Una homologa queda determinada conociendolos siguientes datos:1- El eje, el centro y un par de puntos homlogos.2- El centro y dos pares de rectas homlogas3- Un punto doble y dos pares de puntos homlogos.4- El centro, el eje y el coeficiente de homologa5- El centro y las dos rectas lmite.6- El centro, una recta lmite y dos puntos homlogos.7- El centro, el eje y una recta lmite.8- Dos figuras homlogas.

ELEMENTOS EN UNA HOMOLOGA:

CENTRO DE HOMOLOGA: Es el foco de laradiacin de rectas que pasan por pares depuntos homlogos. Es el punto donde se cortantodas las rectas que unen un punto con suhomlogo en una homologa.

EJE: Es el lugar geomtrico delos puntos que sonhomlogos de smismos(puntos dobles).Rectas homlogassiempre convergenen el eje.

La homologa es una transformacin homogrfica que cumple las siguientes leyes:- Dos puntos homlogos estn alineados con un punto fijo llamado centro de homologa.- Dos rectas homlogas se cortan siempre en una recta fija llamada eje de homologa.

HOMOLOGA: CARACTERISTICAS YELEMENTOS

O

Seg

unda

rect

a lm

ite

Eje

de

hom

olog

a

1

2

3

1

23

1

3

(centro dehomologa)

prim

era

rect

a lm

ite

RECTAS LMITE: Es el lugar geomtrico de los puntos cuyoshomlogos estn en el infinito. Es una recta formada por puntosque no tienen homlogos (puntos impropios). Son dos RL1 y RL2(tambien llamadas RL y RL).

RL1

Eje

O

1

1

r

Lr

r

RL2

3

3

s

2s

2

t

t

LsLt

r

s

r

2s

t

dd

Las rectas lmite sonparalelas al eje y puedenestar bien entre el eje y elcentro de homologa obien fuera de ellas a lamisma distancia de estos.

La homologa solo mantiene el nmero de lados de la figura inicial, las dems caractersticas no se conservan: losngulos, paralelismos, perpendicularidades, distancias, proporciones, etc. se vern alterados.

La homologa que ilustra estapgina es una homologadirecta ya que los puntoshomlogos se encuentran adistinto lado del eje dehomologa.

La homologa inversa esaquella en la que un puntooriginal y su homologo seencuentran al mismo lado deleje de homologa.

O

d

EJE

RL

d

RL O

d

EJE

RL

d

RL

RL1

Eje

O

p

p

r

Lr

r

RL2

q q

A la izquierda una homologadirecta de una recta r y suhomloga r, similar a la queilustra esta pgina donde se sealanaislados los elementos de lahomologa: eje, rectas lmite, centro dehomologa, rectas y puntos homlogosy radiacin.

qq es un punto doble ya queoriginal y transformados coincidenen su posicin. Los puntosdobles estn siempre sobreel eje de homologa.

HOMOLOGA: ABATIMIENTOS DE LOS PLANOS

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

RL2

RL1

EJE

O

(2)

(3)

(O)

1

2

3

2'

1'

3'

(RL1

)

HOMOLOGA 1:Ejercicios bsicos, determinacin de elementos

Conocido el centro O , la recta lmite(2) y el eje, hallar el homologo de p, p

RL

Eje

O

p

RL

Eje

O

p

p

RL

Eje

O

p

1

2

RL

Eje

O

p

1

2

En una homologa, conocido el centro O, la recta lmite RL(2) y dos puntos, P y P homlogos, determinarel eje.

RL

O

p

p

RL

Eje

O

p

p

R

LR

R

RL

O

p

p

R

LR RL

O

p

p

R

LR

R

En una homologa, conocido el centro O, la recta lmite RL(2) y el eje, determinar el tringulo homlogodel tringulo dado a, b, c.

RL

Eje

A

B

C

O

321

1- Trazamos una recta r cualquiera que pasando por p corta a RL(2) en 1 y al eje en 2.

2- Unimos el centro O con el punto 1 y por 2 trazamos una paralela.

3- Trazamos una recta desde el centro O, pasando por p hasta que corta a r en el punto p.

1- Trazamos la radiacin Opp, una recta R cualquiera que corta a la recta lmite en LR y el segmento O- LR

2- Trazamos desde p R, paralela al segmento O- LR.

3- El eje es paralelo a RL pasando por la interseccin de R con R.

rr

r

r

r

RL

Eje

A

BC

r

r

O

s

C

B

A

s

RL

Eje

A

BC

O

s

SLRL

Eje

A

BC

O

s

C

A

s

SL

1 2 3

1- Elegimos una recta del polgono de modo que corteA la RL (2) y al eje en dos puntos. En el caso de que no las hubiera por rozar el paralelismo o la perpendicularidad nos podra interesar escoger una diagonal u otra recta escogida estratgicamente.

2- Unimos el centro de homologa con SL, punto donde la recta s corta a la RL (2). Trazamos una paralela a esta pasando por el punto donde s corta al EJE, as obtenemos s. Trazamos la recta OA, prolongandola hasta cortar S en A. Trazamos la recta OC hasta cortar s en C.3- Prolongamos el lado BC (recta r), hasta cortar el eje, Unimos dicha interseccin con C y as obtenemos r y trazando la recta OB, hasta cortar r obtenemos B. En este caso no es necesario unir RL con O y trazar la paralela desde el eje,p ues ya tenemos un punto homlogo que prtenece a r ( C). No obstante este paralelismo ha sido representado y remarcado.

SL

RL1

Eje

RL2

AB C

Dr

r

Lr Lr

O

D

A4

HOMOLOGA 2:Ejercicios bsicos. Determinacin de elementos

Dada una homologa por sus dos rectas lmite RL1 y RL2, que son coincidentes, por su eje y por dosrectas r y r homlogas. Hallar el centro O y la figura homolgica del cuadriltero ABCD.

RL1

Eje

RL2

AB

C

D

r

r

RL1

Eje

RL2

AB C

Dr

r

Lr Lr

O

D

s

A

s

B

Lt

M M

RL1

Eje

RL2

AB C

Dr

r

Lr Lr

O

D

s

A

s

M M

RL1

Eje

RL2

AB

CDr

r

Lr Lr

O

D

s

A

s

B

C

Lt

M M

1- Prolongando r obtenemos sobre RL Lr, a partir de Lr trazamos una paralela a r. Prologando r obtenemos sobre RL Lr, trazando una paralela desde Lr a r obtenemos la interseccin con la paralela a r la cual es el centro de homologa

1 2

3

2-Trazando el rayo OA obtenemos sobre r A. Prolongamos el segmento AB (recta s) obteniendo sobre el eje el punto doble MM. Uniendo M con A obtenemos s.

3- Prolongamos el segmento CD (recta t) hasta cortar a RL en Lt. Unimos Lt con O y trazamos una paralela a este segmento a partir de D sobre el eje, esta paralela es t.

4- Trazamos el rayo OC para obtener C sobre t, de este modo ya podemos completar el cuadriltero homlogo.

t

t

Dados el eje, la recta lmite RL y un par de puntos homlogos a y a, hallar el centro de homologa Oy la figura homolgica del tringulo ABC.

RL

Eje

A

AB

C

RL

Eje

A

A

B

C

r

r

O

M M

1-Trazamos la recta r, homloga de r, uniendo A con MM, punto doble sobre el eje. Obtenemos sobre RL Lr.

RL

Eje

A

A

B

C

r

r

O

B

M M N N

C

RL

Eje

A

A

B

C

r

r

O

B

M M N N

C

3- Trazamos el tringulo homlogo uniendo A,B y C.

En este ejercicio lospuntos dobles ahorranmucho trabajo y trazadosauxiliares.

1 2 3

2-En la prolongacin de r, trazando el rayo OB encontramos B.

Unimos B con NN (punto doble), obteniendo s. Uniendo O con C obtenemos sobre s C.

A partir de Lr trazamosuna paralela ar y unimosAA para obtener O,centro de homologa.

Lr

HOMOLOGA 3:Ejercicio bsico y Homologa inversa

En una homologa, conocido el centro O, el eje y dos puntos P y P homlogos, determinar lasrectas lmite.

Eje

O

P

P

r

Lr

r

Eje

O

P

P

Eje

O

P

P

r

En una homologa, conocido el centro O, el eje y la recta lmite RL2, determinar el tringulo a, b, c.

RL2

M M M M

RL1

Eje

O

P

P

r

r

RL2

dd

1 2 3

1- Unimos OPP y trazamos una recta cualquiera por P (recta r) que corta al eje dado en MM (punto doble).2- Unimos MM con P y a este segmento le trazamos una recta paralela que corta a t en Lr. Por Lr, paralela al eje se encuentra la RL2.3- A la misma distancia del eje que la que distancia entre O y RL2 se encuentra RL1. Tambin podemos obtener esta prolongando r y trazando una paralela a r desde O.

RL2

Eje

A

B

O

C

RL2

Eje

A

B

O

C

A

M M

Lr

r

r

RL2

Eje

A

B

O

C

A

M M N NP P

Lr Lt

r

r

t

t

s

sC

B

RL2

Eje

A

B

O

C

A

M M N NP P

Lr Lt

r

r

t

ts

sC

B

1

2 3

1- Prolongamos AB (recta r) hasta cortar el eje en MM(punto doble).

Trazamos por O una paralela a r cortando en RL2 para obtener Lr.

Unimos Lr con MM para obtener r.

Uniendo O con A obtenemos A sobre r.

2- Prolongamos AC (recta s) hasta cortar el eje en PP (punto doble).

Uniendo P con A obtenemos la recta s.

Prolongamos BC (recta t) hasta cortar el eje en NN (punto doble). Y trazamos una paralela a t por O que corta a RL2 en Lt. Unimos Lt con NN para obtener C sobre s y A sobre r.

3- Ya tenemos A,B y C vrtices homlogos del tringulo dado.

En la tercera ilustracin se ha completado la radiacin desde el centro de homologa con OCC y OBB, simplementepara comprobar la correccin de la solucin, aunque esto no es necesario.

Nos encontramos ante una homologa inversa, ya que ambos tringulos homlogos se encuentran al mismo ladodel eje de homologa.

HOMOLOGA 4:Cuadrilteros/polgonos homlogos.

En una homologa, conocida la RL1, el eje y dos puntos A y A homlogos, determinar la figurahomolgica del rectngulo ABCD.

Eje

RL1

A

A

BC

D

1- Determinamos O:

Prolongando t hasta obtener MMsobre el eje podemos unir M con A.t nos da un punto sobre RL1 a partirdel cual trazamos una paralela a t.Uniendo A con A obtenemos sobre laparalela a t el centro de homologa O.

Eje

RL1

O

RL2

dd

A

A

BC

D

Lt

t

tM M

1

2 3

2-Prolongamos CB (recta r) cortando a RL2 en Lr y al eje en NN(punto doble).

Trazamos una paralela desde N a O-Lr, esta ser r.

Trazamos la recta OB que corta la prolongacin de r en B. OC la cortar en C.

Eje

RL1

O

RL2

A

A

BC

D

D

B

Lt

t

t

s

s

C

Lr

r

r

N N 3- Prolongamos CD hasta cortar el eje en PP (punto doble) y lo unimos con C, esta es la recta q que en su interseccin con t nos da D.

Una vez ms los puntos dobles nos han sido de granutilidad para encontrar rectas homlogas.

Rectas homlogas se cortan en el eje y los pares derectas de la figura homloga ABCD se cortan en laRL1.

Eje

RL1

O

RL2

A

A

BC

D

D

C

B

LrLt

r

t

t

s

sr

q

q

Lrt Lsq

En una homologa, conocida la RL2 y el eje , determinar la figura homolgica del cuadrado ABCD.

Eje

O

RL2

Eje

O

RL2

l

m

lm

Eje

O

RL2

B C

A

D

r s

sr

u

v

v

A

D

CB

u

Este ejercicio ha sido resuelto en primer lugar prologando los lados para obtener los puntos dobles y las rectas en elinfinito. Y en segundo lugar trazando las diagonales l y m del cuadrado. Este recurso, buscar diagonales de polgonosy encontrar sus homlogas, es muy recurrente ya que en ocasiones lo s lados cortan a eje o RL fuera de los lmitesdel papel.

A la derecha observamos como los90 que dorman las diagonales en lafigura primitiva u origiunal se repitenen el centro de homologa.

Estas circunstancias se darntambien con las magnitudesangulares de los vrtices depolgonos, ms claramente si loslados no son paralelos niperpendiculares al eje.

Las homlogas de rectasparalelas al eje y las rectas lmiteson tambin paralelas.

Determinamos la RL2:Bien situndola a la misma distancia que RL1 deleje desde el centro O. O bien polongando DA (rectat) hasta el eje, obteniendo sobre l un punto dobleMM para poder trazar t (uniendo M con A). Astrazamos la paralela a t desde el centro O que cortara t en Lt. Pasando una paralela al eje o RL1 por Ltobtenemos RL2.

HOMOLOGA 5:Homologa y Arco capaz

En una homologa, conocida la RL(2) y el eje, determinar el centro y el cuadrado homlogo.

Eje

RL2

A

B

C

D

Eje

O

RL2

A

B

C

D

Eje

RL2

A

B

C

D

r

s t

udf

Lf Ltr Ld Lsu

M M N N P P K K

DC

B

A

1- Trazamos las diagonales d y f, prolongndolas hasta RL en los puntos Ld y Lf.

Trazamos los lados s y u, obteniendo sobre RL el punto Lsu.

Trazamos los lados r y t obteniendo sobre RL el punto Lrt.

2- Todos los ngulos del cuadrado forman 90, st, tu, ur y rs formarn 90 en la figura homloga. Tambin las diagonasles fd formaran 90.

Por lo tanto las rectas que partan del centro hasta Ltry Lsu formarn 90 en O. Trazamos el arco capaz de90 del segmento Ltr-Lsu.

Tambin las rectas que partan de O hasta Ld y Lfformarn 90. Trazamos el arco capaz de 90 delsegmento Ld-Lf.

En la interseccin de los dos arcos capaces obtenemosO.

Prolongando hasta el eje los lados de la figura dadaobtenemos puntos dobles a partir de los cualesdebemos trazar paralelas a las rectas que parten delcentro O hasta los lmites de los lados y las diagonalesy as obtenemos el cuadrado buscado.

En una homologa, conocida la RL(2) y el eje, determinar el centro y el tringulo equiltero ABChomlogo del dado ABC.

Eje

RL2

AB

C

Eje

O

RL2LrLsLt

AB

C

r

st

A

C

B

Eje

RL2LrLsLt

AB

C

r

st

1

2

1

2

1- En este caso sabemos que los angulos interiores de un tringulo equilatero forman 60 cada uno.

Prolongamos las rectas r, s y t hasta obtener sus lmites en el infinito sobreRL2.

2- Trazamos el arco capaz de 60 del segmento Ls-Lr. Trazamos el arco capaz de 60 del segmento Ls-Lt

El punto de interseccin de ambos arcos es el centro de homologadesde el cual trazamos rectas hasta Lt, Ls y Lr.

A las cuales trazamos paralelas desde los puntos dobles sobre el ejepara obtener el tringulo.

HOMOLOGA 6:Casos especiales y curvas cnicas.

En una homologa, conocida la RL(2), el eje y el centro O, determinar la figura homolgica deltringulo ABC, estando A sobre el centro O, B sobre RL(2) y C sobre el eje de homologa.

En una homologa, conocido el eje, el centro de homologa situado sobre este y un par de puntos homlogos AA determinar la figura homolgica del tringulo ABC.

Eje

O A

RL2B

CEje

RL2B Lt

s

M M

ts

r

Lr Ls

C C

B

r

O A A- La paralela a O Lt por el punto doble CC es t, que coincide con t.

- Del mismo modo: La paralela a O Lr por el punto doble MM es r, tambien coincidente con r.

- s es paralela a O Ls por el punto doble CC.

- A y A coinciden en O. Y CC es un punto doble sobre el eje.

- Al ser r y s paralelas, B es un punto perteneciente a ellas en el infinito.

t

Nos encontramos ante una elacin es una homologa en la que el centro y el eje de la homologason coincidentes.

EjeO

AB

C

A

1- El segmento AB es paralelo al eje de homologa, por lo tanto BA tambien lo ser. Con esto podemos trazar el rayo OB y determinar B.2- Prolongamos BC hasta cortar el eje en el punto doble MM, unimos M con A para obtener s. Trazando el rayo OCobtenemos sobre s C y ya podemos completar el tringulo homlogo ABC

M MEjeO

AB

AB

C C

s s

EjeO

AB

AB

C

r

r

1 2

Como dijimos al enunciar los elementos de la homologa, los homlogosde los puntos pertenecientes a las rectas lmite se encuentran en el infinito.

CURVAS CNICAS Y HOMOLOGA:

La figura homloga de una circunferencia es una curva cnica. Esta ser una elipse, parbolao hiprbola dependiendo de la posicin relativa de la circunferencia con la rectas lmite 2:

- Cuando RL es exterior a la circunferencia la figura homloga ser siempre una elipse.

- Cuando RL es tangente a la circunferencia la figura homolgica ser una parbola.

- En caso de que RL sea secante a la circunferencia la figra homloga ser una hiprbola.

Propiedades

- La recta tangente comn a una cruva cnica pasa siempre por el centro de homologa.

- Si dos cnicas homlogicas son secantes, la recta que une lospuntso de interseccin entre ambas es el eje de homologa Si son tangentes el punto de tangencia pertenece al eje de homologa (puntos dobles).

- En una homologa el centro de una cnica se transforma en el polo de una recta lmite respecto de la figura homolgica.

HOMOLOGA 7:Circunferecnia-Elipse.

En una homologa, conocida la RL(2), el eje y el centro O, determinar la figura homolgica de lacircunferencia de centro C.

Eje

O

RL2

Eje

O

RL2Ls Lrs

s

r

r1

2

2

1C

4

3

C3

4

Eje

O

RL2Ls Lr

v

u

u

v

C 56

7

8

8

6

7

5C

Eje

O

RL21 2

A

B

D

P

C

D

P

C

A

B

Eje

O

RL21 2

A

B

D

P

C

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar los convencionalismos o leyes generales de la homologa, trazandodimetros y sus homlogos para obtener sobre ellos puntos homlogos que deteminen la elipse.

1- Trazamos dos dimetros, r y s, que cortan a RL2 al eje obtenemos la homloga de s trazando desde su puntodoble sobre el eje una paralela a O-Ls. As podemos trazar los rayos correspondientes que nos dan 1, C y 2. Acontinuacin determinamos r y los puntos 3 y 2.

Podemos repetir esta operacincon tantos dimetros comoqueramos. Siempre podremosdeterminar 2 puntos de la figuratransformada.

2- Trazamos otros dos dimetros, en este caso uno es perpendicular a RL y al eje y el otro es paralelo. As determinamos dos puntos ms de la elipse homolgica de la circunferencia y podemos trazarla a mano alzada.

De este modo no conseguimos puntos distribuidos equitativamente sobre la elipse lo cual dificulta su trazadoa mano alzada. Podemos observar que ninguno de los dimetros homolgicos son ejes o dimetros conjugadosde la elipse (en cualquiera de estos dos casos se cortaran por su punto medio). Y lo ideal sera obtener losejes de la elipse o los diametros conjugados para trazar la elipse mediante cualquiera de sus mtodos.Convirtiendo la recta lmite en polar de la circunferencia y encontrando su polo podemos conseguir esto.1- Elegimos un punto al azar 1 (desplazado de la perpendicular del centro a la RL2) sobre RL2 a partir del cualtrazaremos las rectas tangentes a la cir. dada. No trazamos las rectas tangentes pero si hallamos los puntos detangencia A y B.

Unimos A con B oteniendo sobre RL2 el punto 2, a partir del cual repetimos la operacin (rectas tangentes pto.-cir.)hallando C y D prolongando CD nos encontraremos en RL2 con el punto 1. La interseccin de CD con AB es el Polode la circunferencia, siendo RL2 su recta polar.

AB y CD son dimetrosconjugados de la elipsehomolgica de lacircunferencia. Y P es lainterseccin entre ambos.

2- De este modo solo tenemos que determinar AB y CD para a partir de ah emplear cualquiera de los multiples mtodos que existen para trazar una elipse a partir de los dimetros conjugados o de una caja axonomtrica.

1 2

1 2

HOMOLOGA 8:Circunferencia-Parbola .

En una homologa, conocida la RL(2), el eje y el centro O, determinar la figura homolgica de lacircunferencia de centro C.

Cuando la cir. es tangente a la recta lmite. El homlogo del puntode tangencia es un punto impropio (en el infinito).

Eje

O

RL2

r

r

1

1

Vsp

ps

V

t

Ct

2

2

u

q

q

u

3

3

1

2

3

Esta recta r nos va a ayudar a encontrar los puntosde la parbola trazando paralelas al Eje.

Eje

O

RL2

r

r

V sp

ps

V

C

C

Lr

Eje

O

RL2

r

r

1

1

V sp

psV

t

C t

2

2

C

2- Sobre la recta r y la cir. vemos el punto 1. El rayo O- 1 nos da sobre r el pto. 1.

Trazamos una paralela al eje t que corta a r en C, por lo que t ser paralela al eje por C. Sobre la cir. y la recta t encontramos 2, del cual obtenemos el homlogo 2 sobre t trazando el rayo O-2.

3- Repitiendo este proceso:

1 Paralela,2 homologo de la interseccion con r3 homlogo de la interseccin con la cir.

Podemos encontrar tantos puntso como queramos.Para este ejercicio empleamos la simetra de laparbola respecto al rayo OCC para encontrarlos puntos simtricos de la parbola.

Eje

O

RL2

C

1- Trazamos una recta r, oblicua a RL obteniendo Lr. Por el punto doble sobre el eje trazamos una paralela a O-Lr para obtener r

Por el extremo opuesto al pto de tg, V, trazamos una paralela sque nos da sobre r el punto p. Trazamos el rayo Op que nos dasobre r el homlogo p. A partir de p trazamos una paralela a s,s, que nos dara sobre el rayo OV el pto. V. C tambien seencuentra sobre r y el rayo OR.

Eje

O

RL2

r

Lr

r

1

1

Ap

p A

2q

q

u

u

v

v2

tn

nt

3

3

Bi

g

g B i

j4

4

5k

k j5

xy 6

y6

x

x

HOMOLOGA 9:Circunferencia-Hiprbola.

En una homologa, conocida la RL(2), el eje y el centro O, determinar la figura homolgica de lacircunferencia de centro C.Cuando la cir. es secante a la recta lmite. Los homlogos de los puntos de interseccin sondos puntos impropios (en el infinito).

Eje

O

RL2

r

Lr

r

1

1

Ap

p A

u

u

tn

n t

3

3

Eje

O

RL2

r

Lr

r

B ig

g Bi

j4

4

5 k

k j5

Eje

O

RL2

El mtodo que hemos aplicado esel mismo que el que hemos puestoen prctica con la parbola.

1-Trazamos una recta r que corta a la circunferencia y a la RL2 y al eje.

2- Obtenemos r.

3- Trazamos rectas secantes paralelas al eje y a RL2, de las que, con ayuda de r, obtenemos sus homlogas y los puntos de interseccin con la circunferencia

1

2

3

A la izq. vemos como sehan llevado a cabo los 3primeros pasos.

Del paso 3, sin embargo,solo hemos sacado:

-La recta uu que contieneel vrtice A.

-El punto 1-1 que estcontenido en rr

-La recta tt que contieneel punto 3. Sobre rectascomo esta (secantes a lacircunferencia y a lahiprbola) hay siempre dospuntos que podemosencontrar por homologacon la circunferencia o porsimetra.

Para la otra rama de la hiprbola el procedimiento es el mismo,con la misma recta rr. La diferencia estriba en la distribucinde los puntos homlogos (a distinto lado del centro O).

Ciertamente es unprocedimiento largo yengorroso, pues en generalobtener un punto de lahiprbola requiere unahorizontal, un punto deinterseccin con rr y dosradiaciones (la del punto deinterseccin y la del propiopunto de la hiprbola)

homologia