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COLEGIO PRIVADO PETER NORTON GEOMETRA ANALITICA

Lic. Juan Medina Mendoza 1

La circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo llamado centro(C).

Construccin de la circunferencia:

Ecuacin de la circunferencia concentro en el origen:Para obtener la ecuacin de la circunferencia

con centro en el origen ubicamos un punto

cualquiera P (x, y) de la circunferencia con

centro C (0; 0) y calculamos su distancia. Es

decir:

2 2

C,Pd r x 0 y 0

2 2r x y 2 2 2r x y

Ejemplo:

Determinar la ecuacin de la circunferencia de C

(0; 0) que pasa por el punto P (2; 3)

Calculamos el radio reemplazando P (4; 3) en la

ecuacin ordinaria:2 2 2r x y r2 = 32 + 42

r 9 16 r = 5 u.Determinamos la ecuacin de la circunferencia:

2 2 25 x y 25 = x2 + y2.

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Ecuacin de la circunferencia con centro

en el puntoC (h, k):Para obtener la ecuacin ordinaria de la ecuacin de

la circunferencia con centro C (h, k) identificamos un

punto cualquiera P (x, y) de la circunferencia ycalculamos su distancia al centro C. es decir:

2 2

C,Pd r x h y k

2 22r x h y k

Ejemplo:

1. Dada la ecuacin de la circunferencia (x + 2)2 + (y + 5)2

= 49. hallar la coordenada del centro, el radio y la

grafica:

Apartir de la ecuacin, identificamos las coordenadasdel centro de la circunferencia:h = -2, k = -5 C (-2; -5)

Calculamos el radior2 = 49 r = 7 u.

2. Hallar la ecuacin de la circunferencia circunscrita al

tringulo cuyos vrtices son P1 (-1; 1), P2 (3; 5) y P3 (5; -3)

La construccin de la circunferencia

que pasa por los tres puntos dados es un

problema conocido de la geometraelemental (todo tringulo tiene tres

mediatrices. Las tres mediatrices se

intersectan en un solo punto llamado

circuncentro)

Ahora determinaremos las ecuaciones

de las mediatrices:L1:

Sea Q punto medio del segmento P1P2,entonces: Q (1; 3) y m la pendiente del

segmento P1P2, entonces m = 1; por lo tanto la pendiente la mediatriz L1 es: -1.

L1: y 3 = -1(x 1) x + y = 4

L2:

Sea R punto medio del segmento P2P3, entonces: R (4; 1) y m la pendientedel segmento P1P2, entonces m = -4 ; por lo tanto la pendiente la mediatriz L2es: 1/4.L1: y 1= 1/4(x 4) x - 4y = 0

La solucin comn de estas dos ecuaciones es x= 16/5, y = 4/5, de manera

que las coordenadas del centro C son (16/5; 4/5)

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El radio de la circunferencia esta dado por:2 2

1

16 4 1r CP 1 1 442

5 5 5

Por lo tanto la ecuacin buscada es:2 2

16 4 442

x y5 5 25

Forma general de la ecuacin de la circunferencia.Para hallar la ecuacin general de la circunferencia desarrollamos los

binomios de su ecuacin ordinaria.

2 22r x h y k 2 2 2 2 2r x 2xh h y 2yk k

2 2 2 2 2x y 2h x 2k y h k r 0

Denotamos por D = -2h, E = -2k y F = h2

+ k2

- r2

para obtener la ecuacinque corresponde a la ecuacin general de la circunferencia:

2 2x y Dx Ey F 0

De donde:2 2 2 2D E D E 4F

x y2 2 4

Hay tres casos para considerar la representacin de una ecuacin de una

circunferencia o no:

Si D2 + E2 4F > 0, la ecuacin representa una circunferencia de centro

en el punto (-D/2, -E/2)y radio igual a2 21

D E 4F2 Si D2 + E2 4F = 0, la ecuacin representa una circunferencia de radio

cero; se dice tambin que es un crculo punto o un crculo nulo; desde

nuestro punto de vista, sin embargo, la ecuacin representa un solo punto

de coordenadas (-D/2, -E/2)

Si D2 + E2 4F < 0, la ecuacin representa un crculo imaginario

Ejemplo:

Hallar el centro y el radio de la circunferencia de: x2 + y2 +10x -8y + 5 = 0.

Identifiquemos en la ecuacin general los valores D, E y F y los

relacionamos con las coordenadas del centro y el radio de la

circunferencia.D = -2h 10 = -2h h = -5

C (h, k) = C ( -5; 4)E = -2k -8 = -2k k = 4F = h2 + k2 - r2 5 = (-5)2 + (4)2 +r2 r = 6

El centro de la circunferencia es C (-5; 4) y su radio 6 u.

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Ejercicios de reforzamiento:

1. Determinar la ecuacin de la circunferencia que pasa por P (8; 0) y su

centro se encuentra en el origen de coordenadas

2. Encuentre la ecuacin ordinaria de la circunferencia con centro en (-3; 1)

y radio 4u.

3. Encuentre la ecuacin general de la circunferencia tangente al eje Y y

con centro en (-3; 4)

4. Utiliza los trminos de la ecuacin general de la circunferencia x2 + y2 -

6x -4y -3 = 0 para encontrar las coordenadas del centro y el radio

5. Utiliza la estrategia de completar cuadrados para obtener lascoordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuacin 2x2 +

2y2 4x + 6y + 3 = 0.

6. Hallar el centro y el radio y su grfica de la circunferencia 2x2 3x +

2y2 5y + 2 = 0

7. Hallar el centro y el radio y su grafica de la circunferencia x2 + y2 +6x

4y + 11 = 0

8. Encuentra la ecuacin general de la circunferencia de radio 2 u,concntrica con la circunferencia x2 + y2 4x + 2y -3 = 0

9. Determinar si la ecuacin x2 + 10x +y2 -8y + 42 = 0 es la de una

circunferencia real. Justifica tu respuesta.

10. Hallar la ecuacin general de la circunferencia que pasa por los puntos

A(1; -4) y B (5; 2) y que tiene su centro en la recta real L1: x 2y + 9 = 0.

Ejercicios domiciliarios:

Dibujar una figura para cada ejercicio.1. Escribir la ecuacin de la circunferencia de centro C (- 3; - 5) y radio 7.

2. Los extremos de un dimetro de una circunferencia son los puntos A (2;

3) Y B (- 4; 5). Hallar la ecuacin de la curva.

3. Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7; - 6)

y que pasa por el punto A (2; 2).

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4. Hallar la ecuacin de la circunferencia de centro C (2; - 4) Y que es

tangente al eje Y.

5. Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0; - 2) y es tangente a

la recta 5x - l2y + 2 = 0. Hallar su ecuacin.

6. Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4; -1) y

que es tangente a la recta 3x + 2y - 12 = 0.7. La ecuacin de una circunferencia es (x - 3)2 + (y + 4)2 = 36. Demostrar

que el punto A (2; - 5) es interior a la circunferencia y que el punto B ( -

4; 1) es exterior.

8. Hallar la ecuacin de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el

punto de interseccin de las rectas 3x - 2y - 24 = 0. 2x + 7y + 9 = 0.

9. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto A (7; - 5) y

cuyo centro es el punto de interseccin de las rectas 7 x - 9y - 10 = 0 Y

2x - 5Y + 2 = 0.

10.Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 est sobre la recta cuya

ecuacin es x - 7y + 25 = 0. Hllese la longitud de la cuerda.

11. Hallar la ecuacin de la mediatriz de la cuerda del ejercicio 10. y

demostrar que pasa por el centro de la circunferencia.

Los ejercicios 12 - 16 se refieren al tringulo cuyos vrtices son A (-

1; 0), B (2; 9/4) y C (5; 0).

12. Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el vrtice A y que

es tangente al lado BC.

13. Hallar la ecuacin de la circunferencia circunscrita al tringulo.

14. Hallar la ecuacin de la circunferencia inscrita al tringulo.

15. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos medios delos lados del tringulo.

16. Demostrar que la circunferencia del ejercicio 15 pasa por "los pies de las

alturas del tringulo.

17. Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est sobre el eje X y

que pasa por los dos puntos A (1; 3) y B (4; 6).

18. Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est sobre el eje Y y

que pasa por los puntos A (2; 2) y B (6; - 4).

19. Una circunferencia pasa por los puntos A (- 3; 3) y B (1; 4) Y su centro

est sobre la recta 3x - 2y - 23 = 0. Hllese su ecuacin.

20.Las ecuaciones de los lados de un tringulo son 9x + 2y + 13 = 0, 3x + 8y -47 = 0 y x - y - 1 = 0 Hallar la ecuacin de la circunferencia circunscrita.

21. La ecuacin de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una

cuerda de esta circunferencia es el punto (- 2; 4). Hallarla ecuacin de la

cuerda.

22.La ecuacin de una circunferencia es (x - 4)2 + (y - 3)2 = 20. Hallar la

ecuacin de la tangente a este crculo en el punto (6; 7).

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23.La ecuacin de una circunferencia es (x + 2)2 + (y - 3)2 = 5.Hallar la

ecuacin de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3; 3).

(Dos soluciones.)

24.Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto A (7; -5) y

es tangente a la recta x - y - 4 = 0 en el punto B (3; - 1).

25.Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est sobre la recta6x + 7y - 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x + 15y + 7 = 0 y

3x - 4y - 18= 0. (Dos soluciones.)

Determinacin de una circunferencia sujeta a trescondiciones.En la ecuacin ordinaria de la circunferencia (x - h)2 + (y - k)2 = r2, hay tres

constantes arbitrarias independientes, h, k y r. De manera semejante, en la

ecuacin general x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 hay tres constantes arbitrarias

independientes, D, E y F. Como la ecuacin de toda circunferencia puedeescribirse en cualquiera de las dos formas, la ecuacin de cualquier

circunferencia particular puede obtenerse determinando los valores de tres

constantes. Esto requiere tres ecuaciones independientes, que pueden

obtenerse a partir de tres condiciones independientes. Por tanto,

analticamente, la ecuacin de una circunferencia se determina

completamente por tres condiciones independientes. Geomtricamente, un

a circunferencia queda, tambin, perfectamente determinada por tres

condiciones independientes; as, por ejemplo, queda determinada por tres

cualesquiera de sus puntos.

Ejemplo1. Determinar la ecuacin, centro y radio de la circunferencia que pasa por

los tres puntosA (- 1. 1). B (3. 5) y C (5. - 3).

Supongamos que la ecuacin buscada es. en la forma general:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. en donde las constantes D. E Y F deben ser

determinadas.

Como los tres puntos dados estn sobre la circunferencia, sus coordenadas

deben satisfacer la ecuacin. De acuerdo con esto, tenemos las tres

ecuaciones siguientes correspondiendo a los puntos dados:(-1,1), 1+1-D+E+F=0.(3, 5), 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0.(5, - 3). 25 + 9 + 5D - 3E + F = 0.

que pueden escribirse ms abreviadamente as:

D - E - F = 2.3D + 5E + F = - 34.5D - 3E + F = - 34.

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La solucin de este sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas nos da:

Por la regla de Cramer:

1 1

5 1

3 1 32D

1 1 1 5

3 5 1

5 3 1

2

34

34

,

1 1

3 1

5 1 8E

1 1 1 5

3 5 1

2

34

34

5 3 1

y

1 1

3 5

5 3 34F

1 1 1 5

3 5 1

5

2

34

34

3 1

De manera que sustituyendo estos valores en la ecuacin, obtenemos:

x2 + y2 -32

5x -

8

5y -

34

5F = 0, o sea:

5x2 +5 y2 - 32x - 8y - 34 = 0

Teorema: La ecuacin de la circunferencia que pasa por tres puntos dados

no colinealesP

1(x

1, y

1), P

2(x

2, y

2) y P

3(x

3, y

3) viene dada por el determinante:

2 2

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

2 2

3 3 3 3

x y x y 1

x y x y 10

x y x y 1

x y x y 1

Nota: Esta forma es til para determinar si cuatro puntos dados estn o no

sobre una circunferencia. Se dice que tales puntos son concclicos.

Ejercicios de reforzamiento:1. Hallar la ecuacin general de la circunferencia que pasa por los puntos:a. A (-4; 2), B (4; 2) y C (0; -2)b. A (1; 2), B (6; 5) y C (9; 0)c. A (-7; 2), B (1; -2) y C (-2; -3)d. A (-6; 9), B (6; 1) y C (6; -9)

2. Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia en el

punto P.

a. x2 + y2 2x 4 = 0, P (2; 2)

b. x2 + y2 125x 7y = 314, P (2; -8)

c. 7x2 + 7y2 54x + 108y = 467, P (-3; 4)

Resuelve:3. A (2; 7) y B (6; 5) son puntos diametralmente opuestos de una

circunferencia. Determinar la ecuacin general y el centro de dicha

circunferencia.

4. Hallar la ecuacin general de la circunferencia que pasa por los puntos

(-12; -5) y (-7; -6), cuyo centro est ubicado sobre la recta L1: x + 2y + 4

= 0.

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5. Encuentra la ecuacin general de la circunferencia que pasa por el punto

(6; 5) y es tangente a las rectas y =3 e y =7.

6. Determina la ecuacin general de la circunferencia de centro C(3; 5), que

es tangente a la recta: L1: 4x + 3y- 2 =0.

7. Determina el valor de k para que la ecuacin x2 + y2 - 10x + 8y + k =0

represente una circunferencia de radio 8 u.8. Halla la ecuacin general de la circunferencia que est circunscrita al

tringulo limitado por L1: 4x - 27 =7y, L2: x - 5y+ 3 =0 Y L3: 2x + 3y - 7 =

0.

9. El centro de una circunferencia es la interseccin de las rectas L1: y - 2x

- 1 = 0 con L2: x + y - 7 = 0. Si ella pasa por el punto S(6; 2), halla su

ecuacin ordinaria.

10. El centro de una circunferencia es la interseccin de las rectas L1: y - 2x

- 1 = 0 con L2: x + y - 7 = 0. Si L3: 5x + 2y + 9 = 0 es tangente a ella,

determina su ecuacin ordinaria.

11. Halla la ecuacin general de la circunferencia que pasa por los puntos A

(4; 1) Y B(5; -6), y cuyo centro est sobre la recta L1: x + 2y + 5 = 0.

12. Halla la ecuacin general de la circunferencia tangente a la recta L1: x +

y - 3 = 0, que sea concntrica con la circunferencia x2 + y2- 6x + 8y + 21

= 0.

13. Halla la ecuacin ordinaria de la circunferencia de radio 10 u, tangente a

la circunferencia x2 + y2 - 25 = 0 en el punto (-3; -4).


Dibujar una figura para cada ejercicio.

En cada uno de los ejercicios 1-3, reduciendo la ecuacin dada a la forma

ordinaria, determinar si representa o no una circunferencia. Si la respuesta

es afirmativa, hallar su centro y su radio.

1. 2X2 + 2y2 - 6x + 10y + 7 = 0.

2. 4X2 + 4y2 +28x - 8y + 53 = 0.

3. 16x2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = 0.

4. Hallar el rea del crculo cuya ecuacin es 9x2 + 9y2 + 72x - 12y + 103 =

0.

5. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuacin es 25x2

+ 25y2

+30x - 20y - 62 = 0.

6. Demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y2 - l6x + 12y + 13 = 0 Y 12x2 +

12y2 - 48x + 36y + 55 = 0 son concntricas.

7. Demostrar que las circunferencias x2+y2+4x+6y-23 = 0 y x2 + y2 - 8 x -

10y + 25 = 0 son tangentes.

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8. Demostrar, que las circunferencias x2 + y2 + 2x - 8y + 13 = 0 y 4x2 + 4y2 -

40x + 8y + 79 = 0 no se cortan,

En cada uno de los ejercicios 9-11, determinar la ecuacin, centro y radio de

la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, usando el mtodo del

9. (0; 0), (3; 6), (7; 0).

10. (2; - 2), (-1; 4). (4; 6).11. (4; -1). (0; -7), (-2; -3).

12.Demostrar que los cuatro puntos (-1; -1), (2; 8), (5; 7), (7; 3) son

concclicos.

13. Las ecuaciones de dos circunferencias diferentes son x2 + y2 + D1 x + E1y

+ F1 =0 y x2 + y2 + D2x + E2y + F

2 = 0. Hallar las condiciones que deben

satisfacer los coeficientes para que sean concntricas.

14. La ecuacin de una circunferencia es 4x2 + 4y2 - 16x + 20y + 25 = 0.

Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica que es tangente a la

recta 5x - 12y = 1.

15. Hallar la ecuacin de la tangente a la circunferencia x2 + y2 + 2x - 2y -

39 = 0, en e! punto (4; 5).

16.Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (11; 4) y es tangente

a la circunferencia x2 + y2 - 8x - 6y = 0. (Dos soluciones.)

17. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (-1; -4),

(2; - 1) y cuyo centro est sobre la recta 4x +7y + 5 = 0.

18. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x - 4y - 1 = 0 en el

punto (3; 2). Hallar su ecuacin. (Dos soluciones)

19. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x2 + y2

- 4x + 2y - 47 = 0 en el punto (6; 5). Hallar su ecuacin. (Dos soluciones.)20.Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (1; 4) y es

tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto (- 2; 1).

21. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (5; 9) y es

tangente a la recta x + 2y - 3 = 0 en el punto (1; 1).

22.Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0; 2). (7; 3). Hllese

su ecuacin. (Dos soluciones)

23.Demostrar, analticamente, que cualquier recta que pasa por el punto

(-1; 5) no puede ser tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x - 6y + 6 = 0.

Interpretar el resultado geomtricamente.

24.Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est sobre la recta7x - 2y - 1 = 0 y que es tangente a cada una de las rectas 5x - 12y + 5 = 0

y 4x + 3y - 3 = 0. (Dos soluciones.)

25.Hallar la ecuacin de la circunferencia inscrita en el tringulo cuyos

lados son 4x - 3y = 0. 4x + 3y - 8 = 0. y = 0.

26.Una circunferencia que es tangente a un lado de un tringulo y a las

prolongaciones de los otros dos lados se llama exinscrita al tringulo.

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Hallar las ecuaciones de las tres circunferencias exinscritas al tringulo

del ejercicio 25.

27.Determinar e! valor de la constante k para que la recta 2x + 3y + 1= 0 sea

tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6 x + 4 y = 0 .

28.Hallar las ecuaciones de las rectas que tienen de pendiente 5 y son

tangentes a 1a circunferencia x2 + Y2 - 8x + 2y - 9 = 0.29.Desde el punto A (- 2; - 1) se traza una tangente a la circunferencia x2 +

y2 - 6x - 4y - 3 = 0. Si B es el punto de contacto, hallar la longitud de!

segmento AB.

30.Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (6; 1) y es

tangente a cada una de las rectas 4x - 3y + 6 = 0. 12x + 5y - 2 = 0. (Dos

soluciones)

31. Hallar la ecuacin de la circunferencia que p a s a por los puntos (- 3; -1)

y (5; 3) y es tangente a la recta x + 2y 13 = 0. (Dos soluciones)

Familia de circunferencias.La ecuacin de una circunferencia que satisface solamente a dos

condiciones, contiene una constante arbitraria llamada parmetro. Se dice

entonces que tal ecuacin representa una familia de circunferencias de un

parmetro. Por ejemplo, la familia de todas las circunferencias concntricas

cuyo centro comn es el punto (1, 2) tiene por ecuacin:

(x -1)2 + (y-2)2 = k2

en donde el parmetro k es cualquier nmero positivo

Consideremos ahora el caso importante de la familia de curvas que pasan

por las intersecciones de dos circunferencias dadas. Sean C1 y C2 doscircunferencias diferentes dadas cualesquiera, cuyas ecuaciones son:

C1: x2+ y2 + D1 x + E1y + F1 = 0, .. (1)

C2: x2 + y2 + D2 x + E2y + F2 = 0 . (2)

De (1) y (2) se deduce la ecuacin

x2+ y2 + D1 x + E1y + F1 + k(x2 + y2 + D2 x + E2y + F2) = 0 (3)

La ecuacin (3) representa una familia de circunferencias todas las cuales

tienen sus centros en la recta de los centros de C1y C2.

La cual se satisface por las coordenadas

1 2 1 2D kD E kE

,2 k 1 2 k 1

del centro

de cualquier circunferencia definida por (3).

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, la ecuacin representa,

para todos los valores de k diferentes de - 1, todas las circunferencias

que pasan por los dos puntos de interseccin C1 y C2, con la nica

excepcin de C2 misma.

Si C1y C2 son tangentes entre s, la ecuacin representa, para todos los

valores de k diferentes de - 1, todas las circunferencias que son

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tangentes a C1 y C2 en su punto comn, con la nica excepcin de C2misma.

Si C1 y C2 no tienen ningn punto comn la ecuacin representa una

circunferencia para cada valor de k diferente de - 1, siempre que la

ecuacin resultante tenga coeficientes que satisfagan las condiciones

especificadas (D2 + E2 4F > 0). Ningn par de circunferencias de lafamilia tiene un punto comn con ninguna de las dos circunferencias C1y

C2.

Ejemplo:

Las ecuaciones de dos circunferencias son:

C1: x2 + y2 + 7x - 10y + 31 = 0,

C2: x2 + y2 - x - 6y + 3 = 0

Hallar la ecuacin C3 que pasa por las intersecciones de C1 y C2y tiene sucentro sobre la recta l: x y -2 = 0

Solucin:

x2 + y2 + 7x - 10y + 31 + k(x2 + y2 - x - 6y + 3) = 0 .. ( )

(k + 1)x2 + (k+1)y2 + (7 - k)x - (10 + 6k)y + (31 + 3k) = 0

2 2 7-k 10+6k 31+3kx +y + x- y+ =0k+1 k+1 k+1

En donde el parmetro k debe

determinarse por la condicin de

que el centro de C3 est sobre larecta l. El centro de cualquier

circunferencia de la familia ( ) se

halla fcilmente y sus coordenadasson

k 7 3k 5

,2 k 1 k 1

. Como estas

coordenadas deben satisfacer laecuacin de l, tenemos

k 7 3k 5

2 02 k 1 k 1

De donde7

k3

sustituyendo

este valor de k en ( ) y simplificando, obtenemos para la ecuacin C3:

x2 + y2 - 7 x - 3 y - 1 8 = 0

Eje radical.En el artculo precedente hemos considerado dos circunferencias

diferentes, C1 y C2, de ecuacionesC1: x

2+ y2 + D1 x + E1 y + F1 = 0, .. (1)C2: x

2 + y2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 (2)

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A partir de estas ecuaciones formamos la ecuacinx2+ y2 + D1 x + E1 y + F1 + k(x

2 + y2 + D2 x + E2 y + F2) = 0 (3)

y la discutimos como ecuacin de una familia de circunferencias para todos

los valores de k, excepto - 1. Si k = - 1, la ecuacin (3) toma la forma(D1 - D2) x + (E1 - E2) y + F1 - F2 = 0. (4)

Si C1 y C2, no son concntricas, se verificar D1 D2 o E1 E2 o ambas, demanera que por lo menos uno de los coeficientes de x e y en (4) serdiferente de cero, y la ecuacin (4) representa entonces una lnea recta

llamada eje radical de C1 y C2.

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, se sigue, de la discusin

de la familia de circunferencia, que el eje radical pasa por estos dos

puntos y, por tanto, coincide con su cuerda comn.

Si C1 y C2 son tangentes entre s, su eje radical es la tangente comn a

ambas circunferencias.

Si C1 y C2 no tienen ningn punto comn y no son concntricas, su eje

radical no tiene ningn punto comn con ninguna de las doscircunferencias.

El eje radical de dos circunferencias cualesquiera es perpendicular a su

recta de los centros.

Ejemplo:

Hallar la ecuacin del eje radical de las circunferencias:

C1: 2x2 + 2y2 + 10x - 6y + 9 = 0,

C2: x2 + y2 - 8x - 12y + 43 = 0

Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.

Solucin:

2x2 + 2y2 + 10x - 6y + 9 +k(x2 + y2 - 8x - 12y+ 43) = 0;

Sea k = -2 2x2 + 2y2 + 10x - 6y + 9 -

2(x2 + y2 - 8x - 12y + 43) = 0L: 26x +18y -77 = 0 (ecuacin del eje

radical con pendiente: -13/9)

Las coordenadas de los centros C1 y C2 se

encuentran fcilmente y son5 3

;2 2

y,

(4; 6) respectivamente, de manera que la

pendiente de la recta de los centros es:

36

925 3

42

, que es negativamente

recproca de la pendiente del eje radical. Por lo tanto, el eje radical es

perpendicular a la recta de los centros.

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Teorema: Si t es la longitud de la tangente

trazada del punto exterior P1(x1; y1) a la

circunferencia (x h)2 + (y k)2 = r2, entonces:

2 2 2

1 1t x h y k r

NOTA: evidentemente se pueden trazar dos

tangentes del punto P1 al crculo, pero sus

longitudes son iguales.

Ejemplo:

Hallar la longitud de la tangentte trazada del

punto (-3, 2) a la circunferencia 9x2 + 9y2 30x 18y 2 = 0.

Solucin:

Para aplicar la frmula de la longitud de la circunferencia, es necesario

hacer que los los coeficientes de x2

e y2

sea iguales a la unidad. Para ellodividimos por 9, resulta:

x2 + y2 (10/3)x 2y (2/9) = 0

sustituyendo x por -3 e y por 2 en primer miembro de esta ecuacin,

obtenemos:

t2 = (-3)2 + (2)2 (10/3)(-3) 2(2) (2/9)t2 = 169/9

de donde se deduce que la longitud de la tangente es t = 13/3.


Dibujar una figura para cada ejercicio.

1. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto A (-8; 5) y

por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 - 8x 6y + 17 = 0 y

x2 + y2 - 18x - 4y + 67 = 0.

2. Hallar la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje X

y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en el

ejercicio 1.

3. Hallar la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y y

pasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en el

ejercicio 6.4. Hallar la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta

2x + y - 14 = O y que pasa por las intersecciones de las circunferencias

x2 + y2 - 8x - 4y + 11 = 0 y x2 + y2 - 4x + 4y - 8 = 0.

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5. Hallar la ecuacin de la circunferencia de radio5

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y que pasa por las

intersecciones de las circunferencias x2 + y2 + 2x - 6y - 16 = 0 y x2 + y2 -

6x + 2y = 0. (Dos soluciones.)

6. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por las intersecciones de

las circunferencias x2

+ y2

- 6x + 4 = 0. x2

+ y2

- 2 = 0, y que es tangentea la recta x + 3y - 14 = 0. (Dos soluciones.)

7. Demostrar que las circunferencias C1: x2 + y2 - 3x - 6y + 10 = 0 y

C2: x2 + y2 - 5 = 0, son tangentes. Hallar la ecuacin de la circunferencia

tangente a C1 y C2 en su punto comn y que pasa por el punto A (7; 2).

Demostrar que el centro de esta circunferencia est sobre la recta de

los centros de C1y C2.

8. Hallar la ecuacin de la circunferencia tangente a C1y C2 del ejercicio 7

en su punto comn y cuyo centro est sobre la recta 3x + y + 5 = 0.


en su punto comn y cuyo radio es igual a 3 52

(Dos soluciones.)


en su punto comn y que es tangente a la recta x - 2y - 1 = 0. (Dos

soluciones.)

11. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto A(-10;, -2) y

por las intersecciones de la circunferencia x2 + y2 + 2x - 2y - 32 = 0 y la

r e c t a x y + 4 = 0 .

12. Hallar la ecuacin del eje radical de las circunferencias x2 + y2 - 2x - 10y

+ 10 = 0. 4x2 + 4y2 - 32x - 12y + 37 = 0, y demostrar que es perpendicular

a su recta de los centros.

13. Hallar la ecuacin del eje radical de las circunferencias 9x2 + 9y2 - 54x -

48y + 64 = 0, x2 + y2 + 8x - 10y + 37 = 0; y demostrar que es

perpendicular a su recta de los centros.

14. Hallar la ecuacin y la longitud de la cuerda comn de las circunferencias

x2 + y2 - 8y + 6 = 0 y x2 + y2 - 14x - 6y + 38 = 0.

15. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P (3; 4) a la

circunferencia 3x2 + 3y2 + 12x + 4y - 35 = 0.

16. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P (- l. 3) a la

circunferencia 3x

2

+ 3y

2

- 14x - 15y + 23 = 0.17. Hallar las coordenadas del centro radical de las tres circunferencias

x2 + y2 + 2x - 4y - 6 = 0. x2 + y2 - 4x - 2y = 0 y x2 + y2 + 2x + 12y + 36 = 0.

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