Embed Size (px)
DESCRIPTION
técnica de integración, cambio de variables
Citation preview
CÁLCULO II
CAMBIO DE VARIABLE
Costo Marginal
El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por
En donde x es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos fijos son de $100, ¿podrías ayudar a determinar la función costo?, ¿cómo lo harías?
2500100
)(' 2 xx
xC
• Fórmulas de integración básicas• Diferencial de una función
Recordar
Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e ingeniería a partir de ecuaciones diferenciales con una condición inicial a través del método de sustitución algebraica.
Integración usando Cambio de variable
1.1 Definición
1.2 Ejemplos
Temario
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
I. Cambio de variableEsta técnica se usa cuando se tiene una función que no se puede integrar de forma inmediata y es de la forma:
dxxgxgf )('))((
La elección de la nueva variable depende muchas veces de la habilidad del estudiante para transformar la integral dada en una simple e inmediata. ES decir,
dxxgduxgu )(')(
duufdxxgxgf )()('))((
Ejemplo 1
Calcular
Solución dxxeI x2
dxxeI x2
En este caso se debe elegir la nueva variable
2xu dxxdu 2 dxxdu 21
dueu21
dueu21
ceu 2
Regresando a la variable inicial se tiene:
ce
dxxex
x 2
2
2
dxxdu )'( 2
Ejemplo 2
Calcular
Solución dxxxI cossin
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial se tiene:
xu sin dxxdu )'(sin dxxdu cos
duudxxxI cossin cu 2
2
cx
dxxx 2sin
cossin2
Ejemplo 3
Calcular
Solución dx
xxI 3ln
1
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial se tiene:
xu ln dxxdu )'(ln dxx
du1
duu
dxxx
I 33
1ln1
duu 3
cx
dxxx
23 ln21
ln1
cu
221
Ejemplo 4
Calcular
Solución dxxxI )2sin( 65
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial se tiene:
26 xu dxxdu )'2( 6 dxxdu 56
duudxxxI sin61
)2sin( 65
cx
dxxx 6)2cos(
)2sin(6
65
cu
6cos
DEPRECIACIÓN
a) Exprese el valor de la máquina en términos de su edad y de su valor inicial.
b) Si originalmente la máquina valía $5 200, ¿cuánto valdrá cuando tenga 10 años?
El valor de reventa de una máquina industrial disminuye a una tasa que depende su edad.
/5' 960 tV et
Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual cambia su valor es
dólares por año.
Solución:
Integrando tenemos:
dtetVt
5960)(
Del enunciado tenemos: V(0)=5200. Entonces:
ce 048005200
Entonces:
4004800)( 5 t
etV
a)
Cet
54800
400 C
En 10 años el valor de la máquina será:
34.432
4004800)10( 5
eV
b)
En 10 años el valor de la máquina será de 432.34 dólares.
Costo Marginal
El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por
En donde x es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos fijos son de $100, ¿podrías ayudar a determinar la función costo?, ¿cómo lo harías?
Solución
2500100
)(' 2 xx
xC
dxxx
dxxCxC 2500100
)(')( 2
El costo se obtiene integrando la función costo marginal, es decir:
duudxxx
xC21
1001
2500100
)( 2 duu 2/1
2001
cu 2/3
32
2001
cx
dxxx
xC
300
)2500(2500
100)(
322
En este caso se debe elegir la nueva variable
25002 xu dxxdu 2 dxxdu 21
La integral con la nueva variable es:
Regresando a la variable inicial tenemos:
Pero por dato se tiene que los costos fijos es de $100, entonces:
100)0( C 10030025003
c3
950 c
Por lo tanto, la función costo es:
3950
3002500
2500100
22
xdxx
x
GRACIAS
