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11 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

790

Funciones trigonométricas

A las razones que existen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se les llama funciones o razones trigonométricas.

Defi niciones

Seno de un ángulo. Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno de un ángulo. Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Tangente de un ángulo. Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Cotangente de un ángulo. Es la razón entre el cateto adyacente y el opuesto.

Secante de un ángulo. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

Cosecante de un ángulo. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Nota: los catetos se nombran según el ángulo agudo que se utilice.

En el siguiente triángulo determina los catetos opuesto y adyacente para cada uno de los ángulos agudos.

c a

b

a

b

Solución

Para el ángulo a: Para el ángulo b:cateto opuesto = a cateto opuesto = bcateto adyacente = b cateto adyacente = ahipotenusa = c hipotenusa = c

El cateto que es opuesto para uno de los ángulos será el adyacente para el otro, siendo la hipotenusa el lado que no presenta variante.

Obtén las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulo:

c a

b

a

b

22

1

Ejem

plos

EJEMPLOS

CAPÍTULO 11 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Funciones trigonométricas

791

Solución

En el triángulo la hipotenusa es c y los catetos son a y b, entonces las funciones para los ángulos agudos a y b son:

Funciones de a : Funciones de b:

sen a = c

a

sen b =

c

b

cos a = c

b cos b =

c

a

tana = b

a tan b =

a

b

ctg a = a

b ctg b =

b

a

sec a = b

c

sec b =

a

c

csc a = a

c csc b =

b

c

Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo guardan ciertas relaciones entre sí:

Función directa Función recíproca

seno (sen) cosecante (csc )

coseno (cos ) secante (sec)

tangente (tan ) cotangente (ctg)

Cofunciones

Cualquier función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento.En el triángulo rectángulo:

Por geometría: 90° + a + b = 180° Donde: a + b = 90°; b = 90° – a por tanto, a y b son complementarios.

Entonces, mediante las defi niciones:sen a = cos (90° – a) = cos b

cos a = sen (90° – a) = sen b

tan a = ctg (90° – a) = ctg b

ctg a = tan (90° – a) = tan b

sec a = csc (90° – a) = csc b

csc a = sec (90° – a) = sec b

c a

b

a

b


792

EjemplosDadas las funciones trigonométricas, se determinan sus respectivas cofunciones:

sen 32° = cos (90° – 32°) = cos 58°

tan 25° = ctg (90° – 25°) = ctg 65°

cos π3

= sen π π2 3

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= sen π

6

sec π4

= csc π π2 4

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = csc

π4

Rango numérico

Dado que la hipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es mayor que cualquiera de los dos catetos, los valores del seno y el coseno de un ángulo agudo no pueden ser mayores que +1, ni menores que –1, mientras que los valores de las funciones cosecante y secante, al ser recíprocas del seno y coseno, no pueden estar entre –1 y +1; los catetos de un triángulo rectángulo pueden guardar entre sí cualquier proporción, por tanto, los valores de la tangente y la cotangente varían sobre todo el conjunto de números reales.

Valor

Dada una función trigonométrica de un ángulo agudo se pueden determinar las demás funciones a partir de la cons-trucción de un triángulo rectángulo y el empleo del teorema de Pitágoras como a continuación se ilustra.

Si u es agudo, y cos u = 3

4, calcula los valores de las funciones trigonométricas para u.

Solución

Se construye un triángulo rectángulo, donde u es uno de los ángulos agudos, la hipotenusa es 4 y el cate to adyacente es 3.

Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lado restante:

(4)2 = (x)2 + (3)2

16 = x2 + 9

16 – 9 = x2

7 = x2

7 = x

Por tanto, las funciones trigonométricas del ángulo agudo u son:

sen u = 7

4 ctg u =

3

7 =

3 7

7 csc u =

4

7 =

4 7

7

tan u = 7

3 sec u =

4

3

1

4

3

x

q

Ejem

plos

EJEMPLOS


793

Si u es agudo y tan u =1

2, calcula los valores de seno y coseno del ángulo u.

SoluciónSe construye un triángulo rectángulo, donde u es uno de los ángulos agudos, el cateto opuesto es 1 y el cateto adya-cente es 2.

Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lado restante:

(x)2 = (1)2 + (2)2

x2 = 1 + 4

x2 = 5

x = 5

Por consiguiente, sen u = 1

5 =

5

5 y cos u =

2

5 =

2 5

5

2

x

2

1

q

1. Obtén el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos, en los siguientes triángulos:

a) c)

b) d)

2. Obtén el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos en los siguientes triángulos rectángulos:

a) Si u y a son los ángulos agudos y cos u = 1

5 d) Si u y a son los ángulos agudos y sec u = 2 3

b) Si / A y / B son complementarios y tan B = 2

3 e) Si a + b = 90° y ctg a =

15

5

c) Si / M y / N son complementarios y csc N = 2 f ) sen A = 4

29 y / B es complemento de / A

EJERCICIO 37

5

9

B

A

x

N

M7

10 x

A B

C

3

5 x

M

N

O

1 2

x

Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente


794

Signos de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Si un triángulo rectángulo se ubica en el plano cartesiano, de manera que uno de sus catetos coincida con el eje horizontal, las funciones trigonométricas tendrán un signo dependiendo del cuadrante sobre el cual se encuentre dicho triángulo.

II I

III IV

–

– –

+ +

+

+ +

+ +

X

Y

qq

q q

Tabla de signos

I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante

Seno + + – –

Coseno + – – +

Tangente + – + –

Cotangente + – + –

Secante + – – +

Cosecante + + – –

Sea el punto A(– 3, 4), determina las funciones trigonométricas del ángulo agudo a = ∠X O A.

Solución

Por el teorema de Pitágoras:

OA( )2

= (– 3)2 + (4)2

OA( )2

= 9 + 16

OA = 25 = 5

Por tanto, las funciones trigonométricas del ángulo a, son:

sen a = 4

5 tan a = − 4

3 sec a = − 5

3

cos a = − 3

5 ctg a = − 3

4 csc a =

5

4

1

Ejem

plos

EJEMPLOS

A(–3, 4)

OX

Y

a


795

Calcula las funciones trigonométricas para el ángulo b, si se sabe que tan b = 4 y 180° ≤ b ≤ 270°.

Solución

El ángulo se defi ne en el tercer cuadrante y la función tangente es positiva, por tanto, tan b = 4

1 =

−−4

1, estos valores

se ubican en el plano cartesiano.Por el teorema de Pitágoras:

(h)2 = (– 4)2 + (–1)2

h2 = 16 + 1

h = 17

Entonces, las funciones trigonométricas del ángulo b son:

sen b = − = −4

17

4 17

17 tan b = 4 csc b = − 17

4

cos b = − = −1

17

17

17 ctg b =

1

4 sec b = − 17

Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo agudo u que forman el punto P(2, – 5) y el eje horizontal.

Solución

Por el teorema de Pitágoras:

OP2 2 2

2 5= ( ) + −( )

OP = +4 25

OP = 29Las funciones trigonométricas son:

sen θ = − = −5

29

5 29

29 tan secθ θ= − =5

2

29

2

cosθ = =2

29

2 29

29 ctg cscθ θ= − = −2

5

29

5

33

2

X

Y

O

h

b

X

Y

P

O

(2, –5)

q


796

1. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo agudo a = < XOM que forman el punto M( 12, – 5) y el eje hori-zontal.

2. Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo agudo a = YON que forman el punto N (– 4, – 7) y el eje vertical.

3. Determina las funciones trigonométricas del ángulo agudo b = XOA que forman el punto A(2, 3) y el eje horizontal.

4. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo agudo w = XOB que forman el punto B2

2

2

2, −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ y el eje

horizontal.

5. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo a, si se encuentra en el tercer cuadrante con csc a = − 3

2

6. Determina las funciones trigonométricas del ángulo a, si se encuentra en el cuarto cuadrante con ctg a = − 2

7

7. Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo b, si se sabe que cos b = − 9

13 y 90° ≤ b ≤ 180°

8. Obtén las funciones trigonométricas del ángulo v, si se sabe que ctg v = – 8 y 3

2

π ≤ v ≤ 2π

9. Si csc d = 13

5 si 90° ≤ d ≤ 180°, calcula las funciones trigonométricas del ángulo d

10. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo b si se sabe que cos b = − 3

3 y π β π≤ ≤ 3

211. Si sen a > 0, tan a < 0 y sec a = – 2, calcula las funciones trigonométricas del ángulo a

12. Si sec a > 0, ctg a < 0 y cos a = 1

2, calcula las funciones trigonométricas del ángulo a

EJERCICIO 38


Funciones trigonométricas para ángulos mayores que 90°Todo ángulo mayor que 90°, se puede expresar en la forma n ⋅ ° ±( )90 α o bien n ⋅ ±

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π α2

, donde n es un entero posi-

tivo y a es un ángulo cualquiera, la función de dicho ángulo será equivalente a:

i) La misma función de a si n es un número par.ii) La cofunción correspondiente de a si n es un número impar.

Esto con el fi n de expresar la función trigonométrica de dicho ángulo en una expresión equivalente, pero con un án-gulo agudo, conservando el signo correspondiente a la función dada, según el cuadrante donde se encuentre el lado terminal.

Expresa como función de un ángulo agudo tan 140°.

Solución

El ángulo se sitúa en el segundo cuadrante, donde la función tangente es negativa, entonces:

tan 140° = tan (2 ? 90° – 40°) = – tan 40°

Ahora bien, tan 140° se puede expresar también como tan (1 ? 90° + 50°), n = 1, por tanto se utiliza cotangente, la cual es cofunción de la tangente, entonces:

tan 140° = tan (1? 90° + 50°) = – ctg 50°

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


797

Expresa como función de un ángulo agudo sen 11

9π .

Solución

El ángulo está en el tercer cuadrante, donde la función seno es negativa, entonces:

sen 11

9π = sen 2

2

2

9⋅ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π = – sen 2

9π

sen 11

9π se puede representar también como sen 3

2

5

18⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π , n = 3 por tanto se utiliza la cofunción del seno, es

decir, se expresa en términos del coseno.

sen 11

9π = sen 3

2

5

18⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π = – cos 5

18π

Expresa como función de un ángulo agudo sec 350° 15’ 28”.

Solución

El ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde la función secante es positiva, entonces:

sec 350° 15’ 28” = sec (4 ? 90° – 9° 44’ 32’’) = sec 9° 44’ 32”

O en términos de cosecante:

sec 350° 15’ 28” = sec (3 ? 90° + 80° 15’ 28’’) = csc 80° 15’ 28”

Expresa como función de un ángulo agudo cos 1 000°.

Solución

Cuando el ángulo es mayor que 360°, debe dividirse entre esta cantidad para obtener el número de giros o vueltas que da el lado terminal y el residuo es el ángulo que debe expresarse en función de un ángulo agudo.

giros o vueltas

Ángulo equivalente

1 000°360°

2

280°

El ángulo equivalente a 1 000° es 280°, situado en el cuarto cuadrante donde la función coseno es positiva, entonces:

cos 1 000° = cos 280° = cos (4 ? 90° – 80°) = cos 80°

O bien, en términos de la función seno,

cos 1 000° = cos 280° = cos (3 ? 90° + 10°) = sen 10°

Expresa como función de un ángulo agudo sen 6 290°.

Solución

Se obtiene el ángulo equivalente, que sea menor que 360°,

6 290°360°

17

170°

El ángulo equivalente es 170°, el cual se sitúa en el segundo cuadrante donde la función seno es positiva, entonces,

sen 6 290° = sen 170° = sen (2 ? 90° – 10°) = sen 10°

O bien, en términos de coseno,

sen 6 290° = sen 170° = sen (1 ? 90° + 80°) = cos 80°

33

44

55

2


798

Expresa como función de un ángulo agudo tan (– 65°).

Solución

Se traza el ángulo negativo, el cual girará en sentido horario y será equivalente a un ángulo de 295°, que se sitúa en el cuarto cuadrante, donde la función tangente es negativa.

– 65°

295°

Por consiguiente:

tan (– 65°) = tan 295° = tan (4 ? 90° – 65°) = – tan 65°

O bien, en términos de cotangente:

tan (– 65°) = tan 295° = tan (3 ? 90° + 25°) = – ctg 25°

Expresa como función de un ángulo agudo sen −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

35

36π

Solución

Se traza el ángulo negativo, el cual se encuentra en el tercer cuadrante donde la función seno es negativa.

p36

35−

p36

37

Por tanto,

sen −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

35

36π = sen

37

36π = sen 2

2 36⋅ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π = – sen

π36

O bien, en términos de coseno:

sen −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

35

36π = sen

37

36π = sen 3

2

17

36⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π = – cos17

36π

77

6

Funciones trigonométricas de ángulos negativos

Los ángulos negativos giran en sentido horario y las funciones trigonométricas de ángulos negativos, se expresan en términos de funciones trigonométricas de ángulos positivos.


799

En el triángulo Δ AOB, ubicado en el primer cuadrante:

sen u = AB

AO tan u = AB

BO sec u = AO

BO

cos u = BO

AO ctg u = BO

AB csc u = AO

AB

En el triángulo Δ AOB, ubicado en el cuarto cuadrante:

sen (– u) = – AB

AO tan (– u) = – AB

BO sec (– u) = AO

BO

cos (– u) = BO

AO ctg (– u) = – BO

AB csc (– u) = – AO

AB

Por consiguiente: sen (– u) = – sen u tan (– u) = – tan u sec (– u) = sec ucos (– u) = cos u ctg (– u) = – ctg u csc (– u) = – csc u

A

X

q

O B– q

A Y

Expresa sen (– 30°) en términos de un ángulo positivo.

Solución

Al aplicar sen (– u) = – sen u, se obtiene:sen (– 30°) = – sen 30°

Expresa tan (–120°) en términos de un ángulo positivo y agudo.

Solución

Se aplica tan (– u) = – tan u y se obtiene:tan (–120°) = – tan 120°

y al reducir a un ángulo agudo,

tan (–120°) = – tan 120° = – tan (2 ? 90° – 60°) = – (– tan 60°) = tan 60°

22

1

Ejem

plos

EJEMPLOS

Valores numéricos de las funciones trigonométricas circulares

Los valores de las funciones trigonométricas guardan una estrecha relación con el círculo unitario y se pueden calcular por medio de la medición de algunos segmentos de éste, el uso de tablas matemáticas o con el empleo de una calculadora.

X

Y

O

N

M R

S

TVa

a


800

Si se consideran las distancias OR ON OV= = = 1, entonces para calcular el valor de las funciones trigonométricas del ángulo a, se emplean las defi niciones de las mismas y representan la longitud de los segmentos:

sen a = cateto opuesto

hipotenusa = MN

ON = MN

1 = MN

cos a = cateto adyacente

hipotenusa = OM

ON = OM

1 = OM

tan a = cateto opuesto

cateto adyacente = SR

OR = SR

1 = SR

ctg a = cateto adyacente

cateto opuesto = VT

OV = VT

1 = VT

sec a = hipotenusa

cateto adyacente = OS

OR = OS

1 = OS

csc a = hipotenusa

cateto opuesto = OT

OV = OT

1 = OT

Calcula el valor de las funciones trigonométricas del ángulo 32° 10’.

Solución

Si se emplea el círculo unitario para calcular las funciones, donde a = 32° 10’, entonces:

X

Y

O

N

M32° 10’

R

S

TV

Se consideran los segmentos OR = ON = OV = 1, entonces:

sen 32° 10’ = MN = 0.5324 csc 32° 10’ = OT = 1.8783

cos 32° 10’ = OM = 0.8465 sec 32° 10’ = OS = 1.1813

tan 32° 10’ = SR = 0.6289 ctg 32° 10’ = VT = 1.5900

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


801

Si se emplean las tablas matemáticas (incluidas al fi nal del texto) para calcular el valor de las funciones trigonométri-cas de 32° 10’, entonces, se procede de la siguiente forma:

Grados Radianes Sen Tan Ctg Cos

0° 00’ .0000 .0000 .0000 1.0000 1.5708 90° 00’

� � � � � � � �32° 00’ .5585 .5299 .6249 1.6003 .8480 1.0123 58° 00’

10’ .5614 .5324 .6289 1.5900 .8465 1.0094 50’20’ .5643 .5348 .6330 1.5798 .8450 1.0065 40’30’ .5672 .5373 .6371 1.5697 .8434 1.0036 30’

40’ .5701 .5398 .6412 1.5597 .8418 1.0007 20’50’ .5730 .5422 .6453 1.5497 .8403 .9977 10’

33° 00’ .5760 .5446 .6494 1.5399 .9387 .9948 57° 00’

� � � � � � � �45° 00’ .7854 .7071 1.0000 1.0000 .7071 .7854 45° 00’

Cos Ctg Tan Sen Radianes Grados

El renglón superior corresponde a la columna izquierda cuyos valores van desde 0° 00’ a 45° 00’ y el renglón inferior va desde 45° 00’ a 90° 00’.

El valor de sen 32° 10’ se busca en la columna izquierda de arriba hacia abajo y además se observa que es el mismo valor que el de cos 57° 50’, buscado en la columna derecha de abajo hacia arriba, esto es porque son cofunciones.

Si se busca el valor de las funciones trigonométricas empleando una calculadora, el procedimiento es el siguiente:

a) Verifi car si la calculadora es de renglón simple o es más sofi sticada y cuenta con doble renglón. Esto es porque se teclea de forma diferente; en la explicación que a continuación se presenta se considera que el estudiante empleará una máquina de doble renglón.

b) Es necesario defi nir en qué medidas angulares se desea trabajar (grados o radianes).c) Considerar que el idioma que regularmente emplean los fabricantes en los menús y teclados es el inglés, es por

ello que el ejemplo así lo considera.d) Para encontrar las funciones cosecante, secante y cotangente, es necesario encontrar primero sus respectivas

funciones recíprocas, ya que las calculadoras no cuentan con estas funciones de manera directa, y después dividir la unidad entre dicho resultado.

Si se emplea la medida en grados debes digitar la tecla de Mode y elegir la opción Deg , la cual indica que la medida angular está en grados sexagesimales.

Si se busca el sen 32° 10’, entonces:Se digita sin después, el valor de los grados 32 a continuación la tecla ° ’ ” enseguida 10 y por último la tecla

° ’ ” . Para que el resultado aparezca en la pantalla es necesario digitar la tecla = y el resultado desplegado en la pantalla de la calculadora es 0.53238389.

Si la función buscada es sec 32° 10’, ésta no puede ser calculada de forma directa, por lo que es necesario encontrar su función recíproca. Además, ahora vamos a usar la medida angular en radianes, por tanto:

Se digita Mode y se elige la opción Rad , la cual indica que la medida angular empleada está en radianes, 32° 10’ = 0.5614 rad.

Se comienza digitando un paréntesis ( , en seguida la función recíproca de la secante, la cual es el coseno cos de 0.5614, después se cierra el paréntesis ) y por último la tecla x –1 , la cual es la función recíproca.

Para que aparezca el resultado se teclea = y se desplegará en la pantalla 1. 1813.


802

1. Expresa en función de un ángulo agudo las siguientes funciones:

a) sen 210° h) tan 254° 46’ 24’’

b) tan 165° i) cos 95° 25’

c) cos 280° j) sec 320° 48’ 12”

d) csc 120° k) csc 127°

e) sec 358° l) ctg (– 48°)

f) sen 240° 37’ 25’’ m) cos (– 38° 54’)

g) ctg 315° n) sen (– 28° 35’ 24”)

2. Expresa en términos de un ángulo positivo las siguientes funciones:

a) sen (–160°) f) csc (– 90°)

b) ctg (–140°) g) cos (– 225° 15’ 46”)

c) sec (– 240°) h) ctg (–176° 45’ 23”)

d) cos (– 280°) i) sec (–108° 32’)

e) tan (– 345°) j) sen (– 228° 15’)

3. Expresa en función de un ángulo agudo las siguientes funciones:

a) sen (–160°) g) sen (1 315°)

b) ctg 1 240° h) tan 823° 25’ 18”

c) cos (– 2 800°) i) cos (– 428° 45’ 24”)

d) tan 5 445° j) ctg 920°

e) csc (– 98° 32’ 12”) k) sec (– 220°)

f) sec (– 230°) l) csc 328° 33’ 41”

4. Encuentra el valor de las siguientes funciones trigonométricas (empleando tablas o calculadora):

a) sen 18° f) csc 79°

b) ctg 46° g) cos 22° 10’

c) sec 25° h) ctg 14° 40’

d) cos 83° i) sec 10° 30’

e) tan 37° j) sen 29° 50’

EJERCICIO 39


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