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CAPTULO XCLCULOS RELATIVOS A LOS ESTADOS LMITE LTIMOS

Artculo 41 Estado Lmite de Equilibrio

Habr que comprobar que, bajo la hiptesis de carga ms desfavorable, no sesobrepasan los lmites de equilibrio (vuelco, deslizamiento, etc.), aplicando los mtodos de laMecnica Racional y teniendo en cuenta las condiciones reales de las sustentaciones.

E E desestabd,estabd, ?donde:Ed,estab Valor de clculo de los efectos de las acciones estabilizadoras.Ed,desestab Valor de clculo de los efectos de las acciones desestabilizadoras.

Artculo 42 Estado Lmite de Agotamiento frente a solicitaciones normales

42.1 Principios generales de clculo

42.1.1 Definicin de la seccin

42.1.1.1 Dimensiones de la seccin

Para la obtencin de la capacidad resistente de una seccin, sta se considerar consus dimensiones reales en la fase de construccin -o de servicio- analizada, excepto en piezasde seccin en T, I o similares, para las que se tendrn en cuenta las anchuras eficacesindicadas en 18.2.1.

42.1.1.2 Seccin resistente

A efectos de clculos correspondientes a los Estados Lmite de Agotamiento frente asolicitaciones normales, la seccin resistente de hormign se obtiene de las dimensiones de lapieza y cumpliendo con los criterios de 40.3.5.

42.1.2 Hiptesis bsicas

El clculo de la capacidad resistente ltima de las secciones se efectuar a partir de lashiptesis generales siguientes:

a) El agotamiento se caracteriza por el valor de la deformacin en determinadasfibras de la seccin, definidas por los dominios de deformacin de agotamientodetallados en 42.1.3.

b) Las deformaciones del hormign siguen una ley plana. Esta hiptesis es vlidapara piezas en las que la relacin entre la distancia entre puntos de momentonulo y el canto total, es superior a 2.

c) Las deformaciones es de las armaduras pasivas se mantienen iguales a las delhormign que las envuelve.

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Las deformaciones totales de las armaduras activas adherentes debenconsiderar, adems de la deformacin que se produce en la fibracorrespondiente en el plano de deformacin de agotamiento (e0), ladeformacin producida por el pretensado y la deformacin de descompresin(figura 42.1.2) segn se define a continuacin:

??? p0cpp + = ?donde:ecp Deformacin de descompresin del hormign al nivel de la fibra de

armadura considerada.ep0 Predeformacin de la armadura activa debida a la accin del pretensado

en la fase considerada, teniendo en cuenta las prdidas que se hayanproducido.

d) El diagrama de clculo tensin-deformacin del hormign es alguno de los quese definen en 39.5. No se considerar la resistencia del hormign a traccin.El diagrama de clculo tensin-deformacin del acero de las armaduraspasivas, es el que se define en 38.4.El diagrama de clculo tensin-deformacin del acero de las armaduras activas,es el que se define en 38.7.

e) Se aplicarn a las resultantes de tensiones en la seccin las ecuacionesgenerales de equilibrio de fuerzas y momentos. De esta forma podr calcularsela capacidad resistente ltima mediante la integracin de las tensiones en elhormign y en las armaduras activas y pasivas.

Figura 42.1.2

42.1.3 Dominios de deformacin

Las deformaciones lmite de las secciones, segn la naturaleza de la solicitacin,conducen a admitir los siguientes dominios (figura 42.1.3.):

Dominio 1: Traccin simple o compuesta en donde toda la seccin est en traccin.Las rectas de deformacin giran alrededor del punto A correspondientea un alargamiento del acero ms traccionado del 10 por 1000.

Dominio 2: Flexin simple o compuesta en donde el hormign no alcanza ladeformacin de rotura por flexin. Las rectas de deformacin giranalrededor del punto A.

Dominio 3: Flexin simple o compuesta en donde las rectas de deformacin giranalrededor del punto B correspondiente a la deformacin de rotura por

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flexin del hormign ecu = 3,5 por 1.000. El alargamiento de la armadurams traccionada est comprendido entre el 10 por 1.000 y ey, siendo eyel alargamiento correspondiente al lmite elstico del acero.

Dominio 4: Flexin simple o compuesta en donde las rectas de deformacin giranalrededor del punto B. El alargamiento de la armadura ms traccionadaest comprendido entre ey y 0.

Dominio 4a: Flexin compuesta en donde todas las armaduras estn comprimidas yexiste una pequea zona de hormign en traccin. Las rectas dedeformacin giran alrededor del punto B.

Dominio 5: Compresin simple o compuesta en donde ambos materiales trabajan acompresin. Las rectas de deformacin giran alrededor del punto Cdefinido por la recta correspondiente a la deformacin de rotura delhormign por compresin, ecu = 2 por 1.000.

Figura 42.1.3

42.1.4 Dimensionamiento o comprobacin de secciones

A partir de las hiptesis bsicas definidas en 42.1.2 es posible plantear las ecuacionesde equilibrio de la seccin, que constituyen un sistema de ecuaciones no lineales.

En el caso de dimensionamiento, se conocen la forma y dimensiones de la seccin dehormign, la posicin de la armadura, las caractersticas de los materiales y los esfuerzos declculo y son incgnitas el plano de deformacin de agotamiento y la cuanta de armadura.

En el caso de comprobacin, se conocen la forma y dimensiones de la seccin dehormign, la posicin y cuanta de la armadura y las caractersticas de los materiales y sonincgnitas el plano de deformacin de agotamiento y los esfuerzos resistentes de la seccin.

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42.2 Casos particulares

42.2.1 Excentricidad mnima

En soportes y elementos de funcin anloga toda seccin sometida a una solicitacinnormal exterior de compresin Nd debe ser capaz de resistir dicha compresin con unaexcentricidad mnima, debida a la incertidumbre en la posicin del punto de aplicacin delesfuerzo normal, igual al mayor de los valores:

h/20 y 2 cm

Dicha excentricidad debe ser contada a partir del centro de gravedad de la seccinbruta y en la direccin ms desfavorable de las direcciones principales y slo en una de ellas.

42.2.2 Efecto de confinamiento del hormign

El hormign confinado en compresin mejora sus condiciones de resistencia yductilidad, aspecto este ltimo muy importante para garantizar un comportamiento estructuralque permita aprovechar, de forma ptima, toda la capacidad resistente adicional de unelemento hiperesttico.

El confinamiento de la zona comprimida de hormign puede conseguirse con unaadecuada cuanta de armadura transversal, convenientemente dispuesta y anclada.

42.2.3 Armaduras activas no adherentes

El incremento de tensin en las armaduras activas no adherentes depende delincremento de longitud del tendn entre los anclajes que, a su vez, depende de la deformacinglobal de la estructura en Estado Lmite ltimo.

42.3 Disposiciones relativas a las armaduras

42.3.1 Generalidades

Si existen armaduras pasivas en compresin, para poder tenerlas en cuenta en elclculo ser preciso que vayan sujetas por cercos o estribos, cuya separacin st sea igual oinferior a quince veces el dimetro ? mn de la barra comprimida ms delgada y cuyo dimetro ? tsea igual o superior a la cuarta parte de ? mx, siendo ? mx el dimetro de la armaduracomprimida ms gruesa. Si la separacin st entre cercos es inferior a 15 ? mn, su dimetro ? tpodr disminuirse de tal forma que la relacin entre la seccin del cerco y la separacin st sigasiendo la misma que cuando se adopta:

? t = 1/4 ? mx ; y st = 15 ? mn

Para piezas comprimidas, en cualquier caso, st debe ser inferior que la dimensin

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menor del elemento y no mayor que 30 cm.La armadura pasiva longitudinal resistente, o la de piel, habr de quedar distribuida

convenientemente para evitar que queden zonas de hormign sin armaduras, de forma que ladistancia entre dos barras longitudinales consecutivas (s) cumpla las siguientes limitaciones:

s ? 30 cm.s ? tres veces el espesor bruto de la parte de la seccin del elemento, alma o alas,

en las que vayan situadas.

En zonas de solapo o de doblado de las barras puede ser necesario aumentar laarmadura transversal.

42.3.2 Flexin simple o compuesta

En todos aquellos casos en los que el agotamiento de una seccin se produzca porflexin simple o compuesta, la armadura resistente longitudinal traccionada deber cumplir lasiguiente limitacin:

fh

W0,25 f A + f A cd1

ydspdp ?

donde:Ap rea de la armadura activa adherente.As rea de la armadura pasiva.fpd Resistencia de clculo del acero de la armadura activa adherente en traccin.fyd Resistencia de clculo del acero de la armadura pasiva en traccin.fcd Resistencia de clculo del hormign en compresin.W1 Mdulo resistente de la seccin bruta relativo a la fibra ms traccionada.h Canto total de la seccin.

42.3.3 Compresin simple o compuesta

En las secciones sometidas a compresin simple o compuesta, las armaduras,principales en compresin A's1 y A's2 (ver figura 42.3.3) debern cumplir las limitacionessiguientes:

A's1 fyc,d ? 0,05 Nd A's1 fyc,d ? 0,5 fcd Ac A's2 fyc,d ? 0,05 Nd A's2 fyc,d ? 0,5 fcd Acdonde:

fyc,d Resistencia de clculo del acero a compresin fyc,d = fyd ?? 400 N/mm2.Nd Esfuerzo actuante normal mayorado de compresin.fcd Resistencia de clculo del hormign en compresin.Ac rea de la seccin total de hormign.

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Figura 42.3.3

42.3.4 Traccin simple o compuesta

En el caso de secciones de hormign sometidas a traccin simple o compuesta,provistas de dos armaduras principales, debern cumplirse las siguientes limitaciones:

Ap fpd + As fyd ? 0,20 Ac fcd

42.3.5 Cuantas geomtricas mnimas

En la tabla 42.3.5 se indican los valores de las cuantas geomtricas mnimas que, encualquier caso, deben disponerse en los diferentes tipos de elementos estructurales, en funcindel acero utilizado, siempre que dichos valores resulten ms exigentes que los sealados en42.3.2, 42.3.3 y 42.3.4.

Tabla 42.3.5: Cuantas geomtricas mnimas, en tanto por 1000,referidas a la seccin total de hormign

Tipo de elemento estructural Tipo de acero

B 400 S B 500 S

Pilares 4,0 4,0

Losas (*) 2,0 1,8

Vigas (**) 3,3 2,8

Muros (***) Armadura horizontal 4,0 3,2

Armadura vertical 1,2 0,9

(*) Cuanta mnima de cada una de las armaduras, longitudinal y transversal repartida en las dos caras.Las losas apoyadas sobre el terreno requieren un estudio especial.

(**) Cuanta mnima correspondiente a la cara de traccin. Se recomienda disponer en la cara opuestauna armadura mnima igual al 30% de la consignada.

(***) La cuanta mnima vertical es la correspondiente a la cara de traccin. Se recomienda disponer en lacara opuesta una armadura mnima igual al 30% de la consignada.La armadura mnima horizontal deber repartirse en ambas caras. Para muros vistos por ambascaras debe disponerse el 50% en cada cara. Para muros vistos por una sola cara podrn disponersehasta 2/3 de la armadura total en la cara vista. En el caso en que se dispongan juntas verticales de

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contraccin a distancias no superiores a 7,5 m, con la armadura horizontal interrumpida, las cuantasgeomtricas horizontales mnimas pueden reducirse a la mitad.

Artculo 43 Estado Lmite de Inestabilidad

43.1 Generalidades

43.1.1 Campo de aplicacin

Este artculo concierne a la comprobacin de soportes aislados, estructuras aporticadasy estructuras reticulares en general, en los que los efectos de segundo orden no pueden serdespreciados.

La aplicacin de este artculo est limitada a los casos en que pueden despreciarse losefectos de torsin.

Esta Instruccin no cubre los casos en que la esbeltez mecnica ? de los soportes (verdefinicin en 43.1.2.) es superior a 200.

43.1.2 Definiciones

A los efectos de aplicacin de este Artculo 43 se denominan:- Estructuras intraslacionales aquellas cuyos nudos, bajo solicitaciones de

clculo, presentan desplazamientos transversales cuyos efectos pueden serdespreciados desde el punto de vista de la estabilidad del conjunto.

- Estructuras traslacionales aquellas cuyos nudos, bajo solicitaciones de clculo,presentan desplazamientos transversales cuyos efectos no pueden serdespreciados desde el punto de vista de la estabilidad del conjunto.

- Soportes aislados, los soportes isostticos, o los de prticos en los que puedesuponerse que la posicin de los puntos donde se anula el momento desegundo orden no vara con el valor de la carga.

- Esbeltez mecnica de un soporte de seccin constante, el cociente entre lalongitud de pandeo lo del soporte (distancia entre puntos de inflexin de ladeformada) y el radio de giro i de la seccin bruta de hormign en la direccinconsiderada.

- Esbeltez geomtrica de un soporte de seccin constante, el cociente entre lalongitud de pandeo lo del soporte y la dimensin (b h) de la seccin que esparalela al plano de pandeo.

43.2 Mtodo general

La comprobacin general de una estructura, teniendo en cuenta las no linealidadesgeomtrica y mecnica, puede realizarse de acuerdo con los principios generales indicados en21.3.4 y 21.3.5. Con esta comprobacin se justifica que la estructura, para las distintascombinaciones de acciones posibles, no presenta condiciones de inestabilidad global ni local, anivel de sus elementos constitutivos, ni resulta sobrepasada la capacidad resistente de lasdistintas secciones de dichos elementos.

Deben considerarse en el clculo las incertidumbres asociadas a la prediccin de losefectos de segundo orden y, en particular, los errores de dimensin e incertidumbres en laposicin y lnea de accin de las cargas axiles.

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43.3 Comprobacin de estructuras intraslacionales

En las estructuras intraslacionales, el clculo global de esfuerzos podr hacerse segnla teora de primer orden. A partir de los esfuerzos as obtenidos, se efectuar unacomprobacin de los efectos de segundo orden de cada soporte considerado aisladamente, deacuerdo con 43.5.

43.4 Comprobacin de estructuras traslacionales

Las estructuras traslacionales sern objeto de una comprobacin de estabilidad deacuerdo con las bases generales de 43.2.

43.5 Comprobacin de soportes aislados

Para soportes con esbeltez mecnica comprendida entre 100 y 200 se aplicar elmtodo general establecido en 43.5.1.

Para soportes con esbeltez mecnica comprendida entre 35 y 100 puede aplicarse elmtodo aproximado de 43.5.2 43.5.3.

Para soportes con esbeltez mecnica inferior a 35 pueden despreciarse los efectos desegundo orden y, en consecuencia, no efectuar comprobacin alguna en relacin con elEstado Lmite de Inestabilidad.

43.5.1 Mtodo general

En general la comprobacin de soportes aislados se llevar a cabo de acuerdo con lasbases de 43.2.

43.5.2 Mtodo aproximado. Flexin compuesta recta

Para soportes de seccin y armadura constante deber dimensionarse la seccin parauna excentricidad total igual a la que se indica:

e e + e = e 2aetot ??

i50l

e10+he20+h)+()0,12+(1= e

c

20

e

eya ???

donde:

ea Excentricidad ficticia utilizada para representar los efectos de segundo orden.ee Excentricidad de clculo de primer orden equivalente.

e0,4 e0,4 + e0,6 = e 212e ?? para soportes intraslacionales;e = e 2e para soportes traslacionales.

e2 Excentricidad de clculo mxima de primer orden, tomada con signo positivo.e1 Excentricidad de clculo mnima de primer orden, tomada con el signo que le

corresponda.l0 Longitud de pandeo.ic Radio de giro de la seccin de hormign en la direccin considerada.h Canto total de la seccin de hormign.ey Deformacin del acero para la tensin de clculo fyd, es decir,

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e Parmetro auxiliar para tener en cuenta los efectos de la fluencia:e = 0,003 cuando el axil cuasipermanente no supera el 70% del axil total.e = 0,004 cuando el axil cuasipermanente es mayor que el 70% del axil total.

Factor de armado, dado por

i4)d-(d = 2

s

2??

siendo is el radio de giro de las armaduras. Los valores de y de is se recogen en latabla 43,5.2 para las disposiciones de armaduras ms frecuentes.

Tabla 43.5.2

Disposicin de armadura is2

) d-(d41 2? 1,0

) d-(d121 2? 3,0

) d-(d61 2? 1,5

43.5.3 Mtodo aproximado. Flexin compuesta esviada

Para elementos de seccin rectangular y armadura constante se podr realizar unacomprobacin separada, segn los dos planos principales de simetra, si la excentricidad delaxil se sita en la zona rayada de la figura 43.5.3.a. Esta situacin se produce si se cumplealguna de las dos condiciones indicadas en la figura 43.5.3.a, donde ex y ey son lasexcentricidades de clculo en la direccin de los ejes x e y, respectivamente.

Cuando no se cumplen las condiciones anteriores, podr comprobarse el soporteesbelto si se cumple la siguiente condicin:

1 MM +

MM

yu

yd

xu

xd ?

donde:Mxd Momento de clculo, en la direccin x, en la seccin crtica de comprobacin,

considerando los efectos de segundo orden.Myd Momento de clculo, en la direccin y, en la seccin crtica de comprobacin,

considerando los efectos de segundo orden.Mxu Momento mximo, en la direccin x, resistido por la seccin crtica.Myu Momento mximo, en la direccin y, resistido por la seccin crtica.

E

f =

s

ydy?

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Figura 43.5.3.a

Artculo 44 Estado Lmite de Agotamiento frente a cortante

44.1 Consideraciones generales

Para el anlisis de la capacidad resistente de las estructuras de hormign frente aesfuerzos cortantes, se establece como mtodo general de clculo el de Bielas y Tirantes(Artculos 24 y 40), que deber utilizarse en todos aquellos elementos estructurales o partesde los mismos que, presentando estados planos de tensin o asimilables a tales, estnsometidos a solicitaciones tangentes segn un plano conocido y no correspondan a los casosparticulares tratados de forma explcita en esta Instruccin, tales como elementos lineales,placas y losas (44.2).

44.2 Resistencia a esfuerzo cortante de elementos lineales, placas y losas

Las prescripciones incluidas en los diferentes subapartados son de aplicacinexclusivamente a elementos lineales sometidos a esfuerzos combinados de flexin, cortante yaxil (compresin o traccin) y a placas o losas trabajando fundamentalmente en una direccin.

A los efectos de este artculo se consideran elementos lineales aquellos cuya distanciaentre puntos de momento nulo es igual o superior a dos veces su canto total y cuya anchura esigual o inferior a cinco veces dicho canto, pudiendo ser su directriz recta o curva. Se denominanplacas o losas a los elementos superficiales planos, de seccin llena o aligerada, cargadosnormalmente a su plano medio.

44.2.1 Definicin de la seccin de clculo

Para los clculos correspondientes al Estado Lmite de Agotamiento por esfuerzocortante, las secciones se considerarn con sus dimensiones reales en la fase analizada.Excepto en los casos en que se indique lo contrario, la seccin resistente del hormign seobtiene a partir de las dimensiones reales de la pieza, cumpliendo los criterios indicados en40.3.5.

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44.2.2 Esfuerzo cortante efectivo

Las comprobaciones relativas al Estado Lmite de Agotamiento por esfuerzo cortantepueden llevarse a cabo a partir del esfuerzo cortante efectivo Vrd dado por la siguienteexpresin:

V + V + V = V cdpddrddonde:Vd Valor de clculo del esfuerzo cortante producido por las acciones exteriores.Vpd Valor de clculo de la componente de la fuerza de pretensado paralela a la seccin en

estudio.Vcd Valor de clculo de la componente paralela a la seccin de la resultante de tensiones

normales, tanto de compresin como de traccin, sobre las fibras longitudinales dehormign, en piezas de seccin variable.

44.2.3 Comprobaciones que hay que realizar

El Estado Lmite de Agotamiento por esfuerzo cortante se puede alcanzar, ya sea poragotarse la resistencia a compresin del alma, o por agotarse su resistencia a traccin. Enconsecuencia, es necesario comprobar que se cumple simultneamente:

V V u1rd ?V V u2rd ?

donde:Vrd Esfuerzo cortante efectivo de clculo definido en 44.2.2.Vu1 Esfuerzo cortante de agotamiento por compresin oblicua en el alma.Vu2 Esfuerzo cortante de agotamiento por traccin en el alma.

La comprobacin del agotamiento por compresin oblicua en el alma Vrd? Vu1 serealizar en el borde del apoyo y no en su eje.

En piezas sin armadura de cortante no resulta necesaria la comprobacin deagotamiento por compresin oblicua en el alma.

La comprobacin correspondiente al agotamiento por traccin en el alma Vrd? Vu2 seefecta para una seccin situada a una distancia de un canto til del borde del apoyo directo.

44.2.3.1 Obtencin de Vu1

El esfuerzo cortante de agotamiento por compresin oblicua del alma se deduce de lasiguiente expresin:

???

cotg + 1 cotg + cotg d b f K = V 201cdu1

donde:f1cd Resistencia a compresin del hormign

f0,60 = f cd1cdb0 Anchura neta mnima del elemento, definida de acuerdo con 40.3.5.K Coeficiente de reduccin por efecto del esfuerzo axil

1,00 f

+ 1 35 =K

cd

cd ?????

?? ??

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donde:

s'cd tensin axil efectiva en la seccin (traccin positiva)

AN =

c

dcd??

Nd Esfuerzo axil de clculo (traccin positiva) incluyendo el pretensado con su valorde clculo

Ac rea total de la seccin de hormign

a ngulo de las armaduras con el eje de la pieza (figura 44.2.3.1.a).? ngulo entre las bielas de compresin de hormign y el eje de la pieza (figura

44.2.3.1.a). Se adoptar un valor que cumpla:

2,0 cotg 0,5 ?? ?

Figura 44.2.3.1.a

44.2.3.2 Obtencin de Vu2

44.2.3.2.1 Piezas sin armadura de cortante

El esfuerzo cortante de agotamiento por traccin en el alma vale

? ? d b 0,15 - ) f 100 ( 0,12 = 2V 0cd3 1/cklu ????con fck expresado en N/mm

2, donde:

d200 + 1 = ? con d en mm

?l Cuanta geomtrica de la armadura longitudinal traccionada, pasiva y activa adherente,anclada a una distancia igual o mayor que d a partir de la seccin de estudio

0,02 d b

ff

A + A =

0

yd

ypps

l ???

44.2.3.2.2 Piezas con armadura de cortante

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El esfuerzo cortante de agotamiento por traccin en el alma vale:V + V = V sucuu2

donde:

Vsu Contribucin de la armadura transversal de alma a la resistencia a esfuerzo cortante.

fA ) cotg + cotg ( z sen = V d,ysu ????? ?donde:

Aa rea por unidad de longitud de cada grupo de armaduras que forman un ngulo a conla directriz de la pieza (figura 44.2.3.1)

fya,d Resistencia de clculo de la armadura Aa (40.2)

- Para armaduras pasivas?? sdd,y = f

- Para armaduras activas?? pdd,y = f

z Brazo mecnico. A falta de clculos ms precisos puede adoptarse el valor aproximadoz=0,9d.

Vcu contribucin del hormign a la resistencia a esfuerzo cortante

? ? ???? d b 0,15 - ) f 100 ( 0,10 = V 0cd3 1/cklcu ?con fck expresado en N/mm

2, donde:

1 - ctg 2 1 - ctg 2 =

e??? si 0,5? ctg?

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fuerza en cada seccin.

44.2.3.4 Disposiciones relativas a las armaduras

44.2.3.4.1 Armaduras transversales

La separacin st entre armaduras transversales (figura 44.2.3.1.a) deber cumplir lascondiciones siguientes para asegurar un adecuado confinamiento del hormign sometido acompresin oblicua:

st ? 0,80 d ? 300 mm V51 V si u1rd ?

st ? 0,60 d ? 300 mm V 32 V < V

51 si u1rdu1 ?

st ? 0,30 d ? 200 mm V 32 > V si u1rd

Si existe armadura de compresin y se tiene en cuenta en el clculo, los cercos oestribos cumplirn, adems, las prescripciones del Artculo 42.

Para un control eficaz, en piezas lineales, de la fisuracin inclinada de alma debida asolicitaciones tangenciales, debern respetarse las separaciones entre armadurastransversales indicadas en 49.3.

En general, los elementos lineales dispondrn de armadura transversal de formaefectiva.

En todos los casos, se prolongar la colocacin de cercos o estribos en una longitudigual a medio canto de la pieza, ms all de la seccin en la que tericamente dejen de sernecesarios. En el caso de apoyos, los cercos o estribos se dispondrn hasta el borde de losmismos.

Las armaduras de cortante deben formar con el eje de la viga un ngulo comprendidoentre 45o y 90o, inclinadas en el mismo sentido que la tensin principal de traccin producidapor las cargas exteriores, al nivel del centro de gravedad de la seccin de la viga supuesta nofisurada.

Las barras que constituyen la armadura transversal pueden ser activas o pasivas,pudiendo disponerse ambos tipos de forma aislada o en combinacin.

La cuanta mnima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la relacin:

b f 0,02 sen

f A 0cd

d,y ?????

Al menos un tercio de la armadura necesaria por cortante, y en todo caso la cuantamnima indicada, se dispondr en forma de estribos que formen un ngulo de 90 con el eje dela viga.

44.2.3.4.2 Armaduras longitudinales

Las armaduras longitudinales de flexin debern ser capaces de soportar unincremento de traccin respecto a la producida por Md, igual a:

) cotg + cotg ( 2

V - cotg V = T surd ????

Esta prescripcin se cumple de forma automtica decalando la ley de momentos declculo Md una magnitud igual a:

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????

??

) cotg + cotg ( VV

21 - cotgz = s

rd

sud ???

en el sentido ms desfavorable (figura 44.2.3.4.2).

En el caso de no existir armadura de cortante, se tomar Vsu=0 en las expresiones

anteriores.

Figura 44.2.3.4.2

44.2.3.5 Rasante entre alas y alma de una viga

Para el clculo de la armadura de unin entre alas y alma de las cabezas de vigas en T,en I, en cajn o similares, se emplear en general el mtodo de Bielas y Tirantes (Artculo 40).

Para la determinacin del esfuerzo rasante puede suponerse una redistribucin plsticaen una zona de la viga de longitud ar (figura 44.2.3.5.a).

Figura 44.2.3.5.a

El esfuerzo rasante medio por unidad de longitud que debe ser resistido ser:

aF = Sr

dd

?

donde:ar Longitud de redistribucin plstica considerada. La ley de momentos en la longitud ar

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debe presentar variacin montona creciente o decreciente. Al menos los puntos decambio de signo de momento deben adoptarse siempre como lmites de zona ar.

?Fd Es la variacin en la distancia ar de la fuerza longitudinal actuante en la seccin del alaexterior al plano P.

En ausencia de clculos ms rigurosos deber cumplirse:S S u1d ?S S u2d ?

donde:

Su1 Esfuerzo rasante de agotamiento por compresin oblicua en el plano Ph f 0,5 = S 01cdu1

donde:

f1cd Resistencia a compresin del hormign (40.3.2), de valor:f1cd=0,60fcd para alas comprimidas;f1cd=0,40fcd para alas traccionadas.

h0 Espesor del ala de acuerdo con 40.3.5.

Su2 Esfuerzo rasante de agotamiento por traccin en el plano P.S = S suu2

donde:

Ssu Contribucin de la armadura perpendicular al plano P a la resistencia a esfuerzorasante.

f A = S dyP,PsuAP Armadura por unidad de longitud perpendicular al plano P (figuras

44.2.3.5.b y c).fyP,d Resistencia de clculo de la armadura AP:

fyP,d = ssd para armaduras pasivas;fyP,d = spd para armaduras activas.

En el caso de rasante entre alas y alma combinado con flexin transversal, secalcularn las armaduras necesarias por ambos conceptos y se dispondr la mayor de las dos.

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Figura 44.2.3.5.b

Figura 44.2.3.5.c

Artculo 45 Estado Lmite de Agotamiento por torsin en elementos lineales

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Las prescripciones incluidas en este artculo son de aplicacin exclusivamente a ele-mentos lineales sometidos a torsin pura o a esfuerzos combinados de torsin y flexin,cortante y axil.

A los efectos de este artculo se consideran elementos lineales aquellos cuya distanciaentre puntos de momento nulo es igual o superior a dos veces y media su canto total y cuyaanchura es igual o inferior a cuatro veces dicho canto, pudiendo ser su directriz recta o curva.

Los estados de flexin bidimensional (mx, my y mxy) en losas o placas se dimensionarnde acuerdo con el Artculo 42, teniendo en cuenta las direcciones principales de los esfuerzosy las direcciones en que se disponga la armadura.

Cuando el equilibrio esttico de una estructura dependa de la resistencia a torsin deuno o varios de los elementos de la misma, stos debern ser dimensionados y comprobadosde acuerdo con el presente artculo. Cuando el equilibrio esttico de la estructura no dependede la resistencia a torsin de uno o varios de los elementos de la misma slo ser necesariocomprobar este Estado Lmite en aquellos elementos cuya rigidez a torsin haya sidoconsiderada en el clculo de esfuerzos.

Para evitar una excesiva fisuracin en piezas lineales, debern disponerse las arma-duras mnimas indicadas en el Artculo 49.

45.2 Torsin pura

45.2.1 Definicin de la seccin de clculo

La resistencia a torsin de las secciones se calcula utilizando una seccin cerrada depared delgada. As, las secciones macizas se sustituyen por secciones equivalentes de pareddelgada. Las secciones de forma compleja, como secciones en T, se dividen en variassubsecciones, cada una de las cuales se modeliza como una seccin equivalente de pareddelgada y la resistencia total a torsin se calcula como la suma de las capacidades de lasdiferentes piezas. La divisin de la seccin debe ser tal que maximice la rigidez calculada. Enzonas cercanas a los apoyos no podrn considerarse como colaborantes a la rigidez a torsinde la seccin aquellos elementos de la misma cuya trasmisin de esfuerzos a los elementos deapoyo no pueda realizarse de forma directa.

El espesor eficaz he de la pared de la seccin de clculo (figura 45.2.1) ser:

????????

c2h

uAh 0e

donde:A rea de la seccin transversal inscrita en el permetro exterior incluyendo las reas

huecas interiores.u Permetro exterior de la seccin transversal.ho Espesor real de la pared en caso de secciones huecas.c Recubrimiento de las armaduras longitudinales.

Puede utilizarse un valor de he inferior a A/u, siempre que cumpla con las condicionesmnimas expresadas y que permita satisfacer las exigencias de compresin del hormignestablecidas en 45.2.2.1.

X-19

Figura 45.2.1

45.2.2 Comprobaciones que hay que realizar

El Estado Lmite de Agotamiento por torsin puede alcanzarse, ya sea por agotarse laresistencia a compresin del hormign o por agotarse la resistencia a traccin de las armadurasdispuestas. En consecuencia, es necesario comprobar que se cumple simultneamente:

T T u1d ?T T u2d ?T T u3d ?

donde:Td Momento torsor de clculo en la seccin.Tu1 Mximo momento torsor que pueden resistir las bielas comprimidas de hormign.Tu2 Mximo momento torsor que pueden resistir las armaduras transversales.Tu3 Mximo momento torsor que pueden resistir las armaduras longitudinales.

Las armaduras de torsin se suponen constituidas por una armadura transversalformada por cercos cerrados situados en planos normales a la directriz de la pieza. Laarmadura longitudinal estar constituida por armadura pasiva o activa paralela a la directriz dela pieza, distribuida uniformemente con separaciones no superiores a 30 cm en el contornoexterior de la seccin hueca eficaz o en una doble capa en el contorno exterior y en el interiorde la seccin hueca eficaz o real. Al menos se situar una barra longitudinal en cada esquinade la seccin real para asegurar la transmisin a la armadura transversal de las fuerzaslongitudinales ejercidas por las bielas de compresin.

45.2.2.1 Obtencin de Tu1

El esfuerzo torsor de agotamiento que pueden resistir las bielas comprimidas se deducede la siguiente expresin:

???

cotg + 1 cotg h A f = T 2ee1cdu1

donde:f1cd Resistencia a compresin del hormign.

f 0,60 = f cd1cda 1,20 si hay estribos nicamente a lo largo del permetro exterior de la pieza;

1,50 si se colocan estribos cerrados en ambas caras de la pared de la seccin huecaequivalente o de la seccin hueca real.

? ngulo entre las bielas de compresin de hormign y el eje de la pieza. Se adoptar unvalor que cumpla:

2,5 cotg 0,4 ?? ?Ae rea encerrada por la lnea media de la seccin hueca eficaz de clculo (figura 45.2.1).


X-20

El esfuerzo torsor que pueden resistir las armaduras transversales viene dado por:

? cotg f s

A A 2 = T dt,y t

teu2

donde:At rea de las armaduras utilizadas como cercos o armadura transversal.st Separacin longitudinal entre cercos o barras de la armadura transversal.fyt,d Resistencia de clculo del acero de la armadura At (40.2).

- Para armaduras pasivas? sddt,y = f

- Para armaduras activas? pddt,y = f


El esfuerzo torsor que pueden resistir las armaduras longitudinales se puede calcularmediante:

? tg f A uA 2 = T dyl,le

eu3

donde:Al rea de las armaduras longitudinales.fyl,d Resistencia de clculo del acero de la armadura longitudinal Al (40.2).

- Para armaduras pasivas? sddl,y = f

- Para armaduras activas? pddl,y = f

ue Permetro de la lnea media de la seccin hueca eficaz de clculo Ae (figura 45.2.1).

45.2.2.4 Alabeo producido por la torsin

En general pueden ignorarse en el clculo de las piezas lineales de hormign lastensiones producidas por la coaccin del alabeo torsional.

45.2.3 Disposiciones relativas a las armaduras

La separacin longitudinal entre cercos de torsin st no exceder de

8u s et ?

y deber cumplir las condiciones siguientes para asegurar un adecuado confinamiento delhormign sometido a compresin oblicua:

st ? 0,80 a ?? 300 mm T 51 T si u1d ?

X-21

st ? 0,60 a ?? 300 mm T 32 T < T 5

1 si u1du1 ?

st ? 0,30 a ?? 200 mm T 32 > T si u1d

siendo a la menor dimensin de los lados que conforman el permetro ue.

45.3 Interaccin entre torsin y otros esfuerzos

45.3.1 Mtodo general

Se utilizar el mismo procedimiento que en torsin pura (45.2.1) para definir unaseccin hueca eficaz de clculo. Las tensiones normales y tangenciales producidas por losesfuerzos actuantes sobre esta seccin se calculan a travs de los mtodos elsticos oplsticos convencionales.

Una vez halladas las tensiones, las armaduras necesarias en cualquier pared de laseccin hueca eficaz de clculo pueden determinarse mediante las frmulas de distribucin detensin plana. Tambin puede determinarse la tensin principal de compresin en el hormign.Si las armaduras deducidas de este modo no fueran factibles o convenientes, puedencambiarse en alguna zona las tensiones deducidas por un sistema de fuerzas estticamenteequivalentes y emplear stas en el armado. Debern, en este caso, comprobarse lasconsecuencias que dicho cambio provoca en las zonas singulares como huecos o extremos delas vigas.

Las tensiones principales de compresin scd deducidas en el hormign, en las distintasparedes de la seccin hueca eficaz de clculo, deben cumplir:

f 1cdcd ?? ?

donde a y f1cd son los definidos en 45.2.2.1. y 40.3, respectivamente.

45.3.2 Mtodos simplificados

45.3.2.1 Torsin combinada con flexin y axil

Las armaduras longitudinales necesarias para torsin y flexocompresin o flexotraccinse calcularn por separado suponiendo la actuacin de ambos tipos de esfuerzo de formaindependiente. Las armaduras as calculadas se combinarn de acuerdo con las siguientesreglas:

a) En la zona traccionada debida a la flexin compuesta, las armaduraslongitudinales por torsin se sumarn a las necesarias por flexin y esfuerzoaxil.

b) En la zona comprimida debido a la flexin compuesta, si la capacidad mecnicade las armaduras de torsin a disponer es inferior al esfuerzo de compresin delhormign debido a la flexin compuesta, no ser necesario aadir armadura portorsin. En caso contrario se aadir la diferencia entre ambos valores.

Por lo que respecta a las compresiones en el hormign, deber comprobarse que latensin principal de compresin scd en el punto crtico de la seccin cumple:

f 1cdcd ?? ?donde a y f1cd son los definidos en 45.2.2.1.

Para la determinacin de scd se emplear la tensin de compresin smd debida a laflexin compuesta en el punto considerado y la tensin tangencial de torsin en dicho punto

X-22

calculada de acuerdo con:

h A 2T =

ee

dtd?

La tensin principal de compresin ser:

???? d t 2md2

mdcd + 2

+ 2

= ????

??

45.3.2.2 Torsin combinada con cortante

Los esfuerzos torsores y cortantes de clculo concomitantes debern satisfacer lasiguiente condicin para asegurar que no se producen compresiones excesivas en elhormign:

1 VV +

TT

u1

rd

u1

d ?????

???

???

?? ??

donde:

????

??

bh - 1 2 = e?

b Anchura del elemento, igual a la anchura total para seccin maciza y a la suma de lasanchuras de las almas para seccin cajn.

Los clculos para el dimensionamiento de los estribos se realizarn de forma inde-pendiente, para la torsin de acuerdo con 45.2.2.2 y para el cortante con 44.2.3.2.2. En ambosclculos se utilizar el mismo ngulo ? para las bielas de compresin. Las armaduras ascalculadas se sumarn teniendo en cuenta que las de torsin deben disponerse en el permetroexterior de la seccin, lo cual no es preceptivo con las de cortante.

Artculo 46 Estado Lmite de Punzonamiento


La resistencia frente a los efectos transversales producidos por cargas concentradas(cargas o reacciones) actuando en losas sin armadura transversal se comprueba utilizando unatensin tangencial nominal en una superficie crtica concntrica a la zona cargada.

El rea crtica se define a una distancia igual a 2d desde el permetro del rea cargadao del soporte, siendo d el canto til de la losa.

Figura 46.1.a

X-23

Figura 46.1..b

46.2 Losas sin armadura de punzonamiento

No ser necesaria armadura de punzonamiento si se verifica la siguiente condicin:?? rdsd ?

donde:tsd Tensin tangencial nominal de clculo en el permetro crtico.

d uF =

1

efsd,sd?

Fsd,ef Esfuerzo efectivo de punzonamiento de clculo, teniendo en cuenta el efecto delmomento transferido entre losa y soporte.

F = F sdefsd, ?

Coeficiente que tiene en cuenta los efectos de excentricidad de la carga. Cuando noexisten momentos transferidos entre losa y soporte toma el valor 1,00.Simplificadamente, cuando existen momentos transferidos entre losa y soporte, puede tomarse igual a 1,15 en soportes interiores, 1,40 en soportes de borde y 1,50 ensoportes de esquina.

Fsd Esfuerzo de punzonamiento de clculo. Se obtendr como la reaccin del soporte. Enel caso de losas pretensadas debe incluir la componente vertical del pretensado.

u1 Permetro crtico definido en las figuras 46.1.a y 46.1.b.d Canto til de la losa.

trd Tensin mxima resistente en el permetro crtico, con fck en N/mm2.

? ?f 100 0,12 = ckl 1/3rd ????l Cuanta geomtrica de armadura longitudinal de la losa, calculada mediante:

?? yx

siendo ?x y ?y las cuantas en dos direcciones perpendiculares. En cada direccin lacuanta a considerar es la existente en un ancho igual a la dimensin del soporte ms3d a cada lado del soporte o hasta el borde de la losa, si se trata de un soporte deborde o esquina.

? d / 200 + 1 con d en mm.

46.3 Losas con armadura de punzonamiento

Cuando resulta necesaria armadura de punzonamiento deben realizarse doscomprobaciones: en la zona con armadura transversal, segn 46.3.1, y en la zona adyacentesiguiente sin armadura transversal, segn 46.3.2.

46.3.1 Zona con armadura de punzonamiento

X-24

En la zona con armadura de punzonamiento se dimensionar la armadura teniendo encuenta lo indicado en 44.3.2.2, considerando como valor de Aa y b0 los valores siguientes:

u = b 10

sA = A sw?

donde:Asw rea total de armadura de punzonamiento en un permetro concntrico al soporte o

rea cargada.s Distancia en direccin radial entre dos permetros concntricos de armadura. (figura

46.3.2).

46.3.2 Zona exterior a la armadura de punzonamiento

En la zona exterior a la armadura de punzonamiento es necesario comprobar que no serequiere dicha armadura.

d u )f (100 0,12 F efn,1/3

cklefsd, ???donde:

un,ef Permetro definido en la figura 46.3.2

Figura 46.3.2. Disposicin en planta de la armadura de punzonamiento

X-25

?l Cuanta geomtrica de armadura longitudinal que atraviesa el permetro un,ef.

A la distancia en la que se comprueba esta condicin se supone que el efecto delmomento transferido entre soporte y losa por tensiones tangenciales ha desaparecido, portanto, Fsd,ef slo tendr en cuenta el efecto debido a la carga vertical Fsd.

46.4 Resistencia mxima

n cualquier caso debe comprobarse que el esfuerzo mximo de punzonamiento cumplela limitacin:

f d u

F1cd

0

efsd, ?

donde:f1cd Resistencia a compresin del hormign

f 0,30 = f cd1cdu0 Permetro de comprobacin (figura 46.4). En soportes interiores, u0 es el permetro de la

seccin transversal del soporte. Para soportes de borde:c2 + c 3d + c = u 2110 ?

donde c1 y c2 son las dimensiones del soporte. Para soportes de esquina:c + c 3d = u 210 ?

Figura 46.4. Parmetro crtico u0


La armadura de punzonamiento debe definirse de acuerdo con los siguientes criterios:

- La armadura de punzonamiento estar constituida por cercos, horquillasverticales o barras dobladas.

- Las disposiciones constructivas debern cumplir las especificaciones de lafigura 46.5.

- La armadura de punzonamiento debe anclarse a partir del centro de gravedaddel bloque comprimido y por debajo de la armadura longitudinal de traccin. Elanclaje de la armadura de punzonamiento debe estudiarse cuidadosamente,sobre todo en losas de poco espesor.

X-26

Figura 46.5. Tipologa de armado de punzonamiento

Artculo 47 Estado Lmite de Agotamiento por esfuerzo rasante en juntas entrehormigones

47.1 Generalidades

El Estado Lmite que se trata en este Artculo es el debido al esfuerzo rasanteproducido por la solicitacin tangencial a la que se ve sometida una junta entre hormigones.

47.2 Resistencia a esfuerzo rasante en juntas entre hormigones

La tensin rasante que solicita la junta en la seccin debe cumplir:

f 0,25 + ) cos + sen ( fspA + f cdcdd, y

stdct,md ??? ??????? ?

donde:

tmd Valor medio de la tensin rasante de clculo de la junta en la seccin considerada.fcd Resistencia de clculo a compresin del hormign ms dbil de la junta.Ast Seccin de las barras de acero, eficazmente ancladas, que cosen la junta.s Separacin de las barras de cosido segn el plano de la junta.p Superficie de contacto por unidad de longitud. No se extender a zonas donde el ancho

de paso sea inferior a 20 mm o al dimetro mximo del rido, o con un recubrimientoinferior a 30 mm.

fya,d Resistencia de clculo de las armaduras transversales en N/mm2 ( ?? 400N/mm2).

a ngulo formado por las barras de cosido con el plano de la junta. No se dispondrnarmaduras con a > 135o a < 45o.

scd Tensin externa de clculo normal al plano de la junta.scd > 0 para tensiones de compresin. (Si scd

X-27

Tabla 47.2Valores de los coeficientes y en funcin del tipo de superficie

Tipo de superficieRugosidad baja Rugosidad alta

0,2 0,4 0,6 0,9

Para superficies rugosas, eficazmente engarzadas en cola de milano, se admite= 0,5.

La contribucin de la armadura de cosido a la resistencia a rasante de la junta, en laseccin de estudio, slo ser contabilizada si la cuanta geomtrica de armadura transversalcumple:

)mmN/ en f( f0,38

spA 2

d,yd,y

st?

?

?

Bajo solicitaciones de fatiga o de tipo dinmico los valores correspondientes a lacontribucin por cohesin entre hormigones (fct,d) se reducirn en un 50%.

Cuando existan tracciones normales a la superficie de contacto (por ejemplo, cargascolgadas en la cara inferior de una viga compuesta) la contribucin por cohesin entrehormigones se considerar nula (fct,d=0).

La capacidad resistente a esfuerzo rasante est obtenida bajo la hiptesis de unespesor medio mnimo del hormign a cada lado de la junta de 50 mm, medido normalmente alplano de la junta, pudindose llegar localmente a un espesor mnimo de 30 mm.


Se define junta frgil como aquella cuya cuanta geomtrica de armadura de cosido esinferior al valor dado en Artculo 47.2 para poder contabilizar la contribucin de la armadura decosido, y junta dctil como aquella en la que la cuanta de armadura de cosido es superior aeste valor.

En las juntas frgiles la distribucin de la armadura de cosido debe hacerseproporcional a la ley de esfuerzos cortantes. En las juntas dctiles se puede asumir la hiptesisde redistribucin de tensiones a lo largo de la junta, aunque se aconseja tambin distribuir laarmadura de cosido proporcionalmente a la ley de esfuerzos cortantes.

En el caso de piezas solicitadas a cargas dinmicas significativas, se dispondr siemprearmadura transversal de cosido en los voladizos y en los cuartos extremos de la luz.

Artculo 48 Estado Lmite de Fatiga

48.1 Principios

En los elementos estructurales sometidos a acciones variables repetidas significativaspuede ser necesario comprobar que el efecto de dichas acciones no compromete su seguridaddurante el perodo de servicio previsto.

La seguridad de un elemento o detalle estructural frente a la fatiga queda asegurada sise cumple la condicin general establecida en 8.1.2. La comprobacin debe ser efectuada porseparado para el hormign y el acero.

En estructuras normales generalmente no suele ser necesaria la comprobacin de este

X-28

Estado Lmite.

48.2 Comprobaciones a realizar

48.2.1 Hormign

A los efectos de fatiga se limitarn los valores mximos de tensin de compresin,producidos, tanto por tensiones normales como por tensiones tangenciales (bielascomprimidas), debidas a las cargas permanentes y sobrecargas que producen fatiga.

Para elementos sometidos a cortante sin armadura transversal, se limitar asimismo lacapacidad resistente debida al efecto de la fatiga.

Los valores mximos de tensiones de compresin y de capacidad resistente a cortantese definirn de acuerdo con la experimentacin existente o, en su caso, con los criterioscontrastados planteados en la bibliografa tcnica.

48.2.2 Armaduras activas y pasivas

En ausencia de criterios ms rigurosos, basados, por ejemplo, en la teora de mecnicade fractura, la mxima variacin de tensin, ?ssf, debida a las sobrecargas que producen fatiga(13.2), deber ser inferior que el lmite de fatiga, ?sd, definido en 38.10.

?? dsf ???

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00088635