adquisicioacuten que seriacutea el valor actual de la renta sim-ple cierta vencida e inmediata que se requiere para liquidar la deuda

Asiacute =PAGO(0046(22 000(104^2))) produce el valor de $4 53922 que se desea en valor negativo tal como se comenta antes dado que Excel sentildeala que se trata de una erogacioacuten

Observe en la expresioacuten anterior que (22 000(104^2)) que es el tercer elemento de la funcioacuten ldquoPAGOrdquo separado por comas equivale al valor actual de esta funcioacuten y es al mismo tiempo el valor del mueble dos bimestres despueacutes de haber sido adquirido Es necesario des-tacar que los paraacutemetros de las funciones de Excel como el valor actual en este caso pueden ser determinados por otros caacutelculos y no necesariamente valores ya dados

En el ejemplo 633 se desea determinar el nuacutemero de retiros mensuales de $500 que se pueden hacer comenzando seis meses despueacutes de una cuenta de inversiones que paga 6 capitalizable mensualmente y en la que se depositan hoy $8 000

Y para plantear estas condiciones en forma de una anualidad simple cierta vencida e in-mediata se requiere encontrar el monto de $8 000 cinco meses despueacutes y utilizar este monto como el valor actual de la anualidad La funcioacuten de Excel que se requiere es NPER que da precisamente el nuacutemero de periodos de una anualidad Se determina n mediante la siguien-te funcioacuten de Excel

=NPER(00612minus500(8 000((1+(00612))^5)))

que arroja el valor de n = 17158711 que es praacutecticamente igual al que se encontroacute antes mediante la calculadora El resto del procedimiento es igual al descrito se pagariacutean 17 mensualidades de $500 y una fi nal de $38176

En el ejemplo 634 se debe calcular cuaacutentos pagos mensuales de $725 debe realizar el se-ntildeor Paacuteramo comenzando dentro de 6 meses para liquidar una deuda de $10 075 que contrae

64 Uso de Excel

hoy (valor actual) si ademaacutes realiza un abono de $3 000 dentro de 3 meses y el intereacutes pac-tado es de 3768 capitalizable mensualmente

Aquiacute se requiere encontrar el valor de la deuda al tercer mes para restarle los $3 000 del pago parcial (abono) y luego llevar este valor dos meses adelante con lo que se tiene el valor actual de la renta de $725 que se va a pagar a partir del sexto mes

La funcioacuten

=NPER(0376812minus725((10 075((1+(0376812))^3))minus3 000)((1+(0376812))^2))

arroja el valor 149998 que es praacutecticamente 15 y es a la vez el valor de n que se buscaSin embargo en este caso vale la pena hacer notar que es considerablemente laborioso

construir la funcioacuten de Excel sobre todo por la abundante cantidad de pareacutentesis que es ne-cesario utilizar

Aquiacute siacute resulta maacutes sencillo resolver el ejemplo mediante el empleo de una calculado-ra pero por otro lado tambieacuten es importante recordar que aunque en ocasiones como eacutesta construir la funcioacuten puede parecer demasiado laborioso si se requiere hacer caacutelculos simila-res en forma repetida una vez construida la funcioacuten su uso puede facilitar el trabajo

En el ejemplo 635 se pide determinar la tasa de intereacutes que se cobra al pagar una deuda de $25 000 mediante 5 pagos mensuales de $7 000 comenzando 8 meses despueacutes de realizada la operacioacuten

La funcioacuten de Excel que se podriacutea utilizar es ldquoTASArdquo pero como se trata de una anuali-dad diferida no se puede aplicar Se vio en el capiacutetulo 6 que este ejemplo conduce a la siguien-te ecuacioacuten

25 000 1 7 0001 17

que se simplifi ca a

3 5714295

7minus +

minus( )( )

Esta ecuacioacuten se resolvioacute ensayando en una calculadora valores de i hasta encontrar una aproximacioacuten satisfactoria y terminando por hacer una interpolacioacuten entre dos valores cercanos

Se puede llegar a una aproximacioacuten satisfactoria sin necesidad de interpolacioacuten si se captura la ecuacioacuten en Excel y se hacen ensayos hasta llegar a la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se requiere

La ecuacioacuten en formato de Excel es

=(1minus(1+A1)^(minus5))(A1(1+A1)^7)

Si se anota esta ecuacioacuten en la celda por ejemplo B1 y se anota 003 en la celda A1 se ob-tiene el valor 372372104 que es superior al 3571429 que se busca Entonces se copia la ecua-cioacuten a la celda B2 con lo que se convierte en

=(1minus(1+A2)^(minus5))(A2(1+A2)^7)

Ahora se anota 004 en la celda A2 con lo cual se obtiene el valor 338301909 que es me-nor al que se busca Y asiacute se sabe que la i que se busca estaacute entre 003 y 004 Ahora se puede copiar la foacutermula a numerosos renglones de la columna B e ir ensayando valores en la colum-na A hasta encontrar el que se busca con el nivel de precisioacuten deseado

En el ejemplo 636 se busca determinar la tasa de intereacutes que pagoacute un Sr Copoya al pagar un enganche de $300 000 (despueacutes de haber dado un pago inicial de $150 000) mediante tres pagos mensuales de $110 000 empezando tres meses despueacutes de haber formalizado el trato Este ejemplo condujo a la siguiente ecuacioacuten

2 7272723

2minus +

minus( )( )

i ique como puede verse tiene la misma forma que la ecuacioacuten del ejemplo anterior El proce-dimiento que se sugiere seguir es tambieacuten igual al que se usoacute en el ejemplo 635 y se comienza planteando la ecuacioacuten en Excel que seriacutea

=(1minus(1+A2)^(minus3))(A2(1+A2)^2)

Luego se repite el proceso de ensayar valores copiando la foacutermula en diversos renglones

65 ResumenEn este capiacutetulo se explicaron las anualidades diferidas que son aquellas en las que se pospone el inicio de los cobros o depoacutesitos para un periodo posterior al de la formalizacioacuten del trato

Este tipo de anualidades pueden resolverse mediante el empleo de las mismas foacutermulas ya conocidas de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas simplemente hacien-do las modificaciones necesarias para considerar la posposicioacuten de los pagos Esto da lugar al planteamiento de una ecuacioacuten de equivalencia apropiada

Se observoacute que en el caacutelculo del monto la posposicioacuten o diferimiento de las rentas no tiene efecto sobre el comportamiento de la anualidad y que se puede determinar en forma directa con la foacutermula del monto de las anualidades simples ciertas ordinarias y vencidas

bull Identificar y explicar las caracteriacutesticas distintivas de las anualidades diferidasbull Identificar y plantear situaciones que puedan representarse mediante anualidades

diferidasbull Resolver ejemplos de aplicacioacuten de este tipo de anualidades y que impliquen el caacutelculo de

Monto Valor actual o capital Renta Plazo Intereacutes Tasa de intereacutes

bull Resolver ejercicios y aplicaciones de anualidades diferidas utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoft Excel

bull Anualidades diferidas

1 iquestEn queacute se diferencian las anualidades diferidas de las anticipadas 2 Deacute un ejemplo de una anualidad simple cierta y a) vencida e inmediata b) diferida c) anticipada 3 iquestPor queacute es posible utilizar las foacutermulas de las anualidades simples ciertas vencidas e in-

mediatas para resolver problemas de anualidades diferidas 4 iquestCuaacutel es el valor actual de una serie de 12 pagos trimestrales de $8 350 el primero dentro

de 9 meses si el intereacutes es de 18 convertible trimestralmente 5 Se hace hoy un depoacutesito de $5 000 y dentro de un antildeo se comienzan a hacer pagos men-

suales de $1000 durante un semestre iquestCuaacutel seraacute el monto de lo invertido 2 antildeos despueacutes de hecho el depoacutesito inicial si el intereacutes asciende a 133 mensual

6 Se adquiere un automoacutevil mediante un enganche de $65 000 10 pagos bimestrales de $16 75463 comenzando dentro de 10 meses y un pago final de $27 89040 dentro de 2 antildeos y medio iquestCuaacutel es el valor al contado del automoacutevil si se realiza la compra con inte-reses de 21 capitalizable mensualmente

7 La Comercial SA contrae hoy una deuda que debe pagar mediante 4 pagos semestrales de $22 800 comenzando dentro de un antildeo a 18 capitalizable semestralmente Si desea liqui-dar su deuda mediante un solo pago realizado dentro de 4 antildeos iquestqueacute cantidad debe pagar

8 iquestCuaacutel de las dos siguientes operaciones arroja un valor actual maacutes elevado a) Una serie de 12 pagos mensuales de $1000 comenzando dentro de 8 meses a 2

mensual b) Un conjunto de 7 pagos bimestrales de $1800 comenzando dentro de 4 meses a 4

bimestral 9 El 4 de enero se depositan $30 000 en una cuenta de inversiones A partir del 4 de marzo

del mismo antildeo se comienzan a hacer depoacutesitos bimestrales de $6 500 realizando el uacuteltimo el 4 de noviembre del mismo antildeo Si la inversioacuten rinde 72 anual convertible bimestral-mente iquestcuaacutento se habraacute acumulado el 4 de abril del antildeo siguiente

10 iquestCon queacute cantidad pagada cada mes durante un antildeo comenzado dentro de 6 meses se puede liquidar una deuda de $48 000 contraiacuteda el diacutea de hoy si el intereacutes es de 183 mensual

11 El licenciado Maacuterquez debe pagar dentro de 12 meses la anualidad de un inmueble que ad-quirioacute a creacutedito Su importe es de $18 500 Decide hacer 3 depoacutesitos bimestrales el primero

de ellos dentro de 2 meses para pagar con lo que se acumule Si puede colocar sus depoacutesitos a 2 semestral capitalizable bimestralmente iquestde cuaacutento deben ser sus depoacutesitos

12 Al jubilarse un empleado puede optar por recibir $155 000 un antildeo antes de su jubilacioacuten o 24 mensualidades a partir del momento de jubilarse Si se calcula el intereacutes a 84 con-vertible mensualmente iquestde cuaacutento seriacutean las mensualidades que recibiriacutea

13 Si se comienzan a hacer depoacutesitos de $3 750 trimestrales dentro de 6 meses y se acumu-lan $5195319 con intereacutes de 1030 con capitalizacioacuten trimestral iquestcuaacutentos depoacutesitos se realizaron

14 La doctora Neri debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $40 000 Si acuerda con su acreedor pagar su deuda mediante abonos bimestrales de $7 000 comenzando dentro de 10 meses iquestcuaacutentos pagos bimestrales de esa cantidad tendriacutea que hacer y queacute pago final menor debe hacer para saldar su obligacioacuten si el intereacutes es de 196 capitalizable bimestralmente

15 En la compra de un refrigerador que tiene un precio al contado de $9 750 se pagan $3 250 de enganche y el saldo con mensualidades de $41514 comenzando dentro de 6 meses Si el intereacutes es de 1170 capitalizable cada mes y se compra el aparato el 15 de octubre del antildeo 1 iquesten queacute fecha se termina de pagar

16 Una persona invierte hoy $30 000 en un negocio que le pagaraacute 8 abonos semestrales de $13 500 comenzando dentro de 2 antildeos iquestQueacute rendimiento anual efectivo tuvo la inversioacuten

17 iquestA queacute intereacutes nominal anual convertible mensualmente tendriacutean que colocarse 10 abo-nos anticipados mensuales de $2 000 para que produzcan un monto de $30 000 exacta-mente 12 meses despueacutes de colocar el uacuteltimo abono

18 Un agricultor solicita un preacutestamo de aviacuteo para la compra de fertilizantes El banco le otorga $60 000 a pagar en 12 meses con un periodo de 3 meses de gracia iquestCuaacutel seraacute el importe de las mensualidades si la tasa de intereacutes es igual al CPP (costo porcentual pro-medio) maacutes 6 puntos

19 Facundo se vio en la necesidad de renegociar una deuda bancaria que ascendiacutea a $287 324 Solicita un respiro al banco y eacuteste le concede 3 meses de gracia iquestCuaacutel es el importe de los 9 pagos que a partir del cuarto mes liquidaraacuten la deuda de Facundo si el banco le cobra un intereacutes de 28 anual convertible mensualmente

20 iquestCuaacutel seriacutea el importe de los abonos del ejercicio anterior si el banco cobra a este tipo de creacuteditos un intereacutes de CPP (costo porcentual promedio de captacioacuten) maacutes 10 puntos

21 iquestCuaacutel seriacutea el importe de los abonos del ejercicio anterior si el banco cobra a este tipo de creacuteditos un intereacutes de TIE (tasa interbancaria de equilibrio) maacutes 10 puntos

22 iquestCuaacutel seriacutea el importe de los abonos del ejercicio anterior si el banco cobra a este tipo de creacuteditos un intereacutes de TIP (tasa interbancaria promedio) maacutes 10 puntos

Matemaacuteticas en internet Anualidades diferidas

httpagorapucpedupeeco3450821Teoriacutea de la renta casos y problema 12

El caso general de anualidades

bull Definir y explicar las anualidades

Generales ciertas vencidas e inmediatas Generales y diferidas y Generales y anticipadas

bull Plantear e identificar situaciones que se ajus-tan a esos tipos de anualidades

bull Resolver problemas que impliquen esas cate-goriacuteas para encontrar seguacuten sea necesario

Monto Valor actual Plazo Renta o Tasa de intereacutes

bull Mediante el meacutetodo de

La tasa equivalente o el de La renta equivalente

bull Resolver ejercicios de anualidades generales mediante el empleo de la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg

Objetivos 71 Introduccioacuten 72 Monto y valor actual 73 Renta 74 Tasa de intereacutes y plazo 75 Anualidades generales anticipadas 76 Anualidades generales diferidas 77 Aplicaciones 78 Uso de Excelreg

79 Resumen

Temario

CAPIacuteTULO7

CAPIacuteTULO 7 EL CASO GENERAL DE ANUALIDADES246

71 IntroduccioacutenComo se mencionoacute en un capiacutetulo anterior las anualidades generales son aquellas en las que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalizacioacuten

Ejemplo 711

Una persona contrae una deuda de $10 000 Para saldarla acuerda hacer 6 pagos bimes-trales vencidos de x cantidad que comenzaraacuten dos meses despueacutes y con intereses de 15 anual capitalizable mensualmente

SolucioacutenEn este caso el periodo de pago tiene una duracioacuten de 2 meses ya que se especifi ca que los pagos se haraacuten bimestralmente

Por otro lado se anota que el intereacutes es capitalizable mensualmente y como resul-ta obvio el periodo de capitalizacioacuten es de un mes Dado que los periodos de pago y de capitalizacioacuten son distintos este ejemplo ilustra el caso de una anualidad general Ya hemos visto en capiacutetulos anteriores todos los casos de las anualidades exceptuan-do las generales y las contingentes Como este tipo se analiza en un capiacutetulo poste-rior en eacuteste se revisan primordialmente las anualidades generales ciertas vencidas e inmediatas

Los casos diferido y anticipado de las anualidades generales se pueden resolver me-diante la combinacioacuten de los meacutetodos de los capiacutetulos anteriores y los que se presentan aquiacute Por ello soacutelo para efectos de ilustracioacuten se presentan algunos ejemplos de estos casos en la uacuteltima seccioacuten de este capiacutetulo Dada su importancia vale la pena sentildealar desde este momento que

bull La forma maacutes sencilla de resolver las anualidades generales es modifi carlas para que se ajusten al caso simple y luego utilizar las foacutermulas ya conocidas de eacutestas para encontrar los valores deseados

bull Existen dos principales maneras de convertir anualidades generales en anualidades simples

1 Mediante la determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalente2 Mediante la determinacioacuten de la renta o pago perioacutedico equivalente

bull Hay dos casos de anualidades generales

1 El periodo de pago es maacutes largo que el periodo de capitalizacioacuten o al reveacutes2 El periodo de capitalizacioacuten es maacutes largo que el periodo de pago

Abundaremos sobre estas importantes cuestiones en las secciones restantes del capiacutetulo

72 Monto y valor actualSe utiliza un ejemplo sencillo para ilustrar los dos meacutetodos maacutes comunes para resolver anua-lidades generales

Caso 1 El periodo de pago es maacutes prolongado que el de capitalizacioacuten

Ejemplo 721

Encontrar el monto de un conjunto de 4 pagos trimestrales de $5 000 si el intereacutes es de 36 anual convertible mensualmente

SolucioacutenEn primer lugar conviene auxiliarse de un diagrama para apreciar mejor las circunstancias

M = R = $5 000 n = 4 trimestres

i = 03612 = 003 mensual

Observe que las rentas se consideran vencidas (al fi nal de cada periodo de pago) ya que como se mencionoacute en la introduccioacuten nos ocuparemos de anualidades vencidas

Tambieacuten como el periodo de pago es de 3 meses y el de intereacutes es de un mes tene-mos un caso de anualidad general con periodo de pago maacutes largo que el de capitalizacioacuten por lo que utilizaremos los dos meacutetodos mencionados para resolverla

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalente

Como puede verse en la graacutefi ca anterior en cada uno de los trimestres hay tres perio-dos de capitalizacioacuten Si consideramos un solo trimestre tendriacuteamos que encontrar la tasa trimestral efectiva que es equivalente a una tasa mensual efectiva de 30 Este procedimiento que ya se vio en el capiacutetulo sobre intereacutes compuesto seriacutea

iprime = (1 + i)p minus 1 (71)iprime = (103)3 minus 1 = 1092727 minus 1 = 0092727

iprime = la tasa efectiva por periodo de la anualidad general en este caso es la tasa efecti-va trimestral (0092727)

p = nuacutemero de periodos de intereacutes por periodo de pago 3 en este caso

$5 000 $5 000 $5 000 $5 000

1 1 2 3 4 i i i

Ahora luego de haber determinado la tasa efectiva por trimestre hemos convertido la anualidad general en una simple con

R = 5 000 n = 4 M =

iprime = 0092727

que se resuelve aplicando la foacutermula conocida del monto para una anualidad simple

M R ii

n= + prime minus

prime( )1 1 (72)

M = minus =5 0001 092727 1

0 0927275 000 4 591552

M = $22 95776

b) Determinacioacuten de la renta equivalente

Nuevamente con referencia al diagrama ilustramos un solo trimestre

Como se planteoacute el intereacutes capitalizable cada mes tendriacuteamos que encontrar la ren-ta mensual durante 3 meses que sea equivalente a una renta trimestral de $5 000 y como puede verse en la graacutefi ca anterior esto no es otra cosa que una anualidad sim-ple con

M = 5 000 (la renta de uno de los periodos de la anualidad general) i = 003 p = 3 Rprime =

y aplicando de nuevo la foacutermula ya conocida

n= + minus( )1 1

pero con la nueva simbologiacutea

n= prime + minus( )1 1

Rprime es la renta mensual equivalente a una renta trimestral de $5 000

$5 000

0 Rrsquo Rrsquo 1

Entonces

5 0001 03 1

0 033 090900

5 0003 0

3= prime minus = prime

prime =

9909001 617 65= $

Ahora se determina el monto de estas rentas equivalentes para el plazo completo de la anualidad

M = R = 1 61765 n = 4 trimestres por 3 meses cada uno = 12 i = 003

M = minus =1617 651 03 1

0 031617 65 14 192029

M = $22 95774

que es praacutecticamente el mismo resultado que se obtuvo mediante el otro meacutetodo

Caso 2 El periodo de pago maacutes corto que el de capitalizacioacuten

Ejemplo 722

Determinar el monto de un conjunto de 10 depoacutesitos mensuales de $2 500 si el intereacutes que se gana es de 30 convertible semestralmente

SolucioacutenGraacutefi camente

En la graacutefi ca se aprecia maacutes claramente que el periodo de capitalizacioacuten (6 meses) es maacutes largo que el pago (1 mes) Ahora para resolverlo mediante los dos meacutetodos empleados antes

R = $2 50000 R R R R R R R R R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

i = 0302 = 015 i = 015

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el intereacutes efectivo mensual equivalente a 15 semestral tambieacuten efectivo

(1 + i)6 = 115 1 + i = 11516

i = 11516 minus 1 i = 0023567

y el monto de la anualidad

M = R = 2 500 i = 0023567 (mensual efectivo) n = 10

M = minus =25001 023567 1

0 0235672500 11 129991

M = $27 82497 y

En este caso se determina la renta que coincide con el periodo de capitalizacioacuten de 6 meses en la graacutefi ca se puede apreciar que esa renta es el monto de las rentas men-suales por semestre

Rprime = minus =25001 023567 1

0 0235672500 6 364813

Rprime = $15 91203

y para el plazo total de la operacioacuten

R = $15 91203 n = 10 meses = 106 semestres = 1666667 semestres i = 015 semestral

M = minus =15 912 031 15 1

0 1515 912 03 1

1 66666667

)748676

M = $27 82498

que es praacutecticamente igual al resultado anterior

A continuacioacuten se presentan unos ejemplos de caacutelculo del valor actual

Ejemplo 723Calcule el valor actual de la anualidad del ejemplo 721Reproduciremos aquiacute el diagrama correspondiente

Solucioacuten

C = R = 5 000 n = 4 trimestres i = 03612 = 003 mensual

a) Determinacioacuten de la tasa equivalente por trimestre

iprime = 0092727

La foacutermula correspondiente seriacutea

n= minus + prime minus1 1( )

i= minus + prime

prime= minusminus minus1 1

5 0001 1 092727

0 092727

4 4( ) ( )

= 5 000(3220423) = $1610212

Ademaacutes luego de haber encontrado el monto en el ejemplo 721 se puede utilizar ese valor para verifi car el que acabamos de encontrar ya que

M = C(1 + iprime)n

M = 1610212(1092727)4 = 1610212(1425761) M = $22 95776

que es praacutecticamente el mismo valor que se encontroacute antes Ademaacutes

b) Determinacioacuten de la renta equivalente por mes

En el ejemplo 721 se encontroacute que

Rprime = 161765

y el valor actual

= minus =minus

1617 651 1 03

0 031617 65 9 954004

= $1610209

que es el mismo valor que se encontroacute antes (las diferencias se deben a los redondeos)

5 000 5 000 5 000 5 000

0 1 2 3 4

En este punto conviene destacar que para resolver anualidades generales lo impor-tante consiste en

a) Determinar la tasa equivalente o b) Determinar la renta equivalente

y despueacutes utilizar este valor para plantear una anualidad simple tambieacuten equivalente Debido a que cualquiera de los dos meacutetodos arroja el mismo resultado la decisioacuten de cuaacutel de ellos seguir depende soacutelo de cuaacutel resulte maacutes coacutemodo al lector

Ejemplo 724

iquestCuaacutel es el monto y el valor actual de un conjunto de 24 pagos bimestrales de $4 500 si el intereacutes es de 5 trimestral efectivo Utilice la tasa equivalente

SolucioacutenSe requiere encontrar queacute tasa efectiva bimestral es equivalente a la tasa efectiva trimestral

(1 + iprime)32 = 105iprime = 10523 minus 1 = 0033062 efectivamente bimestral

M = minus =4 5001 033062 1

0 0330624 500 35 778150

= $16100168

Una vez que se ha determinando el monto el valor presente es

C = 16100168(1033062)minus24

= 16100168(0458107) = $73 75596

o en forma de anualidad

M = minus =minus

4 5001 1 033062

0 0330624 500 16 39021

= $73 75595

que es praacutecticamente el mismo valor que se encontroacute por el meacutetodo del monto

Ejemplo 725

iquestQueacute pago quincenal es equivalente a uno trimestral de $2 250 si el intereacutes es de 22 capi-talizable semestralmente

SolucioacutenEn primer lugar hay que observar que 22 capitalizable semestralmente produce 11 efectivo semestral

Luego se determina la tasa quincenal equivalente considerando que hay 12 quin-cenas por semestre

(1 + iprime)12 = 111 iprime = 111112 minus1 = 0008735

y planteando la anualidad simple equivalente

n= + prime minus

prime( )1 1

2 2501 008735 1

0 0087356 132561

6= minus =R R

R = =2 2506 132561

366 89

En este caso debe observarse que no soacutelo eran distintos periodos de pago y de capitaliza-cioacuten sino que tambieacuten se incluiacutea otro periodo de pago diferente a esos dos

73 RentaComo ya se habiacutea mencionado tambieacuten aquiacute se convierte la anualidad general en otra simple equivalente y dado que se busca la renta entonces se utiliza la tasa equivalente

Ejemplo 731

Un empleado adquiere un seguro para su automoacutevil a traveacutes de la poacuteliza grupal de la em-presa donde trabaja Si el valor del seguro al contado es de $5 750 la vigencia de la poacuteliza es de 1 antildeo el intereacutes es de 18 capitalizable mensualmente y va a pagar mediante des-cuentos quincenales por noacutemina iquestcuaacutento es lo que le descontaraacuten cada quincena

SolucioacutenAquiacute hay que encontrar la tasa quincenal equivalente En este caso 18 convertible men-sualmente equivale a 1812 = 15 mensual efectivo mientras que la tasa quincenal

n= minus + prime

minus1 1( )

5 7501 1 007472

0 00747221 896534

24= minus =

minusR R

R = =5 75021 896534

262 60

73 Renta

Ejemplo 732

Un empleado desea ahorrar $115 000 en los proacuteximos 2 antildeos Si puede hacer depoacutesitos semanales en una cuenta que paga 025 mensual efectivo iquestcuaacutento debe depositar cada se-mana si se consideran 48(12 times 4) semanas al antildeo

Solucioacuten

(1 + iprime)4 = 10025 iprime = 1002514 minus 1 = 0000624

M = 115 000 R = n = 96 iprime = 0000624

115 0001 000624 1

0 00062498 901891

96= minus =R R

R = =115 00098 901891

1162 76

Ejemplo 733

Para la compra de un automoacutevil que cuesta $237 250 se ofrece el siguiente plan

a) Enganche de 40 del precio de compra b) 36 meses de plazo c) 465 efectivo trimestral de intereacutes

iquestDe cuaacutento tendriacutean que ser los 36 pagos mensuales

SolucioacutenLa tasa efectiva mensual es

y el valor actual del adeudo es

Saldo = precio minus enganche = 237 250 minus 237 250(040)Saldo = 237 250 minus 94 900 = 142 350

Por ello para calcular la renta

n= minus + prime

prime= minus =

minus minus1 1 1 1 0152660 015266

36( ) ( )

(227 538557 )

142 350 = R(27538557)

R = =142 35027 538557

5169 12

Ejemplo 734

El ingeniero Martiacutenez debe hacer 10 pagos bimestrales de $5 650 comenzando dentro de dos meses Si desea cambiar ese plan de pagos por otro en el que haga 15 pagos mensua-les a partir del proacuteximo mes y se pactan los intereses a 12 anual efectivo iquestcuaacutel debe ser el importe de los pagos mensuales

Solucioacuten bull Primero se debe encontrar el valor actual del antiguo plan de pagos Para hacerlo se

calcula la tasa equivalente bimestral

i= minus + prime

5 6501 1 019068

0 01906

10 10( ) ( ) 88

= 5 650(9026545) C = $51000

bull En segundo lugar se determina el valor de los pagos mensuales para lo cual se debe calcular la tasa mensual equivalente

y para encontrar la renta

n= minus + prime

minus1 1( )

510001 1 009489

0 00948913 920025

15= minus =

minusR R

R = =51000

13 9200253663 79

74 Tasa de intereacutes y plazo Ejemplo 741

iquestA queacute tasa de intereacutes efectiva anual tendriacutean que hacerse 15 depoacutesitos bimestrales de $600 para que arrojen un monto de $11600 en el momento de hacer el uacuteltimo

Solucioacuten

M = 11600 R = 600 n = 15 bimestres i = (efectiva anual)

74 Tasa de intereacutes y plazo

Planteamos la anualidad bimestral

n= + prime minus

prime( )1 1

11600 6001 115

= + prime minusprime

1 1 11600600

19 33333315+ prime minus = =i

y al igual que en capiacutetulos anteriores se necesita encontrar el valor de i que haga que la

expresioacuten( )1 115+ prime minus

primeii

sea igual a 1933 Para ello se ensayan valores de iprime

Si iprime = 0050 ( )1 115+ prime minus

primeii

= 21578563

iprime = 0045 = 20784054 iprime = 0040 = 20023587 iprime = 0035 = 19295681 iprime = 0036 = 19438727 iprime = 00355 = 19367047

y ahora se interpola entre iprime = 0035 e iprime= 00355

i minus

minus= minus0 035

0 0355 0 03519 333333 19 29568119 3

667047 19 2956810 527590

minus=

iprime minus =0 035

0 00050 527590

iprime = 0035 + 0527590(00005) = 0035 + 00002638 iprime = 00352638

Entonces iprime = 0035264 es la tasa bimestral Para encontrar la tasa efectiva anual

j = (1035264)6 minus1 = 0231138 j = 2311

0035 i 00355

19295681 19333333 19367047

Ejemplo 742

Se depositan hoy $32 000 y se hacen 24 retiros trimestrales de $2 000 comenzando al tri-mestre siguiente

iquestQueacute tasa anual capitalizable semestralmente ganoacute el depoacutesito

Solucioacuten

C = 32 000 R = 2 000 n = 24 trimestres

n= minus + prime

minus1 1( )

32 000 2 0001 1 24

= minus + primeprime

minus( )ii

1 1 32 000

2 00016

24minus + primeprime

= =minus( )i

Ensayando valores

Si iprime = 002 1 1 24minus +

minus( )ii

prime= 18913925

iprime = 0025 = 17884986 iprime = 0030 = 16935542 iprime = 0035 = 16058368 iprime = 0036 = 15891021 iprime = 00355 = 15974369 iprime = 00354 = 15991116 iprime = 003535 = 15999500 iprime = 003530 = 16007890

Interpolando

iprime minus

minus= minus0 03530

0 03535 0 0353016 16 007890

99500 16 007890minus

iprime minus =0 03530

0 000050 9404052

003530 irsquo 003535

16007890 16 15999500

iprime = 003530 + 09404052(000005) = 003530 + 0000047 iprime = 0035347

Comprobando

1 1 0353470 035347

1624minus =

minus( )

Por lo tanto la tasa trimestral aproximada es 353 Para encontrar la tasa anual capita-lizable semestralmente se calcula la tasa efectiva semestral elevando la tasa trimestral al cuadrado

i = (1035347)2 minus 1 = 0071943

mientras que la tasa anual capitalizable semestralmente se determina multiplicando la tasa semestral por dos

(0071943)(2) = 0143886= 1439 capitalizable semestralmente

A continuacioacuten se presentan unos ejemplos de plazo

Ejemplo 743

Si una persona desea acumular $8 500 mediante depoacutesitos semestrales de $59574 en una cuenta que rinde 25 bimestral iquestcuaacutentos depoacutesitos debe hacer

SolucioacutenEn primer lugar se calcula la tasa semestral equivalente a 25 bimestral

iprime = (1025)3 minus 1 = 0076891 y

n= + prime minus

prime( )1 1

8500 595 741 076891 1

0 076891= minus

( )( )

1 076891

8500 0 076891595 74

1 2 097078n = + = 44

n log (1076891) = log 20970784

n = = =log log

2 09707841 076891

0 3216140 032172

Ejemplo 744

El arquitecto Meacutendez debe pagar un preacutestamo hipotecario que acaba de obtener para construir un edifi cio de departamentos en condominio El importe del preacutestamo es de

$1875 000 y lo debe liquidar con pagos mensuales de $125 000 comenzando un mes des-pueacutes Si el intereacutes pactado es de 25 anual efectivo a) iquestcuaacutentos pagos completos debe ha-cer b) iquestCon queacute pago fi nal menor realizado un mes despueacutes del uacuteltimo pago completo liquida totalmente el preacutestamo

Solucioacuten a) Encontramos la tasa mensual equivalente a 25 efectivo anual

(1 + i)12 = 125

i = 125112 minus1 = 0018769

Sustituyendo esta tasa y los demaacutes datos en

1875 000 125 0001 1 018769

0 018769= minus minus( )

( )( )( )

0 018769 11875 000 0 018769

125 0001minus = minus = minusn 00 281535 0 718465 =

n = minus = minus minus⎛ln ln

0 7184651 018769

0 3306380 018595⎝⎝⎜

⎞⎠⎟

= 17 781016

Por lo tanto debe hacer 17 pagos completos

b) Para encontrar el valor del uacuteltimo pago

x Uacuteltimo pagoValor (monto) del

preacutestamo alde

⎡⎣ ⎤⎦ =ccimoctavo mes

Valor de los17pagos al

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

minusddecimoctavo mes

⎢⎢

⎥⎥

x = 1875(1018769)18 minus minus⎡

⎣⎢

⎦⎥125

1 018769 10 018769

1 01876917( )

x = 1875(1397536) minus125(19808709)(1018769)

x = 2 620 37989 minus2 522 56228 = 97 81761

Ejemplo 745

Para pagar la anualidad de un inmueble que vence dentro de 9 meses y que es de $58 000 la sentildeora Izquierdo decide hacer depoacutesitos de $7 500 cada mes en una cuenta que abona 10 efectivo anual Si decide hacer depoacutesitos completos y un depoacutesito fi nal mayor para acumular lo que necesita

a) iquestcuaacutendo debe comenzar a hacer los depoacutesitos y b) iquestcuaacutel es el valor del uacuteltimo depoacutesito mayor

Solucioacutena) Tasa mensual equivalente

iprime = 110112 minus 1 = 0007974

y 58 000 75001 007974 1

0 007974= minus( )

( )( )

1 00797458 000 0 007974

75001 1 0616656n = + =

n = = =log log

1 06166561 007974

0 0259880 003449

77 534938

Asiacute tendriacutea que hacer seis pagos iguales y uno mayor Por ello debe comenzar con el primero dentro de 3 meses como se muestra en la siguiente graacutefi ca

b) Valor del uacuteltimo pago R + x

x = minus minus⎡

⎣⎢

⎦⎥58 000 7500

1 007974 10 007974

= 58 000 minus53 77273 = 4 22727 = 7 500 + 4 22727 = $1172727

1 iquestCuaacutel es el monto de una renta de $3 320 que se paga durante 10 bimestres vencidos si el intereacutes es de a) 54 trimestral b) 31 efectivo anual c) 17 mensual

2 El sentildeor Loacutepez tiene 2 empleos en uno gana $4 870 quincenales y en el otro $3 950 mensuales iquestCuaacutel es el monto mensual de su sueldo global si se considera un intereacutes de 12 anual con capitalizacioacuten trimestral

3 iquestA queacute cantidad pagada el diacutea de hoy equivalen 25 pagos quincenales de $280 si el intereacutes es de 25 convertible semestralmente

mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

pago R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 + x

4 Al comprar una maacutequina La Industrial SA paga $10 000 al contado y se com-promete a hacer 5 pagos de $2 700 a los 30 60 90 120 y 150 diacuteas respectivamente Si el intereacutes es de 22 convertible quincenalmente iquestqueacute precio al contado pagoacute la empresa

5 Para liquidar una deuda que contrae el diacutea de hoy Martiacuten acuerda pagar 15 abonos mensuales vencidos de $2140 y un pago final de $3 88221 un mes despueacutes del uacutel-timo abono de $2140 Si el intereacutes convenido fue de 19 efectivo anual iquestcuaacutel fue el importe de la deuda

6 iquestCuaacutel es la mejor alternativa para adquirir un automoacutevil a) $185 000 al contado b) $12 995 mensuales durante 12 meses vencidos con intereacutes de 15 efectivo anual

Justifique su respuesta 7 iquestQueacute inversioacuten acumula un monto mayor a 2 antildeos

a) $1880 quincenales vencidos a 27 capitalizable bimestralmente b) $9 500 bimestrales vencidos a 1125 efectivo quincenal

8 iquestQueacute renta mensual produce un monto de $97 500 en 4 antildeos a 11 bimestral 9 iquestQueacute renta bimestral durante 5 antildeos tiene un valor actual de $182 500 si se conside-

ra un intereacutes de 189 mensual10 Para pagar un preacutestamo de $40 000 Joseacute Luis ofrece hacer abonos quincenales venci-

dos durante 2 antildeos iquestQueacute cantidad debe pagar cada 15 diacuteas si el intereacutes que le cobran es de 24 convertible semestralmente

11 Para comprar una casa en condominio con valor de $3 800 000 se debe pagar un en-ganche de 20 mediante 6 pagos mensuales vencidos iquestCuaacutel debe ser el importe de los pagos si el intereacutes es de 18 convertible semestralmente

12 A un estudiante de maestriacutea se le otorgoacute una beca-creacutedito de $7 000 mensuales du-rante 2 antildeos Debe pagar la beca mediante 24 abonos mensuales comenzando un mes despueacutes de recibir la uacuteltima mensualidad de la beca Si se le cobra intereacutes a ra-zoacuten de 10 anual efectivo iquestcuaacutento debe pagar cada mes

13 iquestQueacute cantidad bimestral durante 2 antildeos es equivalente a 10 pagos trimestrales de $4 500 cada uno si el intereacutes es de 21 convertible semestralmente

14 iquestA queacute tasa de intereacutes anual con capitalizacioacuten mensual 20 depoacutesitos trimestrales vencidos de $5 400 producen un monto de $150 000

15 Se pagoacute una deuda de $13 700 mediante 6 abonos trimestrales vencidos de $2 81818 iquestQueacute intereacutes efectivo anual se pagoacute

16 Un fondo de inversiones ofrece pagar $12 310 mensuales de intereacutes por cada milloacuten invertido iquestQueacute tasa anual efectiva paga

17 iquestCuaacutel de las dos siguientes alternativas de inversioacuten es mejor para un capital de $50 000 a) Un flujo de12 pagos trimestrales vencidos de $510743 b) Un flujo de 18 pagos bimestrales vencidos de $3 40886

18 iquestCuaacutentos pagos de $133143 quincenales vencidos tendriacutean que hacerse para amor-tizar una deuda de $14 990 si el intereacutes es de 2 efectivo mensual

19 A un empleado le ofrecen liquidarlo en la empresa donde trabaja mediante un pago en efectivo de $95 000 Si en vez de aceptar esta suma desea recibir $4 000 mensuales vencidos iquestcuaacutentos pagos de este valor debe recibir si se consideran intereses de 16 capitalizables semestralmente

Calcule el nuacutemero de pagos y el pago final menor que equivalen a la liquidacioacuten en efectivo

20 iquestDe queacute manera se acumulan $15 000 con mayor rapidez con intereacutes a 2 bimestral

a) Depositando $5 000 el diacutea de hoy b) Depositando $260 al final de cada trimestre

75 Anualidades generales anticipadasEste caso como se vio antes se refi ere a las operaciones en que el pago o depoacutesito se hace al principio del periodo de pago El teacutermino ldquogeneralesrdquo sentildeala que el periodo de pago y el de capitalizacioacuten no coinciden

Al igual que se ha hecho en las secciones anteriores de este capiacutetulo la solucioacuten se ob-tiene mediante la conversioacuten de la anualidad general en una anualidad simple y vencida equivalente

Ejemplo 751

iquestCuaacutel es el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $2 500 si el intereacutes es de 25 capitalizable cada 4 meses

SolucioacutenEn primer lugar se debe calcular la tasa efectiva equivalente por semestre En este caso 25 capitalizable cada 4 meses equivale a 625 efectivo cada cuatro meses y la tasa efec-tiva por semestre es

iprime = (10625)32 minus 1 = 0095200

Ahora una anualidad anticipada

2 500 2 500 2 500 2 500 2 500

23 24 25 Meses

El procedimiento para determinar el valor actual de esta anualidad como se vio en el capiacute-tulo referente a anualidades anticipadas es

C = + minus minus2500 2500

1 1 0952000 095200

= 2 500(1 + 9319741) C = $25 79936

Ejemplo 752

iquestQueacute depoacutesito anticipado quincenal se debe hacer durante 5 bimestres para acumular $3 900 15 diacuteas despueacutes de realizar el uacuteltimo depoacutesito si el dinero produce 24 de intereacutes capitalizable cada mes

SolucioacutenLa tasa equivalente

02412 = 002 es la tasa efectiva mensual e iprime = 10212 minus 1 = 0009950 es la tasa efectiva quincenal

n = 5(4) = 20 quincenas (bimestral por nuacutemero de quincenas en un bimestre) y como los depoacutesitos son anticipados

39001 009950 1

0 0099501 009950

20= minus

monto a la 20a que multiplicado por quincena este factor da el monto quince diacuteas despueacutes

3 900 = R(22008298)(1009950)

R = =390022 227393

175 46

Ejemplo 753

Se puede comprar un artiacuteculo que cuesta $999 mediante 9 pagos ldquochiquititosrdquo mensuales de $129 comenzando en el momento de la compra iquestQueacute intereacutes efectivo anual se paga en la operacioacuten

75 Anualidades generales anticipadas

R R R R

Solucioacuten

999 129 1291 1 8

= + minus + primeprime

minus( )ii

1 1 999 129129

6 744186058minus + prime

prime= minus =

minus( )

Ensayando valores

Si iprime = 005 1 1 8minus + prime

minus( )ii

= 646321273

iprime = 004 = 673274482 iprime = 0035 = 687395551 iprime = 0037 = 681693804 iprime = 0039 = 676063340 iprime = 00395 = 674666726 iprime = 003955 = 674527307

interpolando

iprime minus

minus= minus0 03955

0 040 0 039556 74418605 6 745273

6 73274482 6 745273070 0867655

minus=

iprime = 003955 + (000045)(00867655) iprime = 003958904

y el intereacutes efectivo anual es

i = (103958904)12 minus 1 = 059345692

o 5934 anual aproximadamente

76 Anualidades generales diferidasSon aquellas en las que el periodo de pago y el de capitalizacioacuten de los intereses no coinciden y en las que ademaacutes se pospone el inicio de los pagos o depoacutesitos para un periodo posterior al de la realizacioacuten de la operacioacuten

R R R R

Ejemplo 761

Al cumplir 21 antildeos Juan Carlos deposita $21000 en una cuenta de inversioacuten que produce 135 capitalizable mensualmente Si desea comenzar a hacer retiros trimestralmente de $1500 el diacutea de su cumpleantildeos nuacutemero 25 iquestqueacute edad tendraacute al realizar el uacuteltimo retiro menor de $1500 3 meses despueacutes de haber hecho el uacuteltimo retiro completo

013512 = 001125 mensual (101125)3 minus 1 = 0034131 trimestral

El valor de su depoacutesito un trimestre antes de cumplir 25 antildeos

21000(1034131)15 = 21000(1654375) = 34 74188

La anualidad simple equivalente

34 741 88 15001 1 034131

0 034131

= minus minusn

( )( )( )

1 034131 134 741 88 0 034131

15000 2minus = minus =n 009483

n = minus = minus minus =ln ln

0 2094831 034131

1 5631110 033561

446 5752

Haraacute entonces 46 retiros completos y un retiro maacutes de menor valor Por ello al hacer este uacuteltimo retiro tendraacute 25 antildeos maacutes 46 trimestres o sea 365 antildeos (Observe que se suman 46 trimestres y no 47 porque el primer retiro lo hace al cumplir los 25)

Ejemplo 762

El 2 de marzo del antildeo 1 la Compantildeiacutea Comercial SA contrae una deuda con valor de $1700 000 al 2 de junio del antildeo 2 Poco tiempo antes de que venza su adeudo la empresa ofrece a su acreedor cambiar ese pago uacutenico al 2 de junio por 5 pagos mensuales a reali-zar el primero el 2 de octubre del mismo antildeo 2 Si acuerdan un intereacutes efectivo anual de 1125 iquestde cuaacutento deben ser los pagos mensuales

SolucioacutenTasa equivalente

(1 + iprime)12 = 11125 iprime = (11125)112 minus 1 = 0008924

El valor del adeudo al 2 de septiembre del antildeo 2

1 700 000(1008924)3 = 1 745 91976

76 Anualidades generales diferidas

1 745 919 761 1 008924

0 0089244 8688

( = minus =minus

R R 778)

R = =1 745 919 764 868878

358587 67

21 El sentildeor Garnica que alquila una casa por $2 800 mensuales anticipados le quiere proponer a su arrendador pagar la renta por trimestre adelantado Si se considera un intereacutes de 20 capitalizable semestralmente iquestde cuaacutento deberiacutea ser la renta trimestral

22 El 15 de febrero se hace el primero de un conjunto de 25 depoacutesitos bimestrales de $995 Si el dinero rinde 5 capitalizable mensualmente iquestcuaacutel es el valor actual de los depoacutesitos

23 iquestCuaacutel es el monto de 15 pagos semestrales anticipados de $4 200 en el momento de hacer el uacuteltimo si el intereacutes es de 102 mensual

24 Un comerciante firmoacute un pagareacute que vence dentro de 8 meses Para liquidarlo deci-de hacer depoacutesitos mensuales anticipados de $3 52827 para tener en el momento de vencer el pagareacute y hacer el uacuteltimo depoacutesito la cantidad que debe pagar Si el depoacutesito rinde 75 anual efectivo iquestcuaacutel es el valor del pagareacute a su vencimiento

25 iquestQueacute renta mensual anticipada es equivalente a una renta mensual vencida de $8 000 si el intereacutes es de 18 bimestral

26 Una empresa adquiere un terreno con valor de $750 000 y acuerda pagarlo median-te 6 pagos trimestrales comenzando en el momento de formalizar la operacioacuten Si se cobran intereses de 12 mensual iquestde cuaacutento deben ser los pagos

27 iquestCuaacutel es el valor al contado de un artiacuteculo que se vende mediante 12 pagos bimestra-les anticipados de $335 si el intereacutes es de 28 capitalizable trimestralmente

28 Se debe pagar dentro de un antildeo una anualidad de $17 500 iquestQueacute renta mensual anti-cipada pagada desde hoy y hasta el vencimiento de la anualidad equivale a eacutesta si el intereacutes es de 82 efectivo anual

29 iquestEn cuaacutento tiempo una renta anticipada de $88279 quincenales producen un monto de $14 000 en el momento de hacer el uacuteltimo pago si el intereacutes es de 28 bimestral efectivo

30 Se va a pagar una deuda de $37 500 contraiacuteda hoy mediante pagos semestrales de $7 750 Si el intereacutes es de 19 capitalizable mensualmente iquestcuaacutentos pagos comple-tos se deben hacer y cuaacutel es el valor del uacuteltimo pago menor de $7 750 que amortiza completamente la deuda

31 En la compra de un automoacutevil que cuesta $226 950 el plan a creacutedito consiste en ha-cer 18 pagos bimestrales anticipados de $17 28746 iquestCuaacutel es la tasa anual con capita-lizacioacuten mensual que se carga en la operacioacuten

32 iquestA queacute tasa efectiva anual se tendriacutean que colocar 25 rentas mensuales de $175 para que arrojen un monto de $5 200 en el momento de hacer el uacuteltimo depoacutesito

33 Calcule el monto y el valor actual de una serie de depoacutesitos trimestrales de $10 215 co-menzando dentro de 4 meses y durante 2 antildeos si el intereacutes es de 175 anual efectivo

34 Calcule el monto y el valor actual de 3 pagos de $8 680 con fechas de 15 de octubre noviembre y diciembre respectivamente considerando que hoy es 30 de abril y la tasa de intereacutes es de 96 capitalizable semestralmente

35 Un almaceacuten ofrece un plan de ldquocompre ahora y pague despueacutesrdquo Si un cliente compra el 15 de septiembre una lavadora y acuerda pagarla mediante 12 abonos quincenales de $41083 comenzando el 15 de enero del antildeo siguiente y el intereacutes que cobra el al-maceacuten es de 23 efectivo anual iquestcuaacutel es el precio al contado de la maacutequina

36 Una empresa debe redimir dentro de 18 meses una emisioacuten de bonos Para reunir la cantidad necesaria se va a constituir un fondo mediante depoacutesitos mensuales de $724 686 comenzando dentro de 7 meses y hasta la fecha de vencimiento de los do-cumentos Si el fondo gana 12 de intereacutes capitalizable semestralmente iquestcuaacutel es el valor de los bonos a su vencimiento

37 iquestQueacute renta pagada los diacuteas primero de junio julio agosto y septiembre equivale a un pago de $3 720 realizado hoy primero de febrero si el intereacutes es de 205 efectivo semestral

38 iquestCon cuaacutentos pagos bimestrales de $32 300 comenzando dentro de un antildeo se amorti-za una deuda de $200 000 que vence dentro de 6 meses si el intereacutes es de 22 efectivo anual

77 AplicacionesLas aplicaciones de las anualidades generales son muy diversas y aquiacute se ilustraraacuten con un par de casos la compra de tiempos compartidos y las anualidades variables

771 Tiempos compartidos

La compra de tiempos compartidos para las vacaciones ha adquirido gran popularidad pues ofrece seguacuten sus promotores descuentos importantes en el costo del hospedaje en zonas tu-riacutesticas para quienes los adquieren Asiacute una propiedad vacacional o ldquotiempo compartidordquo es el derecho a usar semanas especiacutefi cas o distintas noches de un desarrollo turiacutestico durante un periodo especiacutefi co o variable Simplemente dicho es la precompra de una vacacioacuten

Los precios y esquemas de pago son muy variables pero el esquema baacutesico es el siguiente

bull Se entrega un enganche (normalmente constituye la comisioacuten del vendedor)bull Se realizan abonos mensuales durante un periodo que puede variar tiacutepicamente desde

36 hasta 60 mesesbull Se realiza un pago anual por mantenimiento para disfrutar el periodo vacacional adqui-

77 Aplicaciones

bull En caso de requerir las vacaciones en un hotel distinto a aquel en el cual se adquirioacute el tiempo compartido deberaacute afi liarse a una empresa que realice el intercambio para lo cual deberaacute pagarse una cuota anual de afi liacioacuten y una cuota al momento de realizar el intercambio

Ejemplo 7711

Una empresa ofrece a Juan Manuel una tentadora e irresistible oferta para adquirir un tiempo compartido que le otorga el derecho de uso de una habitacioacuten estaacutendar doble du-rante un periodo de 20 antildeos mediante el siguiente plan de pagos

bull Enganche de $12 000 a la fi rma del contrato bull Cuarenta y ocho pagos mensuales de $1000 cada uno bull Pago anual por mantenimiento de $4 340 los cuales tendraacuten incrementos anuales

acordes a la infl acioacuten la cual se estima en 5 en promedio

Juan Manuel desea decidir si es conveniente adquirir el tiempo compartido o adqui-rir sus vacaciones anualmente a los precios de mercado tomando en consideracioacuten que en un hotel de categoriacutea similar la habitacioacuten doble tiene un costo promedio por noche de $1000 y se estima que los precios creceraacuten al mismo ritmo de la infl acioacuten

Si la tasa de intereacutes del mercado es de 6 efectivo anual determinar cuaacutel alternativa es maacutes conveniente para Juan Manuel

Para resolver este problema es necesario proceder por pasos

1 Determinar el valor presente de la inversioacuten necesaria para adquirir el tiempo compartido

VAI = 12 000 + 1000i

iminus + minus1 1 48( )

a) Enganche El enganche de $12 000 se encuentra a su valor presente pues debe en-tregarse en el momento de fi rmar el contrato de compra

b) Valor presente de los pagos mensuales El valor presente de los 48 pagos mensuales de $1000 se puede obtener mediante el empleo de la foacutermula del valor presente de una anualidad simple cierta vencida e inmediata una vez que se haya deter-minado la tasa de intereacutes efectiva por periodo tal como se vio en este capiacutetulo Puesto que la tasa de intereacutes que se tiene estaacute expresada en forma anual (6) es necesario calcular la tasa de intereacutes efectiva mensual

iprime = + minus( ) 1 0 06 11 12

iprime = minus( ) 1 06 11 12

iprime = minus1 004868 1 iprime = 0 004868

La tasa mensual se sustituye en la foacutermula del valor presente de una anuali-dad simple cierta vencida e inmediata

Enganche 48 mensualidades

⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

n= minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus1 1( )

A = minus +⎡

⎣⎢

⎦⎥

minus1000

1 1 0 0048680 004868

A = minus⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

10001 0 792093

0 004868( )

A = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

10000 2079060 004868

A = 1000[42712722] A = 42 71272

El valor presente de los 48 pagos mensuales de mil pesos considerando una tasa de intereacutes de mercado del 6 equivaldriacutea a 42 71272

Por lo tanto el valor presente de la inversioacuten asciende a 54 71272 resultado de sumar el valor presente del enganche y el valor presente de los pagos mensuales

2 Determinacioacuten del valor presente de los pagos de mantenimiento anual El valor presente de los pagos de mantenimiento anual constituye un ejemplo de una

anualidad variable puesto que los incrementos en ellos se calculan mediante el em-pleo de una tasa de intereacutes (en este caso la infl acioacuten 5) en tanto que el descuento se realiza empleando una tasa de intereacutes diferente (la tasa de intereacutes del mercado que en este caso equivale a 6)

A Rq ii qR q n i

( ) ][( ) ( ) ]= minus + times +

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus1 1 1

R = pago perioacutedico q = tasa de crecimiento del pago perioacutedico (en este caso la infl acioacuten) i = tasa de descuento (en este caso la tasa de intereacutes del mercado) n = nuacutemero de periodos

Como puede observarse en esta foacutermula se utilizan simultaacuteneamente un factor de acumulacioacuten (1 + q)n y un factor de descuento (1 + i)minusn

Aplicando la foacutermula se tiene

A( ) ] [( ) (

4 340 0 05 20 0 06

204 340

1 1 0 05 1 0= minus + times + 0060 06 0 05

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

A( ) ] [( ) (

4 340 0 05 20 0 06 4 3401 2 653298 0 31= minus times 11805

0 01)]

⎣⎢

⎦⎥

A( ) ] [ ]

4 340 0 05 20 0 06 4 3401 0 827311

0 01= minus⎡

⎣⎢⎤⎤⎦⎥

77 Aplicaciones

A( ) ]

4340 0 05 20 0 06 4 3400 172689

0 01= ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

A( ) ] [ ]4 340 0 05 20 0 06 4 340 17 268923= A( ) ] 4 340 0 05 20 0 06 74 947 13=

3 Determinacioacuten del valor total del tiempo compartido El valor total del tiempo compartido por un periodo de 20 antildeos ascenderiacutea a 129 65940 que es el resultado de sumar el valor presente de la inversioacuten para adqui-rir el tiempo compartido maacutes el valor de los gastos de mantenimiento anual

VTtiempo compartido_ = +54 712 27 74 947 13 VTtiempo compartido_ = 129 659 40

El valor actual de cada semana vacacional equivaldriacutea a $6 48297

VTsemana = =129 659 40 20 6 482 97

El valor actual de cada noche de habitacioacuten equivaldriacutea a 92614

VTnoche = =6 482 97 7 926 14

4 Determinacioacuten del valor presente de los pagos anuales por compra directa de habi-taciones de hotelAl igual que los pagos de mantenimiento anual el valor de la noche de hotel consti-tuye un ejemplo de una anualidad variable puesto que los incrementos se calculan mediante el empleo de una tasa de intereacutes (en este caso la infl acioacuten 5) en tanto que el descuento se realiza empleando una tasa de intereacutes diferente (la tasa de intereacutes del mercado que en este caso equivale a 6)

A Rq ii qR q n i

( ) ][( ) ( ) ]= minus + times +

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus1 1 1

R = 1000 (valor actual de la noche de hotel) q = 005 tasa de crecimiento del pago perioacutedico (en este caso la infl acioacuten) i = 006 (la tasa de intereacutes del mercado) n = 20 periodos

A( ) ] [( ) (

1 000 0 05 20 0 06

201000

1 1 0 05 1 0= minus + times + 0060 06 0 05

minus⎡

⎣⎢

⎦⎥

A( ) ] [( ) (

1 000 0 05 20 0 06 10001 2 653298 0 31= minus times 11805

0 01)]

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

A( ) ] [ ]

1 000 0 05 20 0 06 10001 0 827311

0 01= minus⎡

⎣⎢⎤⎤⎦⎥

A( ) ]

1 000 0 05 20 0 06 10000 172689

0 01= ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

A( ) ] 1 000 0 05 20 0 06 1000 17 268923= [ ] A( ) ] 1 000 0 05 20 0 06 17 268 92=

Por lo tanto el valor actual de 20 noches de hotel durante 20 antildeos consecutivos considerando una tasa de infl acioacuten de 5 y una tasa de intereacutes de 6 equivaldriacutea a $17 26892 el valor de una noche se obtendriacutea dividiendo dicha cantidad entre 20 lo que da como resultado

VTnoche = =17 268 92 20 863 44

Por lo anterior se puede concluir que resulta maacutes costoso adquirir las vacaciones a traveacutes de un tiempo compartido pues en el primer caso la noche tendriacutea un costo de 92614 y en el segundo de 86344 esto es 73 maacutes

Si ademaacutes se consideran las cantidades que deberaacuten pagarse en el caso de que se de-seen realizar intercambios a otros centros vacacionales y que por lo general ascienden a 100 doacutelares por antildeo maacutes 100 a 150 doacutelares por concepto de tramitacioacuten del intercambio se veraacute que en este caso concreto no resulta tan atractiva la adquisicioacuten del periodo vaca-cional

772 Anualidades variables

Una anualidad variable es un conjunto de pagos que se realizan a intervalos iguales pero cuya cuantiacutea es variable incrementaacutendose o reducieacutendose en progresioacuten aritmeacutetica o geomeacutetrica seguacuten el tipo de anualidad variable de que se trate Esto es en el caso de las anualidades varia-bles aritmeacuteticas cada teacutermino es el resultado de sumar o restar un mismo nuacutemero al nuacutemero anterior en tanto que en el caso de las anualidades variables geomeacutetricas cada teacutermino es el resultado de multiplicar el anterior por un mismo nuacutemero al cual se denomina razoacuten de la progresioacuten geomeacutetrica y el cual se representa con la letra r

En este apartado se analizaraacute el caso de las anualidades variables geomeacutetricasPara calcular cualquier teacutermino basta con conocer el valor del primer pago (t) y la razoacuten

de la progresioacuten (r) tal como se vio en la foacutermula (114) en el capiacutetulo 1

u t rn= minus1

1 (114)

La suma de los teacuterminos se obtiene aplicando la foacutermula (115) o (115prime) seguacuten se trate de una progresioacuten creciente o decreciente en el caso de una progresioacuten decreciente esto es cuando la razoacuten r es menor a 1 se aplica la siguiente foacutermula

n= minus

minus111

( ) (115)

En el caso de una progresioacuten creciente esto es cuando la razoacuten r es mayor a 1 se aplica la siguiente foacutermula

n= minus

minus11

(115prime)

77 Aplicaciones

Valor presente de una anualidad variable cierta vencida e inmediata

La representacioacuten graacutefi ca de la anualidad variable es la siguiente

Para determinar el valor presente de una anualidad variable se requiere encontrar el valor en la fecha focal ldquo0rdquo de todos los teacuterminos que componen la anualidad Para ello es necesario lle-var cada uno de los teacuterminos de su fecha de pago a la fecha focal aplicando la foacutermula de intereacutes compuesto El valor presente de una anualidad variable se denota con la siguiente simbologiacutea

Av(R q) ntimesi

Av = valor presente de una anualidad variable R = pago perioacutedico inicial q = razoacuten de la progresioacuten n = nuacutemero de periodos i = tasa de intereacutes aplicable

v R q n i( ) ] ( ) ( ) ( )=

1 1 12

1 1( ) ( )

Se saca factor comuacuten

Ri( )1+

y se obtiene

v R q n i

( ) ] ( ) ( )

+times +

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥minusi n)

En la cual los valores entre el corchete constituyen la suma de n teacuterminos de una progre-sioacuten geomeacutetrica creciente de razoacuten

+( )1Si se aplica la expresioacuten que suma teacuterminos que siguen esta ley se tiene

Sa a r

minus timesminus

1donde a1 es el primer teacutermino de la progresioacuten an el uacuteltimo teacutermino y r la razoacuten

R1 = R2 = R3 = Rn ndash 1 = Rqn ndash 1 Rn = Rq

0 1 2 3 n ndash 1

Aplicando dicha foacutermula a los teacuterminos actualizados de la renta el valor actual de la ren-ta queda de la siguiente forma

v R q n i

( ) ]( )=

+times +

times+

minus+

⎢minus

1⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

timesminus

++ minus

de donde fi nalmente se puede obtener

A Rq i

i qv R q n i

( ) ]( )

( )= times minus times +

+ minus

minus1 11

foacutermula que soacutelo se podraacute utilizar cuando q ne (1 + i)En el caso de que q = (1 + i) la expresioacuten del valor actual quedaraacute de la siguiente forma

iv R q n i( ) ]( )

( )( )

minusR ii

Sacando factor comuacuten

iiv R q n i( ) ]

( )( )

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus11

El corchete al simplifi carse representa la suma aritmeacutetica de n veces la unidad con lo cual el valor actual queda asiacute

iv R q n i( ) ] = times+1

Monto de una anualidad variable cierta vencida e inmediata

A partir del valor actual se puede calcular el monto de la anualidad en cualquier otro momen-to utilizando una ecuacioacuten de valores equivalentes El monto podraacute ser determinado median-te el empleo de la foacutermula del monto de un valor a intereacutes compuesto

M C i n= +( )1M A i n= +( )1

M i AR q n in

R q n i( ) ( )( )minus minus= + times1

77 Aplicaciones

R1 = R2 = R3 = Rn ndash 1 = Rqnndash1 Rn = Rq

0 1 2 3 nndash

M = A(1 + i )n

Ejemplo 7721

Una empresa ha arrendado un inmueble por un plazo de cinco antildeos con una renta inicial vencida de $120 000 anuales la cual se incrementaraacute anualmente de acuerdo a la infl acioacuten Ofrece al arrendador cambiar los pagos por un solo pago a la fi rma del contrato a) iquestCuaacutel es el importe del pago uacutenico a la fi rma del contrato si se considera que la infl acioacuten anual promedio seraacute de 5 y la tasa de intereacutes del mercado es de 7 b) iquestCuaacutel seriacutea el monto del pago uacutenico al vencimiento del contrato

a) Para solucionar el problema se determina el valor actual de la anualidad variable uti-lizando la foacutermula (74) de una anualidad variable geomeacutetrica cuando q ne (1 + i)

A Rq i

i qv R q n i

( ) ]( )

+ minus

minus1 11

Sustituyendo

Av( ) ] (

120000 1 05 5 0 07

5120 000

1 1 05 1 0 0= times minus times + 771 0 07 1 05

+ minus

Av( ) ] (

120000 1 05 5 0 07 120 0001 1 276282 0= times minus times 7712986

Av( ) ] 120000 1 05 5 0 07 120 000

1 0 9099710 02

= times minus

Av( ) ]

120000 1 05 5 0 07 120 0000 090003

0 02= times

Av( ) ] 120000 1 05 5 0 07 120 000 4 501444= times

Av( ) ] 120000 1 05 5 0 07 540173 31=

El valor actual de la anualidad es de $54017331

b) El importe del pago uacutenico al vencimiento del contrato se determina utilizando la foacutermu-la de monto a intereacutes compuesto

M A i n= +( )1 M = +540173 31 1 0 07 5 ( )

M = 540173 31 1 402552 ( ) M = 757 621 01

Asiacute seriacutea equivalente para el arrendador recibir 5 pagos anuales vencidos de $120 000 $126 000 $132 300 $138 915 y $145 86075 (cada uno incluye 5 de la infl acioacuten anual estimada) recibir un pago uacutenico de $54017331 a la fi rma del contrato o un pago uacutenico de $757 62101 al vencimiento del contrato considerando una tasa de intereacutes de 7

Ejemplo 7722

Considerando los mismos datos del ejemplo anterior a) iquestcuaacutel es el importe del pago uacutenico a la fi rma del contrato si se considera que la infl acioacuten anual promedio seraacute de 5 y la tasa de intereacutes del mercado es de 5 b) iquestcuaacutel seriacutea el monto del pago uacutenico al vencimiento del contrato

a) Ya que en este caso la tasa de infl acioacuten es igual a la tasa de intereacutes para solucionar el problema se determina el valor actual de la anualidad variable utilizando la foacutermula (75) de una anualidad variable geomeacutetrica cuando q = (1 + i)

Sustituyendo

Av( ) ] 120000 1 05 5 0 075 120 000

1 0 5= times

Av( ) ] 120000 1 05 5 0 07600 0001 0 5

Av( ) ] 120000 1 05 5 0 07 571428 57=

El valor actual de la anualidad es de $57142857 Este importe es mayor al que se ob-tuvo en el ejemplo 7721 ya que la tasa de intereacutes que se aplica es menor

M A i n= +( )1 M = +571428 57 1 0 05 5 ( )

M = 571428 57 1 402552 ( ) M = 729 303 75

Asiacute seriacutea equivalente para el arrendador recibir 5 pagos anuales vencidos de $120 000 $126 000 $132 300 $138 915 y $145 86075 (cada uno incluye 5 de la infl acioacuten anual es-timada) recibir un pago uacutenico de $57142857 a la fi rma del contrato o un pago uacutenico de $729 30375 al vencimiento del contrato considerando una tasa de intereacutes de 5 Como puede observarse el monto que tendriacutea que liquidarse al vencimiento del contrato es me-nor que en el ejemplo anterior porque la tasa de intereacutes es menor

En ambos casos se hubiera llegado a los mismos resultados si se hubiera traiacutedo a va-lor presente cada uno de los pagos anuales y se hubiera calculado a partir de dicho valor presente el monto a liquidar al vencimiento de la operacioacuten

77 Aplicaciones

Valor presente y monto de una anualidadvariable cierta anticipada e inmediata

La representacioacuten graacutefi ca de una anualidad variable anticipada e inmediata es la siguiente

Los pagos se realizan al inicio de cada periodo y se resuelven siguiendo la misma meto-dologiacutea que se vio en el capiacutetulo 5 considerando el primer pago de manera independiente y calculando el valor del resto de los pagos como una anualidad variable cierta vencida e inme-diata La suma de ambos valores proporcionaraacute seguacuten sea el caso el valor actual o el monto de una anualidad variable cierta anticipada e inmediata

Ejemplo 7723

Considere el caso de la empresa que ha arrendado un inmueble por un plazo de cinco antildeos bajo el supuesto de que se pacta una renta inicial anticipada de $120 000 anuales la cual se incrementaraacute anualmente de acuerdo a la infl acioacuten Ofrece al arrendador cam-biar los pagos por un solo pago a la fi rma del contrato a) iquestCuaacutel es el importe del pago uacutenico a la fi rma del contrato si se considera que la infl acioacuten anual promedio seraacute de 5 y la tasa de intereacutes del mercado es de 7 b) iquestCuaacutel seriacutea el monto del pago uacutenico al ven-cimiento del contrato

a) Puesto que el pago inicial se encuentra ya a su valor actual se determina el valor ac-tual de los otros cuatro pagos como una anualidad variable utilizando la foacutermulade una anualidad variable anticipada geomeacutetrica cuando q ne (1 + i)

A R Rq i

i qA R q n i

( ) ]( )

( )= + times minus times +

+ minus

⎣⎢⎢

⎤minus minus minus1 11

⎦⎦⎥⎥

Sustituyendo

AA( ) ]

120000 1 05 5 0 07

4120 000 120 000

1 1 05= + times minus timestimes ++ minus

⎣⎢

⎦⎥

minus( )( )

1 0 071 0 07 1 05

AA( ) ]

120000 1 05 5 0 07 120 000 120 0001 1 215= + times minus 5506 0 762895

0 02times⎡

⎣⎢

⎦⎥

AA( ) ]

120000 1 05 5 0 07 120 000 120 0001 0 927= + times minus 3304

0 02⎡

⎣⎢

⎦⎥

RR11 = = R2 = R3 = Rn ndash 1 = Rqn ndash 1 Rn = Rq

0 1 2 n ndash 1

AA( ) ]

120000 1 05 5 0 07 120 000 120 0000 07269= + times 66

0 02⎡

⎣⎢

⎦⎥

AA( ) ] [ 120000 1 05 5 0 07 120 000 120 000 3 6348= + times 005] AA( ) ] 120000 1 05 5 0 07 120 000 436176 61= + AA( ) ] 120000 1 05 5 0 07 556176 61=

El valor actual de la anualidad variable cierta anticipada e inmediata es de $55617661 que naturalmente resulta superior al valor actual de la anualidad variable cierta ven-cida e inmediata del ejemplo 7721

M A i n= +( )1 M = +556176 61 1 0 07 5 ( )

M = 556176 61 1 402552 ( ) M = 780 066 47

Por lo tanto para el arrendador seriacutea equivalente recibir 5 pagos anuales anticipados de $120 000 $126 000 $132 300 $138 915 y $145 86075 (cada uno incluye 5 de la infl acioacuten anual estimada) recibir un pago uacutenico de $55617661 a la fi rma del contrato o un pago uacuteni-co de $780 06647 al vencimiento del contrato considerando una tasa de intereacutes de 7

Valor presente y monto de una anualidad variable cierta y diferida

La representacioacuten graacutefi ca de una anualidad variable cierta y diferida es la siguiente

Ejemplo 7724

Considere el caso de la empresa que ha arrendado un inmueble por un plazo inicial de ocho antildeos mediante cinco pagos anuales vencidos a partir del tercer antildeo el primero de los cuales seraacute de $120 000 que se incrementaraacuten anualmente de acuerdo con la infl a-cioacuten Ofrece al arrendador cambiar los cinco pagos anuales por un solo pago a la fi rma del contrato a) iquestCuaacutel es el importe del pago uacutenico a la fi rma del contrato si se considera

77 Aplicaciones

R1 = R2 = R3 = Rn ndash 1 Rn = Rq

0 1 2 3 4 5 6 n ndash 1 n

que la infl acioacuten anual promedio seraacute de 5 y la tasa de intereacutes del mercado es de 7 b) iquestCuaacutel seriacutea el monto del pago uacutenico al vencimiento del contrato

El esquema de pagos se muestra a continuacioacuten

Para resolver este problema se determina el valor actual de una anualidad variable cierta vencida e inmediata el que posteriormente se trae nuevamente a valor presente por el nuacutemero de periodos que se haya diferido la operacioacuten

a) Puesto que el pago se realiza al fi nal del tercer periodo utilizando la foacutermula (74) de una anualidad variable geomeacutetrica vencida cierta e inmediata cuando q ne (1 + i) se obtendraacute el valor actual al inicio del periodo 3

A Rq i

i qv R q n i

( ) ]( )

+ minus

minus1 11

Sustituyendo

Av( ) ] (

120000 1 05 5 0 07

5120 000

+ minus

Av( ) ] (

Av( ) ] 120000 1 05 5 0 07 120 000

1 0 9099710 02

= times minus

Av( ) ]

120000 1 05 5 0 07 120 0000 090003

0 02= times

Av( ) ] 120000 1 05 5 0 07 120 000 4 501444= times

Av( ) ] 120000 1 05 5 0 07 540173 31=

El valor de la anualidad al inicio del periodo nuacutemero 3 es de $54017331

Para determinar el valor actual en el periodo 0 se trae a valor presente el valor de la anualidad en el periodo 3 utilizando la foacutermula de intereacutes compuesto

M A i n= +( )1

+= + minus

( )( )

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = Rq4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

A = + minus540173 31 1 0 07 3 ( )A = 540173 31 0 816298 ( )

A = 440 942 33

b) El monto a liquidar al vencimiento del contrato se determina utilizando la misma foacutermu-la de intereacutes compuesto

M A i n= +( )1 M = +440 942 33 1 0 07 8 ( ) M = 440 942 33 1 718186 ( )

M = 757 621 02

78 Uso de ExcelComo se ha realizado en capiacutetulos anteriores en esta seccioacuten se resuelven los ejercicios del capiacutetulo utilizando las funciones de Excel que se disentildearon para simplifi car el caacutelculo de las series de pagos perioacutedicos o anualidades En el caso de las anualidades generales es de-cir aqueacutellas cuyo periodo de pago no coincide con el periodo del pago de los intereses las foacutermulas se aplicaraacuten en combinacioacuten con las otras herramientas de caacutelculo de esta hoja de trabajo

En el ejemplo 721 se ilustra la determinacioacuten del monto de un conjunto de 4 pagos trimes-trales de $5 000 si el intereacutes que se aplica es de 36 anual convertible mensualmente Se pre-sentan a continuacioacuten los dos meacutetodos que se pueden utilizar para resolver el problema

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalenteSi se considera que la tasa de intereacutes que se cobra es mensual en un trimestre existen tres pe-riodos de capitalizacioacuten por lo que se requiere determinar la tasa de intereacutes trimestral efectiva equivalente a una tasa de intereacutes efectiva mensual de 30 (36 12 meses) Para ello se aplica la foacutermula (71) que aparece en el texto

i i pprime = + minus( )1 1

la cual se resuelve en Excel como se muestra a continuacioacuten

78 Uso de Excel

Asiacute la tasa trimestral efectiva es de 0092727 y esta tasa es la que se emplearaacute para deter-minar el monto aplicando la foacutermula del monto de una anualidad simple cierta vencida e inmediata

n= + minus( )1 1

En la hoja de caacutelculo de Excel este problema se soluciona como se ha visto en secciones anteriores utilizando las operaciones aritmeacuteticas de Excel (suma resta multiplicacioacuten divi-sioacuten y exponenciacioacuten) o bien mediante el empleo de sus funciones predefi nidas

en donde

Tasa es la tasa de intereacutes por periodo expresada como tanto por unoNper es el nuacutemero total de periodos de pagoPago es el pago que se efectuacutea cada periodo Va es el capital o valor actual total de una serie de pagos futurosTipo se puede anotar (es un valor optativo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacutendo vencen los pagos Si se anota 0 se calcula el monto de un pago vencido como es un paraacutemetro optativo si se omite el monto se calcula para un pago vencido Si se anota un 1 entonces se calcula como un pago anticipado Para los efectos de las anualidades vencidas que se estudian en esta seccioacuten deberaacute omitirse o capturar siempre un 0

=VF(00927274minus5 0000)

En alguna celda de una hoja de trabajo de Excel se obtiene como resultado $22 95776 que es igual a resultado que se obtuvo en el texto Las opciones para la solucioacuten de este ejem-plo en la hoja de Excel se ilustran a continuacioacuten

Los resultados que arrojan son iguales y la pequentildea diferencia se debe al redondeoEs importante remarcar las observaciones que ya se han hecho con anterioridad

bull La tasa se expresa como tanto por uno (0092727) trimestral esto es 92727 trimestral efectivo que equivale a 3 mensual efectivo

n= +( )1

bull En el nuacutemero de periodos (nper) se indica el nuacutemero de periodos de capitalizacioacuten En este caso 4 trimestres

bull El pago como ya se indicoacute es $5 000 y se anota en la funcioacuten de Excel precedido de un signo negativo puesto que se trata de una erogacioacuten

bull El capital o valor actual (Va) se dejoacute en blanco por lo que aparecen dos comas juntasbull El tipo de la anualidad es vencida por lo que se anotoacute el nuacutemero 0bull Como ya se vio en capiacutetulos anteriores en el caso de la foacutermula que aparece en la co-

lumna D se recomienda iniciar su construccioacuten a partir de la foacutermula (1 + i)n la cual se expresa en Excel como (1+i)^n a partir de la cual se eslabonan las operaciones de suma resta multiplicacioacuten o divisioacuten que se requieran encerrando cada una con su pareacutentesis correspondiente

b) Determinacioacuten de la renta equivalenteCon este meacutetodo se busca encontrar la renta equivalente a cada periodo de pago de intereacutes (renta mensual puesto que la tasa de intereacutes se convierte con dicha periodicidad) Dado que el pago trimestral es de $5 000 y el intereacutes es convertible en forma mensual es necesario de-terminar una renta mensual que al cabo de tres meses acumule $5 000

Si se aplica la foacutermula del monto de una anualidad simple cierta vencida e inmediata se tiene

n= + minus( )1 1

en donde

M = $5 000 i = 003 p = 3 Rprime =

Sustituyendo se tiene

5 0001 0 03 1

3= prime + minus

Rprime =+ minus⎛

⎝⎜

⎠⎟

1 0 03 10 03

cuya solucioacuten en Excel se ilustra maacutes adelanteLa funcioacuten propia de Excel para calcular la renta o pago perioacutedico de una anualidad es

la siguiente

=PAGO(tasanpervavftipo)

En esta funcioacuten al igual que en las anteriores ldquovf rdquo valor futuro y ldquotipordquo son paraacutemetros optativos Tambieacuten igual que antes si se anota el valor futuro en la funcioacuten se debe omitir el valor actual y si se omite el tipo Excel hace los caacutelculos para una anualidad vencida

78 Uso de Excel

=PAGO(0033vaminus5 0000)

Capturando los datos en alguna celda de una hoja de trabajo de Excel se obtiene como resultado $161765 que es igual al resultado que se obtuvo en el texto Las opciones para so-lucionar este ejemplo en la hoja de Excel se ilustran a continuacioacuten

Para determinar el monto de los pagos trimestrales se realiza el caacutelculo del monto de una anualidad simple vencida e inmediata de 12 pagos mensuales de $161765 con 3 de inte-reacutes mensual

Los resultados que arrojan son praacutecticamente iguales a los que se obtuvieron por el meacute-todo de la tasa equivalente Las diferencias se deben al redondeo

En el ejemplo 722 se pide determinar el monto de un conjunto de 10 depoacutesitos mensua-les de $2 500 si el intereacutes que se gana es de 30 convertible semestralmente Al igual que en el ejemplo anterior se puede solucionar determinando la tasa o la renta equivalentes

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalenteSi se considera que la tasa de intereacutes que se cobra es semestral y que los pagos son mensua-les es necesario determinar la tasa de intereacutes efectiva mensual equivalente a 15 de intereacutes semestral efectivo

i i pprime = + minus( )1 1 iprime = minus1 15 11 6

nprime =

+ minus⎛

⎝⎜

⎠⎟

( )1 1

n= + minus( )1 1

Asiacute la tasa trimestral efectiva mensual es de 0023567 y esta tasa es la que se emplearaacute para determinar el monto aplicando la foacutermula del monto de una anualidad simple cierta ven-cida e inmediata

n= + minus( )1 1

Sustituyendo los valores del ejemplo 722 en la foacutermula de Excel para calcular el monto compuesto de una anualidad se tiene

=VF(tasanperpagovatipo) =VF(002356710minus2 5000)

En alguna celda de una hoja de trabajo de Excel se obtiene como resultado $27 82498 que es praacutecticamente igual al resultado que se obtuvo en el texto Las opciones para solucionar este ejemplo en la hoja de Excel se ilustran a continuacioacuten

b) Determinacioacuten de la renta equivalentePara calcular la renta equivalente semestral se determina el monto de seis pagos mensuales de $2 500 considerando la tasa de intereacutes mensual que se determinoacute arriba 0023567

La renta equivalente se puede determinar utilizando la funcioacuten de valor futuro de Excel

=VF(tasanperpagovatipo)

Sustituyendo valores se tiene

=VF(00235676minus2 5000)

78 Uso de Excel

n= + minus( )1 1

O bien si se aplica la foacutermula del monto de una anualidad simple cierta vencida e inmediata

n= + minus( )1 1

en donde

M = i = 0023567 p = 6 Rprime = 2 500

M = + minus2500

1 0 023567 10 023567

Las soluciones en Excel se muestran en el siguiente cuadro

Los resultados que se obtienen son iguales a los que se presentan en el libroEn el ejemplo 723 se pide calcular el valor actual de la anualidad del ejemplo 721 esto

es el de cuatro pagos trimestrales de $5 000 con una tasa de intereacutes de 36 anual convertible mensualmente Al igual que en el caso del monto se puede resolver por cualquiera de los dos meacutetodos que ya se explicaron a) encontrar la tasa equivalente por trimestre o b) encontrar la renta equivalente por mes

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalenteLa tasa trimestral efectiva que ya se determinoacute en el ejemplo 721 es de 0092727 y es la que se emplearaacute para determinar el valor actual de una anualidad simple cierta vencida e inmediata mediante el empleo de la foacutermula que se vio en el capiacutetulo 4

C = minus + minus5 000

1 1 0 0927270 092727

n= + minus( )1 1

O bien mediante la funcioacuten de valor actual de Excel

Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el valor actual de la anualidad sin embargo Excel permite calcular el valor actual de ella conociendo el mon-to (Vf) por ello si se anota el valor del pago no se requiere Vf y a la inversa si se incluye el monto se debe omitir el pago Ya se ilustroacute esta cuestioacuten para calcular el monto y se ilustra para el caso del valor actual maacutes adelante

Tipo al igual que para calcular el monto o valor futuro se puede anotar (es un valor optati-vo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacutendo vencen los pagos Si se anota 0 se calcula el monto de una anualidad vencida (que es el caso que se estudia en esta seccioacuten) como es un paraacutemetro optativo si se omite el monto se calcula para una anualidad vencida Si se anota un 1 entonces se calcula como una anualidad anticipada tal como se vio en el capiacutetulo 5

Los resultados son iguales al que se presenta en el texto

b) Determinacioacuten de la renta equivalenteEn el ejemplo 721 se determinoacute el valor de la renta mensual equivalente

Rprime = 161765

Con este valor se puede determinar el valor actual de una anualidad simple cierta venci-da e inmediata de 12 pagos mensuales a una tasa de intereacutes de 3 mensual (36 anual)

1 1 0 030 03

78 Uso de Excel

n= minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus1 1( )

=VA(tasanperpagovftipo) =VA(003121617650)

que son los mismos resultados que aparecen en el textoEn el ejemplo 724 se pide calcular el monto y el valor actual de un conjunto de 24 pagos

bimestrales de $4 500 si el intereacutes es de 5 trimestral efectivo y se requiere resolverlo con el uso de la tasa equivalente

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalentePara determinar la tasa de intereacutes equivalente es necesario recordar que la tasa de intereacutes efec-tiva bimestral es igual a la tasa de intereacutes efectiva trimestral elevada a un exponente de 23

i i pprime = + minus( )1 1iprime = minus( ) 1 05 12 3

Una vez que se ha determinado la tasa de intereacutes equivalente es posible determinar el monto y el valor actual de la serie de pagos perioacutedicos

Sustituyendo valores se tiene que

1 1 0 0927270 092727

n= minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus1 1( )

Tasa Nper y Pago son los tres valores que se requieren para calcular el valor actual de la anualidad sin embargo Excel permite calcular el valor actual de ella conociendo el mon-to (Vf) por ello si se anota el valor del pago no se requiere Vf y a la inversa si se incluye el monto se debe omitir el pago Ya se ilustroacute esto para el caacutelculo del monto y se ilustra para el caso del valor actual maacutes adelante

Tipo Al igual que para calcular el el monto o valor futuro se puede anotar (es un valor opta-tivo no obligatorio) un nuacutemero 0 o 1 que indica cuaacutendo vencen los pagos Si se anota 0 se calcu-la el monto de una anualidad vencida (que es el caso que se estudia en esta seccioacuten) como es un paraacutemetro optativo si se omite el monto se calcula para una anualidad vencida Si se anota un 1 entonces se calcula como una anualidad anticipada tal como se vio en el capiacutetulo 5

Los resultados son iguales al los que se presentan en el texto

Rprime = 161765

1 1 0 030 03

78 Uso de Excel

n= minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus1 1( )

El resultado es el mismo que aparece en el textoEl ejemplo 725 plantea la determinacioacuten de un pago quincenal equivalente a uno tri-

mestral de $2 250 si el intereacutes es de 22 capitalizable semestralmente

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalenteLa tasa del 22 anual capitalizable semestralmente equivale a una tasa efectiva de 11 semes-tral y ya que se requiere determinar un pago quincenal seraacute necesario encontrar la tasa quin-cenal efectiva tomando en consideracioacuten que existen 12 quincenas por semestre

Ya determinada la tasa de intereacutes equivalente se determina el pago quincenal por medio de una anualidad simple equivalente

n= + prime minus( )

Sustituyendo los valores conocidos a saber monto ($2 250 que es el pago trimestral) la tasa de intereacutes (0008735) y el nuacutemero de periodos (6 quincenas por trimestre) se tiene

2 2501 0 008735 1

0 008735

6= + minus

O bien se sustituye en la funcioacuten PAGO de Excel

n= minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus1 1( )

PAGO(000873562 2500)

En defi nitiva $36689 es el pago quincenal equivalente a un pago trimestral de $2 250

En el ejemplo 731 se plantea el problema de la determinacioacuten del descuento quincenal que se haraacute a un empleado para liquidar un seguro de automoacutevil con valor de $5 750 si el intereacutes aplicable es de 18 anual capitalizable mensualmente

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalenteLa tasa de 18 anual capitalizable mensualmente equivale a una tasa efectiva de 15 men-sual efectiva La tasa quincenal seriacutea

Dado que el pago del seguro es anticipado una vez determinada la tasa de intereacutes equi-valente se determina el monto de cada uno de los 24 pagos quincenales utilizando la foacutermula del valor presente de una anualidad simple equivalente

5 7501 1 0 007472

0 007472

24= minus + minus

78 Uso de Excel

nprime =

+ minus⎛

⎝⎜

⎠⎟

( )1 1

O bien mediante la funcioacuten de PAGO de Excel

PAGO(0007472245 7500)

Asiacute al igual que en el texto se determina que se deben hacer $26260 de descuento quincenal

En el ejemplo 732 se pide encontrar el depoacutesito semanal que debe realizarse para aho-rrar $115 000 en dos antildeos si se gana un intereacutes de 025 mensual efectivo y se consideran 48 semanas por antildeo

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalenteLa tasa de 025 mensual efectiva se convierte a una tasa semanal efectiva considerando cua-tro semanas por mes

Puesto que se conoce el monto que se desea reunir ($115 000) al cabo de dos antildeos se uti-liza la foacutermula del monto de una anualidad simple vencida y ordinaria considerando 96 abo-nos semanales (2 antildeos por 48 semanas)

n= + prime minus

prime( )1 1

115 0001 0 000624 1

0 000624

96= + minus

O sustituyendo en la funcioacuten PAGO de Excel

PAGO(000062496115 0000)

En el ejemplo 733 se requiere determinar el importe de cada uno de los 36 pagos men-suales para cubrir 60 del valor de un automoacutevil que cuesta $237 250 al contado si el intereacutes aplicable es de 465 efectivo trimestral

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalentePara determinar la tasa efectiva mensual se aplica la foacutermula que se vio anteriormente

Dado que el valor al contado del automoacutevil es de $237 250 es necesario determinar el im-porte de 60 que seraacute liquidado mediante abonos mensuales

Pago en mensualidades = 237 250 times 060 = 142 350

Los $142 350 constituyen el valor presente de una anualidad simple cierta vencida e in-mediata de 36 pagos mensuales a una tasa de intereacutes efectiva mensual de 15266

142 3501 1 0 015266

0 015266

36= minus + minus

78 Uso de Excel

nprime =

+ minus⎛

⎝⎜

⎠⎟

( )1 1

Utilizando la funcioacuten de PAGO de Excel se tiene

PAGO(001526636142 3500)

La solucioacuten en Excel

En el ejemplo 734 se pide determinar el importe de 15 pagos mensuales equivalentes a 10 pagos bimestrales de $5 650 si se pacta una tasa de intereacutes de 12 anual efectivo

En primer lugar se determina el valor actual de los 10 pagos bimestrales de $5 650

a) Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalente Se determina la tasa de intereacutes bimestral (6 bimestres por antildeo)

El valor actual de los 10 pagos bimestrales de $5 650 se determina aplicando la foacutermula del valor actual de una anualidad simple cierta vencida e inmediata con una tasa de 19068 efectiva bimestral

1 1 0 0190680 019068

Utilizando la funcioacuten de valor actual de Excel se tiene

=VA(tasanperpagovftipo) =VA(0019068105 6500)

El resultado es praacutecticamente igual a los $51000 que aparecen en el libro pues los centa-vos de diferencia se deben a redondeos

Una vez que se ha determinado el valor actual de los pagos bimestrales se establece el va-lor de los pagos mensuales para lo cual se calcula la tasa mensual equivalente

i i pprime = + minus( )1 1iprime = minus( ) 1 12 1112

Para encontrar el pago mensual se determina la renta utilizando la foacutermula del valor actual de una anualidad considerando un valor actual de $51000 y una tasa de intereacutes de 09489

50 999 981 1 0 009489

0 009489

= minus + minusR

PAGO(00094891550 999980)

78 Uso de Excel

n= minus +⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

minus1 1( )

Exactamente la misma solucioacuten que aparece en el texto

783 Tasa de intereacutes y plazo (seccioacuten 74)En el ejemplo 741 se pide determinar la tasa de intereacutes efectiva anual a la que tendriacutean que hacerse 15 depoacutesitos bimestrales de $600 para que arrojen un monto de $11600 en el momen-to de hacer el uacuteltimo depoacutesito

Para determinar la tasa de intereacutes que se plantea en los ejemplos 741 y 742 se puede recurrir a la foacutermula del monto de una anualidad y una vez determinado el factor ensayar diversos valores de tasa de intereacutes para aproximar dos de ellos y realizar una interpolacioacuten o bien utilizar la funcioacuten de Excel denominada TASA que contiene los siguientes argumentos

Nper es el nuacutemero total de periodos de pago en una anualidadPago es el pago efectuado en cada periodo que no puede variar durante la vida de la anua-

lidad Si se omite el argumento pago deberaacute incluirse el argumento vf Se registra como un valor negativo

Va es el valor actual es decir el valor que tiene actualmente una serie de pagos futurosVf es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr despueacutes de efectuar el uacuteltimo

pago Si el argumento vf se omite se supone que el valor es 0 (por ejemplo el valor futu-ro de un preacutestamo es 0)

Tipo es el nuacutemero 0 o 1 que indica el vencimiento de los pagos

Estimar es la estimacioacuten de la tasa de intereacutes

bull Si el argumento estimar se omite se supone que es de 10bull Si TASA no converge trate de usar diferentes valores para el argumento estimar TASA

Asiacute sustituyendo los valores proporcionados en el ejemplo se tiene

TASA(15minus600va116000)

Es necesario prestar atencioacuten al hecho de que el pago debe introducirse con signo nega-tivo a fi n de que la funcioacuten pueda proporcionar un resultado correcto

La solucioacuten en Excel se presenta a continuacioacuten

La tasa de intereacutes efectiva bimestral es 3526407 que es praacutecticamente la misma que se presenta en el texto

Una vez conocida la tasa efectiva bimestral se determina la tasa efectiva anual

j i p= + prime minus( )1 1j = + minus( )1 0 035264 16

Sustituyendo en Excel

La tasa de intereacutes efectiva anual es 2311En el ejemplo 742 se pide determinar la tasa anual capitalizable semestralmente que

gana un depoacutesito de $32 000 a partir del cual se efectuacutean 24 retiros trimestrales de $2 000Para solucionarlo se utiliza la siguiente funcioacuten de Excel

TASA(24minus2 00032 0000)

78 Uso de Excel

La tasa de intereacutes efectiva bimestral es de 3534702Una vez conocida la tasa efectiva trimestral se determina la tasa efectiva semestral

La tasa de intereacutes efectiva semestral es de 72198 por lo tanto la tasa anual seriacutea de 1444 La diferencia con la cifra de 1439 que se presenta en el texto se explica por las aproximaciones derivadas de la interpolacioacuten asiacute como por los redondeos

En el ejemplo 743 se pide determinar el nuacutemero de depoacutesitos semestrales (plazo) de $59574 que se requiere para acumular $8 500 en una cuenta que rinde 25 bimestral

Para solucionarlo en primer lugar se calcula la tasa semestral equivalente a 25 bimestral (un semestre es igual a tres bimestres)

i i pprime = + minus( )1 1iprime = minus( )1 025 13

Por lo tanto la tasa efectiva semestral es de 76890 que seraacute la que se emplearaacute para de-terminar el plazo sustituyendo los valores conocidos en la foacutermula del monto de una anualidad simple cierta vencida e inmediata

n= + minus( )1 1

8500 595 741 0 076890 1

0 076890= + minus

Para determinar en Excel el valor de n se cuenta con dos opciones

a) Despejar la literal n y calcular su valor utilizando logaritmosb) Sustituir los valores en la funcioacuten de Excel para calcular el nuacutemero de periodos de una

anualidad como se ilustra a continuacioacuten

=NPER(tasapagovavftipo)=NPER(0076890minus59574va8 5000)

Como en todos los ejemplos anteriores debe destacarse que el pago perioacutedico se registra con signo negativo en la funcioacuten de Excel

El ejemplo 744 plantea dos preguntas

a) iquestCuaacutel es el nuacutemero de pagos mensuales completos de $125 000 que se deben efectuar para liquidar un preacutestamo de $1875 000 si el intereacutes pactado es de 25 anual efectivo

b) iquestCuaacutel es el monto del pago fi nal menor que se debe realizar un mes despueacutes del uacuteltimo pago completo para liquidar totalmente el preacutestamo

La tasa efectiva mensual es de 1876926 que es la que se emplearaacute para determinar el pla-zo sustituyendo los valores conocidos en la foacutermula del valor actual de una anualidad simple cierta vencida e inmediata

1875 0001 1 0 018769

0 018769= minus + minus

78 Uso de Excel

Como se vio en el ejemplo anterior para determinar en Excel el valor de n se tienen dos opciones

=NPER(tasapagovavftipo) =NPER(0018769minus125 0001875 0000)

Excel nos indica que se deben hacer 1778 pagos lo cual implica que se requieren 17 pa-gos completos

La determinacioacuten del pago menor que se debe realizar en el mes 18 se ilustra claramen-te en el texto y los tipos de caacutelculos que se requieren ya han sido explicados antes por lo que por comodidad aquiacute se omiten

Los ejemplos que hasta aquiacute se han resuelto ilustran abundantemente las posibilidades que ofrece Excel para solucionar los distintos tipos de problemas de anualidades ya sea a tra-veacutes del desarrollo de las foacutermulas que se presentan en el libro o bien mediante la utilizacioacuten de las funciones fi nancieras integradas que la misma hoja de caacutelculo ofrece La solucioacuten de anualidades anticipadas o diferidas puede realizarse siguiendo los ejemplos que se presenta-ron considerando las variaciones pertinentes

79 ResumenEl caso general de las anualidades se refi ere a aquellas en las cuales el periodo de pago y el de capitalizacioacuten no coinciden Para resolver este tipo de anualidades lo maacutes faacutecil es modifi car sus planteamientos para ajustarlas al caso simple y luego resolverlas mediante las foacutermulas que se explicaron con anterioridad

Los dos meacutetodos que pueden utilizarse para convertir anualidades generales en simples son

1 Determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalente2 Determinacioacuten de la renta equivalente

Ademaacutes dado que ambos procedimientos arrojan los mismos resultados el lector deberaacute aplicar el que le resulte maacutes accesible

Al revisar los planteamientos de las anualidades generales conviene identifi car en cuaacutel de los dos casos posibles cae pues ello determina queacute procedimiento de solucioacuten es maacutes sencillo

1 El periodo de pago es maacutes largo que el de capitalizacioacuten

2 El periodo de pago es maacutes corto que el de capitalizacioacuten

Para los diferentes casos posibles de anualidades generales (vencidas anticipadas inmediatas y diferidas) tambieacuten son aplicables las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas y sus correspondientes adaptaciones como se vieron en los capiacutetulos anteriores

bull Definir y explicar queacute es una anualidad generalbull Identificar situaciones que se pueden representar mediante anualidades generalesbull Utilizar el meacutetodo de

la tasa equivalente y el de la renta equivalente para resolver problemas planteados en forma de anualidades ge-

nerales que le permita determinar el monto el valor actual la renta el plazo o la tasa de intereacutes seguacuten sea necesario

bull Anualidad generalbull Renta equivalentebull Tasa de intereacutes equivalente

iprime = (1 + i)p minus 1 (71) A Rq i

i qv R q n i

( ) ]( )

+ minus

minus1 11

M R ii

n= + prime minus

prime( )1 1 (72) A

n Riv R q n i( ) ] = times

+1 (75)

(73) A R Rq i

i qA R q n i

( ) ]( )

+ minus

⎣⎢⎢

⎦⎦⎥⎥

1 iquestQueacute es una anualidad general 2 iquestQueacute es una anualidad general anticipada 3 iquestQueacute es una anualidad general diferida 4 Deacute un ejemplo de anualidad general cierta vencida e inmediata 5 Deacute un ejemplo de una anualidad general anticipada 6 Deacute un ejemplo de una anualidad general diferida 7 Encuentre el monto de un conjunto de 14 pagos vencidos e inmediatos de $1816 cada

dos meses si el intereacutes es de 166 capitalizable mensualmente 8 iquestCuaacutel es el valor actual (al principio de cada antildeo) de 24 pagos quincenales vencidos de

$14690 si el intereacutes es de 14 efectivo semestral 9 iquestCuaacutel es el valor anual (al principio de cada antildeo) de pagos quincenales anticipados

de $5 000 si el intereacutes es de 21 anual convertible semestralmente10 iquestQueacute pago trimestral anticipado es equivalente a pagos quincenales vencidos de $100 si

el intereacutes es de 6 capitalizable mensualmente11 iquestQueacute pago bimestral vencido es equivalente a pagos semestrales anticipados de $1470 a

15 quincenal12 La sentildeora Martiacutenez comproacute un televisor con precio de $8 900 Entregoacute 15 de enganche

y se comprometioacute a pagar el saldo mediante 12 pagos mensuales vencidos con un intereacutes de 20 efectivo anual iquestCuaacutel es el importe de los pagos

13 iquestCuaacutento se necesita ahorrar cada fin de antildeo en una cuenta que paga 555 capitalizable mensualmente para acumular $50 000 en el momento de realizar el quinto depoacutesito

14 Un estudiante tiene una calculadora que desea cambiar dentro de 6 meses Considera que puede venderla dentro de 6 meses en $150 y que el valor de la que desea comprar en esa fecha seraacute de $985 iquestCuaacutento debe ahorrar cada quincena comenzando dentro de quince diacuteas para tener el dinero que necesita si puede invertir sus ahorros con un intereacutes de 10 efectivo semestral

15 Se hicieron depoacutesitos trimestrales de $150 vencidos a 6 capitalizable mensualmente iquestCuaacutentos depoacutesitos se hicieron si un mes despueacutes de realizado el uacuteltimo se teniacutea un mon-to de $15 07872

16 Una empresa desea invertir $300 000 en un proyecto que seguacuten los planes deberaacute pro-ducir un flujo de ingresos de $42 000 bimestrales vencidos durante dos antildeos iquestQueacute tasa de intereacutes efectivo anual rendiriacutea el proyecto

17 Encuentre el monto y el valor actual de 12 pagos bimestrales de $100 a 3 de intereacutes ca-pitalizable mensualmente si el primero de ellos se hace hoy

18 A un estudiante se le asigna una beca que le otorga $1850 mensuales y que comenzaraacute a recibir dentro de 4 meses y medio Calcule el valor actual de la beca si el intereacutes es de 15 capitalizable bimestralmente y la beca tiene una duracioacuten de 2 antildeos

19 Una empresa debe $250 000 de impuestos Para pagar se le ha concedido un plazo de gra-cia de 6 meses sin intereses y puede hacerlo mediante 6 pagos mensuales realizado el pri-mero de ellos dentro de 6 meses Si el intereacutes que se le carga en el segundo semestre es de 12 capitalizable quincenalmente iquestde queacute cantidad deben ser los pagos mensuales

301Ejercicios complementarios

20 A queacute tasa efectiva anual equivale a) 48 capitalizable semestralmente b) 40 capitalizable mensualmente c) 35 mensual efectivo d) 15 semestral capitalizable bimestralmente e) 05 mensual capitalizable quincenalmente21 iquestQueacute tasa anual capitalizable mensualmente es equivalente a a) 2 efectivo mensual b) 5 bimestral efectivo c) 6 trimestral efectivo22 iquestA queacute tasa efectiva anual crecioacute una inversioacuten de $60423 bimestrales anticipados durante

dos antildeos si su monto 4 meses despueacutes del inicio del uacuteltimo periodo de pago fue de $10 500

Amortizacioacuten y fondos de amortizacioacuten

bull Explicar queacute es amortizacioacuten y fondo de amortizacioacuten asiacute como sus semejanzas y diferencias

bull Identificar situaciones en las que se aplican estos conceptos

bull Construir tablas de amortizacioacuten y de fondos de amortizacioacuten

bull Determinar el saldo acreedor y el deudor en cualquier tiempo en una operacioacuten de amortizacioacuten

bull Calcular el valor de los pagos o la tasa deintereacutes o el plazo en operaciones de amor-tizacioacuten

bull Calcular el valor de los depoacutesitos la tasa de intereacutes o el plazo en operaciones de fondo de amortizacioacuten

Objetivos 81 Introduccioacuten 82 Tablas de amortizacioacuten 83 Importe de los pagos en una amor-

tizacioacuten 84 Derechos adquiridos por el deudor y

saldo a favor del acreedor 85 Nuacutemero de pagos en una amortiza-

cioacuten 86 Tasa de intereacutes en una amortizacioacuten 87 Otros casos de amortizacioacuten 88 Depoacutesitos a un fondo de amortizacioacuten 89 Total acumulado en un fondo de

amortizacioacuten y saldo insoluto de la deuda

810 Nuacutemero de depoacutesitos en un fondo de amortizacioacuten

811 Tasa de intereacutes en un fondo de amor-tizacioacuten

812 Comparacioacuten entre amortizacioacuten y fondo de amortizacioacuten

813 Aplicaciones 814 Uso de Excel 815 Resumen

Temario

CAPIacuteTULO8

CAPIacuteTULO 8 AMORTIZACIOacuteN Y FONDOS DE AMORTIZACIOacuteN304

81 IntroduccioacutenEn el aacuterea fi nanciera amortizacioacuten signifi ca saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que generalmente son iguales y que se realizan tambieacuten a intervalos iguales Aunque esta igualdad de pagos y de periodicidad es lo maacutes comuacuten tambieacuten se llevan a cabo operaciones con ciertas variantes por lo que aquiacute se analizan algunas de estas situaciones

Ejemplo 811

Sergio Campos contrae hoy una deuda de $95 000 a 18 convertible semestralmente que amortizaraacute mediante 6 pagos semestrales iguales R el primero de los cuales vence dentro de 6 meses iquestCuaacutel es el valor de R

SolucioacutenLos pagos constituyen una anualidad simple cierta vencida e inmediata con valor ac-tual de $95 000

R = C = 95 000 i = 0182 = 009 n = 6

Si C Ri

6minus +=

minus=

minus minus( ) ( )000(009)

04003733 R = 21 17736

Seis pagos semestrales vencidos de $21 17736 amortizan una deuda con valor actual de $95 000 con intereacutes de 9 semestral

Por otro lado el concepto de fondo de amortizacioacuten es el inverso del de amortizacioacuten ya que en el primero la deuda que se debe pagar es una cantidad en valor actual mientras que en el caso del fondo se habla de una cantidad o deuda que se debe pagar en el futuro para lo cual se acumulan los pagos perioacutedicos con el objeto de tener en esa fecha futura la cantidad necesaria

Ejemplo 812

Una empresa obtiene un preacutestamo por $700 000 que debe liquidar al cabo de 6 antildeos El Consejo de administracioacuten decide que se hagan reservas anuales iguales con el objeto de pagar la deuda en el momento de su vencimiento Si el dinero del fondo se puede inver-tir de manera que produzca 16 de intereacutes iquestcuaacutento se deberaacute depositar en el fondo para acumular $700 000 al cabo de 6 antildeos

SolucioacutenEn este caso la deuda es el monto de una anualidad simple cierta vencida e inmediata

R = M = 700 000 i = 016 n = 6

n= + minus( )1 1

R =minus

=700 000(016)(116)

112 00014363966 1

R = $77 97291

En forma breve y simplifi cada

bull La amortizacioacuten se refi ere a la extincioacuten mediante pagos perioacutedicos de una deuda actual bull Los fondos de amortizacioacuten son acumulacioacuten de pagos perioacutedicos para liquidar una

deuda futura

Este capiacutetulo se divide en dos partes principales en las secciones 2 a 7 se analiza lo referente a la amortizacioacuten mientras que las secciones 8 a 11 se ocupan de los fondos de amortizacioacuten

82 Tablas de amortizacioacutenLos pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses y a redu-cir el importe de la deuda Para visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla de amortizacioacuten que muestre lo que sucede con los pagos los intereses la deuda la amortiza-cioacuten y el saldo

Ejemplo 821

En el ejemplo 811 teniacuteamos una deuda de $95 000 contratada a 18 convertible semes-tralmente y que se iba a amortizar mediante pagos semestrales de $21 17736 Para com-prender mejor este tema es necesario construir la tabla de amortizacioacuten

Solucioacuten

FechaPago

semestralIntereacutes

sobre saldo Amortizacioacuten Saldo

En el momento de la operacioacuten 95 00000Fin del semestre 1 21 17736 8 55000 12 62736 82 37264Fin del semestre 2 21 17736 7 41354 13 76382 68 60882Fin del semestre 3 21 17736 6 17479 15 00257 53 60625Fin del semestre 4 21 17736 4 82456 16 35280 37 25345Fin del semestre 5 21 17736 3 35281 17 82455 19 42890Fin del semestre 6 21 17750 1 74860 19 42890 000 Totales 127 06430 32 06431 95 00000 mdash

82 Tablas de amortizacioacuten

En la tabla se puede observar que

bull La suma de los pagos anuales es igual a la suma de los intereses maacutes la suma de las amortizaciones

bull El saldo como ya se habiacutea visto es igual al saldo anterior maacutes los intereses menos el pago bull Por ejemplo el saldo $53 60625 del fin del semestre 3 es igual al saldo anterior

($68 60882) maacutes los intereses del periodo ($6 17479) menos el pago ($21 17736) = 53 60625

53 60625 = 68 60882 + 6 17479 minus 21 17736

bull La amortizacioacuten es igual al pago menos los intereses En cada periodo subsecuente cada vez va siendo mayor la parte del pago que se aplica a la amortizacioacuten ya que al mis-mo tiempo tambieacuten disminuyen tanto el saldo como los intereses correspondientes

bull Se puede ver claramente cuaacutento es lo que resta por pagar al fi nal de cada semestre el saldo

bull El valor del uacuteltimo pago semestral se ajustoacute para que coincidiera exactamente con el saldo de la deuda 1 74860 + 19 42890 = 21 17750

Aunque el ajuste en este caso fue de soacutelo 14 centavos en casi todas las operacio-nes es necesario hacerlo debido a pequentildeas diferencias ocasionadas por redondeo

bull Ademaacutes en la tabla se puede apreciar

a) Los pagos la cantidad que se paga en cada periodo en parte sirve para pagar los intereses correspondientes y en parte para amortizar el saldo de la deuda

b) Las amortizaciones la parte de cada pago (pago menos intereses) que se aplica a la reduccioacuten del saldo deudor

Como en las secciones siguientes se utilizaraacuten las tablas de amortizacioacuten por el momento es sufi ciente con esta ilustracioacuten

De lo que se ha visto hasta aquiacute se puede apreciar que las operaciones de amortizacioacuten se resuelven utilizando las foacutermulas de anualidades de acuerdo con las condiciones de amor-tizacioacuten planteadas Como el tema de anualidades ya ha sido cubierto ampliamente en las secciones siguientes se hace hincapieacute en el anaacutelisis de las cuatro principales incoacutegnitas que se pueden plantear en una operacioacuten de este tipo a saber

bull El importe de los pagosbull El nuacutemero de pagosbull La tasa de intereacutesbull Los derechos adquiridos por el deudor y el saldo a favor del acreedor

83 Importe de los pagos en una amortizacioacuten Ejemplo 831

Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortizacioacuten para saldar un adeudo de $4 000 000 con un intereacutes de 36 convertible bimestralmente si la deuda debe ser saldada al cabo de un antildeo haciendo pagos bimestrales que comienzan dentro de 2 meses

Solucioacuten

C = 4 000 000 n = 6 i = 0366 = 006

minus +=

minus=

minus1 14 240

( )000 000(006)1 (106)

006minus

00029503946

R = 813 450514

Tabla del ejemplo 831

FechaPago

bimestral6 sobre

saldo insoluto Amortizacioacuten Saldo

Al contratar 4 000 00000Fin bimestre 1 813 450514 240 00000 573 45051 3 426 54949Fin bimestre 2 813 450514 205 59297 607 85754 2 818 69194Fin bimestre 3 813 450514 16912152 644 32900 2174 36294Fin bimestre 4 813 450514 130 46178 682 98874 149137420Fin bimestre 5 813 450514 89 48245 723 96806 767 40615Fin bimestre 6 813 450514 46 04437 767 40615 000 Totales 4 880 70308 880 70308 4 000 00000

Ejemplo 832

Una deuda de $100 000 se debe amortizar en 12 meses mediante tres pagos de $30 000 al fi nal de otros tantos periodos de 3 meses y un pago que salde la deuda al cabo de 12 meses Si el tipo de intereacutes es de 28 capitalizable trimestralmente elabore una tabla de amortizacioacuten de la deuda

Solucioacuten

FechaPago

bimestral7 sobre

saldo insoluto Amortizacioacuten SaldoAl contratar 100 00000Fin trimestre 1 30 000000 7 00000 23 00000 77 00000Fin trimestre 2 30 000000 5 39000 24 61000 52 39000Fin trimestre 3 30 000000 3 66730 26 33270 26 05730Fin trimestre 4 27 881311 182401 26 05730 000 Totales 117 88131 17 88131 100 00000

Observe que si se conoce el importe de los primeros pagos se puede ir construyendo directamente la tabla para al llegar exactamente al uacuteltimo periodo calcular el valor del uacuteltimo pago sumando el saldo a los intereses (26 05730 + 182401 = 27 88131)

83 Importe de los pagos en una amortizacioacuten

84 Derechos adquiridos por el deudor y saldo a favor del acreedor

Resulta faacutecil ver que por ejemplo en una operacioacuten de compra-venta a creacutedito despueacutes de que el deudor ha realizado algunos pagos ha adquirido parcialmente el bien mientras que el acreedor al haberlos recibido ya no es propietario de todos los derechos sobre el bien sino soacutelo de una parte (el saldo a su favor) En general en cualquier operacioacuten de amortizacioacuten de una deuda y en cualquier momento

Derechos del deudor + Derechos del acreedor = Valor de la operacioacuten

Para ilustrar lo que decimos

Ejemplo 841

En el ejemplo 811 se teniacutea una deuda de $95 000 contratada a 18 convertible semes-tralmente que se iba a liquidar con 6 pagos semestrales de $2117736 Por conveniencia se reproduce enseguida la correspondiente tabla de amortizacioacuten

FechaPago

Al momento de la operacioacuten 95 00000Fin del semestre 1 21 17736 8 55000 12 62736 82 37264Fin del semestre 2 21 17736 7 41354 13 76382 68 60882Fin del semestre 3 21 17736 6 17479 15 00257 53 60625Fin del semestre 4 21 17736 4 82456 16 35280 37 25345Fin del semestre 5 21 17736 3 35281 17 82455 19 42890Fin del semestre 6 21 17750 1 74860 19 42890 000 Totales 127 06430 32 06431 95 00000 mdash

Resulta claro que por ejemplo los $68 60882 que es el saldo al fi nal del segundo se-mestre son los derechos auacuten en propiedad del acreedor mientras que los derechos del deudor seriacutean

95 000 minus 68 60882 = 26 39118

Sin necesidad de elaborar la tabla se podriacutean calcular estas cantidades de la siguien-te manera

a) Derechos del acreedor (saldo)

95 21177 361 09 1

0 09112

2000(109)

2 minus minus =( )

00 44 26068 68 60882minus =

en donde

bull Los $112 86950 son el valor de la deuda al cabo de los dos semestres bull Los $44 26068 son el valor de los dos pagos realizados al fi nal del segundo semestre

b) Derechos del deudor

21177 361

0 0995 95

(109)000)(109) 000

22minus minus minus ]]

26068 17 86950 $26 39118

minus44 =

en donde otra vez los $44 26068 son el valor de los pagos realizados al fi nal del segundo semestre y los $17 86950 son los intereses ocasionados por el uso o disfrute (usufructo) de los $95 000 objeto del preacutestamo

Ejemplo 842

La sentildeora Guajardo compra un departamento en condominio valuado en $2 800 000 por el cual paga un enganche de $800 000 El resto se fi nancia con un preacutestamo bancario a 15 antildeos con intereacutes a 36 convertible mensualmente Hallar

a) El valor de los pagos mensuales y b) El saldo insoluto al fi nal del deacutecimo antildeo

Solucioacuten

R = n = 15(12) = 180 i = 03612 = 003 C = 2 800 000 minus 800 000 = 2 000 000

a) RCi

minus +=

minus=

minus minus1 12 60

( )000 000(003)

1 (103)0

180000

09951101029484= $60

El pago mensual seriacutea de $60 29484

b) 2 601

0 03000 000(103) 29484

(103)120120

minus minus =

= 2 000 000(34710987) minus 60 29484(1123699571)69 421974 minus 67 753 28585 = $1668 68815

Asiacute en 10 antildeos se habriacutean liquidado menos de $33131185 del preacutestamo original

Ejemplo 843

Una persona adquiere un automoacutevil a creacutedito El vehiacuteculo cuesta $187 500 Si da un en-ganche de $75 000 y comienza a pagar mensualidades vencidas de $4 48489 iquestqueacute pro-porcioacuten del saldo habraacute amortizado exactamente al pagar la duodeacutecima mensualidad si se pactoacute un intereacutes de 252 convertible mensualmente

SolucioacutenPara determinar esa proporcioacuten primero es necesario calcular el monto de los derechos adquiridos por el deudor en el momento del pago nuacutemero 12

C = 112 500 R = 4 48489 n = 12 i = 025212 = 00210

0 02106048489

(10210)49113

12 minus⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

Por otro lado el valor de la deuda al duodeacutecimo mes es de

112 500(1021)12 = 144 36484

Por lo tanto la proporcioacuten pagada del saldo es

0 41949113

144 36484o sea 419=

85 Nuacutemero de pagos en una amortizacioacuten

Ejemplo 851

iquestCuaacutentos pagos mensuales de $15 000 son necesarios para saldar una deuda de $180 000 contratada hoy a 18 convertible mensualmente

Solucioacuten

C = 180 000 i = 01812 = 0015 R = 15 000 n =

De C Ri

i nminus = minus + minus1 1( )

( )1 1+ = minusminusiCiR

minus + = minus⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n iCiR

log(1 ) log 1

= minusminus

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+= minus

minuslog

log ( )

1 180 000(00155)15 000

log (1015)

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

= minus = minus minuslog ( )log ( )

0 821 015

0 08618614760 00644660422249

13 32904=

seriacutea necesario

a) Hacer 12 pagos de $15 000 y un pago fi nal mayor o b) Hacer 13 pagos de $15 000 y un pago fi nal menor a saber

a) Al fi nal del pago 12 el saldo insoluto seriacutea (derechos del acreedor)

180 151

0 015000(1015) 000

(1015)1212

minus minus

= 21521127 minus 195 61817 = 19 59310

Este saldo quedariacutea en manos del deudor otro mes por lo que su valor al fi nal de eacuteste seriacutea

19 59310(1015) = 19 887

que seriacutea lo que habriacutea de pagar en el decimotercer mes para liquidar totalmente la deuda

b) Como otra alternativa de pago si abona 13 mensualidades de $15 000 el saldo al cabo del decimocuarto pago seriacutea

180 151

0 015000(1015) 000

(1015)1313

minus minus

= 218 43944 minus 213 55244 = $4 887

Si realiza el uacuteltimo pago en el mes 14 el valor de este saldo en ese momento seriacutea

4 887(1015) = $4 96031

y con este pago se liquida tambieacuten totalmente la deuda

Debe notarse que las dos maneras de liquidar el pago fi nal son equivalentes la adop-cioacuten de una u otra alternativa dependeraacute de lo que resulte maacutes conveniente para acreedor y deudor

Ejemplo 852

Una persona recibe una herencia de $2 500 000 y decide depositarla en una cuenta que paga 6 convertible mensualmente con la intencioacuten de hacer retiros mensuales de $20 000 iquestCuaacutentos retiros completos de esa cantidad podraacute hacer antes de que se agote su herencia

20 005

500 000 20 0001 (1005)= minus minusn

1 1 005500 000(0005)

20 000minus = minus minus( ) n

minus0375 = minus(1005)minusn

(1005)minusn = 0375 minusn ln 1005 = ln 0375

n = minus = minus minusln 03751005ln

0 980829253

0 0049875415⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n = 19666

El benefi ciario podraacute hacer 196 retiros mensuales de $20 000 despueacutes de lo cual soacutelo le sobrariacutea otro poco de dinero (menos de $20 000)

En este ejemplo resulta interesante observar que si el heredero retira soacutelo los inte-reses que producen sus $2 500 000 tendriacutea a su disposicioacuten 2 500 000(0005) = $12 500 mensuales en forma indefi nida si la tasa de intereacutes permanece constante

86 Tasa de intereacutes en una amortizacioacutenEn ocasiones es necesario determinar la tasa de intereacutes que se carga en la operacioacuten

Ejemplo 861

Una maacutequina de coser usada cuesta $820 al contado El plan a creacutedito es de $270 de enganche y 10 pagos quincenales de $58 iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes que se cobra en la operacioacuten

Solucioacuten C = 550 R = 58 n = 10 i =

550 581 1 10

= minus + minus( )ii

1 19 48275862

10minus + =( )

Para determinar i en primer lugar se ensayan diferentes valores de i que arrojen el

valor 1 1 10minus + minus( )i

i maacutes proacuteximo posible a 948275862

para i = 0 02 1 1 02

0 028 98258501

10minus =minus( )

i = 0 01 1 1 01

0 019 47130453

10minus =minus( )

i = 0 0095 1 1 0095

0 00959 496757904

10minus =minus( )

i = 0 0097 1 1 0097

0 00979 48656454

10minus =minus( )

Interpolando (para revisar el procedimiento vea el capiacutetulo 4)

i minus

minus= minus0 0097

0 01 0 00979 48275862 9 486564549

447130453 9 486564540 24940482

minus=

i = 00097 + (00003)(024940482) = 00097 + 000007482 i = 000977482

Luego para verifi car que tenemos el valor correcto

1 1 009774820 00977482

9 4827552610minus =

minus( )

con soacutelo una diferencia pequentildea y despreciable debida

al redondeo Asiacute pues la tasa de intereacutes que se cobra en la operacioacuten es de 097 quince-nales (2346 anual convertible quincenalmente)

Ejemplo 862

Si Cristina contrae una deuda de $6 000 y conviene en liquidarla con 5 pagos bimestrales de $1380 el primero pagadero dentro de dos meses iquestcuaacutel es la tasa nominal capitaliza-ble bimestralmente que se le carga

Solucioacuten

C = $6 000 R = $1380 n = 5 i =

000 13801 (= minus + minusi

1 1 64 34782609

86 Tasa de intereacutes en una amortizacioacuten

948656454 948275862 947130453

00097 i 001

Ensayando valores de i

si i = minus =minus

0 051 1 05

0 054 3294

0 0481 1 048

0 0484

5si i = minus =

335351768

0 0491 1 049

5si i = minus minus

994 34147087

0 04851 1 0485

= minus minus

4 34748768=

Entonces i se encuentra entre 00485 y 00480 interpolando

= minus4 34782609 4 353517684 347487

668 4 353517680 048

0 0485 0 048minus= minus

minus 0 005691590 00603000

0 0480 0005

= minusi

minus = minusminus

0 943878940 048

0 0005

i minus 0048 = 000047194 i = 0048 + 000047194 i = 004847194

Comprobando

1 1 048471940 04847194

4 347825745minus =

minus( )

Cifra similar a la que se determinoacute anteriormente salvo nuevamente una ligera des-preciable diferencia debida al redondeo

Por lo tanto se carga en la operacioacuten aproximadamente 2908 (004847194 times 6 times 100) convertible bimestralmente

87 Otros casos de amortizacioacutenEntre la amplia gama de condiciones en la que pueden presentarse casos de amortizacioacuten se ilustran enseguida algunas posibilidades

435351768 434782609 434748768

0048 i 00485

Ejemplo 871

Se difi ere (pospone) el inicio de los pagos En septiembre un almaceacuten ofrece en venta un aparato de televisioacuten en $14 990 a pagar en 6 abonos mensuales iguales con 36 de intereacutes convertible mensualmente El primer pago se debe realizar el 31 de enero del antildeo siguiente Si una persona adquiere uno de estos aparatos el 31 de octubre

a) iquestCuaacutel es el valor de cada uno de los pagos b) Construya una tabla de amortizacioacuten que muestre el comportamiento de la

operacioacuten

SolucioacutenPara visualizar mejor la operacioacuten conviene presentarla en un diagrama

i = =0 36 12 0 03

Para manejar los caacutelculos con las foacutermulas de las anualidades simples ciertas venci-das e inmediatas conviene observar que el cliente disfrutaraacute del televisor desde el 31 de octubre por lo que contrae la deuda desde este diacutea y por ello el valor de su compromiso al 31 de diciembre es

14 14990(103) 990(10609) $15 902892 = =

Ahora se puede visualizar la operacioacuten como una anualidad simple cierta vencida e inmediata

C = 15 90289 i = 003 n = 6 R =

a) Por lo tanto el pago que debe realizar el cliente cada mes es de

minus + minus1 1( )

=minus minus

151 03

477 086730 1625156

90289(003)1 ( )

2= 93563

87 Otros casos de amortizacioacuten

14 990 x x x x x x

Fin de Oct Nov Dic Ene Feb Mar Abr May Jun

b) Tabla de amortizacioacuten

FechaPago porperiodo

003 de intereacutes sobre el saldo Amortizacioacuten Saldo

31 oct mdash mdash mdash 14 9900030 nov mdash 44970 mdash 15 4397031 dic mdash 46319 mdash 15 9028931 ene 2 93563 47709 2 45855 13 4443428 feb 2 93563 40333 2 53230 10 9120431 mar 2 93563 32736 2 60827 8 3037730 abr 2 93563 24911 2 68652 5 6172531 may 2 93563 16852 2 76712 2 8501330 jun 2 93563 8550 2 85013 000 Totales 17 61378 2 62380 15 90289 mdash

Observe que la cantidad que se amortiza es el valor de la deuda al 31 de diciembre y que la suma de los intereses incluye el total de los pagados Las diferencias que existen en los centavos se deben al redondeo

Ejemplo 872

Pagos desiguales Una deuda de $8 000 se debe amortizar mediante 5 pagos mensuales vencidos los dos primeros por $1500 y el tercero y cuarto por $2 000 Calcule el importe del quinto pago para saldar totalmente la deuda si la operacioacuten se pactoacute con un intereacutes de 28 anual convertible mensualmente

SolucioacutenConviene visualizar la operacioacuten con una tabla

Fecha Pago233 de intereacutes

Al contratar la operacioacuten mdash mdash mdash 8 00000Fin mes 1 150000 18640 131360 6 68640Fin mes 2 150000 15579 134421 5 34219Fin mes 3 2 00000 12447 187553 3 46667Fin mes 4 2 00000 8077 191923 154744Fin mes 5 158350 3606 154744 000 Totales 8 58350 58349 8 00000

Al llegar al fi n del quinto mes sabemos que el importe del pago fi nal debe cubrir tan-to el saldo al cuarto mes como los correspondientes intereses o

154744 + 3606 = $158350

que es precisamente el importe del uacuteltimo pago

Ejemplo 873

Cambios en la tasa de intereacutes amortizacioacuten constante Es necesario elaborar una tabla de amortizacioacuten para un creacutedito que se contrata el 3 de junio por $20 000 que debe pa-garse mediante cuatro pagos bimestrales si en los dos primeros meses se aplica una tasa de 24 anual y en los uacuteltimos dos meses de 20 ambas con capitalizacioacuten bimestral y si ademaacutes se debe amortizar una cuarta parte de la deuda por cada pago

SolucioacutenSe construye directamente la tabla

Intereacutes sobresaldo Amortizacioacuten Saldo

3 jun mdash mdash mdash 20 0003 ago 5 80000 80000 5 000 15 0003 oct 5 60000 60000 5 000 10 0003 dic 5 33333 33333 5 000 5 0003 feb 516667 16667 5 000 0 Totales 2190000 190000 20 000 mdash

Ejemplo 874

Amortizacioacuten variable Es necesario elaborar una tabla de amortizacioacuten de una deuda de $10 000 a pagar en 3 meses mediante abonos vencidos con 15 semestral con capita-lizacioacuten mensual amortizando 50 30 y 20 de la deuda en el primero segundo y tercer pagos respectivamente

Solucioacuten

Fecha Pago

Intereacutes sobre el saldo 25

mensual (0156) Amortizacioacuten Saldo

Al contratar la operacioacuten mdash mdash mdash 10 000

Fin del mes 1 5 250 250 5 000 5 000Fin del mes 2 3125 125 3 000 2 000Fin del mes 3 2 050 50 2 000 mdash Totales 10 425 425 10 000

1 iquestQueacute es amortizar 2 iquestQueacute es una tabla de amortizacioacuten

3 Una deuda de $12 000 debe amortizarse mediante 4 pagos bimestrales iguales el pri-mero dentro de 2 meses con intereses de 4 bimestral sobre saldos insolutos a) Calcular el importe de cada uno de los pagos b) Construir una tabla de amortizacioacuten

4 iquestCuaacutel seriacutea el pago final que liquida una deuda de $23 000 contratada a 27 efectivo anual a pagar mediante 3 pagos anuales vencidos de $10 000 y un pago final que debe realizarse al teacutermino de 4 antildeos

5 Una deuda de $7 250 se debe pagar en un antildeo mediante pagos trimestrales iguales vencidos Si el intereacutes pactado es de 36 anual convertible trimestralmente a) Determine el importe de cada pago b) Construya una tabla de amortizacioacuten

6 Construya un cuadro de amortizacioacuten de pagos mensuales vencidos de $1025 hasta la extincioacuten total de una deuda de $5 800 pactada a 20 anual convertible mensual-mente calculando tambieacuten el pago final que extinga la deuda

7 Una pareja de recieacuten casados adquiere una casa en condominio que cuesta $160 000 Paga un enganche de $50 000 y acuerda pagar el resto mediante 24 mensualidades iguales con 24 de intereacutes convertible mensualmente Haga una tabla de amortiza-cioacuten que muestre los dos primeros y los dos uacuteltimos meses de la operacioacuten

8 Una persona adquiere un automoacutevil que cuesta $135 000 Paga $40 500 en efectivo y el resto con un preacutestamo de intereacutes social otorgado por una institucioacuten de seguri-dad estatal que le cobra 04 quincenal de intereacutes Calcule el valor de los derechos adquiridos por el comprador en el momento de realizar el vigeacutesimo octavo pago si lo acordado fue liquidar el saldo en 5 antildeos mediante pagos quincenales vencidos

9 En el ejercicio anterior iquestcuaacutel es el saldo a favor de la institucioacuten de seguridad social10 El licenciado Montiel adquiere a creacutedito un despacho en condominio que cuesta

$185 000 Paga 30 de enganche y se compromete a pagar el saldo mediante pagos mensuales anticipados durante 3 antildeos Si la tasa de intereacutes que paga es de 14 anual convertible mensualmente iquestqueacute cantidad tendriacutea que pagar al cabo del trigeacutesimo mes para adquirir la totalidad de los derechos sobre el despacho

11 iquestCon cuaacutentos pagos semestrales iguales y vencidos de $9 500 y un uacuteltimo de mayor cuantiacutea se pagariacutea la adquisicioacuten de un terreno que cuesta $59 540 si se carga una tasa anual de 105 convertible mensualmente Elabore la tabla de amortizacioacuten correspondiente

12 Una persona tiene una deuda de $16 000 que convino en pagar con cuotas bimestra-les vencidas e iguales durante un antildeo con intereses de 18 convertible cada 2 meses iquestCuaacutentos pagos debe hacer si el saldo de su deuda es de $8 35447

13 El doctor Villazaacuten tiene una deuda de $3 500 contraiacuteda el 15 de octubre con intereses de 27 anual convertible mensualmente y que acordoacute pagar en 12 abonos mensua-les vencidos e iguales iquestCuaacutentos pagos ha realizado si ha adquirido derechos sobre la deuda por $127190

14 iquestCuaacutel es el valor de los derechos adquiridos sobre un mueble de sala por un cliente que lo comproacute a creacutedito si el precio fue de $8 999 y se convino en pagarlo mediante 6 abonos mensuales vencidos con 15 de intereacutes convertible mensualmente y ha rea-lizado 3 pagos

15 Determine el nuacutemero de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a creacutedito de un automoacutevil que cuesta $198 000 y se vende con un enganche de 40 y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $5 59233 con intereacutes de 12 convertible mensualmente

16 En una operacioacuten de creacutedito se salda una deuda de $15 000 mediante pagos tri-mestrales vencidos e iguales por $3 00268 durante antildeo y medio iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes nominal anual con capitalizacioacuten trimestral que se pagoacute iquestCuaacuteles eran los de-rechos del acreedor despueacutes del tercer pago

17 Una aspiradora se vende en $1072 al contado o mediante 4 pagos mensuales antici-pados de $280 iquestCuaacutel es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a creacutedito

18 En el ejercicio 17 iquestcuaacutel es la tasa efectiva anual iquestCuaacutel es el monto total de intereses pagados

19 En el ejercicio 17 iquestcuaacutel es la tasa nominal anual con capitalizacioacuten mensual20 Haga una tabla de amortizacioacuten que muestre la forma en que se extinguiriacutea una deu-

da de $32 000 mediante 4 pagos mensuales vencidos si la tasa que se carga es de 29 anual convertible mensualmente si en cada uno de los 2 primeros abonos se paga 30 de la deuda en el tercero 25 y en el uacuteltimo 15

88 Depoacutesitos a un fondo de amortizacioacutenComo se vio en la introduccioacuten el caso de fondo de amortizacioacuten se distingue porque aquiacute la deuda que se va a amortizar se plantea a futuro y lo que se hace es constituir una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente iguales y perioacutedicas) en cuentas que devengan intereses con el fi n de acumular la cantidad o monto que permita pagar la deuda a su vencimiento

A continuacioacuten se presenta un ejemplo que ilustra el caso en el que es necesario determinar el valor de los depoacutesitos

Ejemplo 881

Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $400 000 Para asegurar el pago el contralor propone dado que hay liquidez en la empresa acumular un fondo me-diante depoacutesitos mensuales a una cuenta que paga 9 convertible mensualmente

a) iquestDe cuaacutento deben ser los depoacutesitos b) Haga una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo

88 Depoacutesitos a un fondo de amortizacioacuten

Solucioacuten a) En este caso los $400 000 son un monto ya que su valor es a futuro por lo que

M = 400 000 R = i = 00912 = 00075 n = 6y

= + minus

=+ minus

1 1400 000(00075)

(100075)000

004585242756

6 minus= =

b) La tabla

FechaDepoacutesito

por periodo InteresesTotal que se

suma al fondo SaldoFin del mes 1 65 42756 mdash 65 42756 65 42756Fin del mes 2 65 42756 49071 65 91827 13134583Fin del mes 3 65 42756 98509 66 41265 197 75848Fin del mes 4 65 42756 148319 66 91075 264 66923Fin del mes 5 65 42756 198502 67 41258 332 08181Fin del mes 6 65 42758 2 49061 67 91819 400 00000 Totales 392 56538 7 43462 400 00000 mdash

Observe que se incrementoacute el uacuteltimo depoacutesito mensual en dos centavos para ajustar el fondo exactamente a $400 000

Ejemplo 882

Una persona adquiere a creacutedito un departamento en condominio por el que aparte de un enganche y abonos mensuales debe pagar al fi nal de cada uno de los 3 primeros antildeos una anualidad de $165 000 Para prevenir el pago de estas anualidades decide acumular un fondo mediante depoacutesitos quincenales en una cuenta que paga 12 convertible mensual-mente iquestCuaacutento debe depositar cada quincena para acumular lo que necesita para amor-tizar su deuda cada fi n de antildeo

SolucioacutenEn este caso se debe advertir que el periodo de capitalizacioacuten no coincide con el periodo de los depoacutesitos por lo que se hace necesario determinar en primer lugar la tasa efectiva quince-nal equivalente a una tasa de 01212 = 001 efectiva mensual para lo cual como se vio antes

( ) 1 1 012+ =i

1 1 01+ =i

i = minus =1 01 1 0 00498756

Asiacute

M = 165 000 R = i = 000498756 quincenal n = 24 quincenas

n= + minus =

+ minus( )

1 11 1

R =minus

822 94000(000498756)(100498756)24

7790 126825

R = $6 48884

89 Total acumulado en un fondo de amortizacioacuten y saldo insoluto de la deuda

Ejemplo 891

Observe la tabla de fondo de amortizacioacuten que se elaboroacute para el ejemplo 881 En ella se puede ver el total acumulado en el fondo al fi nal de cada uno de los 6 meses que se con-templan Por ejemplo al fi nal del cuarto mes hay $264 66923 Si soacutelo se deseara identifi -car esta cantidad sin construir la tabla se le podriacutea calcular sabiendo que es el monto de una anualidad vencida

M = R = 65 42756 n = 4 i = 00075

M = minus =651

0 00750 030339

0 00742756

(1 00075)4+

65( 42756)

M = 264 66923

Por otro lado si $264 66923 es el monto acumulado en el fondo al fi nal del cuarto mes y al mismo tiempo la deuda es de $400 000 el saldo insoluto es

400 000 minus 264 66923(10075)2 = 400 000 minus 268 65416 = $13134584

que para su mejor comprensioacuten conviene plantear en forma de ecuacioacuten de valores equi-valentes

89 Total acumulado en un fondo de amortizacioacuten y saldo insoluto

264 66923 268 65416

0 1 2 3 4 5 6

400 000

Observe que

bull $264 66923 es lo acumulado en el fondo al fi nal del cuarto mes bull $264 66923(10075)2 = $268 65416 es el valor acumulado en el fondo al fi nal del cuarto mes

llevando su valor al fi nal del sexto mes que es el momento al que estaacute planteada la deuda bull 400 minus 268 65416 = 13134584 es el saldo insoluto de la deuda

Ejemplo 892

Si se depositan $1000 mensuales en un fondo de inversioacuten que rinde 08 mensual efec-tivo iquestcuaacutel seriacutea el valor acumulado en el fondo al cabo de 7 antildeos

Solucioacuten M = R = 1 000 i = 0008 n = 7(12) = 84

M = minus =11

0 0081000

(1008)000(11911514)

M = $11911514

Ejemplo 893

Con los datos del ejemplo anterior iquesten cuaacutento se incrementa el fondo del mes 83 al 84 por concepto de intereses

= minus = =11

0 0081 000 117 1777155 11717000

100883

( ) 77 72

minusAl mes 84 $11911514Al mes 83 $11717772

$1 93742

De esta cantidad en que aumenta el fondo del mes 83 al 84 $1000 corresponden al depoacutesito que se hace cada mes y $93742 a los intereses Esto se puede verifi car si se ob-serva que los intereses de $11717772 del mes 83 al 84 son

11717772(0008) = 93742

Dos ejemplos de este caso

Ejemplo 8101

iquestCuaacutentos depoacutesitos mensuales seriacutea necesario realizar en un fondo de amortizacioacuten que se invierte en un instrumento que paga 9 anual convertible mensualmente si se

quiere liquidar una deuda que vale $4 800 a su vencimiento y si se realizan depoacutesitos de $850

Solucioacuten

M = 4 800 i = 00912 = 000750 R = 850 n =

4 10 0075

1 0075 4 800 0 0

800 850 (10075)= minus

( ) ( 0075850

1 1 04235294)

loglog

=n 104235294100775

= =0 018014800 003245

Se podriacutea pagar con 5 depoacutesitos de $850 maacutes un sexto depoacutesito de

8501 0075 1

0 00751 0075 4

( )minus⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

+ =x 800 == +4 34659 x

x = minus =4 800 4 34659 45341

Ejemplo 8102

Una persona debe pagar $7 500 el 2 de junio y decide formar un fondo de amortizacioacuten depositando $121606 mensuales en una inversioacuten que rinde 1403 efectivo anual iquestEl diacutea 2 de queacute mes debe hacer el primer depoacutesito para acumular con el del 2 de junio la cantidad que adeuda

Solucioacuten

M = $7 500 n = R = 121606 i = 01403 efectivo anual

En primer lugar es necesario determinar cuaacutel es la tasa efectiva mensual ya que los depoacute-sitos seraacuten mensuales y la tasa dada es efectiva anual

(1 + i)12 = 11403

Esto se puede resolver por medio de logaritmos

12 log (1 + i) = log 11403 log (1 + i) = (112)(log 11403) = (112)(0057019) log (1 + i) = 000475159 1 + i = antilog 000475159 1 + i = 10110 i = 00110

que es la tasa efectiva mensual Luego para calcular el nuacutemero de pagos

0 0110

1 01107

500 121606(10110)

= minus

( )((00110)

121606log 10110 log

1 1 067842

n 10678421067842

log 10110n = =log 0 028507

00047516=

Entonces si el uacuteltimo depoacutesito se debe realizar el 2 de junio y es necesario hacer 6 depoacute-sitos el primero de ellos deberaacute realizarse el 2 de enero

811 Tasa de intereacutes en un fondo de amortizacioacutenEn esta seccioacuten se presentan ejemplos de circunstancias en las que es necesario calcular la tasa de intereacutes que se carga en operaciones que se realizan a traveacutes de fondos de amortizacioacuten

Ejemplo 8111

Una deuda que venciacutea el 25 de septiembre por un monto de $250 000 se liquidoacute con un fondo acumulado mediante 8 depoacutesitos mensuales vencidos por $30 492386 iquestCuaacutel fue la tasa de intereacutes mensual que rendiacutea el fondo

Solucioacuten

000Mi==

492386nR

= + minus

+ minus =

+ minus = =

1 1 258 00

1 18 198768047

00030 492386

+ minus =ii

Ensayando valores de i para aproximar el valor que buscamos

= minus =

0 01 1 01 10 01

8 285671

0 009 1 009

( ) minusminus =

= minus =

10 009

8 256587399

0 008 1 008 10 008

i 88 22762007

0 007 1 007 10 007

8 19876818

i = minus = 447

y como 8198768145 es precisamente el valor que buscamos no resulta necesario inter-polar para saber que la tasa cargada en la operacioacuten es de 07 mensual

Ejemplo 8112

Una deuda de $10 000 con vencimiento el 12 de octubre se amortizoacute mediante un fondo que se constituyoacute a traveacutes de 5 depoacutesitos de $196629 realizados los diacuteas 12 de los meses de junio a octubre iquestCuaacutel fue la tasa efectiva anual que pagoacute el fondo

Solucioacuten

= + minus

10 1 15

000 196629 (

( ) 1 1 10 5 0857255765+ minus = =000

191129

En primer lugar se determina la tasa efectiva mensual ensayando valores de i

= minus =

0 01 1 01 10 01

5 10100501

0 009 5 090

88136510 008 5 080642564i = =

Asiacute la tasa mensual estaacute entre 08 y 09 y para aproximarla interpolamos entre estos valores

811 Tasa de intereacutes en un fondo de amortizacioacuten

yi minus

minus= minus0 008

0 009 0 0085 085725576 5 0806425645

090813652 5 0806425640 008

minusminus =i 00 005083012

0 0101710880 4997510591

i minus = =0 008 0 001 0 4997510591 0 00049975 ( )( ) i = 0 00849975i = 0 0085

Verifi cando

1 0085 1

0 00855 085725575

5 minus =

La tasa efectiva mensual es de aproximadamente 00085 y la tasa efectiva anual

( ) 1 0085 1 0 1069112 minus =

o un tipo aproximado de 1069 anual

Cuando se amortiza una deuda se hacen pagos perioacutedicos y del importe de cada uno de ellos se liquidan los intereses causados hasta ese momento y el resto se aplica a la amortizacioacuten o disminucioacuten del importe de la deuda

Por otro lado bajo el concepto de fondo de amortizacioacuten tal como se vio antes el valor de la deuda estaacute planteado a futuro y lo que se hace es realizar depoacutesitos perioacutedicos en alguna inversioacuten de manera que se acumule la cantidad necesaria para el momento en que es nece-sario pagar

En este caso puede suceder entre otras combinaciones posibles que los intereses cau-sados por la deuda se incluyan en el valor a futuro que se le asigna o que se paguen por separado

Para ilustrar su interrelacioacuten y su comportamiento se analiza el siguiente ejemplo

0008 i 0009

5080642564 5085725576 5090813652

Ejemplo 8121

Si la tasa vigente en el mercado para cierto tipo de inversiones es de 18 anual converti-ble mensualmente determinar la forma en que se podriacutea saldar una deuda de

a) $1000 contraiacuteda el diacutea de hoy y que se debe amortizar mediante 4 pagos mensuales iguales

b) Una deuda de $106136 que debe pagarse exactamente dentro de 4 meses con un fon-do de amortizacioacuten constituido mediante 4 depoacutesitos mensuales iguales el primero de los cuales debe hacerse dentro de un mes

c) Hacer una tabla para comparar el comportamiento de las operaciones planteadas en a) y b)

Solucioacuten

a) C = $1000 n = 4 i = 01812 = 0015

minus +=

minus=

minusminus minus1 11 15

1 0( ) 000(0015)

1 (1015) 4 99421842315

0 057815=

El valor del pago mensual es de $25945

b) M = $106136 i = 0015 n = 4

RMii n

=+ minus

=minus

15 9206136(0015)(1015)4

0040 06136355

259 45

El valor del depoacutesito mensual es de $25945 lo cual se debe a que $106136 es precisa-mente el monto de $1000 despueacutes de 4 meses a 18 convertible mensualmente (salvo un ligero ajuste por redondeo)

Se le fi joacute asiacute en el ejemplo para ilustrar que bajo las mismas condiciones de pago (baacutesicamente intereacutes y plazo) una y otra forma de amortizacioacuten son equivalentes

c) Tabla de amortizacioacuten

FechaPago

mensual0015 intereacutes sobre saldo Amortizacioacuten Saldo

Al momento de la operacioacuten 100000Fin del mes 1 25945 1500 24445 75555Fin del mes 2 25945 1133 24812 50743Fin del mes 3 25945 761 25184 25559Fin del mes 4 25943 383 25560 000 Totales 103778 3778 100000

Las diferencias se deben al redondeo

Tabla de fondo de amortizacioacuten

FechaDepoacutesito mensual Intereses

Total que se suma al fondo Saldo

Fin del mes 1 25945 25945 25945Fin del mes 2 25945 389 26334 52279Fin del mes 3 25945 784 26729 79008Fin del mes 4 25943 1185 27128 106136 Totales 103778 2358 106136

Resulta sencillo visualizar que si se obtiene en preacutestamo una cantidad de dinero que se pueda invertir a una tasa de intereacutes mayor que la que se paga ello resulta conveniente para quien obtiene el preacutestamo

Ejemplo 8122

Una persona obtiene un preacutestamo de $100 000 que debe pagar en 6 meses mediante abo-nos mensuales iguales y con intereses de 6 anual convertible mensualmente Si esta persona deposita los $100 000 en un fondo de inversioacuten que rinde 10 mensual y de alliacute paga su deuda iquestcuaacutento saldraacute ganando al fi nal de los 6 meses

Solucioacuten

C = $100 000 i = 00612 = 0005 (el intereacutes que tiene que pagar) n = 6

minus +=

minus=

minus minus1 11 500

0( )00 000(0005)1 (1005) 6

$029482

16= 95955

Debe pagar $16 95955 cada mes para saldar su deuda pero si invierte los $100 000 en el fondo a 001 mensual lo que sucede es

FechaIntereses que se

acumulan al fondoAbono a la deuda

Total en el fondo de inversioacuten

Al momento de la operacioacuten 100 00000Fin del mes 1 100000 16 95955 84 04045Fin del mes 2 84040 16 95955 67 92130Fin del mes 3 67921 16 95955 5164097Fin del mes 4 51641 16 95955 3519783Fin del mes 5 35198 16 95955 18 59026Fin del mes 6 18590 16 95955 181661

Por lo tanto al fi nal del sexto mes la persona que obtuvo el preacutestamo y que lo invierte bajo esas condiciones habriacutea logrado una utilidad de $181661

Tambieacuten se puede ver faacutecilmente que no conviene pedir dinero prestado para soacutelo invertirlo en alguacuten instrumento que rinda menos de lo que se paga de intereacutes pues esto dariacutea como resultado una peacuterdida

813 Aplicaciones

Ejemplo 8131

Salvador Diacuteaz adquiere un condominio de intereacutes social (en condiciones especiales) que tiene un valor de $300 000 Si paga 20 de enganche y el saldo es a 15 antildeos con abonos mensuales de $2 34933 iquestqueacute tasa de intereacutes anual nominal convertible mensualmente estaacute pagando

Solucioacuten

C = 300 000 minus [300 000(020)] = 300 000 minus 60 000 = $240 000 n = 12(15) = 180 R = 2 34933 i =

C Ri ii

n= minus + = = minus +

minus minus1240

180( ) )

000 2 349331 (

11 240102 1567851

180+ = =minusi

2 34933

= minus =

minus0 01 83 321664

1 (101)

008 95 2138

1 (1008)0008

180minus =

i1 (1006)

180minus =minus

109 884466

Como 109884466 es mayor que el valor que buscamos de 102156779 ensayamos con una tasa de intereacutes mayor

i = minus =minus

0 007 102 156878 1 (1007)

El valor determinado con una tasa de 0007 es 102156878 y es praacutecticamente el mis-mo que buscamos de 102156779 por lo que podemos afi rmar que es la tasa aplicada al preacutestamo

813 Aplicaciones

Verifi cando

000 2 349331 (1007)

0007000 2 349

180= minus

33(102156878) 240 00022=

Asiacute 0007 es la tasa mensual efectiva y para encontrar la tasa anual nominal con-vertible mensualmente

0 007 12 0 084 ( ) =

esto es 84 anual convertible mensualmente

La diferencia existente se debe al redondeo

Ejemplo 8132

Un automoacutevil que cuesta $138 500 se vende con 30 de enganche y el saldo a pagar en 18 mensualidades con 2 de intereacutes ldquoglobal mensualrdquo Calcular

a) El valor de los 18 pagos mensuales b) La tasa efectiva anual que se estaacute cargando

Solucioacuten a) Al hablar de intereacutes ldquoglobal mensualrdquo los comerciantes se refi eren a que se carga 2 de

intereacutes sobre el saldo inicial en cada uno de los periodos de pago en este caso los 18 me-ses Asiacute el enganche es de $138 500(030) = $41550

C = 138 500 minus 41550 = $96 950

Como el intereacutes se carga sobre este saldo inicial entonces

intereacutes mensual = 96 950(002) = 1939

y el saldo dividido entre los 18 pagos

96 95018 = $5 38611

por lo que el importe de cada uno de los 18 pagos mensuales es

R = 5 386 + 1939 = $7 32511

b) C Ri

Ahora para calcular la tasa que se carga

1 1 96

950 7 325111

9507 3

= minus +

minus + =

ii 22511

= 13 235296

Ensayando la i

Si1 (1034)

= minus =

minus0 034 13 299693

335 13 1896821 (1035)

18minus =minus

Interpolando

i minusminus

= minus0 0340 035 0 034

13 235296 13 29969313 18

99682 13 2996930 0643970 110011

0 585369

= minusminus

= += +=

0 034 0 001 0 5853690 034 0 000585

( )( )

00 034585

Como se puede apreciar la tasa efectiva mensual se aproxima a 346 que es considera-blemente superior a la de 2 ldquoglobal mensualrdquo planteada en la transaccioacuten

Ahora la tasa efectiva anual es de

( ) 1 034585 1 503820 1 0 50382012 minus 1= minus =

O sea aproximadamente 5038

Ejemplo 8133

Sandra compra una estufa que cuesta $2 000 al contado paga $800 de enganche y conviene en amortizar el resto mediante 6 pagos bimestrales iguales con un intereacutes a razoacuten de 30 convertible bimestralmente

a) Encontrar el valor de los pagos b) Construir una tabla que muestre la forma en que se va amortizando la deuda c) Determine el valor de los derechos que el comprador ha adquirido sobre la estufa in-

mediatamente antes del cuarto pago

Solucioacuten

a) C = 2 000 minus 800 = 1200 n = 6 i = 0306 = 005

0034 i 0035

13299693 13235296 13189682

813 Aplicaciones

R Cii n

=minus +

=minus

=minus minus1 11 60

0 2537( ) 200(005)

1 (105) 6 88460236 42= $

FechaPago

bimestral5 de intereacutes

Al momento de la operacioacuten 120000Fin del bimestre 1 23642 6000 17642 102358Fin del bimestre 2 23642 5118 18524 83834Fin del bimestre 3 23642 4192 19450 64384Fin del bimestre 4 23642 3219 20423 43961Fin del bimestre 5 23642 2198 21444 22517Fin del bimestre 6 23643 1126 22517 0 Totales 141853 21853 120000

c) Los intereses causados en 4 meses por la posesioacuten de la estufa son

1200[(1 + 005)4 minus 1] = 25861

El valor de los 3 primeros pagos en el momento de realizar el tercero es

236 421 05 1

0 05236 42 3 1525 745 31

( ) minus = =

El valor de $74531 al fi nal del cuarto mes

74531(105) = 78258

Por lo tanto el valor de los derechos adquiridos por el comprador hasta inmediata-mente antes de realizar el cuarto pago asciende a

78258 minus 25861 = $52397

21 Se deben pagar $29 000 dentro de 12 meses por una deuda contraiacuteda con anterio-ridad Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depoacutesitos bimestrales vencidos iquestcuaacutel seriacutea el importe de los mismos si se colocan en un instrumento de inversioacuten que rinde 68 convertible mensualmente

22 Haga una tabla de amortizacioacuten para el ejercicio 2123 Para pagar una deuda de $154 000 que vence dentro de 5 meses se va a constituir

un fondo mediante depoacutesitos mensuales anticipados Si los depoacutesitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde 12 anual convertible mensualmente determine su importe

24 Haga una tabla de amortizacioacuten para el ejercicio 2325 Elabore una tabla que muestre la forma en que amortizariacutea una deuda de $150 000

contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con intereacutes de 3 trimestral capitali-zable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depoacutesitos quincena-les vencidos en una cuenta de inversiones que rinde 07 mensual efectivo

26 Ernesto Torres contrae una deuda por $80 000 a pagar en 14 meses con 08 de in-tereacutes efectivo mensual Desea amortizarla con un fondo constituido mediante depoacute-sitos mensuales vencidos iquestCuaacutel deberaacute ser el importe de los depoacutesitos si el fondo se coloca a 6 anual convertible mensualmente

27 iquestCuaacutel debe ser el importe de cada uno de 8 depoacutesitos mensuales anticipados que se colocan en un fondo de inversioacuten que rinde 8 convertible mensualmente con el ob-jeto de amortizar una deuda de $8 88888 que vence exactamente dentro de 8 meses

28 El licenciado Vidriera ha ahorrado $200 cada 2 meses desde hace antildeo y medio en una cuenta de inversioacuten de renta fija que paga 10 anual convertible mensualmente Lo que pretende es pagar dentro de 6 meses una deuda que a esa fecha tiene un valor de $3 000 a) iquestLe alcanzaraacute con lo que acumule en el fondo para pagar su deuda b) iquestCuaacutento le sobraraacute o cuaacutento le faltaraacute

29 Un comerciante decide crear una reserva para adquirir un local maacutes amplio para su negocio Deposita cada semana $1750 en un fondo de inversiones que paga 6 anual convertible mensualmente iquestCuaacutento habraacute acumulado en el fondo al cabo de 6 meses si se consideran 52 semanas por antildeo

30 Un chofer desea adquirir el taxi que maneja y que pertenece al sentildeor Urrutia Eacuteste ha convenido en venderle el auto y el permiso de taxi dentro de antildeo y medio en $117 500 iquestCuaacutento debe depositar semanalmente el chofer en un fondo de inversioacuten que paga 5 convertible mensualmente para acumular la cantidad que necesita

31 Si el mismo chofer del ejercicio 30 hiciera los depoacutesitos cada tercer diacutea iquestcuaacutento nece-sitariacutea depositar Considere antildeos de 360 diacuteas y meses de 30 diacuteas

32 Una persona debe liquidar $7 700 al 15 de diciembre Si ese diacutea recibe $3 200 de aguinal-do y lo va a aplicar al pago de su deuda y el resto lo va a pagar con lo que acumule en un fondo de inversioacuten iquestcuaacutento deberaacute depositar mensualmente en el fondo que paga 8 anual convertible mensualmente si el primer depoacutesito lo va a hacer el 15 de junio

33 Se constituyoacute un fondo con depoacutesitos mensuales de $1000 Durante 2 antildeos el fon-do obtuvo intereses de 9 convertible mensualmente y al principio del tercer antildeo el rendimiento descendioacute a 8 tambieacuten convertible mensualmente iquestCuaacutento se habiacutea acumulado en el fondo al terminar el tercer antildeo

34 Un agente de ventas calcula que debe comprarle llantas nuevas a su automoacutevil cada 5 meses Decide formar un fondo para acumular el dinero que necesitaraacute para el proacuteximo juego de llantas que calcula le costaraacuten $6 000 dentro de 5 meses iquestCuaacutento dinero deberaacute depositar quincenalmente en un fondo de inversiones que paga 075 mensual para reunir los $6 000

35 Se contrae hoy una deuda por $24 000 pagadera a 7 meses sin intereses Si se depo-sitan $3 000 mensuales en un fondo que paga 05 mensual de intereacutes iquestqueacute propor-cioacuten de la deuda se habraacute amortizado al momento de hacer el sexto depoacutesito

36 El ingeniero Loacutepez debe pagar $ 6 350 el 13 de noviembre Ha acumulado 6 depoacutesitos mensuales de $800 en un fondo que paga 1025 mensual y realizoacute el sexto depoacutesito el 6 de septiembre iquestCuaacutento tendriacutea que depositar en el fondo el 13 de octubre para poder liquidar su deuda al vencimiento

37 Para pagar 30 de enganche de un inmueble que vale al contado $ 1427 500 (al mo-mento de la entrega) se constituyoacute un fondo mediante depoacutesitos mensuales reali-zados desde 8 meses antes de la operacioacuten Si los depoacutesitos mensuales fueron de $5214180 iquestcuaacutel fue la tasa de intereacutes que rindioacute el fondo

38 El licenciado Candelaria debe liquidar $35 000 dentro de 6 meses y $5 500 dentro de un antildeo Para pagar decide formar un fondo mediante depoacutesitos iguales cada mes en una cuenta de inversioacuten que paga 06 mensual iquestQueacute cantidad debe depositar cada mes para amortizar cada una de sus deudas en sus respectivos vencimientos

39 Si se depositan $500 quincenales en un fondo de inversiones que paga 14 efectivo anual iquesten queacute tiempo se reuniraacuten $10 000

40 Haga una tabla que muestre el comportamiento de un fondo de amortizacioacuten cons-tituido mediante depoacutesitos mensuales de $600 a un fondo que rinde 10 anual convertible mensualmente si al momento de realizar el segundo depoacutesito el intereacutes cambia a 8 con la misma capitalizacioacuten y se hacen 3 depoacutesitos maacutes por $600 cada uno

41 Se depositaron $180 semanales en una cuenta de ahorros Si al cabo de 6 meses se acumularon $4 74618 iquestqueacute tipo de intereacutes efectivo anual se paga en esa cuenta Consideacuterense 52 semanas por antildeo

42 iquestA queacute tasa de intereacutes tendriacutean que hacerse 8 depoacutesitos mensuales vencidos de $420 para acumular $3 550 al momento de hacer el octavo depoacutesito

814 Uso de Excel8141 Introduccioacuten (seccioacuten 81)

En el ejemplo 811 se busca el valor R de 6 pagos semestrales iguales que debe hacer el sentildeor Campos para amortizar una deuda de $95 000 que contrae a 18 anual convertible semes-tralmente Como la situacioacuten representa una anualidad simple cierta vencida e inmediata el ejemplo se puede resolver mediante la funcioacuten PAGO de Excel como sigue

=PAGO(009695 000)

Que arroja el valor minus$21 17738 que es el que se busca (la pequentildea diferencia con respecto al valor que aparece en la seccioacuten 81 se debe como en muchos otros casos a redondeo)

En el ejemplo 812 se busca la renta de una anualidad simple cierta vencida e inmedia-ta que acumulada en un fondo que paga 16 anual permita acumular $700 000 al cabo de 6 antildeos

De nueva cuenta utilizando ldquo=PAGO(0166700 000)rdquo se obtiene el resultado que se busca minus$77 97291 que para recordar lo comentado antes en Excel aparece en color rojo y con signo negativo dado que se trata de una erogacioacuten

8142 Tablas de amortizacioacuten (seccioacuten 82)

El ejemplo 821 es una ilustracioacuten de una tabla de amortizacioacuten construida con los datos del ejemplo 811 en donde se teniacutea una deuda de $95 000 contratada a 18 convertible semestral-mente y que se determinoacute que se iba a amortizar mediante 6 pagos semestrales de $2117736 La tabla de amortizacioacuten correspondiente que es la que muestra coacutemo se va comportando el creacutedito a todo lo largo de su existencia es la que se reproduce enseguida

Fecha Pago

sobre saldo Amortizacioacuten Saldo Inicio 95 00000Fin semestre 1 21 17738 8 55000 12 62738 82 37262Fin semestre 2 21 17738 7 41354 13 76384 68 60878Fin semestre 3 21 17738 6 17479 15 00259 53 60619Fin semestre 4 21 17738 4 82456 16 35282 37 25336Fin semestre 5 21 17738 3 35280 17 82458 19 42878Fin semestre 6 21 17738 1 74859 19 42879 000 Totales 127 06428 32 06428 95 00000

El procedimiento que se siguioacute para elaborar esa tabla de amortizacioacuten fuePrimero se colocan los encabezados de columna y de rengloacuten Aquiacute note que si se anota

ldquoFin semestre 1rdquo y luego se coloca el puntero del ratoacuten en la esquina inferior derecha de la celda el siacutembolo cambia de una fl echa a una cruz y si se arrastra esta cruz hacia abajo auto-maacuteticamente Excel va copiando el ldquoFin semestre ldquo y va cambiando el nuacutemero a 2 3 y asiacute suce-sivamente hasta el arrastre al sexto rengloacuten

Posteriormente se coloca el valor del pago semestral $21 17738 y como es igual en todos los semestres simplemente se copia a todos los cinco renglones restantes

El primer rengloacuten del intereacutes sobre el saldo es 9 del preacutestamo inicial $95 000 Si se colo-ca este valor en la celda E2 (habiendo colocado el primer rengloacuten y la primera columna de la tabla en el rengloacuten A1) se determina este valor con la foacutermula ldquo=009E2rdquo la cual produce el resultado de $8 550

La amortizacioacuten de la deuda al fi nal del primer semestre el primer rengloacuten de la columna ldquoAmortizacioacutenrdquo la columna C es la diferencia entre lo que se pagoacute $21 17738 y los intereses generados $8 550 o sea en Excel ldquo=B3minusC3rdquo foacutermula que se coloca en la celda D3 con lo que se obtiene el valor correspondiente $12 62738

Para terminar con los caacutelculos de fi nal del primer semestre soacutelo resta determinar el nue-vo saldo del adeudo que es la diferencia entre el saldo anterior el inicial y la amortizacioacuten del semestre $95 000 minus 12 62738 = 82 37262 En Excel ldquo=E2minusD3rdquo

814 Uso de Excel

Una vez completado el primer rengloacuten la tabla se llena copiando las foacutermulas que se aca-ban de introducir en el rengloacuten 3 de las columnas C D y E Se hace esto marcando con el ra-toacuten las tres celdas y despueacutes arrastraacutendolas hacia abajo hasta el rengloacuten 8 que corresponde al fi nal del semestre 6

Para calcular las sumas de las columnas B C y D se pueden seguir dos caminosa) Anotar por ejemplo para la columna B en la celda B9 la foacutermula ldquo=Suma(B3B8)rdquo ob) Colocar el cursor en la celda B9 y marcar con el ratoacuten el siacutembolo de la sumatoria la le-

tra griega mayuacutescula sigma Σ que suele estar en la barra de iacuteconos de la parte superior con lo que automaacuteticamente aparece la foacutermula de la suma y ya soacutelo falta oprimir la tecla ldquoIntrordquo para que aparezca la suma

8143 Importe de los pagos en una amortizacioacuten (seccioacuten 83)

En el ejemplo 831 se pide elaborar una tabla de amortizacioacuten para saldar un adeudo de $4 000 000 contratado a 36 convertible bimestralmente a un plazo de un antildeo y con pagos bimestrales

En la seccioacuten 83 se determinoacute este pago $813 450514 como la renta de una ACSVI y con este dato se puede construir la tabla de amortizacioacuten siguiendo el mismo procedimiento que se usoacute en el ejemplo anteriora) Se anotan los encabezados de la tabla empezando por la celda A1 (por supuesto se

puede utilizar cualquier otra posicioacuten pero aquiacute se sigue con A1 para no complicar las explicaciones)

b) Se ingresa el pago bimestral $813 450514 en las celdas correspondientesc) Se introduce la foacutermula para el caacutelculo de los intereses ldquo=E2006rdquo en la celda C3d) Se anota la foacutermula de la amortizacioacuten en la celda D3 ldquo=B3minusC3rdquoe) Se teclea la foacutermula del saldo en la celda E3 ldquo=E2minusD3rdquof) Se ldquojalanrdquo las celdas B3 C3 y D3 hacia abajo hasta el rengloacuten del uacuteltimo pago el rengloacuten 8g) Se calculan las sumas de las columnas B C y D Se puede hacer esto de dos maneras bull Anotar por ejemplo para la columna B la foacutermula ldquo=Suma(B3B8)rdquo en la celda B9 o bull Se coloca el cursor en la celda B9 y se marca con el ratoacuten el siacutembolo de la sumatoria la

letra griega mayuacutescula sigma Σ que suele estar en la barra de iacuteconos de la parte supe-rior con lo que automaacuteticamente aparece la foacutermula de la suma y ya soacutelo falta oprimir la tecla ldquoIntrordquo para que aparezca la suma

Fecha Pago

bimestral6 sobre

saldo insoluto Amortizacioacuten Saldo Al contratar 4 000 00000Fin bimestre 1 813 450514 240 00000 573 45051 3 426 54949Fin bimestre 2 813 450514 205 59297 607 85754 2 818 69194Fin bimestre 3 813 450514 16912152 644 32900 2174 36294Fin bimestre 4 813 450514 130 46178 682 98874 149137421Fin bimestre 5 813 450514 89 48245 723 96806 767 40615Fin bimestre 6 813 450514 46 04437 767 40615 000 Totales 4 880 703080 880 70308 4 000 00000

En este ejemplo como se utilizoacute un pago con tres cifras decimales no es necesario redon-dear el saldo fi nal porque da exactamente cero

En el ejemplo 832 se desea saldar en un antildeo una deuda de $100 000 mediante tres pagos trimestrales de $30 000 y un pago en el cuarto trimestre que salde la deuda con un intereacutes de 28 capitalizable trimestralmente

En este caso se procede directamente a elaborar la tabla de amortizacioacuten hasta el tercer semestre con el procedimiento descrito antes y soacutelo se extiende el caacutelculo de los intereses hasta el cuarto trimestre

Fecha Pago

bimestral6 sobre

saldo insoluto Amortizacioacuten Saldo Al contratar 100 00000Fin trimestre 1 30 000000 7 00000 23 00000 77 00000Fin trimestre 2 30 000000 5 39000 24 61000 52 39000Fin trimestre 3 30 000000 3 66730 26 33270 26 05730Fin trimestre 4 27 881311 182401 26 05730 000 Totales 117 881311 17 88131 100 00000

En este punto se sabe que el saldo al tercer trimestre es de $26 05730 y que los intereses generados al fi nal del cuarto periodo son $182401 por lo que se sabe tambieacuten que el pago necesario para saldar la deuda es la suma de estas dos cantidades Y entonces se anota en la celda B6 ldquo=C6+E5rdquo con lo que se obtiene el cero en la columna de saldo Y en este punto soacutelo falta calcular los totales

8144 Derechos adquiridos por el deudor y saldo a favor del acreedor (seccioacuten 84)

En el ejemplo 841 se utilizan los datos y la tabla del ejemplo 811 para ilustrar los conceptos de los derechos adquiridos por el deudor y el saldo a favor del acreedor y se explica coacutemo es-tos conceptos estaacuten contenidos en la tabla y coacutemo se pueden tambieacuten calcular directamente con las foacutermulas conocidas de anualidades sin necesidad de elaborar una tabla

El ejemplo 842 trata de la compra de un departamento que cuesta $2 800 000 y por el cual se paga un enganche de $800 000 El resto se paga con un preacutestamo bancario a 15 antildeos con intereacutes de 36 convertible mensualmente y se pide encontrar el valor de los pagos men-suales y el saldo insoluto al fi nal del deacutecimo antildeo

En primer lugar para determinar el valor de los pagos mensuales se utiliza la funcioacuten PAGO de Excel de la siguiente manera =PAGO(0031802 000 000) la cual produce el resul-tado que se desea minus$60 29484

Ahora para determinar el saldo insoluto al fi nal del deacutecimo antildeo se resta al valor de la deuda el valor de los pagos en esa fecha

=(2 000 000(103)^120)minus(VF(003120minus60 29484))

la cual arroja el valor de $1668 68842 que es el que se busca con una pequentildea diferencia de-bida a redondeo

El ejemplo 843 es el caso de la compra de un automoacutevil que cuesta $187 500 y por el cual se paga un enganche de $75 000 y mensualidades vencidas de $4 48489 Se busca determinar

814 Uso de Excel

la proporcioacuten del saldo que se habriacutea amortizado al pagar la duodeacutecima mensualidad si el in-tereacutes pactado fue de 252 convertible mensualmente

Para determinar esa proporcioacuten en primer lugar se determina el valor de la deuda al rea-lizar ese duodeacutecimo pago Con Excel se busca el monto es decir el valor futuro con intereacutes compuesto =(187 500minus75 000)((1+(025212))^12) que produce $144 36484 y por otro lado el valor acumulado de los pagos que se han hecho es =VF(02521212minus4 48489) que produceese saldo de $60 49113 Por lo tanto la proporcioacuten del saldo que se ha liquidado a esa fecha es

60 491 13144 364 84

0 4190

= es decir 419

8145 Nuacutemero de pagos en una amortizacioacuten (seccioacuten 85)En el ejemplo 851 se busca el nuacutemero de pagos mensuales necesarios para saldar una deuda de $180 000 con pagos mensuales de $15 000 e intereses a 18 convertible mensualmente

En primer lugar se determina el nuacutemero de pagos que es necesario hacer con la funcioacuten NPER =NPER(0015minus15 000180 000) que produce como resultado 1332904183

Y entonces tal como se ve en el ejemplo se tienen dos alternativas

a) Hacer 12 pagos de $15 000 y un decimotercer pago fi nal mayor ob) Hacer 13 pagos de $15 000 y un decimocuarto pago fi nal menor

Para determinar el decimotercer pago fi nal mayor se debe calcular el saldo restante des-pueacutes de haber realizado el decimosegundo pago y despueacutes calcular el valor de este saldo un mes despueacutes que es cuando se liquidariacutea la deuda En Excel

=((180 000(1015)^12)minusVF(001512minus15 000))1015 produce el valor de 19 88699 que es el que se busca y en donde la diferencia que se observa con respecto al valor encontrado en el ejemplo resuelto con una calculadora se debe a error de redondeo

Para determinar un decimocuarto pago menor con Excel=((180 000(1015)^13)minusVF(001513minus15 000))1015 produce el valor que se busca

4 96030En el ejemplo 852 se busca determinar cuaacutentos retiros mensuales de $20 000 podriacutea hacer

una persona que recibe una herencia de $2 500 000 si la deposita en una cuenta que produce 6 de intereacutes capitalizable mensualmente Con Excel

=NPER(0005minus20 0002 500 000) da como resultado n = 1966558576 que es el valor que se busca

8146 Tasa de intereacutes en una amortizacioacuten (seccioacuten 86)En el ejemplo 861 se desea determinar la tasa de intereacutes que se paga al comprar una maacutequi-na de coser usada que cuesta de contado $820 y se liquida con un enganche de $270 y 10 pa-gos quincenales de $58

Con Excel =TASA(10minus58 820minus270) da como resultado 00097748 que es el valor que se busca

Aunque se nota tambieacuten en otros ejemplos en el caacutelculo de estas tasas el uso de Excel es especialmente uacutetil ya que evita la necesidad de ensayar valores hasta llegar a una aproxima-cioacuten aceptable

En el ejemplo 862 se busca la tasa nominal anual capitalizable bimestralmente que se carga al contraer una deuda de $6 000 y pagarla con 5 pagos bimestrales vencidos de $1 380 De nuevo es faacutecil resolver este ejemplo usando Excel con =TASA(5minus1 3806 000) que arro-ja el resultado muy preciso de 00484719105210 Con esta tasa efectiva bimestral se calcu-la la tasa nominal anual capitalizable bimestralmente simplemente multiplicaacutendola por 6 00484719105210 times 6 = 0290831 o 2908

8147 Otros casos de amortizacioacuten (seccioacuten 87)El ejemplo 871 trata del caso en el que se difi ere el inicio de los pagos y se trata de la compra de una televisioacuten de $14 990 que se va a pagar mediante 6 abonos iguales e intereses a 36 convertible mensualmente La compra se lleva a cabo el 31 de octubre y los pagos se comen-zariacutean a pagar el 31 de enero del antildeo siguiente y se busca el valor de cada uno de los pagos y se pide construir una tabla de amortizacioacuten para la operacioacuten

El valor de los pagos mensuales se determina llevando el valor del aparato del 31 de octu-bre al 31 de diciembre para usar este valor futuro como el valor actual de la anualidad que se va a comenzar a pagar el 31 de enero En Excel =PAGO(0036(14 990(103)^2)) produce el va-lor del pago mensual $2 93563 y con este valor se elabora la tabla de amortizacioacuten con el pro-cedimiento revisado antes excepto por los tres primeros renglones ya que en los dos primeros meses no se hicieron pagos

bull Se escriben los encabezados de la tabla empezando por la celda A1 (por supuesto se puede utilizar cualquier otra posicioacuten pero aquiacute se sigue con A1 para no complicar las explicaciones)

bull Se anota el pago mensual $2 93563 en las celdas correspondientes es decir empezando en el rengloacuten B5 que corresponde al 31 de enero que es cuando se comenzoacute a pagar

bull Se introduce la foacutermula para el caacutelculo de los intereses ldquo=E2003rdquo en la celda C3 y se ex-tiende hacia abajo hasta la C10

bull Se ingresa la foacutermula de la amortizacioacuten en la celda D5 ldquo=B5minusC5rdquobull Se teclea la foacutermula del saldo en la celda E5 ldquo=E4minusD5rdquobull Se ldquojalanrdquo las celdas B3 y D3 hacia abajo hasta el rengloacuten del uacuteltimo pago el rengloacuten 10bull Por uacuteltimo se calculan las sumas de las columnas B C y D

Fecha Pago porperiodo

003 de intereacutessaldo insoluto Amortizacioacuten Saldo

31 oct 14 9900030 nov 44970 15 4397031 dic 46319 15 9028931 ene 2 93563 47709 2 45854 13 4443528 feb 2 93563 40333 2 53230 10 9120531 mar 2 93563 32736 2 60827 8 3037830 abr 2 93563 24911 2 68652 5 6172631 may 2 93563 16852 2 76711 2 8501530 jun 2 93563 8550 2 85013 003 Totales 17 61378 2 62380 15 90287

La pequentildea diferencia de 003 en el saldo fi nal se debe a errores de redondeo

814 Uso de Excel

El ejemplo 872 ilustra el caso de pagos desiguales y se trata de una deuda de $8 000 que se debe amortizar mediante 5 pagos mensuales vencidos Los dos primeros de $1500 y el ter-cero y cuarto de $2 000 Al elaborar una tabla de amortizacioacuten se puede visualizar el com-portamiento del creacutedito y determinar el monto del quinto pago que salda completamente la deuda El procedimiento que se sugiere seguir en Excel es aproximadamente el mismo que se utilizoacute antes soacutelo que ahora se anotan los pagos desiguales en las celdas correspondientes $1500 para los dos primeros meses y $2 000 para los segundos dos meses A partir de aquiacute se aplican igual que antes las foacutermulas para el caacutelculo de intereses amor-tizacioacuten y saldos hasta el fi nal del cuarto mes Ahora si se arrastra el caacutelculo de los intereses hasta el mes quinto celda C7 se obtiene la cantidad generada de intereses al quinto mes 3606 y si se suma a estos intereses el saldo al fi nal del cuarto mes se obtiene la cantidad que se debe pagar al fi nal del quinto mes para liquidar totalmente el adeudo Es decir se pueden sumar en la celda B7 las cantidades de las celdas C7 (intereses del quinto mes) y E6 (saldo al fi nal del cuarto mes) para obtener ese pago fi nal de 158349 que salda la deuda Los pasos fi nales consisten en arrastrar los valores de amortizacioacuten y saldo hasta el ren-gloacuten 7 para terminar con los caacutelculos y determinar las sumas de las columnas B a D con lo que se tiene fi nalmente la tabla de amortizacioacuten que se presentoacute en este ejemplo 872 y que se reproduce enseguida para faacutecil referencia

FechaPago

bimestral233 sobre

Al contratar 8 00000Fin mes 1 150000 18640 131360 6 68640Fin mes 2 150000 15579 134421 5 34219Fin mes 3 2 00000 12447 187553 3 46667Fin mes 4 2 00000 8077 191923 154744Fin mes 5 158349 3606 154744 000 Totales 8 58349 58349 8 00000

El ejemplo 873 ilustra el caso en el que se dan cambios en la tasa de intereacutes y se man-tiene constante la amortizacioacuten Se trata de un creacutedito de $20 000 que se contrata el 3 de ju-nio y que se debe pagar mediante 4 pagos bimestrales aplicando 24 anual en los primeros dos meses y 20 anual en los uacuteltimos 4 meses y en donde ambas tasas tienen capitalizacioacuten bimestral Se establece tambieacuten que en cada uno de los cuatro pagos se debe amortizar una cuarta parte de la deuda En este caso se comienza de nuevo por anotar los encabezados de las columnas y de los renglones y se continuacutea inmediatamente con el llenado de la columna de amortizaciones puesto que se sabe que se debe amortizar una cuarta parte de la deuda en cada pago bimestral o sea $5 000 Enseguida se anotan las foacutermulas para calcular los intereses de los dos primeros bimestres ((=E2004) y (=E3004)) en las celdas C3 y C4 respectivamente y los de los dos uacuteltimos bimestres ((=E40033) y (=E50033)) en las celdas C5 y C6 respectivamente Con esto ya se tienen llenas las columnas de amortizacioacuten y de intereses y soacutelo falta aparte de los totales de costumbre las foacutermulas para calcular el saldo y el pago bimestral El saldo se calcula

restaacutendole a cada saldo previo los $5 000 de amortizacioacuten y el pago bimestral sumaacutendole a esa amortizacioacuten el importe de los intereses causados

La tabla de amortizacioacuten que se obtiene es la siguiente

FechaPago

bimestral

4 los primeros dos bimestres y

333 los otros dos Amortizacioacuten Saldo

03 jun 20 00003 ago 5 800 800 5 000 15 00003 oct 5 600 600 5 000 10 00003 dic 5 330 330 5 000 5 00003 feb 5165 165 5 000 0

Totales 21895 1895 20 000

En el ejemplo 874 se ilustra el caso de una amortizacioacuten variable Y se solicita hacer una tabla de amortizacioacuten para una deuda de $10 000 que se debe pagar en tres meses mediante abonos vencidos a 15 semestral con capitalizacioacuten mensual amortizando 50 30 y 20 de ladeuda en cada pago en ese orden

De nuevo se comienza por poner los tiacutetulos de la tabla para despueacutes anotar las amor-tizaciones establecidas que seriacutean entonces de $5 000 $3 000 y $2 000 en los meses 1 2 y 3respectivamente y son cantidades que se colocan en los renglones 3 4 5 de la columna D de la tabla Se coloca ademaacutes igual que antes en la celda E2 el valor original de la deuda $10 000

Para llenar el resto de la tabla primero se anotan las foacutermulas necesarias en el rengloacuten 3 Para determinar el intereacutes se multiplica el saldo (E2) por el intereacutes 0025 y entonces se anota la foacutermula =E20025 en la celda C3 Luego para determinar el pago se suma el intereacutes a la amor-tizacioacuten (=C3+D3) y se anota esta foacutermula en la celda B3 y para llenar el rengloacuten se anota en la celda E3 el nuevo saldo (=E2minusD3)

Para fi nalizar la tabla simplemente se arrastran las foacutermulas de las celdas B C y D del rengloacuten 3 hasta el rengloacuten 5 para fi nalmente calcular los totales de columna como se ha ve-nido haciendo Despueacutes de esto se llega a la correspondiente tabla de amortizacioacuten que se reproduce enseguida

FechaPago

bimestral0025

mensual Amortizacioacuten Saldo Al contratar 10 000Fin mes 1 5 250 250 5 000 5 000Fin mes 2 3125 125 3 000 2 000Fin mes 3 2 050 50 2 000 0 Totales 10 425 425 10 000

8148 Depoacutesitos a un fondo de amortizacioacuten (seccioacuten 88)

En el ejemplo 881 se tiene a una empresa que debe pagar $400 000 seis meses despueacutes y de-cide acumular un fondo mediante depoacutesitos mensuales vencidos en una cuenta que paga 9

814 Uso de Excel

anual convertible mensualmente Se pide a) determinar el valor de los depoacutesitos que se deben hacer y b) hacer una tabla que muestre coacutemo se comporta el fondo de amortizacioacuten

Lo primero que hay que hacer es determinar el valor de los depoacutesitos Como se trata de depoacutesitos vencidos se aplica la funcioacuten PAGO de Excel =PAGO(009126400 000) Note la doble coma dentro del pareacutentesis Se hace asiacute porque la sintaxis de esta funcioacuten implica que el tercer valor dentro del pareacutentesis separado por comas corresponde al valor actual de una anualidad y en este caso de lo que se dispone es del valor futuro o monto que debe ocupar elcuarto lugar y en la foacutermula el primer valor es la tasa luego hay una coma seguida del nuacutemero de periodos o depoacutesitos en este caso luego una segunda coma y una tercera coma de manera que el monto ocupa precisamente el cuarto lugar como se desea Esta foacutermula arroja el valor que se busca minus$65 42756 Se anota este valor en las celdas 2 a 7 de la columna B

Lo que sigue es muy similar a lo que se hizo para tablas de amortizacioacuten En primer lu-gar se anotan los encabezados de la tabla soacutelo que en este caso como se trata de acumular un fondo los encabezados de las columnas cambian a

Fecha Depoacutesito

por periodo IntereacutesTotal que se

suma al fondo Saldo

Despueacutes se anotan los encabezados de los renglones empezando con ldquoiexclFin del mesrdquo pues-to que es el momento cuando se empieza a acumular el capital y auacuten no se generan intereses Se anota entonces $65 42756 tambieacuten en la celda E2

Posteriormente se anota la foacutermula de los intereses en la celda C3 (=E200075) la cual produce el valor de 49071 El total que se suma al fondo celda D3 se determina sumando al depoacutesito mensual de $65 42756 los intereses generados (=B3+C3) El nuevo saldo acumula-do de la celda E3 se calcula sumando este total al saldo anterior (=D3+E2) Y se terminan los caacutelculos arrastrando estas foacutermulas de las celdas C3 D3 y E3 hasta el rengloacuten 7 Y ahora lo uacutenico que resta es calcular las sumas de las columnas B C y D con lo que se completa la ta-bla siguiente

FechaDepoacutesito

suma al fondo Saldo

Fin mes 1 65 42756 65 42756Fin mes 2 65 42756 49071 65 91827 13134583Fin mes 3 65 42756 98509 66 41265 197 75848Fin mes 4 65 42756 148319 66 91075 264 66923Fin mes 5 65 42756 198502 67 41258 332 08181Fin mes 6 65 42756 2 49061 67 91817 399 99998 Totales 392 56536 7 43462 334 57242

Y de nueva cuenta los 2 centavos que faltan para completar los $400 000 de la deuda es un simple error de redondeo

El ejemplo 882 trata de una persona que adquiere a creacutedito un departamento en condo-minio por el que debe pagar aparte de otros conceptos una anualidad de $165 000 al fi nal de cada uno de los tres primeros antildeos El comprador decide acumular un fondo de amortizacioacuten

para cumplir con este compromiso haciendo depoacutesitos quincenales en una cuenta que paga 12 convertible mensualmente Se pide determinar cuaacutento debe depositar cada quincena para acumular lo que necesita pagar cada fi n de antildeo

Aquiacute se tiene el monto ($165 000) de una anualidad simple cierta vencida e inme-diata y se sabe que el intereacutes es de 1 efectivo mensual y que se deben hacer 24 depoacutesitos quincenales

En primer lugar para determinar la tasa efectiva quincenal que equivale a 1 efectivo mensual =(101^(05))minus1 produce el valor que se busca 0004987562 Un detalle que vale la pena observar aquiacute es que en la foacutermula se utilizaron pareacutentesis para separar la operacioacuten de potenciacioacuten ldquo=(101^(05))rdquo de la de la resta ldquominus1rdquo y para separar la potencia de la base ldquo101^(05)rdquo Se hizo asiacute para enfatizar el orden de las operaciones pero por otro lado se pudo haber obtenido el mismo resultado sin esos pareacutentesis usando solamente =101^05minus1 cono-ciendo el orden de prioridad con el que Excel ejecuta las operaciones primero realiza las maacutes complejas (potenciacioacuten en este caso) y despueacutes las maacutes sencillas (la resta en este caso) que es precisamente lo que se queriacutea hacer Despueacutes de determinar la tasa aplicable se usa la funcioacuten PAGO de la siguiente manera =PAGO(101^05minus124165 000) con la que se obtienen los minus$6 48884 que se buscan Noacutetese que por supuesto se pudo haber colocado directamente en la funcioacuten PAGO la foacutermula para determinar la tasa quincenal efectiva y aquiacute se calculoacute aparte al principio para recordar este de-talle que se estudioacute antes en el capiacutetulo 3 de intereacutes compuesto

8149 Total acumulado en un fondo de amortizacioacuten y saldo insoluto de la deuda (seccioacuten 89)

En el ejemplo 891 se explican los conceptos de total acumulado y de saldo insoluto de un fondo de amortizacioacuten utilizando la tabla de amortizacioacuten que se elaboroacute para el ejemplo 881

En el ejemplo 892 se pide determinar la cantidad acumulada en un fondo de inversioacuten que rinde 08 mensual efectivo si se hacen depoacutesitos mensuales de $1000 durante 7 antildeos Aquiacute se trata simplemente de encontrar un monto con tasa de 0008 renta de $1000 y 7 times 12 = 84 periodos Con Excel =VF(000884minus1000) produce el monto que se busca $11911514

En el ejemplo 893 se pide utilizar los datos del ejemplo anterior el 892 para determinar en cuaacutento se incrementa el fondo del mes 83 al mes 84 por concepto de intereses

Ya se determinoacute que el valor del fondo en el mes 84 es de $11911514 y se determina aho-ra el monto al mes 83 =VF(000883minus1000) = $11717772

Por lo que 11911514 minus 11717772 = $193742 es lo que se incrementa el fondo de un mes al otro y de esa cantidad $1000 corresponden al depoacutesito mensual por lo que el incremento por intereses es de $93742

81410 Nuacutemero de depoacutesitos en un fondo de amortizacioacuten (seccioacuten 810)

En el ejemplo 8101 se busca determinar el nuacutemero de depoacutesitos mensuales de $850 que son necesarios para liquidar una deuda de $4 800 a su vencimiento si el fondo gana 9 converti-ble mensualmente

Con Excel =NPER(00912minus8504800) = 555 (note de nuevo la doble coma)

814 Uso de Excel

Asiacute se puede reunir la cantidad necesaria para pagar la deuda haciendo 5 depoacutesitos de $850 maacutes un sexto depoacutesito de =4800minus((VF(009125minus850))10075) = 45341

Se puede apreciar en esta foacutermula que al monto de la deuda se le resta el valor al sexto mes de lo acumulado al quinto mes

El ejemplo 8102 trata de una persona que debe pagar $7 500 el 2 de junio y que forma un fondo de amortizacioacuten depositando $121606 mensuales en una inversioacuten que rinde el 1403 efectivo anual y se pregunta en el diacutea 2 de queacute mes se debe hacer el primer depoacutesito para reunir la cantidad que se adeuda precisamente el 2 de junio

Aquiacute tambieacuten se debe encontrar la tasa efectiva mensual correspondiente al 1403 efecti-vo anual Es decir se desea determinar la i que satisface la siguiente ecuacioacuten

(1 + i)12 = 11403

Despejando la i i = 11403112 minus 1 se obtiene la tasa que se requiere y tal como se ha visto antes no es necesario resolver esta ecuacioacuten sino que se puede anotar directamente en la fun-cioacuten de Excel Para encontrar cuaacutendo se deben iniciar los depoacutesitos es necesario determinar el nuacutemero de periodos por lo que =NPER(11403^(112)minus1minus1216067 500) = 6 indica que se requieren seis depoacutesitos vencidos para acumular la cantidad necesaria y entonces si se debe pagar el 2 de junio se debe comenzar el 2 de enero

81411 Tasa de intereacutes en un fondo de amortizacioacuten (seccioacuten 811)

En el ejemplo 8111 se busca determinar la tasa de intereacutes que paga un fondo mediante el cual se pagoacute una deuda de $250 000 acumulando 8 depoacutesitos mensuales vencidos de $30 492386 En este caso se utiliza la funcioacuten TASA de la siguiente manera =TASA(8minus30492386250 000) = 0007 o sea 07

En el ejemplo 8112 se pide calcular cuaacutel fue la tasa efectiva anual que pagoacute un fondo que se constituyoacute mediante 5 depoacutesitos mensuales vencidos de $196629 y que permitioacute acumular $10 000 que se requeriacutean para pagar una deuda

Utilizando de nuevo TASA =TASA(5minus19662910 000) = 00084994O sea 085 A partir de esta tasa efectiva mensual la tasa efectiva anual =(10085^12)minus1

= 01069 o 1069

81412 Comparacioacuten entre amortizacioacuten y fondo de amortizacioacuten (seccioacuten 812)

En el ejemplo 8121 se ilustra coacutemo la amortizacioacuten y los fondos de amortizacioacuten son ope-raciones simeacutetricas Se analiza una situacioacuten en la que se tiene una deuda de $1000 a valor actual que a 18 anual con capitalizacioacuten mensual equivale a un monto de $106136 dentro de 4 meses En primer lugar se puede verifi car con Excel esta equivalen-cia con =1000(1015)^4 = 106136 Por supuesto la relacioacuten inversa tambieacuten se cum-ple =106136(1015^(minus4)) = 1000 (En ambos casos con minuacutesculas diferencias debidas a redondeo)

Tambieacuten en ambos casos la renta es la misma

=PAGO(001541000) = 25944 para valor actual=PAGO(00154106136) = 25944 para monto o valor futuro

Y siendo asiacute las tablas de amortizacioacuten y de fondo de amortizacioacuten son las siguientes que se construyen tambieacuten utilizando el procedimiento que se ha usado repetidamente antes

Tabla de amortizacioacuten

FechaPago

bimestral15 sobre

Al contratar 100000Fin mes 1 25944 1500 24444 75556Fin mes 2 25944 1133 24811 50745Fin mes 3 25944 761 25183 25563Fin mes 4 25944 383 25561 002 Totales 103776 3778 99998

FechaDepoacutesito

por periodo15 deintereacutes

Total que sesuma al fondo Saldo

Fin mes 1 25944 000 25944 25944Fin mes 2 25944 389 26333 52277Fin mes 3 25944 784 26728 79005Fin mes 4 25944 1185 27129 106134 Totales 103776 2358 106134

Y al igual que en otros casos la diferencia de 2 centavos en ambas tablas se debe a redondeo

En el ejemplo 8122 se analiza el caso de una persona que trabaja en un banco y que ob-tiene un preacutestamo de $100 000 que debe pagar mediante 6 abonos mensuales con intereses de 6 convertible mensualmente Como este trabajador puede invertir el preacutestamo a 1 men-sual se pregunta cuaacutento ganariacutea al fi nal de los 6 meses si efectivamente lo invierte y de ahiacute paga el preacutestamo Para resolver este ejemplo se construye una tabla que muestre el comportamiento de am-bos contratos y se empieza igual que antes por anotar los encabezados de columna y de ren-gloacuten Se podriacutea enseguida determinar el monto de las mensualidades que debe pagar para liquidar el adeudo =PAGO(006126100000) = $16 95955

Despueacutes se anota esta cantidad en los seis renglones de la columna de ldquoAbono a la deu-dardquo Se anota la foacutermula de los intereses generados en el fondo (=D2001) en la celda B3 y se

814 Uso de Excel

anota el saldo nuevo de cada mes en la celda D3 =D2+B3minusC3 con lo que se completa el ren-gloacuten 3 y ahora soacutelo resta arrastrar estas foacutermulas hasta el rengloacuten 8 con lo que se obtiene la siguiente tabla en la que se puede ver que esta persona obtiene una utilidad de $1 81661 en la operacioacuten

Interesesacumulados

al fondoAbono

a la deudaTotal en el fondo

de inversioacuten

Al contratar 100 00000Fin mes 1 100000 16 95955 84 04045Fin mes 2 84040 16 95955 67 92130Fin mes 3 67921 16 95955 5164097Fin mes 4 51641 16 95955 3519783Fin mes 5 35198 16 95955 18 59026Fin mes 6 18590 16 95955 181661

El ejemplo 8131 trata de la adquisicioacuten de un departamento de intereacutes social con valor de $300 000 pagando 20 de enganche y el saldo a 15 antildeos con abonos mensuales de $2 34933 y se pide determinar la tasa de intereacutes anual nominal convertible mensualmente que se paga en la operacioacuten Utilizando la funcioacuten TASA =TASA(180minus2 34933240 000) se obtiene faacute-cilmente el valor =0007 que es la tasa efectiva mensual La tasa nominal anual convertible mensualmente se obtiene en forma igualmente faacutecil multiplicando 0007 por 12 o sea 0084 que equivale a 84

En el ejemplo 8132 se pide encontrar el valor de 18 pagos mensuales y la tasa efectiva anual que se cobra en la compra de un automoacutevil que cuesta $138 500 con 30 de enganche y saldo a 18 mensualidades con 2 de intereacutes ldquoglobal mensualrdquo

Tal como se vio al resolver este ejemplo con calculadora el intereacutes ldquoglobalrdquo signifi ca que se cobra esa tasa sobre el saldo inicial para cada uno de los 18 meses del plazo

Entonces el valor del vehiacuteculo menos el enganche es en Excel =138 50008 = 96 950Y sobre esta cantidad se calculan los intereses de cada mes =96 950002 = 1939El abono mensual al capital es de =96 95018 = 5 38611Por lo que los pagos mensuales ascienden a =5 38611+1939 = 7 32511Ya teniendo estos valores se utiliza la funcioacuten TASA para determinarla en este caso=TASA(18minus7 3251196 950) = 00345839 o sea una tasa efectiva mensual de 345839De donde la tasa efectiva anual es =10345839^12minus1 = 05038 o 5038En el ejemplo 8133 se analizan las condiciones de la compra de una estufa que cuesta

$2 000 al contado y se paga mediante un enganche de $800 y 6 pagos bimestrales iguales con intereacutes del 30 convertible bimestralmente Se pide

a) Encontrar el valor de los pagosb) Construir una tabla de amortizacioacuten

c) Determinar el valor de los derechos adquiridos por la compradora inmediatamente antes del cuarto pago

a) El pago bimestral con Excel =PAGO(03661200) = $23642b) La tabla de amortizacioacuten

FechaPago

bimestral3 sobre

saldo insoluto Amortizacioacuten Saldo Al contratar 120000Fin mes 1 23642 6000 17642 102358Fin mes 2 23642 5118 18524 83834Fin mes 3 23642 4192 19450 64384Fin mes 4 23642 3219 20423 43961Fin mes 5 23642 2198 21444 22517Fin mes 6 23643 1126 22517 000 Totales 141853 21853 120000

Las foacutermulas

En la celda C3 =005E2En la celda D3 =B3minusC3En la celda E3 =E2minusD3Se arrastran estas tres celdas hasta el fi n del mes seis y se calculan totales como antes

c) Para determinar los derechos adquiridos por la compradora inmediatamente antes del cuarto pago se calcula primero el valor de los tres primeros pagos al fi nal del cuarto mes En Excel =(VF(0053minus23642))105 = 782579753

A este valor se le deben restar los intereses generados por el creacutedito durante esos cua-tro meses =1200((105)^4minus1) = 2586075

Los derechos adquiridos por la compradora inmediatamente antes de realizar el se-gundo pago 78261 minus 25861 = $52397

O en una sola foacutermula =((VF(0053minus23643))105) minus 1200((105)^4minus1) = 524Y de nueva cuenta las ligeras diferencias contra los resultados obtenidos en calculadora

se deben a redondeo

815 ResumenAmortizar es extinguir una deuda actual mediante pagos perioacutedicos Un fondo de amorti-zacioacuten es una reserva que se acumula mediante depoacutesitos perioacutedicos con el objeto de extin-guir una deuda futura Los valores de las amortizaciones y de los fondos de amortizacioacuten se calculan con la foacutermula de anualidades adecuada seguacuten la situacioacuten Los conceptos son equi-valentes la renta de una anualidad es el pago perioacutedico de una amortizacioacuten o el depoacutesito de un fondo de amortizacioacuten Las tablas de amortizacioacuten y de fondo de amortizacioacuten muestran la forma en que se van modifi cando las condiciones de un periodo a otro

815 Resumen

bull Defi nir y explicar el concepto de amortizacioacutenbull Defi nir y explicar el concepto de fondo de amortizacioacutenbull Identifi car situaciones en las que puedan aplicarse estos conceptosbull Plantear y resolver ejemplos de amortizacioacuten y de fondo de amortizacioacuten encontrando

El pago o depoacutesito perioacutedico El valor actual o futuro a pagar La tasa de intereacutes El plazo El nuacutemero de pagos perioacutedicos o depoacutesitos necesarios seguacuten se requiera

bull Elaborar tablas de amortizacioacuten y de fondo de amortizacioacuten

bull Amortizacioacuten bull Fondo de amortizacioacutenbull Depoacutesito perioacutedico bull Pago perioacutedicobull Derechos del acreedor bull Saldobull Derechos del deudor

1 Haga una tabla que muestre coacutemo se amortiza una deuda de $40 000 contratada hoy y que debe pagarse mediante 5 pagos mensuales iguales y vencidos si se carga 9 anual convertible mensualmente

2 iquestCuaacutel seriacutea el importe de cada uno de 15 pagos bimestrales iguales y vencidos necesarios para pagar un automoacutevil que cuesta $127 800 si se da un enganche de $27 800 y se cobra un intereacutes de 12 mensual sobre saldos insolutos

3 El sentildeor Ramiacuterez compra un juego de muebles de sala en $14 500 Paga 15 de enganche y 3 mensualidades de $3 000 cada una a los 30 60 y 90 diacuteas de realizada la operacioacuten res-pectivamente Si convino en liquidar el resto mediante 2 mensualidades maacutes a los 120 y 150 diacuteas iquestcuaacutel seraacute el importe de cada uno de estos pagos iguales si la transaccioacuten se con-tratoacute a 15 mensual sobre saldos insolutos

4 Un abogado debe liquidar mediante 13 pagos mensuales vencidos una deuda de $10 000 que contrae hoy Si paga intereses a razoacuten de 18 mensual sobre saldos insolutos y con-viene en pagar 12 mensualidades iguales de $850 iquestcuaacutel debe ser el importe del uacuteltimo pago para amortizar totalmente su deuda

5 Haga una tabla de amortizacioacuten que muestre las condiciones de una deuda en los dos primeros y en los 2 uacuteltimos periodos si el importe del deacutebito es de $5 450 y se convino en amortizarlo mediante 24 pagos bimestrales vencidos y la tasa es de 09 mensual sobre saldos insolutos

6 Se comproacute un automoacutevil con $42 000 de enganche y un saldo de $126 000 a pagar en 24 mensualidades iguales con 17 anual capitalizable mensualmente iquestA cuaacutento ascendiacutean los derechos adquiridos por el comprador sobre el automoacutevil exactamente despueacutes de realizar el decimotercer pago

7 Al comprar un refrigerador que cuesta $12 900 un cliente pagoacute 25 de enganche y acor-doacute pagar el saldos con 5 pagos mensuales vencidos iguales y con intereses de 15 men-sual sobre saldos insolutos iquestA cuaacutento ascendiacutean los derechos adquiridos por el cliente inmediatamente antes de realizar el tercer pago

8 iquestCuaacutel seriacutea el saldo insoluto de una deuda de $9 380 contratada hoy y para pagar median-te 6 pagos bimestrales iguales y vencidos con intereacutes de 2 bimestral efectivo exacta-mente al realizar el segundo pago

9 Daniel obtiene un preacutestamo hoy por $20 000 Conviene en pagarlo mediante abonos quincenales de $1000 Si el intereacutes que pagaraacute es de 18 efectivo mensual iquestcuaacutel seraacute el saldo de su deuda inmediatamente antes de realizar el deacutecimo pago

10 Se va a amortizar una deuda de $8 000 con 12 pagos mensuales iguales con 15 anual con-vertible bimestralmente Calcule el saldo de la deuda al realizar el sexto pago y determine de este sexto pago queacute proporcioacuten es de intereses y queacute proporcioacuten corresponde a amortizacioacuten

11 Se adquiere un departamento que cuesta $800 000 con $60 000 de enganche y el saldo a pagar a 15 antildeos con intereacutes variable y abonos mensuales Si durante el primer antildeo se carga el 14 anual convertible mensualmente y se pagan 12 mensualidades de $12 000 y durante el segundo antildeo se carga 12 anual convertible mensualmente y se pagan 6 men-sualidades de $1000 hallar el saldo insoluto al hacer el decimoctavo pago

12 Se paga una deuda de $8 370 con 15 pagos mensuales vencidos iguales con 25 de inte-reacutes efectivo anual iquestQueacute cantidad se paga en total de intereses

13 El sentildeor Loacutepez obtiene un preacutestamo de $71500 para comprar un automoacutevil usado Va a liquidar el preacutestamo con pagos mensuales durante 3 antildeos con 245 efectivo anual iquestQueacute cantidad paga de intereses durante el segundo antildeo

14 iquestPor queacute en una operacioacuten de amortizacioacuten la parte de los pagos que se aplica a la amor-tizacioacuten misma va siendo cada vez mayor

15 Una persona adquiere muebles a creacutedito para su casa por un valor de $18 000 que con-viene en amortizar mediante 24 mensualidades con 15 de intereacutes mensual Seis meses despueacutes de realizada la compra obtiene un preacutestamo de una institucioacuten de seguridad so-cial con el cual liquida el saldo de su deuda que queda con 05 de intereacutes y al mismo plazo iquestCuaacutento se ahorroacute de intereses

16 iquestCuaacutentos pagos bimestrales vencidos de $94862 seriacutean necesarios para amortizar una deuda de $9 500 si el intereacutes es de 17 mensual efectivo

17 iquestCuaacutentos pagos mensuales de $1000 seriacutean necesarios para pagar una deuda de $5 000si se carga intereacutes de 26 efectivo anual iquestDe queacute cantidad tendriacutea que ser el uacuteltimo pago (menor que $1000) para amortizar completamente la deuda

18 Una empresa adquiere tres vehiacuteculos de carga usados que cuestan en total $238 000 me-diante 10 pagos bimestrales de $32 500 iquestQueacute tasa anual efectiva se pagoacute

19 Un equipo modular cuesta $6 800 de contado En abonos se vende con $2 000 de enganchey 6 pagos mensuales vencidos de $90080 iquestQueacute tasa de intereacutes nominal anual con capita-lizacioacuten mensual se carga en la operacioacuten

20 iquestQueacute cantidad tendriacutea que depositar cada mes el sentildeor Lozano para acumular $50 000 den-tro de 65 antildeos si los depoacutesitos los hace en un fondo de inversioacuten que paga 1 mensual

21 Construya una tabla de amortizacioacuten que muestre la forma en que se acumula un fondo durante 6 meses mediante depoacutesitos mensuales vencidos de $100 a 10 anual efectivo

22 Construya una tabla de amortizacioacuten que muestre la forma en que se acumulariacutean $5 000 en un fondo de amortizacioacuten al cabo de 6 meses mediante depoacutesitos mensuales venci-dos si el instrumento de inversioacuten en que se coloca el fondo rinde 6 anual capitalizable trimestralmente

23 Romeo y Julieta desean ahorrar $60 000 para dar el enganche de un departamento Si ahorran $1500 mensuales en una cuenta bancaria de inversioacuten iquestcuaacutentos depoacutesitos nece-sitariacutean hacer y cuaacutel seriacutea el valor del uacuteltimo depoacutesito superior a $1500 si su fondo gana intereacutes a razoacuten de 09 mensual

24 Jorge York necesita tener $78 500 dentro de 3 antildeos para liquidar una deuda contraiacuteda en su negocio Encuentre los depoacutesitos trimestrales que tendriacutea que hacer a un fondo de amortizacioacuten que paga 98 anual convertible mensualmente y construya una tabla que muestre el comportamiento del fondo durante los 3 primeros y los 3 uacuteltimos trimestres

25 Una comerciante puede obtener un preacutestamo por $14 000 que puede pagar de 2 modos a) Amortizaacutendolo mediante 24 pagos mensuales con intereacutes al 25 mensual sobre sal-

dos insolutos b) Pagar intereses sobre el preacutestamo a 30 anual efectivo y formar un fondo de amorti-

zacioacuten mediante 24 depoacutesitos mensuales en un fondo que paga el 22 anual efectivo c) iquestQueacute plan resulta maacutes econoacutemico y en queacute cantidad mensual26 iquestQueacute tipo de intereacutes tendriacutea que rendir un fondo de amortizacioacuten que se crea con 6 de-

poacutesitos bimestrales de $15950 para acumular al realizar el sexto depoacutesito $1000

81 Introduccioacuten

httpwwwgvaesimpivaserviciospublicaedicionscontabhtmlLa amortizacioacuten (causa) elementos depreciables principios depreciables reglas de amortiza-cioacuten principios de amortizacioacuten entre otros temas

httpcibercontaunizaresLECCIONcostprod100HTMAlguna informacioacuten teoacuterica de amortizacioacuten Contiene datos interesantes y tambieacuten se nos habla del enfoque contable

httpwwwlccumaesteacap6amort6htmlEnfoque contable de la amortizacioacuten

httpwwwabanfi ncomdirfi nancontabilidadamortizacionamortizaciones2htmPodraacutes encontrar una introduccioacuten y concepto de la amortizacioacuten defi nicioacuten y meacutetodos de amortizacioacuten

Matemaacuteticas en internet Amortizacioacuten y fondos de amortizacioacuten

httplalineacomamortizahtmEn esta direccioacuten se presenta un simulador de preacutestamos en donde el alumno podraacute calcu-lar los pagos para un preacutestamo personal o de consumo Introduciendo los datos el estudiante podraacute obtener la cantidad total a pagar mediante una tabla de intereses y amortizacioacuten para cada pago

httpwwwabanfi ncomfi nanciacioncalculadoracamortizacionhtmEn esta paacutegina encontraraacutes un cuadro en el cual tuacute podraacutes calcular la amortizacioacuten de tu preacutestamo

httpwwwusuarioscomib310332amortizahtmSimulador de amortizaciones que te ayuda a realizar caacutelculos para luego elaborar tu tabla de amortizacioacuten

httpwwwensuabcmxecaazvamor00htmPor medio de este link puedes encontrar el signifi cado de amortizacioacuten asiacute como una tabla de amortizacioacuten su signifi cado y utilidad en los caacutelculos

httpwwwensuabcmxecaazvamoejehtm

httpwwwensuabcmxecaazvfonejehtmEn estos apartados encuentras algunos ejemplos de amortizacioacuten y tablas de amortizacioacuten

httpcentros4pnticmeces~santam24economatamortizacionhtmProporciona informacioacuten referente a la amortizacioacuten de un preacutestamo algunas foacutermulas para amortizar un preacutestamo

bull Amortizaciones con pago de capital uacutenicobull Amortizaciones con pago de capital fraccionado en cuotas

httpcienciasbcintereduccaiseda1010AnualidadeshtmEsta liga muestra ejemplos sobre las foacutermulas empleadas para amortizar asiacute como ejemplos praacutecticos para entender mejor su signifi cado

httpusuarioslycosesmatematicsegundahtmtasasTasas de intereacutes en la amortizacioacuten

Mismas ligas que seccioacuten 82

httpwwwfordcreditcomContiene un simulador de pagos para la adquisicioacuten de un creacutedito de la liacutenea de automoacuteviles Ford Aquiacute puedes poner el plazo al que quieres tu creacutedito la cantidad de enganche etceacutetera

httpwwwmaygmonetcalcularcuotashtmlInformacioacuten sobre amortizaciones calculadas en Euros que pueden ser convertidos en pesos Ademaacutes ayuda a la elaboracioacuten de tablas de amortizacioacuten con diferentes tipos de intereacutes y en diferentes plazos

httpmsiplceorgjahumadamrsg1010unidad5u5s3t2htmMenciona lo que se puede obtener con el fondo de amortizacioacuten hace aplicacioacuten de la foacutermu-la para el fondo de amortizacioacuten

httpwwwensuabcmxecaazvfonejehtmEjemplo de fondos de amortizacioacuten

Inversioacuten en bolsa de valores

bull Explicar las caracteriacutesticas fundamentales de los tiacutetulos-valor que se negocian en la Bolsa Mexicana de Valores

bull Exponer las formas en que se pueden obte-ner rendimientos a traveacutes de estos valores

bull Calcular las tasas efectivas de rendimiento de esos valores a cualquier plazo y en diversas circunstancias

Objetivos 91 Introduccioacuten 92 Rendimientos de valores bursaacutetiles 93 Los valores bursaacutetiles 94 Rendimiento de valores que ofrecen

ganancias de capital 95 Rendimiento de valores que pagan

intereses (y que tambieacuten permiten ganancias de capital)

96 Resumen

Temario

CAPIacuteTULO9

CAPIacuteTULO 9 INVERSIOacuteN EN BOLSA DE VALORES354

91 IntroduccioacutenEl mercado de valores representa por un lado una de las maacutes importantes fuentes de fi nan-ciamiento para las organizaciones tanto del sector puacuteblico como del privado y por otra parte una amplia gama de alternativas de inversioacuten ahorro y manejo de excedentes monetarios

La Bolsa de Valores reglamentada mediante la Ley del Mercado de Valores es la institu-cioacuten (mercado) en cuyo piso de remates se realizan transacciones de compraventa de valores de los documentos (valores) que formalizan operaciones En el presente capiacutetulo se describen brevemente las caracteriacutesticas de los diversos instrumentos bursaacutetiles y se revisan los proce-dimientos que se aplican para calcular sus rendimientos efectivos en distintas circunstancias

92 Rendimientos de valores bursaacutetilesLas tres formas en las que se obtienen ingresos (rendimientos) sobre las inversiones bursaacute-tiles son

bull intereacutesbull dividendos ybull ganancias de capital

El intereacutes es el pago que se pacta por el uso de capital ajeno Los dividendos son las utilidades que obtienen las empresas y que reparten entre sus accionistas Estos dividendos se pueden pagar en efectivo o en acciones Se obtienen ganancias de capital cuando se venden acciones a un precio superior al que se paga en el momento de comprarlas Es la forma maacutes comuacuten de obtener rendimientos en la bolsa de valores e incluye el caso de diversos instrumentos que se venden por debajo de su valor nominal con la consiguiente ganancia de capital Incluye tambieacuten por supuesto el caso de valores cuyo precio variacutea en el mercado lo cual ocasiona diferencias entre el valor de compra y el de venta como es el caso de las acciones y otros ins-trumentos En este rengloacuten de ganancias de capital se incluyen el aumento de valor que expe-rimentan algunos instrumentos por el hecho de que su precio estaacute asociado al tipo de cambio peso-doacutelar a las Udis (unidades de inversioacuten) Este concepto es importante ya que las ganan-cias de capital estaacuten exentas del pago de impuesto sobre la renta mientras que los ingresos por intereses o dividendos siacute son gravados por este concepto Por supuesto esta diferencia tiene efecto sobre el rendimiento efectivo que el inversionista obtiene

93 Los valores bursaacutetilesLos instrumentos que se negocian actualmente en la Bolsa Mexicana de Valores se clasifi can seguacuten el emisor En los siguientes incisos se describe a cada uno de ellos y se explica la forma en que pueden generar rendimientos luego se muestran ejemplos de los diferentes tipos de caacutelculos que se requieren para evaluar los rendimientos

Emitidos por entidades gubernamentales

bull Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal (Bondes)bull Bonos de Proteccioacuten al Ahorro (BPA)

bull Bonos de Regulacioacuten Monetaria del Banco de Meacutexico (Brems)bull Certifi cados Bursaacutetiles (Cebur)bull Certifi cados de la Tesoreriacutea de la Federacioacuten (Cetes)bull Pagareacutes de Indemnizacioacuten Carretera (PIC-FARAC)bull Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal denominados en Udis (Udibonos)

Maacutes adelante se describen sus principales caracteriacutesticas

Emitidos por empresas

Acciones

bull De empresas comerciales industriales y de serviciosbull De sociedades de inversioacuten mdash Aceptaciones bancarias mdash Bonos bancarios mdash Certifi cados bursaacutetiles mdash Certifi cados de depoacutesito mdash Certifi cados de participacioacuten bull Ordinarios bull Inmobiliarios (CPI) mdash Obligaciones mdash Pagareacute con rendimiento liquidable al vencimiento mdash Pagareacute de mediano plazobull Pagareacute fi nancierobull Papel comercial

1 Los Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal (Bondes) son tiacutetulos de creacutedito a lar-go plazo creados a partir de un decreto publicado en el Diario Ofi cial de la Federacioacuten el 22 de septiembre de 1987 Su propoacutesito es fi nanciar los proyectos de largo plazo del Gobierno Federal fungiendo eacuteste como garante Los rendimientos que ofrecen son inte-reses pagaderos mensualmente aunque en la Bolsa de Valores suelen intercambiarse a un precio distinto a su valor nominal por lo cual tambieacuten se obtienen ganancias o peacuterdidas de capital Se colocan en el mercado a descuento con un rendimiento pagadero cada 28 diacuteas (CETES a 28 diacuteas o TIIE la que resulte maacutes alta)

2 Los Bonos de Proteccioacuten al Ahorro (BPA) son emitidos por el Instituto Bancario de Proteccioacuten al Ahorro con el fi n de hacer frente a sus obligaciones contractuales Tienen un valor nominal de $100 amortizables al vencimiento de los tiacutetulos en una sola exhibi-cioacuten y a un plazo de tres antildeos Se colocan en el mercado a descuento y sus intereses son pagaderos cada 28 diacuteas La tasa de intereacutes seraacute la mayor entre la tasa de rendimiento de los CETES a un plazo de 28 diacuteas y la tasa de intereacutes anual maacutes representativa que el Banco de Meacutexico deacute a conocer para los pagareacutes con rendimiento liquidable al vencimiento (PRLV) en el plazo de un mes

3 Los Bonos de Regulacioacuten Monetaria del Banco de Meacutexico (Brem) como su nombre lo indica son emitidos por el banco central mexicano a plazos de entre uno y tres antildeos y tienen un valor nominal de $100 Pagan intereses cada 28 diacuteas de acuerdo a una tasa

93 Los valores bursaacutetiles

variable la cual se calcula capitalizando todos los diacuteas y durante todo el periodo de pago de intereacutes la tasa a la cual las instituciones de creacutedito realizan operaciones de compra-venta y reporto a plazo de un diacutea haacutebil con tiacutetulos bancarios que es conocida en el mer-cado como ldquoTasa ponderada de fondeo de tiacutetulos bancariosrdquo la cual publica diariamente el propio Banco de Meacutexico

4 Los Certifi cados Bursaacutetiles son tiacutetulos de creacutedito que se emiten en serie o en masa que pueden colocarse a descuento o con pago de intereses seguacuten el programa correspondien-te de colocacioacuten las emisiones pueden tener valor nominal de $100 o 100 Udis Los emi-sores pueden ser sociedades anoacutenimas entidades de la administracioacuten puacuteblica federal o paraestatal entidades federativas municipios y entidades fi nancieras que actuacuteen en cali-dad de fi duciarias Los hay de corto y de largo plazos

5 Los Certifi cados de la Tesoreriacutea de la Federacioacuten (CETES) fueron creados en 1977 para fi nanciar la inversioacuten productiva del Gobierno Federal regular el circulante infl uir sobre las tasas de intereacutes y propiciar un sano desarrollo del mercado de valores Debido a que se venden con descuento los rendimientos que se obtienen son a traveacutes de ganancias de capi-tal Las emisiones suelen ser a 28 91 182 y 364 diacuteas aunque se han realizado emisiones a plazos mayores

6 Los pagareacutes de indemnizacioacuten carretera tambieacuten conocidos como PIC-FARAC (por per-tenecer al Fideicomiso de Apoyo al Rescate de Autopistas Concesionadas) son pagareacutes avalados por el Gobierno Federal a traveacutes del Banco Nacional de Obras y Servicios SNC en el caraacutecter de fi duciario Tienen valor nominal de 100 Udis un plazo de 5 a 30 antildeos y el rendimiento en moneda nacional de este instrumento dependeraacute del precio de adquisicioacuten con pago de la tasa de intereacutes fi ja cada 182 diacuteas

7 La primera emisioacuten de los Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal denominados en Udis o Udibonos se realizoacute el 30 de mayo de 1996 Estos bonos pagan una tasa de intereacutes real sobre un valor nominal de 100 Udis (Unidades de Inversioacuten) el cual se actualiza de acuerdo con el incremento del Iacutendice Nacional de Precios al Consumidor por lo que sus rendimientos son a traveacutes tanto de ganancias de capital como de intereses Son emitidos a plazos de 3 y 5 antildeos y pagan intereses de manera semestral

1 Las acciones de empresas sean comerciales industriales o de servicio son tiacutetulos que re-presentan la propiedad de sus tenedores sobre una de las partes iguales en que se divide el capital de la sociedad anoacutenima correspondiente En estas acciones las ganancias que se pueden obtener son de dos tipos ganancias de capital y dividendos (en acciones o en efectivo)

2 Las acciones de sociedades de inversioacuten son tiacutetulos que representan la participacioacuten (pro-piedad) de sus tenedores sobre las partes iguales en que se divide un fondo destinado a inversiones fi nancieras Las ganancias que pueden obtenerse mediante estos instrumen-tos se logran a traveacutes de ganancias de capital y las hay de varios tipos

3 Las aceptaciones bancarias son letras de cambio emitidas por empresas y avaladas por bancos con base en creacuteditos que la institucioacuten aceptante (banco) concede a las emisoras Con aceptaciones bancarias se pueden obtener rendimientos mediante ganancias de ca-pital ya que se venden con descuento

4 Los bonos bancarios son tiacutetulos que documentan preacutestamos a largo plazo que por lo ge-neral rebasan el antildeo Estos valores otorgan rendimientos principalmente a traveacutes del pago de intereses aunque tambieacuten existen bonos que no hacen pagos perioacutedicos de intereacutes sino que capitalizan estos pagos pero ello no altera el concepto del rendimiento mediante intereacutes Los bonos bancarios de desarrollo son emitidos por los bancos de desarrollo El propoacutesito de estos bonos es de hecho fomentar el desarrollo nacional en el aacuterea de com-petencia del banco emisor

5 Los certifi cados de depoacutesito son precisamente constancias de depoacutesito en institucio-nes bancarias que se negocian a traveacutes de las casas de bolsa Estos certifi cados pagan intereses

6 Los certifi cados de participacioacuten son documentos de varios tipos que representan losderechos sobre un fideicomiso organizado con respecto a determinados bienes Los certifi cados de participacioacuten ordinarios como los Certifi cados de plata (Ceplatas) re-presentan los derechos de sus tenedores sobre un fi deicomiso constituido con plata y el rendimiento que proporcionan corresponde a ganancias de capital

7 Los certifi cados de participacioacuten inmobiliarios representan los derechos que sus tenedo-res tienen sobre determinados inmuebles comprometidos como patrimonio de un fi dei-comiso y otorgan rendimientos por medio de pagos perioacutedicos de intereacutes y a traveacutes de ganancias de capital

8 Las obligaciones son tiacutetulos-valor nominativos a traveacutes de los cuales se documenta el preacutestamo que una sociedad anoacutenima (o una sociedad nacional de creacutedito) obtienen de un conjunto de inversionistas El rendimiento se concreta en pagos perioacutedicos de intereacutes y ganancias de capital Al igual que otros instrumentos las hay de varios tipos Las obli-gaciones hipotecarias estaacuten garantizadas por bienes inmuebles y ofrecen rendimientos principalmente por pagos perioacutedicos de intereacutes (las maacutes de las veces son pagos mensua-les) y secundariamente mediante ganancias de capital

Las obligaciones quirografarias no tienen garantiacuteas especiacutefi cas aparte de la solvencia de la emisora aunque sus rendimientos se dan en las mismas formas que las obligaciones hipotecarias

Por su parte las obligaciones convertibles ofrecen a su tenedor la opcioacuten de obtener acciones de la empresa emisora en su fecha de vencimiento en vez de obtener su valor nominal en efectivo

Las obligaciones indizadas otorgan rendimientos aplicando a su valor nominal el crecimiento del Iacutendice Nacional de Precios al Consumidor Esta actualizacioacuten se lleva a cabo cada 91 diacuteas

Las obligaciones con rendimiento capitalizable como su nombre lo indica son aquellas en las que los intereses que se generan no se pagan en efectivo al tenedor sino que pasan a aumentar el capital invertido

A las obligaciones subordinadas se les llama asiacute porque en caso de liquidacioacuten de la emisora se pagan a prorrata despueacutes de haber cubierto todas las deudas restantes de la institucioacuten pero antes de repartir a los tenedores de las acciones el remanente del haber social

9 Los pagareacutes con rendimiento liquidable al vencimiento son tiacutetulos emitidos por institu-ciones bancarias que se negocian en la Bolsa Mexicana de Valores

10 Los pagareacutes de mediano plazo son tiacutetulos de deuda emitidos por sociedades mer-cantiles mexicanas que gozan de la facultad de contraer pasivos y suscribir tiacutetulos de creacutedito Tienen un valor nominal de $100 o 100 Udis con un plazo que va de uno a siete antildeos y pagan intereses perioacutedicamente (cada mes trimestre semestre o antildeo) con base en tasas revisables establecidas Las garantiacuteas pueden ser quirografarias avaladas o con garantiacutea fiduciaria

11 El papel comercial estaacute constituido por pagareacutes que se utilizan para documentar creacute-ditos usualmente entre empresas Los rendimientos que ofrecen son ganancias de capital pues se pactan mediante tasa de descuento

En las secciones siguientes se dan ejemplos de coacutemo calcular el rendimiento nominal y el rendimiento efectivo de los diversos instrumentos bursaacutetiles seguacuten el tipo de ganancia o ren-dimiento que principalmente permiten y para facilitar el anaacutelisis en la tabla 91 se resumen los tipos de rendimiento que cada uno de ellos ofrece Con respecto a esta tabla es conveniente observar que soacutelo se esquematizan los rendimientos que estos valores suelen ofrecer ya que no es raro que se emitan valores con caracteriacutesticas peculiares tal como puede ejemplifi carse con los Udibonos que como se mencionoacute permiten obtener ganancias de capital de acuerdo con el aumento de la infl acioacuten al tiempo que pagan una tasa de intereacutes real

TABLA 91 Rendimientos de las diversas alternativas de inversioacuten en la Bolsa Mexicana de Valores

Tiacutetulo-valor

Tipo de rendimiento

InteresesGanancias de capital Dividendos

Emitidos por entidades gubernamentales Bondes Siacute Siacute NoBrems Siacute Siacute NoCertifi cados bursaacutetiles Siacute Siacute NoCETES No Siacute NoPIC-FARAC Siacute Siacute NoUnibonos Siacute Siacute NoEmitidos por empresasAcciones de empresas No Siacute SiacuteAcciones de sociedades de inversioacuten No Siacute NoAceptaciones bancarias No Siacute NoBonos bancarios Siacute Siacute NoCertifi cados bursaacutetiles Siacute Siacute NoCertifi cados de depoacutesito Siacute Siacute NoCertifi cados de participacioacuten ordinarios Siacute Siacute NoCertifi cados de participacioacuten inmobiliarios Siacute Siacute NoObligaciones Siacute Siacute NoPagareacute con rendimiento liquidable al vencimiento Siacute No NoPagareacute de mediano plazo Siacute Siacute NoPapel comercial No Siacute No

94 Rendimiento de valores que ofrecen ganancias de capital

Como antes se expuso las ganancias de capital se obtienen al comprar un tiacutetulo y venderlo a un precio superior Esta diferencia entre el precio de compra y el de venta se da en un caso muy frecuente en valores que se venden con descuento Esto quiere decir que los valores se venden a un precio inferior al que tienen a su vencimiento (valor nominal) el precio de venta se determina mediante una tasa de descuento la cual permite determinar el precio inferior al de vencimiento al que se venden los tiacutetulos en el momento de su colocacioacuten en el mercado

El otro caso es el que surge por cambios en los precios de los valores en las operaciones de compraventa que se realizan en la Bolsa de Valores (precio de mercado) y que ilustran claacutesica-mente las acciones de empresa y las acciones de sociedades (fondos) de inversioacuten En ambos casos el caacutelculo del rendimiento se hace de manera muy simple pues se divide la ganancia entre el precio pagado por el tiacutetulo el cual a veces coincide con el valor nominal

941 Acciones de sociedades de inversioacuten

En la tabla 92 se presentan los precios para diversas fechas de algunas sociedades de inver-sioacuten seleccionadas Estos precios se pueden consultar en la seccioacuten fi nanciera de los principa-les perioacutedicos del siguiente diacutea haacutebil

TABLA 92 Precio de cierre de acciones de sociedades de inversioacuten Meses de 2006

De instrumentos de deuda

30 de mayo

30 de junio

31 de julio

17 de agosto

AFIRMES 129612646 130171574 13074572 131125596ARKAORO 160495693 158148648 158957484 15827612FONSER1 29399147 295424 29703458 29788562NTE-FA1 B 13530525 13585441 13635948 13683912STampDER-1 4034645 4047479 4060727 4068139

ComunesACCIAR 102386021 98244051 102553853 104297788ARKAPAQ 1041444 1023415 1045332 105147NTE+DJB 0114081 0115839 0110928 0110588SANTANB 2736456 2656793 2802949 2871772VALMX20 4417785 4280984 4574155 4714542

De coberturaACTICOB 13416703 13690668 13102055 13005991AMEXCOB 1269469 1288505 1239844 1231202HORZCOB 4111341 4202531 400785 397564IXECOB 2235813 2278577 2189604 2174807ZCOB 86990312 90066076 8655382 85961578

El procedimiento para calcular la tasa efectiva de rendimiento de valores que tienen pre-cios distintos en fechas diferentes consiste en dividir el precio de la fecha posterior entre el capital Este cociente menos uno da la tasa efectiva de rendimiento al plazo y con eacutesta se pue-de determinar la tasa efectiva a cualquier otro plazo conveniente para hacer comparaciones (normalmente un mes de 30 diacuteas o el antildeo de 365) En siacutembolos

iMCp = minus1 (91)

Otra forma de considerar este rendimiento consiste en recordar que

iICp = (92)

ya que se sabe que M = C + I Sustituyendo esta expresioacuten en (91)

ICp = + minus = + minus = + minus =1 1 1 1

que es la misma expresioacuten (92)Como en el anaacutelisis de rendimientos de valores bursaacutetiles suelen manejarse muy diversos

plazos es comuacuten que ese plazo (p) no sea ni un mes ni un antildeo y como estos plazos son los que se utilizan frecuentemente para efectos de comparacioacuten con frecuencia se deben convertir las tasas determinadas al plazo original del instrumento o de la operacioacuten a tasas mensuales o anuales Para hacer esta operacioacuten se recurre al siguiente procedimiento

i i i ipp

3653651 1 1 1= + minus = + minus( ) ( ) o

De acuerdo con lo anterior se puede ver que si se utiliza n para representar el plazo al que se desea convertir la tasa original que se obtuvo

i in pn p= + minus( ) 1 1 (93)

Ejemplo 9411

Las acciones de la sociedad de inversioacuten cuya clave es Afi rmes tuvieron un valor de 13074572 y de 131125596 el 31 de julio y el 17 de agosto respectivamente seguacuten se pue-de ver en la tabla 92 Se calcula la tasa efectiva de rendimiento a ese plazo y a 30 diacuteas

SolucioacutenEntre las dos fechas transcurrieron 17 diacuteas por lo que el rendimiento fue de

C17131 125596 130 74572

130 745720= = minus = minus =

379876130 74572

0 00290546 0 2917i = o

Es importante observar que se puede calcular directamente la tasa efectiva de rendi-miento al plazo de 17 diacuteas de la siguiente manera

i17 = Precio al final del periodoPrecio al priincipio del periodo

MontoCapital

minus = minus = minus

1 1 1MC

1131 125596130 74572

1 1 00290546 1 0 00290

minus = minus = 5546

Una vez que se obtiene i17 se puede calcular la tasa efectiva de rendimiento mensual a 30 diacuteas

i30 = (1 + ip)30p minus 1i30 = 1002905463017 minus 1 = 1002905461764705882

i30 = 0005133 o 051

Un detalle que resulta uacutetil visualizar en este ejercicio es que el 1 que se resta es pre-cisamente el capital invertido

Ejemplo 9412

Calcular la tasa efectiva de rendimiento mensual de las acciones de Fonser1 Stampder-1 Acciar Santana e Ixecob para el periodo del 30 de mayo al 31 de julio de 2006 de acuerdo con los precios de la tabla 92

Solucioacuten

Fonser1 imontocapital62 1

29 70345829 399147

1 0 0= minus = minus =

110351015

30621 010351015 1 0 0049952= minus =

Stampder-1 imontocapital62 1

4 0607274 034645

4464509

30621 006464509 1 0 003122= minus =

Acciar imontocapital62 1

102 553853102 386021

1 0= minus = minus =

001639208

30621 001639208 1 0 00079283= minus =

Santanb imontocapital62 1

2 8029492 736456

2298947

30621 024298947 1 0 0116847= minus =

Ixecob imontocapital62 1

2 1896042 235813

1 0 02= minus = minus = minus

0066764975

30620 9793323502 1 0 010054= minus = minus

o minus1

En este ejemplo se puede observar que

bull Los rendimientos de las sociedades de inversioacuten en instrumentos de deuda Fonser1 y Stampder-1 son similares Ademaacutes son semejantes a los rendimientos de los instrumen-tos bancarios de inversioacuten como los certifi cados de depoacutesito a plazo y los pagareacutes con rendimiento liquidable al vencimiento

bull En el periodo que se abarca del 30 de mayo al 31 de julio de 2006 el mercado accio-nario en su conjunto medido a traveacutes del Iacutendice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores pasoacute de 18 84134 a 20 09593 puntos o sea un aumento de 665 en 62 diacuteas equivalente a 317 mensual Y por su parte las acciones de las so-ciedades de inversioacuten comunes (ldquode renta variablerdquo) Acciar y Santanb lograron rendi-mientos de 08 y 117 respectivamente Estos rendimientos son inferiores a los del mercado pero superiores a los de las sociedades de instrumentos de deuda

bull A su vez la sociedad de inversioacuten de cobertura Ixecob terminoacute el periodo con una peacuterdida de 1 lo cual refl eja el comportamiento de su cartera que incluye por su-puesto valores indizados al doacutelar Esto mismo refl eja el comportamiento del tipo de cambio peso-doacutelar en el mismo periodo que pasoacute de $11314 el 30 de mayo a $1095 el 31 de julio o sea una peacuterdida de aproximadamente 3 en el periodo

Por otro lado los rendimientos calculados para Fonser1 y Stampder-1 son rendimien-tos realmente efectivos ya que los intermediarios bursaacutetiles no cobran comisioacuten en la compraventa de los tiacutetulos por tratarse de sociedades de inversioacuten en instrumentos de deuda Sin embargo cuando se trata de sociedades de inversioacuten comunes como Acciar y Santanb entonces los rendimientos calculados se consideran como el rendimiento acu-mulado en el periodo de acuerdo con el precio de mercado Si efectivamente se hubieran comprado y vendido las acciones en esas fechas se habriacutea tenido que pagar comisioacuten y por ello el precio de compra hubiera sido aproximadamente 1 maacutes alto y el precio de venta 1 menor con la consiguiente reduccioacuten del rendimiento efectivo

Ejemplo 9413

Calcular el rendimiento que ofrecieron las acciones de la sociedad de inversioacuten comuacuten Arkapaq del 30 de mayo al 30 de junio de acuerdo con los datos de la tabla 92

SolucioacutenEl precio de las acciones fue de 1041444 el 30 de mayo y de 1023415 el 30 de junio con un plazo de 31 diacuteas Asiacute

C311 023415 1 041444

1 0414440 01731154051

= minus

Es decir hubo una peacuterdida de 173 La tasa efectiva de rendimiento mensual es

i i30 31

30311 1 1 0 01731154051 1 0= + minus = minus minus =( ) ( ) 98324271 1 016757minus = minus

O sea minus168 efectivo mensual

Ejemplo 9414

Calcular la tasa efectiva de rendimiento mensual de un inversionista que adquirioacute accio-nes de Acciar el 30 de mayo de 2006 y que vendioacute el 17 de agosto del mismo antildeo La casa de bolsa cobra 1 de comisioacuten

SolucioacutenAcciar

Precio de compra = 102386021 + 102386021(001) = 1034098812o 102386021(101) = 1034098812Precio de venta = 104297788 minus 104297788(001) = 1032548101o 104297788(099) = 1032548101

Y entonces

iMC79 1

103 2548101103 4098812

5577006

O sea una peacuterdida de 015 Por otra parte

i i30 79

30791 1 1 0 001499577006 0 998500= +( ) minus = minus = 4423 1 0 000569720 3797468354 minus = minus

es decir 006 efectivo mensualEn este caso se puede ver coacutemo las comisiones de los intermediarios pueden conver-

tir una ganancia en peacuterdida

942 Acciones de empresas

Se incluyen aquiacute las acciones de todas las empresas que cotizan en la bolsa instituciones de seguros y fi anzas casas de bolsa bancos grupos fi nancieros y por supuesto empresas indus-triales comerciales y de servicios en general Al igual que en el caso de las sociedades de inver-sioacuten los precios de mercado de las acciones de empresas se publican en los perioacutedicos al diacutea haacutebil siguiente En la tabla 93 se presentan los precios de algunas de estas acciones en fechas seleccionadas

TABLA 93 Precios de cierre (uacuteltimo hecho) de algunas acciones de empresas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores

Accioacuten30 de mayo

30 de junio

31 de julio

17 de agosto

31 31 17ALFAA 5167 5591 5578 5547CEMEXCPO 3254 3245 3100 3133COMERCIUBC 1767 1929 2155 2072ELEKTRACPO 12300 10699 10782 9996FEMSAUBD 9548 9491 963 10064GCARSOA1 2449 2668 2939 3098GEOB 3937 3768 4333 4467GFINBURO 1603 1656 1648 1702GFNORTEO 2622 2625 3012 306GMODELOC 4129 43 48 4725KIMBERA 381 3593 4168 4163NAFTRAC02 188 192 2005 2098TELMEXL 1156 1186 1285 13TLEVISACPO 4266 4382 4054 4305WALMEXV 2974 3118 3393 3764

Ejemplo 9421

El precio al que se cotizaron por uacuteltima vez las acciones de Walmex V al cierre de las ope-raciones de los diacuteas 30 de mayo y 17 de agosto de 2006 fueron 2974 y 3764 respectiva-mente Calcular la tasa efectiva de rendimiento de estas acciones bajo el supuesto de que no hubo pago de dividendos en este lapso

SolucioacutenLos diacuteas transcurridos entre estas dos fechas fueron 79 por lo que

iMC79 1

37 6429 74

1 0 2656355= minus = minus =

o 2656 efectivo a 79 diacuteas e

i i30 7930 79 0 3797468351 1 1 2656355 1 0= + minus = minus =( ) 0935821

o 936 efectivo mensual

Es importante notar que estos caacutelculos soacutelo refl ejan el rendimiento del precio de la accioacuten seguacuten el comportamiento observado en ese periodo especiacutefi co de 79 diacuteas y que como se mencionoacute antes no se toman en cuenta las comisiones que cobran los interme-diarios bursaacutetiles (casa o agentes de bolsa o bancos) cuando compran o venden acciones de empresas y de sociedades de inversioacuten comunes y que suele ser de 1 (en los ejemplos de comisiones se utiliza esta cantidad aunque se debe tener presente que no siempre es la misma ya que es posible negociarla con los intermediarios)

Ejemplo 9422

Calcular el rendimiento de las acciones de Walmex V en el mismo periodo del ejemplo anterior si efectivamente se hubieran comprado y vendido en esas fechas con una co-misioacuten de 1

SolucioacutenPrecio de compra = 2974(101) = 300374Precio de venta = 3764(099) = 372636 De donde

iMC79 1

37 263630 0374

1 0 24057342= minus = minus =

i i30 7930 79 0 379748351 1 1 24057342 1 0= + minus = minus =( ) 00853079

u 853 efectivo mensual

Como era de esperar si efectivamente se realizan las operaciones de compra y de venta se pagariacutea comisioacuten y el rendimiento seriacutea menor al que se calcula utilizando soacutelo los precios de mercado

El otro caso que se puede dar con las acciones de empresas es que paguen dividendos ya sea en acciones o en efectivo Si el pago lo hacen en acciones el proceso de canje de ac-ciones ocasiona ajustes en el precio de la accioacuten en el mercado y en el nuacutemero de acciones en circulacioacuten en cuyo caso se pueden aplicar los procedimientos que ya se explicaron para calcular su rendimiento efectivo

Si por otro lado el pago de dividendos se hace con dinero el caacutelculo del rendimiento efectivo debe tomar en consideracioacuten la fecha y el monto de ese pago como se ilustra en el ejemplo siguiente en el que se utiliza una ecuacioacuten de valores equivalentes para determi-nar la tasa efectiva de rendimiento

Ejemplo 9423

El precio de ciertas acciones fue de $475 el 5 de agosto de 200x y de 478 el 18 de septiembredel mismo antildeo Ademaacutes pagoacute un dividendo de $0158337513284434 por accioacuten a par-tir del 8 de agosto Determinar la tasa efectiva de rendimiento mensual de estas acciones

SolucioacutenPara simplifi car el anaacutelisis con el propoacutesito de resaltar los detalles referentes al plantea-miento y resolucioacuten de la ecuacioacuten de valores equivalentes que se requiere

bull no se toma en cuenta la comisioacuten de la casa de bolsa bull tampoco se considera el impuesto sobre la renta que los tenedores de las acciones

mdashpersonas fiacutesicasmdash deben pagar al fi sco y fi nalmente bull se reducen los decimales del pago de dividendos a 5 posiciones para quedar en

015834

FIGURA 91 Diagrama del ejemplo 9423

Considerando lo anterior conviene en primer lugar plantear las condiciones en una ecuacioacuten de valores equivalentes como la de la fi gura 91

Los plazos entre las tres fechas son

5-8 de agosto 3 diacuteas5 de agosto a 18 de septiembre 44 diacuteas

En teacuterminos de la simbologiacutea que se ha utilizado hasta acaacute M = 478 C = 475 e I = 015834 Entonces la ecuacioacuten de valores equivalentes que corresponde utilizando el 5 de agosto como fecha focal es

475 = 015834(1 + i)minus3 + 478(1 + i)minus44

Como no es posible despejar la i de este tipo de ecuaciones su resolucioacuten se lleva a cabo ensayando valores de la i hasta encontrar uno que haga que se cumpla la igualdad Para esto conviene observar que como el plazo estaacute planteado en diacuteas (3 y 44) la tasa efectiva que se obtiene al resolver la ecuacioacuten es por supuesto una tasa efectiva diaria Entonces por ejemplo si se da a la i un valor de 0001 se tiene que

475 = 015834(1001)minus3 + 478(1001)minus44

= 01578659 + 45743405 = 47322064

Como 47322064 lt 475 la siguiente aproximacioacuten se debe hacer con una tasa menor si i = 00009

475 = 015834(10009)minus3 + 478(10009)minus44

= 01579132 + 45944927 = 4752406

Afi nando auacuten maacutes la aproximacioacuten con el procedimiento anterior de acercamientos suce-sivos se comprueba que una i que arroja un valor aceptablemente cercano es 000091

475 = 015834(100091)minus3 + 478(100091)minus44

= 01579085 + 45924735 475 asymp 4750382

$475 $015834 $478

5 agosto 8 agosto 18 sept

Asiacute con esta tasa efectiva diaria (aproximada) se puede calcular la tasa efectiva mensual

i30 = (1 + i1)301 minus 1 = (1 + i1)30 minus 1 = 10009130 minus 1 = 00276633

o sea una tasa efectiva mensual de 277Como se puede observar la realizacioacuten manual de estos caacutelculos es bastante labo-

riosa por lo que en la praacutectica si fuera necesario realizar muchas de estas operaciones o con frecuencia convendriacutea utilizar alguno de los paquetes de computacioacuten o calculado-ras que permiten resolver este tipo de ecuaciones

943 Valores con tasa de descuento

En esta categoriacutea se encuentran principalmente los Certifi cados de la Tesoreriacutea de la Federacioacuten (Cetes) asiacute como el papel comercial y las aceptaciones bancarias Se dice que principalmen-te los Cetes porque los procedimientos para el papel y las aceptaciones hacen referencia a lo aplicable a Cetes y porque las tasas de estos tiacutetulos son una referencia importante en el medio fi nanciero mexicano

El procedimiento general aplicable a este tipo de tiacutetulo es

1 Calcular el precio descontado mediante la tasa de descuento La foacutermula que se maneja en el medio bursaacutetil para calcular el precio es

P VNtd= minus

⎣⎢

⎦⎥1

360 (94)

en donde

P = precio descontado VN = valor nominal t = plazo en diacuteas d = tasa de descuento

2 Calcular el rendimiento al plazo o descuento que es

D = VN minus P (95)

3 Determinar la tasa efectiva de rendimiento al plazo4 Calcular la tasa efectiva al plazo que se requiera (usualmente mensual o anual)

A continuacioacuten se expondraacuten algunos ejemplos

Ejemplo 9431

En la fi gura 92 se reproduce el anuncio de colocacioacuten de Cetes del jueves 24 de agosto de 2006 que aparecioacute en el perioacutedico El fi nanciero Se puede observar que se emitieron Cetes a 3 plazos distintos esto es 28 91 y 175 diacuteas con sus correspondientes tasas de descuento y rendimiento

Este mensaje aparece con fi nes informativos

EL GOBIERNO FEDERAL POR CONDUCTO DE LA SECRETARIA DE HACIENDA Y CREDITO PUBLICO EMITE

BI6O921 BI061123BI 070215

CERTIFICADO DE LA TESORERIA DE LA FEDERACION

con valor de

$14000rsquo000000 $14000rsquo000000 (CATORCE MIL MILLONES (CATORCE MIL MILLONES DE PESOS) DE PESOS)

Fecha de la Emisioacuten 24 de agosto de 2006 Fecha de la Emisioacuten 24 de agosto de 2006Fecha de Vencimiento 21 de septiembre de 2006 Fecha de Vencimiento 23 de noviembre de 2006Plazo 28 diacuteas Plazo 91 diacuteasValor Nominal $1000 Valor Nominal $1000Tasa de Descuento 699 Tasa de Descuento 704Tasa de Rendimiento 703 Tasa de Rendimiento 717

$16000rsquo000000(DIECISEIS MIL MILLONES

DE PESOS)

Fecha de la Emisioacuten 24 de agosto de 2006 Fecha de Vencimiento 15 de febrero de 2007 Plazo 175 diacuteas Valor Nominal $1000 Tasa de Descuento 705 Tasa de Rendimiento 730

AGENTE EXCLUSIVO PARA LA COLOCACION Y REDENCION BANCO DE MEXICOEstos tiacutetulos se pueden adquirir en Casas de Bolsa o a traveacutes de Instituciones de Creacutedito

Banco Santander SA ndash Casa de Bolsa BBVA Bancomer SA de CV ndash Banco Nacional de Meacutexico SA ndashValores Finamex SA de CV ndash Casa de Bolsa ndash ING Bank (Meacutexico) SA

Scotia Inverlat Casa de Bolsa SA de CV ndash Abn Amro Bank (Meacutexico) SA ndash Bank of America Meacutexico SA ndashHSBC Meacutexico SA ndash Valores Mexicanos Casa de Bolsa SA de CV ndash Monex Casa de Bolsa SA de CV ndash

Vector Casa de Bolsa SA de CV ndash Banco JP Morgan SA ndash Deutsche Bank Meacutexico SA ndashInvex Casa de Bolsa SA de CV ndash Actinver Casa de Bolsa SA de CV ndash Multivalores Casa de Bolsa SA de CV ndash

Merrill Lynch Meacutexico SA de CV Casa de Bolsa ndash Ixe Casa de Bolsa SA de CV ndashBanco Del Ahorro Nacional y Servicios Financieros SNC

FIGURA 92 Aviso de colocacioacuten de Cetes del 24 de agosto de 2006

Los caacutelculos correspondientes para los Cetes a 28 diacuteas son

d = tasa de descuento = 699 j = tasa de rendimiento (nominal) = 703

1 Se calcula el precio descontado del tiacutetulo mediante la foacutermula

P VNtd= minus

⎣⎢

⎦⎥ = minus

⎣⎢

⎦⎥ =1

36010 1

28 0 0699360

00 0 9945633 9 945633( ) =

2 El rendimiento al plazo de 28 diacuteas (o descuento) es

D = VN minus P D = 10 minus 9945633 = 0054366667

3 La tasa efectiva de rendimiento al plazo

0 0543679 945633

0 005466386= = =

4 La tasa nominal de rendimiento anual

360 3600 005466386

28360 0 070282= = =( )

( ) o 703 que es la que se publica

Como puede observarse esta tasa de rendimiento es nominal por lo que es necesario uti-lizar la tasa efectiva de rendimiento al plazo para calcular tasas efectivas a diferentes pla-zos o para realizar comparaciones con rendimientos de otras inversiones

Ademaacutes es importante notar que se puede llegar a la tasa efectiva de rendimiento al plazo mediante un procedimiento maacutes expedito tal como el que se aplicoacute en las secciones 941 y 942 observando que el precio descontado equivale al capital (C) y el valor nomi-nal al monto (M) de acuerdo con la simbologiacutea que se utiliza en este texto

Por ello

iMC28 1

109 945633

1 0 005466= minus = minus =

que es la misma tasa que se determinoacute en el punto 3 anterior Sin embargo trataacutendose de este tipo de valores es conveniente seguir el procedimiento planteado antes para hacer hincapieacute en que se trata de un descuento

A continuacioacuten se repasa el caacutelculo de tasas efectivas a otros plazos

Ejemplo 9432

La tasa efectiva de rendimiento anual i365 de los Cetes del ejemplo 9431 se puede calcular de la siguiente manera

i28 = 0005466386 i365 = 100546638636528 minus 1 = 100546638613035714 minus 1 = 007365 o 737

Ejemplo 9433

Se calcula la tasa efectiva de rendimiento anual de los Cetes a 91 diacuteas cuyo aviso de emi-sioacuten aparece en la fi gura 92

Solucioacuten

1 Precio descontado

P VNtd= minus

⎣⎢

⎦⎥1

= minus⎡

⎣⎢

⎦⎥ = minus10 1

91 0 0704360

10 1 0 01779556( )

= 10(09822044 =$9822044

2 El rendimiento al plazo de 91 diacuteas

D = VN minus P = 10 minus 9822044 = $01779556

3 Tasa efectiva de rendimiento al plazo de 91 diacuteas

0 17795569 822044

0 018117976= = =

4 Tasa nominal anual de rendimiento

j3600 018117976

91360 0 07167= = ( ) o 717 como see publica

5 Tasa efectiva de rendimiento anual

i365 = (1 + it)365t minus 1 = 101811797636591 minus 1 = 10181179764010989011 minus 1 = 007468

En la tabla 94 se resumen los resultados de los ejemplos 1 a 3 Observe en ella las dife-rencias entre las tasas nominales y las tasas efectivas son considerables Estas diferencias subrayan la importancia que tiene el caacutelculo de tasas efectivas pues las tasas nominales son engantildeosas

TABLA 94 Caacutelculo de rendimientos efectivos de Cetes

Plazo Tasa de

descuento

Nominal Efectiva

28 699 703 737

91 704 717 747

Como se mencionoacute antes el procedimiento de caacutelculo para aceptaciones bancarias y papel comercial es ideacutentico al de Cetes Observe el siguiente ejemplo

Ejemplo 9434

Determinar la tasa efectiva de rendimiento anual de certifi cados bursaacutetiles emitido por Sanbornrsquos de acuerdo con la oferta puacuteblica que se reproduce en la fi gura 93 que se con-sultoacute en wwwbmvcommx el 24 de agosto de 2006

FIGURA 93

SolucioacutenDatos plazo 35 diacuteas

tasa de descuento 724855539valor nominal $100

CON BASE EN EL PROGRAMA DE CERTIFICADOS BURSAacuteTILES DE CORTO PLAZO CONSTITUIDO POR

OFERTA PUacuteBLICA DE CERTIFICADOS BURSAacuteTILES DE CORTO PLAZOPOR UN MONTO DE

$15000000000(CIENTO CINCUENTA MILLONES DE PESOS 00100 MN)

Caracteriacutesticas de la Emisioacuten al amparo del Programa

Denominacioacuten de la Emisora Sanborn Hermanos SAMonto autorizado del Programa con caraacutecter revolvente $75000000000 (SETECIENTOS CINCUENTA MILLONES DE PESOS 00100 MN)Tipo de Valor Certifi cados Bursaacutetiles de Corto PlazoVigencia del Programa 360 diacuteasPlazo de la Emision 35 diacuteasClave de Pizarra SANBORN 00706Nuacutemero de Emisioacuten correspondiente Sexta al amparo del ProgramaValor nominal de los Certifi cados Bursaacutetiles $10000 (CIEN PESOS 00100 MN) cada unoPrecio de Colocacioacuten $99295279 (NOVENTA Y NUEVE PESOS 295279100 MN) cada unoFecha de Emisioacuten 21 de agosto de 2006Fecha de Registro en Bolsa 21 de agosto de 2006Fecha de Liquidacioacuten 21 de agosto de 2006Fecha de Cierre del Libro 21 de agosto de 2006Fecha de Vencimiento 25 de septiembre de 2006Tasa de Descuento 724855539 Tasa de Rendimiento 730000000 Lugar y forma de pago de Principal El lugar de amortizacioacuten y pago de principal seraacute en las ofi cinas de la SD INDEVAL S A de

CV Institucioacuten para el Depoacutesito de Valores ubicada en Paseo de la Reforma No 255 3er Piso Col Cuauhteacutemoc Meacutexico DF Meacutexico a traveacutes de transferencia electroacutenica a los intermediarios correspondientes

Califi cacioacuten otorgada por Standard amp Pooracutes SA de CV ldquomxA-2rdquo es decir que su probabilidad de pago oportuno de intereses y principal es satisfactoriaGarantiacutea Los Certificados Bursaacutetiles seraacuten quirografarios por lo que no contaraacuten con garantiacutea especiacuteficaAmortizacioacuten En un solo pago a su valor nominal en la fecha de vencimiento de la emisioacuten contra la entrega del

tiacutetulo correspondientePosibles Adquirentes Estos Certificados Bursaacutetiles de Corto Plazo podraacuten ser adquiridos por personas fiacutesicas y morales

de nacionalidad mexicana o extranjera incluyendo instituciones de creacutedito casas de bolsa insti-tuciones y sociedades mutualistas de seguros e instituciones de fianzas sociedades de inversioacuten sociedades de inversioacuten especializadas en fondos para el retiro fondos de pensiones jubilaciones y primas de antiguumledad almacenes generales de depoacutesito arrendadoras financieras empresas de factoraje y uniones de creacutedito conforme a la legislacioacuten aplicable

Intereses Moratorios En el supuesto de que a las 1100 horas del diacutea de su vencimiento el pagareacute depositado no sea liquidado causaraacute intereses moratorios a partir de esa fecha y hasta su total liquidacioacuten a razoacuten de 15 veces C P P

Reacutegimen Fiscal La presente seccioacuten contiene una breve descripcioacuten de ciertos impuestos aplicables en Meacutexico en relacioacuten con la percepcioacuten de intereses bajo instrumentos de deuda como los Certificados Bursaacutetiles por inversionistas residentes y no residentes en Meacutexico para efectos fiscales pero no pretende ser una descripcioacuten exhaustiva de todas las consideraciones fiscales que pudieran ser relevantes a la decisioacuten de adquirir o disponer de Certificados Bursaacutetiles El reacutegimen fiscal vigente podraacute modi-ficarse a lo largo de la vigencia de los Certificados Bursaacutetiles Recomendamos a todos nuestros inversionistas consultar en forma independiente a sus asesores fiscales respecto a las disposiciones legales vigentes aplicables a la adquisicioacuten propiedad y disposicioacuten de instrumentos de deuda como los Certificados Bursaacutetiles con antes de realizar cualquier inversioacuten en los mismos La tasa de retencioacuten aplicable respecto a los intereses pagados se encuentra sujeta (i) para las personas fiacutesicas y morales residentes en Meacutexico para efectos fiscales a lo previsto a los artiacuteculos 58 y 160 de la Ley del Impuesto Sobre la Renta vigente y a lo previsto en el artiacuteculo 22 de la Ley de Ingresos de la Federacioacuten y (ii) para las personas fiacutesicas y morales residentes en el extranjero para efectos fiscales a la tasa de retencioacuten aplicable respecto a los intereses pagados sobre los Certificados Bursaacutetiles se encuentra sujeta a lo previsto en los Artiacuteculos 179 y 195 de la Ley del Impuesto Sobre la Renta y dependeraacute del beneficiaro efectivo de los intereses

Depositario SD INDEVAL S A de C V Institucioacuten para el Depoacutesito de ValoresRepresentante Comuacuten Value S A de C V Casa de Bolsa Value Grupo Financiero

INTERMEDIARIO COLOCADOR

Los Certificados Bursaacutetiles de Corto Plazo objeto de la presente oferta puacuteblica forman parte de un Programa autorizado por la Comisioacuten Nacional Ban-caria y de Valores y se encuentran inscritos bajo el nuacutemero 0122-4 16-2006-002 en la Seccioacuten de Valores del Registro Nacional de Valores y son aptos para ser inscritos en el listado correspondiente de la Bolsa Mexicana de Valores S A de C VLa inscripcioacuten en el Registro Nacional de Valores no implica certificacioacuten sobre la bondad del valor o la solvencia del emisor

Meacutexico DF a 18 de agosto de 2006 Aut CNBV No 1535157262006 de fecha 12 enero de 2006

1 Precio descontado

P VN td= minus⎡

⎣⎢

⎦⎥ = minus

360100 1

35 0 0724855539360

⎣⎣⎢

⎦⎥ = =100 0 9929527934 99 29527934( ) $

2 Rendimiento al plazo (descuento)

D = VN minus P = 100 minus 9929527934 = $07047206629

3 Tasa efectiva de rendimiento al plazo

i DP35

0 704720662999 29527934

0 00709722= = =

4 Tasa nominal de rendimiento anual

0 007097222235

360 0 073

( ) = o 73 como se anunciaa

5 Tasa efectiva de rendimiento anual Con base en la tasa efectiva al plazo de 35 diacuteas

i365 = (1 + i35)36535 minus 1 = 10070972210428571 minus 1 = 00765

En el sitio de internet del Banco de Meacutexico (wwwbanxicogobmx) se pueden consultar se-ries histoacutericas de muchos indicadores econoacutemicos mexicanos entre los cuales se encuentran las tasas de rendimiento de los Cetes en sus distintos plazos Sin embargo se publican solamente los datos de rendimientos y no los de descuento por lo cual se cuenta soacutelo con las tasas de descuento nominales como se ha comentado Para poder determinar tasas efectivas es necesario revertir el proceso de caacutelculo que se ha ilustrado hasta aquiacute y que parte de las tasas de descuento que se publican y partir entonces de las tasas de rendimiento disponibles en el Banco de Meacutexico que son las mismas que se publican tambieacuten en otras fuentes En el ejemplo siguiente se ilustran es-tos caacutelculos

Ejemplo 9435

El 28 de agosto de 2006 en httpwwwbanxicogobmxeInfoFinancieraFSinfoFinancie-rahtml se informoacute que la tasa de rendimiento de los Cetes a 28 diacuteas que se emitieron el 27 de agosto fue de 702 Determinar a) la tasa efectiva de rendimiento a 28 diacuteas y b) la tasa de descuento anual correspondiente

Solucioacuten a) En primer lugar se sabe que 702 es la tasa de rendimiento nominal a 360 diacuteas y

para determinar la tasa efectiva de rendimiento a 28 diacuteas

360280 0702 36028

por lo que

i280 0702 28

3600 00546= = ( )

que es entonces la tasa efectiva de rendimiento a 28 diacuteas a partir de la cual se puede reconstruir la de descuento que se publicoacute en su oportunidad

b) Esta tasa efectiva a 28 diacuteas se obtuvo mediante la siguiente relacioacuten

Sin embargo como ademaacutes se sabe que el precio al que se vendieron estos Cetes se calcula restaacutendole al valor nominal de $10 el descuento o sea

P = 10 minus D

Luego si se sustituye esta expresioacuten en la anterior se obtiene

= =minus

0 0054610

de donde

0 00546 10 ( )minus =D D

0 0546 0 00546 minus =D D y

D( ) 1 0 00546 0 0546+ =

y fi nalmente

D = =0 05461 00546

0 05430350287

A partir de este descuento se puede obtener el precio al que se vendieron estos tiacutetulos

P = 10 minus 005430350287 = 9945696497

1 iquestCuaacutentas y cuaacuteles son las formas en que se pueden obtener rendimientos en el mer-cado de valores

2 iquestQueacute son las ganancias de capital 3 iquestCuaacuteles rendimientos de los valores bursaacutetiles estaacuten exentos de impuestos

4 Si se compran acciones de una sociedad de inversioacuten de renta fija a $999 cada una y se venden 60 diacuteas despueacutes a $1007 iquestcuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento al plazo que se obtiene

5 Para el ejercicio anterior iquestcuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento mensual (a treinta diacuteas)

6 iquestCuaacutento cobran de comisioacuten los intermediarios bursaacutetiles por operaciones de com-pra y venta de acciones de empresas y sociedades de inversioacuten comunes

Resuelva los ejercicios del 7 al 15 con los datos de la tabla 92 7 iquestCuaacutel es el plazo en diacuteas entre el 30 de mayo y el 17 de agosto 8 iquestQueacute tasa efectiva de rendimiento mensual otorgaron las acciones de NTE-FA1 B

entre el 30 de mayo y el 17 de agosto (Vea tabla 92) 9 iquestQueacute tasa efectiva de rendimiento mensual otorgaron las acciones de FONSER1 en-

tre el 31 de julio y el 17 de agosto (Vea tabla 92)10 iquestQueacute tasa efectiva de rendimiento mensual otorgaron las acciones de SANTANB en-

tre el 30 de junio y el 17 de agosto (Vea tabla 92)11 iquestQueacute tasa efectiva de rendimiento anual obtuvieron las acciones de ACCIAR entre el

30 de junio y el 17 de agosto (Vea tabla 92)12 iquestQueacute tasa efectiva de rendimiento anual otorgaron las acciones de AMEXCOB entre

el 30 de mayo y el 17 de agosto y cuaacutel fue el plazo (Vea tabla 92)13 iquestQueacute tasa efectiva de rendimiento mensual obtuvo en el ejercicio 1214 iquestQueacute tasa efectiva de rendimiento semanal obtuvo en el ejercicio 1215 Sin considerar la comisioacuten de la casa de bolsa iquestcuaacutel fue la tasa efectiva de rendimien-

to de las acciones de VALMX20 entre el 30 de junio y el 17 de agosto16 iquestCuaacutel es la respuesta al ejercicio 15 si se considera que efectivamente se compraron

y vendieron las acciones a los precios que aparecen en la tabla17 Si el 27 de mayo se negociaron acciones de la sociedad de inversioacuten en instru-

mentos de deuda FONBCH a $1103658 el 9 de julio a $110504 y el 8 de agosto a $1125722 a) iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento entre el 27 de mayo y el 9 de julio b) iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento entre el 27 de mayo y el 8 de agosto c) iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento entre el 9 de julio y el 8 de agosto

18 iquestCuaacutel es la relacioacuten entre las tres tasas que se dieron como respuesta al ejercicio anterior

Exprese la respuesta en forma de ecuaciones19 Busque en perioacutedicos informacioacuten sobre precios de mercado de acciones de so-

ciedades comunes y de instrumentos de deuda y determine los rendimientos que dichos valores obtuvieron durante el uacuteltimo mes resulta interesante y conveniente para los inversionistas saber cuaacuteles de ellas han ofrecido mayores rendimientos

20 El 21 de julio se pagoacute un dividendo de $020 por accioacuten de GFINBURO a continua-cioacuten se enumeran algunos precios de mercado con sus correspondientes fechas

11 de junio $1718 18 de julio 1810 7 de agosto 2100 23 de septiembre 2000

iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento de las acciones de GFINBURO entre el 11 de junio y el 7 de agosto sin considerar las comisiones de compra y venta iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento mensual

21 iquestCuaacutel es la respuesta al ejercicio 20 si se toman en cuenta las comisiones22 iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento mensual de las acciones de GFINBURO

entre el 18 de julio y el 23 de septiembre sin considerar las comisiones de compra y venta

23 iquestCuaacutel es la respuesta al ejercicio 22 si se toman en cuenta las comisiones24 iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento anual de las acciones de GFINBURO entre

el 11 de junio y el 7 de agosto sin considerar las comisiones de compra y venta25 iquestCuaacutel es la respuesta al ejercicio 24 si se toman en cuenta las comisiones26 El 18 de agosto se pagoacute a los accionistas de COMERCIUBC un dividendo de $004

por accioacuten A continuacioacuten se enumeran algunos precios de mercado en distintas fechas

30 de mayo $1970 25 de julio 2150 28 de agosto 2050 23 de septiembre 2200

iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento mensual de las acciones de COMERCI UBC entre el 30 de mayo y el 23 de septiembre si de hecho se llevoacute a cabo la com-praventa de los tiacutetulos

27 Diga cuaacutel fue la tasa efectiva de rendimientos anual de las acciones de COMERCI UBC sin tomar en cuenta las comisiones entre las siguientes fechas a) 25 de julio y 28 de agosto b) 30 de mayo y 28 de agosto c) 25 de junio y 23 de septiembre

28 Localice en perioacutedicos informacioacuten sobre precios de mercado en distintas fechas de diversas acciones de empresas comerciales industriales de servicios y financie-ras y determine los rendimientos que se obtuvieron Ponga especial atencioacuten a pe-riodos de alzas o bajas pronunciadas del Iacutendice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores los resultados pueden ser sorprendentes

A continuacioacuten se presentan algunos datos de Cetes publicados en el sitio de internet del Banco de Meacutexico (Observe que se trata de la tasa de rendimiento nominal anual)Resultados de las subastas de Cetes Tasa de rendimiento (nominal anual)

Fecha Plazo Tasa Plazo Tasa Plazo Tasa

27072006 28 702 91 717 175 73303082006 28 705 90 719 182 73410082006 28 703 91 717 175 73217082006 28 703 91 715 182 72924082006 28 703 91 717 175 730

Fuente httpwwwbanxicogobmxeInfoFinancieraFSinfoFinancierahtml 28 de junio de 2006

29 iquestCuaacutel es la tasa de descuento anual que corresponde a los datos de la emisioacuten a 91 diacuteas del 27072006

30 iquestCuaacutel es la tasa anual de rendimiento efectivo que corresponde a los datos de la emisioacuten a 175 diacuteas del 10082006

31 iquestCuaacutel es la tasa anual de rendimiento efectivo que corresponde a los datos de la emi-sioacuten de 91 diacuteas del 24082006

32 iquestCuaacutel es la tasa mensual de rendimiento efectivo que corresponde a los datos de la emisioacuten a 182 diacuteas del 17082006

33 Si se tiene que una emisioacuten de Cetes a 90 diacuteas arroja una tasa efectiva de rendimiento mensual de 00348 iquestcuaacutel es la tasa anual de rendimiento nominal

34 Localice en algunos perioacutedicos recientes de los jueves dos o tres anuncios de coloca-cioacuten de Cetes y determine las correspondientes tasas efectivas de rendimientos men-sual y anualLos siguientes datos de tasas de descuento de papel comercial aparecieron publica-dos en El Economista

Fecha (1997) EmisoraPlazo (diacuteas)

Tasa de descuento ()

21 de agosto IASASA05497 7 269321 de agosto TLVISA00297 60 209021 de agosto FINAFAC02597 14 23365 de septiembre CUNA00997 28 2237

35 iquestCuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento anual del papel de IASA36 iquestCuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento anual del papel TELEVISA37 iquestCuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento anual del papel FINAFA38 iquestCuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento anual del papel CUNA39 Localice en perioacutedicos algunos datos sobre emisiones de certificados bursaacutetiles

y de aceptaciones bancarias y determine las correspondientes tasas efectivas de rendimiento

95 Rendimiento de valores que pagan intereses (y que tambieacuten permiten ganancias de capital)

En esta seccioacuten se analiza la manera de evaluar los rendimientos efectivos de los valores bur-saacutetiles que otorgan intereses como principal forma de rendimiento aunque como se veraacute praacutecticamente todos ofrecen tambieacuten ganancias (o peacuterdidas) de capital

Los valores bursaacutetiles que caen en esta categoriacutea son todos los bonos bonos bancarios (de desarrollo de desarrollo industrial para la vivienda) Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal (Bondes) y Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal denominados en Udis (Udibonos) Se encuentran tambieacuten en esta categoriacutea los pagareacutes las obligaciones de todo tipo (hipotecarias quirografarias convertibles indizadas subordinadas y con rendimiento capitalizable) y los rela-tivamente recientes y abundantes certifi cados bursaacutetiles

Se dice que estos tiacutetulos que otorgan intereses tambieacuten ofrecen ganancias de capital por-que todos ellos ademaacutes de los intereses que se especifi can presentan cambios en los precios de compra y de venta en el momento de realizar las correspondientes operaciones Sin em-bargo tambieacuten se pueden distinguir dos casos En el primero se encuentran los bonos banca-rios los Bondes y las obligaciones de todo tipo en este caso las fl uctuaciones de los preciosde compra y venta se deben a variaciones que se producen en el mercado mismo y que aparte de ser relativamente reducidas se deben principalmente a las caracteriacutesticas propias del tiacutetulo-valor como su fecha de vencimiento y a las peculiaridades de la oferta y la demanda entre otras Por otro lado aunque en los cambios en los precios de compra y venta de los Udibonos tambieacuten intervienen los factores de la oferta y la demanda sus variaciones de precio son mu-cho maacutes signifi cativos que en el caso anterior y ello se debe a que sus valores nominales estaacuten ldquoindizadosrdquo es decir asociados al comportamiento de la infl acioacuten a estos valores se les aplica un ajuste a sus precios nominales de acuerdo con el valor del Iacutendice Nacional de Precios al Consumidor que publica el Banco de Meacutexico en el Diario Ofi cial de la Federacioacuten

Ademaacutes hasta mediados de 1994 auacuten se emitiacutean Pagareacutes de la Tesoreriacutea de la Federacioacuten (Pagafes) y Bonos de la Tesoreriacutea de la Federacioacuten (Tesobonos) cuyo valor nominal estaba tambieacuten indizado aunque en estos tiacutetulos la indizacioacuten se haciacutea de acuerdo con el tipo de cambio peso-doacutelar Sin embargo a raiacutez de los ldquoerrores de diciembrerdquo de 1994 que provocaron una gravosa devaluacioacuten y una severa agudizacioacuten de las crisis que ha sufrido el paiacutes en las uacuteltimas tres deacutecadas se dejaron de emitir estos dos valores y hasta la fecha de publicacioacuten de este libro no existen en el mercado instrumentos con estas caracteriacutesticas

Asimismo debido a la operacioacuten de futuros del peso en el mercado estadounidense (en la Chicago Mercantile Exchange) maacutes la apertura de la MexDer (Bolsa Mexicana de Derivados) en la Bolsa Mexicana de Valores parece poco probable que vuelva a haber emisiones de tiacutetu-los denominados en doacutelares

El procedimiento que se aplica para calcular los rendimientos de este tipo de valores es en esencia igual al que se revisoacute en la seccioacuten anterior en el caso de las acciones de empresas que pa-gan dividendos en efectivo y que implica determinar el precio o el valor de compra (o de colo-cacioacuten) el precio o valor de venta (o de vencimiento) y el pago o los pagos de intereacutes En el caso de los valores que se analizan en esta seccioacuten existen diversas maneras de calcular estas distintas cantidades por lo que se comenzaraacute en la seccioacuten siguiente revisando tres conceptos importantes

95 Rendimiento de valores que pagan intereses

para terminar en las uacuteltimas secciones de este capiacutetulo con ejemplos de caacutelculos aplicables a algu-nos de estos instrumentos

951 Conceptos importantes

9511 Fechas de compraventa y de pago de intereses

Existen dos situaciones posibles con respecto a estas fechas que ocasionan diferencias conside-rables en los procedimientos Es necesario analizar dichas situaciones para evaluar los rendi-mientos efectivos Dichas situaciones se refi eren a 1) cuando las fechas de las transacciones de compraventa y las fechas de pagos de intereses coinciden y 2) cuando no coinciden Enseguida se plantea en forma esquemaacutetica el procedimiento que se debe seguir en cada caso

1 Cuando las fechas de las operaciones y las de pagos de intereses coinciden puede proce-derse a

bull Determinar los precios de compra y de venta de los tiacutetulosbull Determinar los intereses que pagan los instrumentos en el momento de la ventabull Sumar estos intereses al precio de venta para obtener lo que puede llamarse ldquoingresos

a la ventardquobull Dividir los ldquoingresos a la ventardquo entre el precio de compra y restar al resultado una

unidad para determinar la tasa efectiva de rendimiento al plazo a partir de la cual se pueden calcular tasas efectivas a cualquier otro plazo La foacutermula aplicable aquiacute es la (91) que ya se explicoacute con anterioridad

iMCp = minus1 (91)

Este procedimiento es aplicable cuando no existen fechas de pago de intereses entre las fechas de compra y de venta En caso de que siacute las haya se aplica el procedimien-to que se explica maacutes adelante excepto en lo que se refiere a ldquointereses devengadosrdquo Esto es asiacute porque en el caso que nos ocupa los ldquoegresos a la comprardquo son iguales al precio de compra y los ldquoingresos a la ventardquo son iguales al precio de venta

2 Cuando las fechas de las operaciones no coinciden con las fechas de pago de intereses lo que se hace es

bull Determinar los precios de compra y de ventabull Determinar los intereses devengados por los tiacutetulos desde la uacuteltima fecha de pago de

intereses previa a la compra hasta la fecha en que eacutesta se realiza Estos intereses deben ser pagados por el comprador a quien vende por lo que deben sumarse al precio de compra para conformar los ldquoingresos a la ventardquo

bull Determinar cualesquiera pagos de intereacutes entre las fechas de compra y de ventabull Con las cantidades anteriores se constituye una ecuacioacuten de valores equivalentesbull Resolver la citada ecuacioacuten ya sea mediante aproximaciones sucesivas o utilizando

alguacuten paquete de computacioacuten que permita resolver ecuaciones polinomiales

Estos dos uacuteltimos pasos se ilustraron en el ejemplo 9423 que se refi ere a acciones de empresas

9512 Comisiones

Aunque ya se mencionoacute conviene tener presente que la necesidad de pagar comisiones a los intermediarios bursaacutetiles ocasiona tambieacuten diferencias en el procedimiento de caacutelculo de ren-dimientos efectivos Estas divergencias consisten en que se debe sumar al precio la comisioacuten para obtener el ldquoprecio neto de comprardquo y se le debe restar al precio de venta para obtener el ldquoprecio neto de ventardquo Por supuesto a estos precios netos se les deben restar o sumar cuales-quiera intereses devengados seguacuten sea necesario dadas las circunstancias que se explicaron en la subseccioacuten anterior Sobre este particular vale la pena recordar que se incluyen las comi-siones soacutelo cuando

a) El intermediario las cobra para el tiacutetulo especiacutefi cob) Cuando el caso evaluado lo amerita

En otras palabras se puede estar revisando un tiacutetulo por el que siacute se cobra comisioacuten pero al mismo tiempo es posible que no se lleven realmente a cabo las operaciones de compra y de venta y que no sea necesario incluir las comisiones para el propoacutesito del anaacutelisis

Ahora se presentan los ejemplos de los valores bursaacutetiles maacutes importantes que pagan in-tereses Aunque los procedimientos son praacutecticamente iguales y soacutelo dependen de que las operaciones se realicen en fechas de pago de intereses o en fechas que no lo son se divide el anaacutelisis en dos partes Bondes y Certifi cados Bursaacutetiles porque son los instrumentos maacutes representativos

952 Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal (Bondes)

El rendimiento de los Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal proviene de dos fuentes in-tereses pagaderos cada 28 diacuteas (o en el plazo que lo sustituya en caso de diacuteas inhaacutebiles) y las ganancias de capital que se logran al adquirir los tiacutetulos con descuento Ademaacutes como los in-gresos para los intermediarios bursaacutetiles que realizan operaciones con esta clase de valores se obtienen mediante diferencias entre los precios de compra y venta a los inversionistas no se les cobra comisioacuten alguna

Tal como puede apreciarse en la fi gura 94 la tasa de intereacutes ldquoseraacute variablerdquo y se calcularaacute capitalizando todos los diacuteas durante todo el periodo de intereacutes la tasa a la cual las instituciones de creacutedito y casas de bolsa realizan operaciones de compra-venta y reporto a plazo de un diacutea haacutebil con tiacutetulos bancarios conocida en el mercado como ldquotasa ponderada de fondeo banca-riordquo que publica diariamente el Banco de Meacutexico

En algunos perioacutedicos se publican los datos sobre Bondes las caracteriacutesticas de cada emi-sioacuten (aparecen publicadas los diacuteas jueves de cada semana que es cuando se emiten) las tasas de intereacutes que pagan y los precios a los que se negocian en la bolsa de valores

En la fi gura 94 se puede observar un anuncio de colocacioacuten de emisioacuten de Bondes L0071011 del 17 de agosto de 2006 En la tabla 95 se resumen las caracteriacutesticas de algunas emisiones de Bondes y en la seccioacuten siguiente se presentan algunos ejemplos

9521 Operaciones en fechas de pago de intereses

Los datos de la tabla 95 se obtuvieron en el sitio de internet del Banco de Meacutexico (wwwbanxicogobmx) seguacuten se detalla en la seccioacuten fi nal ldquoMatemaacuteticas en internetrdquo de este capiacutetulo

TABLA 95 Algunos datos sobre Bondes

FechaPlazo

Diacuteas times vencerPrecio limpio

Valor de mercado Precio sucioCupoacuten vigente Tasas promedio

18122005 1638 99409260 99409260 83418052006 1477 99661000 103390833 83419052006 1476 99658620 103411620 83422052006 1473 99651690 103474190 83423052006 1472 99647370 103493037 83424052006 1471 99645200 103514033 83425052006 1470 99643050 103535050 83426052006 1469 99640890 103556057 83429052006 1466 99634460 103619127 83430052006 1465 99630120 103637953 83431052006 1464 99628290 103659290 83401062006 1463 99626550 103680717 83402062006 1462 99624750 103702083 83405062006 1459 99628880 103775713 83406062006 1458 99626860 103796860 83407062006 1457 99632840 103826007 83408062006 1456 99630400 99630400 75009062006 1455 99634500 99655333 75012062006 1452 99634640 99717973 75013062006 1451 99559560 99663727 75014062006 1450 99555520 99680520 75015062006 1449 99569400 99715233 75016062006 1448 99569250 99735917 75019062006 1445 99561080 99790247 75020062006 1444 99531560 99781560 75021062006 1443 99524590 99795423 75022062006 1442 99540060 99831727 75023062006 1441 99528730 99841230 750

En los ejemplos siguientes se utilizan valores supuestos tanto para las tasas de intereacutes como para los valores de compra y venta

Tal como puede apreciarse en la tabla 95 los datos que aparecen en la base de datos del Banco de Meacutexico incluyen aparte de la fecha y de la tasa aplicable precios ldquolimpiordquo y ldquosuciordquo En ella tambieacuten puede observarse que el precio sucio siempre es maacutes alto que el limpio lo cual se debe a que el precio limpio no incluye los intereses devengados por el Bonde en cada fecha en tanto que el precio sucio siacute los incluye

En esta tabla se incluyen los datos del 18 de diciembre de 2005 con un corte hasta el 18 de mayo de 2006 y con datos hasta el 23 de junio de este mismo antildeo Ademaacutes se marcaron en ne-gritas los datos de ese 8 de diciembre de 2005 y los del 8 de junio de 2006 para evidenciar que en estas fechas los precios sucios son iguales a los precios limpios lo cual a su vez evidencia que fueron fechas de cupoacuten es decir fechas en las que se pagaron intereses

FIGURA 94

En los ejemplos siguientes se ilustran los procedimientos aplicables para calcular rendi-mientos efectivos

Ejemplo 95211

Calcular el rendimiento efectivo de estos Bondes entre el 8 de diciembre de 2005 y los del 8 de junio de 2006

SolucioacutenLos precios correspondientes fueron 9940926 y 9963040 y como son fechas de pago de intereses son precios al mismo tiempo sucios y limpios

LD071011

BONOS DE DESARROLLO DEL GOBIERNO FEDERAL

con valor de

$20000rsquo000000(VEINTE MIL MILLONES DE PESOS)

Fecha de la Emisioacuten 17 de agosto de 2006 Fecha de Vencimiento 11 de octubre de 2007 Plazo 420 diacuteas Valor Nominal $10000

Periodo de Intereacutes Los intereses seraacuten pagaderos cada 28 diacuteas o en el plazo que lo sustituya en caso de diacuteas haacutebiles

Tasa de Intereacutes Seraacute variable y se calcularaacute capitalizando todos los diacuteas durante todo el periodo de intereacutes la tasa a la cual las instituciones de creacutedito y casas de bolsa realizan ope-raciones de compraventa y reporto a plazo de un diacutea haacutebil con tiacutetulos bancarios conocida en el mercado como ldquotasa ponderada de fondeo bancariordquo que publica diariamente el Banco de Meacutexico

AGENTE EXCLUSIVO PARA LA COLOCACION Y REDENCION BANCO DE MEXICOEstos tiacutetulos se pueden adquirir en Instituciones de Creacutedito o a traveacutes de Casas de Bolsa

El rendimiento efectivo al plazo 182 diacuteas se calcula de la siguiente manera

Aparte de los precios de compra y de venta que ya se anotaron para determinar los intereses que cobroacute el tenedor del Bonde en el momento de venderlo se debe restar el precio limpio del precio sucio el diacutea anterior o

103826007 minus 9963284 = 4193167

y se debe sumar este valor al precio de venta del 8 de junio para obtener el monto total o sea

4193167 + 9963040 = 103823567

Finalmente

iMC32 1

103 82356799 40926

1 0 04440539= minus = minus =

Si ahora se calcula el rendimiento efectivo anual se tiene

3651821 04440539 1 0 91043= minus = o 910

que es ligeramente superior a la tasa promedio que publicoacute el Banco de Meacutexico

9522 Operaciones en fechas que no son de pago de intereses

Ejemplo 95221

Calcular el rendimiento de estos Bondes entre el 22 de mayo y el 23 de junio

SolucioacutenLos datos son

Fecha Plazo Precio limpio Precio sucio Cupoacuten vigente

22052006 1473 99651690 103474190 83408062006 1456 99630400 99630400 75023062006 1441 99528730 99841230 750

Por lo tanto el precio pagado por el Bonde el 22 de mayo fue el precio sucio $10347419 el 8 de junio se recibieron los intereses generados de 103826007 minus 9963284 = 4193167 que se calcularon en el ejemplo anterior y el precio a la fecha de la venta fue de 9984123

Los dos plazos que se deben considerar es el transcurrido desde la compra hasta el cobro de intereses 17 diacuteas y entre la compra y la venta 32 diacuteas El planteamiento es entonces

103 47419 4 193167 1 99 84123 117 32 ( ) ( )= + + +minus minusi i

Mediante ensayos sucesivos se encuentra que i = 0000172 que es la tasa efectiva diaria De acuerdo con ello la tasa efectiva anual es

i3653651 000172 1 0 064786811= minus = o 648

Ejemplo 95222

Para ilustrar el caso de una compra-venta entre dos fechas que no incluyen pago de intere-ses se determina ahora el rendimiento anual efectivo entre el 18 de mayo y el 5 de junio

SolucioacutenLos datos

18052006 1477 99661000 103390833 83405062006 1459 99628880 103775713 834

Este caso es maacutes sencillo ya que basta con dividir el precio sucio de la venta del 5 de ju-nio de 2006 entre el precio sucio de la venta del 18 de mayo de 2006 para obtener la tasa de rendimiento efectivo al plazo

i18103 775713103 390833

1 0 003722574= minus =

Por su parte la tasa efectiva anual es

1 003722574 1 0 07825636518 minus = o 783

953 Certifi cados bursaacutetiles

Tal como se comentoacute en la seccioacuten 92 los certifi cados bursaacutetiles son tiacutetulos que se pueden colocar a descuento o con pago de intereses de acuerdo con el programa de colocacioacuten co-rrespondiente y que pueden ser colocados por entidades gubernamentales o por empresas En la fi gura 96 se puede ver el anuncio de colocacioacuten del programa de certifi cados bursaacutetiles de Corporacioacuten Geo SA de CV que se obtuvo del sitio de internet de la Bolsa Mexicana de Valores mediante el procedimiento que se detalla en la seccioacuten fi nal de este capiacutetulo ldquoMatemaacuteticas en internet Inversioacuten en bolsa de valoresrdquo En esta fi gura se puede leer que estos certifi cados tienen un valor nominal de $100 y que pagan tasa de intereacutes En las dos subsecciones siguientes se revisan los caacutelculos para determinar tasas efectivas a) cuando las operaciones se llevan a cabo en diacuteas de pago de intereses y b) cuando se llevan a cabo en diacuteas que no son de pago de intereses

9531 Operaciones en fecha de pago de intereses

Ejemplo 95311

Determinar la tasa efectiva de intereacutes anual que generaron los certifi cados bursaacutetiles de Corporacioacuten Geo entre el 28 de julio y el 25 de agosto de 2006 de acuerdo con la tasa de 1128 que se publicoacute en el anuncio que se reproduce en la fi gura 97 que aparecioacute en el perioacutedico El Economista si los precios de compra y de venta fueron $9989 y $100 respectivamente

Cada emisioacuten de Certificados Bursaacutetiles hecha al amparo del presente Programa contaraacute con sus propias caracteriacutesticas El precio de emisioacuten el monto total de la emisioacuten el valor nominal la fecha de emisioacuten y liquidacioacuten el plazo la fecha de vencimiento la tasa de rendimiento aplicable y la forma de calcularla (en su caso) y la periodicidad de pago de rendimientos entre otras caracteriacutesticas de los Certificados Bursaacutetiles de cada emisioacuten seraacuten acordadas por el Emisor con los Intermediarios Colocadores Conjuntos en el momento de dicha emisioacuten y se contendraacuten en el Suplemento respectivo Podraacuten realizarse una o varias emisiones de Certificados Bursaacutetiles hasta por el Monto Total Autorizado

Emisor Corporacioacuten Geo SA de CVTipo de Valor Certificados BursaacutetilesClave de Pizarra La clave de pizarra estaraacute integrada por la clave de Geo y los diacutegitos que identifican el antildeo de emisioacuten y el nuacutemero de emisioacuten quedan-

do representada con numeracioacuten progresiva para cada una de las mismasMonto Total Autorizado del Programa para Circular $1000rsquo00000000 (UN MIL MILLONES DE PESOS 00100 MN)Denominacioacuten de la Moneda de Referencia En pesosVigencia del Programa 4 antildeos a partir de la fecha de autorizacioacuten del OficioValor Nominal de los Certificados $10000 (CIEN PESOS 00100 MN)Plazo de cada Emisioacuten Seraacute determinado en cada una en el entendido de que no podraacute ser menor a un antildeo ni mayor a siete antildeosTasa de Intereacutes Se determinaraacute en cada emisioacutenAmortizacioacuten Un solo pago en la fecha de vencimientoAmortizacioacuten anticipada En caso de darse cualquier evento de amortizacioacuten anticipada se pagaraacute una prima dependiendo del periacuteodo que se trateCausas de Vencimiento Anticipado Conforme a los teacuterminos de LOS CERTIFICADOS en el supuesto de que suceda cualquiera de los siguientes eventos eacutestos se podraacuten

dar por vencidos anticipadamente en los teacuterminos y condiciones que a continuacioacuten se describen (I) Falta de Pago Oportuno de Intereses (II) Incumplimiento de Obligaciones Conforme al Tiacutetulo correspondiente (III) Incumplimiento de las Condiciones y Limitantes Establecidas en la Calificacioacuten (IV) Informacioacuten Falsa o Incorrecta (V) Otros- En los demaacutes casos previstos en las leyes aplicables

Prima por Amortizacioacuten Anticipada La emisioacuten podraacute amortizarse anticipadamente por cualquiera de las causas de vencimiento anticipado y por la decisioacuten unilateral de Geo siempre y cuando se lleve a cabo en las fechas de pago de cupoacuten en cuyo caso aplicaraacute la prima por amortizacioacuten anticipada sobre el valor nominal de conformidad con lo establecido en el suplemento y en el Tiacutetulo de Emisioacuten

Lugar y Forma de Pago de Principal e Intereses El importe principal de cada emisioacuten asiacute como sus correspondientes rendimientos se pagaraacuten el diacutea de su vencimiento en el domicilio de SD Indeval SA de CV Institucioacuten para el Depoacutesito de Valores ubicado en Paseo de la Reforma No 225 Piso 3 Colonia Cuauh-teacutemoc 06500 Meacutexico DF o en su caso en el domicilio de Corporacioacuten Geo SA de CV ubicado en Margaritas No433 Colonia ExHacienda de Guadalupe Chimalistac 01050 Meacutexico DF

Garantiacuteas Avales de las subsidiarias de Corporacioacuten Geo SA de CV que se mencionan en este prospectoCalificacioacuten Otorgada por FITCH Meacutexico SA de CV al Programa ldquoA(mex)rdquo la cual significa ldquoAlta Calidad Crediticia Corresponde a una soacutelida calidad crediticia respecto de otros emisores o emisiones

del paiacutes Sin embargo cambios en las circunstancias o condiciones econoacutemicas pudieran afectar la capacidad de pago oportuno de sus compromisos financieros en un grado mayor que para aquellas obligaciones financieras calificadas con categoriacuteas superioresrdquo

Depositario SD Indeval SA de CV Institucoacuten para el Depoacutesito de ValoresPosibles Adquirentes Personas fiacutesicas y morales de nacionalidad mexicana o extranjera instituciones de seguros y de fianzas fondo de pensiones organi-

zaciones auxiliares del creacutedito y sociedades de inversioacuten conforme a la legislacioacuten que las rigeReacutegimen Fiscal La tasa de retencioacuten aplicable a los intereses pagados a los Certificados Bursaacutetiles a que se refiere el suplemento de colocacioacuten se

encuentra sujeta (i) para las personas fiacutesicas y morales residentes en Meacutexico para efectos fiscales a lo previsto en el artiacuteculo 58 de la Ley del Impuesto Sobre la Renta vigente y (ii) para las personas fiacutesicas y morales residentes en el extranjero para efectos fiscales a lo previsto en el artiacuteculo 195 de la Ley del Impuesto Sobre la Renta vigente El reacutegimen fiscal aplicable vigente podraacute modificarse a lo largo de la vigencia de la emisioacuten

La presente seccioacuten contiene una breve descripcioacuten de ciertos impuestos aplicables en Meacutexico a la adquisicioacuten propiedad y disposi-cioacuten de instrumentos de deuda como son los Certificados Bursaacutetiles para los inversionistas residentes y no residentes en Meacutexico para efectos fiscales pero no pretende ser una descripcioacuten exhaustiva de todas las consideraciones fiscales que pudieran ser relevantes a la decisioacuten de adquirir o disponer de Certificados Bursaacutetiles

Los posibles adquirentes de los certificados bursaacutetiles deberaacuten consultar con sus asesores las consecuencias fiscales resultantes de su inversioacuten en los certificados bursaacutetiles incluyendo la aplicacioacuten de las reglas especiacuteficas respecto a su situacioacuten particular

Representante Comuacuten Monex Casa de Bolsa SA de CV Monex Grupo Financiero

INTERMEDIARIOS COLOCADORES CONJUNTOS

Los tiacutetulos que se emitiraacuten al amparo del Programa de Certificados Bursaacutetiles autorizados por la CNBV que se describen en este prospecto se encuentran inscritos en la Seccioacuten de Valores del Registro Nacional de Valores y son aptos para ser inscritos en el listado correspondiente de la Bolsa Mexicana de Valores SA de CV

Las emisiones que se realicen al amparo del Programa de Certificados Bursaacutetiles quedaraacuten inscritas en el Registro Nacional de Valores con el No 2186-415-2005-002La inscripcioacuten en el Registro Nacional de Valores no implica certificacioacuten sobre la bondad del valor o la solvencia del Emisor

El Prospecto y Suplemento tambieacuten podraacuten consultarse con los agentes colocadores y en las paacuteginas electroacutenicas en la red mundial (Internet) en las siguientes direccioneswwwbmvcommx

wwwcasasgeocom

Meacutexico DF a 3 de noviembre de 2005 Aut CNBV 1533454232005 de fecha 1 de noviembre de 2005

FIGURA 96 Programa de certifi cados bursaacutetiles de Corporacioacuten Geo

AVISO A LOS TENEDORES DE LOSCERTIFICADOS BURSAacuteTILES EMITIDOS POR

CORPORACIOacuteN GEO SA DE CVEMISIOacuteN (GEO 03)

En cumplimiento a lo establecido en el Tiacutetulo que ampara la emisioacuten correspondiente hacemos de su conocimiento que

La Tasa de Rendimiento Bruto Anual que devengaraacuten los Certificados Bursaacutetiles emitidos por Corporacioacuten Geo SA de CV (GEO 03) por el periodo comprendido del 28 de Julio de 2006 al 25 de Agosto de 2006 es de 1128 sobre el valor nominal de los mismos sujeto a la Ley Fiscal Vigente

La Tasa de Rendimiento Bruto Anual estaacute integrada de conformi-dad con el promedio simple de los Certificados de la Tesoreriacutea de la Federacioacuten de acuerdo a lo siguiente

1o del 21 julio al 28 de julio de 2006 7022o del 28 julio al 04 de agosto de 2006 7053o del 04 julio al 11 de agosto de 2006 7034o del 11 julio al 18 de agosto de 2006 703

De igual forma el importe de los Intereses Brutos del periacuteodo corres-pondiente al periacuteodo sentildealado con anterioridad asciende a la can-tidad de

$263200000Mismo que se liquidaraacute contra la entrega del cupoacuten No 45 en las oficinas de SD Indeval SA de CV Institucioacuten para el Depoacutesito de Valores Paseo de la Reforma No 255 Col Cuauhteacutemoc CP 06500 Meacutexico DF

Meacutexico DF a 24 de Agosto de 2006 Aut CNBV DGE-132-393213 de Marzo de 2003

REPRESENTANTE COMUN DE LOS TENEDORES

SolucioacutenSin tomar en cuenta las comisiones de la casa de bolsa ni las retenciones de impuestos la tasa efectiva de rendimiento se determina sumando al precio de venta los intereses de-vengados en el periodo que fue de 28 diacuteas

ICit= = =360

100 0 1128 28360

0 877333333( )( )

Asiacute luego de haber pagado $9989 por estos certifi cados el 28 de julio se recibieron $100 + 087773333 = 10087773333 el 25 de agosto por lo que la tasa efectiva de rendimiento a 28 diacuteas fue

i28100 87773333

99 891 0 00988821= minus =

De donde la tasa efectiva anual fue de

i365 1 00988821 1 0 13685636528= minus = o 1369

FIGURA 97 Anuncio de tasas de intereacutes de certifi cadosbursaacutetiles de Corporacioacuten Geo

G R U P O F I N A N C I E R O

Ejemplo 95321

Determinar la tasa efectiva de rendimiento anual de los certificados bursaacutetiles de Corporacioacuten Geo si se compraron en $9989 el 28 de julio y se vendieron en $9992 el 15 de agosto

SolucioacutenLos intereses generados entre el 28 de julio y el 15 de agosto fueron

ICit= = =360

100 0 1128 18360

0 564( )( )

En consecuencia lo que el vendedor de los certifi cados recibe en el momento de la venta es $9992 + $0564 = $100484 de donde la tasa efectiva de rendimiento a 18 diacuteas es

i28100 484

99 891 0 005946541= minus =

i365 1 005946541 1 0 1277536518= minus = o 1278

954 Rendimiento de valores que pagan intereses que ajustan su valor nominal

Tal como se mencionoacute los principales valores que caen en esta categoriacutea son los Udibo-nos Tambieacuten existen algunos otros tiacutetulos que ya se han considerado que en ocasiones se emiten con valor nominal indizado como el papel comercial indizado El caacutelculo de los ren-dimientos efectivos es igual en todos los casos por lo cual se reduce el anaacutelisis a un ejemplo con Udibonos

TABLA 96 Algunos datos sobre Udis a plazo de diez antildeos

FechaPlazo

Valor de mercado Precio sucioCupoacuten vigenteTasas promedio

122705 3 278 370725746 378901720 450122805 3 277 370820332 379043857 450122905 3 276 371741911 371741911 450123005 3 275 371107064 371152521 4501206 3 272 371220832 371402803 450 62706 3 096 358213778 366482524 45062806 3 095 360015145 368330235 45062906 3 094 360049022 360049022 45063006 3 093 361606632 361652577 450

(continuacutea)

TABLA 96 (conclusioacuten)

FechaPlazo

7306 3 090 367274968 367458772 4507406 3 089 370037462 370267228 4507506 3 088 366365933 366641666 4507606 3 087 369132217 369453921 4507706 3 086 370277889 370645569 45071006 3 083 370329108 370834743 45071106 3 082 371528613 372080210 45071206 3 081 371266966 371864526 45071306 3 080 367726448 368369971 45071406 3 079 367458982 368148466 45071706 3 076 367451572 368278937 45071806 3 075 367408494 368281819 45071906 3 074 369370557 370289840 45072006 3 073 369773758 370738999 45072106 3 072 369771151 370782350 45072406 3 069 370364154 371513222 45072506 3 068 370192402 371387425 45072606 3 067 369585653 370826814 45072706 3 612 384468160 385898505 50072806 3 611 385583862 387065500 50073106 3 608 384256016 385891615 5008106 3 607 384341787 386028737 5008206 3 606 385497937 387236252 5008306 3 605 386332989 388122683 5008406 3 604 387747756 389588844 5008706 3 601 388618596 390613951 5008806 3 600 388543884 390590690 5008906 3 599 389195477 391293746 50081006 3 598 389991517 392141266 50081106 3 597 392393301 394594390 50081406 3 594 391840902 394196054 50081506 3 593 393756255 396162776 50081606 3 592 394255576 396713473 50081706 3 591 395322036 397831317 50081806 3 590 394132677 396693345 50082106 3 587 394435055 397149938 50082206 3 586 397619396 400385699 50082306 3 585 398898696 401716424 50082406 3 584 398731521 401600684 50082506 3 583 398379712 401300316 50082806 3 580 398939836 402015859 50082906 3 579 399522325 402650194 50083006 3 578 399539185 402718919 500

En la tabla 96 se reproducen algunos datos de Udibonos a plazo de 10 antildeos difundidos en el mismo sitio de internet del Banco de Meacutexico y se obtuvieron de la misma forma en que se explicoacute la obtencioacuten de los datos de la tabla 95 de Bondes y seguacuten se detalla en la seccioacuten fi nal de este capiacutetulo ldquoMatemaacuteticas en internet Inversioacuten en bolsa de valoresrdquo Tambieacuten se incluye en esta tabla un corte en los datos para incluir los correspondientes al 29 de diciembre de 2005 fecha de pago de intereses junto con diversos datos diarios a partir del 29 de junio de 2006 la siguiente fecha de pago de intereses maacutes unos cuantos diacuteas antes y despueacutes de estas fechas

Tambieacuten al igual que en el caso de los Bondes los datos de Udibonos ofrecen tanto pre-cio sucio (lo cual incluye los intereses devengados) como el precio limpio Observe ademaacutes que al igual que sucede con los Bondes en las fechas de pago de intereses el precio sucio y el precio limpio son iguales

Ejemplo 9541

Utilizando los datos de la tabla 96 determinar la tasa efectiva de rendimiento anual que pudo haber obtenido un inversionista que comproacute Udibonos el 29 de diciembre de 2005 y los vendioacute el 29 de junio de 2006

SolucioacutenAdemaacutes de los datos que aparecen en la tabla 96 es necesario conocer el valor de lasUdis en estas mismas fechas el cual se puede obtener tambieacuten en el sitio del Banco de Meacutexico El procedimiento para llegar hasta estos datos se detalla tambieacuten en la seccioacuten fi nal del capiacutetulo

Los datos correspondientes son 3635649 el 29 de diciembre de 2005 y 3675358 el 29 de junio de 2006

Con estos datos si el precio limpio de los Udibonos fue $371741911 el precio neto pagado fue

371741911(3635649) = $1351523107

Los intereses devengados por estos tiacutetulos entre las dos fechas es la diferencia entre el precio sucio y el precio limpio del diacutea anterior a la venta el 28 de junio de 2006 (el diacutea antes de que se igualen estos dos precios que lo hacen precisamente por el pago de los intereses devengados) o sea

368330235 minus 360015145 = $8315090

Ahora como estos intereses estaacuten dados en Udis para convertirlos en pesos se utiliza el valor de estas unidades de referencia al 29 de junio o sea

8315090(3675358)= $3056093255

El valor de los Udibonos al 29 de junio de 2006 fue de

360049022(3675358) = $13233309053

Asiacute el total que se recibioacute por la venta fue de

13233309053 + 3056093255 = 1353869986

De lo anterior la tasa efectiva de rendimiento a seis meses fue

i = minus =1353 8699861351 523107

1 0 00173647

Y de aquiacute la tasa efectiva de rendimiento anual

i = minus =1 00173647 1 0 0034762 o sea 035

En este caso particular no resultoacute conveniente la operacioacuten porque las tasas de in-versioacuten sin riesgo eran considerablemente superiores Por ejemplo la tasa de fondeo inter-bancario osciloacute entre 7 y 82 entre las dos fechas consideradas para la operacioacuten (Estas tasas tambieacuten se consultaron en wwwbanxicogobmx)

40 Explique los dos casos que se pueden presentar para el caacutelculo de rendimientos efec-tivos de instrumentos que pagan intereses

41 Explique la principal diferencia entre los dos casos que se pueden presentar en el caacutelcu-lo de rendimientos efectivos de instrumentos que pagan intereses

42 Explique queacute son el ldquoprecio suciordquo y el ldquoprecio limpiordquo de los tiacutetulos bursaacutetiles Responda a los ejercicios 42 a 45 consultando httpwwwbanxicogobmxeInfo-

FinancieraFSinfoFinancierahtml (pero tenga cuidado porque esta direccioacuten puede haber cambiado desde cuando se editoacute este texto)

43 Diga cuaacutentos tipos de Bondes hay en circulacioacuten a la fecha de acuerdo a su plazo 44 Diga cuaacutel es la tasa promedio de cupoacuten vigente de los Bondes D a 5 antildeos vigente45 Diga cuaacuteles son el precio sucio y el precio limpio de alguna emisioacuten de Bondes y

especifiacutequela46 Con los datos de la tabla 95 calcule la tasa efectiva de rendimiento anual que obtie-

ne un inversionista que compra Bondes el 8 de diciembre de 2005 y los vende el 18 de mayo de 2006

47 Con los datos de la tabla 95 calcule la tasa efectiva de rendimiento anual que obtie-ne un inversionista que compra Bondes el 8 de diciembre de 2005 y los vende el 2 de junio de 2006

48 iquestCuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento al plazo para la operacioacuten planteada en el ejercicio 46

50 Con los datos de la tabla 95 calcule la tasa efectiva de rendimiento mensual que ob-tiene un inversionista que compra Bondes el 1 de junio de 2006 y los vende el 19 de junio del mismo antildeo

51 Con los datos de la tabla 95 calcule la tasa efectiva de rendimiento mensual que ob-tiene un inversionista que compra Bondes el 23 de mayo de 2006 y los vende el 23 de junio del mismo antildeo

52 iquestPor queacute se dice que los Udibonos son instrumentos indizados Las siguientes son las tasas de intereacutes brutas que pagaron diversos certificados bur-

saacutetiles y que fueron publicadas en la paacutegina 16 del perioacutedico El Economista del 24 de agosto de 2006

Emisora Clave Tasa bruta Periodo

TV Azteca TVACB04 999 24 ago a 21 sep 2006TV Azteca TVACB05-2 902 24 ago a 21 sep 2006ABN Amro Bank GMACCB 04-2 787 28 jul a 25 ago 2006ABN Amro Bank GMACCB 04 779 25 ago a 22 sep 2006Carso Global Telecom Telecom 02 855 24 ago 2006 a 22 feb 2007Municipio de Aguascalientes MAGS 03 809 24 ago a 23 nov 2006

Con los datos de la tabla anterior resuelva los ejercicios 53 a 56

53 Si un inversionista compra certificados bursaacutetiles de la emisioacuten TVACB04 el 24 de agosto de 2006 en $9986 y los vende en $9984 el 21 de septiembre del mismo antildeo iquestcuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento anual que obtiene

54 Si un inversionista compra certificados bursaacutetiles de la emisioacuten TVACB05-2 el 24 de agosto de 2006 en $9989 y los vende en $9991 el 21 de septiembre del mismo antildeo iquestcuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento anual que obtiene

55 Un inversionista compra certificados bursaacutetiles de la emisioacuten Telecom 02 el 28 de agosto de 2006 en $9990 y los vende en el mismo precio el 28 de septiembre del mis-mo antildeo iquestCuaacutel es la tasa efectiva mensual que obtiene

56 Un inversionista compra certificados bursaacutetiles de la emisioacuten Mags03 el 31 de agosto de 2006 en $9995 y los vende en $9996 el 28 de octubre del mismo antildeo iquestCuaacutel es la tasa efectiva mensual que obtiene

Responda a los ejercicios 57 y 58 consultando httpwwwbanxicogobmxeInfo-FinancieraFSinfoFinancierahtml (pero tenga cuidado porque esta direccioacuten puede haber cambiado desde cuando se editoacute este texto)

57 Diga cuaacuteles son los precios limpio y sucio de las emisiones de Udibonos vigentes a la fecha

58 Diga cuaacuteles son las tasas promedio de cupoacuten vigentes a la fecha de los Udibonos en circulacioacuten

Resuelva los ejercicios 59 y 60 con los datos de la tabla 96 y consultando httpwwwbanxicogobmxeInfoFinancieraFSinfoFinancierahtml

59 Determine la tasa efectiva de rendimiento al plazo de los Udibonos que se compra-ron el 27 de junio de 2006 y se vendieron el 11 de agosto del mismo antildeo

60 Determine la tasa efectiva de rendimiento anual de los Udibonos que se compraron el 11 de julio de 2006 y se vendieron el 11 de agosto del mismo antildeo

96 ResumenEn este capiacutetulo se explicaron los procedimientos que se deben seguir para determinar los ren-dimientos efectivos de los diversos valores bursaacutetiles Esta determinacioacuten de rendimientos efec-tivos es de especial importancia en el mercado de valores porque las tasas que normalmente se manejan en publicaciones son tasas nominales que por lo general no permiten realizar compa-raciones vaacutelidas entre diferentes instrumentos o periodos Para explicar los procedimientos de caacutelculo se dividieron los valores en dos principales categoriacuteas de acuerdo con la fuente principal de rendimientos que ofrecen a) ganancias de capital y b) intereses En el caso de los valores que ofrecen exclusivamente ganancias de capital y de los que pagan intereses (y cuando las operaciones con estos uacuteltimos se realizan en fechas de pago de intereses y no hay pagos de intereses intermedios) el procedimiento que se debe seguir para calcular los rendimientos efectivos se resume perfectamente en la foacutermula 91

iMCp = minus1

en donde ip es la tasa efectiva de rendimiento al plazo Este mismo procedimiento se aplica a los valores que se manejan con tasa de descuento soacutelo que con eacutestos es necesario calcular antes el precio descontado (el capital) utilizando la foacutermula 94

P VNtd= minus

⎣⎢

⎦⎥1

En el caso de los valores que pagan dividendos y los que pagan intereses (y cuando las operaciones con eacutestos no se llevan a cabo en fechas de pago de intereses yo cuando existen pagos de intereses intermedios entre las fechas de compra y venta) el procedimiento a se-guir es

bull Determinar los precios de compra y de ventabull Calcular los intereses devengados por el tiacutetulo desde la uacuteltima fecha de pago de intereses

previa a la compra hasta la fecha en que se realiza eacutesta Estos intereses deben ser pagados por el comprador a quien vende por lo que deben sumarse al precio de compra para con-formar los ldquoegresos a la comprardquo

bull Determinar los intereses devengados desde la uacuteltima fecha de pago de intereses previa a la venta hasta la fecha en que eacutesta se lleva a cabo Al igual que en el paacuterrafo anterior quien compra debe pagar estos intereses al vendedor Por ello se deben sumar al precio de venta para obtener los ldquoingresos a la ventardquo

Estos dos uacuteltimos paacuterrafos soacutelo son aplicables a los instrumentos que pagan interesesbull Determinar cualesquiera pagos de intereacutes entre las fechas de compra y de venta En el

caso de las acciones en este paacuterrafo se aplicariacutea ldquodividendosrdquo en lugar de ldquointeresesrdquobull Construir con las cantidades anteriores una ecuacioacuten de valores equivalentesbull Resolver la ecuacioacuten anterior ya sea mediante aproximaciones sucesivas o utilizando al-

guacuten paquete de computacioacuten que permita resolver ecuaciones polinomiales

96 Resumen

Ademaacutes de los procedimientos esbozados al evaluar los rendimientos efectivos de los va-lores bursaacutetiles es importante tener presentes las comisiones que los intermediarios cobran cuando realizan las operaciones si es que cobran alguna

bull Saber cuaacuteles son los valores que se negocian en el mercado de valores mexicano y sus principales caracteriacutesticas

bull Explicar las formas en las que los valores bursaacutetiles permiten obtener rendimientosbull Calcular rendimientos efectivos de acciones de sociedades de inversioacuten de renta fijabull Calcular rendimientos efectivos de acciones de empresas y de sociedades de inversioacuten

comunesbull Conocer la foacutermula para calcular el precio descontado de un valorbull Calcular el rendimiento efectivo de Cetes papeles comerciales y aceptaciones bancariasbull Conocer la foacutermula para calcular los intereses pagadosbull Calcular el rendimiento efectivo de Bondes Udibonos y certificados bursaacutetilesbull Calcular el rendimiento efectivo de cualquier instrumento bursaacutetilbull Obtener informacioacuten sobre valores bursaacutetiles en publicaciones e interpretar esa infor-

macioacutenbull Obtener informacioacuten sobre valores bursaacutetiles gubernamentales en el sitio de internet

del Banco de Meacutexico

iMCp = minus1 (91) i in p

n p= +( ) 1 (93)

iICp = (92) P VN td= minus

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

bull Accioacuten de empresa comercial industrial o de servicios

bull Bonos de desarrollo del Gobierno federal

bull Certificados bursaacutetilesbull Certificados de la Tesoreriacutea de la

Federacioacutenbull Cotizacioacuten de mercadobull Descuento

bull Dividendosbull Interesesbull Sociedad de inversioacuten comuacutenbull Sociedad de inversioacuten en instrumentos

de deudabull Tasa nominal y tasa efectivabull Udibonosbull Valor nominal

D = VN minus P (95) I = itc360

I = TNxDxVN360

1 iquestA queacute precio se compraron acciones de una sociedad de inversioacuten de renta fija que rindie-ron 9 efectivo anual si la compra se realizoacute el 15 de agosto y el precio de venta fue de $450

2 El 25 de junio se negociaron acciones de ABACOF (una sociedad de inversioacuten comuacuten o de renta variable) en $261256 y en $2635 el 24 de julio Si se considera que no se com-praron y vendieron en realidad iquestcuaacutel fue el rendimiento efectivo anual

3 iquestCuaacutel es la respuesta del ejercicio 2 si de hecho se llevan a cabo las operaciones de compra y de venta

4 Describa en forma de algoritmo el procedimiento que se debe seguir para determinar el rendimiento efectivo de la inversioacuten en acciones de sociedades de inversioacuten

a) De renta fija b) De renta variable 5 El 23 de julio se pagoacute un dividendo en efectivo de $025 por cada accioacuten de Apasco en

circulacioacuten Si estas acciones se cotizaron a $985 el 25 de junio y a $1030 el 9 de agosto iquestcuaacutel fue el rendimiento efectivo mensual para sus tenedores sin tomar en consideracioacuten las comisiones por compra y venta de los tiacutetulos

6 iquestCuaacutel seriacutea el rendimiento efectivo anual de las acciones de Apasco si se toman en consi-deracioacuten las comisiones del intermediario bursaacutetil

7 Describa en forma de algoritmo el procedimiento que se debe seguir para evaluar el rendi-miento efectivo en circunstancias como las que se describen en el ejercicio 5

8 Describa en forma de algoritmo el procedimiento que se debe seguir para evaluar el ren-dimiento efectivo en circunstancias como las que se describen en el ejercicio 6

9 Si se obtuvo una tasa efectiva de rendimiento al plazo de 515 al invertir en acciones de una empresa comercial y el precio de compra (incluyendo la comisioacuten de la casa de bol-sa) fue de $3750 por accioacuten iquestcuaacutel fue el precio de venta (incluyendo la comisioacuten)

10 iquestCuaacutel seriacutea el precio de compra en el ejercicio 9 si no se incluye la comisioacuten de la casa de bolsa

11 Utilizando los datos del ejercicio 9 y la respuesta del ejercicio 10 y sin considerar la co-misioacuten de la casa de bolsa por la venta de acciones iquestcuaacutel seriacutea la tasa efectiva de rendi-miento mensual

12 iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento de las acciones de ALFA en el mes anterior13 iquestCuaacutel fue la tasa efectiva de rendimiento de las acciones de la sociedad de inversioacuten en

instrumentos de deuda FMLAT2 en el mes anterior14 La emisioacuten CT-24-XX de Cetes tiene plazo de 28 diacuteas y tasa de descuento de 785 a) iquestCuaacutel es la tasa nominal de rendimiento anual b) iquestCuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento anual

15 Para alguna (si es que hay maacutes de una) de las emisiones de Cetes del jueves anterior a) Sentildeale sus caracteriacutesticas b) iquestCuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento mensual16 El 29 de junio se emitieron certificados bursaacutetiles a plazo de 28 diacuteas iquestCuaacutel era su fecha de

vencimiento17 Los certificados bursaacutetiles del ejercicio anterior teniacutean una tasa nominal de rendimiento

anual de 731 iquestCuaacutel era la tasa de descuento18 iquestCuaacutel era la tasa efectiva de rendimiento anual de los certificados bursaacutetiles de los ejerci-

cios 16 y 1719 Determine las tasas efectivas de rendimiento de las siguientes emisiones de certificados

bursaacutetiles al plazo que se solicita

Plazo (diacuteas) Tasa de descuento Plazo de la tasa efectiva

28 723 Mensual21 752 Anual28 704 Diaria

20 Localice en alguna publicacioacuten datos sobre emisiones recientes de certificados bursaacutetiles y determine la tasa efectiva de rendimiento anual correspondiente

22 El 14 de junio se emitieron Cetes a plazo de 91 diacuteas y con tasa de descuento de 754 Determine la tasa efectiva de rendimiento anual que ofrecieron a su vencimiento

23 El 14 de junio se emitieron los Cetes a plazo de 28 diacuteas y con tasa de descuento de 732 Determine la tasa efectiva de rendimiento anual que ofrecieron a su vencimiento

25 iquestPor queacute es mayor la tasa de descuento de los Cetes del ejercicio 24 que la de los Cetes del ejercicio 23

26 Localice datos recientes de emisiones de Cetes y determine la tasa efectiva de rendimien-to anual

27 Localice datos recientes de emisiones de Cetes y determine la tasa efectiva de rendimien-to mensual

28 iquestCuaacutel es la tasa definitiva del impuesto sobre la renta para personas fiacutesicas que obtienen intereses en inversiones bursaacutetiles

29 iquestQueacute tasa neta de intereacutes corresponde a una persona fiacutesica que interviene en obligaciones que pagan 7 anual bruto de intereacutes

30 iquestCobran comisioacuten los intermediarios bursaacutetiles en las operaciones de compra y de venta de Bondes Si la respuesta es afirmativa diga de cuaacutento es esa comisioacuten Si la respuesta en negativa explique por queacute

Para resolver los ejercicios 31 y 32 utilice los datos que aparecen en la tabla 9531 El 28 de junio se compran Bondes en $9887 y se venden el 26 de julio al mismo precio

Si los intereses pagados en ese periodo son una tasa nominal anual de 745 iquestcuaacutento se recibe de intereses en el momento de la venta

32 Si el 15 de julio se adquieren Bondes de la emisioacuten a $987765 y se venden el 15 de agosto a $990111 y si ademaacutes las tasas de intereacutes de los periodos del 12 de julio al 9 de agosto y del 9 de agosto al 6 de septiembre son 802 y 759 respectivamente iquestcuaacutel es la tasa efectiva de rendimiento mensual que se obtiene

33 Localice en el sitio de internet datos recientes de Bondes y calcule las correspondientes tasas efectivas de rendimiento anual considerando que las operaciones se llevan a cabo en fechas de pago de intereacutes

34 Localice en el sitio de internet datos recientes de Bondes y calcule las correspondientes tasas efectivas de rendimiento anual considerando que las operaciones no se llevan a cabo en fechas de pago de intereses

35 Ciertos certificados bursaacutetiles pagaron el 7 de mayo 802 de intereacutes para el periodo del 7 de febrero al 6 de mayo Si se compran certificados de esta emisioacuten en la primera fecha a $98 y se venden en la segunda fecha a $9822 iquestqueacute tasa efectiva de rendimiento mensual se obtiene

36 iquestCuaacutel seriacutea la respuesta al ejercicio 35 si no se toman en consideracioacuten las comisiones de la casa de bolsa

37 Se compran certificados bursaacutetiles el 14 de febrero a $9888 y se venden a $9899 el 15 de mayo Si la tasa de intereacutes vigente para el periodo del 7 de mayo al 6 de junio es de 768 determine la tasa efectiva de rendimiento anual (La tasa de intereacutes vigente en el periodo del 7 de febrero al 6 de mayo fue de 783)

38 Determine la respuesta al ejercicio 37 sin tomar en consideracioacuten las comisiones del in-termediario bursaacutetil

39 De la foacutermula para calcular el precio de los Cetes despeje la tasa de descuento40 Si se compran Bondes el 16 de mayo a $8810 y se venden el 30 de agosto a $8655 iquestqueacute

tasa efectiva de intereacutes mensual se gana41 iquestCuaacutel es la tasa efectiva mensual de rendimiento de los Bondes del ejercicio 31 si no se

toman en consideracioacuten las comisiones de la casa de bolsa42 Se compran BPA a $8765 el 1 de junio y se venden el 31 de agosto a 8905 iquestCuaacutel fue

la tasa efectiva de rendimiento mensual43 iquestCuaacutel es el rendimiento efectivo anual de BPA que se compraron el 27 de abril y se ven-

dieron el 14 de junio si los precios son de $8655 y $8766 respectivamente44 Localice en el sitio de internet del Banco de Meacutexico datos recientes de BPA y determine

la tasa efectiva de rendimiento mensual considerando que las operaciones se realizan en fechas de pago de intereses

45 Localice en el sitio de internet del Banco de Meacutexico datos recientes de BPA y determine la tasa efectiva de rendimiento mensual considerando que las operaciones no se realizan en fechas de pago de intereses

46 Localice en el sitio de internet del Banco de Meacutexico datos recientes de BREM y determi-ne la tasa efectiva de rendimiento mensual considerando que las operaciones se realizan en fechas de pago de intereses

47 Localice en el sitio de internet del Banco de Meacutexico datos recientes de BREM y determine la tasa efectiva de rendimiento mensual considerando que las operaciones no se realizan en fechas de pago de intereses

48 Localice en el sitio de internet del Banco de Meacutexico datos recientes de Udibonos y calcule la tasa efectiva de rendimiento mensual

49 Localice en el sitio de internet del Banco de Meacutexico datos recientes de Udibonos y calculela tasa efectiva de rendimiento anual

50 Localice en el sitio de internet del Banco de Meacutexico datos recientes de Udibonos y calcu-le la tasa efectiva de rendimiento mensual

51 Localice en el sitio de internet del Banco de Meacutexico datos recientes de BREM y calculela tasa efectiva de rendimiento mensual

52 Localice en el sitio de internet del Banco de Meacutexico datos recientes de BREM y calculela tasa efectiva de rendimiento anual

53 Determine el rendimiento mensual en la compra de Udibonos si se adquirieron el 27de abril de 2006 y se vendieron el 12 de agosto del mismo antildeo con datos del sitio de in-ternet del Banco de Meacutexico

54 Determine el rendimiento anual efectivo del ejercicio anterior

Esta seccioacuten estaacute dividida en tres partes La primera de ellas es un conjunto de ligas a sitios con informacioacuten relacionada con cada uno de los apartados del capiacutetulo igual a los que se presentan en otros capiacutetulos

La segunda contiene informacioacuten detallada de los sitios de la Bolsa Mexicana de Valores y del Banco de Meacutexico las dos principales fuentes de informacioacuten bursaacutetil Esta segunda sec-cioacuten contiene la ruta que se debe seguir en el sitio del Banco de Meacutexico para llegar hasta la seccioacuten de ldquoVector de precios de tiacutetulos gubernamentales (on the run)rdquo que contiene datos de precios sucio y limpio diacuteas al vencimiento y tasa de cupoacuten de entre otros tiacutetulos guber-namentales los Bondes y los Udibonos con los que se presentan diversos ejemplos en la sec-cioacuten 95

La tercera y uacuteltima seccioacuten detalla la forma de acceder a la informacioacuten sobre los certifi -cados bursaacutetiles que contiene el sitio de la Bolsa Mexicana de Valores que son tiacutetulos con los que tambieacuten se desarrollan algunos ejemplos en el texto

httpwwwpatagoncommxuniversidadfaq_defasprnd=02221338Patagon es un portal de servicios fi nancieros en liacutenea que proporciona informacioacuten baacutesica so-bre los instrumentos bursaacutetiles que operan en Meacutexico

httpwwwbmvcommxBolsa Mexicana de Valores

Matemaacuteticas en internet Inversioacuten en bolsa de valores

1 Matemaacuteticas en internet Ligas a sitios con informacioacuten relacionada

httpwwwindevalcommxPaacutegina del Instituto para el Depoacutesito de Valores de Meacutexico En el Indeval se depositan todos los tiacutetulos valor que se operan en el mercado mexicano de valores

httpwwwamibcommxindexaspPaacutegina de la Asociacioacuten Mexicana de Intermediarios Bursaacutetiles En ella encontraraacute informa-cioacuten de las casas de bolsa que participan en el mercado mexicano Cuenta con un glosario que permite conocer los principales teacuterminos que se utilizan en el medio bursaacutetil

httpwwwmexdercommxPaacutegina del Mercado Mexicano de Derivados En ella se encuentra informacioacuten sobre los ins-trumentos que ahiacute operan

93 Valores bursaacutetiles

httpwwwbmvcommxbmvintrumentoshtmlPaacutegina del sitio de la Bolsa Mexicana de Valores que ofrece informacioacuten sobre los diversos instrumentos que en ella se manejan

httpwwwcondusefgobmxinformacion_sobrecasas_bolsainstrumentoshtmLa Comisioacuten Nacional para la Proteccioacuten y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros (Condusef) es la instiucioacuten creada por el gobierno para asesorar y defender a los usuarios de dichos servicios En esta paacutegina se proporciona una lista de los instrumentos que las Casas de Bolsa ofrecen al puacuteblico

httpwwwbanamexcomespindicadoresglosariobursatilGlosario bursaacutetil de la paacutegina de Banamex En ella tambieacuten se encuentran viacutenculos a otros servicios que ofrece esta institucioacuten bancaria

httpwwwbancomercomEl sitio de Bancomer ofrece una seccioacuten bursaacutetil que contiene informacioacuten relacionada con el medio

httpwwwmapafi nancierocommxPaacutegina que proporciona informacioacuten actualizada sobre los instrumentos operados en la Bolsa Mexicana de Valores Ademaacutes cuenta con viacutenculos a otros sitios de intereacutes relacionados con el medio bursaacutetil mexicano

httpwwwabanfi ncomdirfi nanformulariordto_fi nancierohtmPaacutegina que ofrece una calculadora para determinar el rendimiento fi nanciero en la compra de acciones

httpwwwpatagoncommxeduceducacionaccionesasprnd=07908899En esta seccioacuten del portal fi nanciero se presenta informacioacuten sobre acciones

95 Rendimiento de valores que pagan intereacutes

httpwwwinversorlatinocomyieldmxaspPaacutegina que compara el rendimiento de tiacutetulos de deuda en Meacutexico con el que ofrecen tiacutetulos de deuda de Estados Unidos Incluye tambieacuten comparaciones con tiacutetulos emitidos por otros paiacuteses

httpwwwpatagoncommxuniversidadinstrumentosasprnd=03671686Portal fi nanciero que ofrece diversos artiacuteculos sobre el comportamiento de instrumentos de deuda en el mercado mexicano y en otros mercados latinoamericanos

96 Otros viacutenculos de intereacutes

httpwwwnysecomNew York Stock Exchange

httpwwwamexcomAmerican Stock Exchange

httpwwwbloombergcomPaacutegina de la empresa de informacioacuten fi nanciera Bloomberg Contiene gran variedad de infor-macioacuten de los mercados mundiales

httpwwwcmecomChicago Mercantile Exchange Paacutegina del mercado de futuros y derivados maacutes importante de Estados Unidos

Por supuesto la principal fuente de datos bursaacutetiles es la propia Bolsa Mexicana de Valores (wwwbmvcommx) A continuacioacuten se presentan los maacutes importantes rubros del menuacute prin-cipal junto con las alternativas de primero nivel

La Bolsa Inscripcioacuten y prospectos

iquestQueacute es BMV Solicitudes de inscripcioacuten presentadas

Casas de bolsa Inscripcioacuten de valores

2 Matemaacuteticas en internet Sitios de la Bolsa Mexicana de Valores y del Banco de Meacutexico

Historia Prospectos de colocacioacuten

Participantes Ofertas puacuteblicas

Instrumentos

Sistema negociacioacuten Empresas emisoras

Boletines prensa Emisnet

Diacuteas festivos Emisoras

Glosario bursaacutetil Comiteacute de emisoras

Informacioacuten general

Mercado de capitales Informacioacuten digitalizada

Resumen mercado

Iacutendices mercado Marco legal

Series operadas Leyes

Monitoreo de mercado Circulares

Mercado global BMV Reglamentos

Mi portafolio Coacutedigos

Sociedades de inversioacuten Servicios informacioacuten

iquestQueacute son Publicaciones en liacutenea

Normatividad reglamentacioacuten Productos electroacutenicos

Operadoras Boletiacuten bursaacutetil

Estados fi nancieros Suscripciones

Indicadores Publicidad en sitio

Califi cadoras de valores

Centro de informacioacuten

Visitas guiadas

Sitios intereacutes

Instituciones de apoyo

Instituciones gubernamentales

Organismos internacionales

Otras bolsas

Otra de las principales fuentes de datos bursaacutetiles es el sitio del Banco de Meacutexico (httpwwwbanxicogobmx) Las alternativas de acceso desde su paacutegina principal son

bull Acerca del Banco de Meacutexicobull Poliacutetica monetaria y cambiaria

bull Sistemas de pagobull Monedabull Publicaciones y discursosbull Boletines de prensabull Informacioacuten financiera y econoacutemicabull Disposiciones y recurso de reconsideracioacutenbull Ley de transparenciabull Otros serviciosbull Ayudabull Mapa de sitiobull Iacutendice alfabeacuteticobull Buacutesquedabull Contacto

En la seccioacuten de Informacioacuten financiera y econoacutemica se tienen las siguientes ligas

bull Informacioacuten de Meacutexico en la cartelera electroacutenica para la divulgacioacuten del FMIbull Informacioacuten financiera contable del Banco de Meacutexicobull Indicadores econoacutemicos y financierosbull Resultados de encuestasbull Reportes analiacuteticos

A su vez en la seccioacuten de Indicadores econoacutemicos y fi nancieros existen las siguientes alternativas

bull Estructuras de informacioacutenbull Banco de Meacutexicobull Mercado de cambiosbull Mercado de valores y tasas de intereacutesbull Agregados monetarios y financierosbull Finanzas puacuteblicasbull Produccioacutenbull Preciosbull Balanza de pagosbull Laboralbull Sistemas de pagos

Por ejemplo si se elige Mercado de valores y tasas de intereacutes se puede pasar a la seccioacuten Vector de precios de tiacutetulos gubernamentales (on the run) desde donde se tiene acceso a in-formacioacuten de Cetes Bondes Udibonos BPA y Brem en sus distintas emisiones con datos de

bull Plazo Diacuteas times vencerbull Precio limpio valor de mercadobull Precio sucio valor de mercadobull Cupoacuten vigente tasas promedio

Si se elige la opcioacuten ldquoProspectos de colocacioacutenrdquo de la alternativa del menuacute principal ldquoInscripcioacuten y prospectosrdquo se llega a la siguiente pantalla

Ahora si se elige ldquoDeudardquo en el menuacute desplegable de en medio a la izquierda y ldquoCertifi cados bursaacutetiles de empresasrdquo en el del lado derecho tal como se ve en la fi gura anterior se llega a una lista de los programas de emisioacuten de certifi cados bursaacutetiles vigentes En la fecha en la que se hizo la buacutesqueda que se reproduce arriba 4 de septiembre de 2006 apareciacutean en la lista referencias a unos 100 programas entre los que se encontraba el de Corporacioacuten Geo en los siguientes teacuterminos

CORPORACIOacuteN GEO SA DE CV (GEO) Inscripcioacuten y oferta puacuteblica de certifi cados bursaacutetiles 04-Noviembre 2005 Versioacuten defi nitiva

Siguiendo esta liga (con un clic del ratoacuten) se llega al documento correspondiente en for-mato PDF

3 Matemaacuteticas en internet Coacutemo acceder a la informacioacuten de certifi cados bursaacutetiles en el sitio de la Bolsa Mexicana de Valores

bull Definir el concepto de depreciacioacutenbull Distinguir los diversos meacutetodos de depreciacioacuten

Lineal De porcentaje fijo Suma de diacutegitos Por unidad de produccioacuten o servicio Fondo de amortizacioacuten

bull Aplicar los diversos meacutetodos de depreciacioacuten en situaciones concretas

bull Resolver ejercicios de depreciacioacuten mediante el empleo de la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg

Objetivos 101 Introduccioacuten 102 Conceptos 103 Meacutetodo de liacutenea recta 104 Meacutetodo de porcentaje fijo 105 Meacutetodo de suma de diacutegitos 106 Meacutetodo por unidad de produccioacuten o

servicio 107 Meacutetodo del fondo de amortizacioacuten 108 Depreciacioacuten en eacutepocas inflacionarias 109 Aplicaciones 1010 Uso de Excelreg

1011 Resumen

Temario

Depreciacioacuten

CAPIacuteTULO10

10 DIAZ MATA OKindd 40310 DIAZ MATA OKindd 403 112808 31101 AM112808 31101 AM

CAPIacuteTULO 10 DEPRECIACIOacuteN404

101 IntroduccioacutenDesde el momento mismo en que se adquiere un bien (a excepcioacuten de los terrenos y algu-nos metales) eacuteste empieza a perder valor por el transcurso del tiempo o por el uso que se le da La peacuterdida de valor es conocida como depreciacioacuten y debe refl ejarse contablemente con el fi n de

1 Determinar el costo de los bienes o servicios que se generan con dichos activos2 Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al fi nal de su vida uacutetil

En este capiacutetulo se estudiaraacute la depreciacioacuten asiacute como los distintos meacutetodos que se em-plean para calcularla En la uacuteltima parte se analizaraacuten tambieacuten los problemas que se presentan en eacutepocas infl acionarias y que obligan a realizar ajustes en los meacutetodos de valuacioacuten y depre-ciacioacuten de los activos

102 ConceptosLa peacuterdida de valor que sufre un activo fiacutesico como consecuencia del uso o del transcurso del tiempo es conocida como depreciacioacuten La mayoriacutea de los activos a excepcioacuten de los terrenos tienen una vida uacutetil durante un periodo fi nito En el transcurso de tal periodo estos bienes van disminuyendo su valor peacuterdida que es refl ejada por la depreciacioacuten

Contablemente se realiza un cargo perioacutedico a los resultados por la depreciacioacuten del bien y en contrapartida se crea un fondo para contar con los recursos necesarios para reempla-zarlo al concluir su vida uacutetil

Los cargos perioacutedicos que se realizan son llamados cargos por depreciacioacuten La diferencia entre el valor original y la depreciacioacuten acumulada a una fecha determinada se conoce como valor en libros el cual no necesariamente corresponde a su valor de mercado En tiempos de alta infl acioacuten eacuteste puede llegar a ser varias veces superior pues aqueacutel refl eja uacutenicamente la parte del costo original que estaacute pendiente de ser cargada a resultados

Al valor que tiene el activo al fi nal de su vida uacutetil se le conoce como valor de salvamento o valor de desecho y debe ser igual al valor en libros en esa fecha

La base de depreciacioacuten de un activo que es igual a su costo original menos su valor calcu-lado de salvamento es la cantidad que debe ser cargada a resultados en el transcurso de su vida activa

En el caso de los activos que no pueden reemplazarse se utiliza el concepto de agotamiento esto es la peacuterdida progresiva de valor por la reduccioacuten de su cantidad aprovechable Es el caso de las minas que por la extraccioacuten de que son objeto van disminuyendo paulatinamente su capacidad y su valor hasta que se agotan totalmente

Asiacute pues dos son los objetivos de la depreciacioacuten

1 Refl ejar en los resultados la peacuterdida de valor del activo2 Crear un fondo interno para fi nanciar la adquisicioacuten de un nuevo activo al fi nalizar la

vida uacutetil del antiguo

En eacutepocas infl acionarias este segundo objetivo se logra soacutelo en forma parcial pues los precios de los nuevos activos seraacuten considerablemente mayores a los de los antiguos

Existen diversos meacutetodos para determinar el cargo anual por depreciacioacuten Cada uno de ellos presenta ventajas y desventajas que seraacuten analizadas en cada seccioacuten

En este capiacutetulo se utilizaraacute la siguiente notacioacuten

C = Costo original del activo S = Valor de salvamento (S puede ser negativo) n = Vida uacutetil calculada en antildeos B = C minus S = Base de depreciacioacuten del activo Dk = Cargo por depreciacioacuten por el antildeo k (1 lt k lt n) Ak = Depreciacioacuten acumulada al fi nal del antildeo k

( )0 00le le = =k n A A Bny

Vk = Valor en libros al fi nal del antildeo k k n( )0 le le

V C0 = y V Sn =

dk = Tasa de depreciacioacuten por el antildeo k k n( )1 le le

103 Meacutetodo de liacutenea rectaEs el meacutetodo maacutes simple y el que maacutes se utiliza En muchos paiacuteses como Meacutexico es el uacutenico aprobado por las autoridades para cumplir con las disposiciones fi scales al respecto

Este meacutetodo supone que la depreciacioacuten anual es la misma durante toda la vida uacutetil del activo De acuerdo con ello la base de depreciacioacuten se divide entre el nuacutemero de antildeos de vida uacutetil calculada y se determina el cargo que anualmente se haraacute al fondo de reserva y a los resultados

Al fi nal de la vida uacutetil la depreciacioacuten acumulada maacutes el valor de salvamento del bien debe ser igual al valor de reposicioacuten

GRAacuteFICA 101

103 Meacutetodo de liacutenea recta

1 2 3 N 1 2 3 N

D kk = minus = = (independientemente de ) (101)

A kDk = (102)

V C kDk = minus (103)

La depreciacioacuten acumulada crece cada antildeo en una cantidad fi ja y el valor en libros dismi-nuye en la misma cantidad

Ejemplo 1031

Se compra un equipo de coacutemputo con valor de $16 000 y se calcula que su vida uacutetil seraacute de 4 antildeos antes de que deba ser reemplazado por equipo maacutes moderno Su valor de de-secho se calcula en $2 500

a) Determinar la depreciacioacuten anual por el meacutetodo de liacutenea recta b) Elaborar una tabla de depreciacioacuten

SolucioacutenUtilizando la foacutermula (101) se tiene

= minus =

16 13500

000 25004 4

De esta forma la depreciacioacuten anual seraacute de $3 375 cantidad que se incrementaraacute en el fondo de reserva para depreciacioacuten y disminuiraacute en el valor en libros del activo Esto se refl eja claramente en la tabla (101)

TABLA 101

AntildeosDepreciacioacuten

anualDepreciacioacuten acumulada

Valor en libros

0 0 0 16 0001 3 375 3 375 12 6252 3 375 6 750 9 2503 3 375 10125 5 8754 3 375 13 500 2 500

Ejemplo 1032

Un equipo con costo de $35 000 tiene una vida uacutetil de 6 antildeos al fi nal de los cuales se calcu-la que alcanzaraacute un nivel de obsolescencia que obligaraacute a cambiarlo por un modelo nuevo

Su valor de salvamento seraacute de $1000 y se preveacute que deberaacute realizarse una inversioacuten de $2 000 para desmontarlo y deshacerse de eacutel

a) Determinar el cargo anual por depreciacioacuten b) Elaborar una tabla de depreciacioacuten

SolucioacutenAplicando nuevamente la foacutermula (101) se obtiene

= = minus

=minus minus

35 000 ( 1000)6

En este caso el valor de salvamento es negativo pues si bien se recuperan $1000 por la venta del equipo debe realizarse una erogacioacuten de $2 000 para desmontarlo y deshacerse de eacutel

Asiacute su valor neto de salvamento es de minus$1000 lo cual puede observarse en la tabla 102

TABLA 102

Valor en libros

0 0 0 35 0001 6 000 6 000 29 0002 6 000 12 000 23 0003 6 000 18 000 17 0004 6 000 24 000 110005 6 000 30 000 5 0006 6 000 36 000 (1000)

Ventajas

1 Es de faacutecil aplicacioacuten

Desventajas

1 No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva2 Los activos fi jos tienden a depreciarse en una mayor proporcioacuten en los primeros antildeos

que en los uacuteltimos (Esto compensa el hecho de que en los primeros antildeos los gastos de mantenimiento y reparacioacuten son menores en tanto que aumentan con el transcurso de los antildeos de esta forma se logra distribuir los costos de inversioacuten y operacioacuten en el tiempo)

104 Meacutetodo de porcentaje fi joEste meacutetodo tiene en consideracioacuten el hecho de que la depreciacioacuten es mayor en los prime-ros antildeos de uso y menor en los uacuteltimos Para refl ejarlo se carga un porcentaje fi jo del valor en libros del activo a los resultados de la empresa Dicho valor en libros disminuye cada antildeo y por lo tanto la depreciacioacuten disminuye tambieacuten consecuentemente La depreciacioacuten anual esta-raacute dada por la foacutermula

D V dk k= minus1 (104)

El valor en libros al fi nal del primer antildeo estaraacute dado por

V V V d C Cd C d1 0 0 1= minus = minus = minus( )

Donde V es el valor en libros y d la tasa de depreciacioacuten anual fi jada En el segundo antildeo el va-lor en libros estaraacute dado por

V V V d V d C d d2 1 1 1 1 1 1= minus = minus = minus minus( ) ( )( )

y en el tercero seraacute

V V V d V d C d d d3 2 2 2 1 1 1 1= minus = minus = minus minus minus( ) ( )( )( )

Por lo tanto se estaacute en presencia de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo teacutermino comuacuten es (1 minus d)

El valor en libros al fi nal de cada antildeo puede determinarse utilizando la foacutermula

V C dkk= minus( )1 (105)

En el uacuteltimo antildeo el valor de salvamento seraacute igual al valor en libros

S C d Vnn= minus =( )1 (106)

Dados C S y n se puede determinar la tasa de depreciacioacuten utilizando la foacutermula (106)Este meacutetodo soacutelo puede aplicarse si el valor de salvamento es positivo de lo contrario la

foacutermula (106) careceriacutea de sentido En caso de que el valor de desecho calculado fuese 0 pue-de sustituirse por 1 para poder aplicar dicha foacutermula

Ejemplo 1041

Una compantildeiacutea compra una camioneta para el reparto de su mercanciacutea en $75 000 Calcula que su vida uacutetil seraacute de 5 antildeos y que al fi nal de ella su valor de desecho seraacute de $10 000

a) Determinar la tasa de depreciacioacuten d que debe aplicarse b) Elaborar la tabla de depreciacioacuten correspondiente

SolucioacutenEn este caso se conoce el valor de desecho y el nuacutemero de antildeos de vida uacutetil Se aplica la foacutermula (106) y se despeja d

000 = 75 000(

S C d n= minus

10 1 dd

0 13333333 1

00075 000

= minus

33333333 10 66832506 1

1 0 668325

= minus= minus= minus

=0 3316749433 1675

Este porcentaje se aplica para calcular la tabla 103 de depreciacioacuten correspondiente si existe diferencia debida al redondeo de las cifras se debe ajustar en el uacuteltimo cargo por depreciacioacuten

TABLA 103

anualDepreciacioacutenacumulada

Valor enlibros

Tasa de depreciacioacuten

0 mdash mdash 75 00000 03316751 24 87563 24 87563 5012438 03316752 16 62500 4150063 33 49937 03316753 11 11090 52 61153 22 38847 03316754 7 42570 60 03723 14 96277 03316755 4 96278 65 00000 10 00000 0331675

La diferencia de 001 se debe a redondeo

Ejemplo 1042

Se adquiere un equipo de troquelado con valor de $28 750 y se calcula que su tasa de de-preciacioacuten es de 30 Su esperanza de vida es de 7 antildeos

a) Elaborar una tabla de depreciacioacuten de los primeros 4 antildeos b) Encontrar el valor en libros al fi nal del quinto antildeo c) Determinar el cargo de depreciacioacuten del sexto antildeo d) Determinar el valor teoacuterico de desecho

104 Meacutetodo de porcentaje fi jo

TABLA 104

Valor en libros

0 0 0 28 750001 8 62500 8 62500 20125002 6 03750 14 66250 14 087503 4 22625 18 88875 9 861254 2 95838 2184713 6 90287

Solucioacuten a) Utilizando la foacutermula (104)

D V dk k= minus1

se determinan los valores de la tabla 104 b) Mediante el empleo de la foacutermula (105) se determina el valor en libros al fi nal del

quinto antildeo

V C dkk= minus( )1

V5 28= minus750(1 030)5

V5 28= 750(016807) V5 4= 83201

c) El cargo por depreciacioacuten del sexto antildeo se obtiene utilizando la formula (101)

D V dD V dDD

k k====

minus1

4 83201(030)144960

d) El valor teoacuterico de desecho se calcula utilizando la formula (106)

n= minus

= minus=

750(1 030)750(008235430

))36769S = 2

Ejemplo 1043

El costo de un equipo de precisioacuten es de $10 000 Se espera que su vida uacutetil sea de 3 antildeos y que su valor de desecho sea igual a 0

a) Determinar el porcentaje de depreciacioacuten que debe aplicarse b) Elaborar una tabla de depreciacioacuten

Solucioacuten a) Para determinar el porcentaje de depreciacioacuten se aplica la foacutermula (106) y se despeja

d pues como en el ejemplo 1041 se conoce el valor de desecho y el nuacutemero de antildeos de vida uacutetil

n= minus

= minus

0 10 000(1 )3

Sin embargo como ya se mencionoacute antes esta foacutermula carece de signifi cado si el valor de desecho es igual a 0 pues su resultado seriacutea indeterminado Por lo tanto se sustituye el 0 por el 1 y se aplica nuevamente la foacutermula

minus =

(1 0 0001

1 0 00

3minus =

minus =

( ) 0011 0 0464159

minus =dminus = minus +d 1 0 0464159

d = 0 9535841

El efecto de una tasa de depreciacioacuten como eacutesta se refl eja en la tabla 105

TABLA 105

Valor en libros

00 00 00 10 0000010 0000011 9 535849 53584 9 535849 53584 464164641622 4426144261 9 978459 97845 2155215533 20552055 9 999009 99900 100100

En este caso praacutecticamente el total de la depreciacioacuten es cargado al primer antildeo y puede no ser conveniente la utilizacioacuten de este meacutetodo

Ejemplo 1044

Resolver el ejemplo 1031 utilizando el meacutetodo de porcentaje fi jo Se sabe que el costo del equipo es de $16 000 su vida uacutetil de 4 antildeos y su valor de desecho $2 500

a) Determinar los cargos anuales por depreciacioacuten b) Elaborar una tabla de depreciacioacuten

SolucioacutenEn primer lugar debe determinarse el porcentaje de depreciacioacuten anual Utilizando la foacutermula (106) se tiene

500 = 1

S C d n= minus( )1

2 66 000(500

16 000

= minus

15625 1

0 15625 10 62871671 1

= minus

= minus=

dminusminus

= minus=

1 0 628716710 3712

37 13d =

Conocida la tasa de depreciacioacuten se aplica en la foacutermula (104)D V dk k= minus1 y se elabora la tabla de depreciacioacuten

TABLA 106

Valor en libros

0 0 0 16 000001 5 94080 5 94080 10 059202 3 73498 9 67578 6 324223 2 34818 12 02396 3 976044 147604 13 50000 2 50000

La diferencia resultante por el redondeo se ajustoacute en el uacuteltimo cargo Como puede ob-servarse los cargos son maacutes elevados en los primeros antildeos y despueacutes se ajustan a la baja

Ventajas

1 Es un meacutetodo relativamente faacutecil de aplicar2 Asigna un mayor cargo por depreciacioacuten a los primeros antildeos que es cuando los bie-

nes efectivamente pierden maacutes valor

Desventajas

1 Como el meacutetodo de liacutenea recta no tiene en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva

1 Una asociacioacuten estudiantil decide adquirir un equipo de video para realizar tareas de capacitacioacuten Su costo es de $25 000 y se calcula que daraacute servicio durante 5 antildeos al cabo de los cuales esperan cambiarlo por uno maacutes moderno Su valor de desecho es de aproximadamente $500

a) Determine la depreciacioacuten anual por el meacutetodo de liacutenea recta b) Elabore la tabla de depreciacioacuten

2 Una constructora instala una planta mezcladora para cubrir las necesidades de una obra de gran importancia Su costo total es de $350 000 y se espera que deacute servicio durante los 3 antildeos Al terminar se requeriraacute realizar una erogacioacuten de $25 000 para desmontarla y las piezas que se rescaten podraacuten ser vendidas en $10 000 a) iquestCuaacutel es el valor neto de salvamento b) Determine la depreciacioacuten anual por el meacutetodo de liacutenea recta c) Elabore la tabla de depreciacioacuten

3 Un departamento de policiacutea adquiere patrullas nuevas con valor de $250 000 cada una Estima que su vida uacutetil seraacute de 5 antildeos al cabo de los cuales su valor de desecho seraacute 0 a) Determine la depreciacioacuten anual por el meacutetodo de porcentaje fijo b) Elabore la tabla de depreciacioacuten

4 Resuelva el problema anterior utilizando el meacutetodo de liacutenea recta 5 Una compantildeiacutea de aviacioacuten adquiere un simulador de vuelo en 350 000 doacutelares

Decide depreciarlo por el meacutetodo de porcentaje fijo aplicando 20 anual a) iquestCuaacutel seraacute el valor en libros al cabo de 5 antildeos b) Elabore la tabla de depreciacioacuten

6 iquestA queacute tasa deberiacutea depreciar su simulador la compantildeiacutea de aviacioacuten si calcula que la vida uacutetil del mismo seraacute de 7 antildeos y que su valor de salvamento seraacute de $50 000

7 iquestCuaacutel seriacutea el valor en libros al cabo de 5 antildeos si aplicara el meacutetodo de liacutenea recta y una tasa de depreciacioacuten de 20 anual

8 Un agricultor compra un tractor con valor de $280 000 Calcula que su vida uacutetil seraacute de 5 antildeos al cabo de los cuales su valor de desecho seraacute 0 Si aplica el meacutetodo de de-preciacioacuten por porcentaje fijo iquestqueacute tasa debe aplicar

9 El agricultor decide vender el tractor al cabo de 3 antildeos al valor que tiene registrado en libros iquestEn queacute precio debe ofrecerlo

10 iquestEn cuaacutento tiempo un equipo de coacutemputo que tuvo un costo de adquisicioacuten de $8 000 tendraacute un valor en libros de $1000 si se utiliza el meacutetodo de depreciacioacuten por porcentaje fijo y se aplica una tasa anual de 50

11 iquestEn queacute precio debe vender su tractor el agricultor del ejercicio 8 si aplica el meacutetodo de liacutenea recta y decide venderlo al valor en libros al final del tercer antildeo

12 Comente los resultados de los ejercicios 9 y 11

105 Meacutetodo de suma de diacutegitosEl meacutetodo de suma de diacutegitos al igual que el del porcentaje fi jo es un meacutetodo acelerado de depreciacioacuten que asigna un cargo mayor a los primeros antildeos de servicio y lo disminuye con

105 Meacutetodo de suma de diacutegitos

el transcurso del tiempo Para determinar el cargo anual se multiplica la base de depreciacioacuten del activo por una fraccioacuten que se obtiene de la siguiente manera

1 Se suman los diacutegitos (suma de diacutegitos) de 1 a n de los antildeos de vida esperada del activo Ejemplo Si un activo tiene una vida esperada de 4 antildeos se suman los diacutegitos enteros co-rrespondientes a los antildeos de servicio esperados 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Esta cifra tambieacuten pue-de determinarse utilizando la siguiente foacutermula

sn n= +( )1

2 (107)

Ejemplo En el caso anterior se tiene

4 4 12

La cifra que asiacute se obtenga seraacute el denominador de la fraccioacuten a depreciar2 Los diacutegitos correspondientes a los antildeos de vida uacutetil del activo se ordenan inversamente al

tiempo y asiacute inversamente se asignan a cada uno de los antildeos de vida uacutetil Eacutestos seraacuten los numeradores de la fraccioacutenEjemplo En el caso del activo con vida de 4 antildeos se tiene

Antildeo 1 2 3 4 Antildeos en orden invertido 4 3 2 1 Suma de diacutegitos s 10 10 10 10

Fraccioacuten que se depreciaraacute 4

3 La fraccioacuten que asiacute se obtenga se multiplica por la base de depreciacioacuten del activo (C minus S) y se obtiene el cargo anual En consecuencia se tiene que

C S1 = minus( ) Dn

1= minus minus hellip( ) Ds

C Sn = minus1( )

y generalizando Dn k

sC Sk = minus + minus1

( ) (108)

La depreciacioacuten acumulada (Ak) se obtiene multiplicando la base de depreciacioacuten (C minus S) por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese antildeo

Ejemplo 1051

Se compra mobiliario de ofi cina con valor de $8 975 Se espera que su vida uacutetil sea de 5 antildeos y que tenga un valor de desecho de $2 000

a) Elaborar la tabla de depreciacioacuten usando el meacutetodo de suma de diacutegitos

Solucioacuten1 Se determina la base de depreciacioacuten

B = C minus S B = 8 975 minus 2 000 B = 6 975

2 Se calcula el denominador de la fraccioacuten (suma de diacutegitos)

n sn n

(( )62

3 Se determinan los numeradores de las fracciones

Antildeo 1 2 3 4 5Numerador 5 4 3 2 1Fraccioacuten 515 415 315 215 115

Cabe destacar que 515 + 415 + 315 + 215 + 115 = 15154 Se multiplica cada fraccioacuten por la base de depreciacioacuten para determinar el cargo de

cada antildeo La tabla de depreciacioacuten correspondiente es la 107Este procedimiento puede simplifi carse con la utilizacioacuten de las foacutermulas (107) y

(108) como se veraacute en el siguiente ejemplo

TABLA 107

Antildeo FraccioacutenBase de

depreciacioacutenDepreciacioacuten

Valor enlibros

0 0 0 0 8 9751 515 6 975 2 325 2 325 6 6502 415 6 975 1860 4185 4 7903 315 6 975 1395 5 580 3 3954 215 6 975 930 6 510 2 4655 115 6 975 465 6 975 2 000

Ejemplo 1052

Resolver el ejemplo 1031 utilizando el meacutetodo de suma de diacutegitos El costo del equipo es de $16 000 su vida uacutetil de 4 antildeos y su valor de desecho de $2 500

SolucioacutenLa base de depreciacioacuten se calcula mediante

B C SBB

= minus= minus=

000 2500500

La suma de diacutegitos se obtiene de la siguiente manera

Los cargos anuales por depreciacioacuten se obtienen por medio de la siguiente foacutermula

k = minus + minus

500) = 5 400

5500) = 4 050

500 2 700

500) = 1350

5 400 + 4 050 + 2 700 + 1350 = 13 500 = C minus S

Con estos elementos se construye la siguiente tabla

TABLA 108

Valor en libros

0 0 0 16 0001 5 400 5 400 10 6002 4 050 9 450 6 5503 2 700 12150 3 8504 1350 13 500 2 500

Ejemplo 1053

Se construye un edifi cio para albergar las ofi cinas de una empresa El costo del terreno fue de $250 000 y el costo de la construccioacuten de $600 000 La vida uacutetil del inmueble se calcula en 20 antildeos y su valor de desecho en $100 000

a) iquestCuaacutel es el valor en libros al cabo de 5 antildeos si se aplica el meacutetodo de suma de diacutegitos

SolucioacutenEn primer lugar se calcula la base de depreciacioacuten

B C SBB

= minus= minus=

600 100500

Observe que se consideroacute uacutenicamente el valor de la construccioacuten pues los terrenos como antes se mencionoacute no se deprecian

El denominador de la fraccioacuten se calcula utilizando la foacutermula (107)

20 212

210La depreciacioacuten acumulada se obtiene por la suma de fracciones de los 5 primeros antildeos multiplicada por la base de depreciacioacuten

20 19 18 17 16210

= + + + +

44 2857143El valor en libros seraacute el resultante de restar al costo original la depreciacioacuten acumulada

V C AVV

k k= minus= minus=

600 214 2857143385 7142857

Asiacute el valor en libros del edifi cio al cabo de 5 antildeos seraacute de $385 71429 El valor total en libros del inmueble seriacutea de $635 71429 ($250 000 del terreno maacutes $385 71429 del edifi cio)

Ventajas

1 Este meacutetodo asigna un cargo mayor de depreciacioacuten a los primeros antildeos de uso del activo

Desventajas

1 No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva

13 Una cooperativa pesquera ha resuelto adquirir un barco para la captura de atuacuten Su costo es de $157 millones y su valor de desecho al cabo de 25 antildeos de vida uacutetil espe-rada seraacute de $15 millones Aplicando el meacutetodo de suma de diacutegitosa) iquestCuaacutel seraacute su valor en libros al cabo de 5 antildeosb) iquestCuaacutel seraacute su valor en libros al cabo de 10 antildeos

14 Un restaurante ha adquirido equipo para la cocina con valor de $12 350 Su vida uacutetil esperada es de 4 antildeos y su valor de desecho igual a 0a) Elabore una tabla de depreciacioacuten utilizando el meacutetodo de suma de diacutegitosb) Compare los resultados utilizando los meacutetodos de liacutenea recta y de porcentaje

fijo15 Un hospital ha comprado equipo para anaacutelisis de laboratorio con valor de $85 550

cuya vida esperada es de 15 antildeos y su valor de desecho seraacute igual a 0a) Elabore una tabla de depreciacioacuten para los primeros 5 antildeos utilizando el meacutetodo

de la suma de diacutegitosb) Determine el valor en libros al cabo de 10 antildeos

16 Un centro deportivo instaloacute un nuevo bantildeo sauna Su costo fue de $145 300 Se calcula que tendraacute una vida uacutetil de 10 antildeos al cabo de los cuales seraacute necesario re-ponerlo para lo cual habraacute que realizar una erogacioacuten adicional de $12 000 inde-pendientemente del costo del nuevo equipoa) iquestCuaacutel es la base de depreciacioacutenb) Determine el valor en libros al cabo de 3 antildeos utilizando el meacutetodo de la suma de

diacutegitosc) iquestCuaacutel seraacute la depreciacioacuten acumulada al cabo de 7 antildeos

106 Meacutetodo por unidad de produccioacuten o servicioAl adquirir un activo se espera que deacute servicio durante un determinado periodo (antildeos diacuteas horas) o bien que produzca una cantidad determinada de kilos toneladas unidades kiloacuteme-tros etc Si se conoce la vida esperada del bien en funcioacuten de estos paraacutemetros puede depre-ciarse de acuerdo con las unidades de produccioacuten o servicio que genera durante un periodo determinado

Ejemplo 1061

Una compantildeiacutea arrendadora de autos adquiere un automoacutevil para su fl otilla con un costode $152 000 La empresa calcula que la vida uacutetil del automoacutevil para efectos de arren-damiento es de 60 000 km y que al cabo de ellos el valor de desecho de la unidad seraacute de 62 000 El kilometraje recorrido por la unidad durante los 3 primeros antildeos fue

Antildeo Kiloacutemetros

1 24 000

2 22 000

3 14 000

a) Determar el monto de depreciacioacuten por kiloacutemetro recorrido b) Elaborar la tabla de depreciacioacuten correspondiente

SolucioacutenEn primer lugar se determina la base de depreciacioacuten

Esta base de depreciacioacuten se distribuye entre los kiloacutemetros ldquouacutetilesrdquo para efectos de arren-damiento con el fi n de encontrar la depreciacioacuten por kiloacutemetro

dkm = 90 00060 000

dkm = $150

La depreciacioacuten por kiloacutemetro es de $150 Conociendo este dato la tabla 109 muestra la depreciacioacuten correspondiente

TABLA 109

AntildeoKiloacutemetros recorridos

Depreciacioacutenanual ($)

Depreciacioacuten acumulada ($)

Valor en libros ($)

0 0 0 0 152 0001 24 000 36 000 36 000 116 0002 22 000 33 000 69 000 83 0003 14 000 21000 90 000 62 000

Ejemplo 1062

Una maacutequina fotocopiadora tiene una vida esperada de 600 000 copias Su costo de ad-quisicioacuten es de $26 000 y su valor de salvamento es de $2 000 El nuacutemero de copias que se sacaron durante 4 antildeos de operacioacuten fue el siguiente

Antildeo 1 Antildeo 2 Antildeo 3 Antildeo 4

180 000 200 000 140 000 80 000

106 Meacutetodo por unidad de produccioacuten o servicio

a) Determinar la depreciacioacuten por copiab) Elaborar la tabla de depreciacioacuten correspondiente

SolucioacutenSe determina la base de depreciacioacuten

B C SBB

minusminus26

24 000000 2 000

Se divide la base de depreciacioacuten entre el nuacutemero de unidades de produccioacuten esperadas

El monto de depreciacioacuten por fotocopia procesada es de $004Con estos datos se elabora la tabla 1010 de depreciacioacuten correspondiente

TABLA 1010

Antildeo FotocopiasDepreciacioacuten

anual ($)Depreciacioacuten

acumulada ($)Valor enlibros ($)

0 0 0 0 26 0001 180 000 7 200 7 200 18 8002 200 000 8 000 15 200 10 8003 140 000 5 600 20 800 5 2004 80 000 3 200 24 000 2 000

Ejemplo 1063

Resolver el ejemplo 1031 utilizando el meacutetodo de unidades de servicio Considerar que el equipo prestoacute servicio durante 3 500 horas el primer antildeo 4 500 el segundo 4 000 el ter-cero y 3 000 el cuarto El costo de adquisicioacuten fue de $16 000 y el valor de desecho es de $2 500 La vida uacutetil esperada es de 4 antildeos

a) Determinar los cargos anuales por depreciacioacuten b) Elaborar la tabla de depreciacioacuten correspondiente

B C SBB

= minus= minus=

000 2500500

El total de horas de vida uacutetil se obtiene asiacute

3 500 + 4 500 + 4 000 + 3 000 = 15 000

La depreciacioacuten por hora de trabajo se determina dividiendo la base de depreciacioacuten en-tre las horas de vida uacutetil

130 90

50015 000

Los cargos anuales por depreciacioacuten pueden verse en la tabla 1011

TABLA 1011

AntildeoHoras detrabajo

Depreciacioacutenacumulada ($)

Valor enlibros ($)

0 0 0 0 16 0001 3 500 3150 3150 12 8502 4 500 4 050 7 200 8 8003 4 000 3 600 10 800 5 2004 3 000 2 700 13 500 2 500

Ventajas

1 Es de faacutecil aplicacioacuten2 Asigna la depreciacioacuten en relacioacuten directa con las unidades de produccioacuten o servicio

que efectivamente se generan durante el periodo de referencia

Desventajas

1 Se requiere experiencia previa para determinar la produccioacuten durante la vida uacutetil del activo

2 No considera los intereses ganados por el fondo de reserva

17 Una universidad adquiere una computadora para dar servicio a sus estudiantes Su costo es de $15 385 y se calcula que tendraacute una vida uacutetil de 5 000 horas al cabo de las cuales su valor de desecho seraacute 0a) Elabore una tabla de depreciacioacuten considerando que se utilicen 1800 horas el

primer antildeo 1700 el segundo y 1500 el tercerob) Determine su valor en libros al cabo de 2 antildeos

18 Un hospital adquiere un equipo de rayos X para dar mejor servicio a sus pacientes Su vida esperada es de 10 000 horas y su costo fue de $192 500 Se calcula que el uso

que se le deacute durante los proacuteximos 5 antildeos se comportaraacute de acuerdo con la siguiente tabla

Antildeo Horas

1 15002 2 0003 2 8004 2 3005 1400

10 000

a) Utilizando el meacutetodo de depreciacioacuten por unidad de servicio elabore la tabla de depreciacioacuten considerando que el valor de desecho seraacute de $10 000

19 Una empresa adquiere un dado para la inyeccioacuten de plaacutestico que tiene una vida esti-mada de 150 000 piezas Su costo es de $27 250 y su valor de desecho es de 0 La tabla que muestra la produccioacuten estimada es la siguiente

Antildeo Unidades

1 25 0002 35 0003 45 0004 45 000

150 000

a) Elabore una tabla de depreciacioacuten utilizando el meacutetodo de depreciacioacuten por uni-dad de produccioacuten

107 Meacutetodo del fondo de amortizacioacutenEste meacutetodo toma en consideracioacuten los intereses que gana el fondo de reserva que se va cons-tituyendo por lo tanto el incremento anual del fondo estaraacute dado por la suma del cargo anual por depreciacioacuten maacutes los intereses ganados en el periodo de referencia

La aportacioacuten anual al fondo de amortizacioacuten se deriva de la foacutermula (41) que se utiliza para determinar el monto de una anualidad

M Ri n

= + minus( )1 1i

Para determinar el pago perioacutedico se despeja R

RMii n

=+ minus(1 1)

En este caso M = B pues es el monto que se debe acumular al cabo de n antildeos a una tasa de intereacutes i y R = D el cargo anual que debe realizarse al fondo

Por lo tanto

Biik n n k

=+ minus

=+ minus( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

Para determinar la depreciacioacuten acumulada Ak calcula el monto de un pago perioacutedico D a un plazo k y a una tasa de intereacutes i por periodo

A Diik

k= + minus( )1 1

(1010)

Donde A Diik

k= + minus( )

n= + minus( )1 1 1

(1011)

El monto acumulado al cabo de n antildeos debe ser igual como ya se sentildealoacute a la base de depre-ciacioacuten del activo

Ejemplo 1071

Se adquiere mobiliario nuevo para un hotel Su costo de adquisicioacuten es de $40 000 y se calcula que tendraacute una vida uacutetil de 5 antildeos al cabo de los cuales su valor de desecho seraacute de 0 El intereacutes vigente es de 35 anual

a) Determinar el cargo anual por depreciacioacuten utilizando el meacutetodo del fondo de amortizacioacuten

b) Elaborar la tabla de depreciacioacuten correspondiente

B = C minus S B = 40 000 minus 0 B = 40 000

Acto seguido mediante la foacutermula (109) se determina el cargo anual por depreciacioacuten

+ minus

=+ minus

401 0 35 1

0000335

448403344

000035

348403344000

D ((010045828)01833D = 4

107 Meacutetodo del fondo de amortizacioacuten

La aportacioacuten que se debe hacer anualmente al fondo de amortizacioacuten es de $4 01833

La tabla 1012 de depreciacioacuten que se elabora es equivalente a la tabla de un fondo de amortizacioacuten pero con la adicioacuten de una columna para anotar el valor en libros

TABLA 1012

AntildeosDepoacutesito

anualIntereses ganados

Depreciacioacuten anual

Depreciacioacuten acumulada

Valor enlibros

0 0 0 0 0 40 000001 4 01833 0 4 01833 4 01833 35 981672 4 01833 140642 5 42475 9 44308 30 556923 4 01833 3 30508 7 32341 16 76648 23 233524 4 01833 5 86827 9 88660 26 65308 13 346925 4 01833 9 32858 13 34691 39 99999 001

Total 20 09165 19 90834 39 99999Las pequentildeas diferencias se deben a redondeo

Como puede observarse en eacutepocas de infl acioacuten y altas tasas de intereacutes el monto de las aportaciones que realiza la empresa es relativamente pequentildeo pues el grueso de la de-preciacioacuten estaacute dado por los intereses que gana el fondo Esta situacioacuten se invierte si los intereses que gana el fondo son bajos

Ejemplo 1072

Resolver el problema anterior considerando una tasa de intereacutes de 10

SolucioacutenLa base de depreciacioacuten es de $40 000 y a partir de ella se calcula D

+ minus

=+ minus

401 0 10 1

0000110

000010

061051000(0163

1 61051 1

D 779748)D = 6551 90

Se elabora la tabla 1013 de depreciacioacuten

TABLA 1013

PeriodoDepoacutesito por

periodoInteresesganados

Depreciacioacutenanual

Depreciacioacutenacumulada

Valor enlibros

0 40 000001 6 55190 mdash 6 55190 6 55190 33 448102 6 55190 65519 7 20709 13 75899 26 241013 6 55190 137590 7 92780 2168679 18 313214 6 55190 216868 8 72058 30 40737 9 592645 6 55190 3 04074 9 59264 40 00001 (000)

Totales 32 75950 7 24051 40 00000 mdashLas pequentildeas diferencias se deben a redondeo

El efecto fi nanciero de los intereses ganados por el fondo de reserva puede ser si las tasas de intereacutes son elevadas muy importante y por ello es conveniente tomarlo en cuen-ta sin embargo cuando las tasas de intereacutes del mercado son bajas el monto de los inte-reses ganados resulta poco importante y se requieren depoacutesitos de mayor valor

Ejemplo 1073

Una sociedad cooperativa adquiere un barco para la pesca del camaroacuten con valor de $5 000 000 Calculan que su vida uacutetil seraacute de 20 antildeos al cabo de los cuales su valor de de-secho seraacute igual a 10 de su costo Deciden depreciarlo utilizando el meacutetodo del fondo de amortizacioacuten y considerar una tasa promedio de intereacutes de 30

a) Determinar el cargo anual por depreciacioacutenb) iquestCuaacutel es la depreciacioacuten acumulada y el valor en libros al cabo de 10 antildeosc) iquestAl cabo de 15 antildeos

Solucioacuten

a) Se determina la base de depreciacioacuten

B = C minus S B = 5 000 000 minus 500 000 B = 4 500 000

Utilizando la foacutermula (109) se calcula el cargo anual por depreciacioacuten

+ minus( )1 120

D =minus

500 000030

(130)20

D =minus

500 000030

(190049638)

D = 4500 000030

189049638 D = 4 500 000(000158688) D = 7 14098

El cargo anual por depreciacioacuten es de $714098b) La depreciacioacuten acumulada al cabo de 10 antildeos se obtiene utilizando la foacutermula

(1010)

A Diik

k= + minus( )1 1

Ak = minus7

14098(1+030)10

Ak = minus7

0 3014098

(1378584918) 1

Ak = 70 30

140981278584918

Ak = 7 14098(4261949728) Ak = $304 34498

El valor en libros se obtiene restando la depreciacioacuten acumulada del costo original

Vk = C minus Ak V10 = 5 000 000 minus 304 34498 V10 = 4 695 65502

c) Al cabo de 15 antildeos se tendraacute

A Diik

k= + minus( )1 1

Ak = + minus7

0 30 10 30

1514098

Ak = minus7 14098

5118589301 1030

Ak = 7 14098(16728631) Ak = 1 194 58819

El valor en libros seraacute

k k= minus= minus=

5 000 000 1194 588 19

3805 11 8

Como puede notarse el fondo se incrementa aceleradamente en los uacuteltimos antildeos debido al crecimiento signifi cativo que tienen los intereses que se acumulan

Ejemplo 1074

Resolver el problema 1031 utilizando el meacutetodo del fondo de amortizacioacuten consideran-do que el fondo gana un intereacutes de 10 El costo de adquisicioacuten es de $16 000 y el valor de desecho de $2 500 al cabo de 4 antildeos

SolucioacutenSe tiene una base de depreciacioacuten de $13 500 ya que

+ minus( )1 1

D =minus

500 010(1 + 010)4

D =minus

13500010

(14641) 1 D = 13 500(027547080) D = 2 90886

La aportacioacuten anual al fondo de amortizacioacuten es de $2 90886 La tabla de depreciacioacuten queda como sigue

TABLA 1014

Valor enlibros

0 16 000001 2 90886 mdash 2 90886 2 90886 13 091142 2 90886 29089 319974 610860 9 891403 2 90886 61086 3 51972 9 62832 6 371694 2 90886 96283 3 87169 13 50001 2 50000

Totales 1163544 186458 13 50000Las diferencias se deben al redondeo

20 Una oficina gubernamental adquiere equipo con valor de $428 280 para medir la con-taminacioacuten ambiental Su vida uacutetil esperada es de 5 antildeos y su valor de desecho de 0a) Elabore una tabla de depreciacioacuten por el meacutetodo del fondo de amortizacioacuten con-

siderando que la tasa de intereacutes es de 6 anual

21 Un ayuntamiento adquiere un camioacuten recolector de basura para el servicio de la ciu-dad Su costo es de $382 850 y su vida uacutetil esperada es de 7 antildeos al cabo de los cuales tendraacute un valor de desecho de 0a) Determine el cargo anual por depreciacioacuten utilizando el meacutetodo del fondo de

amortizacioacuten si la tasa de intereacutes vigente es de 14b) iquestCuaacutel seraacute su valor en libros al cabo de 5 antildeosc) iquestCuaacutel seraacute la depreciacioacuten acumulada al cabo de 6 antildeos

22 Una empresa productora de papel adquiere maquinaria con valor de $780 000 Decide depreciarla utilizando el meacutetodo del fondo de amortizacioacuten considerando que su vida uacutetil seraacute de 15 antildeos y su valor de desecho de $150 000 a) Determine las aportaciones que debe hacer el fondo si los intereses son de 5 b) Si son de 10 c) Si son de 20 d) iquestCuaacutel es el monto de las aportaciones de la empresa y cuaacutel el de los intereses ge-

nerados por el fondo en cada uno de los 3 casos anteriores23 Una lavanderiacutea adquiere equipo nuevo con valor de $18 000 cuya vida uacutetil es de 10

antildeos y su valor de desecho de $1000 a) Considerando una tasa de intereacutes de 95 determine la aportacioacuten anual al fon-

do de amortizacioacuten b) Calcule la depreciacioacuten acumulada y el valor en libros al cabo de 4 antildeos c) Si se decidiera vender el equipo de acuerdo con su valor en libros al cabo de 6

antildeos iquestcuaacutento deberiacutea pedir por eacutel24 Un aeropuerto adquiere equipo con valor de 450 000 doacutelares para iluminacioacuten de pistas

La vida esperada del mismo es de 5 antildeos y su valor de desecho de 0 Si la empresa desea constituir un fondo de amortizacioacuten en doacutelares a) Determine los cargos anuales por depreciacioacuten considerando intereses anuales

netos de 5 10 y 15 b) Elabore la tabla del fondo de amortizacioacuten bajo el supuesto de un intereacutes de 8

108 Depreciacioacuten en eacutepocas infl acionariasAl inicio de este capiacutetulo se mencionoacute que dos son los objetivos de la depreciacioacuten

1 Determinar el costo real de los bienes o servicios que se generan con un activo y2 Establecer un fondo de reserva que permita reemplazarlos al fi nal de su vida uacutetil

En eacutepocas infl acionarias el raacutepido incremento de los precios de todos los bienes y servi-cios impiden que un sistema de depreciacioacuten basada en costos histoacutericos cumpla con los obje-tivos arriba mencionados pues si la base de depreciacioacuten se mantiene sin actualizar los precios de los bienes no revelaraacuten los costos actuales de produccioacuten ni el fondo que se establezca per-mitiraacute reemplazar al bien

En esta seccioacuten se haraacuten algunas consideraciones con respecto a los problemas arriba mencionados y se presentaraacuten alternativas para el tratamiento fi nanciero de la depreciacioacuten

1081 El valor de reposicioacuten

Cuando las organizaciones enfrentan situaciones de alta infl acioacuten sus encargados de fi nanzas tienen una gran responsabilidad hacerlas productivas descontando el efecto de la infl acioacuten Una empresa puede mostrar utilidades en sus estados fi nancieros pero si el porcentaje de incremen-to que presenta de un antildeo a otro no compensa la peacuterdida del poder adquisitivo ocasionada porla infl acioacuten estaacute sufriendo peacuterdidas en teacuterminos reales Si a ello se auacutena el hecho de que tales utilidades aparentes se reparten entre los accionistas lo que sucederaacute es que la empresa se des-capitalizaraacute y que en pocos antildeos afrontaraacute serios problemas de liquidez que pueden llevarla in-cluso a la quiebra

Por lo tanto un elemento que deberaacute actualizarse en forma constante es la depreciacioacuten para efectos fi nancieros

Para hacerlo se usa el concepto de valor de reposicioacuten esto es el importe que se necesitaraacute des-embolsar en el futuro para reponer un activo que se encuentra en servicio en un momento deter-minado Este caacutelculo resulta complejo pues infl uyen varios factores

a) La vida uacutetil esperada del activob) La obsolescencia del activoc) La tasa de infl acioacuten esperada

a) Vida uacutetil esperada del activo Son los antildeos durante los cuales se considera que el activo podraacute funcionar rentablemente

b) La obsolescencia del activo Si bien un activo puede tener una vida uacutetil de 10 antildeos puede ser que el avance tecnoloacutegi-co haga necesario su cambio con anterioridad al aparecer equipos que cumplan la misma funcioacuten con un costo sensiblemente menor

c) La tasa de infl acioacuten esperada Para poder conocer el valor de reposicioacuten de un activo es necesario calcular la infl acioacuten promedio esperada para los antildeos de vida uacutetil Este caacutelculo es cada vez maacutes complejo pues la variabilidad de las poliacuteticas econoacutemicas de los paiacuteses su interdependencia global cada vez mayor y la presencia de variables ajenas al control de ellas hace muy difiacutecil predecir el comportamiento de esta variable en el mediano plazo (3 a 5 antildeos) y praacutecticamente im-posible en el largo plazo

A pesar de estas difi cultades es necesario realizar los esfuerzos necesarios para calcular dicho valor de reposicioacuten en el entendido de que se trata de valores esperados que seraacuten ajus-tados cada vez que se requiera

Una vez conocidos los datos anteriores el caacutelculo del valor de reposicioacuten es sencillo

Ejemplo 1081

iquestCuaacutel es el valor de reposicioacuten de un equipo cuyo costo de adquisicioacuten es de $5 000 si su vida uacutetil esperada es de 4 antildeos y se preveacute que la infl acioacuten anual promedio seraacute de 30

108 Depreciacioacuten en eacutepocas infl acionarias

SolucioacutenSe aplica la foacutermula del monto a intereacutes compuesto y se obtiene

M = C(1 + i)n

M = 5 000(1 + 030)4

M = 5 000(28561) M = 14 28050

El valor de reposicioacuten esperado en 4 antildeos es de $14 28050

Ejemplo 1082

Si el valor de estos equipos ha disminuido 5 cada antildeo en teacuterminos reales como resulta-do de los avances tecnoloacutegicos y de la utilizacioacuten de nuevos materiales maacutes econoacutemicos iquestcuaacutel seriacutea el valor de reposicioacuten esperado

SolucioacutenSi se considera que el equipo tuviera valor constante de $5 000 al cabo de un antildeo su pre-cio seriacutea 5 menor al cabo de dos antildeos 5 y asiacute sucesivamente

Esto puede expresarse matemaacuteticamente como sigue (VRC = valor de reposicioacuten a precios constantes)

VRC = 5 000(095) (095)(095)(095) VRC = 5 000(095)4 = 4 07253125

Al valor que asiacute se obtiene se le aplica la infl acioacuten esperada de 30 durante los proacuteximos 4 antildeos

M = C(1 + i)n

M = 4 07253125(1 + 030)4

M = 4 07253125(28561) M = 1163156

El mismo resultado puede obtenerse si se disminuye el valor de reposicioacuten que se obtuvo en el ejemplo 1081

VR = 14 28050(1 minus 005)4

VR = 14 28050(095)4

VR = 14 28050(081450625) VR = 1163156

Una vez determinado el valor de reposicioacuten se procede a calcular los cargos anuales por depreciacioacuten de acuerdo con los sistemas que ya se explicaron

El valor de reposicioacuten puede calcularse tambieacuten anualmente ajustando los costos his-toacutericos de acuerdo con los iacutendices de infl acioacuten que proporciona el Banco de Meacutexico o me-diante avaluacuteo realizado por peritos Una vez determinado dicho valor tambieacuten se deben ajustar los cargos anuales por depreciacioacuten Estos ajustes y revaluaciones no son admitidos por las autoridades para efectos fi scales pero a pesar de ello es muy necesario que sean con-sideradas para efectos fi nancieros con el fi n de prevenir las consecuencias mencionadas

No es el objetivo desarrollar aquiacute ampliamente este tema pero siacute se desea destacar la importancia que tiene refl ejar en los estados fi nancieros los efectos que produce la infl a-cioacuten con el fi n de contar con informacioacuten veraz para la toma de decisiones

25 iquestCuaacutel es el valor de reposicioacuten de un equipo que tuvo un costo de $73 800 si tiene una vida esperada de 5 antildeos y la inflacioacuten promedio pronosticada es de 15

26 iquestCuaacutel es el valor de reposicioacuten de un automoacutevil cuyo costo es de $135 350 si tiene una duracioacuten esperada de 8 antildeos y la inflacioacuten promedio esperada es de 10 anual

27 iquestCuaacutel seraacute el valor de reposicioacuten de un equipo de coacutemputo que tuvo un costo de $22 000 si tiene una vida esperada de 3 antildeos y debido a los avances tecnoloacutegicos su precio ha venido reducieacutendose en teacuterminos reales 10 anual La inflacioacuten promedio esperada es de 25

109 AplicacionesLas aplicaciones de las depreciaciones son abundantes El meacutetodo que se utiliza con mayor frecuencia es el de liacutenea recta pues como se mencionoacute en el caso mexicano es el uacutenico apro-bado por las autoridades hacendarias las cuales establecen los porcentajes maacuteximos de depre-ciacioacuten que los contribuyentes pueden deducir anualmente

La Ley del Impuesto Sobre la Renta establece lo siguiente con respecto a la depreciacioacuten y amortizacioacuten

Artiacuteculo 37 Las inversiones uacutenicamente se podraacuten deducir mediante la aplicacioacuten en cada ejercicio de los por cientos maacuteximos autorizados por esta Ley sobre el monto original de la inversioacuten con las limi-taciones en deducciones que en su caso establezca esta Ley Trataacutendose de ejercicios irregulares la de-duccioacuten correspondiente se efectuaraacute en el por ciento que represente el nuacutemero de meses completos del ejercicio en los que el bien haya sido utilizado por el contribuyente respecto de doce meseshellip

Artiacuteculo 38 Para los efectos de esta Ley se consideran inversiones los activos fi jos los gastos y cargos di-feridos y las erogaciones realizadas en periodos preoperativos cuyo concepto se sentildeala a continuacioacuten

Activo fi jo es el conjunto de bienes tangibles que utilicen los contribuyentes para la realizacioacuten de sus actividades y que se demeriten por el uso en el servicio del contribuyente y por el transcurso del tiempo La adquisicioacuten o fabricacioacuten de estos bienes tendraacute siempre como fi nalidad la utilizacioacuten de los mismos para el desarrollo de las actividades del contribuyente y no la de ser enajenados dentro del cur-so normal de sus operaciones

(Re) Gastos diferidos son los activos intangibles representados por bienes o derechos que permitan reducir costos de operacioacuten mejorar la calidad o aceptacioacuten de un producto usar disfrutar o explotar un bien por un periodo limitado inferior a la duracioacuten de la actividad de la persona moral Tambieacuten se consideran gastos diferidos los activos intangibles que permitan la explotacioacuten de bienes del dominio puacute-blico o la prestacioacuten de un servicio puacuteblico concesionado

Cargos diferidos son aquellos que reuacutenan los requisitos sentildealados en el paacuterrafo anterior excepto los relativos a la explotacioacuten de bienes del dominio puacuteblico o a la prestacioacuten de un servicio puacuteblico conce-sionado pero cuyo benefi cio sea por un periodo ilimitado que dependeraacute de la duracioacuten de la actividad de la persona moral

109 Aplicaciones

Erogaciones realizadas en periodos preoperativos son aquellas que tienen por objeto la investigacioacuten y el desarrollo relacionados con el disentildeo elaboracioacuten mejoramiento empaque o distribucioacuten de un pro-ducto asiacute como con la prestacioacuten de un servicio siempre que las erogaciones se efectuacuteen antes de que el contribuyente enajene sus productos o preste sus servicios en forma constante Trataacutendose de industrias extractivas estas erogaciones son las relacionadas con la exploracioacuten para la localizacioacuten y cuantifi cacioacuten de nuevos yacimientos susceptibles de explotarse

Artiacuteculo 39 Los por cientos maacuteximos autorizados trataacutendose de gastos y cargos diferidos asiacute como para las erogaciones realizadas en periodos preoperativos son los siguientes

I 5 para cargos diferidos II 10 para erogaciones realizadas en periodos preoperativos III 15 para regaliacuteas para asistencia teacutecnica asiacute como para otros gastos diferidos a excepcioacuten de los

sentildealados en la fraccioacuten IV del presente artiacuteculo IV En el caso de activos intangibles que permitan la explotacioacuten de bienes del dominio puacuteblico o la

prestacioacuten de un servicio puacuteblico concesionado el por ciento maacuteximo se calcularaacute dividiendo la unidad entre el nuacutemero de antildeos por los cuales se otorgoacute la concesioacuten el cociente asiacute obtenido se multiplicaraacute por cien y el producto se expresaraacute en por ciento

En el caso de que el benefi cio de las inversiones a que se refi eren las fracciones II y III de este artiacutecu-lo se concrete en el mismo ejercicio en el que se realizoacute la erogacioacuten la deduccioacuten podraacute efectuarse en su totalidad en dicho ejercicio

Trataacutendose de contribuyentes que se dediquen a la explotacioacuten de yacimientos de mineral eacutestos podraacuten optar por deducir las erogaciones realizadas en periodos preoperativos en el ejercicio en que las mismas se realicen Dicha opcioacuten deberaacute ejercerse para todos los gastos preoperativos que correspondan a cada yacimiento en el ejercicio de que se trate

Artiacuteculo 40 Los por cientos maacuteximos autorizados trataacutendose de activos fi jos por tipo de bien son los siguientes

I Trataacutendose de construcciones

a) 10 para inmuebles declarados como monumentos arqueoloacutegicos artiacutesticos histoacutericos o patrimoniales conforme a la Ley Federal sobre Monumentos y Zonas Arqueoloacutegicos Artiacutesticos e Histoacutericos que cuenten con el certifi cado de restauracioacuten expedido por el Instituto Nacional de Antropologiacutea e Historia o el Instituto Nacional de Bellas Artes

b) 5 en los demaacutes casos

II Trataacutendose de ferrocarriles

a) 3 para bombas de suministro de combustible a trenesb) 5 para viacuteas feacuterreasc) 6 para carros de ferrocarril locomotoras armones y autoarmonesd) 7 para maquinaria niveladora de viacuteas desclavadoras esmeriles para viacuteas gatos de motor

para levantar la viacutea removedora insertadora y taladradora de durmientese) 10 para el equipo de comunicacioacuten sentildealizacioacuten y telemando

III 10 para mobiliario y equipo de ofi cina IV 6 para embarcaciones V Trataacutendose de aviones

a) 25 para los dedicados a la aerofumigacioacuten agriacutecolab) 10 para los demaacutes

VI 25 para automoacuteviles autobuses camiones de carga tractocamiones y remolques VII 30 para computadoras personales de escritorio y portaacutetiles servidores impresoras lectores

oacutepticos grafi cadores lectores de coacutedigo de barras digitalizadores unidades de almacenamiento externo y concentradores de redes de coacutemputo

VIII 35 para dados troqueles moldes matrices y herramental IX 100 para semovientes vegetales maacutequinas registradoras de comprobacioacuten fi scal y equipos

electroacutenicos de registro fi scal

X Trataacutendose de comunicaciones telefoacutenicas

a) 5 para torres de transmisioacuten y cables excepto los de fi bra oacutepticab) 8 para sistemas de radio incluyendo equipo de transmisioacuten y manejo que utiliza el espec-

tro radioeleacutectrico tales como el de radiotransmisioacuten de microonda digital o analoacutegica to-rres de microondas y guiacuteas de onda

c) 10 para equipo utilizado en la transmisioacuten tales como circuitos de la planta interna que no forman parte de la conmutacioacuten y cuyas funciones se enfocan hacia las troncales que llegan a la central telefoacutenica incluye multiplexores equipos concentradores y ruteadores

d) 25 para equipo de la central telefoacutenica destinado a la conmutacioacuten de llamadas de tecno-logiacutea distinta a la electromecaacutenica

e) 10 para los demaacutes

XI Trataacutendose de comunicaciones satelitales

a) 8 para el segmento satelital en el espacio incluyendo el cuerpo principal del sateacutelite los transpondedores las antenas para la transmisioacuten y recepcioacuten de comunicaciones digitales y anaacutelogas y el equipo de monitoreo en el sateacutelite

b) 10 para el equipo satelital en tierra incluyendo las antenas para la transmisioacuten y recepcioacuten de comunicaciones digitales y anaacutelogas y el equipo para el monitoreo del sateacutelite

(Ad) XII 100 para maquinaria y equipo para la generacioacuten de energiacutea proveniente de fuentes reno-vables

Para los efectos del paacuterrafo anterior son fuentes renovables aquellas que por su naturaleza o mediante un aprovechamiento adecuado se consideran inagotables tales como la energiacutea so-lar en todas sus formas la energiacutea eoacutelica la energiacutea hidraacuteulica tanto cineacutetica como potencial de cualquier cuerpo de agua natural o artifi cial la energiacutea de los oceacuteanos en sus distintas formas la energiacutea geoteacutermica y la energiacutea proveniente de la biomasa o de los residuos Asimismo se con-sidera generacioacuten la conversioacuten sucesiva de la energiacutea de las fuentes renovables en otras formas de energiacutea

Lo dispuesto en esta fraccioacuten seraacute aplicable siempre que la maquinaria y equipo se encuen-tren en operacioacuten o funcionamiento durante un periodo miacutenimo de 5 antildeos inmediatos siguien-tes al ejercicio en el que se efectuacutee la deduccioacuten salvo en los casos a que se refi ere el artiacuteculo 43 de esta Ley Los contribuyentes que incumplan con el plazo miacutenimo establecido en este paacuterra-fo deberaacuten cubrir en su caso el impuesto correspondiente por la diferencia que resulte entre el monto deducido conforme a esta fraccioacuten y el monto que se debioacute deducir en cada ejercicio en los teacuterminos de este artiacuteculo o del artiacuteculo 41 de esta Ley de no haberse aplicado la deduccioacuten del 100 Para estos efectos el contribuyente deberaacute presentar declaraciones complementarias por cada uno de los ejercicios correspondientes a maacutes tardar dentro del mes siguiente a aquel en el que se incumpla con el plazo establecido en esta fraccioacuten debiendo cubrir los recargos y la actualizacioacuten correspondiente desde la fecha en la que se efectuoacute la deduccioacuten y hasta el uacuteltimo diacutea en el que operoacute o funcionoacute la maquinaria y equipo

(Ad) XIII 100 para adaptaciones que se realicen a instalaciones que impliquen adiciones o mejoras al activo fi jo siempre que dichas adaptaciones tengan como fi nalidad facilitar a las personas con capacidades diferentes a que se refi ere el artiacuteculo 222 de esta Ley el acceso y uso de las instalacio-nes del contribuyente

Artiacuteculo 41 Para la maquinaria y equipo distintos de los sentildealados en el artiacuteculo anterior se aplicaraacuten de acuerdo a la actividad en que sean utilizados los por cientos siguientes

I 5 en la generacioacuten conduccioacuten transformacioacuten y distribucioacuten de electricidad en la molienda de granos en la produccioacuten de azuacutecar y sus derivados en la fabricacioacuten de aceites comestibles en el transporte mariacutetimo fl uvial y lacustre

II 6 en la produccioacuten de metal obtenido en primer proceso en la fabricacioacuten de productos de ta-baco y derivados del carboacuten natural

III 7 en la fabricacioacuten de pulpa papel y productos similares en la extraccioacuten y procesamiento de petroacuteleo crudo y gas natural

109 Aplicaciones

IV 8 en la fabricacioacuten de vehiacuteculos de motor y sus partes en la construccioacuten de ferrocarriles y naviacuteos en la fabricacioacuten de productos de metal de maquinaria y de instrumentos profesionales y cientiacutefi cos en la elaboracioacuten de productos alimenticios y de bebidas excepto granos azuacutecar aceites comestibles y derivados

V 9 en el curtido de piel y la fabricacioacuten de artiacuteculos de piel en la elaboracioacuten de productos quiacute-micos petroquiacutemicos y farmacobioloacutegicos en la fabricacioacuten de productos de caucho y de plaacutesti-co en la impresioacuten y publicacioacuten graacutefi ca

VI 10 en el transporte eleacutectrico VII 11 en la fabricacioacuten acabado tentildeido y estampado de productos textiles asiacute como de prendas

para el vestido VIII 12 en la industria minera en la construccioacuten de aeronaves y en el transporte terrestre de carga

y pasajeros Lo dispuesto en esta fraccioacuten no seraacute aplicable a la maquinaria y equipo sentildealada en la fraccioacuten II de este artiacuteculo

IX 16 en el transporte aeacutereo en la transmisioacuten de los servicios de comunicacioacuten proporcionados por teleacutegrafos y por las estaciones de radio y televisioacuten

X 20 en restaurantes XI 25 en la industria de la construccioacuten en actividades de agricultura ganaderiacutea silvicultura y

pesca XII 35 para los destinados directamente a la investigacioacuten de nuevos productos o desarrollo de tec-

nologiacutea en el paiacutes XIII 50 en la manufactura ensamble y transformacioacuten de componentes magneacuteticos para discos du-

ros y tarjetas electroacutenicas para la industria de la computacioacuten XIV 100 en la conversioacuten a consumo de gas natural y para prevenir y controlar la contaminacioacuten

ambiental en cumplimiento de las disposiciones legales respectivas XV 10 en otras actividades no especifi cadas en este artiacuteculo

En el caso de que el contribuyente se dedique a dos o maacutes actividades de las sentildealadas en este artiacutecu-lo se aplicaraacute el por ciento que le corresponda a la actividad en la que hubiera obtenido maacutes ingresos en el ejercicio inmediato anterior

Ejemplo 1091

Determinar de acuerdo con lo establecido en la Ley del Impuesto Sobre la Renta el mon-to maacuteximo de depreciacioacuten anual de una computadora que tuvo un costo de $18 000 si su valor de desecho se considera cero elaborar la tabla de depreciacioacuten correspondiente

Para conocer el monto maacuteximo de depreciacioacuten que autoriza la ley se debe consultar el artiacuteculo 40 que establece los porcentajes de depreciacioacuten aplicables a los activos fi jos que adquiera y utilice una empresa

VII 30 para computadoras personales de escritorio y portaacutetiles servidores impresoras lecto-res oacutepticos grafi cadores lectores de coacutedigo de barras digitalizadores unidades de almace-namiento externo y concentradores de redes de coacutemputo

El monto de la depreciacioacuten anual se determina multiplicando el monto original de la inversioacuten para adquirir el bien por el por ciento establecido en la ley

Dʹ = MOI Dʹ = 18 000 030

Dʹ = 5 400

Una vez conocido el monto maacuteximo de depreciacioacuten anual se procede a elaborar la tabla de depreciacioacuten correspondiente

Valor enlibros

0 0 0 18 0001 5 400 5 400 12 6002 5 400 10 800 7 2003 5 400 16 200 18004 1800 18 000 0

Dado que al fi nalizar el tercer antildeo se ha depreciado ya 90 del valor del equipo en el cuarto antildeo soacutelo se depreciaraacute el saldo restante (1800)

1010 Uso de ExcelEn esta seccioacuten se resuelven algunos de los ejercicios del capiacutetulo mediante el empleo de las foacutermu-las y funciones de Excel las cuales simplifi can la elaboracioacuten de tablas de depreciacioacuten

Cabe sentildealar que una tabla de depreciacioacuten puede elaborarse uacutenicamente con operacio-nes aritmeacuteticas simples aplicando el razonamiento loacutegico como se muestra en los siguientes ejemplos

10101 Meacutetodo de liacutenea recta (seccioacuten 103)

En el ejemplo 1031 se compra un equipo de coacutemputo con valor de $16 000 y se calcula que su vida uacutetil seraacute de 4 antildeos antes de que deba ser reemplazado por un equipo maacutes moderno Su valor de desecho se calcula en $2 500

= = minus

D =minus

=16 000 2500

413500

4 D = 3 375

Con estos datos se puede construir la tabla de depreciacioacuten

Valor enlibros

0 mdash mdash 16 0001 3 375 3 375 12 6252 3 375 6 750 9 2503 3 375 10125 5 8754 3 375 13 500 2 500

1010 Uso de Excel

Para elaborarla se capturan los valores correspondientes a la depreciacioacuten anual y al valor en libros y se incluyen foacutermulas que permiten

a) Repetir la depreciacioacuten por periodo tantas veces como periodos de vida tenga el bienb) Acumular la depreciacioacuten a partir de ceroc) Disminuir el valor en libros conforme se aplica la depreciacioacuten por periodo y se incre-

menta la depreciacioacuten acumulada

Antildeos(A)

Depreciacioacutenanual (B)

Depreciacioacutenacumulada (C)

Valor enlibros (D)

0 0 =+B2 16 0001 3 375 =+C2+B3 =+D2minusB32 =+B3 =+C3+B4 =+D3minusB43 =+B4 =+C4+B5 =+D4minusB54 =+B5 =+C5+B6 =+D5minusB6

10102 Meacutetodo de porcentaje fi jo (seccioacuten 104)

En el ejemplo 1041 una compantildeiacutea compra una camioneta para el reparto de su mercanciacutea en $75 000 Calcula que su vida uacutetil seraacute de cinco antildeos y que al fi nal de ella su valor de desecho seraacute de $10 000

S = C(1 minus d)n

10 000 = 75 000(1 minus d)5

10 00075 000

1 5= minus( )d

0133333 = (1 minus d)5

(0133333)15 = (1 minus d) 0668325 = (1 minus d) d = 1 minus 0668325 d = 0331675

Una vez determinada la tasa de depreciacioacuten que se aplicaraacute anualmente se elabora la tabla correspondiente

Valor enlibros

0 mdash mdash 75 00000 03316751 24 87563 24 87563 5012438 03316752 16 62500 4150063 33 49937 03316753 11 11090 52 61153 22 38847 03316754 7 42570 60 03723 14 96277 03316755 4 96278 65 00000 10 00000 0331675

En este caso los uacutenicos valores que requieren ser capturados son el valor en libros y la tasa de depreciacioacuten El resto de los valores de la tabla se determinaraacute con el uso de foacutermulas como se ilustra a continuacioacuten

Antildeos(A)

Depreciacioacutenanual (C)

Valor enlibros (D)

Tasa dedepreciacioacuten (E)

0 0 =+B2 75 000 03316751 =+D2E2 =+C2+B3 =+D2minusB3 03316752 =+D3E3 =+C3+B4 =+D3minusB4 03316753 =+D4E4 =+C4+B5 =+D4minusB5 03316754 =+D5E5 =+C5+B6 =+D5minusB6 03316755 =+D6E6 =+C6+B7 =+D6minusB7 0331675

10103 Meacutetodo de suma de diacutegitos (seccioacuten 105)

En el ejemplo 1051 se compra mobiliario de ofi cina con valor de $8 975 Se espera que su vida uacutetil sea de 5 antildeos y que tenga un valor de desecho de $2 000

b) Se calcula el denominador de la fraccioacuten (suma de diacutegitos)

Sn n= +( )1

S = =5 62

S = 15

c) Se determinan los numeradores de las fracciones

Antildeo 1 2 3 4 5

Numerador 5 4 3 2 1

Denominador 15 15 15 15 15

Fraccioacuten 515 415 315 215 115

1010 Uso de Excel

Con estos datos se elabora la tabla de depreciacioacuten correspondiente

Antildeos FraccioacutenBase de

Valor enlibros

0 mdash mdash mdash mdash 8 975001 13 6 97500 2 32500 2 32500 6 650002 415 6 97500 186000 418500 4 790003 15 6 97500 139500 5 58000 3 395004 215 6 97500 93000 6 51000 2 465005 115 6 97500 46500 6 97500 2 00000

Es importante destacar que 515 = 13 y 315 = 15 Al capturar dichas fracciones en Excel la hoja de caacutelculo las expresa en su versioacuten maacutes simple Las foacutermulas se ilustran en la siguiente tabla

Antildeos(A)

Fraccioacuten(B)

Base de depreciacioacuten

Valor enlibros

0 0 0 =+B2C2 =D2 8 9751 13 6 975 =+B3C3 =+E2+D3 =+F2minusD32 415 6 975 =+B4C4 =+E3+D4 =+F3minusD43 15 6 975 =+B5C5 =+E4+D5 =+F4minusD54 215 6 975 =+B6C6 =+E5+D6 =+F5minusD65 115 6 975 =+B7C7 =+E6+D7 =+F6minusD7

10104 Meacutetodo por unidad de produccioacuten o servicio (seccioacuten 106)

En el ejemplo 1061 una compantildeiacutea arrendadora de autos adquiere un automoacutevil para su fl o-tilla con un costo de $152 000 La compantildeiacutea calcula que la vida uacutetil del automoacutevil para efectos de arrendamientos es de 60 000 kiloacutemetros al cabo de los cuales el valor de desecho de la uni-dad seraacute de $62 000 El kilometraje recorrido por la unidad durante los 3 primeros antildeos fue

1 24 000

2 22 000

3 14 000

a) Determinar el monto de depreciacioacuten por kiloacutemetro recorridob) Elaborar la tabla de depreciacioacuten correspondiente

Solucioacuten

En primer lugar se determina la base de depreciacioacuten

Esta base de depreciacioacuten se distribuye entre el kilometraje uacutetil para efectos de arren-damiento con el fi n de encontrar la depreciacioacuten por kiloacutemetro

dkm =90 00060 000

dkm = $150

La depreciacioacuten por kiloacutemetro es de $150 Conociendo este dato se procede a elaborar la tabla de depreciacioacuten correspondiente

Antildeos(A)

Kiloacutemetrosrecorridos

Valor enlibros

0 0 mdash mdash 152 0001 24 000 36 000 36 000 116 0002 22 000 33 000 69 000 83 0003 14 000 21000 90 000 62 000

Depreciacioacuten por km 150

En este caso los uacutenicos valores que requieren ser capturados son los kiloacutemetros recorri-dos y el valor en libros El resto de los valores de la tabla se determinaraacute con el uso de foacutermu-las como se ilustra a continuacioacuten

Antildeos(A)

Valor enlibros

0 0 0 =+C2 152 000 21 24 000 =+B3$C$7 =+D2+C3 =+E2minusC3 32 22 000 =+B4$C$7 =+D3+C4 =+E3minusC4 43 14 000 =+B5$C$7 =+D4+C5 =+E4minusC5 5

6Depreciacioacuten por km 15 7

10105 Meacutetodo del fondo de amortizacioacuten (seccioacuten 107)

En el ejemplo 1071 se adquiere mobiliario nuevo para un hotel Su costo de adquisicioacuten es de $40 000 y se calcula que tendraacute una vida uacutetil de 5 antildeos al cabo de los cuales su valor dedesecho seraacute de 0 El intereacutes vigente es de 35 anual

1010 Uso de Excel

a) Determinar el cargo anual por depreciacioacuten utilizando el meacutetodo del fondo de amor-tizacioacuten

Solucioacuten

En primer lugar se calcula la base de depreciacioacuten

Acto seguido utilizando la foacutermula (109) se determina el cargo anual por depreciacioacuten

+ minus( )1 1

B =+ minus

40 0000 35

1 0 35 15

B =minus

40 0000 35

4 48403344 1

B = 40 0000 35

3 48403344

B = 40 000(010045828) B = 401833

La aportacioacuten que se debe hacer anualmente al fondo de amortizacioacuten es de $4 01833La siguiente tabla de depreciacioacuten es equivalente a una tabla de amortizacioacuten pero ade-

maacutes contiene una columna para el valor en libros

anualInteresesganados

Valor enlibros

0 mdash mdash mdash mdash 40 000001 4 01833 mdash 4 01833 4 01833 35 981672 4 01833 140642 5 42475 9 44308 30 556923 4 01833 3 30508 7 32341 16 76648 23 233524 4 01833 5 86827 9 88660 26 65308 13 346925 4 01833 9 32858 13 34691 39 99999 001

Total 20 09165 19 90834 39 99999

Tasa de intereacutes 035Las pequentildeas diferencias se deben a los redondeos

Como puede observarse en eacutepocas de infl acioacuten y altas tasas de intereacutes el monto de las aportaciones que realiza la empresa se reduce pues un alto porcentaje de la depreciacioacuten estaacute

dado por los intereses ganados por el fondo Esta situacioacuten se invierte si los intereses que gana el fondo son bajos

En este caso los uacutenicos valores que requieren ser capturados son el depoacutesito anual la tasa de intereacutes y el costo de adquisicioacuten El resto de los valores de la tabla se determinaraacute con el uso de foacutermulas como se ilustra a continuacioacuten

Antildeos(A)

Depoacutesitoanual

Interesesganados

Valor enlibros

0 0 0 0 0 40 000001 4 01833 =+E2$B$10 =+B3+C3 =+E2+D3 =+F2minusD32 =+B3 =+E3$B$10 =+B4+C4 =+E3+D4 =+F3minusD43 =+B4 =+E4$B$10 =+B5+C5 =+E4+D5 =+F4minusD54 =+B5 =+E5$B$10 =+B6+C6 =+E5+D6 =+F5minusD65 =+B6 =+E6$B$10 =+B7+C7 =+E6+D7 =+F6minusD7

Total =SUMA(B2B7) =SUMA(C2C7) =SUMA(D2D7)

Tasa de intereacutes 035

1011 ResumenEn este capiacutetulo se defi nioacute la depreciacioacuten como la peacuterdida de valor que sufren los activos por el transcurso del tiempo o por el uso que se les da

Se sentildealoacute que la depreciacioacuten tiene dos objetivos baacutesicos

1 Determinar el costo real de los bienes o servicios que genera un activo2 Establecer una reserva que permita reemplazarlos al fi nal de su vida uacutetil

Se estudiaron los meacutetodos maacutes usuales para calcular los cargos anuales por depreciacioacuten

1 Meacutetodo de liacutenea recta2 Meacutetodo de porcentaje fi jo3 Meacutetodo de suma de diacutegitos4 Meacutetodo por unidad de produccioacuten o servicio5 Meacutetodo del fondo de amortizacioacuten

En el momento de decidir cuaacutel meacutetodo debe utilizarse en una situacioacuten concreta debe-raacuten tenerse en cuenta las ventajas y desventajas de cada uno las regulaciones fi scales y los ob-jetivos fi nancieros que se persigan Finalmente se hicieron breves consideraciones sobre el manejo de la depreciacioacuten en eacutepocas infl acionarias entre las cuales se destacoacute la necesidad que existe de ajustar los costos histoacutericos contables y los cargos anuales por depreciacioacuten de acuerdo con el desarrollo que muestre el fenoacutemeno infl acionario para refl ejar de manera ve-raz la situacioacuten econoacutemica de una organizacioacuten y prevenir su posible descapitalizacioacuten

1011 Resumen

bull Comprender el concepto de depreciacioacutenbull Conocer los objetivos de la depreciacioacutenbull Entender el meacutetodo de liacutenea rectabull Explicar el meacutetodo de porcentaje fi jobull Exponer el meacutetodo de suma de diacutegitosbull Comprender el meacutetodo por unidad de produccioacuten o serviciobull Entender el meacutetodo del fondo de amortizacioacutenbull Ser capaz de elaborar tablas de depreciacioacuten en cada uno de los meacutetodosbull Entender la importancia de los ajustes a los costos histoacutericos y los cargos por deprecia-

cioacuten de acuerdo con los efectos infl acionarios que sufra una economiacuteabull Resolver ejercicios de depreciacioacuten utilizando la hoja de caacutelculo de Microsoft reg Excelreg

Meacutetodo de liacutenea recta Meacutetodo de la suma de diacutegitos

nBnk = minus = (101) s

n n= +( )12

Ak = kD (102) Dn k

( ) (108)

Vk = C minus kD (103)

Meacutetodo de porcentaje fi jo Meacutetodo del fondo de amortizacioacuten

Dk = Vk minus 1d (104) DBiik k

=+ minus( )1 1

Vk = C(1 minus d)k (105) A Diik

k= + minus( )1 1 (1010)

S = C(1 minus d)n = Vn (106)

bull Base de depreciacioacutenbull Cargos por depreciacioacutenbull Depreciacioacutenbull Depreciacioacuten acumuladabull Meacutetodo de liacutenea rectabull Meacutetodo de porcentaje fi jobull Meacutetodo de suma de diacutegitosbull Meacutetodo del fondo de amortizacioacuten

bull Meacutetodo por unidad de produccioacuten o servicio

bull Tasa de depreciacioacutenbull Valor de desechobull Valor de reposicioacutenbull Valor de salvamentobull Valor en librosbull Vida uacutetil

1 Una empresa de televisioacuten coloca en oacuterbita un sateacutelite de comunicaciones con un costo de $20 000 000 La vida esperada del sateacutelite es de 5 antildeos al cabo de los cuales su valor de desecho seraacute de 0

a) Elabore una tabla de depreciacioacuten utilizando el meacutetodo de liacutenea recta 2 Resuelva el problema 1 con el meacutetodo de porcentaje fijo 3 Resuelva el problema 1 utilizando el meacutetodo de suma de diacutegitos 4 Resuelva el problema 1 con el meacutetodo del fondo de amortizacioacuten 5 Una maacutequina estampadora tiene una vida esperada de 1000 000 de piezas Se adquirioacute

hace 4 antildeos y tuvo un costo de $32 500 Su valor de desecho al cabo de la produccioacuten arri-ba mencionada seraacute de $0 La bitaacutecora de operaciones de la maacutequina muestra los siguien-tes datos

Antildeos Produccioacuten

1 80 0002 230 0003 320 0004 280 000

a) Elabore la tabla de depreciacioacuten hasta la fecha utilizando el meacutetodo por unidad de produccioacuten

b) Determine el valor en libros actual 6 Resuelva el problema 5 con base en una vida uacutetil de 5 antildeos utilizando el meacutetodo de liacutenea

recta 7 Resuelva el problema 5 con el meacutetodo de suma de diacutegitos considerando una vida uacutetil de

5 antildeos 8 Resuelva el problema 5 utilizando el meacutetodo de porcentaje fijo 9 Resuelva el problema 5 utilizando el meacutetodo del fondo de amortizacioacuten y dada una tasa

de intereacutes de 610 Resuelva el problema 5 con el meacutetodo del fondo de amortizacioacuten y dada una tasa de in-

tereacutes de 10

httpwwwgvaesimpivaserviciospublicaedicionscontab1htmlPaacutegina que proporciona los conceptos de amortizacioacuten y depreciacioacuten asiacute como sus causas y los distintos meacutetodos para calcularlas

httpwwwsoitaveorgmetodomexhtmPaacutegina que hace referencia a la Unioacuten Panamericana de Asociaciones de Valuacioacuten En ella se muestra la aplicacioacuten de la depreciacioacuten para determinar el valor de bienes usados de acuer-do con el meacutetodo desarrollado por la Sociedad Mexicana de Ingenieriacutea y Costos

Matemaacuteticas en internet Depreciacioacuten

wwweloutfsmclramosIngEcoApuntes4pptPresentacioacuten en Power Point que contiene apuntes sobre los temas de amortizacioacuten y depreciacioacuten

httpduncanwilcoukdeprhtmPaacutegina que contiene los conceptos baacutesicos de la depreciacioacuten con instrucciones para utili-zar la hoja de caacutelculo para elaborar las tablas correspondientes a los distintos meacutetodos ahiacute explicados

httpwwwcomputerworldcomcwistory01199NAV47-68-85-1950-1974_STO3729200htmlDefi niciones de depreciacioacuten y amortizacioacuten (ingleacutes)

httpwwwbusinesstowncomaccountingbasic-depreciationaspConcepto de depreciacioacuten

Probabilidades y tablas de mortalidad

bull Definir el concepto de probabilidadbull Distinguir entre probabilidad matemaacutetica y

probabilidad estadiacutesticabull Comprender el concepto de esperanza mate-

maacuteticabull Calcular el valor presente de un pago contin-

gentebull Utilizar las tablas de mortalidadbull Resolver ejercicios de probabilidades y tablas

de mortalidad mediante el empleo de la hoja de caacutelculo de Microsoftreg Excelreg

Objetivos 111 Introduccioacuten 112 Concepto de probabilidad 113 Probabilidad matemaacutetica 114 Probabilidad estadiacutestica 115 Esperanza matemaacutetica 116 Valor actual de un pago contingente 117 Tablas de mortalidad 118 Aplicaciones 119 Uso de Excelreg

1110 Resumen

Temario

CAPIacuteTULO11

CAPIacuteTULO 11 PROBABILIDADES Y TABLAS DE MORTALIDAD446

111 IntroduccioacutenEl riesgo ha sido un compantildeero permanente del hombre desde sus primeras eacutepocas A fi n de conocerlo y manejarlo se han desarrollado la estadiacutestica y la probabilidad como ciencias matemaacuteticas que ayudan al hombre a evaluarlo En este capiacutetulo se haraacute una breve introduc-cioacuten a la probabilidad y se expondraacuten sus aplicaciones en el caacutelculo de pagos contingentes Asimismo se presentaraacuten las tablas de mortalidad las cuales muestran las probabilidades de vida y de muerte de una poblacioacuten por grupos de edad

112 Concepto de probabilidadEn diversas circunstancias todas las personas han tenido que enfrentarse con situaciones cuyo resultado estaacute determinado por el azar arrojar una moneda al aire y adivinar cuaacutel cara que-daraacute hacia arriba o adivinar queacute nuacutemero resultaraacute al arrojar un par de dados determinar queacute equipo resultaraacute ganador en el juego el proacuteximo domingo o estimar si una persona de 30 antildeos viviraacute para jubilarse a los 65 Todos estos casos estaacuten regidos por el azar y sus resultados no pueden predecirse con exactitud Implican un riesgo

Sin embargo existe una diferencia entre los cuatro ejemplos que se mencionan arriba en los dos primeros casos puede determinarse el nuacutemero de eventos posibles La relacioacuten entre ambos daraacute como resultado una probabilidad matemaacutetica o teoacuterica En los otros dos casos es necesario recurrir a la informacioacuten disponible sobre lo que ha sucedido en eventos anteriores a fi n de estimar el posible comportamiento de los equipos que se enfrentaraacuten el domingo o para determinar el nuacutemero de personas de 30 antildeos que sobrevivieron hasta los 65 El resulta-do que se obtiene de esta manera se conoce como probabilidad estadiacutestica o empiacuterica

113 Probabilidad matemaacuteticaSi un evento puede ocurrir en n distintas pero igualmente posibles maneras y si a de esas ma-neras son consideradas aciertos o casos favorables en tanto que las otras ƒ = n minus a son con-sideradas fallas o fracasos entonces la probabilidad de acierto en un experimento dado estaacute defi nida por la razoacuten entre el nuacutemero de casos favorables y un nuacutemero total de casos es decir

= (111)

y la probabilidad de que el evento no ocurra estaacute defi nida por la razoacuten entre el nuacutemero de fra-casos y el nuacutemero total de casos

= (112)

a fa fa f

y por lo tanto

p = 1 minus q (113) y q = 1 minus p (114)

Se dice entonces que p y q son subconjuntos complementarios de un espacio muestral Si un evento ocurre siempre de manera inevitable se dice que p(E) = 1 si el evento nunca ocu-rre se dice que p(E) = 0

Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos im-pide totalmente la ocurrencia de cualquiera otro Por ejemplo al lanzar un dado que salga 1 excluye automaacuteticamente la ocurrencia de cualquier otro nuacutemero Asiacute dada una cantidad n de eventos mutuamente excluyentes E1 E2hellip En la probabilidad de ocurrencia de cualquiera de los eventos (E1 o E2 o hellip En) es igual a la suma de sus respectivas probabilidades individuales

p(E1 o E2 o hellip En) = p(E1) + p(E2) + hellip + p(En) (115)

Se dice que los eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no tiene nin-guacuten efecto en la ocurrencia de los otros eventos El resultado de sucesivos lanzamientos de un dado es un ejemplo de eacutestos el resultado de un lanzamiento no tienen ninguacuten efecto en el re-sultado siguiente La probabilidad de ocurrencia de n eventos independientes E1 E2hellip En es el producto de las probabilidades de los eventos individuales

p(E1 y E2 y hellip En) = p(E1) times p(E2) times hellip times p(En) (116)

Ejemplo 1131

Determinar la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado a) el resultado sea 1 b) el resultado sea un nuacutemero non

Solucioacutena) El nuacutemero de caras de un dado es 6 El nuacutemero de resultados favorables a es 1 por

lo tanto el nuacutemero de resultados desfavorables f es 5 por ello

b) En este segundo caso los resultados que se consideran como aciertos son 3 (1 3 y 5) y los resultados que se consideran como fallas son tambieacuten 3

= =33 3

113 Probabilidad matemaacutetica

Alternativamente puede considerarse que la probabilidad de obtener 1 es de 16

obtener 3 es tambieacuten 16

y la de obtener un 5 es 16

Aplicando la foacutermula (115)

p E E E p E p E p E

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3

o 3 o 5)

= + ++ = =16

Ejemplo 1132

Determinar la probabilidad de obtener en la extraccioacuten de una baraja de 52 cartas

a) Un asb) En dos extracciones consecutivas dos ases

Solucioacutena) El nuacutemero de resultados favorables es de 4 pues hay 4 ases por lo que

= = =452

b) En este segundo caso se trata de dos eventos dependientes En la primera extraccioacuten la probabilidad de obtener un as es como se vio arriba p

= = =452

En la segunda extraccioacuten sin embargo el nuacutemero de eventos favorables es de 3 en el supuesto caso de que en la primera se hubiese extraiacutedo un as y el nuacutemero total de even-tos posibles es de 51 Por lo tanto

P E( )23

La probabilidad de que se den ambos eventos sucesivamente se determina por la foacutermula (116) p(E1 y E2) = p(E1) times p(E2)

p As As( )y652

= times = = =452

Ejemplo 1133

iquestCuaacutel es la probabilidad de que las 2 primeras extracciones de una baraja no sean ases

SolucioacutenEn este caso se estaacute preguntando por el suceso de dos eventos desfavorables Por (114) se tiene

q p= minus1

En el primer evento

q E( )1 14

524852

= minus = =

En el segundo evento

q E( )2 1451

= minus =

Por lo tanto la probabilidad de falla en el primero y falla en el segundo es q(E1 y E2) = q(E1) times q(E2)

q As As( )y = times = =1213

564663

188221

Ejemplo 1134

iquestCuaacutel es la probabilidad de que de las dos primeras extracciones de una baraja una sea as y la otra sea una carta diferente

SolucioacutenEstos eventos pueden presentarse de dos formas

a) As y otra cartab) Otra carta y as

En el primer caso la probabilidad es

Dado que la primera carta fue as el nuacutemero de cartas distintas al as permanece sin cam-bios (48) para la segunda extraccioacuten

La probabilidad de ambos eventos

p As( )y otra = times = =113

En el segundo caso la probabilidad es

otra) = =

Dado que la primera carta fue distinta al as los 4 ases permanecen en la barajaLa probabilidad de ambos eventos

p(otra y As) = times = =1213

Ya que ambos casos son igualmente vaacutelidos (un as y otra o bien otra y un as) sus respec-tivas probabilidades se suman

p A B p A p B

( ) ( ) ( )

= + =48663

966633

En estos tres ejemplos hemos visto todas las posibles maneras en que pueden ser ex-traiacutedas las dos primeras cartas de una baraja

a) Dos ases p = =3663

b) Dos cartas distintas de ases p = =564663

188221

c) Un as y una carta distinta p = =96663

Todos estos eventos forman lo que se denomina el universo del experimento y la suma de sus probabilidades es igual a 1 pues ineludiblemente deberaacute ocurrir alguno de ellos

p A B C( )o o = + + = =1221

188221

221221

114 Probabilidad estadiacutesticaSi se ha observado que cierto evento E sucede a veces en n pruebas la razoacuten an es defi nida como la probabilidad estadiacutestica o empiacuterica de que el mismo resultado ocurra en una prueba futura La confi abilidad que pueda otorgarse a los resultados que asiacute se obtengan dependeraacute en gran medida del nuacutemero de observaciones que se hayan hecho a mayor nuacutemero mayor seraacute la confi anza que se les pueda dar Si en una escuela se ha observado que el iacutendice de desercioacuten durante los uacuteltimos 15 antildeos ha sido de 10 es razonable esperar que de la nueva generacioacuten 1 de cada 10 estudiantes no concluya sus estudios

La razoacuten an es tambieacuten conocida como frecuencia relativa de un evento

Ejemplo 1141

De acuerdo con las estadiacutesticas del departamento de traacutensito durante el uacuteltimo antildeo hubo 12 005 accidentes viales de los cuales 686 se debieron a exceso de velocidad Si durante el primer mes de este antildeo se reportaron 1050 accidentes iquestcuaacutentos puede esperarse que se deban a exceso de velocidad

SolucioacutenUtilizando la informacioacuten estadiacutestica del antildeo anterior se tiene que la probabilidad de ac-cidentes debidos a excesos de velocidad es

p = =68612

0 05714286005

Por lo tanto estimando el nuacutemero de accidentes por exceso de velocidad se tiene

1 050(005714286) = 60

Ejemplo 1142

Los registros que lleva un hospital especializado en el tratamiento del caacutencer muestran que de un grupo de 800 personas a quienes se les detectoacute la enfermedad en un estado temprano 720 sobrevivieron al menos 10 antildeos Si el hospital alberga actualmente 120 en-fermos en esas condiciones

a) iquestcuaacutentos de ellos se espera sobreviviraacuten al menos 10 antildeos yb) iquestcuaacutel es la probabilidad de que mueran antes de 10 antildeos

SolucioacutenDe sus registros se tiene que

= = =720800

Por lo tanto es razonable esperar que 90 de los enfermos vivan al menos 10 antildeos

120(090) = 108 enfermos

La probabilidad de que mueran se determina por la foacutermula (104)

= minus= minus =

11 0 90 0 10

1 De una caja que contiene 5 bolas blancas 10 bolas rojas y 6 azules se extrae una bola al azar iquestCuaacutel es la probabilidad de que la bola extraiacuteda a) sea blanca b) no sea roja c) sea blanca o azul

2 De una baraja de 52 cartas se extrae una carta al azar iquestCuaacutel es la probabilidad de que la carta extraiacuteda sea a) el rey de diamantes b) una reina c) un corazoacuten d) una figura roja e) una carta de menor valor que el rey

3 En un juego de dados la casa gana si la suma de los nuacutemeros de ambos dados es 7 a) iquestCuaacutel es la probabilidad que tiene un jugador de ganarle a la casa si apuesta a un solo nuacutemero b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que pierda

4 iquestCuaacutel es la probabilidad de obtener en un juego con 2 dadosa) 3 nuacutemeros pares seguidosb) 3 veces seguidas doble 6

5 iquestCuaacutel es la probabilidad de extraer de una barajaa) 4 ases en las primeras 4 extraccionesb) 3 ases y 1 reyc) 2 ases y 2 reyes

6 Un equipo de futbol ha ganado 40 de sus 50 uacuteltimos partidos Determine la probabi-lidad de que a) gane su proacuteximo partido b) gane 3 partidos seguidos c) gane 2 de sus 3 siguientes partidos d) gane sus 2 partidos y pierda el tercero e) gane al menos 2 de sus 5 siguientes partidos

7 Los registros de una universidad muestran que las calificaciones que obtuvieron sus estudiantes en los uacuteltimos 3 antildeos se han distribuido de la siguiente manera

MB 10 B 30 S 20 NA 40

Bajo el supuesto de que son eventos independientes iquestcuaacutel es la probabilidad de que a) todos los estudiantes de los 3 grupos de primer ingreso aprueben los cursos b) todos los estudiantes reprueben todos los cursos

8 La probabilidad de vida de 3 enfermos en un hospital es

Paciente A = 15

paciente B = 34

paciente C = 810

Considerando que las muertes de estos enfermos son eventos independientes iquestcuaacutel es la probabilidad de quea) los 3 enfermos mueranb) los 3 enfermos sobrevivanc) al menos uno de ellos sobreviva

9 Considere los siguientes datos

EdadProbabilidad de

sobrevivir 10 antildeos

30 91040 81050 710

Determinea) La probabilidad de que una persona de 30 antildeos viva hasta los 60b) La probabilidad de que muera entre los 40 y los 50 antildeosc) La probabilidad de que muera entre los 50 y los 60 antildeos

115 Esperanza matemaacuteticaSi p es la probabilidad de que una persona reciba cierta cantidad M entonces el producto pM seraacute una esperanza matemaacutetica

E M pM( ) =

Ejemplo 1151

En una fi esta anual de una empresa se sortean $100 000 entre los asistentes iquestCuaacutel es la es-peranza matemaacutetica de cada uno de ellos si se depositaron 80 boletos en la urna

SolucioacutenLa probabilidad p de cada empleado es

por lo tanto la esperanza matemaacutetica es180

100( 000) = $1250

Ejemplo 1152

Se sortean $10 000 000 en un juego de loteriacutea a) iquestCuaacutel es la esperanza matemaacutetica de una persona que compra un billete si se emiten 50 000 nuacutemeros b) iquestCuaacutel es la esperanza mate-maacutetica si compra 2 nuacutemeros

Solucioacuten a) La probabilidad p de obtener el premio es de

150 000

mientras que la esperanza matemaacutetica

pM = 150

10 0000

00 000) = $200(

b) Si compra dos boletos p = =250

125000 000

E M pM( ) (= = 125

000 000) = $400

Si un experimento puede tener diversos resultados y cada uno de ellos conlleva un distin-to monto de ingresos M entonces M adoptaraacute los valores M1 y M2 hellip con probabilidades de ocurrencia p(M2)hellip La esperanza matemaacutetica o valor medio esperado de M seraacute

E M M p M M p M M p M M p Mn n( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + +hellip1 1 2 2 3 3

115 Esperanza matemaacutetica

En el caso de que existan N diversos resultados que conlleven el mismo monto de ingresos entonces

E MM M M M

Nn( ) =

+ + +1 2 3 hellip

Ejemplo 1153

En una ruleta con 50 nuacutemeros se han colocado 11 premios 1 de $100 2 de $50 3 de $20 y 5 de $10 iquestCuaacutel es la esperanza matemaacutetica de cada jugador

SolucioacutenLa probabilidad de ocurrencia de cada uno de los premios es distinta

E M M p M M p M M p M

( ) ( ) ( ) ( )

= + + +hellip

1 1 2 2 3 3

2 2 1 2 1 6 2

= + + + =E M( )

Ejemplo 1154

Si el costo de los boletos para la ruleta del ejercicio anterior es de $10 iquestcuaacutel es el valor de la esperanza matemaacutetica

SolucioacutenSe ha determinado ya el valor de la esperanza matemaacutetica de los ingresos ($620) y ahoraresta por determinar el valor de la esperanza matemaacutetica del pago la probabilidad de

perder q es de 3950

E M( ) = =103950

Este valor se resta de la esperanza matemaacutetica de los ingresos y se tiene el valor de la esperanza matemaacutetica del experimento

E M( ) = minus = minus6 20 7 80 1 60

La esperanza matemaacutetica de una persona que entre al juego pagando $10 es una peacuter-dida de $160

Ejemplo 1155

Se organiza una rifa entre 25 personas Los premios ofrecidos son 1 de $50 2 de 20 y 3 de 10Los perdedores cubriraacuten iacutentegramente los premios de los ganadores iquestCuaacutel es la can-

tidad que debe aportar cada perdedor

SolucioacutenLa esperanza matemaacutetica del experimento es

E M M p M M p M

( ) ( ) ( )

= + +hellip

1 1 2 2

2 1 60 1 20 4 80= + + =

Ademaacutes 480(25) = 120 = total de premios Y

6 32perdedores

Ejemplo 1156

En un juego de dados una persona gana $500 si el dado cae en 1 o en 5 iquestCuaacutel es su espe-ranza matemaacutetica

SolucioacutenAmbos eventos tienen la misma probabilidad de ocurrencia y ofrecen el mismo posible ingreso por lo tanto se tiene que

E MM M

500 5006

166 67

10 En un juego de dos dados la banca paga un premio de $100 por cada punto que se obtenga siempre y cuando ambas caras de los dados sean igualesa) iquestCuaacutel es la esperanza matemaacutetica de una persona que juegab) iquestCuaacutel es su esperanza matemaacutetica si el costo del boleto es de $150c) iquestCuaacutel debiacutea ser el costo del boleto para que la esperanza matemaacutetica fuese 0

11 Una empresa organiza un sorteo para sus 25 clientes principales En una urna deposi-tan 25 papeletas con los siguientes premios 1 premio de $50 000 1 premio de $10 000 2 premios de $5 000 cada uno y 5 premios de $1000 cada uno iquestCuaacutel es la esperanza matemaacutetica de cada participante

12 Un grupo de estudiantes organiza una rifa para recabar dinero para su fiesta de gra-duacioacuten Emite 1000 boletos de $50 cada uno y ofrece un premio de $10 000 uno de $5 000 y uno de $2 500 iquestCuaacutel es la esperanza matemaacutetica de un alumno que soacutelo vendioacute 5 de los 20 boletos que se le asignaron y tuvo que pagar los restantes

13 Un hombre de negocios que debe viajar en avioacuten compra un seguro que paga $1500 000 en caso de muerte accidental el cual lo protege durante un mes Si la pro-babilidad de que muera en ese lapso es de 000015 iquestcuaacutel es el precio que deberiacutea pa-gar por el seguro sin considerar gastos ni utilidad de la aseguradora

14 Una empresa de comunicaciones ha pagado 50 millones de doacutelares por la construccioacuten y emplazamiento en oacuterbita de un sateacutelite espacial y decide asegurarlo contra riesgos durante el lanzamiento La compantildeiacutea aseguradora estima que las probabilidades de falla en el lanzamiento son de 001 si el tiempo no es bueno El servicio meteoroloacutegico ha estimado en 85 las probabilidades de que el clima sea favorable iquestCuaacutel es el precio que debe pagar la empresa de comunicaciones por el seguro sin considerar gastos ni utilidades

116 Valor actual de un pago contingenteSi pM es la esperanza matemaacutetica de que una persona reciba una cantidad de dinero en el fu-turo el valor actual de dicha esperanza suponiendo una tasa de intereacutes i es

pM i n( )1+ minus

Generalizando si distintas cantidades de dinero M1 M2hellip Mn seraacuten recibidas en tiempos t1 t2hellip tn con probabilidades p1 p2hellip pn el valor actual de la esperanza matemaacutetica es

p M i p M i p M it tn n

tn1 1 2 21 1 11 2( ) ( ) ( )+ + + hellip+ +minus minus minus+

Ejemplo 1161

Un banco ofrece a los empleados que cumplen 5 antildeos de trabajo un bono por $10 000 iquestCuaacutel es el valor actual de la esperanza matemaacutetica de un nuevo empleado si de acuerdo con las estadiacutesticas del propio banco 40 del personal de nuevo ingreso cambia de em-pleo antes de cumplir 5 antildeos Se supone una tasa de intereacutes de 10 anual efectiva

SolucioacutenLa probabilidad p de que el nuevo empleado permanezca en el banco hasta cumplir los 5 antildeos es

= minus= minus =

11 0 40 0 60

y la probabilidad de que se retire antes de cumplir los 5 es de 040 o 40 Por lo tanto su esperanza matemaacutetica es

E M pM( ) (= = 0 60 10 000) = 6 000

El valor actual de la esperanza matemaacutetica es

( ) ( )

1 6 000 1 0 10

5+ = +

minus minus

minus 000(0620921)

72553pM i n( ) $1 3+ =minus

Ejemplo 1162

Una empresa minera realiza inversiones en la prospeccioacuten de una veta de la cual espera obtener utilidades por 2 000 000 de doacutelares en un plazo de 3 antildeos iquestCuaacutel es el valor actual de la esperanza matemaacutetica si sus estadiacutesticas muestran que 65 de sus prospecciones re-sultan favorables Se supone una tasa de intereacutes de 15

SolucioacutenLa esperanza matemaacutetica es

0 65 21

( 000 000)300 000

El valor presente de pM es

( ) ( ) (

1 1 0 15 1

3+ = +

minus minus

300 000)

( 6657516 1 854( $300 000) 77110=

Este resultado puede interpretarse como el monto maacuteximo que debe invertir la empresa en sus operaciones de exploracioacuten

Ejemplo 1163

Una empresa solicita al banco un preacutestamo y ofrece pagar $150 000 al cabo de 6 meses Si la experiencia del banco muestra que 2 de los preacutestamos resulta incobrable iquestcuaacutento dinero debe prestar a la empresa bajo el supuesto de que la tasa de intereacutes del mercado es de 10 semestral iquestCuaacutel es la tasa de intereacutes real que gana el banco

Solucioacutena) La esperanza matemaacutetica de recuperacioacuten del preacutestamo es

E ME M

( ) ( )(( )

0 98 150147

000)000

Su valor presente descontado a la tasa de intereacutes del mercado es

1 147 0 10

1+ = +

minus minus

636636

La cantidad que el banco debe prestarle a la empresa asciende a $133 63636

116 Valor actual de un pago contingente

b) Si la empresa reintegra el preacutestamo en su totalidad el banco habraacute ganado un intereacutes de

163636 = 150 000( +

minusi

( )550

1 12244

000133 63636

i = 99 10 122449

minus= o 1224i

De esta tasa 10 corresponde al intereacutes del mercado y 224 cubre los riesgos de incobrabilidad

Ejemplo 1164

Al cabo de los 6 meses la empresa del ejemplo anterior paga los $16 36364 (150 000 minus 133 63636) correspondientes a los intereses del preacutestamo pero se declara imposibilitada para pagar el capital y solicita se le refi nancie por un periodo similar La experiencia de recuperacioacuten de cartera problemaacutetica del banco se muestra en la siguiente tabla

Recuperacioacuten Probabilidad

0 005 50 005 75 010100 080

Si la tasa del mercado vigente es de 8 semestral iquestqueacute tasa deberaacute cobrarle a la empresa para redocumentar su operacioacuten

SolucioacutenLa esperanza matemaacutetica de recuperacioacuten de la cartera E(M) = (005)0 + (005)(50) + (010)(75) + (080)(100) = 90

Por lo tanto el banco deberaacute cobrar una tasa de intereacutes tal que

1 0 90 1 08

1 1+ =

minus minusi

) ( )( )

( )990

i = minus1 2 1o 20i = 0 2

Como se observa el cargo que se hace en el caso de preacutestamo a empresas en situacioacuten riesgosa puede ser muy elevado

Ejemplo 1165

Un padre ofrece entregarle $10 000 a su hijo por cada antildeo que apruebe todos sus cursos uni-versitarios Si la carrera dura 5 antildeos y las estadiacutesticas muestran que soacutelo 80 de los alumnos inscritos aprueban todas sus materias iquestcuaacutel es la esperanza matemaacutetica del estudiante si la tasa de intereacutes es de 15

SolucioacutenEn este caso se estaacute en presencia de una serie de pagos iguales Puede realizarse su sumato-ria o calcularlo como el valor actual de una anualidad simple cierta vencida e inmediata

E M( ) ( (= +minus0 80 10 0 80 10000)(1 + 015) 000)(1 11 + 015)

+hellip

= minus +

1 0 150 15

E M E( )( )

(MM) = 26 81724

15 Una compantildeiacutea de seguros promueve un ldquoPlan Universitariordquo entre alumnos inscri-tos en escuelas profesionales Este plan ofrece pagar $100 000 a la presentacioacuten del tiacutetulo a fin de que el graduado cuente con una base econoacutemica para iniciar su vida profesional Es necesario calcular el precio que debe cobrar la compantildeiacutea sin conside-rar gastos ni utilidades si se ha determinado que soacutelo 60 de los inscritos concluyensus estudios y de eacutestos 65 se graduacutea La duracioacuten promedio de los estudios es de 5 antildeos y se considera que se requiere 1 antildeo maacutes para que el alumno presente su tesis La tasa promedio anual de intereacutes se estima en a) 20 b) 30 y c) 50

16 El duentildeo de un equipo de futbol ofrece pagar una prima de $150 000 a cada uno de los 22 jugadores que lo integran si logran ganar el torneo anual iquestCuaacutel es el valor ac-tual del compromiso del duentildeo si se estima que el equipo tiene 70 de probabilida-des de coronarse al cabo de un antildeo y la tasa de intereacutes es de 20 anual

17 El contrato colectivo de una empresa estipula el pago de un bono de $100 000 para cada uno de los empleados que cumplan 30 antildeos de trabajo dentro de ella Cuenta con 250 trabajadores con una antiguumledad promedio de 8 antildeos Se desea constituir un fondo de reserva para hacer frente a esta obligacioacuten y se estima que soacutelo 30 de los empleados alcanzaraacute a cumplir los 30 antildeos de trabajoa) iquestCuaacutento dinero se debe depositar considerando un intereacutes de 40 anual pro-

mediob) 25c) 10

18 Un banco cobra 20 de intereacutes en preacutestamos con garantiacutea hipotecaria que asegura su total recuperacioacuten y cobra 28 en preacutestamos sin garantiacutea iquestCuaacutel es el porcentaje estimado de cuentas incobrables

19 La compantildeiacutea operadora de una tarjeta de creacutedito bancaria ha determinado la si-guiente tabla de probabilidades de recuperacioacuten de la cartera

Proporcioacuten de recuperacioacuten de la cartera

Probabilidad

0 001 50 004 80 008 90 017100 070

Si la tasa de intereacutes para preacutestamos garantizados es de 35 iquestqueacute tasa debe cobrar a los usuarios de la tarjeta

117 Tablas de mortalidadUna tabla de mortalidad es el registro estadiacutestico de las muertes ocurridas en un grupo sufi -cientemente grande de personas en un periodo determinado La poblacioacuten que se considera es un grupo de tenedores de poacutelizas de seguro de vida y la tabla de mortalidad resultante se utiliza para calcular las primas de este tipo de seguros La tabla de mortalidad que se utilizaraacute en este libro es la tabla de mortalidad con la experiencia mexicana al antildeo 2000 que se dividi-de en dos partes hombres (tabla II) y mujeres (tabla III)

La primera columna edad comprende desde los 0 hasta los 100 antildeos que corresponden a los grupos que fueron objeto de estudio

La segunda columna se denomina vx En eacutesta la raiacutez I ha sido fi jada arbitrariamente en 100 000 Esta columna muestra el nuacutemero de personas de la base original de 100 000 que alcanzan a cumplir la edad x

La columna mx (columna tres) indica el nuacutemero de muertos a la edad x esto es personas que cumplieron x antildeos y murieron antes de cumplir x + 1 antildeos

La columna cuatro 1000 qx se deriva de las columnas dos y tres y muestra la probabi-lidad que tiene un individuo de x antildeos de edad de morir antes de cumplir x + 1 antildeos Asiacute por ejemplo la probabilidad de que un hombre de 25 antildeos muera antes de cumplir 26 es de 07341000 esto es que de acuerdo con las estadiacutesticas la probabilidad de muerte a los 25 antildeos es de 0000734

Las columnas 2 y 3(vx y mx) pueden tambieacuten derivarse a partir de la columna 4 y de vxConsiderando las siguientes relaciones

mx = vx sdot q y

vx + 1 = vx minus mx

Por conveniencia se considera que q100 es igual a la unidad Esto es el nuacutemero de indi-viduos que sobreviven maacutes allaacute de 100 antildeos es tan reducido que no afecta los caacutelculos y por lo tanto v101 = 0

Las columnas 5 y 6 Mx y Nx son conocidas como valores conmutados y se explicaraacuten en una subseccioacuten posterior

Para manejar las tablas de mortalidad es necesario considerar la siguiente notacioacutenpx = Probabilidad de que una persona de x antildeos de edad sobreviva por lo menos un antildeo

= +1 (117)

npx = Probabilidad de que una persona de x antildeos de edad sobreviva por lo menos n antildeos

n xx n

v= + (118)

qx = Probabilidad de que una persona de x antildeos de edad muera antes de cumplir x + 1 antildeos

q pv v

vx xx x

= minus =minus

=+1 1 (119)

nqx = Probabilidad de que una persona de x antildeos de edad muera antes de cumplir x + n antildeos (qx = 1qx)

n x n xx x n

q pv v

v= minus =

minus +1 (1110)

nkqx = Probabilidad de que una persona de x antildeos de edad muera entre las edades (x + n y x + n + k)

n k xx n x n k

v =minus+ + + (1111)

Ejemplo 1171

Se pide determinar la probabilidad de que

a) Una mujer de 29 antildeos sobreviva al menos un antildeob) Un hombre que celebra su 50 aniversario festeje el 51

Solucioacutena) Se aplica la foacutermula (117) sustituyendo los valores correspondientes de la tabla de

mortalidad

980 999368

02698 088

117 Tablas de mortalidad

Otra forma es

p q29 291 1 0 000628 0 999372= minus = minus =

b) En este segundo caso se procede en forma similar

93 0 996553= = =37293 695

Alternativamente

p q50 501 1 0 003451 0 996549= minus = minus =

Las diferencias que existen entre una y otra alternativa de caacutelculo son debidas a los redondeos en el caacutelculo de las tablas

Ejemplo 1172

Es necesario determinar la probabilidad de que un hombre de 45 antildeos de edad sobreviva 25 antildeos Comparar el resultado con la probabilidad de que una mujer de la misma edad sobreviva 25 antildeos

Hombre Mujer

25 4570

70 0 74369472695101

n xx n

25 4570

80 0 83459143296 373

Como puede apreciarse una mujer de 45 antildeos tiene 8346 de probabilidad de vi-vir hasta los 70 antildeos en tanto que un hombre de la misma edad tiene 7436 o sea que la mujer tiene 9 maacutes de probabilidad de alcanzar esta edad

Ejemplo 1173

Se necesita determinar la probabilidad de que una mujer de 15 antildeos de edad muera en-tre los 25 y los 30 antildeos

SolucioacutenEn este caso es necesario determinar las probabilidades de que viva hasta los 25 y hasta los 30 antildeos y por diferencia determinar la probabilidad de que muera en ese lapso

La probabilidad de que viva hasta los 25 antildeos es

10 1525

98 0 995675pvv

= = =30798 734

La probabilidad de que viva hasta los 30 antildeos

15 1530

980 992829p

v= = =026

98 734

La probabilidad de que muera entre los 25 y los 30 antildeos estaacute dada por la diferencia de probabilidades p25 y p30

1015 15 0 995675 0 992829 0 002846q = minus =

Alternativamente puede resolverse aplicando la foacutermula (1111)

x n x n k

=minus

= minus

1015 1598 307 98 026

98 7334 734= =281

980 002846

Ejemplo 1174

Se debe determinar la probabilidad de que un hombre de 35 antildeos muera antes de cum-plir 40

SolucioacutenAplicando la foacutermula (1110) se tiene

690 96

n xx x n

=minus

= minus

5 3535 40

5 3596 091

96 690 690= =599

960 006195

1171 Valores conmutados

Las uacuteltimas dos columnas de las tablas II y III Dx y Nx son lo que se conoce como valores con-mutados y su propoacutesito es abreviar algunos de los caacutelculos necesarios para resolver las anua-lidades contingentes que son el tema del siguiente y uacuteltimo capiacutetulo

Dx se defi ne como

D i vxx

x= + minus( )1 (1112)

en donde i es la tasa de intereacutes para calcular las anualidades y que por consideraciones praacutecticas se toma como 0045 Se escoge este valor por ser de uso relativamente comuacuten en algunos caacutelculos actuariales y para facilitar el anaacutelisis de las anualidades contingentes Asiacute los valores conmuta-dos de las tablas II y III se calcularon con esta tasa y los ejemplos en los que se utilizan tambieacuten se basan en ella

Ejemplo 1175

Calcular D20 de la tabla II de mortalidad masculina

SolucioacutenSe convino en que i = 0045

= minus

1 0452020

de la misma tabla II en la columna correspondiente

0 414643 97 918 40 600 99953

( )( )

que es praacutecticamente igual al valor que aparece en el rengloacuten 20 de la columna Dx de la tabla II

Ejemplo 1176

Calcular D97 de la tabla III de mortalidad femenina

Solucioacuten

=minus

1 045 3112 0 01398797

( ) ( ) ( )(33112

43 52706897

Por otro lado se defi ne

N D D D Dx x x x= + + +hellip++ +1 2 99 (1113)

Ejemplo 1177

Calcular N95 de la tabla II sobre mortalidad masculina del apeacutendice

SolucioacutenDe acuerdo con la defi nicioacuten anterior

N D D D D D95 95 96 97 98 99= + + + +

= + + + + +=

40 1 25 1 14 9 8 3 4 3 2 194 8

que es el valor que aparece en la posicioacuten correspondiente en la tablaComo puede verse calcular N25 exigiriacutea sumar los valores de Dx desde 25 hasta 100

esto es 76 cifras lo cual es una labor tediosa y muy propensa a errores Como este tipo de

caacutelculos son necesarios en las anualidades contingentes puede comprenderse faacutecilmente la utilidad de estos valores conmutados

20 Determine la probabilidad de que un hombre y una mujer de 35 antildeos sobrevivana) al menos un antildeob) al menos 5 antildeosc) al menos 20 antildeosComente las diferencias entre los resultados

21 Determine la probabilidad de que una mujer de 18 antildeos mueraa) antes de cumplir 19 antildeosb) antes de cumplir 30 antildeosc) antes de cumplir 60 antildeos

22 Determine la probabilidad de que una persona de 22 antildeos de edad mueraa) entre los 25 y los 30 antildeosb) entre los 30 y los 40 antildeosc) entre los 50 y los 60 antildeosd) despueacutes de cumplir 60 antildeos

23 Determine la probabilidad de que un hombre de 40 antildeos mueraa) a los 40 antildeos de edadb) a los 45 antildeos de edadc) a los 70 antildeos de edad

24 Determine en la tabla II de mortalidad masculinaa) D28b) D52c) D81

25 Determine en la tabla III de mortalidad femenina a) N28

b) N39

c) N86

118 AplicacionesDado el envejecimiento que sufre la poblacioacuten mundial las aplicaciones de las probabilidades y tablas de mortalidad seraacuten cada vez maacutes importantes Sin embargo auacuten son poco conocidas y menos comprendidas Se ilustraraacute aquiacute un ejemplo en el que se relacionan los conceptos de ma-temaacuteticas fi nancieras y las tablas de mortalidad asiacute como su efecto en la vida cotidiana de las personas

118 Aplicaciones

Considerando que la esperanza de vida se acerca a los 80 antildeos y que la edad de jubilacioacuten es de 65 antildeos y que la tasa de intereacutes efectiva anual promedio del mercado es de 5

a) determine el monto que deberaacute acumular una persona para que al llegar a su edad de ju-bilacioacuten pueda disfrutar de una renta mensual de $10 000 por el periodo de los 65 a los 80 antildeos

b) Determine el ahorro mensual que debe realizar una persona de 25 antildeos para acumular dicho monto al cumplir 65 antildeos

c) Determine el ahorro mensual que debe realizar una persona de 50 antildeos para acumular dicho monto al cumplir 65 antildeos

d) Determine la prima mensual que debe cobrar una aseguradora que ofrezca un plan de pensioacuten por el cual liquidaraacute a todo hombre que cumpla 65 antildeos de edad una cantidad que le permita cobrar una mensualidad de 10 000 pesos mensuales hasta los 80 antildeos sin considerar gastos ni utilidad de la aseguradora

e) Determine la prima mensual que debe cobrar una aseguradora que ofrezca un plan de pensioacuten por el cual liquidaraacute a toda mujer que cumpla 65 antildeos de edad una cantidad que le permita cobrar una mensualidad de 10 000 pesos mensuales hasta los 80 antildeos sin con-siderar gastos ni utilidad de la aseguradora

Como ya se mencionoacute la solucioacuten de este problema involucra tanto a las matemaacuteticas fi -nancieras como a las tablas de mortalidad como se veraacute a continuacioacuten

a) Para determinar el monto de ahorro que debe acumular una persona para que al llegar a los 65 antildeos pueda disfrutar de una pensioacuten de 10 000 mensuales por un lapso de 15 antildeos se calcula el valor presente de una anualidad simple cierta vencida e inmediata

Puesto que la persona espera vivir 15 antildeos recibiraacute 180 pagos mensuales (15 antildeos times 12 meses) de $10 000 cada uno y se estima que la tasa de intereacutes efectiva anual seraacute de 5 Por lo tanto se debe determinar la tasa de intereacutes efectiva mensual

i i pprime = + minus( )1 1iprime = + minus( ) 1 0 05 11 12

Sustituyendo estos valores se tiene

A = minus + minus10 000

1 1 0 0040740 004074

180( )

A = minus10 000

1 0 4810170 004074

A = 10 0000 5189830 004074

A = 10 000 127 389028( ) A = 1 273 890 28

Asiacute la cantidad que produciraacute una renta mensual de 10 000 durante 15 antildeos es $1273 89028 si se supone que la tasa de intereacutes efectiva anual del mercado es de 5 Por lo tanto eacutesta es la cantidad que debe acumular una persona que desee obtener dicha pen-sioacuten en el momento de jubilarse

b) La determinacioacuten del ahorro mensual que debe realizar una persona de 25 antildeos para acu-mular dicha cantidad se calcula utilizando la foacutermula del monto de una anualidad sim-ple cierta vencida e inmediata

n= + minus( )1 1

Este joven probablemente un recieacuten egresado de la universidad tiene auacuten un perio-do de 40 antildeos esto es 480 meses para integrar el monto de $1273 89028 Si se supone que se aplica la misma tasa de intereacutes efectivo anual de 5 (04074 mensual efectivo) se tienen ya todos los valores necesarios para sustituir en la ecuacioacuten

1 273 890 281 0 004074 1

0 004074

= + minusR

1 273 890 287 039572 1

0 004074

= minusR

1 273 890 286 0395720 004074

1 273 890 28 1 482 46 ( )= R

1 273 890 28

1 482 46

R = 859 31

Por lo tanto $85924 es la cantidad que debe ahorrar mensualmente el joven de 25 antildeos para acumular $1273 89028 al cumplir 65 antildeos si se supone que la tasa de intereacutes efectiva anual del mercado es de 5

c) La determinacioacuten del ahorro mensual que debe realizar una persona de 50 antildeos para acumular dicha cantidad se calcula utilizando la misma foacutermula del monto de una anua-lidad simple cierta vencida e inmediata

n= + minus( )1 1

En este caso se trata de una persona ya madura que cuenta con un periodo de soacutelo 15 antildeos esto es 180 meses para integrar el mismo monto de $1273 89028 Si se supone que se aplica la misma tasa de intereacutes efectivo anual de 5 (04074 mensual efectivo) se tienen ya todos los valores necesarios para sustituir en la ecuacioacuten

118 Aplicaciones

1 273 890 281 0 004074 1

0 004074

= + minusR

1 273 890 282 078882 1

0 004074

= minusR

1 273 890 281 0788820 004074

1 273 890 28 264 82 ( )= R

1 273 890 28

264 82

4 810 40 = R R = 4 810 40

En este caso $4 81040 es la cantidad que debe ahorrar mensualmente la persona de 50 antildeos para acumular $1273 89028 al cumplir 65 antildeos si se supone que la tasa de in-tereacutes efectiva anual del mercado es de 5 Como puede observarse es una cantidad casi 6 veces mayor a la que debe ahorrar la persona de 25 antildeos El efecto que tiene la acumu-lacioacuten del intereacutes es notable y por ello se puede destacar la importancia de iniciar el ahorro para el retiro desde las primeras etapas de la vida laboral

d) La determinacioacuten de la prima de un seguro se veraacute con mayor claridad en el capiacutetulo de Anualidades contingentes pero de manera intuitiva puede ilustrarse de la siguiente manera

bull Se calcula la probabilidad de que un hombre de 25 antildeos viva hasta los 65 antildeos edad a la cual estariacutea obligada la aseguradora a pagar la pensioacuten Para ello se aplica la foacutermula (118) la cual nos permite determinar la probabilidad de que una persona de x antildeos de edad sobreviva por lo menos n antildeos

n xx n

Asiacute se determinaraacute la probabilidad de que un hombre de 25 antildeos sobreviva has-ta los 65 antildeos sustituyendo los valores correspondientes de la tabla II de mortalidad masculina en esta foacutermula

25 4065

25 40p = 80 09897 542

25 40 821164p = 0

Por lo tanto la probabilidad de que un hombre de 25 antildeos viva hasta los 65 antildeos es de 8212 Si se supone que toda la poblacioacuten estaacute asegurada la asegura-dora deberiacutea integrar fondos de reserva para pagar pensiones a no maacutes de 8212

de los hombres que la integran En ese orden de ideas la prima que deberiacutea co-brar suponiendo que no hay gastos ni utilidad para la aseguradora equivaldriacutea a 8212 de los depoacutesitos que deberiacutea hacer el joven de 25 antildeos que quisiera asegurar su pensioacuten para el periodo de los 65 a los 80 antildeos esto es deberiacutea cubrir $70561 mensuales hasta cumplir los 65 antildeos para que posteriormente la aseguradora le en-tregara $1273 89028 cantidad con la que esta persona podriacutea obtener una pensioacuten de 10 000 pesos mensuales

Como puede observarse el depoacutesito que debe realizar el joven que se inicia en la carrera laboral es menor que si constituye su propio fondo puesto que la asegura-dora no cubriraacute todas las pensiones ya que 1782 de la poblacioacuten varonil moriraacute antes de cumplir los 65 antildeos

e) El caso de la determinacioacuten de la prima que debe cobrarse a una mujer es similar

bull Se calcula la probabilidad de que una mujer de 25 antildeos viva hasta los 65 antildeos edad a la cual estariacutea obligada la aseguradora a pagar la pensioacuten Para ello se aplica la foacutermula (118) la cual nos permite determinar la probabilidad de que una persona de x antildeos de edad sobreviva por lo menos n antildeos

n xx n

Asiacute se determinaraacute la probabilidad de que una mujer de 25 antildeos sobreviva hasta los 65 antildeos sustituyendo los valores correspondientes de la tabla III de mortalidad femenina en esta foacutermula

25 4065

25 40p = 86 61498 307

25 40 881056p = 0

Por lo tanto la probabilidad de que una mujer de 25 antildeos viva hasta los 65 antildeos es de 8811 praacutecticamente 6 superior a la de los hombres Si se supone que toda la poblacioacuten estaacute asegurada la aseguradora deberiacutea integrar fondos de reserva para pagar pensiones a 8811 de las mujeres que la integran Entonces la prima que de-beriacutea cobrar suponiendo que no hay gastos ni utilidad para la aseguradora equi-valdriacutea a 8811 de los depoacutesitos que deberiacutea hacer la joven de 25 antildeos que quisiera asegurar su pensioacuten para el periodo de los 65 a los 80 antildeos esto es deberiacutea cubrir $75707 mensuales hasta cumplir los 65 antildeos para que posteriormente la asegura-dora le entregara $1273 89028 cantidad con la que esta persona podriacutea obtener una pensioacuten de 10 000 pesos mensuales

Como puede observarse el depoacutesito que debe realizar la joven que se inicia en la carrera laboral es menor que si constituye su propio fondo puesto que la asegura-dora no cubriraacute todas las pensiones ya que 1189 de la poblacioacuten femenina moriraacute antes de cumplir los 65 antildeos

118 Aplicaciones

119 Uso de ExcelEn esta seccioacuten se resuelven algunos de los ejercicios del capiacutetulo utilizando las foacutermulas y funciones de Excel

1191 Valor actual de un pago contingente (seccioacuten 116)

En el ejemplo 1151 se pide determinar el valor actual de la esperanza matemaacutetica de un nue-vo empleado de un banco que ofrece un bono de $10 000 a todos los trabajadores que cum-plen cinco antildeos de antiguumledad Debe considerarse que de acuerdo con las estadiacutesticas del propio banco 40 del personal de nuevo ingreso cambia de empleo antes de cumplir los cin-co antildeos y que la tasa de intereacutes de mercado es de 10 anual efectiva

Para resolver el problema se siguen los pasos que a continuacioacuten se detallan

a) Se determina la probabilidad p de que el nuevo empleado permanezca en el banco hasta cumplir los cinco antildeos

p q= minus1p = minus1 0 40

p = 0 60

b) Se determina el valor de la esperanza matemaacutetica a los cinco antildeos

E M pM( ) =E M( ) ( )= 0 60 10 000

E M( ) = 6 000

c) Se determina el valor actual de la esperanza matemaacutetica utilizando la foacutermula de intereacutes compuesto

M C i n= +( )1

+= + minus

( )( )

Por lo tanto para determinar el valor presente de la esperanza matemaacutetica se tiene

C pM i n= + minus( )1

C = + minus6 000 1 0 10 5( ) C = 6 000 0 620921( ) C = 3 725 53

Como ya se vio se puede hacer uso de las funciones de Excel para resolver estos problemas La foacutermula para calcular el valor actual con Excel es

Tasa tasa de intereacutes por periodoNper nuacutemero total de periodos de pago

Pago pago que se efectuacutea cada periodo Vf monto o valor futuro total de una serie de pagos futurosTipo se utiliza en el caso de las anualidades para indicar si se trata de una anualidad vencida (0 u omitido) o anticipada (1) Puesto que aquiacute se tiene un valor uacutenico no se utiliza

VA(0105minus60000)

(Cabe destacar que el valor futuro se deberaacute capturar con signo negativo en la foacutermula de la funcioacuten)

En la hoja de Excel se puede resolver por cualquiera de las tres formas que se ilustran

El valor que se obtiene es el mismo que aparece en el texto

En el ejemplo 1162 se ilustra el caso de una compantildeiacutea minera que realiza inversiones de prospeccioacuten de una veta de la cual espera obtener utilidades por 2 000 000 de doacutelares en un plazo de 3 antildeos Se pide determinar la esperanza matemaacutetica considerando que las estadiacutes-ticas muestran que 65 de sus prospecciones resultan favorables y que la tasa de intereacutes del mercado es de 15

a) Puesto que ya se conoce que la probabilidad de eacutexito es de 65 se determina el valor de la esperanza matemaacutetica a tres antildeos utilizando dicho valor

E M pM( ) =E M( ) ( )= 0 65 2 000 000

E M( ) = 1 300 000

b) Se determina el valor actual de la esperanza matemaacutetica utilizando la foacutermula de valor actual a intereacutes compuesto

+= + minus

( )( )

119 Uso de Excel

C = + minus1 300 000 1 0 15 3( )C = 1 300 000 0 956317( )

C = 1 243 212

Sustituyendo en la funcioacuten de Excel se tiene

VA(tasanperpagovftipo) VA(0153minus1 300 0000)

(El valor futuro se deberaacute capturar con signo negativo en la foacutermula de la funcioacuten)En la hoja de Excel se puede resolver por cualquiera de las tres formas que se ilustran a

continuacioacuten

El valor que se obtiene es el mismo que el que aparece en el texto

En el ejemplo 1163 se pide determinar el importe que debe prestar un banco a una em-presa que tiene una capacidad de pago de $150 000 al cabo de seis meses si las estadiacutesticas de la institucioacuten de creacutedito muestran que 2 de los preacutestamos resulta incobrable y la tasa de in-tereacutes del mercado es de 10 semestral

a) Dado que 2 de los creacuteditos no se recuperan se infi ere que 98 de ellos se recuperan Por lo tanto se determina el valor de la esperanza matemaacutetica a seis meses utilizando di-cho valor

E M pM( ) =E M( ) ( )= 0 98 150 000

E M( ) = 147 000

+= + minus

( )( )

C pM i n= + minus( )1C = + minus147 000 1 0 10 1( )

C = 147 000 0 909090( ) C = 133 636 36

VA(tasanperpagovftipo) VA(0101 minus1470000)

continuacioacuten

1110 ResumenEn el presente capiacutetulo se introdujo el concepto de probabilidad matemaacutetica y se dijo que si un evento tiene que resultar de n distintas pero igualmente posibles maneras y si a de esas maneras son consideradas como aciertos y f = n minus a son consideradas como fallas entonces la razoacuten p = an se considera como la probabilidad matemaacutetica de acierto

Por otro lado se dijo que la probabilidad estadiacutestica es la razoacuten an determinada como resultado de la observacioacuten y registro estadiacutestico de n eventos de los cuales a fueron conside-rados como aciertos

1110 Resumen

Al trabajar eventos y probabilidades es necesario distinguir entre los eventos mutuamen-te excluyentes que son aquellos en los que la ocurrencia de uno inhibe totalmente la ocurren-cia de los otros y los eventos independientes que son aquellos en los que la ocurrencia de un evento no afecta la de los demaacutes

Se introdujo asimismo el concepto de pago contingente como aquel cuya liquidacioacuten estaacute sujeta a la ocurrencia de un evento E que tiene probabilidad p de ocurrir

Se afi rmoacute que la esperanza matemaacutetica es el producto resultante de multiplicar un monto M que se espera recibir por la probabilidad de recibirlo

Finalmente se defi nieron las tablas de mortalidad como aquellas que registran el nuacutemero de muertos por grupo de edad observadas en una base numerosa de poblacioacuten que son utili-zadas para calcular las primas que deben pagarse al adquirir seguros de vida

bull Defi nir la probabilidad matemaacuteticabull Defi nir la probabilidad estadiacutesticabull Explicar la diferencia entre una y otrabull Distinguir entre eventos mutuamente excluyentes y eventos independientesbull Realizar caacutelculos elementales que involucren el uso de probabilidadesbull Comprender el concepto de esperanza matemaacuteticabull Calcular la esperanza matemaacuteticabull Defi nir lo que es una tabla de mortalidadbull Realizar caacutelculos de probabilidad de vida o muerte auxiliaacutendose de una tabla de

mortalidadbull Realizar caacutelculos de probabilidad de vida o muerte mediante el empleo de la hoja de caacutelcu-

lo de Microsoft reg Excelreg

bull Esperanza matemaacuteticabull Eventos mutuamente excluyentesbull Eventos independientesbull Pagos contingentes

bull Probabilidad estadiacutesticabull Probabilidad matemaacuteticabull Tabla de mortalidad

= (111) p q= minus1 (113)

= (112) q p= minus1 (114)

p E E E p E p E p En n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2o ohellip = + +hellip+ (115))

p E E E p E p E p En n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2o yhellip = times timeshelliptimes (116)

= +1 (117) n x n xx x n

q pv v

v= minus =

minus +1 (1110)

n xx n

v= + (118) n k x

x n x n k

v =minus+ + + (1111)

= (119) D i vxx

x= + minus( )1 (1112)

N D D D Dx x x x z= + + +hellip++ +1 99 (1113)

1 En una caja se depositan 8 bolas blancas 10 bolas negras y 4 bolas rojas Determine las probabilidades de

a) sacar una bola roja en la primera extraccioacuten b) extraer dos bolas blancas consecutivas (sin reemplazo) c) sacar dos bolas blancas consecutivas (con reemplazo) d) extraer una bola blanca una bola negra y una bola roja en forma consecutiva (sin

reemplazo) e) sacar una bola que no sea negra 2 iquestCuaacutel es la probabilidad de que de una baraja ordinaria (de 52 naipes) se extraiga a) un par de ases en 2 extracciones consecutivas b) un par en 2 extracciones consecutivas c) una tercia en 3 extracciones consecutivas d) una tercia y un par en 5 extracciones consecutivas 3 Una ruleta comprende los nuacutemeros del 1 al 36 maacutes el 00 iquestCuaacutel es la probabilidad de que

el nuacutemero sorteado sea a) impar b) mayor que 20 c) par mayor que 10 d) muacuteltiplo de 5 4 En una escuela primaria se detectoacute que 1480 de sus 3 200 alumnos padecen caries Si una

escuela vecina alberga 2 650 nintildeos estime el nuacutemero de ellos que tendraacuten caries 5 Estudios meacutedicos han demostrado que 80 de las personas que fuman diariamente con-

traen enfermedades croacutenicas del aparato respiratorio Si en una universidad 42 de sus 16 000 estudiantes fuman cotidianamente determine el nuacutemero que adquiriraacute enferme-dades croacutenicas del aparato respiratorio a causa del tabaco

6 En un juego de dados la banca paga 10 a 1 al que acierte la suma de los puntos de los dos dados reservaacutendose para siacute el nuacutemero 7 Determine la esperanza matemaacutetica de una per-sona que apuesta $1000 al

a) 12 b) 6 c) 3 7 Una persona apuesta $250 al triunfo del equipo local en el juego de futbol de la semana

iquestCuaacutel es su esperanza matemaacutetica si el conjunto ha ganado 8 de los 14 encuentros que ha jugado como local

8 En un juego de beisbol un fanaacutetico apuesta $100 a que su favorito ganaraacute los 3 juegos de una serie iquestCuaacutel es su esperanza matemaacutetica si en cada juego el equipo tiene 20 de pro-babilidades de perder

9 El tercer hijo de los reyes de un pequentildeo paiacutes heredaraacute la corona y $500 millones en el caso de que sus hermanos muriesen antes de cumplir 21 antildeos Si el mayor tiene 15 antildeos el mediano 12 y el maacutes pequentildeo 10 iquestcuaacutel es su esperanza matemaacutetica considerando que las probabilidades de muerte del primero son de 05 y del segundo de 04

10 Juan y Carlos apuestan en un juego de cartas Juan ganaraacute si la primera carta que aparez-ca es un rey mientras que ganaraacute Carlos si aparece primero un diamante (a excepcioacuten del rey) iquestCuaacutento debe apostar Carlos para que el juego sea equitativo si Juan apostoacute $1000

11 Un padre deja a sus hijos de 14 y 10 antildeos de edad una herencia por $300 000 y $250 000 respectivamente las cuales les seraacuten entregadas cuando cumplan 18 antildeos El dinero se deposita en una cuenta bancaria que paga 20 de intereacutes anual iquestCuaacutel es la esperanza matemaacutetica de cada uno de los hijos si la probabilidad de morir antes de los 18 antildeos es de 00095 para el primero y 00120 para el segundo y la tasa de intereacutes del mercado es de 15 anual

12 Una persona de 65 antildeos cuya salud es muy delicada desea adquirir un seguro que le ga-rantice una renta de $250 000 al antildeo mientras viva Sus posibilidades de supervivencia son las siguientes

AntildeosProbabilidad desupervivencia

1 0602 0403 0204 000

Si la tasa de intereacutes es de 20 anual iquestcuaacutel es el valor actual de los pagos iquestCuaacutel seraacute el costo del seguro sin considerar gastos ni utilidades

13 Una persona de 30 antildeos compra un seguro de vida por $750 000 que lo protege durante un antildeo Si la probabilidad de muerte a los 30 antildeos es de 000239 y la tasa de intereacutes es de 18 iquestcuaacutel es el precio que debe pagar sin considerar gastos ni utilidades

14 Un banco estima en 2 su porcentaje de cuentas incobrables iquestQueacute tasa de intereacutes debe cobrar a una empresa que le solicita un preacutestamo si la tasa de mercado es de 25

15 La tasa de intereacutes para creacuteditos garantizados que cobra un banco a sus clientes es de 20 iquestCuaacutel es el porcentaje de cuentas incobrables que maneja si a los creacuteditos no garantizados les carga 25 de intereacutes

16 Una rama industrial se ha visto seriamente afectada por la situacioacuten econoacutemica preva-leciente y su porcentaje de cuentas incobrables se ha incrementado iquestCuaacutel es dicho por-centaje si el banco del ejemplo anterior cobra 28 de intereacutes a las empresas de dicho sector

17 Una compantildeiacutea hipotecaria ha determinado la siguiente tabla de probabilidades de recu-peracioacuten de preacutestamos

Proporcioacuten recuperadadel adeudo Probabilidad

0 000 50 001 75 004 90 005100 090

iquestQueacute tasa debe cobrar a los solicitantes de preacutestamos si la tasa de intereacutes del mercado es de 14

18 iquestCuaacutel es el precio de una obligacioacuten con valor de $1000 y cuyo valor de redencioacuten a 5 antildeos es de $1020 si paga intereacutes de 18 convertible trimestralmente y existe una proba-bilidad de quiebra de 01 en cualquiera de los periodos de pago

19 Carolina cumplioacute 18 antildeos al ingresar a la universidad Determine la probabilidad de que

a) fallezca en el lapso de 5 antildeos que dura su carrera b) fallezca antes de cumplir 2 antildeos c) celebre con sus condisciacutepulos el 10o aniversario de su graduacioacuten Utilice las tablas de

experiencia mexicana que aparecen en el apeacutendice (tablas II y III)20 El padre de Carolina teniacutea 50 antildeos al entrar ella a la universidad Determine la probabili-

dad de que a) esteacute vivo para asistir a la graduacioacuten de su hija b) fallezca el antildeo de la graduacioacuten de su hija21 Si la generacioacuten de Carolina estaacute formada por 160 personas de 18 antildeos 200 de 19 y 120

de 20 antildeos determine de acuerdo con las probabilidades de vida a) El nuacutemero de los que estaraacuten vivos para la fiesta de graduacioacuten b) Los que celebraraacuten los 10 antildeos de la terminacioacuten de la carrera c) Los que celebraraacuten los 25 antildeos d) Los que celebraraacuten los 50 antildeos

112 Concepto de probabilidad

httpthalescicaesrdRecursosrd98Matemaacuteticas28matematicas-28htmlDefi nicioacuten de probabilidad y algunos otros conceptos importantes Ademaacutes se presentan di-versos ejercicios importantes relacionados con el tema

httpwwwedustatsprcomContiene informacioacuten acerca de la probabilidad y conceptos relacionados con ella

httpxueunalmededuco~pguarinestadisticatablahtmInformacioacuten acerca de la probabilidad y la estadiacutestica

httpwwwmoritesmmx~cmendozama835ma83500htmlDiferentes conceptos importantes en la probabilidad y algunos ejercicios para resolver

httpwwwaulafacilorgCursoEstadisticaLecc-14-esthtmlMuestra la defi nicioacuten y concepto de probabilidad y ejemplos

httpthalescicaesrdRecursosrd98Matematicas283htmlMuestra la defi nicioacuten de probabilidad y su concepto

httpthalescicaesrdRecursosrd98ed99-0278-01iniciohtmlEn esta paacutegina puede encontrar informacioacuten sobre el signifi cado y concepto de probabilidad de varios puntos de vista

httpcorreopujeducoprobabilidadAquiacute puedes ver los conceptos de probabilidad y estadiacutestica

httpwww2alcalaesestudios_de_organizacionepistemologiaprobabilidad_cienciiahtmMuestra el concepto de probabilidad presentando una breve introduccioacuten y la evolucioacuten de la probabilidad para lograr una mejor comprensioacuten

Concepto de estadiacutestica

httpwwwaulafacilorgCursoEstadisticaLecc-1-esthtmConcepto de estadiacutesticahttpwwwmonografi ascomtrabajos10estaxestaxshtmConcepto de estadiacutestica aplicaciones poblacioacuten y muestrahttpwwwlafacucomapuntesmatematicaesta_descdefaulthtmPresenta defi niciones de estadiacutestica y conceptos generales

Matemaacuteticas en internet Probabilidad y tablas de mortalidad

httpjlopezcotopcitiescomprobabilidadhtmInformacioacuten y algunos ejemplos interesantes acerca de este tipo de probabilidadhttpwwwlafacucomapuntesingenieriaproyecto5Fde5FestadisticadefaulthtmEjemplo de aplicacioacuten praacutectica de probabilidad

114 Probabilidad estadiacutestica

httpwwwuesiglo21eduarpdfs20dpto20economiamicroeconomia_Mirta_SantanaUNIDAD03pdfEjemplos de probabilidad estadiacutestica o empiacuterica y de otros tipos de probabilidadhttpjlopezcotopcitiescomprobabilidadhtmEjemplos sobre la probabilidad estadiacutestica e informacioacuten teoacuterica para comprender mejor el tema

httpjlopezcotopcitiescomesperanzahtmDefi nicioacuten de la esperanza matemaacutetica algunas propiedades y foacutermulas que se aplican a la mismahttpwwwcipocomarespecialesruleta5htmContiene una defi nicioacuten de esperanza matemaacutetica enfocada en los juegos de azar Ademaacutes se presentan tips para que el jugador siempre gane en un juego de este tipohttpdocentesusacaedumoruvaespmatemhtmContiene algunos ejercicios interesantes relacionados con la esperanza matemaacutetica

httpwwweclacclCeladepublicabol67DE_SitDemBD67htmlContiene informacioacuten sobre iacutendices de mortalidad de algunos paiacuteses de Latinoameacuterica entre ellos Meacutexico Ademaacutes se presentan datos de varios antildeos atraacutes para hombres y mujeres Sin duda alguna una base de datos muy completahttpwwwgeocitiescomAthensParthenon4400mcnot2htmtopelTablas de mortalidad mexicana detalladas Datos a 1994

Anualidades contingentes

bull Definir y explicar cada una de las anualidades que se mencionan en la temaacutetica

bull Identificar situaciones en las que se puedan aplicar estos conceptos

bull Plantear y resolver problemas que impliquen la resolucioacuten de los diversos casos de anuali-dades que se presentan en el capiacutetulo

Objetivos 121 Introduccioacuten 122 Valor actual de un dotal puro 123 Anualidades vitalicias vencidas 124 Anualidades vitalicias anticipadas 125 Anualidades vitalicias diferidas 126 Anualidades contingentes temporales 127 Aplicaciones 128 Resumen

Temario

CAPIacuteTULO12

CAPIacuteTULO 12 ANUALIDADES CONTINGENTES482

121 IntroduccioacutenComo se vio antes una anualidad contingente es aquella en la que su fecha de inicio o la de termi-nacioacuten o ambas dependen de alguacuten suceso que se sabe va a ocurrir pero no se sabe cuaacutendo

Un ejemplo muy comuacuten de este tipo de anualidad seriacutea el pago de una pensioacuten a un coacutenyu-ge por motivo del fallecimiento del otro Otro ejemplo seriacutea el pago de una pensioacuten a un traba-jador que se jubila se le paga cierta cantidad perioacutedica mientras vive

Una renta vitalicia es una anualidad que se paga a una persona a partir de cierta fecha y mientras vive y se le podriacutea denominar anualidad vitalicia

Una anualidad contingente temporal es aquella en la que se paga un nuacutemero fi jo de rentas a diferencia de una renta durante todo el tiempo que la persona viva

Un dotal puro es un compromiso de pagar a una persona determinada cantidad en una fecha futura siempre y cuando esteacute viva para recibirla La constitucioacuten de fondo de pensio-nes para que las personas ahorren en ellos y constituyan capitales que puedan asegurarles pensiones vitalicias a partir del momento de su retiro agrega especial intereacutes a los conceptos que se presentan en este capiacutetulo

Son muy numerosas las aplicaciones y variaciones de las anualidades contingentes y de hecho su estudio exhaustivo compete al aacuterea del caacutelculo actuarial Para los propoacutesitos de este libro se ilustraraacuten soacutelo algunos de los principales tipos de anualidades contingentes y para ha-cerlo conviene comenzar con la explicacioacuten del concepto del valor actual de un dotal puro

122 Valor actual de un dotal puroUn dotal puro es una promesa de pagar una cantidad determinada en una fecha futura si el benefi ciario continuacutea con vida

Ya vimos que el valor actual de una cantidad pagadera a futuro estaacute dado por

C M i n= minus( )1+

Ejemplo 1221

El valor actual de $500 000 pagaderos dentro de 5 antildeos a 8 efectivo anual es

minus500500

000(108)000(0680583197) $340 2

Por otro lado la probabilidad de que una persona que tiene x antildeos de edad per-manezca viva a los x + n antildeos estaacute dado por

n xx n

Ejemplo 1222

iquestCuaacutel es la probabilidad de que un hombre que tiene ahora 54 antildeos de edad llegue a los 67

Solucioacuten

= == =+

8334092

118n = = 990470918

Combinando los resultados de los ejemplos 21 y 22

M i pn x( )1 340+ = ==

29160(090470918)

307 86493

Seriacutea el valor actual de $500 000 pagaderos dentro de 5 antildeos a una persona que actual-mente tiene 54 antildeos si llega a la edad de 67 antildeos

Conviene hacer hincapieacute en el signifi cado de los caacutelculos anteriores Se puede decir que el valor actual de un dotal puro es el valor actual de la cantidad multiplicado por la probabilidad de que el benefi ciario cobre el dotal (la probabilidad de que esteacute vivo para cobrar)

Es comuacuten representar por medio del siacutembolo nEx el valor actual de un dotal puro de $1 pagadero a una persona que tenga ahora la edad x y alcance la edad de x + n para cobrar

Utilizando esa notacioacuten

n xn x n

v= + minus +( )1 (121)

Y en el ejemplo seriacutea

n xE = =minus( ) 1 088334092118

0 615729865

Y el valor actual del dotal de $500 000 es

C = 500 000(061572986) = $307 86493

Asiacute se podriacutea plantear el valor actual de un dotal puro de $M a futuro como

C M iv

= + minus1v +

Se introduce el siacutembolo nEx porque resulta conveniente para el anaacutelisis de las anualidades vitalicias

Por otro lado aunque se pueden manejar anualidades contingentes mensuales semes-trales etc soacutelo nos ocuparemos de las que tienen plazo anual

Con respecto a la tasa de intereacutes y considerando que las tasas reales que se manejan en el medio de los seguros son de cuando mucho 45 utilizaremos esta tasa en lo que resta del capiacutetulo para simplifi car el anaacutelisis los valores conmutados de las tablas II y III del fi nal del libro se construyeron con ella

122 Valor actual de un dotal puro

Es faacutecil encontrar el valor actual de anualidades contingentes con otras tasas si simple-mente se incluye el valor pertinente

Ejemplo 1223

iquestCuaacutel es el valor actual de un dotal puro de $1000 000 pagadero a una mujer de 25 antildeos si vive para cumplir 65 antildeos cuando el intereacutes es de 45 anual

Solucioacuten

M = 1000 000 x = 25 n + x = 65 i = 0045

De la tabla III al igual que antes

1000 86

= minus

000(1045) 6149

88 307000 000(01719287011)(088105628)

11147886

Ejemplo 1224

iquestCuaacutel es el valor actual de un dotal puro de $250 000 pagadero a un hombre cuando cum-pla los 40 antildeos si ahora tiene 32 y el intereacutes es de 45 anual

Solucioacuten

M = 250 000 x = 32 n + x = 40 i = 0045

De la tabla II

x = ==

= minus

97 005

250 96

000(1045) 0918

997 005000(0703185127)(09905778053)

$1= 250= 77413990

Ejemplo 1225

Si el valor actual de un dotal puro pagadero a una mujer de 47 antildeos al cumplir los 65 antildeos es de $2 321933 calcular el valor a futuro

Solucioacuten

C = 2 321933 x = 47 n + x = 65

2 32193386 61495 959

= = = =+M E Mv

De donde

321933(95 959)86 614

572 45213$

Ejemplo 1226

iquestCuaacutel seriacutea el valor del dotal puro del ejemplo 1224 si la persona involucrada fuera una mujer en vez de un hombre

SolucioacutenAquiacute el monto seriacutea igual $250 000 pero cambiariacutean tanto v32 como v40 de la siguiente manera

C = =minus25097

250000(1045)142

97 893000(07031858 1127)(09923283585)

$174 44764=

Se observa que esta cantidad es superior al correspondiente valor del dotal para un hom-bre que fue de $17413990 lo cual se debe por supuesto a que el cociente entre v40 y v32 es mayor en el caso de la mujer lo cual a su vez se debe a la mayor longevidad promedio de las mujeres mexicanas como sucede en casi todos los paiacuteses del mundo

123 Anualidades vitalicias vencidasEs el caso de pagos de una renta de por vida a una persona con x antildeos de edad Como es una anualidad vencida el primer pago de la renta se hace cuando el rentista tiene x +1 antildeos el se-gundo cuando tiene x + 2 antildeos y asiacute sucesivamente mientras esteacute vivo En forma graacutefi ca

123 Anualidades vitalicias vencidas

Alternativamente podemos considerar que una anualidad vitalicia es un conjunto de do-tales puros y por ello el valor actual de una anualidad contingente puede contemplarse como la suma de los valores actuales de cada uno de esos dotales

Si suponemos para facilitar la exposicioacuten que el monto de cada una de las rentas de la anualidad o lo que es lo mismo cada uno de los dotales puros tiene un valor de $1 la situa-cioacuten podriacutea representarse graacutefi camente como

Si por otro lado denotamos por ax el valor actual de una anualidad vitalicia ordinaria de $1 por antildeo para una persona de edad x y dado que hemos utilizado el siacutembolo nEx para repre-sentar el valor actual de un dotal puro unitario el valor actual de la anualidad seriacutea

ax = 1Ex + 2Ex + 3Ex + 4Ex + hellip hasta el fi nal de la tabla (x = 99)

Y como

n xn x n

v= ( )1+ minus +

Entonces

= ( ) ( )1 11 1 2 2+ + + + hellipminus + minus + (hasta el fin dde la tabla)

( (hasta=

22+ + + + hellipminus

+minus

+i v i vx x) ( ) eel fin de la tabla)

Si la persona tiene por ejemplo 30 antildeos de edad el numerador de esta uacuteltima expresioacuten incluye 69 teacuterminos y su evaluacioacuten es evidentemente muy tediosa Es en este punto dondese pueden utilizar las tablas de valores conmutados para simplifi car los caacutelculos Los valoresconmutados aparecen en las tablas II y III al final del libro Como se vio en el capiacutetulo anterior

Dx = (1 + i)minusxvx (1112)

Nx = Dx + Dx + 1 + Dx + 2 + hellip + D99 (1113)

x x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 96 97 98 99

$1 $1 $1 $1

x x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 96 97 98 99

R R R R R R

R R R R

ai v i v

=+ + + + hellipminus

+minus

+( ) ( )(

22 hasta el final dde la tabla)

Para simplifi car esta expresioacuten multiplicamos tanto el numerador como el denominador por (1 + i)minusx y obtenemos

ai v i v

=+ + + + hellip

minus minus+

( ) ( )

22 haasta el final de la tabla)

aD D D

Dxx x x

=+ + + hellip+ + +1 2 3 ((hasta el final de la tabla)

= + 1 (123)

Por su parte el valor actual C de una anualidad vitalicia vencida de $R anuales pagaderos a una persona de edad x es

= + 1 (124)

Ademaacutes al valor actual de una anualidad contingente (vencida anticipada o diferida) se le conoce como prima neta uacutenica ya que evidentemente tiene amplia aplicacioacuten en el aacuterea de seguros

Ejemplo 1231

iquestCuaacutel es la prima neta uacutenica de una anualidad vencida de $150 000 anuales pagadera a una mujer de 40 antildeos si el intereacutes es de 45 anual

Solucioacuten

xC R a

1500 04540

000 y de l

aa tabla III

000 296189216 7015

660143

Ejemplo 1232

El sentildeor Loacutepez tiene 58 antildeos de edad y va a jubilarse La empresa debe pagarle de acuerdo con su plan de pensiones $60 000 anuales vencidos durante el tiempo que viva Calcular queacute pago uacutenico realizado en el momento de jubilarse seriacutea equivalente a los pagos anuales

Solucioacuten

R = 60 000 i = 0045 x = 58

+ 1 59

000 85 89796 9674

C = $739 71266

Ejemplo 1233

El valor actual de una anualidad vitalicia pagadera a una mujer de 54 antildeos es de $500 000 Calcular el valor del pago anual

Solucioacuten

C = 500 000 x = 54

= =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

500 127000 7448 7019

RR = =500 000(8 7019)127 744

34 059 92

124 Anualidades vitalicias anticipadasUna anualidad vitalicia anticipada es un conjunto de pagos (anuales en el caso de este libro) pagaderos a una persona de x antildeos de edad mientras vive Como los pagos se hacen al principio de cada antildeo la anualidad es anticipada Graacutefi camente

x x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 96 97 98 99

R R R R R

R R R R

Su valor actual es tambieacuten la suma de los valores actuales de un conjunto de dotales puros en este caso tambieacuten para simplifi car el anaacutelisis supondremos un pago anual de $1 por anticipa-do y utilizaremos el siacutembolo aumlx para denotar el valor actual de una anualidad vitalicia antici-pada de $1 anuales a una persona de edad x pagadera mientras viva

Como el primer pago se hace en el momento de realizar la operacioacuten y como se le paga en tanto viva el valor actual de esta anualidad es un pago en el momento de formalizar la operacioacuten maacutes el valor actual de una anualidad contingente vencida y unitaria o

auml a

1Sustituyendo tenemos

aumlD D D D

xx x x x

=+ + + + hellip

+ + + (hastaa el final de la tabla)

= (125)

Ejemplo 1241

Encontrar el valor actual (o prima neta uacutenica) de una anualidad de $1 anuales pagaderos por anticipado a un hombre de 65 antildeos de edad a 45 de intereacutes anual

Solucioacuten

10 04565

De la tabla II del apeacutendice

5111 2

55074 5821

55045285

Ahora de manera similar al caso de las anualidades vencidas el valor actual de una anualidad vitalicia anticipada con el valor de $R es

124 Anualidades vitalicias anticipadas

C Rauml

= (126)

Y al igual que antes en este caso a C se le denomina ldquoprima neta uacutenicardquo

Ejemplo 1242

Determinar la prima neta uacutenica de una anualidad anticipada de $240 000 pagadera a una mujer de 35 antildeos de edad

Solucioacuten

2400 04535408

000408 699620 9238

687 86282C $

125 Anualidades vitalicias diferidasEacuteste seriacutea el caso de una anualidad pagadera a una persona de x antildeos de edad pero pospo-niendo el inicio del pago durante k antildeos Se pueden presentar dos casos

a) Que el primer pago se haga unos antildeos despueacutes de expirar el periodo de aplazamiento (k) en cuyo caso tendriacuteamos una anualidad vitalicia diferida vencida

b) Que el primer pago se haga en el momento de expirar el periodo de aplazamiento En este caso se estaacute en presencia de una anualidad vitalicia diferida anticipada

Analizaremos los dos casos en forma separada

Anualidades vitalicias diferidas vencidas

A una persona de edad x se le va a pagar una anualidad de $1 anual El primer pago se reali-zaraacute despueacutes de k antildeos y como se trata de una anualidad vencida se hace un antildeo despueacutes de vencer el periodo de aplazamiento o sea el antildeo k + 1 Ademaacutes seguiremos utilizando la tasa de 45 Se utiliza el siacutembolo k|ax para denotar el valor actual (prima neta uacutenica) de una anua-lidad vitalicia vencida de $1 diferida durante k antildeos Tenemos entonces que

k xk x k x k x

aE E E

v| (= + + ++ + + hellip1 2 3 hasta el final de la ttabla)

ha1 11

2+ + + hellipminus ++ +

minus ++ +i v i v

) ( )(

( ) ( )

ssta el final de la tabla)

Multiplicando tanto el numerador como el denominador de la expresioacuten anterior por (1 + i)minusx

x kx k

x kx ka

i v i v|

( ) ( )( ) ( )

12+ + +minus + +

+ +minus + +

+ + 22

+ hellip

+ minus( )i vxx

=D D D

Dx k x k x k

+ + + + + ++ + + hellip1 2 3 (hasta el final de la taabla)

Por lo que

k xx k

D| = + + 1 (127)

Ejemplo 1251

iquestCuaacutel es la prima neta uacutenica de una anualidad vitalicia vencida de $1 pagadera a una mu-jer de 40 antildeos si el primer pago debe hacerse cuando esta persona tenga 60 antildeos

Solucioacuten

x = 40 k = 20 R = 1

20 401 61

835 010| a

= + + = = =680316 7015

3346376

De nueva cuenta el valor actual de una anualidad vitalicia vencida de $R anuales paga-dera a una persona de edad x y diferida durante k antildeos es

1 (128)

Ejemplo 1252

Determinar la prima neta uacutenica de una anualidad de $125 000 anuales pagaderos a un hombre de 48 antildeos si el primer pago debe realizarse dentro de 15 antildeos

125 Anualidades vitalicias diferidas

SolucioacutenObserve que en este caso cuando se especifi ca que el primer pago debe hacerse dentro de 15 antildeos no se sabe en realidad si la anualidad es anticipada o vencida pero al saber que el primer pago se realizaraacute dentro de 15 antildeos y que k + 1 = 15 se puede determinar el valor actual si se considera la operacioacuten como una anualidad vencida con

R = 125 000 x = 48 k = 14

000 =125 000

48 + 14 + 1

552114007

000(540714167)675 89271

= 125=

Anualidades vitalicias diferidas anticipadas

Como se vio al principio de la seccioacuten en este tipo de anualidades el primer pago se hace el diacutea en que vence el periodo de aplazamiento o diferimiento Del desarrollo anterior es faacutecil comprobar que el valor actual de una anualidad vitalicia anticipada de $1 y diferida durante k antildeos es

k xx k

D| = + (129)

Ejemplo 1253

Encontrar el valor actual de una anualidad vitalicia anticipada de $1 pagadera a un hombre de 35 antildeos de edad si se aplaza 10 antildeos

Solucioacuten

10 3510 35

22310| auml

D= + = = =1785

20 716277731389

Tambieacuten y a semejanza del caso vencido el valor actual de una anualidad vitalicia anti-cipada de $R diferida durante k antildeos es

C R auml

(1210)

Ejemplo 1254

iquestCuaacutel es la prima de una anualidad vitalicia anticipada de $300 000 pagadera a una mujer de 50 antildeos de edad y diferida durante 5 antildeos

Solucioacuten

$300550

300 30050 5

000 000+ =550

300 300C = 000127 744105373

000(1212⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 330296)

636 90889C = $3

126 Anualidades contingentes temporalesSon anualidades que se pagan durante un nuacutemero especifi cado de periodos que termina al cubrir este nuacutemero de pagos (aunque el rentista siga vivo) o a su muerte si eacutesta ocurre antes de cubrir todos los pagos

Anualidades contingentes temporales vencidas

Ejemplo 1261

Se le va a pagar a una persona de 50 antildeos de edad una anualidad de $1 durante 15 antildeos iquestCuaacutel es el valor de la prima neta uacutenica

Para ilustrar el caso

Si consideramos la parte A del diagrama anterior tenemos la anualidad contingente temporal propuesta en el ejemplo Si antildeadimos la parte B tenemos una anualidad vitalicia vencida que ya analizamos Es posible apreciar que esta parte B puede contemplarse como una anualidad vitalicia vencida diferida durante n antildeos (n es el nuacutemero de pagos de la anualidad temporal) De esto se puede considerar que la anualidad contingente temporal es igual a una anualidad vitalicia vencida menos una anualidad vitalicia vencida diferidan antildeos En el caso de una anualidad de $1 y utilizando el siacutembolo axn para denotar el valor

126 Anualidades contingentes temporales

50 51 52 53 64 65 66 67 68 97 98 99

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

actual de una anualidad temporal de $1 pagadera a una persona con x antildeos de edad du-rante n antildeos tenemos

a a axn x n x= minus |

y recordando que

n x n kx n

D| |= = + + 1

x nx x n

D =minus+ + +1 1

(1211)

C RN N

Dx x n

=minus+ + +1 1 (1212)

Ejemplo 1262

Se le va a pagar a una mujer de 45 antildeos de edad una anualidad contingente temporal vencida de $80 000 durante 10 antildeos iquestCuaacutel es su prima neta uacutenica

R = 80 000 x = 45 n = 10

C RaN N

Dx n= =minus

= minus 80 8046 56

000 0002231883 119 45668

13 296

C = $62413658

Anualidades contingentes temporales anticipadas

En este caso el primer pago se hace al principio del primer periodo de pago Tambieacuten de los desarrollos anteriores se deduce que el valor actual o prima neta uacutenica de este tipo de anua-lidades estaacute dado por

C Raumlx n=

de donde

C RN N

Dx x n

= +minus (1213)

Ejemplo 1263

El sentildeor Torres de 65 antildeos de edad va a recibir una anualidad anticipada de $50 000 du-rante 10 antildeos siempre y cuando permanezca vivo para cobrarla Se debe calcular su prima neta uacutenica

Solucioacuten

R = 50 000 x = 65 n = 10

C RN N

Dx x n

=minus

= minus

+ 65 75

50 000515507 17 3914

4 58210 C = $372 74721

1 iquestQueacute es una anualidad contingente 2 iquestQueacute es un dotal puro 3 iquestQueacute es una prima neta uacutenica 4 Calcule el valor actual de un dotal puro de $2 000 000 pagadero a una persona de 55

antildeos si vive a los 75 antildeos (Utilice 45 como porcentaje anual seguacuten se convino para todos los ejemplos)

5 El valor actual de un dotal puro pagadero a una persona de 40 antildeos si vive para cum-plir 60 antildeos asciende a $500 000 iquestCuaacutel es el valor a futuro del dotal

6 iquestQueacute es una anualidad vitalicia 7 Explique la diferencia que existe entre las anualidades vitalicias vencidas y las anti-

cipadas 8 Calcule la prima neta uacutenica de una anualidad vitalicia vencida de $7 000 pagadera a

una mujer de 38 antildeos de edad 9 iquestQueacute anualidad vitalicia vencida anual pagadera a un hombre de 69 antildeos equivale

a una prima neta uacutenica de $250 00010 Calcule la prima neta uacutenica de una anualidad vitalicia anticipada de $80 000 anuales

pagadera a una mujer de 75 antildeos11 Un hombre de 60 antildeos va a recibir una anualidad vitalicia vencida de $30 000 iquestQueacute

cantidad anual recibiriacutea si la anualidad se convirtiera en anticipada12 iquestQueacute es una anualidad vitalicia diferida13 iquestCuaacutel es el valor actual de una anualidad vitalicia vencida de $75 000 pagadera a una

mujer de 52 antildeos si se difiere durante 10 antildeos

14 Calcule el valor actual de la anualidad del ejemplo anterior si se le considera adelan-tada

15 El valor actual de una anualidad vitalicia anticipada pagadera a un hombre de 45 antildeos y diferida durante 6 antildeos es de $7 500 iquestCuaacutel es el valor del pago anual

16 iquestQueacute es una anualidad contingente temporal anticipada17 iquestQueacute es una anualidad contingente temporal vencida18 El sentildeor Garciacutea de 63 antildeos puede recibir hoy como pago por jubilacioacuten la cantidad

de $300 000 Tambieacuten puede optar por recibir una anualidad contingente tempo-ral durante 5 antildeos a 45 anual iquestCuaacutel debe ser el importe de los pagos anuales que recibiraacute

19 iquestCuaacutel es el valor actual de una anualidad contingente vencida pagadera durante 15 antildeos a una mujer de 48 antildeos si el pago anual es de $150 000

127 Aplicaciones Ejemplo 1271

Consultando el sitio de una aseguradora mexicana se encontraron los siguientes tipos de seguros de vida individual

1 Temporal Si el asegurado fallece durante la vigencia del seguro establecida en el contrato la aseguradora paga la suma asegurada contratada a los beneficiarios designados

2 Dotal ahorro Si el asegurado sobrevive al teacutermino de la vigencia del seguro la empre-sa le paga la suma asegurada contratada En caso de fallecimiento antes del teacutermino de la vigencia paga a los benefi ciarios lo que resulte mayor entre el monto de las primas pagadas o su valor en efectivo Tiene las opciones descritas en 3 y 4

3 Dotal mixto Si el asegurado fallece durante la vigencia del seguro la empresa paga lasuma asegurada contratada maacutes 10 adicional En caso de que el asegurado sobreviva al teacutermino de la vigencia del seguro la compantildeiacutea le paga la suma asegurada contratada

Las tres opciones anteriores tienen diversas coberturas adicionales como pagos por muerte accidental o invalidez Tienen ademaacutes las siguientes opciones de contratacioacuten

bull Plazos a 5 10 15 y 20 antildeos bull Pagos en forma mensual trimestral semestral o anual bull En moneda doacutelares Udis o pesos

4 Vitalicio Ofrece proteccioacuten garantizada de por vida La empresa paga la suma asegu-rada contratada a los benefi ciarios asignados al ocurrir el fallecimiento del asegurado Tiene las siguientes opciones de contratacioacuten

bull Individual o mancomunada bull Pagos en forma mensual trimestral semestral o anual bull En moneda doacutelares Udis o pesos

Cuando se solicitoacute informacioacuten sobre un seguro de vida para una mujer de 70 antildeos de edad a una empresa aseguradora mexicana hacia principios de octubre de 2006 se obtu-vieron los siguientes datos

Datos del asegurado propuestoFecha de nacimiento 01011936Edad 70Sexo FemeninoFumador No

Coberturas[ x ] BAacuteSICA (obligatoria)[ x ] MUERTE ACCIDENTAL Y PEacuteRDIDAS ORGAacuteNICAS (obligatoria)[ ] INVALIDEZ TOTAL Y PERMANENTE (opcional)[ x ] GASTOS FUNERARIOS (obligatoria) Suma asegurada de $20 00000 aplica para

titular coacutenyuge e hijos[ x ] ASISTENCIA MEacuteDICA (obligatoria)[ x ] ASISTENCIA LEGAL (obligatoria) aplica para titular coacutenyuge e hijos

Esta cotizacioacuten incluyeDescuento de 5 antildeos de edad en el costo de la prima (NO FUMAR POR SER MUJER)Descuento promocional () Mensual Uacutenicamente paga 11 mensualidades Anual 833 de descuento en la prima total

Prima seguacuten forma de pago

Suma asegurada Mensual Trimestral Semestral Anual

$500 000 $211967 $6 28103 $12 33286 $2179797$450 000 $192331 $5 69921 $1119057 $19 77947$400 000 $172694 $511738 $10 04828 $17 76097$350 000 $153058 $4 53556 $8 90599 $15 74247$300 000 $133422 $3 95374 $7 76371 $13 72397$250 000 $113785 $3 37191 $6 62142 $1170547$200 000 $94149 $2 79009 $5 47913 $10 56760$150 000 $74513 $2 20827 $4 33684 $8 36560$100 000 $54876 $162644 $319456 $616360

Los ejemplos siguientes se resuelven con estos datos

Ejemplo 1272

iquestQueacute tasa de intereacutes cobra la aseguradora por los pagos

a) mensualb) trimestralc) semestral en comparacioacuten con el anual por una suma asegurada de $500 000

127 Aplicaciones

SolucioacutenSe plantean como anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas

a) 21797 97 2119 671 1 12

( )= minus + minusi

b) 21797 97 6 281 031 1 4

( )= minus + minusi

c) 21797 97 12 332 861 1 12

( )= minus + minusi

Utilizando la funcioacuten tasa de Excel que se ha aplicado repetidamente antes se obtiene

a) =TASA(12minus2119672179797) = 00245838 o 246 mensualb) =TASA(4minus6 281032179797) = 00593279 o 593 trimestral yc) =TASA(2minus12 332862179797) = 00865113 u 865 semestral

Para remarcar y para recordar que se requieren tasas efectivas al mismo plazo para poder hacer comparaciones vaacutelidas se encuentran las tasas efectivas anuales en los tres casos

a) 1 0245838 1 0 338412 minus =b) 1 0593279 1 0 25934 minus =c) 1 0865113 1 0 18052 minus =

De lo anterior se puede observar que conforme maacutes numerosos son los pagos mayor es la tasa que se paga

Ademaacutes vale la pena comentar que en el momento de escribir este texto las tasas en instrumentos de deuda como los Cetes cobraban alrededor de 8 de intereacutes efectivo (contra los 3384 2593 y 1805 de los tres incisos anteriores)

Ejemplo 1273

Comparar el costo anual de una poacuteliza de seguro de vida vitalicio por $300 000 para una mujer de 70 antildeos de edad contra el valor de un dotal puro por la misma cantidad a recibir si alcanza la edad de 71 antildeos

SolucioacutenEl costo anual del seguro de vida de acuerdo con la tabla anterior es de $13 72397 en tanto que el valor de un dotal puro de $300 000 en el caso de que la mujer en cuestioacuten alcance los 71 antildeos de edad es utilizando como tasa de intereacutes 8 que es aproximadamente la tasa efectiva anual de instrumentos de deuda

⎝⎜

⎠⎟ =minus300 000 1 08 300 000 0 9259251 71

( ) ( v

78 73380 432

271910 16) $ ⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

O sea que aparte de otra numerosa cantidad de consideraciones que escapan al alcance de este libro (entre las que se encuentran las coberturas adicionales del seguro tales como

la muerte accidental o la invalidez permanente que se anotaron arriba) se pagariacutean hoy

$13 72397 por una probabilidad de 178 73380 432

1 0 02112minus = minus (211) de que los deudos reci-

ban $300 000 de indemnizacioacuten si la sentildeora muere o nada si continuacutea con vida y esto uacuteltimo tiene una probabilidad de 9789 de ocurrir

128 ResumenEste capiacutetulo se ocupoacute de las anualidades contingentes que son aquellas cuyas fechas de ini-cio de terminacioacuten o ambas dependen de alguacuten suceso que se sabe va a ocurrir pero no se sabe cuaacutendo Un concepto muy importante para manejar anualidades contingentes es el de renta vitalicia una anualidad que se paga a una persona a partir de cierta fecha y mientras viva para recibirla

Se explicoacute tambieacuten el concepto de dotal puro que es un compromiso de pagar a una perso-na una cantidad determinada en una fecha futura siempre y cuando esteacute viva para recibirla Con estos elementos y los ya conocidos de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas se revisaron las

bull Anualidades vitalicias vencidas Con respecto a eacutestas se vio que se les puede contemplar como un conjunto de dotales puros y que por ello su valor actual o capital es la suma de los valores actuales de cada uno de esos dotales A este valor actual de una anualidad con-tingente se le llama prima neta uacutenica

bull Anualidades vitalicias anticipadas que se pueden contemplar de manera similar a las ven-cidas al igual que las dos siguientes

bull Anualidades vitalicias diferidas vencidasbull Anualidades vitalicias diferidas anticipadas

Estos cuatro tipos de anualidades pueden resolverse combinando las foacutermulas de las anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas y las de los valores actuales de dotales pu-ros tomando en cuenta sus correspondientes caracteriacutesticas

bull Anualidades contingentes temporales son aquellas que se pagan durante un nuacutemero es-pecifi cado de periodos que terminan al cubrirse este nuacutemero de pagos aunque el rentis-ta siga vivo o a la muerte de eacuteste si ocurre antes de cubrir todos los pagos Se explicaron tambieacuten los casos vencido y anticipado

bull Definir y explicar los siguientes conceptos

Dotal puro Anualidad contingente Prima neta uacutenica Renta vitalicia

Anualidad vitalicia vencida Anualidad vitalicia anticipada Anualidad vitalicia diferida vencida Anualidad vitalicia diferida anticipada Anualidad contingente temporal vencida Anualidad contingente temporal anticipada

bull Identificar situaciones que se pueden representar mediante esos tipos de anualidadesbull Plantear y resolver anualidades de esos tipos calculando seguacuten sea necesario

El valor actual o prima neta uacutenica La renta

Teacuterminos y conceptos importantesbull Anualidad contingentebull Anualidad contingente temporal

anticipadabull Anualidad contingente temporal

vencidabull Anualidad vitalicia anticipada

bull Anualidad vitalicia diferida anticipadabull Anualidad vitalicia diferida vencidabull Anualidad vitalicia vencidabull Dotal purobull Prima neta uacutenicabull Renta vitalicia

Valor actual de un dotal puro de $1

n xn x n

v= + minus +( )1 (121)

Valor actual de un dotal puro de $M

C M iv

vn x n

= + minus +( )1 (122)

Valor actual de una anualidad vitalicia ordinaria de $1 por antildeo

= + 1 (123)

Valor actual o prima neta uacutenica de una anualidad vitalicia vencida de $R anuales

= + 1 (124)

Valor actual de una anualidad vitalicia anticipada de $1 al antildeo

= (125)

Prima neta uacutenica de una anualidad vitalicia anticipada de $R anuales

= (126)

Valor actual de una anualidad vitalicia vencida de $1 diferida durante k antildeos

k xx k

D| = + + 1 (127)

Valor actual de una anualidad vitalicia vencida de $R anuales pagadera a una persona de x antildeos de edad y diferida durante k antildeos

= + + 1 (128)

Valor actual de una anualidad vitalicia anticipada de $1 diferida durante k antildeos

k xx k

D| = + (129)

Prima neta uacutenica de una anualidad vitalicia anticipada de $R diferida durante k antildeos

= = + (1210)

Prima neta uacutenica de una anualidad temporal vencida de $1 pagadera a una persona de x antildeos de edad durante n antildeos (una anualidad contingente temporal vencida)

Dx nx x n

minus+ + +1 1 (1211)

Prima neta uacutenica de una anualidad temporal vencida de $R pagadera a una persona de x antildeos de edad durante n antildeos (una anualidad contingente temporal vencida)

C RN N

Dx x n

=minus+ + +1 1 (1212)

Prima neta uacutenica de una anualidad temporal anticipada de $R pagadera a una persona de x antildeos de edad durante n antildeos (una anualidad contingente temporal anticipada)

C RN N

Dx x n

=minus + (1213)

1 Deacute un ejemplo de cada una de las siguientes anualidades a) Contingente temporal b) Vitalicia diferida vencida c) Vitalicia inmediata y anticipada 2 Explique la diferencia entre una anualidad vitalicia y una contingente temporal 3 iquestQueacute relacioacuten se puede establecer entre los conceptos de ldquodotal purordquo y ldquoanualidad

vitaliciardquo 4 Si una mujer recibe hoy $175 000 como valor actual de un dotal puro pagadero dentro de

12 antildeos calcule el valor a futuro del dotal si la persona tiene 28 antildeos de edad 5 iquestTiene sentido calcular el monto de una anualidad vitalicia Explique su respuesta 6 iquestCuaacutel es el valor actual de un dotal puro pagadero a la sentildeora Martiacutenez dentro de 18 antildeos

si el importe del dotal es de $200 000 y la sentildeora Martiacutenez tiene 40 antildeos 7 iquestQueacute es la prima neta uacutenica de una anualidad contingente 8 iquestQueacute datos se requieren para calcular el valor actual de una anualidad vitalicia diferida y

anticipada 9 El licenciado Godiacutenez de 32 antildeos va a recibir $250 000 cada antildeo comenzando dentro de

15 antildeos y durante otros 15 antildeos maacutes si estaacute vivo para cobrarlos iquestQueacute clase de anualidad puede utilizarse para representar este caso

10 Calcule la prima neta uacutenica de una anualidad de $80 000 pagadera comenzando de inme-diato a una persona de 45 antildeos de edad durante el tiempo que permanezca viva

11 iquestCuaacutel es el valor actual de una anualidad contingente temporal en los siguientes teacuterminos a) Periodo de aplazamiento 10 antildeos b) Renta anual $75 000 c) Edad del rentista 40 antildeos d) Periodo de pago 7 antildeos e) Intereacutes 18 anual f ) Clase anticipada12 Una obrera jubilada de 58 antildeos de edad dispone de $500 000 con los cuales desea contratar

una anualidad vitalicia A 45 anual iquestqueacute renta anual vitalicia vencida seriacutea equivalente a su capital

13 Un trabajador de 33 antildeos desea reunir mediante abonos mensuales a un fondo de inver-siones que paga 45 anual efectivo la cantidad suficiente para comprar dentro de 17 antildeos una anualidad vitalicia vencida de $30 000 anuales Si se considera que el intereacutes

al que se contrataraacute esta anualidad es de 45 anual iquestcuaacutento debe depositar cada mes el trabajador

14 Calcule el valor actual de una anualidad temporal de $50 000 pagadera durante 8 antildeos a una mujer de 55 antildeos si se difiere durante 5 antildeos y es anticipada

httpespanolgeocitiescomjefranco_2000mxanualidades1htmOfrece la defi nicioacuten de anualidad contingente y de otros tipos de anualidades Ademaacutes pre-senta ejercicios de diversos tipos de anualidades y algunas ligas a sitios de intereacutes relacionadoscon el tema

httpwwwcondusefgobmxExplica la importancia de los seguros de vida incluyendo el seguro dotal puro y algunos otros importantes A la vez ayuda a la persona a decidir cuaacutel es el mejor seguro que cubra sus nece-sidades Tambieacuten ofrece otro tipo de informacioacuten referente a inversiones

httpwwwcignaclClientesBenefi ciosRentasVitaliciasbenefi ciosaspSe complementa el signifi cado de las anualidades vitalicias vencidas y se mencionan algunos datos importantes sobre ellas A su vez se dice coacutemo se manejan este tipo de anualidades en Chile y queacute porcentajes estipula la ley para su pago

httpwwwcignaclClientesBenefi ciosRentasVitaliciasbenefi ciosaspSe profundiza y se explica maacutes a detalle el signifi cado de una anualidad vitalicia diferida y tam-bieacuten se expone el funcionamiento de eacutestas en una compantildeiacutea chilena

Generales

httpusuarioslycosespacheco_1indicehtmPaacutegina que contiene conceptos baacutesicos de matemaacuteticas fi nancieras y su aplicacioacuten en el mer-cado de valores de Meacutexico

Matemaacuteticas en internet Anualidades contingentes

httpwwwfi nwebcomPaacutegina que proporciona viacutenculos a sitios relacionados con temas de economiacutea y fi nanzas En ingleacutes

httpfi sherosuedufi noverviewhtmPaacutegina de la Universidad estatal de Ohio que proporciona una gran cantidad de informacioacuten y ligas relacionadas con fi nanzas Muy completa y con acceso gratuito

httpwwwsearchpartnerscomlinkshtmSitio de la Biblioteca Virtual de Finanzas (Virtual Finance Library) Contiene viacutenculos a sitios con informacioacuten fi nanciera asiacute como calculadoras en liacutenea para aplicaciones fi nancieras

httpwwweducationindexcomfi nancenViacutenculos a sitios relevantes del mundo fi nanciero en Estados Unidos

Calculadoras fi nancieras

wwwcapitalescomcentro_calculoAyuda a obtener diferentes caacutelculos como patrimonio personal presupuesto personal cuota de un preacutestamo tasa de intereacutes conversioacuten de una tasa de intereacutes simple a una tasa de intereacutes efectiva valor futuro de una inversioacuten etc Su empleo exige suscripcioacuten

httpwwwcreditcardanalyzercomAnaacutelisis de tarjeta de creacutedito para ver los resultados de una transferencia a un creacutedito de me-nor intereacutes Disponible en ingleacutes

httpwwwcondusefgobmxLa Condusef ofrece una gama de simuladores y calculadoras que ayudan a determinar las tasas de intereacutes y el costo anual total (CAT) que se pagan en diferentes tipos de fi nanciamiento

Respuestas a los ejercicios de seccioacuten impares

Capiacutetulo 1

1 a) a7 g) c5 m) a8b12

b) a11 h) a2 n) ab

c) a11 i) x12 o) x15y15

d) b6 j) x17 p) 8116

z e) 90b6 k) 8y7 q) (105)14

f ) cminus5 l) 1x9 r) (130)31

3 a) x32

b) x136

c) b d) c76

e) aminus8bminus12 minus aminus163bminus18

5 a) i = 041421356 f ) i = 012468265 b) i = minus033056705 g) i = 093877776 c) i = 005119632 h) i = 048168887 d) i = 015104536 i) i = 0157625 e) i = 013621937 j) i = 004469751

7 a) 8 b) 125 c) 2 d) 7 776 e) 100

13 RESPUESTAS 13indd 50513 RESPUESTAS 13indd 505 112808 31528 AM112808 31528 AM

9 a) 0301030 d) 0602060 b) 0301030 e) 0903090 c) 0301030 f ) 0903090

11 a) 400 b) 4 c) 0004

13 a) 5656854 f ) 4 859902588 b) 213746993 g) 1507721 c) 0593658 h) 0952911 d) 49966061 i) 0410031 e) 5215432 j) 219650643

15 a) 3969362 e) 4899079 b) 22517085 f ) 1813163 c) 6603568 g) 8553458 d) 6603568

17 a) 2 550 b) 2 484 c) 25 245

19 16 500

21 a) r = 3 t8 = 8 748 S8 = 13 120 b) r = 3 t1 = 222222222 S7 = 2 42888888646 c) r = 05 t1 = 128 S9 = 2555 d) t1 = 2 048 S8 = 1 638375 e) t12 = 160103222 S12 = 1562683768

23 $31381

25 a) 022222222 b) 044444444 c) 125 d) 08 e) 20

27 90 m

Capiacutetulo 2

1 $192 000 3 $53 37313

Respuestas a los ejercicios de seccioacuten impares506

5 $50 33557 7 $4 95520 con tiempo aproximado $4 95655 con tiempo real 9 $8374411 $67513 $1 7600015 $14 7000017 $7456421 a) $3699 b) $3750

23 273 diacuteas25 2027 1785714 antildeos que equivalen a 652 diacuteas de tiempo real y a 643 diacuteas de tiempo aproximado29 12531 26733 Tiempo ordinario 15 de diciembre Tiempo exacto 12 de diciembre35 329041 $1732543 a) 18 52778 b) 17 95424 considerando 360 diacuteas en el antildeo

45 t asymp 104 diacuteas se descontoacute el 1 de julio (tiempo aproximado) el 2 de julio (tiempo real)47 i = 030 anual = 3049 i = 36 anual51 $1 50053 Tres meses o 90 diacuteas55 21 de agosto57 15 de febrero con tiempo aproximado59 $5 4054061 $8 3333563 $10 4460565 $5 6617267 a) $57127

69 $75 2461371 $1 2276473 $113 4784575 $35583

Capiacutetulo 3

1 a) 25 e) 9 b) 4 f ) 15 c) 2 g) 05 d) 15

3 a) $1 10250 f ) $1 63209 b) $1 210 g) $1 79586 c) $1 33547 h) $1 97456 d) $1 46410 i) $2 16942 e) $1 60181

5 a) $58 03773 c) $78 19719 b) $67 36755 d) $105 35907

7 Antildeos

Por ciento 1 5 10 15 20

10 110 161 259 418 67320 120 249 619 1541 383430 130 371 1379 5119 1900540 140 538 2893 15557 8366850 150 759 5767 43789 3 3252660 160 1049 10995 1 15292 12 0892670 170 1420 20160 2 86242 40 6423180 180 1890 35705 6 74664 127 4823690 190 2476 61311 15 18113 375 89973

100 200 3200 1 02400 32 76800 1 048 57600

9 $378 7430911 a) Exacto 14 37813 b) Aproximado 14 38753

13 a) 5 antildeos 4 391 339 10 antildeos 5 041 533 20 antildeos 6 644 981 b) 5 antildeos 4 391 339 10 antildeos 4 968 397 20 antildeos 6 056 448

1 antildeo

2 169421 974561 795861 632091 601811 464101 335471 210001 10250

15 a) 6 b) 609 c) 614 d) 617 e) 618

17 147319 19121 169823 a) 18 b) 1962 c) 2143

25 a) 3718 b) 2217 c) 1104

27 $499 1322329 a) 86151 b) 86307 c) 86533 d) 86956

31 a) Contado b) Contado c) A plazos

33 271 26710 doacutelares35 a) Exacto $146 81991 b) Aproximado $147 13511

37 a) 13898 meses c) 2345 semestres b) 4656 trimestres d) 1190 antildeos

39 2853 meses41 El 27 de octubre (887 meses)43 a) 3094 c) 33 b) 3174 d) 3572

45 71847 $1 6892449 a) 105 37750 b) 200 34450

51 a) $64 30011 b) $78 40698 c) $86 58173

53 $9 02084

Capiacutetulo 4

1 Simple cierta vencida e inmediata C = $2 217 53821 3 General cierta anticipada diferida 5 General cierta vencida e inmediata 7 $636 96960 9 $8 0300611 $70 6849713 $7 6858415 $39 3935617 $191 2807419 La opcioacuten b)21 Cinco pagos completos y uno fi nal de $298323 El 12 de octubre tres antildeos despueacutes25 a) Aproximadamente 971 meses (971) b) Ocho pagos de $100 y un noveno de $17562

27 Aproximadamente 1143 semestral29 a) 4985 b) 2077 c) 6378

31 Conviene maacutes el plan de ldquoLa Gangardquo Eacutesta cobra 252 mensual y ldquoLa Bagatelardquo 285 La diferencia entre ambas tasas es de casi 034

33 a) $7 61077 b) $11745 c) Que ahorre en el banco

Capiacutetulo 5

1 La anticipada porque empieza a generar intereses maacutes pronto 3 $3 78205 5 $276 05559 7 $180 96426 9 $3 5993511 Siacute13 0015 mensual aproximadamente = 18 anual15 18

17 Aproximadamente 2820 anual convertible cada mes19 1 semanal asymp 435 mensual asymp 6777 anual

Capiacutetulo 6 1 Simple el periodo de pago es igual al de capitalizacioacuten

Cierta las fechas son conocidasVencida los pagos o depoacutesitos se hacen al fi nal de los periodosDiferida la realizacioacuten de los pagos o depoacutesitos se pospone para alguacuten periodo poste-rior a la formalizacioacuten del trato

3 $918 07129 5 $148 78853 7 $81170 9 $37 7059411 La solucioacuten matemaacutetica y la praacutectica son iguales n = 2413 n = 6 pagos15 La opcioacuten a) es la maacutes cara pues fue contratada a una tasa efectiva anual de 2453 con-

tra una tasa efectiva anual de 2176 de la opcioacuten b)17 $232 0455619 $76 54202

Capiacutetulo 7 1 a) $39 07149 b) $40 99339 c) 38 82049

3 $6 17689 5 $31 71982 7 La b) $147 55768 contra $118 23391 de la a) 9 $10 3191311 $122 1623313 $3 5508315 28 anual efectivo aproximadamente17 La b) con tasa efectiva anual de 1428 contra 1378 de la alternativa a) 19 Veintiocho pagos completos y un pago menor de $2 1887321 $8 2683223 $93 9572925 $7 9289627 $3 1750029 1461 quincenas31 2117 con capitalizacioacuten mensual33 C = $94 50677 M = $67 53840

35 $4 9534637 $1 10270

Capiacutetulo 8

1 Liquidar una deuda y sus intereses mediante pagos generalmente iguales 3 a) 3 30588

b) Fecha (n ) Pago 4 saldo Amortizacioacuten Saldo

0 mdash 0 0 12 0001 3 30588 480 2 82588 9 174122 3 30588 36696 2 93892 6 235203 3 30588 24941 3 05647 3 178734 3 30588 12715 3 17873 0

5 a) $2 23785

b) Fecha (n ) Pago Intereacutes Amortizacioacuten Saldo

0 mdash 0 0 7 2501 2 23785 65250 1 58535 5 664652 2 23785 50982 1 72803 3 936623 2 23785 35430 1 88355 2 053074 2 23785 18478 2 05307 0

7Periodo

Pago por periodo

Intereacutes sobre saldo Amortizacioacuten Saldo

0 110 000001 5 81582 2 20000 3 61582 106 384182 5 81582 2 12768 3 68814 102 69604

23 5 81582 22584 5 58999 5 7017824 5 81582 11404 5 70178 mdash

9 $76 3139211 6 pagos de $9 500 y un seacuteptimo pago de $16 74523

PeriodoPago por periodo

0 59 540001 9 50000 3 12585 6 37415 53 165852 9 50000 2 79121 6 70879 46 457063 9 50000 2 43900 7 06100 39 396054 9 50000 2 06829 7 43171 31 964355 9 50000 1 67813 7 82187 24 142476 9 50000 1 27648 8 23252 15 909957 16 74523 83527 15 90996 0

13 4 pagos15 24 pagos17 3 efectivo mensual19 3 anual convertible mensualmente21 $4 6978123 $30 19013

25Fecha

Depoacutesito por periodo

15 de intereacutes

Fin quincena 1 25 53346 0 25 53346 25 53346Fin quincena 2 25 53346 8921 25 62267 51 15612Fin quincena 3 25 53346 17873 25 71219 76 86831Fin quincena 4 25 53346 26857 25 80203 102 67034Fin quincena 5 25 53346 35872 25 89217 128 56251Fin quincena 6 25 53346 44918 25 98264 154 54515Totales 153 20073 1 34442 154 54515 mdash

27Fecha

Depoacutesito por periodo Intereses

Inicio periodo 1 1 07825 mdash 1 07825 1 07825Inicio periodo 2 1 07825 719 1 08544 2 16369Inicio periodo 3 1 07825 1442 1 09268 3 25637Inicio periodo 4 1 07825 2171 1 09996 4 35633Inicio periodo 5 1 07825 2904 1 10730 5 46363Inicio periodo 6 1 07825 3642 1 11468 6 57831Inicio periodo 7 1 07825 4386 1 12211 7 70042Inicio periodo 8 1 07825 5134 1 12959 8 83001

Fin periodo 8 mdash 5887 5887 8 88888Totales 8 62603 26285 8 88888 mdash

29 $46 1685131 $6287833 $40 8120335 Aproximadamente 759437 075 mensual39 Aproximadamente 19 quincenas41 6 efectivo anual

Capiacutetulo 9

1 Son tres intereses dividendos y ganancias de capital 3 Las ganancias de capital 5 i30 = 0003996 = 04 7 79 diacuteas

9 i30 = 00050611 i365 = 575713 i30 = minus00116 o 116 de peacuterdida15 i48 = 010127517 a) i = 00012522 b) i = 0019992 c) i = 0018716

21 i57 = 0193348 i30 = 0097498

23 i67 = 0079522 i30 = 00348555

25 i365 = 2101566 = 21016 27 a) i365 = minus0387771 b) i365 = 0184567 c) i365 = 0169299

29 i30 = 000593931 i365 = 0074703633 i360 = 0417635 i365 = 031489637 i365 = 0026861647 i365 = 009164 49 i176 = 004318333 51 i30 = 00051629453 i365 = 01024555 i31 = 00073759 i45 = 007739

Capiacutetulo 10

1 La depreciacioacuten anual es de $4 900

PeriodoDepreciacioacuten por

periodoDepreciacioacuten acumulada

Valor en libros

0 mdash mdash 25 0001 4 900 4 900 20 1002 4 900 9 800 15 2003 4 900 14 700 10 3004 4 900 19 600 5 4005 4 900 24 500 500

3 Tasa de depreciacioacuten = 916745

Valor en libros

0 mdash mdash 250 000001 229 18617 229 18617 20 813832 19 08097 248 26714 1 732863 1 58859 249 85573 144274 13226 249 98799 12015 1101 249 99900 100

5 El valor en libros a los 5 antildeos seraacute de $114 688

Valor en libros

0 mdash mdash 350 0001 70 000 70 000 280 0002 56 000 126 000 224 0003 44 800 170 800 179 2004 35 840 206 640 143 3605 28 672 235 312 114 688

7 El valor en libros seriacutea de 0 9 Debe ofrecerlo en $1509611 El valor en libros es de $112 000 precio al cual deberiacutea venderlo13 a) $10 675 38462 b) $6 743 07692

Periodo NumeradorFraccioacuten(BSuma)

Depreciacioacutenpor periodo

Valor en libros

0 mdash mdash 85 5501 15 125000 10 69375 10 69375 84 856252 14 116667 9 98083 20 67458 64 875423 13 108333 9 26792 29 94250 55 607504 12 100000 8 555 38 49750 47 052505 11 91667 7 84208 46 33958 39 21042

b) Valor en libros a los 10 antildeos $10 69375

17 a)Periodo

Horas de trabajo

Valor en libros

0 mdash mdash mdash 15 3851 1 800 5 53860 5 53860 9 846402 1 700 5 23090 10 76950 4 615503 1 500 4 61550 15 385 mdash

b) $4 61550

19Periodo

Horas de trabajo

Valor en libros

0 mdash mdash mdash 27 250001 25 000 4 54167 4 54167 22 708332 35 000 6 35833 10 90000 16 350003 45 000 8 17500 19 07500 8 175004 45 000 8 17500 27 25000 mdash

21 a) $35 67870 b) $147 01007 c) $304 53623

23 a) $1 09252 b) D4 = $5 03320 V4 = 12 96679 c) V6 $9 67622

25 148 4381627 El precio futuro a precios constantes seriacutea de $16 038 Bajo el supuesto de 25 de infl acioacuten el valor de reposicioacuten seraacute de $31 32422

Capiacutetulo 11

1 a) 521 b) 1121 c) 1121

3 a) p = 111 q = 1011

5 a) 1270 725 b) 48812 175 = 966 497 400 c) 72812 175 = 24270 725

7 a) 0216 = 2160 b) 0064 = 640

9 a) 0504 = 504 b) 018 = 1800 c) 0216 = 2160

11 $3 00013 $22515 a) $13 06102 b) $8 07987 c) $3 42387

17 a) $4 57350 b) $55 34023 c) $921 34480

19 440821 a) 0000406 b) 0005993 c) 0082339

23 a) 0001696 b) 0002362 c) 0020689

25 a) 584 5924 b) 330 3652 c) 3 8722

Capiacutetulo 12

5 $1 294 40050 9 $27 7364311 $27 6412213 $561 4207515 $6434419 $1 562 91531

Manejo de tablas

Como se mencionoacute en un principio el uso de las tablas matemaacuteticas es cada vez menor debido a la popularizacioacuten de las calculadoras electroacutenicas Para los casos en que no se disponga de esta herramienta se proporcionan a continuacioacuten las reglas para el manejo de las tablas de mantisas que se incluyen aquiacute El manejo de las tablas de mortalidad que tambieacuten se incluyen estaacute detallado en los capiacute-tulos 11 y 12

I Mantisas con seis decimales II Tablas de mortalidad de hombres Meacutexico 2000 con columnas de conmutacioacuten a 18III Tablas de mortalidad de mujeres Meacutexico 2000 con columnas de conmutacioacuten a 18

APEacuteNDICE

14 DIAZ MATA 14 SEindd 51914 DIAZ MATA 14 SEindd 519 112808 31632 AM112808 31632 AM

APEacuteNDICE MANEJO DE TABLAS520

I MantisasEl logaritmo de un nuacutemero N es como se establecioacute en el capiacutetulo 1 el exponente L al cual debe elevarse una base b para obtener dicho nuacutemero N Los logaritmos comunes (base 10) estaacuten compuestos por dos partes

a) Una parte entera llamada caracteriacutesticab) Una parte decimal llamada mantisa

La caracteriacutestica indica la posicioacuten que ocupa el punto decimal del nuacutemero y para nuacute-meros mayores que 1 es igual al nuacutemero de diacutegitos enteros a la izquierda del punto decimal menos uno

N Caracteriacutesticas

Para nuacutemeros comprendidos entre 0 y 1 la caracteriacutestica estaacute determinada por la posi-cioacuten que ocupe la primera cifra signifi cativa (diferente de 0) a la derecha del punto decimal

El signo negativo que se coloca sobre la caracteriacutestica indica que eacutesta deberaacute ser restada de la mantisa del nuacutemero la cual por defi nicioacuten siempre es positiva La mantisa es una fraccioacuten decimal positiva por lo general infi nita que se redondea a un nuacutemero dado de cifras decimales de acuerdo con la precisioacuten que se requiera en los caacutelculos en que se utilice Para los efectos de este libro se redondeoacute a 6 decimales La tabla I proporciona la mantisa con 6 cifras decimales para todo nuacutemero con 4 o menos diacutegitos El punto decimal ha sido omitido en la impresioacuten Para localizar la mantisa se procede de la siguiente manera

a) Se buscan los 3 primeros diacutegitos signifi cativos del nuacutemero en la columna del extremo iz-quierdo de la tabla I

b) Se busca el cuarto diacutegito del nuacutemero en el rengloacuten superior de la tabla Ic) La fraccioacuten decimal que se encuentra en la interseccioacuten del rengloacuten y la columna asiacute lo-

calizada corresponden a la mantisa del nuacutemero cuyo logaritmo se desea determinar

Ejemplo 1

Se requiere encontrar la mantisa del nuacutemero 2804

SolucioacutenSe localiza en la columna (N) los 3 primeros diacutegitos del nuacutemero y en el rengloacuten (N) el cuarto diacutegito

N 0 1 2 3 4 5 hellip

280 447158 7313 7468 7623 7778 7933 hellip1 8706 8861 9015 9170 9324 9478 hellip2 3 4

La fraccioacuten decimal que se encuentra en la interseccioacuten del rengloacuten y la columna co-rresponde a la mantisa del nuacutemero En este caso 00447778

Observe que los primeros 2 diacutegitos de la mantisa se imprimen soacutelo cuando apare-cen por primera vez a fi n de evitar repeticiones innecesarias que difi culten la lectura de la tabla En caso de que dichos diacutegitos cambien en el cuerpo de la tabla se indica con un (asterisco)

Ejemplo 2

SolucioacutenProcediendo como se explicoacute arriba se tiene

N 0 1 2 3 4 5 hellip

380 579784 9898 0012 0126 0241 0355 hellip

1 580925 1039 1153 1267 1381 1495 hellip2 hellip3 hellip4 hellip

La mantisa del nuacutemero 3804 es 0580241 por lo cual

log 3804 = 0580241 log 03804 = 0580241 minus 1 = 1580241log 3804 = 1580241 log 003804 = 0580241 minus 2 = 2580241log 3804 = 2580241 log 0003804 = 0580241 minus 3 = 3580241log 3804 = 3580241 log 00003804 = 0580241 minus 4 = 4580241

Como se puede observar para todo nuacutemero cuyos primeros 4 diacutegitos signifi ca-tivos sean 3804 la mantisa seraacute la misma y diferiraacuten exclusivamente en el valor de la caracteriacutestica

APEacuteNDICE MANEJO DE TABLAS

Interpolacioacuten

Cuando un nuacutemero tiene maacutes de 4 cifras signifi cativas su mantisa no aparece en las tablas y debe determinarse en forma aproximada por medio de interpolacioacuten Esta herramienta se introdujo en el capiacutetulo 4 donde se la utilizoacute para determinar la tasa de intereacutes en problemas de anualida-des Dada la difi cultad que su comprensioacuten presenta para algunos estudiantes en este apeacutendice se presenta un meacutetodo alternativo a fi n de que se pueda seleccionar el que resulte maacutes sencillo para el usuario A manera de ilustracioacuten observe el siguiente ejemplo

Ejemplo 3

Determinar la mantisa del nuacutemero 19 106

SolucioacutenEn la tabla I se localizan las mantisas de los nuacutemeros 1910 y 1911

Nuacutemero Mantisa

1 910 = 19 100 281 033

1 911 = 19 110 281 261

El nuacutemero 19 106 se encuentra entre el 19 100 y 19 110 y por lo tanto su mantisa debe encontrarse entre 281 033 y 281 261

Utilizando el meacutetodo que se explicoacute en el capiacutetulo 4 (consulte la seccioacuten 7 Intereacutes) esta relacioacuten puede ilustrarse como sigue

Se establece una proporcioacuten entre las diferencias de los nuacutemeros localizados en ta-blas y el nuacutemero cuya mantisa se busca y las mantisas respectivas a partir de la base de que dicho nuacutemero difi ere de aquellos en la misma proporcioacuten en que su mantisa diferiraacute de las que se localicen en las tablas

19101911 61 28103

6 191000 19100

2810332812

minusminus

= minusminus

281033228

2810336

281033 13

= minus

66 8281169 8 281170

Nuacutemero 19 100 19 106 19 110

Mantisa 281 033 x 281 261

(Se redondea a 6 cifras pues es el nuacutemero de decimales que se maneja en las tablas)

A continuacioacuten se ilustra el meacutetodo alternativo que puede usarse para interpolar La relacioacuten entre nuacutemeros y mantisas se representa como sigue

Nuacutemero Mantisa

10191001910619110

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

x m2 0

2 2228

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

Suponiendo una variacioacuten uniforme de los valores de las mantisas entre 0281033 y 0281261 el problema puede resolverse mediante una regla de tres simple

6 (diferencia entre el nuacutemero menor localizado en las tablas y el nuacutemero cuya mantisa se desea determinar) es a x (diferencia entre la mantisa del nuacutemero menor localizado en las tablas y la mantisa que se desea determinar) como 10 (diferencia entre los nuacutemeros que se localizan en las tablas) es a 228 (diferencia entre las mantisas menor y mayor localizadas en las tablas)

610 228

x = = asymp610

228 136 8 137( )

La cantidad que asiacute se obtiene se suma a la mantisa correspondiente al nuacutemero me-nor a fi n de determinar m

m = 281 033 + 137 = 281 170

La mantisa del nuacutemero 19 106 es 0281170La relacioacuten de interpolacioacuten es vaacutelida tanto si se plantea de un nuacutemero menor a un

nuacutemero mayor como si se hace de un nuacutemero mayor a uno menor en el ejemplo ante-rior se tiene

Nuacutemero Mantisa

minus⎡

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

minus10191001910619110

4 minus⎡

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

minusx m2 261

2 0228

Estableciendo la regla de tres

minusminus

410 228

228 91 2 91

281261

( ) = asymp

=m minusminus= minus =

xm 281261 91 281170

La mantisa obtenida 0281170 es la misma que se determinoacute previamenteSi el nuacutemero cuya mantisa se busca tiene 6 o maacutes diacutegitos signifi cativos se redondea a

5 diacutegitos y se procede como se ha establecido

Ejemplo 4

Determinar la mantisa del nuacutemero 465 842 y del nuacutemero 13 148 957

SolucioacutenEn ambos casos bastaraacute con redondear a 5 diacutegitos y obtener las mantisas correspondientes

N = 465 842 46 584 N = 13 148 957 13 149

a) Mantisa de 46 584

Nuacutemero Mantisa

10465804658446590

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

x m668199

668 29394

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

410 94

94 37 6 38

668199 38

= = asymp

= + == 668 237

La mantisa de 46 584 es 0668237

b) La mantisa de 13 149

Nuacutemero Mantisa

10131401314913150

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

x m1 5

1 9331

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

910 331

= = asymp

331 297 9 298

118595 298 118 893

La mantisa de 13 149 es 0118893El proceso de interpolacioacuten que aquiacute se ha visto se puede aplicar tambieacuten al manejo

de otras tablas que se presentan en el libro al igual que en la determinacioacuten de las tasas de intereacutes en problemas que involucran anualidades

Antilogaritmos

Si log N = L a N se le conoce como el antilogaritmo de L Para determinar el antilogaritmo de un logaritmo L se determina la mantisa del mismo y se busca directamente en el cuerpo de la tabla I Si no apareciese se buscan las dos que le re-sulten maacutes aproximadas y por interpolacioacuten se determina el nuacutemero N que le corresponda Finalmente se coloca el punto decimal de acuerdo con la caracteriacutestica de dicho logaritmo L

Ejemplo 5

Se desea determinar el antilogaritmo de 2863501

SolucioacutenLa caracteriacutestica del logaritmo es igual a 2 lo cual nos indica que el nuacutemero N que se busca cuenta con 3 cifras enteras Su mantisa es 0863501 que se debe localizar directamente en el cuerpo de la tabla I

N 0 1 2 3 4 5 hellip

730 863323 3382 3442 3501 3561 3620 hellip

1 3917 3977 4036 4096 4155 4214 hellip2 4511 4570 4630 4689 4748 4808 hellip hellip hellip

En este caso se le localizoacute exactamente y corresponde al nuacutemero 7304 Como la caracte-riacutestica es 2 el antilogaritmo cuenta con 3 cifras enteras y se tiene que N = 7303

Ejemplo 6

Dado log N = 1256594 se desea determinar N

SolucioacutenLa caracteriacutestica del logaritmo es 1 La mantisa es 0256494 Eacutesta se busca en el cuerpo de la tabla I y se observa que no se encuentra exactamente Los valores que maacutes se le aproximan son

Mantisa Nuacutemero

25-64-77 1805

25-67-18 1806

Puede verse que el nuacutemero que se busca se encuentra entre 1805 y 1806 Para determi-narlo se recurre a la interpolacioacuten

Nuacutemero Mantisa

241256 477256594256 718

117⎡

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

117241 10

117 241 10 4 8551

( )( )

= == 88 050 4 855 18+ = 054855

La caracteriacutestica Τ indica que el nuacutemero N se encuentra entre 0 y 1 y que su primera cifra signifi cativa ocupa el primer lugar a la derecha del punto decimal por lo cual

N = 018054855

TABLA I MANTISAS Logaritmos base 10

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

100 00 0000 0434 0868 1301 1734 2165 2598 3029 3461 3891 1 4321 4751 5181 5609 6038 6466 6894 7321 7748 81742 8600 9026 9451 9876 0300 0724 1147 1570 1993 24153 01 2837 3869 3680 4600 4821 4940 5360 5779 6127 66164 7953 7451 7868 8284 8700 9116 9538 9947 0361 0775

105 02 1189 1608 2016 2428 2841 3252 3664 4075 4486 48966 5306 5715 6125 6583 6942 7350 7757 9164 8571 89787 9384 9789 0195 0608 1004 1408 1812 2216 2619 30218 03 3124 3826 4227 4628 5029 5430 5830 6230 6629 70289 7426 7825 8223 8620 9617 9414 9811 0207 0602 0998

110 04 1393 1787 2182 2576 2969 3362 3755 4148 4540 49321 5323 5714 6105 6495 6885 7275 7664 8053 8442 88302 9218 9606 9993 0380 0766 1153 1538 1924 2309 26943 05 3078 3463 3846 4230 4613 4996 5378 5760 6142 65244 6905 7286 7666 8046 8426 8805 9185 9563 9942 0320

115 06 0698 1075 1452 1829 2206 2582 2958 3333 3709 40836 4458 4832 5206 5580 5953 6326 6699 7071 7443 78157 8186 8557 8928 9298 9668 0038 0407 0776 1145 15148 07 1882 2250 2617 2985 3352 3718 4085 4451 4816 51829 5547 5912 6276 6640 7004 7368 7731 8094 8457 8819

120 07 9181 9543 9904 0266 0626 0987 1347 1707 2067 24261 08 2785 3144 3503 3861 4219 4576 4934 5291 5647 60042 6360 6716 7071 7426 7781 8136 8490 8845 9198 95523 9905 0258 0611 0963 1315 1667 2018 2370 2721 30714 09 3422 3772 4122 4471 4820 5169 5518 5866 6215 6662

125 09 6910 7257 7604 7951 8298 8644 8990 9335 9681 06266 10 0371 0715 1059 1403 1747 2091 2434 2777 3119 34627 3804 4146 4487 4828 5169 5510 5851 6191 6531 68718 7210 7549 7888 8227 8565 8903 9241 9579 9916 02539 11 0590 0926 1263 1599 1934 2270 2605 2940 3275 3609

130 11 3943 4277 4611 4944 5278 5611 5943 6276 6608 69401 7271 7603 7934 8265 8595 8926 9256 9586 9915 02452 12 0574 0903 1231 1560 1888 2216 2544 2871 3198 35253 3852 4178 4504 4830 5156 5481 5806 6131 6456 67814 7105 7429 7753 8076 8399 8722 9045 9368 9690 0012

135 13 0334 0655 0977 1298 1619 1939 2260 2580 3900 32196 3539 3858 4177 4496 4814 5133 5451 5760 6986 64837 6721 7037 7354 7071 7987 8303 8612 8984 9249 96448 9879 0194 0508 0822 1136 1450 1163 2076 2389 27029 14 3015 3227 3639 3951 4263 4574 4885 5196 5507 5818

140 14 6128 6438 6748 7058 7367 7676 7985 8284 8603 89111 9219 9527 9825 0142 0449 0756 1063 1370 1676 19822 15 2288 2594 2900 3205 3510 3815 4120 4424 4728 50323 5336 5640 5943 6246 6549 6852 7154 7457 7459 80814 8362 8664 8965 9266 9567 3868 0163 0469 0769 1968

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

145 16 1368 1667 1967 2266 2564 2863 3161 3460 3758 40556 4353 4650 4947 5244 5541 5838 6124 6430 6726 70227 7317 7613 7908 8203 8497 8792 9086 9380 9674 99688 17 0262 0555 0848 1141 1434 1726 2019 2311 2663 28959 3186 3478 3769 4660 4351 4641 4832 5222 5512 5802

150 17 6091 6381 6670 6959 7248 7636 7825 8113 3401 86891 8977 9264 9552 8839 0126 0413 0699 0986 1272 16582 18 1844 2129 2415 2700 2985 3270 3555 3839 4123 44073 4691 4975 5259 5542 5825 6108 6391 6674 6956 72394 7521 7808 8084 8366 8647 8928 9209 9490 9771 0051

155 19 0332 0612 0892 1171 1451 1730 2010 2289 2567 28466 3125 3403 3681 3959 4237 4514 4792 5069 5346 56237 5900 6176 6453 6729 7005 7281 7556 7832 8107 83828 8657 8932 9206 9481 9755 0029 0303 0577 0850 11249 20 1397 1670 1943 2216 2488 2761 3033 3305 3577 3848

160 20 4120 4391 4663 4934 5204 5745 5746 6016 6286 65561 6826 7096 7365 7634 7904 8173 8441 8710 8979 92472 9515 9783 0051 0319 0586 0853 1121 1388 1654 19213 21 2188 2454 2720 2986 3252 3518 3783 4049 4314 45794 4844 5109 5373 5638 5902 6166 6430 6694 6957 7221

165 21 7484 7747 8010 8273 8536 8798 9060 9323 9585 98466 22 0108 0370 0631 0892 1153 1414 1675 1936 2196 24567 2716 2976 3236 3496 3755 4015 4274 4533 4792 50518 5309 5568 5826 6084 6342 6600 6858 7115 7372 76309 7887 8144 8400 8657 8913 9170 9426 9682 9938 0193

170 23 0449 0704 0960 1215 1470 1724 1979 2234 2488 27421 2996 3250 3504 3757 4011 4264 4517 4770 5023 52762 5528 5781 6033 6285 6537 6789 7041 7292 7544 77953 8046 8297 8548 8799 9049 9299 9550 9800 0050 03004 24 0549 0799 1048 1297 1546 1795 2044 2293 2541 2790

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TABLA II Tabla de mortalidad de hombres Meacutexico 2000Adaptada de Tablas de Mortalidad Meacutexico 2000 Asociacioacuten Mexicana de Instituciones de Seguros AC y Asociacioacuten Mexicana de Actuarios AC Meacutexico junio de 2000

Edadvx mx 1000 qx Dx Nx

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42 95 746 203 2120 15 0743 266 3911 4243 95 543 215 2255 14 3946 251 3168 4344 95 328 227 2383 13 7437 236 9222 4445 95 101 242 2543 13 1205 223 1785 4546 94 859 263 2775 12 5236 210 0580 4647 94 596 295 3120 11 9510 197 5344 4748 94 301 300 3178 11 4007 185 5834 4849 94 001 306 3255 10 8751 174 1827 4950 93 695 323 3451 10 3729 163 3075 5051 93 372 361 3865 9 8920 152 9346 5152 93 011 421 4526 9 4294 143 0426 5253 92 590 471 5090 8 9825 133 6132 5354 92 118 537 5833 8 5520 124 6307 5455 91 581 614 6701 8 1360 116 0787 5556 90 967 694 7628 7 7335 107 9427 5657 90 273 775 8589 7 3440 100 2093 5758 89 498 940 10506 6 9674 92 8653 5859 88 558 1 096 12379 6 5973 85 8979 5960 87 462 1 242 14205 6 2351 79 3006 6061 86 219 1 378 15980 5 8818 73 0655 6162 84 841 1 502 17700 5 5386 67 1837 6263 83 340 1 571 18846 5 2063 61 6452 6364 81 769 1 671 20432 4 8882 56 4389 6465 80 098 1 759 21955 4 5821 51 5507 6566 78 340 1 795 22914 4 2885 46 9686 6667 76 545 1 888 24669 4 0098 42 6801 6768 74 656 1 943 26020 3 7425 38 6703 6869 72 714 1 988 27337 3 4881 34 9278 6970 70 726 2 031 28721 3 2467 31 4397 7071 68 695 2 079 30268 3 0176 28 1930 7172 66 616 2 137 32077 2 8003 25 1754 7273 64 479 2 392 37102 2 5937 22 3751 7374 62 086 2 589 41705 2 3900 19 7813 7475 59 497 2 717 45663 2 1917 17 3914 7576 56 780 2 845 50113 2 0015 15 1997 7677 53 935 2 973 55117 1 8193 13 1982 7778 50 962 3 095 60737 1 6450 11 3788 7879 47 867 3 209 67047 1 4786 9 7338 7980 44 658 3 310 74125 1 3201 8 2552 8081 41 347 3 393 82056 1 1696 6 9352 8182 37 954 3 451 90934 1 0274 5 7656 8283 34 503 3 480 100861 8937 4 7382 83

83 34 503 3 480 100861 8937 4 7382 8384 31 023 3 473 111946 7690 3 8445 8485 27 550 3 425 124304 6535 3 0755 8586 24 126 3 331 138059 5476 2 4220 8687 20 795 3 189 153339 4517 1 8744 8788 17 606 2 998 170267 3660 1 4227 8889 14 608 2 761 189003 2906 1 0567 8990 11 847 2 484 209651 2255 7662 9091 9 364 2 176 232347 1706 5407 9192 7 188 1 849 257204 1253 3701 9293 5 339 1 518 284320 891 2448 9394 3 821 1 199 313764 610 1558 9495 2 622 906 345574 401 948 9596 1 716 652 379741 251 547 9697 1 064 443 416199 149 296 9798 621 283 454816 83 148 9899 339 168 495379 43 64 99

100 171 171 1000000 21 21 100

TABLA III Tabla de mortalidad de mujeres Meacutexico 2000Adaptada de Tablas de Mortalidad Meacutexico 2000 Asociacioacuten Mexicana de Instituciones de Seguros AC y Asociacioacuten Mexicana de Actuarios AC Meacutexico junio de 2000

0 100 000 783 7831 100 0000 2 211 9369 01 99 217 33 0330 94 9444 2 111 9369 12 99 184 33 0332 90 8259 2 016 9925 23 99 151 33 0334 86 8859 1 926 1666 34 99 118 33 0336 83 1166 1 839 2807 45 99 085 33 0338 79 5107 1 756 1641 56 99 051 34 0341 76 0611 1 676 6534 67 99 018 34 0344 72 7609 1 600 5923 78 98 983 34 0348 69 6037 1 527 8314 89 98 949 35 0351 66 5832 1 458 2277 9

10 98 914 35 0355 63 6937 1 391 6444 1011 98 879 36 0360 60 9292 1 327 9508 1112 98 844 36 0365 58 2845 1 267 0215 1213 98 808 37 0371 55 7543 1 208 7370 1314 98 771 37 0377 53 3336 1 152 9828 1415 98 734 38 0385 51 0177 1 099 6492 1516 98 696 39 0392 48 8019 1 048 6315 1617 98 657 40 0401 46 6821 999 8296 1718 98 617 41 0411 44 6540 953 1474 1819 98 577 42 0422 42 7135 908 4935 1920 98 535 43 0434 40 8569 865 7799 2021 98 492 44 0448 39 0806 824 9230 2122 98 448 46 0463 37 3809 785 8424 2223 98 403 47 0479 35 7547 748 4615 2324 98 356 49 0498 34 1986 712 7069 2425 98 307 51 0519 32 7096 678 5083 2526 98 256 53 0542 31 2848 645 7987 2627 98 202 56 0568 29 9214 614 5138 2728 98 147 58 0596 28 6167 584 5924 2829 98 088 62 0628 27 3680 555 9757 2930 98 026 65 0663 26 1731 528 6077 3031 97 961 69 0703 25 0294 502 4346 3132 97 893 73 0747 23 9347 477 4052 3233 97 820 78 0795 22 8869 453 4705 3334 97 742 83 0850 21 8840 430 5835 3435 97 659 89 0910 20 9238 408 6996 3536 97 570 95 0977 20 0046 387 7758 3637 97 474 103 1052 19 1244 367 7712 3738 97 372 111 1136 18 2816 348 6468 3839 97 261 119 1228 17 4745 330 3652 3940 97 142 129 1331 16 7015 312 8907 4041 97 013 140 1446 15 9610 296 1892 41

42 96 872 152 1574 15 2516 280 2282 4243 96 720 166 1716 14 5719 264 9766 4344 96 554 181 1874 13 9204 250 4047 4445 96 373 198 2050 13 2960 236 4843 4546 96 175 216 2246 12 6974 223 1883 4647 95 959 236 2463 12 1233 210 4909 4748 95 723 259 2706 11 5727 198 3676 4849 95 464 284 2975 11 0444 186 7949 4950 95 180 312 3275 10 5373 175 7505 5051 94 868 342 3609 10 0506 165 2132 5152 94 526 379 4009 9 5830 155 1626 5253 94 147 413 4390 9 1336 145 5796 5354 93 734 450 4803 8 7019 136 4459 5455 93 283 486 5211 8 2872 127 7440 5556 92 797 522 5628 7 8890 119 4568 5657 92 275 554 6004 7 5068 111 5678 5758 91 721 593 6461 7 1404 104 0610 5859 91 128 632 6932 6 7888 96 9205 5960 90 497 669 7398 6 4514 90 1318 6061 89 827 709 7888 6 1279 83 6803 6162 89 119 746 8369 5 8178 77 5524 6263 88 373 835 9445 5 5207 71 7346 6364 87 538 924 10558 5 2330 66 2139 6465 86 614 1 015 11714 4 9548 60 9809 6566 85 599 1 109 12954 4 6859 56 0260 6667 84 490 1 175 13901 4 4260 51 3401 6768 83 316 1 351 16214 4 1766 46 9141 6869 81 965 1 533 18698 3 9319 42 7375 6970 80 432 1 700 21132 3 6923 38 8056 7071 78 733 1 848 23466 3 4586 35 1133 7172 76 885 1 983 25797 3 2320 31 6547 7273 74 902 2 148 28684 3 0130 28 4227 7374 72 753 2 311 31768 2 8006 25 4097 7475 70 442 2 448 34752 2 5948 22 6091 7576 67 994 2 573 37836 2 3968 20 0143 7677 65 421 2 748 42005 2 2068 17 6175 7778 62 673 2 977 47502 2 0231 15 4107 7879 59 696 3 159 52916 1 8440 13 3876 7980 56 537 3 337 59014 1 6712 11 5436 8081 53 201 3 469 65208 1 5049 9 8724 8182 49 732 3 623 72845 1 3462 8 3675 8283 46 109 3 872 83968 1 1944 7 0213 83

84 42 237 3 963 93826 1 0470 5 8270 8485 38 274 4 000 104498 9079 4 7800 8586 34 275 3 977 116042 7780 3 8722 8687 30 298 3 888 128321 6581 3 0942 8788 26 410 3 724 140999 5489 2 4361 8889 22 686 3 529 155553 4512 1 8871 8990 19 157 3 254 169833 3646 1 4359 9091 15 904 2 942 184991 2897 1 0712 9192 12 962 2 611 201454 2259 7816 9293 10 350 2 278 220103 1726 5556 9394 8 072 1 947 241212 1288 3830 9495 6 125 1 645 268568 936 2542 9596 4 480 1 368 305424 655 1606 9697 3 112 819 263280 435 951 9798 2 293 1 069 466234 307 516 9899 1 224 796 650743 157 209 99

100 427 427 1000000 52 52 100

Abonos mensuales 205 207Acciones empresas comerciales industriales

y de servicios 355 356 358 363-367pagareacute fi nanciero 355papel comercial 355sociedades de inversioacuten 355 358 359-363

aceptaciones bancarias 355 358bonos bancarios 355certifi cados bursaacutetiles 355 356

de depoacutesito 355 357 358participacioacuten 355 357 358

obligaciones 355 357 358pagareacute con rendimiento liquidable al

vencimiento 355 357 358de mediano plazo 355 358

Aceptaciones bancarias 358Acreedor derechos 308 311Activo base de depreciacioacuten de un 404

vida uacutetil 429Amortizacioacuten y fondos de amortizacioacuten

303-352aplicaciones 329-334cambios en la tasa de intereacutes 317comparacioacuten 326-329

valor del depoacutesito mensual 327constante 317derechos adquiridos por el deudor y saldo

a favor del acreedor 308compraventa a creacutedito 308valor de la operacioacuten 308

importe de los pagos 306-307introduccioacuten 304-305nuacutemero de pagos 310-312

IacuteNDICE ANALIacuteTICO

otros casos 314pagos desiguales 316resumen 347-350tabla(s) 305-306 307 316

de fondo 328pago por periodos 316

tasa de intereacutes 312uso de Excel 334-347variable 317

Antilogaritmos 13 14 19Anualidad(es) anticipadas 199-224

aplicaciones 212-215compras a plazo con enganche 213

introduccioacuten 200monto y valor actual 201-205renta plazo e intereacutes 205-212resumen 222uso de Excel 215-221

monto y valor actual 215renta plazo e intereacutes 218

caso general de las 200contingentes 481-504

aplicaciones 496-499introduccioacuten 482resumen 499temporales 493-496

anticipadas 494vencidas 493-494

valor actual de un dotal puro 482vitalicias anticipadas 488-490

diferidas 490-493anticipadas 492vencidas 490-492

vencidas 485-488diferidas 225-244

15 INDICE 15 indd 55315 INDICE 15 indd 553 112808 31745 AM112808 31745 AM

Iacutendice analiacutetico554

introduccioacuten 226monto y valor actual 226-229renta plazo e intereacutes 230resumen 241uso de Excel 238-241

monto y valor actual 238renta plazo e intereacutes 238-241

simples ciertas vencidas e inmediatas 155-198 200

aplicaciones 179 191periodo de recuperacioacuten de la

inversioacuten 183tasa interna de rendimiento (TIR)

181valor actual neto 180

ejercicios complementarios 195introduccioacuten y terminologiacutea 156monto 158-160plazo 167 189renta 165-167 189 193tasa de intereacutes 171 190tiempo 156tipos 156-160

anticipada 157cierta 156 158contingente 156diferida 157general 157inmediata 157 158simple 156 158vencida 157 158

uso de Excel 185valor actual 161-165 187

generales anticipadas 262-264diferidas 264-267

variable cierta vencida e inmediata 273monto 273 276 277

a intereacutes compuesto 272 277nuacutemero de periodos 272pago perioacutedico inicial 272razoacuten de la progresioacuten 272representacioacuten graacutefi ca 276valor presente 276 277

vencidas 247Apeacutendice 519-552

mantisas 520-546

antilogaritmos 525-546interpolacioacuten 522-524

tabla de mortalidad de hombres 247-249mujeres 550

Arrendamiento 274 275 277

Banco de Meacutexico Cetes publicados del 376Bolsa de valores inversioacuten en la 353-401

Mexicana de Valores 354 364Bondes 379 380 381

datos sobre 380Bonos bancarios 358

Desarrollo del Gobierno Federal (Bondes) 355

Desarrollo del Gobierno Federal denominados en Udis (Udibonos) 355

Proteccioacuten al Ahorro (BPA) 355Regulacioacuten Monetaria del Banco de

Meacutexico (Brems) 355

Calculadora(s) electroacutenica 14fi nancieras 504funcioacuten 7-9

Caacutelculos con logaritmos 14-20Capital o valor actual de una anualidad

(VA) 215Cedes con rendimiento liquidable al

vencimiento 129Certifi cado(s) bursaacutetiles 355 383

depoacutesito 129 355participacioacuten 355

inmobiliarios 355ordinarios 355

plata (Ceplatas) 357Certifi cados de Tesoreriacutea de la Federacioacuten

355 356CETES 358

caacutelculo de rendimientos efectivos 370Comisiones 379

Compra(s) a plazo con enganche 212 213de tiempo compartido y anualidades

variables 267y venta valor 51

Compraventa a creacutedito 308fechas de y de pago de intereses 378

Contrato 276Conversioacuten frecuencia de 96Corporacioacuten Geo certifi cados bursaacutetiles de

383 384 385Creacutedito 231

compraventa a 308tarjetas 70

Depoacutesito(s) a un fondo de amortizacioacuten 319-321 341

nuacutemero 322-324anticipados 263anuales anticipados 208certifi cado 129por periodo 342 425valor del mensual 327

Depreciacioacuten 403-444acumulativa 411 412 417 419anual 411 412 419base 415

de un activo 404conceptos 404

cargos perioacutedicos 404valor de salvamento o valor de desecho

404en libros 404

en eacutepocas infl acionarias 428-435aplicaciones 431-435valor de reposicioacuten 429

introduccioacuten 404meacutetodo fondo de amortizacioacuten 422-428

liacutenea recta 405-407por unidad de produccioacuten o servicio

418-422porcentaje fi jo 408-413suma de diacutegitos 413-418

resumen 441

vida uacutetil del activo 421valor en libros 426uso de Excel 435-441y amortizacioacuten 431

Descuento 59 86 Veacutease tambieacuten Intereacutes simple

comercial 59-61 80real o justo 61-63

Deuda futura 305Deudor derechos 308 309

Ecuacioacuten(es) de los valores equivalentes 68 120 121

equivalentes 67El caso general de anualidades 245-301

aplicaciones 267-279anualidades variables 271tiempos compartidos 267-271

determinacioacuten de la tasa de intereacutes equivalente 288

introduccioacuten 246monto y valor actual 247-253renta 253-255resumen 298-299tasa de intereacutes y plazo 255-262uso de Excel 279-299

hoja de caacutelculo 280monto y valor actual 279-289renta 289solucioacuten 294tasa de intereacutes y plazo 294

Empentildeo (preacutestamos prendarios) 70Excel funcioacuten de 35 77-82 185 279 334

435descuento comercial 80determinacioacuten del tiempo exacto entre

dos fechas 80el caso general de anualidades 279en tablas de depreciacioacuten 435-444matemaacuteticas y trigonomeacutetricas 36

Exponente(s) 2 5-9cero funcioacuten de calculadora 7-9

negativo y fraccionario 5-9

enteros positivos 2leyes 2

cociente de dos potencias de la misma base 3

potencia de una potencia 3del cocientes de dos factores 4-5del producto de dos factores 4

productos de dos potencias de la misma base 2-3

Factor de monto a intereacutes compuesto 95Fondo de amortizacioacuten aportacioacuten anual

422depoacutesitos de un 319-321nuacutemero de depoacutesitos 322-324tasa de intereacutes 324-326total acumulado en un y saldo insoluto

321-322Fondo de inversiones 230

bursaacutetiles 50Foacutermulas importantes 39 Veacutease tambieacuten

FundamentosFraccioacuten impropia 34

propia 33Fundamentos 1-45

caacutelculos con logaritmos 14-20ejercicios complementarios 40-44exponente(s) 2 44

cero negativo y fraccionario 5-9 44funcioacuten de calculadora 7-9

enteros positivos 2foacutermulas 39leyes de los exponentes 2 44

logaritmos 9caracteriacutestica 12

mantisa 11-14

comunes 10de dos nuacutemeros positivos 11

nuacutemero baacutesico 12defi nicioacuten 9-10leyes 10tres leyes fundamentales 10

matemaacuteticas en internet 44progresiones aritmeacuteticas 20-24 44

geomeacutetricas 24 44infi nitas 31-35

redondeo 20resumen 37-38teacuterminos y conceptos importantes 39uso de Excel 35

matemaacuteticas y trigonomeacutetricas 36

Ganancias de capital 354 359Gastos diferidos 431

Iacutendice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores 362

Infl acioacuten 29 116de paiacutes latinoamericano 30efectos de tasas elevadas 30promedio 431tasa 275

Intereacutes capitalizable mensual sobre saldo 167global mensual 330sobre saldo 335tasa de en una amortizacioacuten 312

Intereacutes compuesto 89-154aplicaciones 129

monto a intereacutes compuesto 129conceptos baacutesicos 90 135

periodo de capitalizacioacuten 91tasa de intereacutes compuesto 91 145

ecuaciones de los valores equivalentes 120 121

factor de monto a 95introduccioacuten 90

matemaacuteticas en internet 152monto compuesto 94-97 136 272

con periodo de intereacutes fraccionario 97resumen 146-152tasa(s) 91 94 145

ejercicios 103-104nominal efectiva y equivalentes 100-

104 139-141tiempo 114-117 144

equivalente 125-128uso de Excel 134-145valor actual o presente 104-114 130

141-142de deudas que devengan de intereacutes 108

142-44Intereacutes simple 47-87

aplicaciones pagos anticipados de facturas 70

preacutestamos prendarios (empentildeo) 70tarjetas de creacutedito 70ventas a plazo 70

descuento 59 86comercial 59-61real o justo 61-63

ecuaciones de valores equivalentes 66-70 86

factor de acumulacioacuten 49graacutefi cas 63

de l 63M 64

intereacutes 51defi nicioacuten 51

introduccioacuten y conceptos baacutesicos 48 85matemaacuteticas en internet 85monto 50 85plazo o tiempo 55-56 86resumen 82-85tasa y tipo de intereacutes 54 86tiempo real y tiempo aproximado 56-59uso de Excel 77-82valor actual o presente 50 86

Inversioacuten(es) bursaacutetiles rendimientos sobre 354

dividendos 354ganancias de capital 354intereacutes 354

fondo 230bursaacutetiles 50

periodo de recuperacioacuten 183unidades 354

Inversioacuten en la bolsa de valores 353-401introduccioacuten 354-358los valores bursaacutetiles 345

emitidos por empresas 355 356 357 358

entidades gubernamentales 354-355matemaacuteticas en internet 396rendimiento de valores bursaacutetiles 354

en ganancias de capital 359-376acciones de empresas 363-367

sociedades de inversioacuten 359-363valores con tasa de descuento

367-376que pagan intereses 377-391

Bondes 379 380 381certifi cados bursaacutetiles 383conceptos importantes 378-379que ajustan su valor nominal 386

resumen 391

Ley de Impuesto sobre la Renta 431Ley de Mercado de Valores 354Leyes de los exponentes 2

Logaritmo(s) 9caacutelculos 14-20caracteriacutestica 12

mantisa 11-14comunes 10de dos nuacutemeros positivos 11exponenciales de base b 10defi nicioacuten 9-10leyes 10

tres leyes fundamentales 10un nuacutemero baacutesico 12

Mantisa(s) 13 520-546antilogaritmos 525-546interpolacioacuten 522-524

Matemaacuteticas fi nancieras 37Mercado de valores 354

Ley del Mercado de Valores 354Meacutetodo fondo de amortizacioacuten 422-428

Monto a intereacutes compuesto 93 94-97 136simple 93

compuesto 91 94de una anualidad 215

anticipada 216 217 218y valor actual 215 226-229

Notacioacuten cientiacutefi ca 13Nuacutemero baacutesico logaritmo de un 12

depoacutesitos en un fondo de amortizacioacuten 322

mixto 34pagos en una amortizacioacuten 310-312

perioacutedicos 18periodo de conversioacuten 17

Obligaciones 355 357con rendimiento capitalizable 357indizadas 357quirografarias 357subordinadas 357

Oferta y demanda 377

Operaciones de contratacioacuten de deuda 67en fechas de pago de intereses 379 383

Pagareacute(s) con rendimiento liquidable al vencimiento 129 355

indemnizacioacuten Carretera (PIC-FARAC) 355mediano plazo 355 358

Pago(s) a plazo 213anticipados 205 212

de facturas 70anuales vencidos 275bimestrales 231ldquochiquitosrdquo mensuales 263de contado 131importe de los en una amortizacioacuten 306mensuales 205 228 233 234

determinacioacuten del valor presente 131operaciones de 67periodo 98renta 212uacutenico 275

al vencimiento del contrato 276 277valor 205

Papel comercial 355 358Periodo capitalizacioacuten 98 249

pago 98y capitalizacioacuten 200

PIC-FARAC 358Plazo o tiempo 55-56 86Poacuteliza 253Precio compra 365

venta 365Preacutestamos 212

bancario 23prendarios (empentildeo) 70

Progresiones aritmeacuteticas 20-24geomeacutetricas 24

infi nitas 31-35Probabilidad(es) y tablas de mortalidad

445-479aplicaciones 465-469concepto 446esperanza matemaacutetica 453-456 457

estadiacutestica 450o empiacuterica 446

funcioacuten de Excel 470-473introduccioacuten 446matemaacutetica 446-450resumen 473valor(es) actual de un pago contingente

456-460conmutados 463-465

Redondeo 20 Veacutease tambieacuten FundamentosRendimiento(s) a plazo 372

tasa efectiva 372sobre inversiones bursaacutetiles 354

valores que pagan intereses 377Renta(s) 165-167

equivalente determinacioacuten 298mensuales 250 281

por semestres 250por anticipado 203 205vencidas 204 205

Respuesta a los ejercicios de seccioacuten impares 505-517

Saldo insoluto 309 321al fi nal del deacutecimo antildeo 309

Sociedad nacional de creacutedito 357

Tablas de amortizacioacuten 305 335Tarjetas de creacutedito 70Tasa(s) de descuento 359 367

valores 367-376de intereacutes anual 96

compuesto 91 94 145

determinacioacuten equivalente 298en un fondo de amortizacioacuten 324-326en una amortizacioacuten 312por periodo 93y plazo 294

interna de rendimiento (TIR) 181 192nominal efectiva y equivalentes 100-104

139-141ejercicios 103-104

y tipo de intereacutes 54 86Tiempo determinacioacuten del exacto entre dos

fechas 80real y tiempo aproximado 56-59

Tipos de anualidad 156-160 Veacutease tambieacuten Anualidad(es) simples ciertas vencidas e inmediatas

Tipo de movimiento 99Tiacutetulos bancarios 379Tiacutetulos-valor nominativos 357

Udibonos 355Udis 386Unidades de inversioacuten 354

Valor(es) actual de anualidades anticipadas 201-205

diferidas 226-229actual o presente 50 86 104-114

141-142 Veacutease tambieacuten Intereacutes compuesto

de deudas que devengan de intereacutes 108 142-144

compra y venta 51depoacutesito mensual 327en libros 404futuro (VF) 215n (nuacutemero de periodo de conversioacuten) 17nominal del descuento 59salvamento o valor de desecho 404total del tiempo compartido 270

Valores bursaacutetiles 354 355-357emitidos por empresas 355 356 358

363-367acciones comerciales industriales y de

servicio 355 356pagareacute fi nanciero 355 358papel comercial 355 358sociedades de inversioacuten 355 358

359-363aceptaciones bancarias 355 356bonos bancarios 355 357certifi cados bursaacutetiles 355

de depoacutesito 355 357de participacioacuten inmobiliarios

(CPI) 355 357ordinarios 355

obligaciones 355 357pagareacute con rendimiento

liquidable al vencimiento 355 357

de mediano plazo 355 358

emitidos por entidades gubernamentales 354-355

Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal (Bondes) 354 379

Proteccioacuten al Ahorro 354Regulacioacuten Monetaria del Banco de

Meacutexico (Brems) 355Certifi cados Bursaacutetiles 355 356

de Tesoreriacutea de la Federacioacuten (CETES) 355 356

Pagareacutes de indemnizacioacuten Carretera (PIC-FARAC) 355 356

Vencimiento de pagos 294Ventas a plazo 70 213

Matemaacuteticas financieras

Contenido

Prefacio

Capiacutetulo 1 Funadamentos

Capiacutetulo 2 Intereacutes simple

Capiacutetulo 3 Intereacutes compuesto

Capiacutetulo 4 Anualidades simples ciertas vencidas e inmediatas

Capiacutetulo 5 anualidades anticipadas

Capiacutetulo 6 Anualidades diferidas

Capiacutetulo 7 El caso general de anualidades

Capiacutetulo 8 Amortizacioacuten y fondos de armortizacioacuten

Capiacutetulo 9 Inversioacuten en bolsa de valores

Capiacutetulo 10 Depreciacioacuten

Capiacutetulo 11 Probabilidades y tablas de mortalidad

Capiacutetulo 12 Anualidades contingentes

Apeacutendice Manejo de tablas

Indice analiacutetico

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (None) CalRGBProfile (None) CalCMYKProfile (None) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Warning CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJDFFile false CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 1 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveEPSInfo true PreserveHalftoneInfo true PreserveOPIComments false PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile (None) AlwaysEmbed [ 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