00 Sistemas Acoplados.doc 1

1. Sistemas Acoplados 1. SISTEMAS ACOPLADOS .....................................................................................1

1.1. SISTEMA ACOPLADO .................................................................................................2

1.2. MATRIZ DE GANANCIA RELATIVA ............................................................................6

1.3. DESACOPLAMIENTO ................................................................................................10

1.4. VERSIÓN GOODWIN.................................................................................................12

1.4.1. Matriz de Ganancia Relativa ..........................................................................15

1.4.2. Acoplamiento como Perturbación ..................................................................17

1.4.3. Control en Adelanto + Control Descentralizado. ..........................................20

1.5. BIBLIOGRAFÍA .........................................................................................................25

00 Sistemas Acoplados.doc 2

1.1. Sistema Acoplado

( )1y s( )11H s

( )21H s

( )12H s

( )22H s

( )2m s

( )1dy s

( )2y s

( )2cG s( )2dy s

( )1cG s( )1m s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

y s H s m s H s m s

y s H s m s H s m s

= +

= +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

2 2 2 2

c d

c d

m s G s y s y s

m s G s y s y s

= − = −

00 Sistemas Acoplados.doc 3

Asumiendo un lazo abierto

( )2 0m s =

( )1y s( )11H s

( )21H s

( )12H s

( )22H s

( )1dy s

( )2y s

( )1cG s( )1m s

11 11 1

11 1

21 12 1

11 1

1

1

cd

c

cd

c

H Gy yH G

H Gy yH G

=+

=+

[1.1]

00 Sistemas Acoplados.doc 4

Los dos lazos cerrados,

( )( )

1 11 1 11 1 1 12 2 2 12 2 2

2 22 2 21 1 1 21 1 1 22 2 2

1

1c c d c d c

c c d c c d

y H G H G y H G y H G y

y H G H G y H G y H G y

+ = + −

+ = − + [1.2]

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

d d

d d

y P y P yy P y P y= +

= + [1.3]

donde

( )

( )

( )( )

11 1 1 2 11 22 12 21 12 211 12

22 2 1 2 11 22 12 2121 121 11

11 1 22 2 12 21 1 21 1

c c c c

c c cc

c c c c

H G G G H H H H H GP PQ Q

H G G G H H H HH GP PQ Q

Q H G H G H H G G

+ −= =

+ −= =

= + + −

[1.4]

00 Sistemas Acoplados.doc 5

Ejemplo de Matlab

00 Sistemas Acoplados.doc 6

1.2. Matriz de Ganancia Relativa

( )2m t cte=

( )1y s( )11H s

( )21H s

( )12H s

( )22H s

( )2m s( )2y s

( )2cG s( )2dy s

( )1m s( )1y s( )11H s

( )21H s

( )12H s

( )22H s( )2y s

( )1m s

Ensayo 1: Escalón en 1m y ( )2m t cte= Se calcula la ganancia estática: 2

1

1 m

ym∆∆

Ensayo 2: Escalón en 1m con y ( )2y t cte= Se calcula 2

1

1 y

ym′∆

∆

00 Sistemas Acoplados.doc 7

Ganancia relativa: 2

2

1 111

1 1

m

y

y m

y mλ

∆ ∆=

′∆ ∆

Propiedades: 1: 11 0λ = : 1m no tiene efecto sobre 1y . No se puede usar 1m para controlar 1y

2: 11 1λ = : 1m no tiene efecto sobre 2y . No hay interacción.

3: 110 1λ< < : Hay interacción. A menor 11λ , mayor interacción.

4: 11 0λ < : Hay interacción, pero inversa. Muy peligroso.

00 Sistemas Acoplados.doc 8

Matriz de Ganancia Relativa:

11 12

21 22

λ λλ λ

Λ =

2

2

1 111

1 1

m

y

y m

y mλ

∆ ∆=

′∆ ∆ 1

2

1 212

1 2

m

y

y m

y mλ

∆ ∆=

′∆ ∆ 2

1

2 121

2 1

m

y

y m

y mλ

∆ ∆=

′∆ ∆ 1

1

2 222

2 2

m

y

y m

y mλ

∆ ∆=

′∆ ∆

Propiedades: 1: 11 12 21 22 11 21 12 22 1λ λ λ λ λ λ λ λ+ = + = + = + =

2: Solo se necesita conocer una de las cuatro.

3: 1 00 1

Λ =

. No hay acoplamiento y se controla 1 1 2 2m y m y→ →

4: 0 11 0

Λ =

. No hay acoplamiento y se controla 1 2 2 1m y m y→ →

5: 0,5 0,50,5 0,5

Λ =

. Hay acoplamiento pero es indistinto controla con una u otra

00 Sistemas Acoplados.doc 9

6: 0,25 0,750,75 0,25

Λ =

. Recomendable controlar 1 2 2 1m y m y→ →

7: Caso 11 1λ > .

7.1 Si se controla 1 1 2 2m y m y→ → , implica 2 2

1 1 1 1m yy m y m′∆ ∆ > ∆ ∆ . Disminu-

ye el efecto de 1m sobre 1y , cuando se cierra el otro lazo. Hay que aumentar la ga-nancia. Problemas de control.

7.2 Si se controla 1 2 2 1m y m y→ → , implica 12 21, 0λ λ < . Acción de control in-versa.

- La Matriz de Ganancia Relativa es cuadrada. Si tenemos más entradas que

salidas o viceversa, debemos analizar todas las combinaciones posibles.

00 Sistemas Acoplados.doc 10

1.3. Desacoplamiento

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

y s H s m s H s m s

y s H s m s H s m s

= +

= +

Haciendo

[ ]

( ) ( )

121 1 1 1 2

11

212 2 2 2 2

22

c d

c d

Hm G y y mH

Hm G y s y s mH

= − −

= − −

122

11

211

22

HDHHDH

= −

= −

00 Sistemas Acoplados.doc 11

( )1D s

( )2D s

( )1y s( )11H s

( )21H s

( )12H s

( )22H s

( )2m s

( )1dy s

( )2y s

( )2cG s( )2dy s

( )1cG s( )1m s

00 Sistemas Acoplados.doc 12

1.4. Versión Goodwin Ejemplo 1.1. Planta Acoplada

0 011 12

0 0 021 22

G GG

G G

=

[1.5]

0 0 1211 122

0 02121 222 2

23 2 1

62 1 5 6

kG Gs s s

kG Gs s s s

= =+ + +

= =+ + + +

[1.6]

a- Punto de Operación 1: 12 21 0k k= = . No hay interacción.

Si queremos tener una respuesta en lazo cerrado:

01 2

94 9

Ts s

=+ +

01 1GCT

GC=

+

( )1TC

G T=

−

se puede despejar los controladores necesarios:

( )( )

2

1

4,5 3 24

s sC

s s+ +

=+

( )( )

2

2

1,5 5 64

s sC

s s+ +

=+

00 Sistemas Acoplados.doc 13

b- Punto de Operación 2: 12 21 0,1k k= = . Funciona aceptablemente (ver simula-ción

c- Punto de Operación 4: 12 212, 1k k= − = − . Inestable.

00 Sistemas Acoplados.doc 14

El diseño SISO es limitado. La relación entre referencia y salida, se puede escribir como

[ ] 11 10 0

2 2

Y RI G C G C

Y R−

= +

donde 0 011 12

0 0 021 22

G GG

G G

=

1

2

00C

CC

=

Si hacemos : 12 212, 1k k= − = −

[ ] ( )4 3 2 5 4 3 2

10 0 4 3 2 4 3 2

9 40,5 67,5 18 81 3 30 105 150 7214,5 31,5 63 36 9 40,5 67,5 18 81

s s s s s s s s sI G C G C

d s s s s s s s s s− + + − − − − − − −

+ = − − − − + + − − con

( ) 6 5 4 3 210 51 134,5 164,5 18 81d s s s s s s s= + + + + − −

que implica inestabilidad.

00 Sistemas Acoplados.doc 15

1.4.1. Matriz de Ganancia Relativa

( ) ( ) 10 00 0ij ij ji

G Gλ−

=

donde

( )0 0ij

G es el elemento ij de la matriz de ganancia estática

( ) 10 0

jiG

− es el elemento ji de la inversa de la matriz de ganancia estática

00 Sistemas Acoplados.doc 16

En el ejemplo,

122

021

2 2

23 2 1

62 1 5 6

ks s sG

ks s s s

+ + += + + + +

, ( )12

112 21 12 21121

021 21

12 21 12 21

11 11

01 1

1 1

kk k k kk

Gk k

k k k k

−

−

− − − = = − − −

12 21

12 21 12 21

12 21

12 21 12 21

11 1

11 1

k kk k k k

k kk k k k

− − − Λ =−

− −

a- Punto de Operación 1: 12 21 0k k= = . No hay interacción. 1 00 1

Λ =

b- Punto de Operación 2: 12 21 0,1k k= = .1,01 0,010,01 1,01

− Λ = −

c- Punto de Operación 3: 12 212, 1k k= − = − . Inestable.1 2

2 1−

Λ = −

00 Sistemas Acoplados.doc 17

1.4.2. Acoplamiento como Perturbación Un sistema acoplado se puede interpretar como un sistema diagonal más incer-

tidumbres. Ejemplo 1.2. Continúa el ejemplo anterior,

122

021

2 2

23 2 1

62 1 5 6

ks s sG

ks s s s

+ + += + + + +

Si queremos tener una respuesta en lazo cerrado:

01 2

1 090 14 9

Ts s

= + +

se toma 2

0

2

2 03 2

605 6

s sG

s s

+ += + +

y se diseña con ese modelo

00 Sistemas Acoplados.doc 18

Ejemplo 1.3. Otro ejemplo,

( )( )

( )( )

1 10 10,251 1 2

10 1 20,251 2 2

ss s s

Gs

s s s

+ + + + = + + + +

se toma 0

1 01

202

sG

s

+= +

la matriz de ganancia relativa es 1,0159 0,01590,0159 1,0159

− Λ = −

Parecería que habría que controlar 1-1 y 2-2

00 Sistemas Acoplados.doc 19

Si queremos tener una respuesta en lazo cerrado:

01 2

1 090 14 9

Ts s

= + +

y se diseña con ese modelo, los controladores resultan

( )

( )( )

( )( )

9 10

4

9 20

2 4

ss s

C ss

s s

+ + = +

+

Pero con este esquema, los polos en lazo cerrado serán 6; 2,49 4,69; 0,23 1,36; 0,5j j− − ± ± −

Una posible solución es bajar considerablemente la ganancia de los controlado-res.

00 Sistemas Acoplados.doc 20

1.4.3. Control en Adelanto + Control Descentralizado. Supongamos acoplamiento en un solo sentido. El efecto de 1m sobre 2y se podría pensar como una perturbación medible e in-

tentar corregirlo por medio de un control en adelanto.

( )1D s( )1y s

( )11H s

( )21H s

( )22H s

( )2m s

( )1dy s

( )2y s

( )2cG s( )2dy s

( )1cG s( )1m s

( )2u s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 22m s H s m s D s H s= − ( ) ( )( )

211

22

H sD s H s= −

00 Sistemas Acoplados.doc 21

una opción simple es

( )( )

211

22

00ff

HD k H= = −

00 Sistemas Acoplados.doc 22

Ejemplo 1.4. Planta Acoplada con FF

2

0

2 2

2 13 2 1

0,5 62 1 5 6

s s sG

s s s s

− + + += + + + +

acoplamiento más fuerte desde 2 a 1

haciendo ( )( )

122

11

0 10ffHD k H= = − =

resulta

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

1 1 10 0 0

1 1 1

1 10 1

m s m s m sY s G s G s G s

m s m s m s

′ ′ ′= = =

donde

00 Sistemas Acoplados.doc 23

( )

( )( )

2 2

20

2 2 2

23 2 3 2

0,5 6,5 14,5 92 1 2 1 5 6

ss s s s

G s s ss s s s s s

− + + + + ′ = + + + + + + + +

en este caso 1 00 1

Λ =

Si se rediseña el controlador para, nuevamente, tener una respuesta en lazo cerrado:

01 2

1 090 14 9

Ts s

= + +

los controladores quedan:

00 Sistemas Acoplados.doc 24

( ) ( ) ( )( )( )( )

2

2

2 2

2 2

3 24,5 04

9 2 1 5 61 04 6,5 14,5 9

s ss sTC s s s s sG T

s s s s

+ + + = = + + + +−

+ + +

00 Sistemas Acoplados.doc 25

1.5. Bibliografía 1- Chemical Process Control. Stephanopoulos, George. Prentice-Hall – 1984.

Capítulo 24. 2- Control System Design. Goodwin, Graham, Salgado, Mario, Graebe, Stefan.

Prentice-Hall - 2000. Capítulo 21.

00 Sistemas Acoplados.doc 26